第七章均值—方差资产组合理论
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12 10 9
概率
1/3 1/3 1/3
结局收益 （%）
10 10 4
概率
2/5 1/5 2/5
收益均值大小只表示某证券收益的期望 值。对两种证券比较优劣时，不能光凭 收益均值大小来决定，还要考虑各证券 的风险程度。而风险程度的大小我们用 收益率的标准差σ来衡量。收益率偏离均 值越厉害，也就是标准差越大，它表示 证券收益的变化越厉害，风险也越大。
分析家们提倡再补充一个偏斜度，主要是他们 相信投资者们将都会偏好于正偏斜度，若其它 条件不变，则可认为投资者们将更喜欢可能带 来较高收益的证券组合。
若偏斜度被接受，则我们在前面讨论的证券组 合“问题”就将在一个三维空间中表达出来。 这三个坐标轴分别为；均值、均方差、偏斜度。 而我们的有效边界也将被一个“有效边界曲面” 所代替。该有效边界曲面将是所有可行空间域 中具有最大均值，最小均方差和最大偏斜度的 部分所构成。
R B
RA
A
RB
B
B
R
A A
RB
B
P
（2）若设 AB 1 , 则有
R P X A R A 1 X A R B
2 P
X A A
1
X A B 2
由于上式中括号中的值可能为负数，故：
P X A A 1 X A B
或者 P X A A 1 X A B
沿用上例：
对证券投资者来说，仅知道某种证券期望收益尚不 足以对该证券有足够的把握，我们还必须知道收益 率的离散程度，即要知道各收益率偏离期望值的情 况。在表7.2中A、B两种投资结局的期望收益都为 10，但其离散程度不一样，显然个人选择时会感到 这两种投资方式是不同的。
表7.2 两种投资的收益分布
A
B
结局收益 （%）
X
* A
=2/3
下式决定：
N
NN
2 P
X
i2
2 i
X i X k ik
i 1
i1 k 1 k i
若该组合是等比例地投资在各证券上，即投资
在各种证券上的资本量相等，，则有：
Baidu Nhomakorabea
2 P
1 N
N
2 i
N
1
N
i1 N
N
i1
N k 1
ik
NN 1
1 N
2 i
N N
1
ik
k i
其中，是种证券方差之平均值，是种协方差的
证券数
组合方差
1
46.619
4
16.948
12
10.354
16
9.530
50
7.849
100
7.453
1000 无穷大
7.097 7.058
图7.1是显示分散化原理的图，采样自 美国股票市场实际情况。
100 （组
合 ）风
险
27
%
15
30
N 45证券数量
图7.1 组合风险与单个证券风险 的关系
四 偏斜度和证券组合分析
第七章 均值—方差证券资产 组合理论
第一节 资产组合的期望收益 与标准差
一 单个证券的期望收益率与方差
设某投资者所以可供选择的证券有N种， 对于任一种证券，其收益有M种可能性， 我们用Rij表示证券i在第j种可能性下的收 益，用Pij表示第i种证券的收益率出现第j 种可能性的概率。
M
第i种证券收益的期望收益为： Ri Rij Pij j 1
许多证券分析家建议，仅仅用证券收益分布的二 个特征值尚不足以准确地反映收益的随机变化性， 还必须再增加一个特征值“偏斜度”来作出补充。 所谓偏斜度是测量收益分布的非对称性情况的。 正态分布为对称分布，因此偏斜度为零，但正态 分布的自然对数函数就不是对称的
概 率
A
收益
图7.2 证券收益的自然对 数正态分布
标准 4.9 4.9 7.35 4.9 4.9 差
二 资产组合的期望收益率与方差
市场状 B
C
组合
况
（60%b
+40%c)
好
1.16 1.01 1.1
平均 1.1
1.1
1.1
坏
1.04 1.19 1.1
二 资产组合的期望收益率与方差
假设某投资者用N种证券组成了他的资产 组合，设该资产组合用P表示，投资在证 券i上的资本量占总投资的比例为Xi， （i=1,2,…,N）则有：
2X1 X 212
其中σ1、σ2分别为这两种证券的标准差，而σ12 为这两种证券的协方差。σ12符号不同，影响不 一样。协方差反映了该两证券收益变动之间的
联系，σ12>0表示两证券收益同方向变化， σ12<0表示两证券收益反方向文化，σ12=0表示 他们互相独立。
对于包含有N种证券的资产组合P，其方差由
第二节 有效资产组合曲线
一 不存在无风险借贷 1．不允许卖空 设定X1为投资在第i种证券上的资产价值 比例，在不存在无风险借贷且不允许卖
空的假设下显然有： N X i 1 i 1
且 上X相i≥当0，于因负为投“资卖。空”行为在经济意义
仍设有A、B两种证券，其中相关系数为 AB
RP X A R A X B RB X A R A 1 X A RB
N
RPj
X i Rij
i 1
j=1，2，…，M
此表示在第j种可能结果下组合P的收益 率，因此P的期望收益率为：
N
N
N
Rp E Rp
E
i1
X
i
Rij
i1
E
X i Rij
Xi Ri
i1
组合收益的方差
设证券组合只包含两种证券，由概率论知识可
知：
P2
X
12
2 1
X 22 22
第i种证券收益的方差定义为
M
2
2 i
Pij Rij R i
j 1
如果证券收益M种可能性发生的概率相
同，即Pij=
1 M
则有：
2 i
M j 1
Rij R i M
2
市场 状况
收益
ABCDE
好 15 16 1 16 16
平均 9 10 10 10 10 坏 3 4 19 4 4 均值 9 10 10 10 10 方差 24 24 54 24 24
2 P
X A2
2 A
(1
X
A
)
2
2 B
2X A (1
X A )
A B AB
（1）若设 AB 1 , 则有
RP X A R A 1 X A RB
P X A A 1 X A B
其中：0≤XA≤1 上面方程组的为共同参数，二方程均为
线性方程，若消去参数，可得、线性方
程如下： R P
平均值。
三 资产组合的风险分散原理
对每个证券组合而言，组成组合的单个
资产的风险
2 i
称为可分散化风险，也称
作非系统风险或个股风险，而 ik 则为不
可分散化风险，也称作系统风险或市场
风险。
表7.5所列数据显示了美国股票市场的实际情况，平均 方差和平均协方差从纽约股票交易所所有上市股票的 每月数据中采样。
概率
1/3 1/3 1/3
结局收益 （%）
10 10 4
概率
2/5 1/5 2/5
收益均值大小只表示某证券收益的期望 值。对两种证券比较优劣时，不能光凭 收益均值大小来决定，还要考虑各证券 的风险程度。而风险程度的大小我们用 收益率的标准差σ来衡量。收益率偏离均 值越厉害，也就是标准差越大，它表示 证券收益的变化越厉害，风险也越大。
分析家们提倡再补充一个偏斜度，主要是他们 相信投资者们将都会偏好于正偏斜度，若其它 条件不变，则可认为投资者们将更喜欢可能带 来较高收益的证券组合。
若偏斜度被接受，则我们在前面讨论的证券组 合“问题”就将在一个三维空间中表达出来。 这三个坐标轴分别为；均值、均方差、偏斜度。 而我们的有效边界也将被一个“有效边界曲面” 所代替。该有效边界曲面将是所有可行空间域 中具有最大均值，最小均方差和最大偏斜度的 部分所构成。
R B
RA
A
RB
B
B
R
A A
RB
B
P
（2）若设 AB 1 , 则有
R P X A R A 1 X A R B
2 P
X A A
1
X A B 2
由于上式中括号中的值可能为负数，故：
P X A A 1 X A B
或者 P X A A 1 X A B
沿用上例：
对证券投资者来说，仅知道某种证券期望收益尚不 足以对该证券有足够的把握，我们还必须知道收益 率的离散程度，即要知道各收益率偏离期望值的情 况。在表7.2中A、B两种投资结局的期望收益都为 10，但其离散程度不一样，显然个人选择时会感到 这两种投资方式是不同的。
表7.2 两种投资的收益分布
A
B
结局收益 （%）
X
* A
=2/3
下式决定：
N
NN
2 P
X
i2
2 i
X i X k ik
i 1
i1 k 1 k i
若该组合是等比例地投资在各证券上，即投资
在各种证券上的资本量相等，，则有：
Baidu Nhomakorabea
2 P
1 N
N
2 i
N
1
N
i1 N
N
i1
N k 1
ik
NN 1
1 N
2 i
N N
1
ik
k i
其中，是种证券方差之平均值，是种协方差的
证券数
组合方差
1
46.619
4
16.948
12
10.354
16
9.530
50
7.849
100
7.453
1000 无穷大
7.097 7.058
图7.1是显示分散化原理的图，采样自 美国股票市场实际情况。
100 （组
合 ）风
险
27
%
15
30
N 45证券数量
图7.1 组合风险与单个证券风险 的关系
四 偏斜度和证券组合分析
第七章 均值—方差证券资产 组合理论
第一节 资产组合的期望收益 与标准差
一 单个证券的期望收益率与方差
设某投资者所以可供选择的证券有N种， 对于任一种证券，其收益有M种可能性， 我们用Rij表示证券i在第j种可能性下的收 益，用Pij表示第i种证券的收益率出现第j 种可能性的概率。
M
第i种证券收益的期望收益为： Ri Rij Pij j 1
许多证券分析家建议，仅仅用证券收益分布的二 个特征值尚不足以准确地反映收益的随机变化性， 还必须再增加一个特征值“偏斜度”来作出补充。 所谓偏斜度是测量收益分布的非对称性情况的。 正态分布为对称分布，因此偏斜度为零，但正态 分布的自然对数函数就不是对称的
概 率
A
收益
图7.2 证券收益的自然对 数正态分布
标准 4.9 4.9 7.35 4.9 4.9 差
二 资产组合的期望收益率与方差
市场状 B
C
组合
况
（60%b
+40%c)
好
1.16 1.01 1.1
平均 1.1
1.1
1.1
坏
1.04 1.19 1.1
二 资产组合的期望收益率与方差
假设某投资者用N种证券组成了他的资产 组合，设该资产组合用P表示，投资在证 券i上的资本量占总投资的比例为Xi， （i=1,2,…,N）则有：
2X1 X 212
其中σ1、σ2分别为这两种证券的标准差，而σ12 为这两种证券的协方差。σ12符号不同，影响不 一样。协方差反映了该两证券收益变动之间的
联系，σ12>0表示两证券收益同方向变化， σ12<0表示两证券收益反方向文化，σ12=0表示 他们互相独立。
对于包含有N种证券的资产组合P，其方差由
第二节 有效资产组合曲线
一 不存在无风险借贷 1．不允许卖空 设定X1为投资在第i种证券上的资产价值 比例，在不存在无风险借贷且不允许卖
空的假设下显然有： N X i 1 i 1
且 上X相i≥当0，于因负为投“资卖。空”行为在经济意义
仍设有A、B两种证券，其中相关系数为 AB
RP X A R A X B RB X A R A 1 X A RB
N
RPj
X i Rij
i 1
j=1，2，…，M
此表示在第j种可能结果下组合P的收益 率，因此P的期望收益率为：
N
N
N
Rp E Rp
E
i1
X
i
Rij
i1
E
X i Rij
Xi Ri
i1
组合收益的方差
设证券组合只包含两种证券，由概率论知识可
知：
P2
X
12
2 1
X 22 22
第i种证券收益的方差定义为
M
2
2 i
Pij Rij R i
j 1
如果证券收益M种可能性发生的概率相
同，即Pij=
1 M
则有：
2 i
M j 1
Rij R i M
2
市场 状况
收益
ABCDE
好 15 16 1 16 16
平均 9 10 10 10 10 坏 3 4 19 4 4 均值 9 10 10 10 10 方差 24 24 54 24 24
2 P
X A2
2 A
(1
X
A
)
2
2 B
2X A (1
X A )
A B AB
（1）若设 AB 1 , 则有
RP X A R A 1 X A RB
P X A A 1 X A B
其中：0≤XA≤1 上面方程组的为共同参数，二方程均为
线性方程，若消去参数，可得、线性方
程如下： R P
平均值。
三 资产组合的风险分散原理
对每个证券组合而言，组成组合的单个
资产的风险
2 i
称为可分散化风险，也称
作非系统风险或个股风险，而 ik 则为不
可分散化风险，也称作系统风险或市场
风险。
表7.5所列数据显示了美国股票市场的实际情况，平均 方差和平均协方差从纽约股票交易所所有上市股票的 每月数据中采样。