高中数学必修四《角的概念的推广》ppt课件

▪
；
▪ (5{α)|终α＝边k·落180在°，x轴k∈上Z}的角的集合为
▪
；
{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
▪ (6)终边落在y轴上的角的集合为
▪
．
▪ 重点：将0°到360°范围的角推广到任意 角．
▪ 难点：用集合来表示终边相同的角．
▪ 1．对概念的理解
▪ (1)对角的概念的理解，首先要紧紧抓住 “旋转”二字，用运动的观点来看待角的 概念，一是要明确旋转的方向，二是要明 确旋转的大小，三是要明确射线未作任何 旋转时的位置，从而得到正角、负角、零 角的定义；可结合钟表的指针、自行车轮、 螺丝扳手等的旋转来体会角的正负、大小 的含义．
5 小时又 25 分钟，即为 52650小时．对时针来说，1 小
时对应 30°，
∴52650小时对应 52650×30°＝162.5°， ∴时针转了－162.5°.
▪ [例4] 如果α是第三象限角，那么－α，2α 分别是第几象限角？
▪ [解析] ∵α是第三象限角， ▪ ∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，
▪ (7)会用三角函数解决一些简单实际问题， 体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型．
▪ (8)会由已知三角函数值求角，并会用符号 arccosx、arcsinx、arctanx表示角．
▪ 2．情感目标
▪ (1)通过对角的概念的推广，培养学生学习 数学的兴趣；理解并认识角度制与弧度制 是辩证统一的，不是孤立、割裂的．
▪ ●课程目标
▪ 1．双基目标
▪ (1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧 度与角度的互化．
▪ (2)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、 余弦、正切)的定义，了解任意角的余切、 正割、余割的定义．
▪ (3)会利用单位圆中的有向线段表示正、余 弦和正切．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝ tanx的图象，了解三角函数的周期性．
▪ (2)终边相同的角
▪ 将角放在直角坐标系中，给定一个角，就 有惟一的一条边与之对应．反之，对于直 角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边 的角不惟一．若α、β角终边相同，则它们 的关系为：将角α终边旋转(逆时针或顺时 针)k(k∈Z)周即得角β.α、β的数量关系用集 合表示为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即α、 β大小相差360°的整数k倍．
▪ [例1] 写出终边在第一、三象限的角的集 合．
▪ [解析] 终边在第一象限的角的集合为 ▪ {α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，
▪ 终边在第三象限的角的集合为 ▪ {α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}， ▪ 又k·360°＝2k·180°，
▪ 故终边在第一、三象限的角的集合为 ▪ {α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．
k∈Z，
▪ 故应选D.
▪ 解法二：等分象限法：
▪ 将平面直角坐标系中的每一个象限进行二 等分，
▪ 从x轴右上方开始在每一等份依次标数字1、 2、3、4，如图所示，
∵α是第四象限角， ∴图中标有数字 4 的位置即为α2的终边所在位置，故α2
是第二或第四象限角．
[点评] 已知 α 所在的象限，判断αn所在的象限时，利 用 n 等分象限法既快又准．如：已知 α 是第二象限角，则α3 是第________象限角．将平面直角坐标系中的每一个象限进 行三等分，从 x 轴右上方开始在每一等份中依次标数字 1、 2、3、4，如图所示．
▪ ∴与－950°12′角终边相同的角是129°48′.它 是第二象限角．
▪ [例3] (1)钟表经过10分钟，时针转了多少 度？分针转了多少度？
▪ (2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了多 少度？分针转了多少度？
▪ [分析] 应注意时针、分针的旋转方向； 小时与分的换算方法．
[解析] (1)钟表经过 10 分钟，时针按顺时针方向转了 10×123×606°0＝5°，表示为－5°，分针转了 10×36600°＝60°， 表示为－60°.
或150°
▪ 在0°到360°之间找出与下列各角终边相 同的角，并判定它们是第几象限角．
▪ ①640° ②－950°12′
▪ [解析] ①640°＝280°＋360°
▪ ∴在0°到360°之间与640°角终边相同的角是 280°角．∵280°是第四象限角，∴640°是第 四象限角．
▪ ②－950°12′＝129°48′－3×360°
(2)由(1)可知，若将钟表拨慢了 10 分钟，则时针转了 5°， 分针转了 60°.
▪ 时间经过5小时又25分钟，时钟的分针、 时针各转多少度？
▪ [解析] 5小时又25分钟，即为325分钟， 对分针来说，60分钟对应360°，
∴325 分钟对应36205×360°＝1950°，
∴分针转了－1950°.
▪ (1)第一象限角的集合为
▪ {x|k·360°<x<k·360°＋90°，k∈Z}；
▪ (2)第二象限角的集合为 ▪ {x|k·360°＋90°<x<k·360°＋180°，k∈Z} ；
▪ (3)第三象限角的集合为 ▪ {x|k·360°＋180°<x<k·360°＋270°，k∈Z} ；
▪ (4){第x|k四·36象0°限＋角270的°集<x<合k·3为60°＋360°，k∈Z}
▪ 2．注意区别几个易混的角的概念
▪ 第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°， k∈Z}；小于90°的角{α|α<90°}，包括负 角和零角；0°～90°的角{α|0°≤α<90°}； 锐角{α|0°<α<90°}．锐角是第一象限的 角，也是小于90°的角，也是0°～90° 间的角，但与它们都有区别．
▪ ＝ {α|α ＝ 2k·90°， k∈Z}∪{α|α ＝ 90°＋ 2k·90°，k∈Z}
▪ [ 例 2] 若 α ＝ 1590° ， (1) 把 α 改 写 成 k·360° ＋ β(k∈Z,0°≤β<360°) 的 形 式 为 ________．
▪ (2) 使 θ 与 α 的 终 边 相 同 ， 且 － 360°<θ<360°，则θ＝________.
▪ [ 解 析 ] 由 α 是 第 四 象 限 角 知 ， 270°＋ k·360<α<360°＋ k·360°(k∈Z) ， 由 此 可 得 － 180° － k·360<180° － α< － 90° － k·360°(k∈Z) ， 因 此 180°－ α 是 第 三 象 限 角．
[例 5] 已知 α 是第四象限角，则α2是(
(*) ▪ ∴－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，
▪ ∴－α为第二象限角． ▪ 又由(*)得k·720°＋360°<2α<k·720°＋540°. ▪ 即(2k＋1)·360°<2α<(2k＋1)·360°＋180°.
▪ ∴2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴
▪ 若α是第四象限角，则180°－α为第几象 限角？
)
▪ A．第二象限角
▪ B．第一或第二象限角
▪ C．第二或第三象限角
▪ D．第二或第四象限角
▪ [误解] A
[辨析] 本例中判断α2所在象限时易忽视 k 的值为奇、
偶两种情况．
▪ [正解] 解法一：∵α是第四象限角， ▪ ∴ k·360° ＋ 270°<α<k·360° ＋ 360° ，
k∈Z， ▪ ∴ k·180° ＋ 135°<<k·180° ＋ 180° ，
∵α 第二象限角， ∴图中标有数字 2 的位置即为α3角的终边所在位置，故 α3是第一或第二或四象限角．
▪ 一、选择题
▪ 1．设M＝{小于90°的角}，N＝{第一象 限的角}，则M∩N＝
()
▪ A．{锐角} 90°的角}
B．{小于
▪ C．{第一象限的角} 不对
D．以上都
▪ [答案] D
▪ [ 解 析 ] ∵ M∩N ＝ {α|α<90° 且 k·360°<α<k·360°＋90°，k＝0，－1，－2，
向旋转形成的角叫做 ； 射 线 没 有零角作 任
何旋转时，我们也把它看成一个角，叫做
．
▪ 2{．β|β终＝α边＋相k·3同60°的，角k∈：Z}所有与角α终边相同的 角，连同角α本身组成一个集合，这个集
合可x轴记的为正S半＝轴 ▪
坐标轴 ．
▪ 3．象限角与象限界角：使角的顶点与原
点重合，角的始边与
重合，角的
▪ 5．图象变换的学习，有助于培养分析、 理解问题的能力，培养数形结合思想，应 加强相应练习及理解．
▪ 1．1 任意角的概念与弧度制 ▪ 1．1.1 角的概念的推广
▪ 1．角的概念：平面内一条射线从绕一个着位端置点旋
转到另一个位置
所成的图形．按逆时针方
向正旋角转形成的角叫做
； 按负顺角 时 针 方
▪ 2．(2010·山东莱州高一下学期期末测试) 下列各角中与角终边相同的是
A．－3π
()
7π B. 3
2π
8π
C. 3
D. 3
▪ [答[解案析]] 73Bπ＝2π＋π3，故选 B.
▪ 3．角α的终边经过点M(0，－3)，则α
▪( ) ▪ A．是第三象限角 ▪ B．是第四象限角 ▪ C．既是第三象限角又是第四象限角 ▪ D．不是任何象限角 ▪ [答案] D ▪ [解析] (0，－3)在y轴上，当α终边在坐标
▪ 2．三角函数是一类特殊的周期函数，其 中正弦、余弦函数的周期为2π，正切函数 的周期是π，我们画正弦、余弦、正切函 数图象时，就是利用了它们的周期性．
▪ 3．本章中涉及的数学思想主要有数形结
▪ 4．计算机在三角函数的学习中可以发挥 重要作用，它不仅可以帮助我们画出三角 函数图象，还能帮助我们分析三角函数的 性质，因此在分析和解决三角函数问题时， 应充分发挥信息技术的作用．
▪ (2)通过对同角三角函数的基本关系的学习， 揭示事物之间普遍联系的规律，培养辩证 唯物主义思想．
▪ (3)通过图象变换的学习，培养从特殊到一 般，从具体到抽象的思维方法，从而达到 从感性认识到理性认识的飞跃．
▪ ●学法探究
▪ 1．学习本章内容，既要掌握三角函数的 基本知识，又要熟悉它们之间的内在联 系．对于同角三角函数的基本关系和诱导 公式，要在理解的基础上用心记忆．掌握 公式推导的规律，不断总结公式应用的技 巧．
▪ [解析] (1)α＝4×360°＋150°(k＝4，β＝ 150°)．
▪ ∴应填4×360°＋150°.
▪ (2)∵θ与α终边相同．
▪ ∴θ角可写成k·360°＋150°(k∈Z)．
▪ 解得k＝－1,0. ▪ ∴θ＝－210°或150°，故θ属于第二象限． ▪ ∴应填－210°或150°. ▪ [答案] (1)4×360°＋150° (2)－210°
▪ 应特别注意：①终边相同的角与相等的角 是不同的两个概念；②α是任意角；③ k∈Z的条件不可少；④每旋转360°出现
▪ 相等的角终边一定相同；终边相同的角不 一定相等，Байду номын сангаас边相同的角有无数个，它们 相差360°的整数倍．
▪ (3)象限角与象限界角
▪ 象限角与象限界角的集合的表示形式并不 惟一，也还有其他的表示形式．如：终边 落 在 y 轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 为 {x|x ＝ k·360° ＋ 270° ， k∈Z} ． 或 {α|α ＝ k·360°－90°，k∈Z}等等．
▪ 写出终边在坐标轴上的角的集合．
▪ [解析] 终边在x轴上的角的集合为{α|α＝ k·180°，k∈Z}，
▪ 终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 为 {α|α ＝ 90°＋ k·180°，k∈Z}，
▪ ∴ 终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 为 {α|α ＝ k·180° ， k∈Z}∪{α|α ＝ 90° ＋ k·180° ， k∈Z}，
(4)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函 数在－π2，π2 上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点等)．
(5)理解同角三角函数的基本关系式： sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
▪ (6)结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的 实际意义，能正确使用“五点法”、“几 何法”、“图象变换法”画出正弦函数、 余弦函数和y＝Asin(ωx＋φ)的图象，能正 确作出正切函数的简图；能借助计算器或 计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察 参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．