江苏省如皋中学2021届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷(含解析)

江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四

一、填空题

1．已知集合{} 0,9A =，{}1,2,9B =，则集合 A B ⋃中的元素个数为__________． 2．复数(420)(1)z i =-+（i 为虚数单位）的实部为__________．

3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为__________．

4．已知抛物线2

4y x =的准线是双曲线22

21(0)2

x y a a -

=>的左准线，则a =__________．

5cos()4π

αα=+

则tan()4

π

α-的值是__________．

6．已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若31412a a -=，4217S S =，则2a 的值为__________． 7，设曲线'1:y 1(0)x m

C e

m +=->上的一点11(,)A x y ，曲线2:ln C y x =上一点()22,B x y ，当12y y =时，

对于任意的1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为__________．

8．三角形ABC 外接圆直径为AD ，已知2BC =．3

2

AB BC ⋅=-，则AD BC ⋅=__________． 9．在三角形ABC 中，若2

3()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=，则（min 1()tan tanA B

+=__________．

10．已知D 是ABC △边AC 上一点，且3CD AD =，BD =，1

cos 4

ABC ∠=，则3AB BC +的最大

值为__________．

11．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与椭圆交于AB 两点，若

12AB F F =，111

2

F A F B =

，则椭圆C 的离心率为__________．

12．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为__________．

13．已知直线AC 过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右焦点F 且与双曲线交于A 、C 两点，1

2

AF CF

=过点F 作BF AC ⊥交双曲线左支于点B 、若A 、B 关于原点对称，则该双曲线的离心率是__________． 14，已知函数()f x lnx =，()g x kx =，若()f x 与()g x 的图像有两个交点12(),A x y ，22()B x y ，，则当

2

1

3x x ≥时，实数k 的取值范围为__________． 二、解答题

15．如图，在ABC △中，AC =

，D 为AB 边上一点，2CD AD ==，且cos BCD ∠=

（1）求 sin B 的值； （2）求ABC △的面积。

16．如图，四面体ABCD 被一平面所截，平面与四条棱AB ，AC ，CD ，BD 分别相交于E ，F ，G ，

H 四点，且截面EFGH 是一个平行四边形，AD ⊥平面BCD ，.BC CD ⊥求证：

（1）// EF BC ； （2）EF ⊥平面ACD ．

17．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，

线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 对的圆心角为6

π

，记2PCA θ∠=（道路宽度均忽略不计） （1）若512

π

θ=

，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．

18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450

l x y +-=相切．

（1）求C 的方程：

（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，22(),N x y 两点，且12x x >已知l 上存在点P ，使得PMN △是以

PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．

19．已知函数()ln

2ex f x ax =-，4()x a g x x

-=

， （1）求函数()f x 的极值点：

（2）当0a >时，当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点求实数a 的取值范围． 20．对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列．

（1）若{}n a 的前n 项和32n

n S =+，试判断{}n a 是否是P 数列，并说明理由：

（2）设数列1a ，2a ，3a ，…10a 是首项为–1，公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；

（3）设无穷数列{}n a 是首项为a ﹑公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b ，{}n c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为1T ，2T ，求{}n a 是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列” 附加题

21．已知矩阵122M x ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 22．已知直线l

的参数方为122x t y m ⎧

=+⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩

（t 为参数），点()1,2P 在直线l 上