系统辨识课件2 西工大
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1 T ∞ g (σ ) x(t + τ − σ )dσ dt = ∫ x(t ) ∫ 0 T 0 = 1 T
∫
T 0
x (t ) y (t + τ ) dt
可见计算Rxy(τ 只需计算一个周期即可。 可见计算Rxy(τ)只需计算一个周期即可。 Rxy(
4.离散二位式白噪声 4.离散二位式白噪声
i=0
N −1
其图形如图示。
可见，只需将R 曲线向上平移A 即可得g( g(τ 可见，只需将Rxy(τ)曲线向上平移A，即可得g(τ)。 注：当τ→∞时，g(τ)→0.
(2)公式法求g(τ)
N +1 2 a2 Rxy (τ ) = a Δg (τ ) − N N
∫
NΔ 0
g (σ )dσ
(1)
两边积分有
离散白噪声：连续白噪声等间隔采样而成的随机序列。显 离散白噪声 然，该噪声具有连续白噪声相同的统计特性，即
E(X ) = 0
σ 2 i = j E ( xi x j ) = 0 i≠ j
i , j = 1, 2 ,3, ⋯
二位式：离散随机变量取值只有两种数值，没有第三种取 二位式 值情况。例如，-1和1.
2 1 1 N g m = g m−1 + 2 m + 1 a ( N + 1)Δ⋮ 1
1 ⋯ 1 x(m) 2 ⋯ 1 x(m − 1) y(m) − g m−1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2 x(m − N + 1)
2.M序列的特点 2.M序列的特点
(1)伪随机二位式序列； (2)M序列的数字特征与白噪声相似； (3)确定性序列； (4)工程上可以方便地重复产生。 因此，下面学习以下知识： (1)伪随机噪声； (2)离散二位式白噪声序列； (3)伪随机离散二位式序列；(M序列) (4)二电平M序列；
3.伪随机噪声辨识脉冲响应 3.伪随机噪声辨识脉冲响应
二电平M序列辨识g(τ)有两种方法：作图法和公式法。 (1)作图法
R xy (τ ) = ∫ g (σ ) R x (τ − σ )dσ = ∫
0 ∞ N∆ 0
g (σ ) R x (τ − σ )dσ
=∫
N∆ 0
N +1 2 a2 a Δδ (τ − σ ) − g (σ )dσ N N
产生伪随机序列条件：各寄存器初始状态不全为零。 例：取初始状态全为1，则各寄存器状态为
1111(初态)→0111→0011→0001→1000→0100→0010→1001→1100 →0110→1011→0101→1010→1101→1110→1111
输出序列为：111100010011010 (长度N=15) 推广：若寄存器个数为n，则有 (1) 周期长度N=2n-1 ; (2) 总游程=2n-1 ; (3) “0”出现次数为(N-1)/2,“1”出现次数为(N+1)/2. 相差1次。
其中:
R x2 (τ ) = − a 2 / N R 1 (τ ) = R x (τ ) − R x2 (τ ) x
N 2 τ a (1− ) −∆ <τ < ∆ ∆ = N +1 ∆ ≤τ ≤ (N −1)∆ 0
R 1 (τ ) 的波形如下： x
当Δ很小时，Rx1(τ)可认为是脉冲函数，则有
⇒ g (τ ) = R xy (τ ) / K
得到了与白噪声作为输入的相同辨识结果。 得到了与白噪声作为输入的相同辨识结果
下面来计算Rxy(τ),先计算Rx(τ)：
1 T1 1 nT Rx (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t +τ )dt = lim ∫0 x(t)x(t +τ )dt 0 T1 →∞ T nT →∞ nT 1 n T 1 T = lim x(t ) x(t + τ )dt = ∫ x(t ) x(t + τ )dt nT →∞ nT ∫0 T 0 ∞ ∞ 1 T Rxy (τ ) = ∫ g (σ ) Rx (τ − σ ) dσ = ∫ g (σ ) ∫ x(t ) x(t + τ − σ )dt dσ 0 0 T 0
6.二电平M 6.二电平M序列及其性质 二电平
工程实际：将M序列转变成电平信号，“0”取为av,“1”取为-av 。 工程实际 移位脉冲周期为Δ，则该二电平M序列的周期为NΔ。 数字特征： 数字特征： (1)均值mx 在一个周期NΔ内，其均值mx为
mx =
1 N −1 N +1 a ( a∆ − a∆) = − N∆ 2 2 N
显然， N→∞时 显然，当N→∞时，mx→0.
(2)自相关函数Rx(τ) 不加证明给出Rx(τ)的计算结果。
− a2 / N R x (τ ) = ∆ − τ τ a2 τ a2 a2 − + 2 N∆ N ∆ ∆
当N很大时，上式可写为
2 N +1 τ ) a (1− N ∆ Rx (τ ) = a2 − N
2T
= ∫ g (σ ) kδ (τ − σ ) dσ + ∫
T
g (σ ) kδ (t + τ − σ )dσ + ⋯
= kg (τ ) + kg (τ + T ) + kg (τ + 2T ) + ⋯
选择适当的截断周期，使g(τ)在τ<T时已衰减至零。 则上式可写成：
R xy (τ ) = Kg (τ ) + 0 = Kg (τ )
~ g m = g m−1 + K(g m - g m−1)
~ 式中， g m 为利用新观测值对g的预测值。 g
2 1 N g= 2 a ( N + 1)Δ ⋮ 1
1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 R xy ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2
1 m−1 1 m Rxy (i, m) = y(k ) x(k − i) = y(k ) x(k − i) + y(m) x(m − i) ∑ ∑ m +1 k =0 m +1 k =0
∫
N∆
0
N∆ N +1 2 N∆ a2 Rxy (τ )dτ = a Δ g(τ )dτ − NΔ g(τ )dτ ∫0 ∫0 N N a 2 N∆ = Δ ∫ g (τ ) d τ N 0
代入(1)式，可解得g(τ)为
N 1 1 NΔ g (τ ) = 2 Rxy (τ ) + Δ∫ 0 Rxy (τ )dτ N + 1 a Δ
T
g = [g ( 0 )
x ( 0) x(−1) X = ⋮ x(− N + 1)
g (1)
⋯
g ( N − 1) ]
⋯ ⋯
x(rN − 1) x(rN − 2) ⋮ ⋮ x(− N + 2) ⋯ x(rN − N ) x(1) x ( 0)
Y =Fra Baidu bibliotek[y ( 0 )
R 1 (τ ) = x N +1 2 a ∆ δ (τ ) N
N +1 2 a2 Rx (τ ) = a ∆δ (τ ) − N N
可见， 序列具有白噪声序列的数字特性。 可见，M序列具有白噪声序列的数字特性。
7.二电平M序列辨识系统的脉冲序列g(τ 7.二电平M序列辨识系统的脉冲序列g(τ) 二电平 g(
N +1 2 a2 = a Δg (τ ) − N N
∫
NΔ 0
g (σ )dσ
记：
a2 A= N
∫
N∆ 0
g (σ ) d σ
，A为常数
N +1 2 a ∆g (τ ) − A 则有： R xy (τ ) = N
Rxy(τ)可根据输入输出数据序列计算：
1 R xy (τ ) = N
∑ x (i ) y (i + τ )
伪随机噪声由白噪声截断而来，是一个周期性信号。
伪随机噪声及自相关函数
伪随机噪声信号作为输入信号，则有：
Rxy (τ ) =
∫
0
∞ 0
g (σ ) Rx (τ − σ )dσ
2T T
= ∫ g (σ ) R x (τ − σ )dσ + ∫
T 0
T
g (σ ) R x (τ − σ ) dσ + ⋯
2.2 M序列辨识系统的脉冲响应
1.M序列的由来 1.M序列的由来
脉冲输入 白噪声输入 得脉冲响应，工程上不可实现 相关法得脉冲响应，工程上不可实现
因此，必须用工程中可重复产生的输入信号来辨识 系统的脉冲响应序列。 工程上，采用M序列来辨识系统的脉冲响应序列。 工程上，采用M序列来辨识系统的脉冲响应序列。
[
]
[
]
gm
将 Rxy (i, m) 代入上式有
2 1 N gm = 2 a (N +1)Δ⋮ 1 1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2 Rxy(0, m−1) x(m) Rxy(0, m−1) x(m−1) R (1, m−1) Rxy(1, m−1) 1 − xy + m+1 y(m) ⋮ ⋮ ⋮ Rxy(N −1, m−1) x(m− N +1) Rxy(N −1, m−1)
1 τ =0 0 τ ≠ 0
注：状态“1”和“-1”连续出现的段叫游程。
5.M序列的产生方法及其性质 5.M序列的产生方法及其性质
M序列：将离散二位式噪声序列截断后，构造出的伪随机序列。 序列 显著特点： 显著特点： (1)M序列是一个确定性序列,可重复产生； (2)M序列具有与离散二位式白噪声相似的性质。 产生方法：工程上产生M序列采用移位寄存器方法。 产生方法：
离散二位式白噪声：序列中元素一般取为1和-1，也是真 离散二位式白噪声 正意义上的白噪声，用其作为输入信号，辨识g(τ)的结 果与连续白噪声的是完全一致。 例：某离散二位式噪声 1111-1-1-11-1-111-11-1··· 主要性质:(1)-1和1出现的次数相等； 主要性质: (2)总游程数位(N+1)/2,且-1和1出现的游程相 等，最多相差1个。(N为序列长度) (3)其自相关函数为 Rxx(τ) =
∑ x (i ) y (i + τ )
i=0
N −1
上述公式组，每次计算可得到g(τ)的一个离散值。
g(τ g(τ)一次性计算公式 在系统输入(r+1)个周期二电平M序列时，有
2 1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 g = 2 a r ( N + 1)Δ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 1 1 XY ⋮ 2
y (1 )
⋯
y ( rN − 1 ) ]
T
(3)g(τ)的递推算法(在线辨识) 递推算法： 递推算法：假设我们得到了(m-1)组观测数据时的辨识结果 gm-1，现在又得到了一组新的观测值(xm,ym)。现在讨论，就 gm-1与(xm,ym)数据来如何得到新的g(τ)估计值gm问题。 g 一般递推算法的计算公式形式如下：
公式法求g(τ)公式组 公式法求g(τ g(
N 1 g (τ ) = Rxy (τ ) + g0 2 N +1 a Δ
N 1 g0 = N + 1 a 2Δ2
∫
NΔ 0
R xy (τ ) dτ
∫
NΔ 0
Rxy (τ ) dτ ≈ Δ∑ Rxy (i )
i =1
N −1
1 R xy (τ ) = N
上式即为g(τ 的递推公式。 上式即为g(τ)的递推公式。 g(
=
1 1 mRxy (i, m −1) + y(m)x(m − i) = Rxy (i, m −1) + y(m)x(m − i) − Rxy (i, m −1) m +1 m +1
2 1 N = 2 a ( N + 1)Δ ⋮ 1 1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2 R xy ( 0, m ) R xy (1, m ) ⋮ R xy ( N − 1, m )
τ >∆ τ <∆
− ∆ <τ < ∆ ∆ ≤ τ ≤ ( N −1)∆
Rx(τ)的波形如下：
a2
从图中可知， Rx(τ)由两部分构成： 三角脉冲分量，记为R 三角脉冲分量，记为Rx1(τ); 直流分量，记为R 直流分量，记为Rx2(τ);
则有：
R x (τ ) = R 1 (τ ) + R x2 (τ ) x
∫
T 0
x (t ) y (t + τ ) dt
可见计算Rxy(τ 只需计算一个周期即可。 可见计算Rxy(τ)只需计算一个周期即可。 Rxy(
4.离散二位式白噪声 4.离散二位式白噪声
i=0
N −1
其图形如图示。
可见，只需将R 曲线向上平移A 即可得g( g(τ 可见，只需将Rxy(τ)曲线向上平移A，即可得g(τ)。 注：当τ→∞时，g(τ)→0.
(2)公式法求g(τ)
N +1 2 a2 Rxy (τ ) = a Δg (τ ) − N N
∫
NΔ 0
g (σ )dσ
(1)
两边积分有
离散白噪声：连续白噪声等间隔采样而成的随机序列。显 离散白噪声 然，该噪声具有连续白噪声相同的统计特性，即
E(X ) = 0
σ 2 i = j E ( xi x j ) = 0 i≠ j
i , j = 1, 2 ,3, ⋯
二位式：离散随机变量取值只有两种数值，没有第三种取 二位式 值情况。例如，-1和1.
2 1 1 N g m = g m−1 + 2 m + 1 a ( N + 1)Δ⋮ 1
1 ⋯ 1 x(m) 2 ⋯ 1 x(m − 1) y(m) − g m−1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2 x(m − N + 1)
2.M序列的特点 2.M序列的特点
(1)伪随机二位式序列； (2)M序列的数字特征与白噪声相似； (3)确定性序列； (4)工程上可以方便地重复产生。 因此，下面学习以下知识： (1)伪随机噪声； (2)离散二位式白噪声序列； (3)伪随机离散二位式序列；(M序列) (4)二电平M序列；
3.伪随机噪声辨识脉冲响应 3.伪随机噪声辨识脉冲响应
二电平M序列辨识g(τ)有两种方法：作图法和公式法。 (1)作图法
R xy (τ ) = ∫ g (σ ) R x (τ − σ )dσ = ∫
0 ∞ N∆ 0
g (σ ) R x (τ − σ )dσ
=∫
N∆ 0
N +1 2 a2 a Δδ (τ − σ ) − g (σ )dσ N N
产生伪随机序列条件：各寄存器初始状态不全为零。 例：取初始状态全为1，则各寄存器状态为
1111(初态)→0111→0011→0001→1000→0100→0010→1001→1100 →0110→1011→0101→1010→1101→1110→1111
输出序列为：111100010011010 (长度N=15) 推广：若寄存器个数为n，则有 (1) 周期长度N=2n-1 ; (2) 总游程=2n-1 ; (3) “0”出现次数为(N-1)/2,“1”出现次数为(N+1)/2. 相差1次。
其中:
R x2 (τ ) = − a 2 / N R 1 (τ ) = R x (τ ) − R x2 (τ ) x
N 2 τ a (1− ) −∆ <τ < ∆ ∆ = N +1 ∆ ≤τ ≤ (N −1)∆ 0
R 1 (τ ) 的波形如下： x
当Δ很小时，Rx1(τ)可认为是脉冲函数，则有
⇒ g (τ ) = R xy (τ ) / K
得到了与白噪声作为输入的相同辨识结果。 得到了与白噪声作为输入的相同辨识结果
下面来计算Rxy(τ),先计算Rx(τ)：
1 T1 1 nT Rx (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t +τ )dt = lim ∫0 x(t)x(t +τ )dt 0 T1 →∞ T nT →∞ nT 1 n T 1 T = lim x(t ) x(t + τ )dt = ∫ x(t ) x(t + τ )dt nT →∞ nT ∫0 T 0 ∞ ∞ 1 T Rxy (τ ) = ∫ g (σ ) Rx (τ − σ ) dσ = ∫ g (σ ) ∫ x(t ) x(t + τ − σ )dt dσ 0 0 T 0
6.二电平M 6.二电平M序列及其性质 二电平
工程实际：将M序列转变成电平信号，“0”取为av,“1”取为-av 。 工程实际 移位脉冲周期为Δ，则该二电平M序列的周期为NΔ。 数字特征： 数字特征： (1)均值mx 在一个周期NΔ内，其均值mx为
mx =
1 N −1 N +1 a ( a∆ − a∆) = − N∆ 2 2 N
显然， N→∞时 显然，当N→∞时，mx→0.
(2)自相关函数Rx(τ) 不加证明给出Rx(τ)的计算结果。
− a2 / N R x (τ ) = ∆ − τ τ a2 τ a2 a2 − + 2 N∆ N ∆ ∆
当N很大时，上式可写为
2 N +1 τ ) a (1− N ∆ Rx (τ ) = a2 − N
2T
= ∫ g (σ ) kδ (τ − σ ) dσ + ∫
T
g (σ ) kδ (t + τ − σ )dσ + ⋯
= kg (τ ) + kg (τ + T ) + kg (τ + 2T ) + ⋯
选择适当的截断周期，使g(τ)在τ<T时已衰减至零。 则上式可写成：
R xy (τ ) = Kg (τ ) + 0 = Kg (τ )
~ g m = g m−1 + K(g m - g m−1)
~ 式中， g m 为利用新观测值对g的预测值。 g
2 1 N g= 2 a ( N + 1)Δ ⋮ 1
1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 R xy ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2
1 m−1 1 m Rxy (i, m) = y(k ) x(k − i) = y(k ) x(k − i) + y(m) x(m − i) ∑ ∑ m +1 k =0 m +1 k =0
∫
N∆
0
N∆ N +1 2 N∆ a2 Rxy (τ )dτ = a Δ g(τ )dτ − NΔ g(τ )dτ ∫0 ∫0 N N a 2 N∆ = Δ ∫ g (τ ) d τ N 0
代入(1)式，可解得g(τ)为
N 1 1 NΔ g (τ ) = 2 Rxy (τ ) + Δ∫ 0 Rxy (τ )dτ N + 1 a Δ
T
g = [g ( 0 )
x ( 0) x(−1) X = ⋮ x(− N + 1)
g (1)
⋯
g ( N − 1) ]
⋯ ⋯
x(rN − 1) x(rN − 2) ⋮ ⋮ x(− N + 2) ⋯ x(rN − N ) x(1) x ( 0)
Y =Fra Baidu bibliotek[y ( 0 )
R 1 (τ ) = x N +1 2 a ∆ δ (τ ) N
N +1 2 a2 Rx (τ ) = a ∆δ (τ ) − N N
可见， 序列具有白噪声序列的数字特性。 可见，M序列具有白噪声序列的数字特性。
7.二电平M序列辨识系统的脉冲序列g(τ 7.二电平M序列辨识系统的脉冲序列g(τ) 二电平 g(
N +1 2 a2 = a Δg (τ ) − N N
∫
NΔ 0
g (σ )dσ
记：
a2 A= N
∫
N∆ 0
g (σ ) d σ
，A为常数
N +1 2 a ∆g (τ ) − A 则有： R xy (τ ) = N
Rxy(τ)可根据输入输出数据序列计算：
1 R xy (τ ) = N
∑ x (i ) y (i + τ )
伪随机噪声由白噪声截断而来，是一个周期性信号。
伪随机噪声及自相关函数
伪随机噪声信号作为输入信号，则有：
Rxy (τ ) =
∫
0
∞ 0
g (σ ) Rx (τ − σ )dσ
2T T
= ∫ g (σ ) R x (τ − σ )dσ + ∫
T 0
T
g (σ ) R x (τ − σ ) dσ + ⋯
2.2 M序列辨识系统的脉冲响应
1.M序列的由来 1.M序列的由来
脉冲输入 白噪声输入 得脉冲响应，工程上不可实现 相关法得脉冲响应，工程上不可实现
因此，必须用工程中可重复产生的输入信号来辨识 系统的脉冲响应序列。 工程上，采用M序列来辨识系统的脉冲响应序列。 工程上，采用M序列来辨识系统的脉冲响应序列。
[
]
[
]
gm
将 Rxy (i, m) 代入上式有
2 1 N gm = 2 a (N +1)Δ⋮ 1 1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2 Rxy(0, m−1) x(m) Rxy(0, m−1) x(m−1) R (1, m−1) Rxy(1, m−1) 1 − xy + m+1 y(m) ⋮ ⋮ ⋮ Rxy(N −1, m−1) x(m− N +1) Rxy(N −1, m−1)
1 τ =0 0 τ ≠ 0
注：状态“1”和“-1”连续出现的段叫游程。
5.M序列的产生方法及其性质 5.M序列的产生方法及其性质
M序列：将离散二位式噪声序列截断后，构造出的伪随机序列。 序列 显著特点： 显著特点： (1)M序列是一个确定性序列,可重复产生； (2)M序列具有与离散二位式白噪声相似的性质。 产生方法：工程上产生M序列采用移位寄存器方法。 产生方法：
离散二位式白噪声：序列中元素一般取为1和-1，也是真 离散二位式白噪声 正意义上的白噪声，用其作为输入信号，辨识g(τ)的结 果与连续白噪声的是完全一致。 例：某离散二位式噪声 1111-1-1-11-1-111-11-1··· 主要性质:(1)-1和1出现的次数相等； 主要性质: (2)总游程数位(N+1)/2,且-1和1出现的游程相 等，最多相差1个。(N为序列长度) (3)其自相关函数为 Rxx(τ) =
∑ x (i ) y (i + τ )
i=0
N −1
上述公式组，每次计算可得到g(τ)的一个离散值。
g(τ g(τ)一次性计算公式 在系统输入(r+1)个周期二电平M序列时，有
2 1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 g = 2 a r ( N + 1)Δ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 1 1 XY ⋮ 2
y (1 )
⋯
y ( rN − 1 ) ]
T
(3)g(τ)的递推算法(在线辨识) 递推算法： 递推算法：假设我们得到了(m-1)组观测数据时的辨识结果 gm-1，现在又得到了一组新的观测值(xm,ym)。现在讨论，就 gm-1与(xm,ym)数据来如何得到新的g(τ)估计值gm问题。 g 一般递推算法的计算公式形式如下：
公式法求g(τ)公式组 公式法求g(τ g(
N 1 g (τ ) = Rxy (τ ) + g0 2 N +1 a Δ
N 1 g0 = N + 1 a 2Δ2
∫
NΔ 0
R xy (τ ) dτ
∫
NΔ 0
Rxy (τ ) dτ ≈ Δ∑ Rxy (i )
i =1
N −1
1 R xy (τ ) = N
上式即为g(τ 的递推公式。 上式即为g(τ)的递推公式。 g(
=
1 1 mRxy (i, m −1) + y(m)x(m − i) = Rxy (i, m −1) + y(m)x(m − i) − Rxy (i, m −1) m +1 m +1
2 1 N = 2 a ( N + 1)Δ ⋮ 1 1 ⋯ 1 2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ 2 R xy ( 0, m ) R xy (1, m ) ⋮ R xy ( N − 1, m )
τ >∆ τ <∆
− ∆ <τ < ∆ ∆ ≤ τ ≤ ( N −1)∆
Rx(τ)的波形如下：
a2
从图中可知， Rx(τ)由两部分构成： 三角脉冲分量，记为R 三角脉冲分量，记为Rx1(τ); 直流分量，记为R 直流分量，记为Rx2(τ);
则有：
R x (τ ) = R 1 (τ ) + R x2 (τ ) x