样本均值的抽样分布
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
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数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
统计学第6章统计量及其抽样分布
整理ppt
16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
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17
F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
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8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
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9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
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22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
整理ppt
10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
抽样分布习题
抽样分布习题1.抽样分布是指（ C ）A 一个样本各观测值的分布B 总体中各观测值的分布C 样本统计量的分布D 样本数量的分布2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。
A μ B x C 2σ D n 2σ3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。
A μ B x C 2σ D n 2σ4.从一个均值μ=10，标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。
假定该总体并不是很偏的，则样本均值x 小于9.9的近似概率为（ A ）。
A 0.1587B 0.1268C 0.2735D 0.63245.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ B ）A 服从非正态分布B 近似正态分布C 服从均匀分布D 服从2χ分布6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ）A 保持不变 B 增加 C 减小D 无法确定7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（ B ）。
A 50，8B 50，1C 50，4D 8，88.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。
由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ B ）。
A 正态分布，均值为250元，标准差为40元B 正态分布，均值为2500元，标准差为40元C 右偏分布，均值为2500元，标准差为400元D 正态分布，均值为2500元，标准差为400元9. 某班学生的年龄分布是右偏的，均值为22，标准差为4.45，如果采取重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，则样本均值的抽样分布是（ A ）A 正态分布，均值为22，标准差为0.445B 分布形状未知，均值为22，标准差为4.45C 正态分布，均值为22，标准差为4.45D 分布形状未知，均值为22，标准差为0.44510.在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟，如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（ A ）A 正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟B 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟C 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟D 左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟11. 某厂家生产的灯泡寿命的均值为60小时，标准差为4小时，如果从中随机抽取30只灯泡进行检查，则样本均值（ D ）A 抽样分布的标准差为4小时B 抽样分布近似等于总体分布C 抽样分布的中位数为60小时D 抽样分布近似等同于正态分布，均值为60小时12.假设某学校学生的年龄分布是右偏的，均值为23岁，标准差为3岁。
抽样分布和七种理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
管理科学与工程考试：2021应用统计学真题模拟及答案(2)
管理科学与工程考试：2021应用统计学真题模拟及答案(2)共121道题1、用一组有30个观测值的样本估计模型=β1X 1i+β2 X 2i+μi后，在显著性水平0.05下对方程的显著性作检验，此检验的备择假设是（）。
（单选题）A. β0=0B. β1=β2=0C. β1=β2≠0D. β1和β2不全为0试题答案：D2、在其他条件不变的情况下，要使置信区间的宽度缩小一半，样本量应增加（）。
（单选题）A. 一半B. 一倍C. 三倍D. 四倍试题答案：C3、下列关于数据2，5，5，7，9，5，9的的说法，不正确的是（）。
（单选题）A. 平均数为5B. 中位数为5C. 众数为5D. 极差为7试题答案：A4、在其他条件不变的情况下，要使置信区间的宽度缩小一半，样本量应增加（）。
（单选题）A. 一半B. 一倍C. 三倍D. 四倍试题答案：C5、下列图形中最适合于描述结构性问题的是（）。
（单选题）A. 曲线图B. 饼图C. 折线图D. 直方图试题答案：B6、用一组有15个观测值的样本估计模型Y i=β0+β1 X i+μi ，在0.01的显著性水平下对β1的显著性进行检验，则β1显著地不等于零的条件是（）。
（单选题）A. ｜t｜＜t0.005（13）B. ｜t｜＞t0.005（13）C. ｜t｜＜t0.005（14）D. ｜t｜＞t0.005（14）试题答案：B7、在假设检验中，原假设为H0，备择假设为H1，则称（）为犯第二类错误。
（单选题）A. H0为真，接受H1B. H0为真，拒绝H1C. H0不真，接受H0D. H0不真，拒绝H0试题答案：C8、随机抽取一个n=100的样本，计算得到=60，s=15，要检验假设H0：μ=65，H1：μ≠65，检验的统计量的值为（）。
（单选题）A. －3.33B. 3.33C. －2.36D. 2.36试题答案：A9、在n=45的一组样本估计的线性回归模型，包含有4个解释变量，若计算的多重判定系数为0.8232，则调整的多重判定系数为（）。
样本均值的抽样分布(详细资料)
抽样分布根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。
定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n 的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。
由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。
（一）样本均值的抽样分布从单位数为N 的总体中抽取样本容量为n 的随机样本，在重复抽样的条件下共有n N 个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!nNN C n N n =-个可能样本。
对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()x s 或或p ，因此，样本均值是一个随机变量。
所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。
[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：12341234x x x x ====总体分布为均匀分布，如图6.1所示。
图6.1总体均值：102.54X μ=== x总体方差：22() 1.25x x nσ-==∑若重复抽样，n=2 则共有2416=个可能样本。
具体列示如表5.1.1。
表6.1 可能的样本及其均值每个样本被抽中的概率相同，均值为116样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。
样本均值x 抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。
如果总体分布是非正态分布，当x 为大样本（30n ≥）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x 为小样本时，其分布不是正态分布。
下面再让我们来看看样本均值x 抽样分布的特征：数学期望和方差。
设总体共有N 个元素，其均值为μ，方差为2σ，从中抽取容量为n 的样本。
E()x x X μ=== （6.1）22xnσσ=（重复抽样） （6.2）22()1xN nn N σσ-=-（不重复抽样） （6.3）对于无限总体，样本均值的方差，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/n N 又很小，修正系数1N nN --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。
样本均值的抽样分布定理
样本均值的抽样分布定理
样本均值的抽样分布定理，是统计学中的一种重要定理。
它的含义是：从一个
总体无限独立抽取多个完全独立的样本，随着样本量的增大，样本均值的抽样分布渐近地趋于正态分布，即抽样分布的均值趋于总体均值。
样本均值的抽样分布定理，由数学家卡尔·罗斯·克里姆森（Karl Pearson）
首先提出，即长期以来统计学家熟知的“中心极限定理”或“根均值方差定理”。
克里姆森实验设计法中，由于受试者的数量往往会受到限制，因此很多情况下，只针对猜测的总体理论分布可以抽取有限的样本，并利用此定理来预测总体的判断均值。
因此，样本均值的抽样分布定理在以往统计调查中具有广泛的应用。
例如，在
商业统计学中，对市场对特定品牌的满意度进行调查，人们可以根据样本均值的抽样分布定理，来设置一定数量的抽样容量，以得到满意度的总体趋势。
在管理学中，经理们可以通过利用这一定理，对一定的实验样本进行抽样，从而观测出客户的实际情况，并给出相应的改进措施。
从而可见，样本均值的抽样分布定理，是一种非常重要的统计原理。
在实际应
用中，可以用以预测抽样结果，并给出合理的参考建议，有助于提高统计模型的准确性，从而有效指导企业的营销策略。
抽样分布公式样本均值与样本比例的抽样分布计算
抽样分布公式样本均值与样本比例的抽样分布计算抽样分布公式是在统计学中常用的工具，用于计算样本均值和样本比例的抽样分布。
通过了解这些公式的计算方法和应用场景，可以更好地进行数据分析和推断。
本文将从理论的角度介绍样本均值和样本比例的抽样分布计算。
一、样本均值的抽样分布计算在统计学中，样本均值是指从总体中抽取的样本的平均值。
样本均值的抽样分布计算可以通过中心极限定理来实现。
中心极限定理指出，当样本量趋向无穷大时，样本均值的抽样分布逼近一个近似正态分布。
抽样分布的标准差被称为标准误差，可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
具体公式如下：标准误差 = 总体标准差/ √(样本容量)假设总体服从正态分布，根据中心极限定理，样本均值的抽样分布近似正态分布，并且其均值等于总体均值，标准差等于标准误差。
二、样本比例的抽样分布计算样本比例是指样本中具有某种性质或特征的个体数量与样本容量的比值。
样本比例的抽样分布计算可以应用二项分布的理论。
二项分布是一种离散概率分布，适用于满足以下条件的实验：每次实验只有两个可能的结果（成功或失败），每次实验的结果相互独立，成功的概率在每次实验中保持不变。
对于一个具有成功概率 p 的二项分布，样本比例的抽样分布的均值为 p，标准差可以通过公式计算：标准差= √(p(1-p)/n)其中，n 表示样本容量。
三、样本均值和样本比例的应用场景样本均值和样本比例的抽样分布计算在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在市场调研中，可以通过对样本的均值进行抽样分布计算，来推断总体的平均水平。
同样，在制造业中，通过对样本比例的抽样分布计算，可以评估产品合格率。
此外，样本均值和样本比例的抽样分布计算还可以应用于统计推断，例如构建置信区间和假设检验。
这些方法使得我们能够基于样本数据对总体进行推断，并得出相关的结论。
结论通过抽样分布公式计算样本均值和样本比例的抽样分布，可以帮助我们做出合理的统计分析和推断。
2021统计学原理-《统计学》第五章统计量及其抽样分布试题(精选试题)
统计学原理-《统计学》第五章统计量及其抽样分布试题1、智商的得分服从均值为100，标准差为16的正态分布。
从总体中抽取一个容量为n的样本，样本均值的标准差为2，样本容量为____________。
2、样本均值与总体均值之间的差被称作____________。
3、从均值为50，标准差为5的无限总体中抽取容量为30的样本，则抽样分布的超过51的概率为____________。
4、某校大学生中，外国留学生占10%。
随机从该校学生中抽取100名学生，则样本中外国留学生比例的标准差为____________。
5、假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布( )。
A.服从非正态分布B.近似正态分布C.服从均匀分布D.服从x²分布6、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差( )。
A.保持不变B.增加C.减小D.无法确定7、总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分别为( )。
A.50，8B.50，1C.50，4D.8，88、某厂家生产的灯泡寿命的均值为60小时，标准差为4小时。
如果从中随机抽取30只灯泡进行检测，则样本均值( )。
A.抽样分布的标准差为4小时B.抽样分布近似等同于总体分布C.抽样分布的中位数为60小时D.抽样分布近似等同于正态分布，均值为60小时9、假设某学校学生的年龄分布是右偏的，均值为23岁，标准差为3岁。
如果随机抽取100名学生，下列关于样本均值抽样分布描述不正确的是( )。
A.抽样分布的标准差等于3B.抽样分布近似服从正态分布C.抽样分布的均值近似为23D.抽样分布为非正态分布10、从均值为200，标准差为50的总体中抽取容量为100的简单随机样本，样本均值的数学期望是( )。
A.150B.200C.100D.25011、从均值为200，标准差为50的总体中抽取容量为100的简单随机样本，样本均值的标准差是( )。
抽样分布
二、样本均值抽样分布的特征
三、样本均值抽样分布的形式
样本均值抽样分布的形式与原有总体的分布和样本容量n的大小有关。 如果原有总体是正态分布，那么，无论样本容量的大小，样本均值的抽样分 布都服从正态分布。
如果原有总体的分布是非正态分布，就要看样本容量的大小。随着样本 容量n的增大(通常要求n≥30)，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均 值 的抽样分布都将趋于正态分布，即统计上著名的中心极限定理。
二、率的标准误
Z 分布
一、定义
Z分布，又称作标准正态分布，是正态分布中的一种。其均数和标准差都 是固定的，均数为μ=0，标准差为σ=1。Z检验一般用于大样本(即样本容量 大于30)平均值的差异性检验。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的 概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。 当已知标准差时，验证一组数 的均值是否与某一由英国著名统计学家Karl Pearson于1900年提出，是一种针对两组或 多组分类变量的总体率或总体频数分布进行推断的方法。
设k个相互独立的随机变量x1、x2、……xn，均服从均数为0，标准差为1的标 准正态分布，则x1+x2+…+xn服从自由度为υ(υ=k)的χ²分布。
抽样分布
Sampling Distribution
2016级预防一班 第三组
CONTENT 目录
Part 01 样本均值的抽样分布 Part 02 样本率的抽样分布 Part 03 Z分布 Part 04 t分布 Part 05 χ²分布 Part 06 F分布
样本均值的抽样分布
一、样本均值抽样分布的形成
03 在数据分析中，Z分布可以通过面积关系来计算概率、置信区间和假设检验；t分布则
需要计算出t值，再进行概率、置信区间和假设检验的计算
管理统计学(李金林版教材)课后习题答案~~~第六章
管理统计学（李金林版教材）课后习题答案~~~第六章基础习题1. 解释总体分布、样本分布和抽样分布的含义。
答：总体分布：整体取值的概率分布规律，即随机变量X 服从的分布；样本分布：从总体中按照一定的抽样规则抽取的部分个体的分布，若从总体中简单随机抽取容量为n 的样本，则样本分布为(X 1,X 2,...,X n )；抽样分布：样本统计量的分布。
2. 简述卡方分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系，它们的概率密度曲线各有什么特征？答：若随机变量X 服从N(μ,σ2)，则Z =X−μσ服从N(0,1)；若随机变量X 服从N(0,1)，则Y =∑(X i )2n i=1服从自由度为n 的χ2分布；若随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~χ2(n)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量T =√Y n⁄服从自由度为n 的t 分布；若随机变量X~χ2(n)，若随机变量Y~χ2(m)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量F n,m =X n ⁄Y m ⁄服从第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布，记为F n,m ~F(n,m)。
χ2分布的概率密度曲线分布在第一象限内，随着自由度n 的增大，曲线向正无穷方向延伸，并越来越低阔，越来越趋近于正态分布的曲线形态。
t 分布的概率密度曲线以0为中心，左右对称，随着自由度n 的增大，t 分布的概率密度曲线逐渐接近标准正态分布的概率密度曲线。
F 分布的概率密度曲线分布在第一象限内，当第一个自由度不变，第二个自由度增大时，曲线越来越向右聚拢，当两个自由度都增加时，F 分布概率密度曲线逐渐接近正态分布的概率密度曲线。
3. 解释中心极限定理的含义。
从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本容量为n 的随机样本，则当n 充分大时，样本均值x̅的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2n ⁄的正态分布，即x̅~N(μ, σ2n ⁄)。
4. 某公司有20名销售员，以下是他们每个人的销售量：3，2，2，3，4，3，2，5，3，2，7，3，4，5，3，3，2，3，3，4。
常用的三种抽样分布
常用的三种抽样分布
概述
在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取一定数量的样本，并计算样本统计量的分布。
根据中心极限定理，当样本数足够大时，样本的均值和标准差会呈正态分布。
然而，并非所有的抽样分布都符合正态分布。
本文将介绍统计学中常用的三种抽样分布，包括正态分布、t分布和χ²（卡方）分布。
1. 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是最常见的一种抽样分布，也被称为高斯分布。
它具有以下特点： - 均值为μ，标准差为σ； - 对称分布，其曲线呈钟型，两侧尾部逐渐下降； - 总体分布和抽样分布均为正态分布； - 标准正态分布
的均值为 0，标准差为 1。
可以通过标准化计算将任意正态分布转换为标准正态分布。
正态分布在实际应用中非常重要，尤其是在假设检验和置信区间计算中的应用广泛。
2. t分布（Student’s t-Distribution）
t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset（也被称为。
样本均值的抽样分布(详细资料)
抽样分布根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。
定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n 的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。
由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。
（一）样本均值的抽样分布从单位数为N 的总体中抽取样本容量为n 的随机样本，在重复抽样的条件下共有n N 个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!nNN C n N n =-个可能样本。
对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()x s 或或p ，因此，样本均值是一个随机变量。
所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。
[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：12341234x x x x ====总体分布为均匀分布，如图6.1所示。
图6.1总体均值：102.54X μ=== x总体方差：22() 1.25x x nσ-==∑若重复抽样，n=2 则共有2416=个可能样本。
具体列示如表5.1.1。
表6.1 可能的样本及其均值每个样本被抽中的概率相同，均值为116样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。
样本均值x 抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。
如果总体分布是非正态分布，当x 为大样本（30n ≥）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x 为小样本时，其分布不是正态分布。
下面再让我们来看看样本均值x 抽样分布的特征：数学期望和方差。
设总体共有N 个元素，其均值为μ，方差为2σ，从中抽取容量为n 的样本。
E()x x X μ=== （6.1）22xnσσ=（重复抽样） （6.2）22()1xN nn N σσ-=-（不重复抽样） （6.3）对于无限总体，样本均值的方差，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/n N 又很小，修正系数1N nN --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。
贾俊平统计学第六章 抽样分布
n=4 σx = 5 n =16 σ x = 2.5
µ = 50
X
µx = 50
X
总体分布
抽样分布
中心极限定理
(central limit theorem)
中心极限定理： 中心极限定理：设从均值为µ，方差为σ 2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本， 充分大时， 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽 样分布近似服从均值为µ 方差为σ 样分布近似服从均值为µ、方差为σ2/n的正态分布
解：根据中心极限定理，样本容量＞30，可视 为样本均值近似服从正态分布。
样本均值的抽样分布与中心极限定理 (例题分析)
因此知，样本均值服从：
0.62 X～N ( µ , σ 2 n ) = N 10, = N (10, 0.01) 36 (1) P X ＜9. = P X − 10 ＜ 9.9 − 10 9) ( 0.1 0.1
6.1 统计量
1. 统计量的概念 2. 常用的统计量
统计量的概念
定义：
设X1，X2，……，Xn是从总体X中抽取的样本容 量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，……，Xn)，不依赖任何未知参数， 则称行数T(X1，X2，……，Xn)是一个统计量。 统计量是样本的函数 统计量不依赖任何未知总体参数 根据具体样本的观测值x1，x2，……，xn带入统 计量函数，计算出来的值是一个具体的统计量 的值。
0.1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X 0.3 0.2 P (X )
样本均值的抽样分布 3.0 3 3.5 2 4.0 1
均值X的取值 均值 的取值 均值X的个数 均值 的个数
样本均值的抽样分布
样本均值的抽样分布在统计学中，样本均值的抽样分布是一个十分重要的概念。
它为我们理解从总体中抽取样本并计算其均值的行为提供了关键的理论基础。
想象一下，我们有一个巨大的总体，比如说一个城市中所有居民的收入。
由于实际情况的限制，我们不可能去了解每一个人的收入，所以只能从中抽取一部分人作为样本，然后计算这个样本的均值。
但问题来了，如果我们多次抽取不同的样本，这些样本的均值会呈现出怎样的规律呢？这就是样本均值的抽样分布要研究的问题。
为了更清楚地理解这个概念，我们先来谈谈什么是样本均值。
样本均值就是样本中所有数据的平均值。
假设我们抽取了一个样本，里面的数据是 10、20、30、40、50，那么这个样本的均值就是（10 ＋ 20＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30。
那抽样分布又是什么呢？简单来说，就是当我们从同一个总体中进行多次抽样，每次都计算样本均值，然后把这些样本均值的分布情况画出来，这就是抽样分布。
为什么要研究样本均值的抽样分布呢？因为它能帮助我们做出更准确的推断和预测。
比如，我们想知道这个城市居民的平均收入，但我们又不能去调查所有人，那么通过研究样本均值的抽样分布，我们就可以根据抽取的样本均值来估计总体的均值，并且知道这个估计的准确性和可靠性。
样本均值的抽样分布具有一些重要的性质。
其中一个关键的性质是中心极限定理。
中心极限定理告诉我们，无论总体的分布是什么样子，只要样本量足够大，样本均值的抽样分布就近似服从正态分布。
这意味着什么呢？假设总体的分布是非常奇怪的，比如严重偏态或者有很多极端值，但只要我们抽取的样本数量足够多，比如几十、几百甚至上千，那么这些样本均值的分布就会变得越来越像一个正态分布，也就是我们常说的“钟形曲线”。
正态分布有很多很好的性质。
它的均值和中位数相等，而且曲线是对称的。
这使得我们在进行统计推断时非常方便。
比如说，我们可以根据正态分布的性质来计算置信区间，也就是估计总体均值可能所在的范围。
样本均值的抽样分布
第六章：抽样与抽样分布
第 6 章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
6.1 统计量
6.1.1 统计量的概念 6.1.2 常用统计量 6.1.3 次序统计量 6.1.4 充分统计量
1.25
N
样本均值的抽样分布
(例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个
第二个观察值
观察值 1
2
3
4
1
1.0 1.5 2.0 2.5
2
1.5 2.0 2.5 3.0
3
2.0 2.5 3.0 3.5
4
2.5 3.0 3.5 4.0
P(x) 0.3
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总 体的均值、方差及分布如下
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
均值和方差
N
xi
i1 2.5
N
N
(xi )2
2 i1
– 样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数 3. 统计量是统计推断的基础
常用统计量
• 样本统计量
– 样本平均值 X
Xi
n
– 样本方差
S2 1 n n 1 i1
抽样分布公式样本均值样本比例的抽样分布计算
抽样分布公式样本均值样本比例的抽样分布计算抽样分布公式是统计学中常用的一种计算方法，用于估计总体的参数。
在抽样过程中，我们从总体中抽取一部分样本，然后利用样本的统计量来推断总体参数的值。
抽样分布公式包括样本均值的抽样分布和样本比例的抽样分布，下面分别介绍这两种抽样分布的计算方法。
一、样本均值的抽样分布计算当从总体中抽取n个独立观测值时，它们的总体均值为μ，总体标准差为σ。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
样本均值的抽样分布计算公式如下：样本均值的抽样分布：样本均值的均值为总体均值（μ），样本均值的标准差为总体标准差除以样本容量的平方根（σ/√n）。
根据这个公式，我们可以计算出样本均值的抽样分布。
例如，从一个服从正态分布的总体中抽取100个样本，样本均值的总体均值为100，总体标准差为20。
根据公式，样本均值的抽样分布的均值为100，标准差为20/√100=2。
这表明，在多次抽样中，样本均值的抽样分布的平均值接近总体均值，标准差越小则样本均值越稳定。
二、样本比例的抽样分布计算在统计学中，样本比例是指样本中具有某种特征或满足某个条件的观测值占样本总数的比例。
比如，在一份问卷调查中，我们想估计整个人群中支持某个政党的比例。
样本比例的抽样分布可以用二项分布进行近似。
样本比例的抽样分布：样本比例的均值为总体比例（p），样本比例的标准差为总体比例乘以（1-总体比例）再除以样本容量的平方根（√(p*(1-p)/n)）。
样本比例的抽样分布的计算方法与样本均值类似。
假设我们从一个总体中抽取了100个样本，并且总体比例为0.5。
根据公式，样本比例的抽样分布的均值为0.5，标准差为√(0.5*(1-0.5)/100)≈0.05。
这说明，在多次抽样中，样本比例的抽样分布的平均值接近总体比例，标准差越小则样本比例越稳定。
总结：抽样分布公式用于计算样本均值和样本比例的抽样分布。
样本均值的抽样分布近似服从正态分布，计算公式为样本均值的均值为总体均值（μ），标准差为总体标准差除以样本容量的平方根（σ/√n）。
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础引言在统计学中，抽样是一种常用的研究方法，通过从总体中选取一部分个体来代表整体，从而进行总体特征的估计和假设的推断。
抽样分布则是在给定样本量和总体分布情况下，研究抽样统计量的分布情况。
本文将总结抽样分布的基本公式，从样本到总体的推断基础。
一、样本均值的抽样分布当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本均值的期望值E(ȳ)等于总体均值μ，即：E(ȳ) = μ样本均值的方差V(ȳ)等于总体方差σ^2除以样本容量n，即：V(ȳ) = σ^2/n其中，σ^2为总体方差。
2. 区间估计的抽样分布公式样本均值的标准差σ(ȳ)等于总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即：σ(ȳ) = σ/√n根据正态分布的性质，样本均值与总体均值之间的差异服从一个以0为均值、σ(ȳ)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本均值与总体均值之间的差异来构建置信区间，从而进行总体均值的估计。
二、样本比例的抽样分布当样本容量n足够大时，样本比例的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本比例的期望值E(p)等于总体比例π，即：E(p) = π样本比例的方差V(p)等于总体比例π(1-π)除以样本容量n，即：V(p) = π(1-π)/n其中，π为总体比例。
2. 区间估计的抽样分布公式样本比例的标准差σ(p)等于总体比例π(1-π)/n的平方根，即：σ(p) = √(π(1-π)/n)根据正态分布的性质，样本比例与总体比例之间的差异服从一个以0为均值、σ(p)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本比例与总体比例之间的差异来构建置信区间，从而进行总体比例的估计。
三、样本差异的抽样分布当两个样本容量n1和n2都足够大时，样本差异（两个样本均值之差或两个样本比例之差）的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本差异的期望值E(ȳ1-ȳ2)等于总体均值之差μ1-μ2，即：E(ȳ1-ȳ2) = μ1-μ2样本差异的方差V(ȳ1-ȳ2)等于两个总体方差σ1^2/n1和σ2^2/n2之和，即：V(ȳ1-ȳ2) = σ1^2/n1 + σ2^2/n2其中，σ1^2和σ2^2为两个总体方差。
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抽样分布
根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。
定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n 的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。
由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。
（一）样本均值的抽样分布
从单位数为N 的总体中抽取样本容量为n 的随机样本，在重复抽样的条件下
共有n N 个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!
n N N C n N n =-个可能样本。
对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()x s 或或p ，因此，样本均值是一个随机变量。
所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。
[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：
12341234x x x x ====
总体分布为均匀分布，如图6.1所示。
图6.1
总体均值：10 2.54X μ==
= 总体方差：22() 1.25x x n σ-==∑
x
若重复抽样，n=2 则共有2416=个可能样本。
具体列示如表5.1.1。
表6.1 可能的样本及其均值
每个样本被抽中的概率相同，均值为116
样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。
样本均值x 抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。
如果总体分布是非正态分布，当x 为大样本（30n ≥）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x 为小样本时，其分布不是正态分布。
下面再让我们来看看样本均值x 抽样分布的特征：数学期望和方差。
设总体共有N 个元素，其均值为μ，方差为2σ，从中抽取容量为n 的样本。
E()x x X μ=== （6.1） 22
x n σσ=（重复抽样） （6.2） 22
()1x N n n N σσ-=-（不重复抽样） （6.3） 对于无限总体，样本均值的方差，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/n N 又很小，修正系数
1N n N --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。
样本均值x 抽样分布的特征—数学期望和方差的计算公式，可以通过[例6.4]加以验证。
样本均值的均值 1.0 1.5 3.5 4.040 2.51616
x μ++
++====
样本均值的方差2
22()10 1.25162i x x n n
μσσ-====∑ 表6.2 样本均值的抽样分布
图6.2 样本均值的抽样分布
（二）抽样比例的抽样分布
比例即结构相对数，即成数。
总体比例1N N π=
01N N
π-= 样本比例1n p n = 01n p n -= 当n 很大时，样本比例p 的抽样分布可用正态分布近似。
对于样本比例p ，若5(1)5np n p ≥-≥和，就可以认为样本容量足够大了。
()E P π= （6.4） 2(1)
P n ππσ-=（重复抽样） （6.5）
0.1
0.2 0.3 ()p x 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
x
2(1)()1P N n
n N ππσ--=-（不重复抽样） （6.6）
与样本均值分布的方差一样，样本比例的方差，对于无限总体，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于有限总体，当N 很大，而/5%n N ≤，修正系数1N n N --会趋于1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。