样本均值的抽样分布

抽样分布

根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。

定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n 的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。 由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。

（一）样本均值的抽样分布

从单位数为N 的总体中抽取样本容量为n 的随机样本，在重复抽样的条件下

共有n N 个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!

n N N C n N n =-个可能样本。对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()x s 或或p ，因此，样本均值是一个随机变量。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。

[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：

12341234x x x x ====

总体分布为均匀分布，如图6.1所示。

图6.1

总体均值：10 2.54X μ==

= 总体方差：22() 1.25x x n σ-==∑

x

若重复抽样，n=2 则共有2416=个可能样本。具体列示如表5.1.1。

表6.1 可能的样本及其均值

每个样本被抽中的概率相同，均值为116

样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。 样本均值x 抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。

如果总体分布是非正态分布，当x 为大样本（30n ≥）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x 为小样本时，其分布不是正态分布。 下面再让我们来看看样本均值x 抽样分布的特征：数学期望和方差。

设总体共有N 个元素，其均值为μ，方差为2σ，从中抽取容量为n 的样本。 E()x x X μ=== （6.1） 22

x n σσ=（重复抽样） （6.2） 22

()1x N n n N σσ-=-（不重复抽样） （6.3） 对于无限总体，样本均值的方差，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/n N 又很小，修正系数

1N n N --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。 样本均值x 抽样分布的特征—数学期望和方差的计算公式，可以通过[例6.4]加以验证。 样本均值的均值 1.0 1.5 3.5 4.040 2.51616

x μ++

++====

样本均值的方差2

22()10 1.25162i x x n n

μσσ-====∑ 表6.2 样本均值的抽样分布

图6.2 样本均值的抽样分布

（二）抽样比例的抽样分布

比例即结构相对数，即成数。

总体比例1N N π=

01N N

π-= 样本比例1n p n = 01n p n -= 当n 很大时，样本比例p 的抽样分布可用正态分布近似。

对于样本比例p ，若5(1)5np n p ≥-≥和，就可以认为样本容量足够大了。 ()E P π= （6.4） 2(1)

P n ππσ-=（重复抽样） （6.5）

0.1

0.2 0.3 ()p x 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

x

2(1)()1P N n

n N ππσ--=-（不重复抽样） （6.6）

与样本均值分布的方差一样，样本比例的方差，对于无限总体，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/5%n N ≤，修正系数1N n N --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。