小波变换及其应用_李世雄
小波变换及应用(图像识别)
基于小波分析的视觉检测技术研究
不同特征的字符识别效果比较
特征
Hu矩 小波系数表示的矩 Zernike矩
所用特征数
7 7 26
识别准确率
75.4％ 73.7％ 98.7％
26
小波矩 37
99.4％
100％
基于小波分析的视觉检测技术研究
相似汉字识别样本
基于小波分析的视觉检测技术研究
相似汉字的识别结果
旋转不变性小波矩
• Zernike矩中的径向多项式 {Rnm ( )} 是一 个定义在变量 全局范围内的函数，因 而其所提取的特征也是图像的全局特征； 如果我们能够定义一个在变量 局部范 围内的函数，则其所提取的特征也应是 图像的局部特征 。 • 小波分析是一种多分辨率分析。因此局 部函数可以取为小波函数
55 50 45 40 35 30 25 20 15 10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
小波矩特征 ◇：mip00002的特征； * ：mip000021的特征； + ：mip00003的特征； ○ ：mip000031的特征； △：mip00004的特征； □ ：mip000041的特征；
基于小波分析的视觉检测技术研究
旋转不变性小波矩的推导
母小波
( , ) g ( )e
1 2
j
( s ,s )( , ) ( , ) s1 g (s1 ( )) s2 e
js2 ( )
旋转后的信号
f ( , )
f ( , )
Wf 0 ((s1 , s2 ), ( , )) Wf 1 ((s1 , s2 ), ( , ))
小波变换及其应用
小波变换及其应用小波变换是一种数学工具，可以将时间或空间上的信号分解成不同频率的成分。
它广泛应用于信号处理、图像压缩、模式识别、金融分析等领域。
本文将介绍小波变换的基本原理、算法和应用。
一、基本原理小波变换采用一组基函数，称为小波基。
小波基是一组具有局部化和可逆性质的基函数。
它们具有一个中心频率和一定的时间或空间长度，可以表示不同频率范围内的信号。
小波基函数可以表示为：y(t) = A * ψ(t - τ)/s其中，y(t)是信号的值，A是尺度系数，ψ是小波基函数，τ是位移参数，s是伸缩系数。
通过改变A、τ、s的值，可以得到不同频率、不同尺度的小波基。
小波变换的基本思想是将信号分解成不同频率的小波基函数，在不同尺度上进行分解，得到信号的多尺度表示。
具体来说，小波变换包括两个步骤：分解和重构。
分解：将信号按照不同频率和尺度进行分解，得到信号的局部频谱信息。
分解通常采用多层小波分解，每一层分解都包括高频和低频分量的计算。
重构：将小波分解得到的频域信息反变换回时域信号，得到信号的多尺度表示。
重构也采用多层逆小波变换，从小尺度到大尺度逐层反变换。
二、算法小波变换的算法有多种，包括离散小波变换（DWT）、连续小波变换（CWT）和快速小波变换（FWT）等。
其中离散小波变换最常用，具有计算速度快、计算量小、精度高等优点。
下面简要介绍DWT算法。
离散小波变换是通过滤镜组将信号进行分解和重构的过程。
分解使用高通和低通滤波器，分别提取信号的高频和低频成分。
重构使用逆滤波器，恢复信号的多尺度表示。
DWT的算法流程如下：1. 对信号进行滤波和下采样，得到低频和高频分量；2. 将低频分量进一步分解，得到更低频和高频分量；3. 重复步骤1和2，直到达到最大分解层数；4. 逆小波变换，将多尺度分解得到的信号重构回原始信号。
三、应用小波变换在信号和图像处理中有广泛应用。
其中最常见的应用是压缩算法，如JPEG2000和MPEG-4等。
小波变换
小波变换(WT)一、小波变换的原理小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
小波变换继承和发展了Garbor 变换的局部化思想它除了窗口大小随频率增高而缩小 以外还存在着离散的正交基等优良的性质小波的原始概念最早是法国的地质学家J.Mrolet 和AGrossman 在70年代分析处理地质数据时引进的（1）。
与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。
有人把小波变换称为“数学显微镜”。
小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。
二、小波变换的定义及方法（2）(3)(1) 基本思想小波变换的基本思想是：非均匀地划分时间轴和频率轴，通常对高频成分分析时采用相对短的时间窗，对低频成分分析时采用相对长的时间窗。
这样就可以在服从式(1)的Heisenberg 不等式前提下，在不同的时频区都能获得比较实用的时间和频率分辨率。
…………….（1） △ t 时间分辨率△f 频率分辨(2)定义小波变换是对一个信号与某个核函数的修正形式乘积的一种积分运算，这个核函数称为小波(小波基)。
用作小波基的函数，它必须是可允许的，即满足 (2)其中()h ω∧是()h t 的傅里叶变换，则()h t 叫做允许小波(AdmissibleWavelet)，而式(2) 称为允许条件(AdmissibleCondition)。
信号x(t)的连续小波变换定义为 (3)这里的a 称为尺度因子，其定义如下 (4)其中，f是带通滤波器h(t)的中心频率，而f认为是信号x(t)中要分析的频率，与h(t)无关。
小波分析课程简介
《小波分析》课程简介06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生内容简介：小波变换是80年代后期发展起来的新的数学分支，在函数论、微分方程、信号分析与传输、图象处理方面有着重要的应用。
本课程作为小波分析理论的入门课程，主要介绍了小波变换，包括离散小波变换和连续小波变换理论，同时介绍了Gabor变换及测不准原理。
本课程还介绍了Mallat的迭代算法，Daubechies 的紧支集正交小波构造理论及小波包理论。
最后介绍了小波用于刻画函数空间及在微分方程中的应用。
选用教材或参考书：《小波变换及其应用》，李世雄，高等教育出版社，1997年《小波与算子》，Y. 迈耶著，尤众译，世界图书出版公司，1992年《小波分析》教学大纲06191120小波分析3Wavelet Analysis Theory 3-0预修要求：微积分，实变函数，泛函分析，复变函数面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：让学生掌握小波分析基本知识，了解小波分析的工程背景及与数学其他分支的联系；培养与开拓他们的视野。
二、主要内容及学时分配：1. 绪论 2学时小波分析基本概念、课程内容、组织与安排；2.Fourier 级数与 Fourier积分的基本概念、窗口Fourier变换、Gabor变换、连续小波变换 6学时温习Fourier 级数与 Fourier积分的基本性质；掌握窗口Fourier变换；掌握连续小波变换的内容。
课后练习：连续小波变换的性质，重构公式。
3. 离散的小波变换与正交小波 8学时：学习多尺度分析的概念；掌握Riesz基的概念；掌握函数稳定性的概念。
课后练习：找正交小波的例子。
4.紧支集正交小波的构造 6学时：了解Riesz引理；函数光滑性刻画。
课后练习：紧支集正交小波的构造关键技术。
5. 小波的光滑性6学时：刻画细分函数的光滑性；了解I.Daubechies正交小波。
图像处理中的小波变换算法及应用
图像处理中的小波变换算法及应用随着计算机技术的不断进步和发展，图像处理技术也得到了极大地提升和拓展。
小波变换作为一种新颖、实用的信号分析方法，已经广泛地应用于各种领域，特别是在图像处理领域中更是如此。
本文将介绍小波变换算法的基本概念、原理和应用。
一、小波变换算法的基本概念小波变换（Wavelet Transform）是一种基于时间-频率分析的数学工具，起源于哈尔小波，它可以将时间和频率分隔开来，可以生成比傅里叶变换更加精细的图像，更加精确地反映了信号的时间和频率信息。
小波分析的关键是选用不同的小波基函数（Wavelet Function）。
小波基函数是一个数学函数，通过不同的小波基函数的组合可以快速地对信号进行分解和重构。
小波基函数通常有多种不同的类型，如海涅小波、Daubechies小波、Symmlet小波等，每个类型又包含了不同的级别，即小波基函数的阶数，用于调整小波分析的分辨率和精度。
二、小波变换算法的原理小波变换算法包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）两种类型。
离散小波变换是对离散信号进行分析的，而连续小波变换则是用于连续信号分析。
在这里，我们主要介绍离散小波变换算法。
离散小波变换将原始信号分解成一组小波基函数的线性组合，每个小波基函数对应一个不同的频率，这样可以对信号进行不同尺度的分析。
小波分解的过程可以采用多层分解的方式，每一层分解后得到的是一个低频分量和一个高频分量，然后将低频分量再进行分解，直到分解到指定的层数为止。
连续小波变换通过将信号与窗口函数进行卷积得到小波系数，进而得到频谱。
它的计算方式与傅里叶变换类似，但连续小波变换可以同时提供时间和频率信息，更加适合于非平稳信号的分析。
三、小波变换算法的应用小波变换算法在图像处理中的应用非常广泛，例如：1. 压缩。
小波变换可以将信号分解为不同的频率分量，可以通过选择保留重要的分量来达到压缩的效果。
小波变换的压缩效果比傅里叶变换更加优秀，同时也可以将信号进行逐步近似，得到不同精度的压缩结果。
Hilbert_Huang变换与地震信号的时频分析
Hilbert_Huang变换与地震信号的时频分析[⽂章编号]100124683(2005)022207209[收稿⽇期]2004206208;[修定⽇期]2005203230。
[项⽬类别]北京市⾃然科学基⾦项⽬(8041001)、地震科学联合基⾦项⽬(604022)、中国地震局三结合项⽬。
[第⼀作者简介]武安绪,男,⽣于1967年,副研究员,研究⽅向为地震预报、地震波形处理与应⽤。
Hilbert 2Huang 变换与地震信号的时频分析武安绪1),2) 吴培稚1) 兰从欣1) 徐 平1),3) 林向东1)1)北京市地震局,北京市苏州街28号 1000802)中国地震局地球物理研究所,北京 1000813)中国科学院地质与地球物理研究所,北京 100029摘要 本⽂介绍了HHT 时频分析⽅法及瞬时频率的概念,给出了已知信号的经验模态分解及其时频分布,并对实际地震波形信号进⾏了HHT 时频处理与剖析。
结果表明,HHT ⽅法能准确描述地震波形信号的⾮线性时变特征,是地震信号时频分析的有效⼯具。
关键词: H ilbert 2H u ang 变换 瞬时频率 地震波形 时频分析[中图分类号]P315 [⽂献标识码]A0 引⾔随着数字化地震台⽹的不断建设,采⽤新⽅法对⾼精度、⾼采样率地震数据的分析研究具有重要的现实意义(吴书贵等,2003)。
地震波形是具有时变特性(或称⾮稳态性质)的典型信号(沈萍等,1999;刘希强等,2000),对于这类信号,不仅需要从总体上了解它的频率成分,⽽且还需要了解每⼀时刻信号中所包含的频率成分。
⽬前对地震信号进⾏分析的主要⼯具是傅⾥叶变换(胡⼴书,1997;郑治真,1998)、现代谱估计(皇甫堪等,2003)、G abor 变换(郑治真等,1996;科恩,1988)、Wigner 2Ville 分布(沈萍等,1999;科恩,1988;郑治真等,1993)、⼩波变换(刘希强等,2000;章珂等,1996;李宪优等,1999;Mallat ,1989;Daubechies ,1988;C oifman ,1990)等。
小波变换及其应用_续三_李世雄
现代数学讲座小波变换及其应用(续三)李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039)两维正交小波基 在许多实际问题中,经常会遇到多维的信号(如图像等),因此只有一维小波基是不够的。
不难证明(见[1])若 (t )与 (t )是小波标准正交基的尺度函数与母函数, j m (x )=2j 2 (2j x -m ), jm (x )=2j 2 (2j x -m ),则{ j n (x ) j m (y ), jn (x )jm (y ), j n (x ) jm (y )}j ,m ,n z 构成两维平方可积函数空间(即满足∫∞-∞∫∞-∞ f (x ,y ) 2d x d y <∞的全体函数所构成的线性空间)的一组标准正交基(见图12(a )(b ))图12(六)离散小波变换的应用举例(1)消除信号中的噪音信号在生成和传输过程不可避免地会混入各种噪音。
在混有噪音的信号中如何消除噪音求得真实的信号,是信号加工处理的一项重要任务。
含噪音的信号f (t )可表示成如下的形式。
f (t )=s (t )+n (t )这里s (t )是真实信号,n (t )为噪声。
当s (t )主要是由低频成份组成的平稳的信号,而噪声n (t )则主要由高频组成时,利用傅里叶变换在频率域上可将信号与噪音基本分开而达到去噪的目的。
但当信号包含突变部份时(如图13(a ),t =t 1,t 2处),其频谱必然包含高频成份,因而在频率域上就难以发挥作用。
但小波变换由于它在时间域与频率域上均有局部性,因此它可同时在时、频域中对信号进行分析处理,从而有效地区分信号中的突变部份和噪音(见图13d ).(2)图像数据压缩一张图像经模数转换离散化以后的数据量是非常巨大的。
以黑白图像为例,首先要将它分解成由小正方形构成的像素。
为了使图像具有较清晰的分辨率,一张图片需分成像素的个数应为105-106的数量级,而每一个像素的灰度根据人眼的分辨能力,通常分为102个等级,若采用二进制102≈27,因此每一像素需用一个7位二进制数来表示其灰度,所以一张黑白图片离散化后的数据量为7×105～7×106。
小波变换及其在信号处理中的应用
小波变换及其在信号处理中的应用在现代信号处理领域，小波变换是一种广泛应用的数学工具。
小波变换是一种时频分析方法，可以在时域和频域之间进行转换，并在分析许多信号处理问题方面显示出显着优越性。
本文将介绍小波变换的原理以及其在信号处理中的应用。
一、小波变换的原理小波变换由一系列的计算组成，通过在时间和频率上缩放(op)和平移(shifting)一个小波函数，来表示一个信号。
小波函数可以描述各种复杂信号，包括单调、渐变、突变等等。
这些小波函数是母小波，其次级小波位于不同的时间和频率处。
当一个信号通过小波变换时，小波函数与信号进行卷积，从而产生一组小波系数。
这些小波系数可以表示信号在不同时间和频率上的变化。
二、小波变换的应用小波变换的广泛应用是因为其能解决许多问题。
以下是小波变换的几个应用。
1. 图像压缩。
小波变换通常用于图像压缩，因为小波系数对图像中的高频噪声进行了优化，并消除了冗余数据。
这种方式的图像压缩使得信息能够被更好地存储和传输。
2. 声音处理。
小波变换对于消除音频信号中的杂波和干扰非常有效。
通过小波分析，可以感知音频信号的本质，使得信号更清晰，更易被识别和理解。
3. 生物医学工程。
小波变换可以辅助医学工程师分析大量数据以确保更佳的医学模型。
例如，心电图通常用于监测心率，并且小波变换可以用于去除来自主动肌肉或其他噪音源的信号噪声。
4. 金融分析。
小波分析也在金融分析中广为应用，经常用于首次预测未来的信号行为及其趋势。
小波变换不仅在以上几个领域中应用广泛，而且在各种信号处理领域中都可以被广泛应用，是一个非常有用的工具。
三、总结小波变换是一种强大的数学工具，它可以在信号处理和其他领域中提供有价值的信息来源。
小波变换的优越性表现在将复杂信号分解成多个不同的频率成分上。
通过小波分析，可以在不同时间和频率上分析信号，从而更加深入地理解和处理。
小波变换在图像压缩、声音处理、生物医学工程和金融分析等领域都有广泛的应用，显然，这一工具未来将更加广泛应用。
小波变换在数字图像处理中的应用
小波变换在数字图像处理中的应用王剑平;张捷【摘要】小波变换在数字图像处理中的应用是小波变换典型的应用之一.由信号分析中傅里叶变换的不足引出小波变换,然后简单介绍了小波变换的定义和种类,分析了小波变换的性质和Mallat算法,总结了小波变换在数字图像处理中的四种应用:基于小波变换的图像压缩、图像去噪、图像增强和图像融合,分析了四种应用的过程及特点,同时进行了相应的Matlab试验与仿真.试验结果表明,小波变换在数字图像处理中的应用切实可行、简单方便、效果好、有很强的实用价值,有较好的应用前景.%The application of wavelet transform in digital image processing is one of the typical applications of wavelet transform.The wavelet transform is introduced for the lack of Fourier transform in the signal analysis, the definition and types of the wavelet transform are proposed briefly, and its properties and Mallat algorithm are analyzed.Four kinds of applications of wavelet transform in digital image processing are summarized(image compression, image denoising, image enhancement and image fusion based on wavelet transform) , the processes and characteristics of this four kinds of applications are analyzed , meanwhile the corresponding Matlab experiment and simulation are made.Experimental results show that it is practical, simple, convenient and effective, and has a strong practical value and a good application prospects for the wavelet transform in digital image processing.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2011(034)001【总页数】4页(P91-94)【关键词】小波变换;马拉特算法;图像处理;Matlab【作者】王剑平;张捷【作者单位】西北工业大学电子信息学院,陕西西安,710129;中国人民解放军95037部队,湖北武汉430060;西北工业大学电子信息学院,陕西西安,710129【正文语种】中文【中图分类】TN911-340 引言在经典的信号分析理论中，傅里叶理论是应用最广泛、效果最好的一种分析手段。
小波变换基本原理及应用
小波变换基本原理及应用
小波变换是一种数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号。
它的基本原理是通过将信号与一组特定的小波函数进行卷积运算，从而得到信号的频域表示。
小波变换具有多尺度分析的特点，可以从不同的时间和频率尺度上分析信号的特征。
小波变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波变换被广泛应用于信号压缩、滤波、去噪和特征提取等方面。
由于小波变换能够提供更准确的时频分析结果，相比于传统的傅里叶变换具有更好的局部性和时频局部化特性，因此在时频分析领域也得到了广泛的应用。
在图像处理中，小波变换可以用于图像的压缩和去噪。
小波变换可以将图像分解为不同尺度和方向的小波系数，通过丢弃一部分系数可以实现图像的压缩。
同时，小波变换还可以通过去除高频小波系数来实现图像的去噪，从而提高图像的质量。
小波变换还可以应用于金融分析领域。
在金融时间序列分析中，小波变换可以用于提取金融数据中的周期性和趋势性信息。
通过对金融数据进行小波变换，可以将数据分解为不同尺度的波动成分，从而更好地分析和预测金融市场的走势。
小波变换还在语音和图像识别、地震信号处理、生物医学信号处理等领域得到了广泛的应用。
小波变换的多尺度分析特性使其能够更好地适应不同信号的特点，从而提供更准确和有效的分析结果。
小波变换是一种强大的数学工具，具有广泛的应用前景。
它可以在时域和频域上对信号进行分析，从而提取信号的特征和信息。
通过合理地选择小波函数和尺度，可以实现对不同信号的定性和定量分析。
小波变换的应用领域包括信号处理、图像处理、金融分析等，为这些领域提供了一种有效的工具和方法。
小波变换及其应用
小波变换及其应用随着现代科技的发展，数据的处理越来越成为一种重要的技术。
在数据的分析和处理过程中，小波变换作为一种有利的处理工具，正在越来越被广泛应用。
本文将从小波变换的基础知识、小波变换应用的实际例子、小波变换的未来发展三个方面来探讨小波变换的相关知识。
小波变换的基础知识小波变换的概念最早由英国数学家Alfred Haar引入，可以将其视为一种信号分解和分析的方法，通常可以将一种复杂的信号分解为许多相互独立的低频和高频分量，以达到更好的数据处理效果。
一般来说，小波变换可以通过对输入信号做高通和低通滤波器，然后进行下采样得到。
在高通滤波后，可以提取出信号中高频分量，并在低通滤波后提取出信号中的低频分量。
小波变换常用于图像处理和信号处理，其最大的优势在于其网格互补性，即，在一定程度上不失去信号的原始数据，依旧可以对其信号性质进行深入的分析。
小波变换应用的实际例子小波变换的应用非常广泛，下面举几个实际的例子。
1.图像压缩：图像在数字化过程中，会产生大量的数据。
通过小波变换将图像分解成不同频率的小波，可以进一步将其压缩，达到更好的数据处理和储存效果。
2.音频处理：通过小波变换可以将音频信号分解成波形的高频和低频分量，提供更好的音频信号处理效果。
3.金融分析：小波变换在金融分析中也有广泛的应用，通过对股票价格波动的分析，可以预测未来的股票价格波动趋势。
小波变换的未来发展小波变换技术在未来的发展中，有可能更加深入的将其应用到现实生活的各个方面。
目前，小波变换被广泛应用于数据的压缩、处理和分离。
但是，在未来，小波变换有可能会将更进一步，应用到物联网、机器学习、人工智能等领域上，成为重要的基础技术之一。
总之，小波变换这项技术可以分析和处理不同性质的信号，充分利用信号中的频率信息，达到更加高效和准确的数据处理和信号分离效果。
虽然小波变换在某些情况下有些限制，但其在实际应用中的效果已经足够显著，未来它的应用范围将更加广泛，至于小波变换的发展是什么样的，需要我们拭目以待。
关于小波分析的几本经典书的推荐
关于小波分析的几本经典书的推荐小波分析在现代信号分析中的应用越来越广泛国内所出书有限，推荐几本如下1 信号处理的小波导引法mallat著机械工业出版社中译本从图书馆借出来后一直想看一看，但是本人认为本书属于小波应用之集大成者，经典之作。
但是由于太深奥，不适合初学者阅读。
2 Ten lectures on wavelets Daubechies 据说特别经典，没有见到过3小波分析导论(美)崔锦泰著西安交通大学出版社中译本市面上见到最多的小波理论书籍4小波变换及其应用李世雄编高等教育出版社应该说是对入门者最有用的一本书，特别薄，但对重要定理的推导很详细由老师重点推介。
5小波变换及其在分析化学中的应用赵凯，王宗花编著地质出版社虽然书名有“分析化学”，但重点不在上面。
作为入门与上一本一起参考应该很好由老师重点推介。
6小波变换及其MA TLAB工具的应用没有理论推导，只是列出公式对MA TLAB工具箱的讲解很好。
Wavelet transform domain filters:A spatially selective noise filtration technique1、刘镇清,黄瑞菊.小波变换及其应用. [J].无损检测, 2001(4)2、XU Y.WEA VER JB.HEALYDM. eta.lWavelet transform domain filters:A spatially selective noise filtration technique[J]. IEEE Transactions onImage Processing, 1994, 3(6): 747-758.3、《IEEE Transaction on Information Theory》1992年3月号专门出了一期小波分析及其应用的专刊，从中可对小波分析应用的现状有个较全面的认识.4、胡昌华,李国华,刘涛,等.基于MA TLAB 6.X的系统分析与设计-小波分析[M].西安:西安电子科技大学出版社,20025、孙延奎.小波分析及其应用[M].北京:机械工业出版社，2005.。
小波分析及其应用
采取的教学方法和教学手段包括：
1、课堂讲授在强化基本概念、基本方法的基础上，注重将实际问题引入数学的学习中，强调数学概念的几何感知、抽象方法的几何意义，同时辅以其他学科中的实际问题凸显数学概念、数学思想和方法的作用；
2、分组研讨班则以数学问题中总结和提升为主，强调从不同角度看待同一问题，从不同方式延伸和推广数学的思想和方法；
1)小波级数
2)离散小波变换和小波系数
3) (*)Mallat算法
4)(*)Mallat算法的数值实现(矩阵实现和卷积实现方法)
4小波算法的应用（18学时）
介绍小波分析方法在信号和图像处理以及其它领域中的应用，让学生具备用小波分析的方法解决某些实际问题的能力。
1)(*)小波阈值去噪
2)(*)基于小波的图像去噪方法
前修课程、能力和知识结构要求：
明确学生学习本门课程的先修课程，主要能力和知识结构。
前修课程包括数值分析、实变函数、复变函数、泛函分析；在学习本课程前，学生应该具备良好的数学分析功底，尤其是函数项级数的各种性质有很好的的掌握，同时对于实变函数中的测度理论有一定的了解，并对于泛函分析中的基本概念（稠密、完备性、紧性）等概念有很好的掌握，并对其中重要且相对容易的基本空间（p平方可以函数空间等）的性质有一定的掌握。
4)(*)Fourier级数与Fourier变换
2．多分辨分析（10学时）
引入多分辨分析的概念，从多分辨分析的角度理解小波分析的思想。
1)(*)多分辨分析
2) 从多分辨分析构造小波
3．小波级数、Mallat算法、小波变换（14学时）
引入小波级数的定义，给出离散小波变换和连续小波变换的概念，以及Mallat算法，并介绍Mallat算法的两种数值实现方法：矩阵实现和卷积实现方法，为后面的小波在工程中的应用奠定基础。
小波变换及其应用_李世雄
现代数学讲座小波变换及其应用李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039)科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。
在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。
长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。
但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。
小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。
本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。
小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。
(一)从傅里叶变换谈起数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。
而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞<t <∞)变为另一个函数f ( )(-∞< <∞):FT :f (t )→f ( )=∫∞-∞f (t )e -i t dt (1.1)当f (t )满足适当条件时,它有逆变换(FT -1):FT -1:f ( )→f (t )=12 ∫∞-∞f ( )e i t d(1.2)我们常将函数f (t )看作信号,所以在本文中将函数与信号看作同义词而不加以区别,且总假定f (t )是平方可积或能量有限的,即∫∞-∞ f (t ) 2dt <∞。
今后,我们亦称f ( )为f (t )的频谱。
傅里叶变换有两条非常重要的性质:(1)它将对函数f (t )的求导运算转化为对其傅里叶变换f ( )的乘法运算:FT :d dtf (t )→i f ( )。
小波变换及其应用研究
小波变换及其应用研究目录：一、小波变换的概述及背景二、小波变换的基本理论三、小波变换的应用领域1. 信号处理领域2. 图像处理领域3. 音频处理领域4. 视频处理领域四、小波变换技术的发展现状及趋势五、小波变换技术存在的问题及解决方案六、结论一、小波变换的概述及背景小波变换是一种信号分析方法，在20世纪80年代由美国数学家Ingrid Daubechies等人提出。
它是基于多尺度分析理论发展起来的一种数字信号处理技术。
与传统的傅里叶分析方法不同，小波变换可以将信号分解成不同频段和时间段的小波基函数，从而能够精细地描述信号的局部特征。
由于小波变换具有多尺度、局部性、压缩性等优点，已被广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理等领域，并取得了诸多重要应用成果。
二、小波变换的基本理论小波变换是一种分解和重构的过程，分为两个阶段：分解和重构。
在分解阶段，通过一些特定的小波变换，将原始信号分解成不同尺度、不同频段的小波系数。
在重构阶段，通过逆小波变换，从多尺度小波系数中恢复原始信号。
小波变换的基本理论包括小波基函数和小波分解方法。
小波基函数是小波变换的基本操作单元，是由局部性和多尺度性两个方面组成的。
小波分解方法是将一个信号分解成一组小波子带，即一组低频信号和一组高频信号。
小波变换与傅里叶变换的最大区别在于它们的基函数不同。
傅里叶变换使用正弦和余弦基函数，而小波变换使用一组局部化的小波基函数。
这些小波基函数可以是正交的或非正交的。
三、小波变换的应用领域小波变换技术具有多尺度分析、非线性和压缩性等特点，广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理等领域。
以下是小波变换在不同应用领域的应用举例：1. 信号处理领域小波变换可以用于信号去噪、信号压缩、信号辨识等方面。
在去噪方面，小波变换可以将信号分解成频带，从而能够选择性地去除噪声。
在压缩方面，小波变换可以将信号分解成不同尺度、不同频段的小波系数，从而在保留信号本质特征的同时实现信号数据的压缩。
小波变换及其在信号处理中的应用
小波变换及其在信号处理中的应用引言：信号处理是一门重要的学科，广泛应用于多个领域，如通信、图像处理、声音处理等。
而小波变换作为一种非常有效的信号分析工具，可以在不同领域中发挥重要的作用。
本文将介绍小波变换的基本概念及其在信号处理中的应用。
一、小波分析的基本概念小波分析是一种时频分析方法，可以将信号表示为不同尺度和位置的小波函数的线性组合。
通过小波变换，我们可以得到信号的时域和频域特征，进而进行信号分析和处理。
二、小波变换的数学原理小波变换的数学原理基于信号与一组小波函数的内积计算。
这组小波函数通常是由一个基础小波函数通过尺度变化和平移操作得到的。
小波函数具有时域和频域的局部化特性，使得它可以有效地表示信号的瞬时特征和频率特征。
三、小波变换的优势与传统的傅里叶变换相比，小波变换具有以下几个优势：1. 时域和频域的局部性：小波变换可以更好地捕捉信号的瞬时特征和频率特征，使得对非平稳信号进行分析更加准确。
2. 高效性：小波变换可以通过有限个小波函数的线性组合对信号进行表示，减少了计算量和存储空间。
3. 多分辨率分析：小波变换可以对信号进行多尺度分析，从而提取不同频率段的信息，对于信号的细节和整体特征都能够做出较好的描述。
四、小波变换在信号处理中的应用1. 信号去噪：由于小波变换具有时域和频域的局部性，因此可以将信号分解为不同尺度的小波系数，对高频小波系数进行阈值处理从而去除噪声，再通过逆小波变换将信号恢复。
2. 信号压缩：小波变换可以将信号的冗余信息在小波域内稀疏表示，通过保留较少的小波系数即可实现对信号的压缩。
3. 信号特征提取：小波变换可以将信号分解为不同频率段的小波系数，根据不同频率段的系数幅值和相位信息，可以提取出信号的特征信息，对于模式识别和信号分析具有重要意义。
4. 语音和图像处理：小波变换在语音和图像处理中也得到广泛应用，如语音识别、图像压缩、图像分割等领域，都离不开小波变换的技术支持。
小波变换在生物学信号分析中的应用指南
小波变换在生物学信号分析中的应用指南引言：生物学信号是指生物体内产生的各种电信号、声音信号、光信号等，这些信号蕴含着生物体的生理活动信息。
然而，由于生物信号的复杂性和多样性，如何准确地分析和理解这些信号一直是生物学研究的难点之一。
小波变换作为一种有效的信号处理方法，近年来在生物学信号分析中得到了广泛应用。
本文将介绍小波变换的基本原理及其在生物学信号分析中的应用指南。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解为不同频率和时间分辨率的小波基函数。
与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时域和频域分辨率，能够更准确地描述信号的瞬时特性。
小波变换的基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 选择合适的小波基函数：小波基函数具有局部性和可调节性，可以根据信号的特点选择不同的小波基函数。
常用的小波基函数有Morlet小波、Daubechies小波等。
2. 进行小波分解：将待分析的信号与选定的小波基函数进行卷积运算，得到小波系数序列。
小波系数表示了信号在不同频率和时间尺度上的能量分布。
3. 小波系数的重构：通过逆小波变换，将小波系数重构为原始信号。
二、小波变换在生物学信号分析中的应用指南小波变换在生物学信号分析中具有广泛的应用价值，下面将从不同的生物学信号类型出发，介绍小波变换的具体应用指南。
1. 生物电信号分析生物电信号是指生物体内的电活动所产生的信号，如心电图（ECG）、脑电图（EEG）等。
小波变换可以用于对生物电信号进行特征提取和事件检测。
通过对生物电信号进行小波分解，可以得到不同频率和时间尺度上的能量分布，进而提取出信号的特征参数，如R波峰的幅值、频率等。
此外，小波变换还可以用于检测生物电信号中的异常事件，如心律失常等。
2. 生物声音信号分析生物声音信号是指生物体内产生的声音信号，如心音、呼吸音等。
小波变换可以用于对生物声音信号进行频谱分析和声音特征提取。
通过对生物声音信号进行小波分解，可以得到不同频率和时间尺度上的能量分布，进而提取出声音的频谱特征。
小波变换在生物特征识别中的应用及其实例
小波变换在生物特征识别中的应用及其实例1. 引言生物特征识别是一种通过分析和识别个体的生理或行为特征来进行身份认证的技术。
在过去的几十年里，随着生物特征识别技术的不断发展，人们对于个体身份认证的需求也越来越高。
而小波变换作为一种有效的信号处理方法，已经在生物特征识别中得到了广泛的应用。
2. 小波变换的基本原理小波变换是一种时频分析方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，并且可以根据需要进行不同程度的细节分析。
小波变换的基本原理是将信号与一组小波基函数进行卷积运算，通过对卷积结果进行不同尺度的平移和缩放，得到信号在不同频率和时间上的分解。
3. 生物特征识别中的应用3.1 指纹识别指纹是每个人独一无二的生物特征，因此被广泛应用于个体身份认证。
小波变换可以对指纹图像进行分解，提取出不同频率的细节信息，从而实现对指纹的特征提取和匹配。
3.2 声纹识别声纹是个体通过声音所表达出的生物特征，具有唯一性和稳定性。
小波变换可以对声音信号进行时频分析，提取出声纹的频率和时域特征，从而实现对声纹的识别和辨别。
3.3 人脸识别人脸是个体最直观的生物特征之一，具有广泛的应用前景。
小波变换可以对人脸图像进行分解，提取出不同频率的细节信息，从而实现对人脸的特征提取和匹配。
4. 小波变换在生物特征识别中的实例4.1 指纹识别实例研究人员通过对指纹图像进行小波变换，提取出不同频率的细节信息，并将其转化为特征向量。
通过比对特征向量，可以实现对指纹的识别和辨别，从而实现个体身份认证。
4.2 声纹识别实例研究人员通过对声音信号进行小波变换，提取出声纹的频率和时域特征，并将其转化为特征向量。
通过比对特征向量，可以实现对声纹的识别和辨别，从而实现个体身份认证。
4.3 人脸识别实例研究人员通过对人脸图像进行小波变换，提取出不同频率的细节信息，并将其转化为特征向量。
通过比对特征向量，可以实现对人脸的识别和辨别，从而实现个体身份认证。
5. 结论小波变换作为一种有效的信号处理方法，在生物特征识别中具有广泛的应用前景。
小波变换及其应用_续一_李世雄
高等数学研究 2002 年 6 月 38
( a ) ( c)
( b) W f ( a , b) 的灰度图 图7
而利用傅里叶变换得到的结果 ( 图 7c) 仅知 f ( ) 主要由两尖峰构成 ( 分别对应于 sin50t 和 sin 100 t) , 而对频率在何时发生突变则没有提供任何信息。 例 2 f ( t ) = cos [ ( 50+ 25sin5t ) 及其应用( 续一)
李世雄 ( 安徽大学数学系, 合肥, 230039)
下面我们通过一个典型的例子来说明小波 例 1 设 ( t) = 1 e 2
t2 - 2 ab
( t) 的频谱特征与参数 a 的关系。
,令 ( t) = d2 2 ( t) = dt 1 2 (1 - t )e 2
1 ( t ) , 及 a0( ) = a ( a ) 图形变化的情况。 a a 值得注意的是, 当 a 变小时, a0( t ) 的频谱 a0( ) 在向高频部分转移时其宽度也相应增加。 因 此 , 小波变换虽然有频率愈高( a 愈小) 其相应的时间( 或空间 ) 分辨率愈高 ( 即 a0 ( t) 的宽度随 a 的减小而减小 ) 的优点。 但其在频率域上的分辨率却相应降低 , 这是小波的弱点, 使它只能部分而不 是完全克服傅里叶变换的局限性。 与傅里叶变换、 Gabor 变换类似, 连续小波变换也有反演公式: 令 则在 f ( t) 的连续点 , 有 f ( t ) =
中国科学院院士 : 田刚、 李邦河、 郭柏灵( 数理学部) 、 郭雷 ( 技术科学部) 中国工程院院士 : 刘源张. 此前, 1995 年当选院士的有 : 许国志、 崔俊芝
可参见《 高等数学研究》 ( 1999( 4) , 11)
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现代数学讲座
小波变换及其应用
李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039)
科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。
在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。
长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。
但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。
小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。
本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。
小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。
(一)从傅里叶变换谈起
数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。
而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞<t <∞)变为另一个函数f ( )(-∞< <∞):
FT :f (t )→f ( )=
∫∞-∞f (t )e -i t dt (1.1)当f (t )满足适当条件时,它有逆变换(FT -1):
FT -1:f ( )→f (t )=12 ∫∞-∞f ( )e i t d
(1.2)
我们常将函数f (t )看作信号,所以在本文中将函数与信号看作同义词而不加以区别,且总假
定f (t )是平方可积或能量有限的,即
∫∞
-∞ f (t ) 2
dt <∞。
今后,我们亦称f ( )为f (t )的频谱。
傅里叶变换有两条非常重要的性质:(1)它将对函数f (t )的求导运算转化为对其傅里叶变换f ( )的乘
法运算:FT :d dt
f (t )→i f ( )。
(2)它将两个函数f (t )与
g (t )的卷积运算转化为乘法运算:FT :∫∞-∞f (u )g (t -u )du →f ( )g ( )。
而很大一类信号分析与处理系统可以利用(或近似地用)线性常
系数微分算子或卷积算子来描写其输入与输出之间的关系。
对这类系统研究输入输出信号的频谱之间的关系要比直接研究信号本身要简单方便得多。
这就是所谓在频率域上考虑问题或频谱分析的方法。
长期以来,这方面已发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。
但由傅里叶变换的定义(1.1)可见,f ( )取决于f (t )在实轴(-∞,∞)上的整体性质,因此它不能反映出信号在局部时间范围中的特征。
而在许多实际问题中,我们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征。
例如,在音乐和语言信号中,人们关心的是什么时刻奏什么音符,发出什么样的音节。
对雷43Vo l.5,N o.1M ar.,2002 高等数学研究
S TUDIES IN C OLL EGE M ATHEM ATICS 收稿日期:2001-01-02
达和地震信号人们关心的是在什么位置出现什么样的反射波,这正是傅里叶变换或频谱分析难以奏效的弱点。
(二)“窗口傅里叶变换”或Gabor 变换
针对傅里叶变换的这一弱点,在40年代法国学者D.Gabor 提出了“窗口傅里叶变换”的概念。
为了研究一个函数f (t )在一个长度为2 的区间上的性质,可以先引进一个光滑的函数g (t ),称为窗口函数,它在区间(- + , - )上恒等于1,而在区间( - , + )及(- - , + )上光滑地由1变换为0(这里 是一个适当小的正数)。
见图1(a)。
图1
用函数g (t - )(见图1(b))乘f (t ),相当于以t = 为中心开了一个宽度为2 的窗口。
(当然,这样截下的一段f (t )g (t - )与f (t )在区间( - , + )上的值相比在t = - 及 + 附近会有一些变形)(见图2(a)(b))。
图2
称G f ( , )=∫∞
-∞
f (t )
g (t - )e -i t d t (2.1)为函数f (t )关于窗口函数g (t )的“窗口”傅里叶变换或Gabor 变换。
由上面的定义可见,f (t )的Gabor 变换G f ( , )反映了信号f (t )在t = 附近的频谱特征,而且由于有反演公式:f (t )=12 ∫∞-∞d ∫∞-∞e i t g (t - )G f ( , )d (2.2)
可见G f ( , )(-∞< <∞,-∞< <∞)确实包括了f (t )的全部信息。
而且Gabor 变换的窗口位置随 而变(平移),符合研究信号不同位置局部性质的要求。
这是它比傅里叶变换优越之处,因此在通信理论中发挥过一定作用。
但是,Gabo r 变换窗口的形状和大小一经选定就保持不变,与频率无关。
熟知在研究高频信号的局部性质时窗口应开得小一些,而在研究低频信号的局部性质时窗口应开的大一些(见图3),也就是说窗口大小应随频率而变。
窗口大小不随频率而变,这是Gabor 变换的一个严重缺点。
(三)连续小波变换的定义与基本性质
44 高等数学研究S TUDIES IN C OLL EGE M ATHEM ATICS V ol.5,N o.1M ar.,2002
图3
80年代后期发展起来的小波变换继承和发展了Gabor 变换局部化的思想,同时又克服了窗口大小不随频率变化的缺点。
为此,首先引入一个基本小波或小波母函数 (t ),它具有以下性质:
(A) (t )在有限区间外恒等于零或很快地趋于零。
(这一要求使 (t )具有“窗口”的作用,我们称这种函数具有较好的局部性)
(B)∫∞
-∞ (t )dt =0。
(这一要求使 (t )的函数值必然正负交替具有波动的特点,同时也是使小波变换有反演公式的必要条件)
令 ab (t )=1 a
t -b a a ,b 为实数,且a ≠0(3.1)称为由母函数 (t )生成的依赖于参数a ,b 的连续小波。
定义函数(或信号)f (t )的连续小波变换(简记为W T)为:
WT :f (t )→W f (a ,b )=1 a ∫∞
-∞f (t ) t -b a dt (3.2)
由上面的定义可见连续小波 ab (t )之作用与Gabo r 变换中的函数g (t - )e i t 相类似。
参数b 与 都
起着将“窗口”平移的作用,本质不同的是参数a 与参数 ,后者的变化不改变“窗口”g (t )的形状和大小,而前者的变化不仅改变连续小波的频谱特征结构,而且也改变其“窗口”的大小与形状。
(未完待续)45
第5卷第1期 李世雄:小波变换及其应用 。