力法的基本概念

力法的基本概念

一、超静定结构和超静定次数

1．超静定结构的概念

①几何构造方面：有多余约束的几何不变体系。

②力学解答方面：方程的个数少于未知力的个数。

2．超静定次数的确定

去掉多余约束使超静定结构成为静定结构，所去掉的多余约束数目，就是超静定次数。

一般地，

*切断链杆（或支杆）是去掉了一个约束，相应一个约束力；

*拆开一个铰（或固定铰支座）是去掉了两个约束，相应两个约束力；*切端刚结点（或固定支座）是去掉了三个约束，相应三个约束力；*刚结点变为铰结点，是去掉了一个约束，相应一个约束力；

①

②③

二、力法的基本结构和多余未知力

1．超静定结构经过去掉多余约束后，变为静定结构，这个静定结构称为力法的基本结构。去掉的多余约束所对应的约束力，称为力法的多余约束力。基本结构、荷载与多余未知力合称基本体系。

2．基本结构的形式不唯一。

一般地，基本结构和多余未知力同时产生。选取时，应使计算简单为前提。

前例题与练习中，给出了每个结构的部分基本结构和相应的多余未知力。

三、力法原理

1．基本假设：弹性小变形

2．确定超静定次数，选取恰当的基本体系

3．位移协调条件的确定（即，补充方程的建立）

4．计算柔度系数（单位未知力产生的位移），建立力法方程

5．结构内力的叠加公式

6．作内力图

示例1

P P

L X

L 基本体系

解：1）一次超静定结构，取基本体系如图所示。

2）基本思路

超静定结构用平面三个平衡方程是不够的。注意到原结构在荷载作用下的内力和变形是唯一确定的，特别地，支座反力也是确定的。因此，如果设X是支座反力，则原结构的内力与变形就与基本体系（其结构是静定的）在荷载P和支座反力X共同作用下的内力与变形等价。这样，原超静定结构的计算就转化为静定结构的计算。

问题是，X是未知的。需要考虑位移协调条件，即，补充方程。显然，基本体系中，B端是自由端；而原超静定结构中却是有支座的。要保证是等价关系，就必须保证基本体系在P和X共同作用下，在B 端的竖向位移是零。其办法是：

在基本结构中，按叠加法把P和X的共同作用分别作用在基本结构上，

①荷载P作用下，在B端产生的竖向位移的计算

P P L

P=1

PL M P图L M 图

EI PL L PL L EI P 22113-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯⨯⨯-=∆ ②X 作用下在B 端产生的竖向位移计算

X X=1 P=1 L M 图 由于X 是未知的，由X 产生的位移X ∆X X ⋅∆==1=X ⋅δ 式中，δ是X=1时在B 端产生的位移。其计算如图。

EI

L L L L L L L EI 34322113

=

⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⨯⨯⨯+⨯⨯=δ 即得：X ∆=X ⋅δ=X EI

L ⋅343

从而，位移协调条件就是：X ∆+0=∆P 即， X ⋅δ+0=∆P （力法方程，可解出X ）

X=P ⋅8

3

（向上）

多余未知力解出后，原超静定结构的其余未知力可由平面三个平衡方程求得，结构内力也就可求。 3）内力图的作法

上述思路不仅限于求多余未知力，其内力有下列关系。 P

= + X M P 图 M X 图

X P M M M +==X M M P ⋅+ ，

X P V V V +==X V V P ⋅+ ， X P N N N +==X N N P ⋅+

4）综上所述，在用力法求所给超静定结构时，所作的弯矩图最基本的有两个，M P图与M图。分别表示：基本结构仅在荷载作用下的弯矩图，仅多余未知力等于1时的弯矩图。

P L

X=1 PL M P图L M图

M P图与M图图乘表示荷载P作用下在B端产生的竖向位移，M图自己与自己图乘表示多余未知力X=1时在B端产生的竖向位移。

5）把图放大X倍，与M P图叠加就得原结构的弯矩图。

示例2

q

L L

解：1）二次超静定结构。

2）基本体系取为多跨梁，并画出多余未知力。

3）基本思路

如果A 、B 处的弯矩X 1 ，X 2就是原结构在荷载作用下的弯矩，则原结构的内力可看作如下的叠加：

X 1 ，X 2未知，可先求X 1=1 ，X 2=1时的内力图。 4）位移协调条件

荷载q ，多余未知力X 1 ，X 2共同作用下，在A 截面产生的转角为零；在B 截面产生的相对转角为零。

5）荷载q 在A 截面、B 截面都要产生转角，记为P 1∆，P 2∆ ，求法如下：

作M P 图（荷载作用时基本结构的弯矩图）

1M 图（P=1时基本结构的弯矩图） 2M 图（P=1时基本结构的弯矩图）

01=∆P ，EI

qL qL L EI P

242183212

22=⨯⨯⨯=∆

6）X 1=1在A 截面、B 截面都要产生转角，记为11δ，21δ ，求法：

1M 图（P=1时基本结构的弯矩图） 2M 图（P=1时基本结构的弯矩图）

EI L L EI 332121111=⨯⨯⨯⨯=

δ ，EI

L L EI 631121121=⨯⨯⨯⨯=δ 7) X 2=1在A 截面、B 截面都要产生转角，记为12δ，22δ ，求法：

1M 图（P=1时基本结构的弯矩图） 2M 图（P=1时基本结构的弯矩图）

=12δEI L L EI 631121121=⨯⨯⨯⨯=

δ , EI

L

L EI 322)132121(122=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=δ 8) 荷载q ，多余未知力X 1 ，X 2共同作用下，在A 截面产生的转角为零,即，

01212111=∆+⋅+⋅P X X δδ --------------（1）

荷载q ，多余未知力X 1 ，X 2共同作用下，在B 截面产生的相对转角为零，即

02222121=∆+⋅+⋅P X X δδ ---------------（2） 9）M 图的作法

由（1）、（2）式解出X 1 ，X 2 ，M 图可用叠加法作出。