三角形的内切圆经典练习
人教版九年级上册数学专题训练《三角形的内切圆》
专题训练（三）——三角形的内切圆知识点1 三角形内切圆的概念及性质1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．下列说法错误的是（）A．三角形的内心到三边的距离相等B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆3．[教材例题变式]如图所示，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC 的度数为（）A．114°B．122°C．123°D．132°4．[教材习题24.5第2题变式]如图，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，若∠A＝70°，则∠EDF＝__________°．5．[2018·湖州]如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．6．△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，则△ABC的面积为__________．知识点2 作三角形的内切圆7．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛（保留作图痕迹，不要求写作法）．练习8．如图所示，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则（）A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF＝AE+BF D．EF≤AE+BF9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，如图，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A．3步B．5步C．6步D．8步10．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，D，E是⊙O的两个切点，已知AD＝6 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长是（）A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm11．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A ．∠AIB ＝∠AOB B ．∠AIB ≠∠AOBC ．121802AIB AOB ∠-∠=°D ．121802AOB AIB ∠-∠=°12．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 切斜边AB 于点D ，切BC 于点E ，BO 的延长线交AC 于点M ．求证：BO ·BC ＝BD ·BM ．13．[教材习题24.5第5题变式]如图，E 为△ABC 内一点，AE 的延长线交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ，且DB ＝DC ＝DE ．求证：E 为△ABC 的内心．14．数学活动：求重叠部分的面积（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P 与等边三角形ABC 的内心O 重合，已知OA ＝2，则图中重叠部分△PAB 的面积是__________．（2）探究：在（1）的条件下，将纸片绕点P 旋转至如图②所示的位置，纸片两边分别与AC ，AB 交于点E ，F ，则图②中重叠部分的面积与图①中重叠部分的面积是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．15．已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，E ，F ，若EF DE ，如图①．（1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；（2）设AE 与DF 相交于点M ，如图②，AF ＝2FC ＝4，求AM 的长．1、最困难的事就是认识自己。
三角形内切圆与外接圆性质练习题
三角形内切圆与外接圆性质练习题一、选择题1. 若一个三角形的内角以及对应的两边的度数分别为60°、90°和30°，则该三角形的内切圆与外接圆的关系是：a) 内切圆包含外接圆b) 外接圆包含内切圆c) 内切圆和外接圆重合d) 内切圆与外接圆没有关系2. 对于一个直角三角形，其内切圆与外接圆的半径之比为：a) 1 : 2b) 1 : √2c) 1 : 3d) 1 : √33. 当一个三角形的三个内角相等时，其内切圆与外接圆的关系是：a) 内切圆包含外接圆b) 外接圆包含内切圆c) 内切圆与外接圆相切d) 内切圆与外接圆没有关系二、填空题1. 若一个等腰三角形的底边长为8 cm，内切圆的半径为 ______ cm，外接圆的半径为 ______ cm。
2. 一个等边三角形的外接圆的直径为24 cm，则内切圆的半径为______ cm。
3. 如果一个三角形的外接圆的半径为10 cm，那么它的内切圆的直径为 ______ cm。
三、解答题1. 证明：一个等边三角形的内切圆和外接圆的半径相等。
2. 已知一个直角三角形的斜边长为10 cm，内切圆的半径为2 cm，求其外接圆的半径。
3. 若一个三角形的内切圆的半径为6 cm，且与三角形的某一边相切的点到该边两个顶点的距离分别为3 cm 和 4 cm，求这个三角形各边的长。
四、综合题已知一个三角形的三个内角为60°、70°和50°。
1. 求该三角形的外接圆半径和内切圆半径。
2. 求该三角形各边的长度。
3. 若在该三角形上标出一个高，并画出该三角形的内切圆和外接圆，请估算内切圆和外接圆的大小关系，即它们的半径大小。
以上就是关于三角形内切圆与外接圆性质的练习题。
根据这些题目，我们可以进一步巩固这些性质的理解和应用。
希望通过练习，能够加深对三角形内切圆与外接圆性质的记忆和理解，提高解题能力。
三角形内切圆 - 学生版
三角形内切圆一．典型例题例1．如图：⊙I 是直角△ABC 的内切圆，切点为D、E、F，若AF，BE 的长是方程x2﹣13x+30 ＝0 的两根，则△ABC 的面积为．例2．以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O，过点D 作直线切半圆于点F，交AB 边于点E．则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（）A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7例3．如图，过点O 和点M（2，2）的动圆⊙O1 分别与x 轴，y 轴相交于点A，B．（1）求OA+OB 的值；（2）设△BOA 的内切圆⊙I 的直径为d，求证：d+AB 为定值．例4．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，其中⊙O1，⊙O2，…⊙O n，为n 个（n≥2）相等的圆，⊙O1 与⊙O2 相外切，⊙O2 与⊙O3 相外切…，⊙O n﹣1 与⊙O n 相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙O n 都与AB 相切，且⊙O1 与AC 相切，⊙O n 与BC 相切，求这些等圆的半径r（用n 表示）．例5．如图，⊙O 的直径AB＝2，AM、BN 是它的两条切线，CD 与⊙O 相切于点E，与BN、AM 交于点C、D，设AD＝x，BC＝y．（1）求证：AM∥BN．（2）求y 关于x 的函数关系式．（3）若x、y 是关于t 的方程2t2﹣5t+m＝0 的两根，且，求x、y 的值．二、巩固练习1．如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB、BC 均相切，则⊙O 的半径为．2．以边长为2 的正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O，过点D 作直线切半圆于点F，交AB 边于点E．则三角形ADE 的面积为3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AM、BN 是⊙O 的两条切线，D、C 分别在AM、BN 上，DC 切⊙O 于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE 与OC 相交于点P，AE 与OD 相交于点Q，已知AD＝4，BC＝9．以下结论：①⊙O 的半径；②OD∥BE；③PB＝；④tan∠CEP＝．其中正确的结论是．4．如图1～4，在直角边分别为3 和4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10 中有10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10＝．5．如图，△ABC 中，内切圆O 和边BC、CA、AB 分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（）A．点O 是△DEF 的外心（∠B+∠C）C．∠BOC＝90°+∠A D．∠DFE＝90°∠B三、能力拓展1．已知等腰△ABC 中，AB＝AC，BC＝4，内切圆的半径为1，则腰长为．2．以边长为2 的正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O，过点D 作直线切半圆于点F，交AB 边于点E．连AF，则AF 长为3．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB 上有一运动的点P．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H．设△OPH 的内心为I，当点P 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为．4．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P 为直线y＝﹣x+3 上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q，则切线长PQ 的最小值是 2 ．5．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD，过点D 作DE ⊥AB 于点E，连接AC，与DE 交于点P．问EP 与PD 是否相等？证明你的结论．6．如图，在△AOB 中，∠AOB 为直角，OA＝6，OB＝8，半径为2 的动圆圆心Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB、OA 的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）当⊙Q 经过点A 时，求⊙P 被OB 截得的弦长．（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．四、课后练习1．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，AD＝BD＝2DC，设△ABD 与△ACD 的内切圆半径分别为r1，r2，那＝（）A．2 C．D．2．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A． B． C．D．3．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB 为直径作⊙O，恰与另一腰CD 相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD 的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD 的长．4．如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP，点D 上任一点（与端点A、B 不重合），DE⊥AB 于点E，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点A、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值？若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC 的面积为S，若，求△ABC 的周长．5．如图1，Rt△ABC 两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．（1）如图2，⊙O 与Rt△ABC 的边AB 相切于点X，与边CB 相切于点Y．请你在图 2 中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt△ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt△ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．。
三角形的内切圆和外接圆综合练习题
三角形的内切圆和外接圆综合练习题三角形是几何学中的基本图形之一，而三角形的内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。
本文将针对内切圆和外接圆，提供一些综合练习题，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
练习题一：内切圆的性质1. 证明：对于任意三角形ABC，其内切圆的圆心O与三角形的内心I和重心G共线。
2. 若三角形ABC的内切圆的半径为r，三角形的半周长为s，证明：AI+BI+CI=2s。
3. 若三角形ABC的内切圆的半径为r，三角形的面积为S，证明：S=r*s，其中s为三角形的半周长。
练习题二：内接圆与外接圆关系1. 如果一个三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R，证明：r<=R/2。
2. 若一个三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R，证明：r^2=2Rr，其中r和R分别为内切圆和外接圆的半径。
3. 若一个三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R，证明：r(R+r)=s，其中s为三角形的半周长。
练习题三：内切圆和外接圆的半径关系1. 三角形ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，外接圆的圆心为O。
若角A=60°，角B=90°，求R:r。
2. 已知三角形ABC的内切圆半径为r，三角形BCD的外接圆半径为R，求证：(R-r)^2=(a-b)(a-c)，其中a、b、c分别为三角形BCD的三边长。
这些练习题旨在帮助读者巩固对于三角形内切圆和外接圆的理解，掌握相关的性质和公式，并能够运用这些知识解决具体的问题。
通过练习，读者将能更加深入地理解三角形的性质与相关的几何概念。
总结：本文围绕三角形的内切圆和外接圆的知识点，给出了一些综合练习题。
这些练习题覆盖了内切圆和外接圆的性质、关系和半径之间的关系。
通过解答这些练习题，读者能够提高对于三角形相关概念的理解和应用能力，为进一步的几何学知识的学习打下坚实的基础。
继续努力学习和练习，相信读者能够在几何学领域取得更大的成就！。
专题27 三角形的内切圆(提优)-冲刺2021年中考几何专项复习(原卷版)
专题27三角形的内切圆（提优）一．选择题1．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（）A．33B．35C．63D．652．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°3．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（）A．43B．23C．2D．44．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是D 上一点，则∠EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°5．下列说法正确的是（）A．三角形的外心一定在三角形的外部B．三角形的内心到三个顶点的距离相等C．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形D．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A．5B．2C．3D．37．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（）A．4B．32C．22D．3228．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，I为△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，若OI ⊥AD，则sin∠CAD的值为（）A．12B．22C．52D．559．将线段OB绕点O逆时针旋转60°形成扇形COB，过C作CD⊥OB，垂足为D，⊙E是△COD的内切圆，OB＝6，则OE的长为（）A．33B．33−3C．33+3D．2(3+3)310．如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（）A．13−1B．13+1C．3.2D．3211．如图，△ABC内切圆是⊙O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC 上，连接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半径为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF＝4B．CD﹣DF＝23−3C．BC+AB＝23+4D．BC﹣AB＝212．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为3，则△BIC的外接圆半径为（）A．7B．73C．722D．733二．填空题13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是°．14．如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝8∠OAC＝48°，则∠AOI﹣∠CIO＝°．15．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为（结果保留π）．16．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI ＝°．17．如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，DE∥BC．若△ABC的周长为8，则DE的最大值为．18．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝．19．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE 过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为．20．如图，⊙O是△ABC内切圆，切点为D、E、F，∠A＝90°，∠C＝30°，则∠DFE度数是度．三．解答题21．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．22．如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O中，且点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P．（1）试判断△BDE的形状，并给予证明；（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的长．23．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．24．如图，P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为△ABE的内心．（1）求证：∠PEB＝60°；（2）求∠PAC的度数；25．已知I为Rt△ABC的内心，∠A＝90°，BI，CI的延长线分别交AC，AB于点D，E，S△BIC＝12，求S ．四边形EDCB26．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．27．如图，AB是⊙O的直径，点C，P为半圆上任意两点，过点P作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为点M，连接OM，PM，CM，CP．（1）求∠OMP的度数；（2）试判断△CMP的形状．28．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝62，求阴影部分的面积．29．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．30．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D 点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．（1）求证：DB＝DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线；（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积．。
三角形的内切圆练习题
三角形的内切圆练习题三角形的内切圆练习题在数学中，三角形是一个基础而重要的概念。
而在三角形的内部，有一个特殊的圆形，称为内切圆。
内切圆是可以与三角形的三条边都相切的圆形，它有着许多有趣的性质和应用。
在本文中，我们将通过一些练习题来探索三角形的内切圆。
练习题1：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，内切圆的半径为r。
证明：三角形ABC的面积S等于内切圆的半径r与三角形ABC三边长之和的乘积的一半，即S = r × (AB + BC + AC) / 2。
解答：我们可以通过两种方法来证明这个结论。
方法一：利用三角形的高度我们知道，三角形的面积可以通过底边与高度的乘积来计算。
考虑三角形ABC，假设内切圆的圆心为O，与三边AB、BC和AC分别相切于点D、E和F。
连接AO、BO和CO，分别延长到与内切圆相交于点P、Q和R。
由于AO与DO垂直且相等，所以DO是三角形ABC的高度。
同样地，EO和FO也是三角形ABC 的高度。
因此，我们可以得到三角形ABC的面积S = DO × AB / 2 + EO × BC /2 + FO × AC / 2。
另一方面，根据内切圆的性质，我们知道DO = EO = FO = r。
将这个结果代入到上面的等式中，我们可以得到S = r × (AB + BC + AC) / 2，证明完成。
方法二：利用三角形的面积公式我们知道，三角形ABC的面积可以通过海伦公式来计算，即S = √[s(s - AB)(s- BC)(s - AC)]，其中s是三角形的半周长，即s = (AB + BC + AC) / 2。
我们将这个面积公式代入到S = r × (AB + BC + AC) / 2中，可以得到S = √[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)] = r × (AB + BC + AC) / 2。
通过对等式两边进行平方操作，我们可以得到等式两边的平方相等，从而证明了这个结论。
《三角形的内切圆》专题练习
《三角形的内切圆》专题练习一、选择题1．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（）A．130° B．60° C．70° D．80°2．下列图形中一定有内切圆的四边形是（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形3．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（） A．45° B．55° C．65° D．70°二、填空题1．一个直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的内切圆半径为。
2．一个等边三角形的边长为4，则它的内切圆半径为。
3．在△ABC中， AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，则它的内切圆半径为。
4．顶角为120°的等腰三角形的腰长为4cm，则它的内切圆半径为。
三、解答下列各题1．如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求AD、BE、CF的长。
2．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AB、AC分别相切于点D、E、F，⑴探求∠EDF与∠A的度数关系。
⑵连结EF，△EDF按角分类属于什么三角形。
⑶I是△EDF的内心还是外心？r。
（4）圆M的半径4．如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。
5．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n-1均与AB 边相切，求r n 。
三角形内切圆练习题
三角形内切圆练习题三角形内切圆练习题三角形是几何学中的基本形状之一，而内切圆则是与三角形密切相关的概念。
在几何学中，内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
研究三角形内切圆的性质和问题，不仅能够加深对几何学的理解，还能够培养逻辑思维和问题解决能力。
下面，我们来通过一些练习题来深入探讨三角形内切圆的特性。
练习题一：已知三角形的三边长为a、b、c，内切圆的半径为r，求内切圆的面积。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
其中，半周长s等于三角形的周长的一半，即s = (a + b + c)/2。
所以，内切圆的面积可以表示为S = rs。
练习题二：已知三角形的内切圆的半径r，求三角形的面积S。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的面积可以表示为S = rs。
练习题三：已知三角形的内切圆的半径r，求三角形的周长。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的周长可以表示为s = S/r。
练习题四：已知三角形的内切圆的半径r和面积S，求三角形的周长。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的周长可以表示为s = S/r。
结合已知条件，我们可以得到s = S/r，进而求得三角形的周长。
练习题五：已知三角形的两边长a和b，以及内切圆的半径r，求三角形的第三边长c。
解析：根据内切圆的定义，我们知道内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即r = S/s。
所以，三角形的面积可以表示为S = rs。
根据海伦公式，我们知道三角形的面积S可以表示为S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s = (a + b + c)/2。
三角形的内切圆习题
三角形的内切圆1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，°，••连结OE，OF，DE，DF，那么等于（ ）A．40°B．55°C．65°D．70°∠EDF等于（图1 图2 图3 2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，°，••则∠DOE=（）A．70°B．110°C．120°D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5°B．112°C．125°D．55°4．下列命题正确的是（．下列命题正确的是（ ）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心，外心重合．一个圆一定有唯一一个外切三角形．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5 6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．的长．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，CE=23，求AC的长．7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是DEF上的动点（与D，E不重合），的大小；若不一定，请说明理由．∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．8．如图，△ABC中，∠A=m°．°．的度数；（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；的度数．（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．9．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（个内切圆，它的半径是（ ）A ．（22）n R B ．（12）n R C ．（12）n －1R D ．（22）n －1R 10．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC=4，•DC=1，则⊙O 的半径等于（于（ ） A ．45 B ．54 C ．34 D ．5611．如图，已知正三角形ABC 的边长为2a ．（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；（2）根据计算结果，要求圆环的面积，）根据计算结果，要求圆环的面积，••只需测量哪一条弦的只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；大小就可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？，你能得出怎样的结论？（4）已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．12．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 分别和边BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，•如果AF=2，BD=7，CE=4．（1）求△ABC 的三边长；（2）如果P 为DF 上一点，过P 作⊙O 的切线，交AB 于M ，交BC 于N ，求△BMN 的周长．的周长．13．如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，求Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．之间的距离．14．如图，⊙O 与四边形ABCD 的各边依次切于M ，N ，G ，H ．（1）猜想AB+CD 与AD+BC 有何数量关系，并证明你的猜想；有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD 增加条件AD ∥BC 而成为梯形，梯形的中位线长为m ，其他条件不变，试用m 表示梯形的周长．表示梯形的周长．。
初中数学《三角形的内切圆、外切圆》专题练习试卷及答案
6《三角形的内切圆、外接圆》专题练习试卷1. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．81题图 2题图 3题图2. 如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 如图，△ABC 内接于圆，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，B 点正好落在圆点E 处，若∠C ＝50°，则∠BAE 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°4．已知：如图，∠C ＝90°，内切圆O 分别与BC 、AC 相切于点D 、E ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由．4题图65．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，点O 是△ABC 的内心，BO 的延长线交AC 于点D ，求∠BDC 的度数．5题图弧长和扇形面积题型：1. 已知正六边形的边长为8，则较短的对角线长为 ．2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O 其边长为2，则⊙O 的内接正三角形ACE 的边长为 ．2题图 5题图 3．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A ．120° B．180° C．240° D．300°4．底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是( )．A ．7.5π cm 2B ．12π cm 2C ．15πcm 2D ．24π cm 25．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心， AB 是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB =24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．6．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？6题图参考答案1. C. 解析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QF+DQ＝2x＝11．故选：C．1题图2. C. 解析：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．63. C. 解析：连接BE，如图所示：，由折叠的性质可得：AB＝AE，∴AB AE∴∠ABE＝∠AEB＝∠C＝50°，∴∠BAE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故选：C．Array3题图4. 解：四边形ODCE为正方形，理由如下：∵内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，∴OE⊥AC，OD⊥BC．∵∠C＝90°，∴四边形ODCE为矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE为正方形．5. 解：∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠ABC＝50°，∵点O为△ABC的内心，∴∠DBC＝∠ABC＝25°，∵∠ACB＝78°，∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣78°﹣25°＝77°．66弧长和扇形面积题型：1. 8. 解析：如图，六边形ABCDEF 是正六边形，连接BF ，作AH ⊥BF 于点H ，1题图根据题意可知：BF 为较短对角线，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝8，∠BAF ＝120°，∵AH ⊥BF ，∴∠BAH=12∠BAF ＝60°， ∴∠ABH ＝30°，∴AH=12AB ＝4， 根据勾股定理，得4，∴BF ＝2BH ＝8． 故答案为：8．2. 2. 解析：连接OB 交AC 于H ．2题图在正六边形ABCDEF 中，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，6∴AB BC =，∴OB ⊥AC ，∴∠ABH ＝∠CBH ＝60°，AH ＝CH ，∴AH，∴AC ＝，故答案为．3. B. 解析：由得，∴．∴n ＝180°． 4. C. 解析：可求圆锥母线长是5cm ．∴圆锥的侧面积为：π×3×5=15π.5. 解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC =12，∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆=12π•OB 2-12π•OC 2=12π（OB 2-OC 2）=12πAC 2=72π． 故答案为72π．5题图6. 解：∵圆O 的周长为20πcm ，∴圆O 的半径=10cm ，∵圆A 圆B 周长都是4πcm ，∴圆A 圆B 周长半径都是2，∴圆A 在圆O 内沿圆O 滚动半径是10﹣2=8，圆B 在圆O 外沿圆O 滚动半径是10+2=12∴要回到原来的位置，圆B 转动的周数=12÷2=6，圆A 转动的周数=8÷2=4．22rl r ππ=2l r =22180n r r ππ=。
中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案
中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案一、单选题1．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．内心和外心重合的三角形是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．如图，在ABC 中， 906,8,ACB AC BC O ∠===， 是 ABC 的内切圆，连结 AO ，BO ，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A ．3102π-B ．5142π-C ．12D ．144．如图，ABC 的内切圆O 与AB BC CA ，，分别相切于点D ，E ，F ，若50DEF ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．90︒D ．80︒5．在△ABC 中，点I 是内心，△BIC=114°，则△A 的度数为（ ）A ．57°B ．66°C ．48°D ．78°6．如图，△O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，连接OE ，OF ，DE ，DF ，乙组△A=80°，则△EDF等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7．在△ABC 中，已知△C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ）A ．32B ．1C ．2D ．238．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．h R r =+B ．2R r =C ．3r =D ．3R =9．将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，3则四边形AB 1ED 的内切圆半径为（ ） A 31+B 33- C 31+D 33- 10．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）A ．3B ．32C 3D ．23二、填空题11．如图，在ABC 中，点O 是 ABC 的内心， 48A ∠=︒ ， BOC ∠= ︒ ．12．如图，在扇形CAB 中，CD△AB ，垂足为D ，△E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则△AEB 的度数为 .13．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r ，则R—r = . 14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步．15．如图，点I 为△ABC 的内心，连AI 交△ABC 的外接圆于点D ，若2AI CD ＝，点E 为弦AC 的中点，连接EI ，IC ，若6IC ＝，5ID ＝，则IE 的长为 ．三、解答题16．如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，△O 是Rt△ABC 的内切圆，其半径为1，E ，D 是切点，△BOC=105°.求AE 的长.17．如图，圆O 是ABC 的内切圆，其中75AB BC ==，，8AC =，求其内切圆的半径．18．如图，在△ABC 中，I 是内心，O 是AB 边上一点，△O 经过B 点且与AI 相切于I 点．（1）求证：AB=AC ；（2）若BC=16，△O 的半径是5，求AI 的长．19．如图1，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆△O 于点D ．（1）求证：DB=DC=DI ；（2）若AB 是△O 的直径，OI△AD ，求tan2CAD的值． 20．如图：在三角形ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆△O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使△BDM=△DAC．（△）求证：直线DM是△O的切线；（△）求证：DE2=DF•DA．参考答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】C11．【答案】114 12．【答案】135° 13．【答案】1.5 14．【答案】6 15．【答案】416．【答案】解：连结OD，OE，如图所示，则OD=OE=1.∵O是△ABC的内切圆圆心，∴BO，CO分别是△ABC，△ACB的平分线，即△OBD=△OBE= 12△ABC，且△OCD=12△ACB.又∵△ACB=90°，∴△OCD= 12△ACB=45°.∵OD，OE是过切点的半径，∴OD△BC且OE△AB，∴△OCD+△COD=90°，∴△COD=△OCD=45°，∴CD=OD=1.∵△COB=105°，∴△DOB=△COB-△COD=60°.∵△OBD+△BOD=90°，∴△OBD=30°.∵OD=1，∴OB=2，∴DB=3.∵△OBD=△OBE= 12△ABC=30°，∴△ABC=60°，∴△A=30°.∵BC=BD+CD=1+ 3，∴AB=2+23.在Rt△OBE中，∵OE=1，△OBE=30°，∴BE= 3.∴AE=AB-BE=2+ 317．【答案】解：过B 作BD△AC 于D ，切点分别为E 、F 、G ，连结OE ，OF ，OG ，设AD=x ，CD=8-x ， 其内切圆的半径为r ，根据勾股定理2222AB AD BC CD -=-，即()2222758x x -=--， 解方程得112x =， ∴BD=22221157322AB AD ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∵圆O 是ABC 的内切圆，∴OE△AC ，OF△AB ，OG△BC ，OE=OF=OG=r ， ∴S △ABC=()1111122222AC BD AB OF BC OG AC OE AB BC AC r ⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅， ∴()AC BD AB BC AC r ⋅=++⋅，∴5832320AC BDr AB BC AC⨯⋅===++． 18．【答案】解：（1）延长AI 交BC 于D ，连结OI ，作BH△AC 于H ，如图，∵I 是△ABC 的内心，∴BI 平分△ABC ，即△OBI=△DBI ， ∵OB=OI ， ∴△OBI=△OIB ，∴△DBI=△OIB，∴OI△BD，∵AI为△O的切线，∴OI△AI，∴BD△AD，∵AI平分△BAC，∴△ABC为等腰三角形，∴AB=AC；（2）∵OI△BC，∴△AOI△△ABD，∴AO OI AI AB BD AD==，∴558 ABAB-=，∴AB=403，∴2232 3AB BD-=，∴AI=OIBD•AD=53220833⨯=．19．【答案】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴△BAD=△CAD，△ABI=△CBI，∵△CBD=△CAD，∴△BAD=△CBD，∴△BID=△ABI+△BAD，∴△ABI=△CBI，△BAD=△CAD=△CBD，∵△IBD=△CBI+△CBD，∴△BID=△IBD，∴ID=BD ， ∵△BAD=△CAD ， ∴BD CD ∧∧=， ∴CD=BD ， ∴DB=DC=DI ；（2）∵AB 是△O 的直径， ∴BD△AD ，OI△AD ， ∴OI△BD ， ∵OA=OB ， ∴AI=DI ，由（1）知ID=BD ， ∴AD=2BD ，BD=2OI ，设OI=x ，则BD=AI=2x ，AD=4x ， ∴22AD BD +5，如图2，过O 作OE△BD 交△O 于E ，连接AE 交OI 于F ，则OE△AI ， ∴AI IF OE OF=， 5IFX IF x=-， ∴52+， ∵OE△BD ， ∴BE DE ∧∧=， ∴△DAE=12△BAD=12△CAD ， ∴tan△DAE=tan2CAD∠=52xIF AI+=5﹣2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ， 则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x =，则 53AD = ， 故 11538103222ABCSBC AD =⋅=⨯⨯=， 由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABCS r AB BC AC =++ 22033578ABC S r AB BC AC ∴===++++ .21．【答案】解：（△）如图所示，连接OD ，∵点E 是△ABC 的内心， ∴△BAD=△CAD ， ∴BD = CD ， ∴OD△BC ，又∵△BDM=△DAC ，△DAC=△DBC ， ∴△BDM=△DBC ， ∴BC△DM ， ∴OD△DM ，∴直线DM 是△O 的切线；（△）如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴△BAE=△CAE=△CBD，△ABE=△CBE，∴△BAE+△ABE=△CBD+△CBE，即△BED=△EBD，∴DB=DE，∵△DBF=△DAB，△BDF=△ADB，∴△DBF△△DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。
三角形的内切圆与内心精选题41道
三角形的内切圆与内心精选题41道一．选择题（共13小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°2．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连接OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF＝4B．CD﹣DF＝2﹣3C．BC+AB＝2+4D．BC﹣AB＝2 3．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°4．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5B．4C．3D．25．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．6．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2C．2﹣D．﹣27．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．108．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A．B．C．2D．49．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（）A．120°B．125°C．135°D．140°10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O 的半径为（）A．1B．C．2D．11．如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则tan∠B的值为（）A．B．C．D．12．下列说法：①平分弦的直径垂直于弦②三点确定一个圆，③相等的圆心角所对的弧相等④垂直于半径的直线是圆的切线⑤三角形的内心到三条边的距离相等其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）A．5步B．6步C．8步D．10步二．填空题（共19小题）14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．15．点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为．16．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．17．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝．18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是°．19．如图，△ABC中，若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则△ABC的内切圆半径R＝．20．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则圆O的半径为．21．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是步．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a＝10，⊙O内切于Rt△ABC，且半径为4，则a+b+c＝．23．如图，已知边长为a的正方形ABCD内有一边长为b的内接正方形EFGH，则△EBF的内切圆半径是．24．如图所示，三角形ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则它的内切圆半径为cm．25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AD＝5，BE＝12，则△ABC的周长为．26．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为（结果保留π）．27．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是．29．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝．（用含a的代数式表示）30．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的直径为步．31．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于．32．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，则OI＝．三．解答题（共9小题）33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．（1）求证：DB＝DE；（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．34．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长．35．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．求证：DE＝DB．36．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD＝2BD．37．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）求证：DE＝CD；（3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径．38．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（周长的一半），则S＝②（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．39．如图，△ABC中，BC＝14，AC＝9，AB＝13，它的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，求AE，BD和CF的长．40．如图，△ABC中，AC＝BC，点I是△ABC的内心，点O在边BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆恰好经过点I，连接CI，BI．（1）求证：CI是⊙O的切线；（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求sin∠ABI值．41．如图，在6×6的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点A，B，C在格点（正方形网格的交点）上．（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形ABC的外心P；（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形ABC的内心Q．三角形的内切圆与内心精选题41道参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．2．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连接OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF＝4B．CD﹣DF＝2﹣3C．BC+AB＝2+4D．BC﹣AB＝2【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．设AB＝a，BC＝b，AC ＝c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），所以c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b 的值，所以BC+AB＝2+4．再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝，OF＝x，ON＝，由勾股定理可得，解得x＝4，从而得到CD﹣DF＝，CD+DF＝．即可解答．【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG＝DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC＝90°，∵∠MOG+∠MGO＝90°，∴∠MOG＝∠DGC，在△OMG和△GCD中，∴△OMG≌△GCD，∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．∵AB＝CD，∴BC﹣AB＝2．设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），∴c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，解得（舍去），∴，∴BC+AB＝2+4．再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝，OF＝x，ON＝，由勾股定理可得，解得x＝4，∴CD﹣DF＝，CD+DF＝．综上只有选项A错误，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．3．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°【分析】根据∠A＝80°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．4．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5B．4C．3D．2【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【解答】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得：BE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B．【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．5．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r＝，则a+b＝2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S＝，又∵r＝，∴a+b＝2r+c，将a+b＝2r+c代入S＝得：S＝r＝r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选：B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．6．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2C．2﹣D．﹣2【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它的内切圆半径为：R＝（2+2﹣4）＝2﹣2．故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r＝（a+b﹣c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R＝c．7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．10【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5，于是得到△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．8．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A．B．C．2D．4【分析】过点C作CH⊥BO的延长线于点H，根据点O为△ABC的内心，∠A＝60°，可得∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH的长，进而可得△OBC的面积．【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，∴∠COH＝60°，∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2∴CH＝2，∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（）A．120°B．125°C．135°D．140°【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．【解答】解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+∠AOB，∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．∵∠AIB＝125°，∴∠AOB＝140°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用∠C表示∠AIB的度数．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O 的半径为（）A．1B．C．2D．【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD＝OE＝OF，∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC+S△AOB＝BC•DO+AC•OE+AB•FO＝（BC+AC+AB）•OD，∵∠C＝90°，∴AC•BC＝（BC+AC+AB）•OD，∴OD＝＝1．故选：A．【点评】此题考查三角形内切圆与内心，勾股定理，熟练掌握三角形内切圆的性质．11．如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则tan∠B的值为（）A．B．C．D．【分析】设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，连接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD＝CD＝CE＝OE＝GQ＝QF＝R，求出y＝2R，x＝R，根据锐角三角函数值求出即可．【解答】解：设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，连接OD，OG，OF，OE，∵⊙O内切于Rt△ABC，∴∠ODC＝∠OEC＝90°＝∠C，AD＝AG，∵OD＝OE，∴四边形CDOE是正方形，∴OD＝CD＝CE＝OE＝R，同理OG＝GQ＝FQ＝OF＝R，则PQ＝CP，AC＝AQ，∵PQ⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠PQB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BQP∽△BCA，∴＝＝，∴BC＝2BQ＝2y，根据BG＝BE得：y+R＝2y﹣R，解得：y＝2R，在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2＝BP2，即（2R）2+（R+x）2＝（4R﹣R﹣x）2，解得：x＝R，即PQ＝R+R＝R，BQ＝2R，tan B＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线长定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，难度偏大．12．下列说法：①平分弦的直径垂直于弦②三点确定一个圆，③相等的圆心角所对的弧相等④垂直于半径的直线是圆的切线⑤三角形的内心到三条边的距离相等其中不正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】举出反例图形，即可判断①②③④；根据角平分线性质即可推出⑤．【解答】解：如图∵弦CD和直径AB，符合AB平分弦CD，且AB是直径，但AB和CD不垂直，∴①错误；∵在同一直线上的三点不能确定一个圆，∴②错误；∵如图圆心角∠COD＝∠AOB，但弧AB和弧CD不相等，∴③错误；∵如图CD⊥半径OA，但CD不是圆的切线，∴④错误；∵根据角平分线的性质即可得出三角形的内心到三角形的三边距离相等，∴⑤正确；∴不正确的有4个，故选：D．【点评】本题考查了确定圆的条件，角平分线的性质，垂径定理，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用．13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）A．5步B．6步C．8步D．10步【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r，利用面积相等可得到关于r的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，∴AB＝＝17，∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，设内切圆的半径为r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，∴20r＝60，解得r＝3，∴内切圆的直径为6步，故选：B．【点评】本题主要考查三角形的内切圆，连接圆心和切点，把三角形的面积分成三个三个角形的面积得到关于r的方程是解题的关键．二．填空题（共19小题）14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝1．【分析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC 的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．15．点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为4．【分析】延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题；【解答】解：延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．∵I是△ABC的内心，∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，∴∠DIC＝∠DCI，∴DI＝DC＝DM，∴∠ICM＝90°，∴CM＝＝8，∵AI＝2CD＝10，∴AI＝IM，∵AE＝EC，∴IE＝CM＝4，故答案为4．【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．16．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2．【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）求解．【解答】解：直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）．17．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝1．【分析】由非负性可求a，b，c的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，由面积法可求△ABC的内切圆半径．【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形面积公式求内切圆半径是本题的关键．18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是135°．【分析】根据圆周角定理求出∠C＝90°，求出∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形的内切圆得出∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝CBA，求出∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝CBA，∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135．【点评】本题考查了三角形的内切圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．19．如图，△ABC中，若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则△ABC的内切圆半径R＝1．【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，然后利用△ABC的内切圆半径R＝进行计算．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴△ABC的内切圆半径R＝＝＝1．故答案为1．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．也考查了勾股定理的逆定理．20．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则圆O的半径为2．【分析】设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程先求出证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，如图，连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CE＝CF＝x，则AD＝AE＝5﹣x，BF＝BD＝12﹣x，∵AD+BD＝13，∴5﹣x+12﹣x＝13，∴x＝2，则圆O的半径为2．故答案为：2．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是6步．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【解答】解：根据勾股定理得：斜边为＝17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，故答案为：6．【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，斜边为c，其内切圆半径r＝是解题的关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a＝10，⊙O内切于Rt△ABC，且半径为4，则a+b+c＝60．【分析】设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，Rt△ABC中，AC²+BC²＝AB²，可得b²+10²＝(b+2)²，解得b＝24，进而可得答案．【解答】解：设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF ⊥AB，∵∠C＝90°，∴四边形OECD是正方形，∴CE＝CD＝r＝4，∴AD＝b﹣4，BE＝10﹣4＝6，根据切线长定理可得：AF＝AD＝b﹣4,BF＝BE＝6,AB＝c＝b﹣4+6＝b+2，Rt△ABC中，AC²+BC²＝AB²，∴b²+10²＝(b+2)²，解得b＝24，c＝b+2＝26，∴a+b+c＝10+24+26＝60．故答案为：60．【点评】本题考查了切线的性质和切线长定理，利用勾股定理列出方程是解题关键．23．如图，已知边长为a的正方形ABCD内有一边长为b的内接正方形EFGH，则△EBF的内切圆半径是．【分析】首先利用正方形的性质得出△AEH≌△BFE（AAS），再利用直角三角形内切圆半径求法得出即可．【解答】解：∵边长为a的正方形ABCD内有一边长为b的内接正方形EFGH，∴∠AEH+∠FEB＝90°，∠AEH+∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，在△AEH和△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（AAS），∴AE＝BF，∴BE+BF＝AB＝a，故△EBF的内切圆半径是．故答案为：．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△AEH≌△BFE（AAS）是解题关键．24．如图所示，三角形ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则它的内切圆半径为2 cm．【分析】先判定三角形为直角三角形，再利用切线长定理求解．【解答】解：如图，设内切圆半径为r（cm），在△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥AC，OD⊥BC，AC⊥BC，∴四边形OECD为正方形，∵AE＝AF＝（6﹣r）cm，BD＝BF＝（8﹣r）cm，∴AB＝AF+BF＝6﹣r+8﹣r＝10cm，解得r＝2cm，故答案为2cm．【点评】本题主要考查了三角形的内切圆，解题关键是利用切线长定理进行求解．25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AD＝5，BE＝12，则△ABC的周长为40．【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：连接EO，DO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，又∵∠C＝90°，∴四边形ECDO是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，设EO＝x，则EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+12）2+（x+5）2＝172，解得：x＝3，∴△ABC的周长＝8+15+17＝40．故答案为40．【点评】此题主要考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为26﹣2π（结果保留π）．【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠A＝90°，证出四边形AEOF是正方形，得OE＝OF＝（AB+AC﹣BC）＝2，正方形AEOF的面积＝22＝4，求出扇形EOF的面积＝π，得扇形OEDF的面积＝3π，求出△ABC的面积＝30，进而得出答案．【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OE＝OF＝OD，∴四边形AEOF是正方形，∴∠EOF＝90°，OE＝OF＝（AB+AC﹣BC）＝（5+12﹣13）＝2，正方形AEOF的面积＝22＝4，∴扇形EOF的面积＝×π×22＝π，∴扇形OEDF的面积＝π×22﹣π＝3π，∵△ABC的面积＝AB×AC＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积＝30﹣（4﹣π）﹣3π＝26﹣2π；故答案为：26﹣2π．【点评】本题考查了直角三角形的内切圆与内心、切线的性质、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形内切圆半径＝（两条直角边的和﹣斜边长）是解题的关键．27．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于2﹣2．【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如答图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA＝＝2，∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查三角形内切圆，解题关键是利用切线长定理求出内切圆的半径．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是1≤r≤．【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据题意得出四边形OECF是正方形，得出OF＝CF，由勾股定理得出AB＝＝5，由内心的性质得出CF ＝OF＝1，AF＝AC﹣CF＝3，由勾股定理求出OA，由直线与圆的位置关系，即可得出结果．【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB，如图所示则四边形OECF是正方形，∴OF＝CF＝OE＝CE，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵O是△ABC的内心，∴CE＝CF＝OF＝OE＝（AC+BC﹣AB）＝1，∴AF＝AC﹣CF＝3，BE＝BC﹣CE＝2，∴OA＝＝＝，OB＝＝＝，当r＝1时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有唯一交点；当1＜r≤时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有两个交点；当＜r≤时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有1个交点；∴以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是1≤r≤；故答案为1≤r≤．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．29．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝a﹣1．（用含a的代数式表示）【分析】过O作OF∥BD交AB于F，连接BD，通过三角形内心的性质可以得出∠F AO ＝∠EAC，然后证明△FBO≌△EBO，然后根据成比例线段的性质，根据＝a，得出＝a，BF＝BE，＝a﹣1，从而得出＝a﹣1．【解答】解：过O作OF∥BD交AB于F，连接BD，∴∠AOF＝∠ADB＝∠ACE，。
切线长定理-三角形的内切圆(基础篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题2.8 切线长定理三角形的内切圆（基础篇）（专项练习）一、单选题1．用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作一个角的平分线D．作一条线段的垂直平分线2．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（）A2B2C21D213．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（）A．4B．3C．2D．14．如图，PA、PB是O的切线，AC是O的直径，62P∠=，则BOC∠的度数为（）A．60B．62C．31D．705．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线P A，PB，切点分别是A，B，若⊙APB＝60°，P A＝5，则弦AB的长是（）A．52B532C．5D．36．如图，P A和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段P A和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若⊙P＝α，则⊙EDF的度数为（）A ．90°﹣αB ．32αC ．2αD ．90°﹣12α7．如图，已知PA 、PB 是O 的两条切线，A 、B 为切点，连接OP 交AB 于C ，交O 于D ，连接OA 、OB ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）A ．1，2B ．2，2C ．2，6D ．1，68．若Rt ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为（ ）A ．22rr Rπ+ B ．2rR rπ+ C ．42rR rπ+ D ．4rR rπ+9．已知⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，CD 、CE 分别是⊙ABC 中线和高线，则（ ）A ．D 点是⊙ABC 的内心B ．D 点是⊙ABC 的外心 C ．E 点是⊙ABC 的内心D ．E 点是⊙ABC 的外心10．如图，点E 是⊙ABC 的内心，AE 的延长线和⊙ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，CE ，若⊙CBD =32°，则⊙BEC 的大小为（ ）A ．64°B ．120°C ．122°D ．128°二、填空题11．如图，已知点O 是ABC ∆的内心，若120BOC ∠=，则A ∠=__________．12．如图，Rt ⊙ABC 中，⊙C =90°，若AC =4，BC =3，则⊙ABC 的内切圆半径r =_____．13．如图，P 是⊙O 外一点，P A 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交P A 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为20cm ，则P A 长为__________．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，⊙ABC=60°．若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动，点Q 以1cm/s 的速度从A 点出发沿着A→C 的方向运动，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t （s ），当⊙APQ 是直角三角形时，t 的值为_________．15．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．∠DAC ＝78°，那么∠AOD 等于_____度．16．如图，AB AC 、是O 的切线，B C 、为切点，连接BC ．若50A ∠=︒，则ABC ∠=__________．17．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =8、BD =6，则菱形ABCD 的内切圆半径为 ________．18．如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，I 是BCD △的内心，点O 与点I 关于直线BD 对称，则A ∠的度数是__________．三、解答题19．如图，ABC 中，50,75ABC ACB ∠=︒∠=︒，点O 是ABC 的内心．求BOC ∠的度数．20．如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 长为半径的圆恰好与AC 相切于点D ，交BC 于点E ，连接DO ，并延长交于O 点F ．(1)求证：BAO F ∠=∠；(2)若3AD =，2CD =，求O 的半径及EF 的长．21．如图，线段AB 经过O 的圆心O ，交圆O 于点A ，C ，1BC =，AD 为O 的弦，连接BD ，30BAD ABD ∠=∠=︒，连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点M ．(1)求证：直线BD 是O 的切线； (2)求线段BM 的长．22．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆O 相交于点D ，过D 作直线DG ∥B C ．(1)若80ACB ∠=︒，则ADB =∠______；AEB ∠= ______． (2)求证：DE CD =；(3)求证：DG 是O 的切线C ．23．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，交CA 的延长线于点D ，连接BD ．(1)求作O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图迹）．(2)在（1）的条件下，求证：QC DQ24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB = 6，BC = 8，⊙ABC = 90°，弧AD = 弧DC．(1)求边CD的长；(2)已知⊙ABE与⊙ABD关于直线AB对称．⊙尺规作图:作⊙ABE；（保留作图痕迹，不写作法）⊙连接DE，求线段DE的长．参考答案1．C【分析】根据三角形内心的定义解答．解：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，是三角形三个角平分线的交点，⊙用尺规作图作三角形的内切圆，用到了作角的平分线的作法，故选：C．【点拨】此题考查了三角形内心的定义，正确理解定义是解题的关键．2．D【分析】设等腰直角三角形的直角边是12条直角边的和与斜边的差的一半，22-其外接圆半径是斜边的一半，22222-21．解：设等腰直角三角形的直角边是12；⊙22-外接圆半径是22，⊙2222-21．故选：D．【点拨】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．3．D【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：12rC S三角形三角形，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．解：设内切圆的半径为r11262r解得：r=1故选D．【点拨】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：1 2rC S三角形三角形是解决此题的关键．4．B【分析】(1)根据切线长定理推出AP=BP,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出⊙PAB=59°,求出⊙BAC⊙BOC即可.解：PA,PB是⊙O的切线,∴AP=BP,⊙P=62°,∴⊙PAB=o o180-622=59°,AC是⊙O的直径,∴⊙PAC=90°,∴⊙BAC=90°-59°=31°，∴∠BOC=2⊙BAC=62°，故选B.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质,切线长定理,切线的性质,圆周角定理等知识点的应用,题型较好,综合性比较强,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力.5．C【分析】先利用切线长定理得到P A=PB，再利用⊙APB=60°可判断⊙APB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：⊙P A，PB为⊙O的切线，⊙P A=PB，⊙⊙APB=60°，⊙⊙APB为等边三角形，⊙AB=P A=5．故选：C．【点拨】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．D 【分析】根据切线性质，证得DAE △⊙FBD ，通过等量代换得出EDF DAE ∠=∠，再根据等腰三角形的性质，由⊙P ＝α，求得DAE ∠即可．解： ⊙P A 和PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，⊙P A =PB ，⊙PAB PBA ∠=∠，即DAE DBF ∠=∠ 在DAE △与FBD 中， ⊙AD BF DAE DBF AE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙DAE △⊙FBD （SAS ）， ⊙DEA FDB ∠=∠， 在DAE △中，180DAE AED EDA ∠+∠+∠=︒,⊙DEA FDB ∠=∠，⊙180DAE FDB EDA ∠+∠+∠=︒， ⊙180EDF FDB EDA ∠+∠+∠=︒， ⊙EDF DAE ∠=∠， ⊙⊙P ＝α，P A =PB ， ⊙PAB PBA ∠=∠⊙在PAB △中，1902BAP α∠=︒-，即1902DAE α∠=︒-，⊙EDF DAE ∠=∠， ⊙1902EDF α∠=︒-故选：D ．【点拨】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得EDF DAE ∠=∠是解题关键．7．C 【分析】根据切线长定理及半径相等得，⊙APB 为等腰三角形，⊙AOB 为等腰三角形，共两个；根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：⊙AOC ，⊙AOP ，⊙APC ，⊙OBC ，⊙OBP ，⊙CBP ，共6个．解：因为OA 、OB 为圆O 的半径，所以OA ＝OB ，所以⊙AOB 为等腰三角形，根据切线长定理，PA ＝PB ，故⊙APB 为等腰三角形，共两个，根据切线长定理，PA ＝PB ，⊙APC ＝⊙BPC ，PC ＝PC ，所以⊙PAC⊙⊙PBC ，故AB⊙PE ，根据切线的性质定理⊙OAP ＝⊙OBP ＝90°，所以直角三角形有：⊙AOC ，⊙AOP ，⊙APC ，⊙OBC ，⊙OBP ，⊙CBP ，共6个．故选C ．【点拨】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．8．B【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．解：如图，由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===，由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+，2,m n R += ()2mn m n r r ∴=++，22,mn Rr r ∴=+而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++ ()221=222Rr r Rr r +++ 2=2Rr r +122.22O ABC Sr r S Rr r R r ππ∴==++故选B ．【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得D 是⊙ABC 的外心，据此即可求解．解：在△ABC 中，⊙ACB ＝90°，⊙CD 是△ABC 中线，⊙D 点是△ABC 的外心．故选：B ．【点拨】本题考查了三角形的外心，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理可求⊙CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求⊙BAC ，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求⊙EBC+⊙ECB ，再根据三角形内角和定理可求⊙BEC 的度数．解：在⊙O 中，⊙⊙CBD=32°，⊙⊙CAD=32°，⊙点E 是⊙ABC 的内心，⊙⊙BAC=64°，⊙⊙EBC+⊙ECB=(180°-64°)÷2=58°，⊙⊙BEC=180°-58°=122°．故选：C．【点拨】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到⊙EBC+⊙ECB的度数．11．60【分析】先利用120BOC∠=，可求出⊙OBC＋⊙OCB，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求出⊙ABC＋⊙ACB，然后就可求出⊙A.解：⊙120BOC∠=⊙⊙OBC＋⊙OCB=180°－⊙BOC=60°∆的内心又⊙点O是ABC⊙BO、CO分别平分⊙ABC和⊙ACB⊙⊙ABC＋⊙ACB=2（⊙OBC＋⊙OCB）=120°⊙⊙A=180°－（⊙ABC＋⊙ACB）=60°故答案为60【点拨】此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理.12．1解：如图，设⊙ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，则OE⊙BC，OF⊙AB，OD⊙AC，设半径为r，CD=r，⊙⊙C=90°，AC=4，BC=3，⊙AB=5，⊙BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，⊙4﹣r+3﹣r=5，⊙r=1，⊙⊙ABC的内切圆的半径为1，故答案为1．13．10cm【分析】根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，已知了△PDE的周长，即可求出切线的长．解：根据切线长定理得：AD＝CD，CE＝BE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD PE DE PD PE DC EC PA PB++=+++=+=2P A＝20，∴P A＝10．故答案为：10.cm【点拨】本题考查的是切线长定理，三角形的周长的计算，掌握切线长定理是解题的关键14．或3-解：因为AB是⊙O的直径，所以⊙ACB=90°，又因为BC=2，⊙ABC=60°；所以AB=2BC=4cm；因为运动时间为t（s），所以AQ=t，BP=2t，所以AP=4-2t，⊙当⊙AQP=90°时，因为⊙A=30°，AP=4-2t，所以PQ=2-t，AQ=3PQ，所以t=3（2-t），所以t=3-；⊙当⊙APQ=90°时，PQ=12AQ，AP=3PQ，所以4-2t=32t，解得t=，综上所述，当t的值为或3-时，⊙APQ是直角三角形．【点拨】1．圆的性质；2．直角三角形的判定与性质．15．64【分析】由已知条件推导出⊙CAO=⊙OAB=⊙BAD，⊙ABD=90°，由此根据⊙DAC=78°，能求出⊙AOD的大小．解：⊙AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，BD=OB，AB∴垂直平分OD,⊙CAO=⊙OABAO AD∴=∴⊙OAB=⊙BAD，⊙⊙CAO=⊙OAB=⊙BAD，⊙ABD=90°，⊙⊙DAC=78°，⊙⊙BAO=13⊙DAC=26°，⊙∠AOD=90°-26°=64°．故答案为：64．【点拨】本题考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用是解题的关键．16．65°【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论．解：⊙AB AC、是O的切线，⊙AB=AC⊙⊙ABC=⊙ACB=12（180°－⊙A）=65°故答案为：65°．【点拨】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键．17．125##2.4【分析】根据菱形的性质，可得AC⊙BD，11,22AO AC DO BD==，再由勾股定理可得5AD=，然后设菱形ABCD的内切圆半径为r，根据三角形的面积，即可求解．解：在菱形ABCD中，AC⊙BD，11,22AO AC DO BD==，⊙AC=8、BD=6，⊙AO=4，DO=3，⊙225 AD AO DO+，设菱形ABCD 的内切圆半径为r ，⊙12AOD SAD r =⨯ ， ⊙12AODS AO DO =⨯， ⊙1153422r ⨯=⨯⨯ ，解得：125r = ， 即菱形ABCD 的内切圆半径为125． 故答案为：125【点拨】本题主要考查了菱形的性质，内切圆，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 18．72︒【分析】连接OB 、OD 、BI 、DI ，利用轴对称的性质证得四边形OBID 是菱形，得到⊙BOD =⊙BID ，⊙OBD =⊙BDO =⊙IBD =⊙IDB ，根据圆周角定理得到⊙BOD =2⊙A ，由圆内接四边形性质得到180A C ∠+∠=︒，求出⊙BID =180°-12A ∠，由此得到2⊙A =180°-12A ∠，求出⊙A =72︒． 解：连接OB 、OD 、BI 、DI ，⊙点O 与点I 关于直线BD 对称，⊙OB =BI ，OD =DI ，⊙OB =OD ，⊙OB =BI =OD =DI ，⊙四边形OBID 是菱形，⊙⊙BOD =⊙BID ，⊙OBD =⊙BDO =⊙IBD =⊙IDB ，⊙⊙BOD =2⊙A ，⊙BID =180°-（⊙IBD +⊙IDB ），⊙⊙IBD +⊙IDB =()11802C ︒-∠，180A C ∠+∠=︒, ⊙ ⊙IBD +⊙IDB =12A ∠，⊙⊙BID =180°-12A ∠， ⊙2⊙A =180°-12A ∠， 解得⊙A =72︒，故答案为：72︒．【点拨】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，三角形内心定义，菱形的判定及性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，熟记各知识点是解题的关键．19．117.5°【分析】由点O 是ABC ∆的内心，50ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得OBC ∠与OCB ∠的度数，又由三角形内角和定理，即可求得BOC ∠的度数．解：点O 是ABC 的内心，50ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，11502522OBC ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，117537.522OCB ACB ∠=∠=⨯︒=︒， 1801802537.5117.5BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．20．(1)见分析(2)O 的半径为1.5，65EF =【分析】（1）连接DE ，根据切线长定理可得⊙BAO =⊙DAO ，⊙PDC =90°，从而得到⊙BAO =12⊙BAD ，从而得到⊙BAO =12()1902C COD ︒-∠=∠=⊙F ，即可求证； （2）根据切线长定理可得AB =AD =3，再由勾股定理可得BC =4，设O 的半径为x ，则OD =x ，OC =4-x ，在Rt COD 中，由勾股定理可得O 的半径为1.5，由（1）可得1tan tan 2F BAO =∠=，在Rt DEF △中，由勾股定理，即可求解． (1)证明：如图，连接DE ，⊙90ABC ∠=︒，⊙AB 与O 相切，⊙AD 与O 相切，⊙⊙BAO =⊙DAO ，⊙PDC =90°，⊙⊙BAO =12⊙BAD ，⊙⊙BAD =90°-⊙C ，⊙C =90°-⊙COD ， ⊙⊙BAO =12()1902C COD ︒-∠=∠=⊙F ； (2)解：⊙AB 与O 相切，AD 与O 相切，⊙AB =AD =3，⊙CD =2，⊙AC =5，⊙BC =4，设O 的半径为x ，则OD =x ，OC =4-x ，在Rt COD 中，由勾股定理得：222OD CD OC +=，⊙()222x 24x +=-，解得：x =1.5，⊙O 的半径为1.5，即OB =1.5，⊙DF 为直径，DF =3，⊙⊙DEF =90°，⊙BAO F ∠=∠，⊙ 1.51tan tan 32OB F BAO AB =∠===， ⊙EF =2DE ，在Rt DEF △中，由勾股定理得：222DF DE EF =+，⊙222132EF EF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：65EF =65EF =（舍去）．【点拨】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键．21．(1)见分析37 【分析】（1）根据圆周角定理可得260BOD BAD ∠=∠=︒，从而得到90ODB ∠=︒ ，即可求证； （2）连接DM ，Rt ⊙BOD 中，根据直角三角形的性质可得 BO =2OD ，从而得到1OD OC ==，3BD =DE O 为的直径，可得2DE =，90DME ∠=︒，从而得到7BE =，再由1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△，可得221DM =解．(1)证明：⊙⊙BOD =2⊙BAD ，⊙260BOD BAD ∠=∠=︒，又⊙30ABD ∠=︒，⊙90ODB ∠=︒ ，即OD BD ⊥，又⊙OD 为O 的半径，⊙直线BD 是O 的切线；(2)解：如图，连接DM ，Rt ⊙BOD 中，30DBO ∠=︒，⊙2BO OD OC BC ==+，又1BC =，OD OC =，⊙1OD OC ==，⊙3BD =⊙DE O 为的直径，⊙2DE =，90DME ∠=︒，在Rt ⊙BDE 中，227BE DE BD +⊙1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△， ⊙221BD DE DM BE ⋅= 在Rt ⊙BDM 中，2237BM BD DM =- 【点拨】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．22．(1)80°，130°；(2)见分析过程；(3)见分析过程．【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB ＝∠ADB ＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB ＝125°；（2）由三角形的内心的性质可得AE 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，可得∠BAE ＝∠CAE ，∠ABE ＝∠CBE ，由外角的性质可得∠BED ＝∠DBE ，可证DE ＝CD ；（3）由垂径定理可得OD ⊥BC ，由平行线的性质可得OD ⊥DG ，可得结论．(1)解：如图，连接BD ，OD ，∵AB AB =，∴∠ACB ＝∠ADB ＝80°，∴∠ABC +∠BAC ＝100°，∵点E 是△ABC 的内心，∴AE 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∠ABE ＝∠CBE ，∴∠BAE +∠ABE ＝50°，∴∠AEB ＝130°，故答案为：80°，130°；(2)证明：∵∠BAE ＝∠CAE ，∴BD ＝CD ，∴BD ＝CD ，∵∠BAE ＝∠CAE ＝∠CBD ，∠ABE ＝∠CBE ，∴∠BED ＝∠BAE +∠ABE ＝∠CBD +∠CBE ＝∠DBE ，∴BD ＝DE ，∴DE ＝CD ；(3)证明：∵BD ＝CD ，∴OD ⊥BC ，∵DG ∥BC ，∴OD ⊥DG ，又∵OD 是半径，∴DG 是⊙O 的切线．【点拨】本题考查了三角形的内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．23．(1)见详解；(2)见详解．【分析】（1）作射线OP ，以点P 为圆心，任意长为半径画弧交射线于M ，N ，以点M ，N 为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点E ，作直线PE ，交AC 于点Q ，则直线PQ 即为所求；（2）如图，连接AP ，则BP =PC ，根据中位线的性质证得OP AC ∥，由切线的性质，平行线的性质证PQ AC ⊥，根据直径所对的圆周角是直角，得90D ∠=︒，证得PQ BD ∥问题得证．(1)解：如图所示，直线PQ 即为所求；(2)证明：如图，连接AP ，AB AC =，BP PC ∴=，OA OB =，OP AC ∴∥，OP 是O 的切线，OP PQ ∴⊥，PQ AC ∴⊥，AB 是O 的直径，90D ∴∠=︒ ，BD AC ⊥，BD DC ∴∥，1CQ PC DQ BP∴==， DQ CQ ∴=.【点拨】本题考查了圆的综合题、圆的半径相等、切线的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、三角形中位线的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，作辅助线是解决本题的关键．24．(1)52图见分析⊙14【分析】（1）先求出直径AC，再得到⊙ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；（2）⊙以B点为圆心，BD为半径，和以A点为圆心，AD为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可；⊙过A点作AH⊙BD，先求出BD的长，再证明⊙BDE是等腰直角三角形，故可求出DE 的长．解：(1)⊙AB = 6，BC = 8，⊙ABC = 90°，⊙AC22+=，AC是⊙O的直径6810⊙⊙ADC=90°⊙弧AD = 弧DC⊙AD=CD⊙⊙ADC是等腰直角三角形⊙AD2+CD2=AC2解得CD=52(2)⊙如图，⊙ABE为所求；⊙过A点作AH⊙BD，⊙弧AD = 弧DC⊙ABC=45°⊙⊙ABD=⊙CBD=12⊙⊙ABH是等腰直角三角形⊙AB2=BH2+AH2，AH=BH⊙AH=BH2⊙AD=CD2⊙在Rt⊙ADH中，DH2242-=AD AH⊙BD=BH+DH=2⊙⊙ABE与⊙ABD关于直线AB对称⊙⊙EBD=2⊙ABD=90°，BE=BD=2⊙⊙BDE是等腰直角三角形⊙DE2214+．BE BD【点拨】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰直角三角形的判定与性质及对称性的应用．。
初中数学《三角形的内切圆、外切圆》专题练习试卷及答案
6《三角形的内切圆、外接圆》专题练习试卷1. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．81题图 2题图 3题图2. 如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 如图，△ABC 内接于圆，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，B 点正好落在圆点E 处，若∠C ＝50°，则∠BAE 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°4．已知：如图，∠C ＝90°，内切圆O 分别与BC 、AC 相切于点D 、E ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由．4题图65．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，点O 是△ABC 的内心，BO 的延长线交AC 于点D ，求∠BDC 的度数．5题图弧长和扇形面积题型：1. 已知正六边形的边长为8，则较短的对角线长为 ．2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O 其边长为2，则⊙O 的内接正三角形ACE 的边长为 ．2题图 5题图 3．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A ．120° B．180° C．240° D．300°4．底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是( )．A ．7.5π cm 2B ．12π cm 2C ．15πcm 2D ．24π cm 25．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心， AB 是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB =24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．6．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？6题图参考答案1. C. 解析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QF+DQ＝2x＝11．故选：C．1题图2. C. 解析：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．63. C. 解析：连接BE，如图所示：，由折叠的性质可得：AB＝AE，∴AB AE∴∠ABE＝∠AEB＝∠C＝50°，∴∠BAE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故选：C．Array3题图4. 解：四边形ODCE为正方形，理由如下：∵内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，∴OE⊥AC，OD⊥BC．∵∠C＝90°，∴四边形ODCE为矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE为正方形．5. 解：∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠ABC＝50°，∵点O为△ABC的内心，∴∠DBC＝∠ABC＝25°，∵∠ACB＝78°，∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣78°﹣25°＝77°．66弧长和扇形面积题型：1. 8. 解析：如图，六边形ABCDEF 是正六边形，连接BF ，作AH ⊥BF 于点H ，1题图根据题意可知：BF 为较短对角线，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝8，∠BAF ＝120°，∵AH ⊥BF ，∴∠BAH=12∠BAF ＝60°， ∴∠ABH ＝30°，∴AH=12AB ＝4， 根据勾股定理，得4，∴BF ＝2BH ＝8． 故答案为：8．2. 2. 解析：连接OB 交AC 于H ．2题图在正六边形ABCDEF 中，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，6∴AB BC =，∴OB ⊥AC ，∴∠ABH ＝∠CBH ＝60°，AH ＝CH ，∴AH，∴AC ＝，故答案为．3. B. 解析：由得，∴．∴n ＝180°． 4. C. 解析：可求圆锥母线长是5cm ．∴圆锥的侧面积为：π×3×5=15π.5. 解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC =12，∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆=12π•OB 2-12π•OC 2=12π（OB 2-OC 2）=12πAC 2=72π． 故答案为72π．5题图6. 解：∵圆O 的周长为20πcm ，∴圆O 的半径=10cm ，∵圆A 圆B 周长都是4πcm ，∴圆A 圆B 周长半径都是2，∴圆A 在圆O 内沿圆O 滚动半径是10﹣2=8，圆B 在圆O 外沿圆O 滚动半径是10+2=12∴要回到原来的位置，圆B 转动的周数=12÷2=6，圆A 转动的周数=8÷2=4．22rl r ππ=2l r =22180n r r ππ=。
内切圆练习题
内切圆练习题内切圆是指一个圆与一个图形（如三角形、四边形等）的内部，恰好相切于图形的一条边或多条边的圆。
内切圆在几何学中有着重要的应用，不仅可以推导出许多有趣的性质，还可以应用于解决实际问题。
本文将为你提供一些关于内切圆的练习题，帮助你巩固这一概念。
一、三角形1. 以三角形ABC为例，已知AB=5cm，BC=4cm，AC=6cm。
求三角形ABC的内切圆的半径。
解析：根据内切圆的性质，内切圆的半径即为三角形内切圆的切点到三角形某一边的距离。
设内切圆的半径为r，内切圆切点为D、E、F，则三角形的边长分别为AD、BE、CF。
根据海伦公式可知，三角形的面积为S=s√(s-a)(s-b)(s-c)，其中s为半周长，a、b、c为三角形的边长。
根据内切圆的性质，有AD+CF=a，BE+AF=b，CD+BD=c。
根据三角形的面积公式，S=rs，其中r为内切圆的半径，s为半周长。
将以上条件带入公式，列方程求解出r的值。
2. 以三角形ABC为例，已知∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm。
内切圆的半径为r1，外接圆的半径为r2。
求r1和r2的大小关系。
解析：根据直角三角形的性质可知，直角三角形的外接圆的直径等于斜边的长度。
所以，外接圆的直径为AC=√(AB²+BC²)=10cm，因此外接圆的半径r2=5cm。
根据内切圆的性质可知，内切圆的半径等于直角三角形的两条直角边之和减去斜边的长度的一半。
所以，内切圆的半径r1=AB+BC-AC/2=9cm。
综上所述，r1=9cm，r2=5cm， r1>r2。
二、四边形1. 以正方形ABCD为例，已知AB=6cm。
求正方形ABCD的内切圆的半径。
解析：由于正方形的边长相等，所以四个角都为90°，内切圆将正方形划分成四个等边小三角形。
设内切圆的半径为r，根据内切圆的性质，内切圆的切点到正方形某一边的距离等于绕圆周的90°弧的长度。
三角形的内切圆练习题
三角形的内切圆一、回顾旧知:如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米。
这个集贸市场应建在何处？二、结合问题、自主探究1、思考：已知一张三角形铁皮余料，现要用它截出一个最大的圆形，如何截？你能将此问题变成数学问题吗？(1)要使圆最大，圆应满足什么条件？(2)圆心怎么找？2、请用用尺规作图在右中做出所要求做的圆：3、阅读课本填空：(1)____________________________________的圆叫做三角形的内切圆。
(2) 三角形的内切圆有__个，圆的内切三角形有__个。
(3) 三角形的内心是三角形的_____________________的交点，是三角形____的圆心。
(5) 三角形的内心和三角形的外心的区别：三、运用知识、巩固提高1、如图，已知△ABC中，∠ABC=500,∠ACB=750,点O是内心，求∠BOC的度数。
变式：若已知O是△ABC的外心，则∠BOC的度数是_____.结论：O是△ABC的内心，∠BOC=__________.O是△ABC的外心, ∠BOC=__________.2、如图△ABC的内切圆半径为r, △ABC的周长为l求△ABC的面积。
3、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm ,BC=14 cm,CA=13 cm求AF、BD、CE的长。
结论：若△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，则AF=AE=____________；BF=BD=___________；CE=CD=_______________. 4、已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，BC=a，AC=b，AB=c求Rt△ABC的内切圆的半径。
结论：Rt△ABC的内切圆的半径r=___________，外接圆的半径R=________。
三角形的内切圆经典练习
例：如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（ B ）A15 B9 C7.5 D7如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA= 2 ．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（ C ）A ．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ C ）A r B．rC．2r D．r如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（ C ）A ．B．C．D．如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，若∠BAC=70°，则∠BOC= 125 度．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC=80°，求∠BOC的度数．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（ A ）A76°B68°C52°D38°如图，已知E是△ABC的内心，∠BAC的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的长．如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 外接圆O 于点E ，连接BE 、CE ． （1）若AB=2CE ，AD=6，求CD 的长；（2）求证：C 、I 两个点在以点E 为圆心，EB 为半径的圆上．边长为a 等边三角形内切圆半径公式：a r 63=;外接圆半径公式：a r 33= 一般三角形内切圆半径公式：)(21为三角形周长l lr s =例：如图，若正△A 1B 1C 1内接于正△ABC 的内切圆，则的值为（ A ）A．B ．C．D．已知正三角形A 1B 1C 1的边长为1，作△A 1B 1C 1的内切圆⊙O ，再作⊙O 的内接正三角形A 2B 2C 2，继续作△A 2B 2C 2的内切圆，…， A ． B ． C ． D ．一元硬币的直径为24mm ，则完全覆盖住它的正三角形的边长至少需要 41.6 mm （精确到0.1mm ）．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，CF，BE交于点P，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则△CPB 的面积为 1.5 cm2．如图，若等边△ABC的边长为2cm，内切圆O分别切三边于D，E，F，则阴影部分的面积是（ D ）C ．πD．πOC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r，S△OCA=CA•r∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求内切圆半径和AI的长．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2=AB•BE．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
【2021中考数学】三角形的内切圆专题含答案
三角形内切圆一．选择题1．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°2．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O 作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．B．2C．D．4．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm5．如图，在平整的桌面上面一条直线l，将三边都不相等的三角形纸片ABC平放在桌面上，使AC与边l对齐，此时△ABC的内心是点P；将纸片绕点C顺时针旋转，使点B落在l上的点B'处，点A落在A'处，得到△A'B'C'的内心点P'．下列结论正确的是（）A．PP'与l平行，PC与P'B'平行B．PP'与l平行，PC与P'B'不平行C．PP'与l不平行，PC与P'B'平行D．PP'与l不平行，PC与P'B'不平行6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则点F为（）A．△ABC的外心B．△ABC的内心C．△BCE的外心D．△ABE的内心7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠EDF的度数是（）A．60°B．130°C．50°D．65°8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（）A．64°B．120°C．122°D．128°9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOBC．4∠AIB﹣∠AOB＝360°D．2∠AOB﹣∠AIB＝180°10．如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE ⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则OP＝．正确的个数有（）A．2B．3C．4D．0二．填空题11．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC ＝5，BC＝6，则DE的长是．12．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为．13．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝．14．如图，△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝50°，点P为AB边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为△BPC的内心则：（1）CP的最小值＝；（2）∠CIB的取值范围是．15．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝°．三．解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．（1）求⊙O半径的长．（2）求证：BC＝BI．17．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC 的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．18．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．2．解：∵点O为△ABC的内心，∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∴∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝∠CBA，∴∠AOB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），∵∠C＝58°，∴∠CAB+∠CBA＝122°，∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，故选：A．3．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴OE＝OH＝OF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴×3×4＝×3×OH+×3×OF+×3×OE，∴OE＝OF＝OH＝1，法一：∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴四边形OFBH是矩形，∴BF＝OH＝1，∴CF＝3，∵点O为Rt△ABC的内心，∴∠OCF＝∠OCE，又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，∴△COE≌△COF（AAS），∴CE＝CF＝3，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，∴OD＝DC，∵OD2＝DE2+OE2，∴CD2＝（3﹣CD）2+1，∴CD＝；法二：过D作DG⊥BC，垂足为G，如下图所示，∵AB⊥BC，DG⊥BC，OF⊥BC，OD∥BC，∴AB∥DG，DG＝OF＝1，∴△ABC∽△DGC，∴，∴，∴DC＝；故选：A．4．解：如图，连接AI，BI，∵点I为△ABC的内心，∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，∴DI∥AC，EI∥BC，∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，∴DA＝DI，EB＝EI，∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4．所以图中阴影部分的周长为4．故选：D．5．解：如图，连接CP、CP′、PP′、P′B′，∵三角形纸片ABC绕点C顺时针旋转，∴CP＝CP′，∴∠CPP′＝∠CP′P，∴2∠CPP′+∠PCP′＝180°，∵△ABC的内心是点P，∴∠ACP＝ACB，∵∠A′CB′＝∠ACB，∠B′CP′＝A′CB′，∴2∠ACP+∠PCP′＝180°，∴∠CPP′＝∠ACP，∴PP′∥l；∵∠BCA≠∠A′B′C，∴∠PCA≠∠P′B′C，∴PC与P′B′不平行．所以PP′与l平行，PC与P′B′不平行．故选：B．6．解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AD是∠BAC的角平分线，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA＝36°，∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE是∠ABC的角平分线，∵BE、AD交于点F，∴点F是三角形内角平分线的交点，∴点F是△ABC的内心．故选：B．7．解：连接IF，IE，∵∠B＝60°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴IF⊥AB，IE⊥AC，∵∠A＝50°，∴∠FIE＝130°，∴∠EDF＝＝＝65°．故选：D．8．解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故选：C．9．解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+∠AOB，即4∠AIB﹣∠AOB＝360°．故选：C．10．解：不妨设∠BAD＝∠ABC，则＝，∵＝，∴＝＝，这个显然不符合题意，故①错误，连接OD，∵GD是⊙O的切线，∴OD⊥DG，∴∠ODG＝90°，∴∠GDP+∠ODA＝90°，∵GE⊥AB，∴∠AEP＝90°，∴∠P AE+∠APE＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠APE＝∠GPD，∴∠GDP＝∠GPD，∴GP＝GD，故②正确，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACP+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵＝，∴∠CAP＝∠ABC，∴∠P AC＝∠PCA，∴PC＝P A，∵∠AQC+∠CAP＝90°，∠ACP+∠PCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠PQC，∴PC＝PQ，∴P A＝PQ，∵∠ACQ＝90°，∴点P是△ACQ的外接圆的圆心，故③正确，∵与不一定相等，∴∠CAP与∠DAB不一定相等，∴点P不一定是△AOC的内心，故④错误，∵DG∥BC，OD⊥DG，∴OD⊥BC，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∠CAD＝∠DAB＝30°∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∵CE⊥OA，∴∠ACE＝∠OCE，∴点P是△AOC的外心，∴OP＝AP＝PC＝＝＝，故⑤错误，故选：A．二．填空题11．解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故答案为：．12．解：如图，点I即为△ABC的内心．所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．13．解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，故答案为：1．14．解：（1）根据垂线段最短可知：当CP⊥AB时，PC的值最小，∵此时∠APC＝90°，∠A＝30°，∴PC＝AC＝4，故答案为4．（2）∵I为△BPC的内心，∴∠IBC＝∠PBC，∠ICB＝∠PCB，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BPC）＝90°+∠BPC，∵30°＜∠BPC＜130°，∴105°＜∠BIC＜155°，故答案为105°＜∠BIC＜155°．15．解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠DBI，∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝70°，∴∠BID＝∠DBI＝＝55°故答案为：55．三．解答题16．解：（1）∵AC是⊙的直径，∴∠ADC＝90°＝∠ABC，又∠ADB＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴，∴AB＝BC∵AB＝2，∴∴⊙O的半径为；（2）连结AI，∵I是△ADC的内心．∴∠DAI＝∠CAI，∠AIB＝∠DAI+∠ADI，∠BAI＝∠BAC+∠CAI，∵∠BAC＝∠ADI，∴∠BAI＝∠AIB，∴AB＝BI，即BC＝BI．17．解：（1）证明：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠ACO+∠ECD＝90°，∵ED⊥AD，∴∠A+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝DE．（2）方法一：∵AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∵OC⊥CD，∴由勾股定理可得，CD2＝（1+BD）2﹣12，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（1+BD）2﹣12＝32﹣（2+BD）2，∴或（舍去）．方法二：由弦切角定理得∠DCB＝∠DAC，∵∠CDB＝∠ADC，∴△CDB∽△ADC，∴，即CD2＝AD•BD＝（2+BD）•BD，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（2+BD）•BD＝32﹣（2+BD）2，解得或（舍去）．（3）如图，连接BF，PB，AF，∵CF平分∠ACB，∴，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠CBP＝∠ABP，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴∠2+∠CBP＝∠3+∠ABP，∴∠FPB＝∠FBP，∴．方法二：如图，连接AF，BF，AP，∵CF平分∠ACB，∴，∴∠ACF＝∠ABF＝∠BAF，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴AP平分∠CAB，∴∠CAP＝∠BAP，∵∠P AF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF，∴∠P AF＝∠APF，∴．18．解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．。
S三角形的内切圆（旁切圆）的半径（附典例），家长为孩子收藏吧
S三⾓形的内切圆（旁切圆）的半径（附典例），家长为孩⼦收藏吧如下图所⽰，O为△ABC的内⼼，即△三内⾓平分线的交点，作者寄语：有关更多教育、学习⽅法、提分技巧、培养学习兴趣等学习资料，帮助您孩⼦找到适合的学习⽅法。
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S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1/2（a+b+c）r;当△ABC为直⾓三⾓形时，可得：2ab=（a+b-c）r；则r=2ab/（a+b-c）或者，也可以这样表⽰：c=（a-r）+（b-r），得r=（a+b-c）/2；【⼤显⾝⼿】已知OA=3，OB=4，AM、OM分别为△AOB的⾓平分线，AB=5，求点M的坐标。
三⾓形的旁切圆的半径三⾓形有3个旁切圆，则要分三种情况来谈论三⾓形旁切圆的半径。
第1种情况：如下图所⽰，通过⾯积的等差法处理，可以得到：S△ABC=S△ABO+S△ACO-S△BOC=1/2cr+1/2br—1/2ar=1/2r（b+c-a）；则 r=2S△ABC/（b+c-a）；第2种情况：如下图所⽰，通过⾯积的等差法处理，可以得到：S△ABC=S△OBC+S△OAC-S△OAB=1/2ar+1/2br—1/2cr=1/2r（b+a-c）；则 r=2S△ABC/（b+a-c）；第3种情况：如下图所⽰，通过⾯积的等差法处理，可以得到：S△ABC=S△ABO+S△BCO-S△OAC=1/2cr+1/2ar—1/2br=1/2r（c+a-b）；则 r=2S△ABC/（c+a-b）；【温馨提⽰】以上推理过程只是为了告诉⼤家，当△ABC为RT三⾓形的时候，是可以通过⾯积法直接计算旁切圆的半径的。
【基础知识拓展】已知△ABC三边分别为a，b，c，（1）设BD=x，AC=b=（c-x）+（a-x），得x=(a+c-b)/2；（2）设AD=y，BC=a=（c-y）+（b-y），得y=(b+c-a)/2；（3）设CE=z，AB=c=（a-z）+（b-z），得z=(a+b-c)/2；（4）如下图所⽰，当△ABC为RT△，则r=（a+c-b）/2；【练练基础】在△ABC中，CD⊥AB，O1、O2分别为△ACD和△BCD的内⼼，AD=6，CD=8，BD=15，则O1O2=？【涛哥图解】利⽤基本图，很快可以求出R1=2，R2=3；接下来，求O1O2的长度，处理⽅法很多，介绍2种。
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例：如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC 边的长为6，则△ADE的周长为（B）
A．15 B．9C．7.5 D．7
如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=2．
如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（C）
A．E F＞AE+BF B．E F＜AE+BF C．E F=AE+BF D．E F≤AE+BF
如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P 作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（C）
A．r B．
r C．2r D．
r
如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（C）
A．B．C．D．
如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，若∠BAC=70°，则∠BOC=125度．
如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC=80°，求∠BOC的度数．
如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为
如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（A）
A．76°B．68°C．52°D．38°
如图，已知E是△ABC的内心，∠BAC的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；
（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的长．
如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交△ABC 外接圆O 于点E ，连接BE 、CE ．
（1）若AB=2CE ，AD=6，求CD 的长；
（2）求证：C 、I 两个点在以点E 为圆心，EB 为半径的圆上．
边长为a 等边三角形内切圆半径公式：a r 63=
;外接圆半径公式：a r 33= 一般三角形内切圆半径公式：)(21
为三角形周长l lr s =
例：如图，若正△A 1B 1C 1内接于正△ABC 的内切圆，则的值为（ A ）
A ．
B ．
C ．
D ．
已知正三角形A 1B 1C 1的边长为1，作△A 1B 1C 1的内切圆⊙O ，再作⊙O 的内接正三角形A 2B 2C 2，继续作△A 2B 2C 2的内切圆，…，如此作下去，则正三角形A n B n C n 的边长为（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ． 不能确定
一元硬币的直径为24mm ，则完全覆盖住它的正三角形的边长至少需要 41.6 mm （精确到0.1mm ）．
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ，CF ，BE 交于点P ，AC=4cm ，BC=3cm ，AB=5cm ，则△CPB 的面积为 1.5 cm 2．
如图，若等边△ABC的边长为2cm，内切圆O分别切三边于D，E，F，则阴影部分的面积是（D）
A．2πB．πC．
πD．π
阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r，S△OCA=CA•r
∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求内切圆半径和AI的长．
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE 的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径．
如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：BD2=AB•BE．
如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠
CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．。