名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题9第29讲函数与方程思想、数形结合思想 精品

6．利用数形结合思想求解最值问题
P,Q,根据椭圆对称性有|A→P|＝|A→Q|.
②当 k≠0 时,可设 l 的方程为 y＝kx＋m(k≠0), y＝kx＋m，
联立方程组x32＋y2＝1， 消去 y,整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
直线 l 和椭圆 C 有两个不同的交点． 则 Δ＝36k2m2－12(1＋3k2)(m2－1)>0, 即 1＋3k2－m2>0. 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), 则 x1、x2 是方程(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 的两根, ∴x1＋x2＝－1＋6k3mk2,x1x2＝3（1m＋2－3k12 ）. 则 PQ 中点 N(x0,y0)的坐标为
第29讲 函数与方程思想、 数形结合思想
1．考题展望 函数与方程思想是中学数学的基本数学思想,它 贯穿于整个高中数学的学习过程中．高考试题中考查 函数与方程思想的题目占较大比例,题型涉及选择题、 填空题、解答题,难度有难有易,试题中的大部分压轴题 与函数方程思想有关． 数形结合思想在每年的高考中都有所体现,尤其 是某些选择题、填空题,数形结合非常有效．从近几年 的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”, 但“以数定形”在今后的高考题中将会有所加强,应 引起重视．
【点评】几何最值与范围问题是高考的热点,在圆
锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般 思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关 系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后 借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
二、数形结合思想的应用
4．利用数形结合思想讨论方程的根
例4已知函数 f(x)＝|x－2|＋1,g(x)＝kx,若方程 f(x)
由①②得
m<－
36或
m>
6 3.
(2)令 t＝m1 ∈－ 26，0∪0， 26,
则|AB|＝
t2＋1·
－2tt2＋4＋122t2＋32,
且
O
到直线
AB
பைடு நூலகம்的距离为
d＝
t2＋12 t2＋1.
设△AOB 的面积为 S(t),所以
S(t)＝12|AB|·d＝12
－2t2－122＋2≤ 22,
当且仅当 t2＝12时,等号成立．
当 b＝2 时, 当 x>2 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为(x－2)2＝x－2, 得 x＝2(舍去)或 x＝3,有 1 解； 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 2－x＝2－ x,有无数个解； 当 x<0 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 2－x2＝x＋2, 得 x＝0(舍去)或 x＝－1,有 1 解． 所以 b≠2,排除答案 A. 当 b＝1 时, 当 x>2 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 x2－5x＋7＝0,无解； 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 1－x＝2－ x,无解； 当 x<0 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 x2＋x＋1＝0,无解． 所以 b≠1,排除答案 C. 因此答案选 D.
P、Q,且满足|A→P|＝|A→Q|,试求 k 的取值范围．
【解析】(1)设 C(x,y),则重心 Gx3，3y, ∵G→M＝λA→B(λ∈R),
∴GM∥AB.
又∵M 是 x 轴上一点,则 Mx3，0, 又|M→A|＝|M→C|,
∴ x32＋1＝ x3－x2＋y2, 整理得x32＋y2＝1(x≠0)． ∴点 C 的轨迹方程为x32＋y2＝1(x≠0)． (2)①当 k＝0 时,l 和椭圆 C 有两个不同的交点
由x22＋y2＝1， 消去 y＝－m1 x＋b
y,得
12＋m12x2－2mbx＋b2－1＝0.
因为直线 y＝－m1 x＋b 与椭圆x22＋y2＝1 有两个不
同的交点,所以 Δ＝－2b2＋2＋m42>0.① 将线段 AB 中点 Mm22m＋b2，mm2＋2b2代入直线方程
y＝mx＋12解得 b＝－m22m＋22.②
＝g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是
()
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2,＋∞)
【解析】选 B. 画出函数 f(x)的图象,如图所示．若方程 f(x)＝g(x) 有两个不相等的实数根,则函数 f(x),g(x)有两个交点, 则 k＞12,且 k＜1.
当直线 g(x)＝kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直 线 g(x)＝kx 过 A 点时斜率为12,故 f(x)＝g(x)有两个不 相等的实根时,k 的范围为12，1.
∴S10＝145,∴S10＝10（a12＋a10）, ∴a10＝28,∴公差 d＝3. ∴an＝3n－2(n∈N*)． (2)由(1)知 bn＝ana1n＋1＝（3n－2）1（3n＋1） ＝133n1－2－3n1＋1, ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝131－3n1＋1, ∴Tn＝3nn＋1.
∵Tn＋1－Tn＝3nn＋＋14－3nn＋1＝（3n＋4）1（3n＋1）>0, ∴数列{Tn}是递增数列． 当 n≥3 时,(Tn)min＝T3＝130, 依题意,得 m≤130,∴m 的最大值为130.
【点评】用函数的图象讨论方程(特别是含参数的 指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一 种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代 数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作 适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系 中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解 的个数．
2．函数与方程思想在数列中的应用
例2已知数列{an}是等差数列,a1＝1,a2＋a3＋…＋ a10＝144.
(1)求数列{an}的通项 an； (2)设数列{bn}的通项 bn＝ana1n＋1,记 Tn 是数列{bn} 的前 n 项和,若 n≥3 时,有 Tn≥m 恒成立,求 m 的最大 值．
【解析】(1)∵{an}是等差数列,a1＝1,a2＋a3＋…＋ a10＝144,
一、函数与方程思想的应用 1．函数与方程思想在不等式中的应用
例1已知定义在 R 上的单调递增奇函数 f(x),若当 π
0≤θ≤ 2 时,f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0 恒成
立,则实数 m 的取值范围是________．
【解析】－12，＋∞
f(cos2 θ ＋ 2msin θ ) ＋ f( － 2m － 2)<0
2．数形结合思想 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以 数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：一 是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以 形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观 地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目 的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 数与形转换的三条途径： (1)通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求 解． (2)转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化 为形的角度来考虑． (3)构造,通过对数(式)与形特点的分析,联想相关知 识,构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等 来分析解决问题．
故△AOB 面积的最大值为 22.
【命题立意】本题主要考查了直线与椭圆的位置 关系等知识点,考查直线与椭圆相交背景下求三角形 面积的最值及函数与方程思想．
1．函数与方程思想 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究 数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数 关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转 化问题,从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调 性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等． (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量 关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方 程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得 解决．方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解 题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方 程思想是动中求静,研究运动中的等量关系．
m>
－
1 2
×1＋（1t－t）2＝－12t＋2t －2.
设φ(t)＝－12t＋2t －2,而 φ(t)在 t∈(0,1]上的值域
是－∞，－12,故 m>－12.
【点评】(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思 想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质 解决问题；(2)函数 f(x)>0 或 f(x)<0 恒成立,一般可转化 为 f(x)min>0 或 f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先 分离参数,然后利用函数值域求解．
5．利用数形结合思想求解不等式、求参数范围 1
例 5 若不等式|x－2a|≥2x＋a－1 对 x∈R 恒成 立,则 a 的取值范围是________．
【解析】－∞，12 作出 y＝|x－2a|和 y＝12x＋a－1 的简图,依题意知 应有 2a≤2－2a,故 a≤12.
【点评】求参数范围或解不等式问题时经常联系 函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个 (或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转 化数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获 得简捷的解答．
2．高考真题
考 题 1(2015 天 津 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2（－x|－x|，2）x≤2，2x，＞2，函数 g(x)＝b－f(2－x),其中 b∈R. 若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是
()
A.74，＋∞
B.－∞，74
C.0，74
D.74，2
【解析】选 D. 将函数的零点问题转化为方程的解的问题,并讨 论 x 的取值以确定函数的解析式． 当 x>2 时,g(x)＝x＋b－4,f(x)＝(x－2)2； 当 0≤x≤2 时,g(x)＝b－x,f(x)＝2－x； 当 x<0 时,g(x)＝b－x2,f(x)＝2＋x. 由于函数 y＝f(x)－g(x) 恰有 4 个零点,所以方程 f(x)－g(x)＝0 恰有 4 个根． 当 b＝0 时, 当 x>2 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 x2－5x＋8＝ 0,无解； 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 2－x－ (－x)＝0,无解； 当 x<0 时,方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 x2＋x＋2＝0, 无解． 所以 b≠0,排除答案 B.