相似三角形复习公开课)
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公开课相似三角形专题复习 ppt课件
B
D
C
ppt课件
15
A
D
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
B
E
C
AD
α
αα
B
E
C
A
α
B
F D
α
E
α
C
C
B
D
ppt课件α α
OP
α
A
16
思考题：已知：等边△ABC 中，P为直线AC上
一动点，连结BP,作∠BPQ=60°,交直线BC于点
N.
(1)当P在线段AC上时，证明PA·PC=AB ·CN
(2)若P在AC的延长线上，上述关系是否成立？
A
D
A
D
F
F
B
E
C
ppt课件 B
E
C
10
A
△ABE∽ △ECF（（21））点点EE为为BBCC上上任任意意一一点点，
若若∠∠BB==∠∠CC==α6,0∠°A, EF= F ∠∠CA,E则F△= A∠BCE,则与△AEBCEF与
的△关E系C还F的成关立系吗还？成立吗？
B
E
C 说A 明理由
A
A
FF F
A
2.若△ABC∽△ADE， 你可以得出什么结论？
D B
“A”型
角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C
E 边：DE ∥ BC
AD AE DE .
C AB AC BC
AD AE . DB EC
DB EC
.
AB AC
面积： SADE ppt课件
DE 2.
第12讲相似三角形的判定复习课件(共46张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
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【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
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4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
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第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
全效优等生
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部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
相似三角形判定一公开课.
B C
解:(1) ∵ DE∥BC DE∥
ADE=∠ ∴ ∠ADE=∠B, AED=∠ ∠AED=∠C.
(2) △ ADE∽ △ABC. ADE∽
理由是: 理由是: ADE=∠ ∵ ∠ADE=∠B ( 两直线平行,同位角相等. ） 两直线平行,同位角相等. AED=∠ ∠AED=∠C ADE∽ ∴ △ ADE∽ △ABC. （两角对应相等的两个三角形相似 ）
如图4 17,D,E分别是 ABC边AB,AC上的点 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的点 分别是△ ,DE∥ ,DE∥BC. 图中有哪些相等的角? （1）图中有哪些相等的角? A 找出图中的相似三角形, （2）找出图中的相似三角形, D E 并说明理由; 并说明理由; 写出三组成比例的线段. （3）写出三组成比例的线段.
猜想一：一个角对应相等 − − − − 猜想二：两个角对应相等 猜想三：三个角对应相等 角的关系
3种猜想：角和边关系 边的关系
根据三角形内角和， 根据三角形内角和，可将猜想三与 猜想二化归为同一个猜想
如果两个三角形有一个内角对应相等， 如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？ 那么这两个三角形一定相似吗？
→
AE DE AD = BC = AB AC
课堂达标 1.如图在△ABC中，DE∥ BC,AD=3cm,BD=2cm,△ADE与△ABC 3 是否相似，相似比是 。
5
2.如图，D,E分别为△ABC中AB,AC边上的点，请你添加一个条件 2. D,E ABC AB,AC ） 使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是 ∠ ADE= ∠C （∠AED= ∠B）
D
B
● ●
E F
C
解:(1) ∵ DE∥BC DE∥
ADE=∠ ∴ ∠ADE=∠B, AED=∠ ∠AED=∠C.
(2) △ ADE∽ △ABC. ADE∽
理由是: 理由是: ADE=∠ ∵ ∠ADE=∠B ( 两直线平行,同位角相等. ） 两直线平行,同位角相等. AED=∠ ∠AED=∠C ADE∽ ∴ △ ADE∽ △ABC. （两角对应相等的两个三角形相似 ）
如图4 17,D,E分别是 ABC边AB,AC上的点 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的点 分别是△ ,DE∥ ,DE∥BC. 图中有哪些相等的角? （1）图中有哪些相等的角? A 找出图中的相似三角形, （2）找出图中的相似三角形, D E 并说明理由; 并说明理由; 写出三组成比例的线段. （3）写出三组成比例的线段.
猜想一：一个角对应相等 − − − − 猜想二：两个角对应相等 猜想三：三个角对应相等 角的关系
3种猜想：角和边关系 边的关系
根据三角形内角和， 根据三角形内角和，可将猜想三与 猜想二化归为同一个猜想
如果两个三角形有一个内角对应相等， 如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？ 那么这两个三角形一定相似吗？
→
AE DE AD = BC = AB AC
课堂达标 1.如图在△ABC中，DE∥ BC,AD=3cm,BD=2cm,△ADE与△ABC 3 是否相似，相似比是 。
5
2.如图，D,E分别为△ABC中AB,AC边上的点，请你添加一个条件 2. D,E ABC AB,AC ） 使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是 ∠ ADE= ∠C （∠AED= ∠B）
D
B
● ●
E F
C
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
3.能够运用相似三角形的性质和判定方法证明几何命题，培养逻辑推理能力。
（二）过程与方法
1.通过案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学活动，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.引导学生运用相似三角形的知识进行几何图形的变换和分析，提高学生的空间想象能力。
3.培养学生运用数学知识进行逻辑推理和证明的能力，提升学生的数学素养。
在教学内容上，我选取了与相似三角形相关的几个重要知识点，包括相似三角形的性质、判定方法以及相似三角形在实际问题中的应用。在教学过程中，我将采用案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索，培养他们的独立思考能力和团队合作精神。
在教学实践中，我发现许多学生在解决相似三角形问题时，往往对基础知识掌握不牢，导致解题思路混乱。因此，在本次公开课中，我将重点强调相似三角形的性质和判定方法，并通过典型例题的讲解和练习，使学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。
此外，我还注意到，学生在学习过程中，往往对理论知识较为抵触，容易产生厌学情绪。因此，在本次公开课中，我将尽量使用生动的语言和贴近生活的案例，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的学习积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
2.学会使用相似三角形的知识对图形进行变换和分析，提高空间想象能力。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
一、案例背景
本节公开课的主题是“人教版数学九年级下相似三角形专题复习”，旨在帮助学生巩固和深化对相似三角形知识的掌握。九年级的学生已经学习了相似三角形的性质和判定方法，但他们在实际解决问题时，往往对这些知识运用不够灵活。因此，本节课的设计目的是让学生在复习中强化对相似三角形知识的理解，提高解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学活动，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.引导学生运用相似三角形的知识进行几何图形的变换和分析，提高学生的空间想象能力。
3.培养学生运用数学知识进行逻辑推理和证明的能力，提升学生的数学素养。
在教学内容上，我选取了与相似三角形相关的几个重要知识点，包括相似三角形的性质、判定方法以及相似三角形在实际问题中的应用。在教学过程中，我将采用案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索，培养他们的独立思考能力和团队合作精神。
在教学实践中，我发现许多学生在解决相似三角形问题时，往往对基础知识掌握不牢，导致解题思路混乱。因此，在本次公开课中，我将重点强调相似三角形的性质和判定方法，并通过典型例题的讲解和练习，使学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。
此外，我还注意到，学生在学习过程中，往往对理论知识较为抵触，容易产生厌学情绪。因此，在本次公开课中，我将尽量使用生动的语言和贴近生活的案例，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的学习积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
2.学会使用相似三角形的知识对图形进行变换和分析，提高空间想象能力。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
一、案例背景
本节公开课的主题是“人教版数学九年级下相似三角形专题复习”，旨在帮助学生巩固和深化对相似三角形知识的掌握。九年级的学生已经学习了相似三角形的性质和判定方法，但他们在实际解决问题时，往往对这些知识运用不够灵活。因此，本节课的设计目的是让学生在复习中强化对相似三角形知识的理解，提高解决问题的能力。
相似三角形的性质公开课ppt课件
01
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则这两个三角形相似。
02
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例， 对应角相等，面积比等于相似
比的平方。
03
相似三角形的判定
通过比较两个三角形的对应角 或对应边来判断它们是否相似
。
解题技巧归纳
寻找相似三角形
在复杂的图形中，通过观察和分析，找出可能相似的三角形。
与全等三角形关系
全等三角形是特殊的相似三角形 ，当相似比为1时，两个三角形
全等。
全等三角形的性质在相似三角形 中同样适用，如对应边、对应角 相等，周长、面积等性质也可以
类比到相似三角形中。
在研究相似三角形时，可以利用 全等三角形的性质进行推导和证
明。
02
相似三角形性质探究
对应角相等
相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形相似，那 么它们的对应角必定相等。
，能够独立思考并解决问题。
学习态度与习惯
在学习过程中，我始终保持积极 的学习态度和良好的学习习惯， 认真听讲、积极思考、及时复习
。
THANKS
个三角形相似。
相似三角形的对应角相等，对应 边成比例，面积比等于相似比的
平方。
02
性质
判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所 在的直线，截得的三角形与原三角形相 似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等，则两个三 角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形相似。
在证明过程中，需要注意证明两个三 角形相似的条件以及对应角的确定。
通过构造相似三角形，可以找到与已 知角相等的另外一个角，从而证明角 度相等关系。
公开课相似三角形专题复习PPT课件
添平行线构造相似三角形的基本图形。
3
相似三角形
E
E
F M
G
F
N
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,
试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
4
基本图形的形成、变化及发展过程：
平行型
.
旋转
∽
斜交型 .
.
.
平移
特 殊 垂直型
平移
.. 特 殊
5
运用模型☞
1.添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
BBB
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
12
问题2：
D
（12）延长BA、CF相交于点
A
F
D点,D且,E且为善E于B为C运B的用C中 的类点中比、，点若，若
α
∠B=∠迁C移=的α数, ∠学A方E法F= ∠ C,连
α
B
E α C 结 当A∠AF.EF旋解转决到问题如图位置时，
找 上出 述图 关中 系的 还相 成似立三吗角？形
矩形abcd中把da沿af对折使d与cb边上的点e重合若ad10ab则ef善于在复杂图形中寻找基本型56或2或12注意分类讨论的数学思想15cedf60be6cd3cf4则af17思考题
1
试一试
E
D
M
N
H
过D作DH∥EC交BC延长线于点 H (1)试找出图中的相似三角形? ⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
A
B
解： 角： ∠B= ∠ C或∠ A= ∠ D O
边：AB ∥ CD
AO：OD=BO：CO
C
D
【公开课教案】相似三角形专题复习—“一线三等角”型
相似三角形专题复习————“一线三等角”型【教学目标】1、会用“一线三等角”的基本图形解决相似中的相关问题2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力【重点】运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
【难点】“一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用【教学方法】合作探究、分析讲授【教具准备】三角尺，多媒体．【教学过程】一．基本图形回顾：设计意图一、复习回顾,揭示目标情景，引入课题：三个基本图形呈现提供不同类型的相似三角形，让学生说出每一个图形中相似形的对应关系，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。
从模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫引入课题：二、抽象模型，揭示实质：二、抽象模型，揭示实质抽象模型的目的是让学生的认识从“特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，为后续的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。
三．运用新知，看图作三．运用新知，看图作答：四：从特殊到一般：答通过前面的学习，为了让学生学以致用，设置一个练习及变式训练注意：这里要求学生提炼“一线三等角的基本图形，说出两个相似三角形，要求对应的顶点写在对应的位置，并利用相似的性质求解四、从特殊到一般：从特殊的直角改变成一般的角，并让学生证明，明白从特殊到一般的原理，同时展示三种常见形态五、典例解析，综合运用：五、典例解析，综合运用六、深入探究：七、小结收获交流归纳（1）由“一线三等角”基本图形搭建桥梁可以得到识开始在具体题目中的实际运用，设计上承接了前面的图形，能结合动点问题，勾股定理等知识并运用“一线三等角”相似型解决问题。
学生重点分析解题方法和数学思想的渗透，提高学生综合应用能力。
六、深入探究：相似三角形，熟悉这类题经常是以等边三角形、等腰梯形、正方形、矩形为图形背景出现。
初中数学《相似三角形的性质》公开课课件
①平行得相似；
②两角相等；
③两边对应成比例，且夹角相等；
④三边对应成比例。
5
情境引入：
6
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△ABC~△′ ′ ′ ，根据相似三角形的定义，我们有哪些结论？
从对应边上看：（ 对应边成比例 ）
从对应角上看：（ 对应角相等
48
4
∵▲ =48，∴
解得 ▲ =
9
16
×48=27
链接中考：
16
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（2019·山东枣庄中考·3分）如图，将△ ABC沿BC边上的中线
AD平移到△′ ′ ′ 的位置，已知△ ABC的面积为16，阴影部分三
你知道 风筝是怎样制造的吗？
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1
相似三角形的性质
态度就是竞争力，积极的学习态度就是你脱颖而
出的砝码
学习目标：
3
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1.
掌
相似三
形的性
对应线
比、面
）
高
中线
角平分线
思考：
1.在三角形中，除了边，还有哪些特殊线段？
2.如果两个三角形相似，这些特殊线段又有怎样的关系呢？
情境引入：
7
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△ ABC~△ ′ ′ ′ ，相似比为k，AD,′ ′ 分别是BC,′ ′ 边上的高，
B）
②两角相等；
③两边对应成比例，且夹角相等；
④三边对应成比例。
5
情境引入：
6
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△ABC~△′ ′ ′ ，根据相似三角形的定义，我们有哪些结论？
从对应边上看：（ 对应边成比例 ）
从对应角上看：（ 对应角相等
48
4
∵▲ =48，∴
解得 ▲ =
9
16
×48=27
链接中考：
16
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（2019·山东枣庄中考·3分）如图，将△ ABC沿BC边上的中线
AD平移到△′ ′ ′ 的位置，已知△ ABC的面积为16，阴影部分三
你知道 风筝是怎样制造的吗？
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1
相似三角形的性质
态度就是竞争力，积极的学习态度就是你脱颖而
出的砝码
学习目标：
3
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1.
掌
相似三
形的性
对应线
比、面
）
高
中线
角平分线
思考：
1.在三角形中，除了边，还有哪些特殊线段？
2.如果两个三角形相似，这些特殊线段又有怎样的关系呢？
情境引入：
7
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△ ABC~△ ′ ′ ′ ，相似比为k，AD,′ ′ 分别是BC,′ ′ 边上的高，
B）
相似三角形的性质公开课教案
在山峰前选择两个观测点，测量这两 个点与山峰顶部形成的两个相似三角 形的对应边长和角度，利用相似比和 三角函数计算山峰的高度。
利用相似三角形解决面积和体积问题
计算不规则图形的面积
将不规则图形划分为若干个相似三角形，通过测量相似三角形的对应边长，利 用相似比计算每个三角形的面积，进而求出不规则图形的总面积。
05
学生自主探究活动设计与 实践
探究活动一：寻找生活中的相似三角形实例
任务描述
学生分组在生活中寻找相似三角 形的实例，如建筑物、日常用品
等，并拍照记录。
活动目的
通过寻找实际生活中的相似三角形 ，增强学生对相似三角形概念的理 解，培养学生的观察能力和小组合 作能力。
预期成果
各组收集到的相似三角形实例照片 及简要说明。
02
构造相似三角形
同样根据已知条件和相似三角 形的判定定理，构造出相似三
角形。
03
应用相似性质
利用相似三角形的性质，即相 似三角形的对应角相等，来证
明所需的角相等关系。
04
给出结论
根据证明过程得出结论，并强 调相似三角形在证明角相等关
系中的重要作用。
综合运用相似三角形性质进行几何证明
复杂几何问题的分析
可以通过相似三角形的定义和判定方法来 证明该定理。
ห้องสมุดไป่ตู้
在解决一些几何问题时，可以通过寻找相 似三角形并利用该定理来求解未知角度。
相似三角形对应边成比例定理
01
定理内容：如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比 例。
02
比例性质
03
对应边之间的比例是常数，称为相似比。
04
相似比具有传递性，即如果△ABC∽△DEF且△DEF∽△GHI ，那么△ABC∽△GHI，且它们的相似比相等。
利用相似三角形解决面积和体积问题
计算不规则图形的面积
将不规则图形划分为若干个相似三角形，通过测量相似三角形的对应边长，利 用相似比计算每个三角形的面积，进而求出不规则图形的总面积。
05
学生自主探究活动设计与 实践
探究活动一：寻找生活中的相似三角形实例
任务描述
学生分组在生活中寻找相似三角 形的实例，如建筑物、日常用品
等，并拍照记录。
活动目的
通过寻找实际生活中的相似三角形 ，增强学生对相似三角形概念的理 解，培养学生的观察能力和小组合 作能力。
预期成果
各组收集到的相似三角形实例照片 及简要说明。
02
构造相似三角形
同样根据已知条件和相似三角 形的判定定理，构造出相似三
角形。
03
应用相似性质
利用相似三角形的性质，即相 似三角形的对应角相等，来证
明所需的角相等关系。
04
给出结论
根据证明过程得出结论，并强 调相似三角形在证明角相等关
系中的重要作用。
综合运用相似三角形性质进行几何证明
复杂几何问题的分析
可以通过相似三角形的定义和判定方法来 证明该定理。
ห้องสมุดไป่ตู้
在解决一些几何问题时，可以通过寻找相 似三角形并利用该定理来求解未知角度。
相似三角形对应边成比例定理
01
定理内容：如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比 例。
02
比例性质
03
对应边之间的比例是常数，称为相似比。
04
相似比具有传递性，即如果△ABC∽△DEF且△DEF∽△GHI ，那么△ABC∽△GHI，且它们的相似比相等。
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A
4 8
18
A`
B
6
C
24
21
B`
12
C`
如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？
渐入佳境
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A
A
C
D
B
例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6
B
14
A C
4
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p 14―x P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
A
• •
C
D
B
分析：（1）本题只有已知角和等边三角形的条件，要证∽，可以从找两个 角对应相等入手. AC CD （2）欲证AC DB CD，只须证 CD DB ，但图中找不到能直接得出这个比例式的 相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上，故可考虑通过等量代换，
2
1.如图，已知△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB. C
2 1 y x 2 2
2 时 当 x 2
y最小值
1 2
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
D
C
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？
A Q A Q
B
P
C
B
P
C
已知，D、E为△ABC中BC、AC上两点， CE=3，CA=8，CB=6， 若∠CDE=∠A， 4 则：CD=_____， 1：2 △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, 1：4 △CDE的面积:△CAB的面积=______. E
1
D
4 3
E
2
· O
C
B
渐入佳境
2.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）, 点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与 △ABC相似，则点P的坐标是__________________.
y
O
· B
C
·
x
· A
渐入佳境
3. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点
C
D
A B
如图，已知平行四边形ABCD, 1 CE= 2 BC S△ADF =16,则S△CEF= 平行四边形ABCD的面积为
， ？
A
D F
D
E
E
C B
B
C
A
F
如图，在□ABCD中，E为CD上一点， DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且 AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=
E D A B
F
H G
2.如图，在△ABC中， CA=6，CB=4，AB=8， 当DE∥AB，D点在BC上（与B、C不重合）， E点在AC上. (1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时， 求CD的长. (2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等 时，求CD的长. C C E A D B A E D B
A
P
Q
B
板书设计
相似三角形性质与判定
一、判定方法 平行线法、两角 两角一夹边、三边 二、性质 应用1 应用2
对应边、对应角 周长比、面积比、 对应线段的比
已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1) ∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
1 y
C
1 x 2 x 1 y
x
2
D
2x
1 y x
2x
y x2 2x 1
0 x 2
渐入佳境
例1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.
求证:AB2=AE·AD 证明：连接BD ∵AB=AC ∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB AB AD AC
∴ B A O· C
D
E
AE
∴AB2=AE·AD
AB
挑战自我
如图，三角形ABC中，BE,CD是两边上的高， 问题1、图中有相似三角形吗？并说明理由 问题2、说明∠AED=∠ABC
B 1
A
y
E
1 y
C
x
D
2x
(3)如图，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分 别向AB作垂线，垂足分别为G、H、F， CH交 DE于P，已知 CH=6，AB=8. ①若EF=x ,DE=y，写出y与x的函数关系式. ②设EF为x，S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式， 以及自变量x的取值范围？ C ③当x为何值时，矩形DEFG的面积 最大，最大面积为多少？ P
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5， AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重 合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E， 同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函 数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似. 问：你能画出符合条件的直线吗？ A
E
相似三角形的判定方法
B
E
D
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似 2、有两角对应相等的两个三角形相似
A′ A
40° 40°
B
80°
C
B′
60 °
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6 ∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A′ A
3 40°
7
40°
14
6
B
C
B′
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？ 为什么？ (3) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 A`B`=18 ，B`C`=12 ，A`C`= 24 21
提示:
Ｍ Ａ
Ｎ Ｄ
Ｍ Ａ
Ｂ
Ｑ
Ｎ
Ｄ
1、PQ是折痕与AD、CE垂直吗，∠ABE是什么角？ 2、要证△PBE和△BAE相似能用AA吗，有成比例线段吗？ 3、沿直线EB折叠纸片，点A要在EC上，只要什么成立？
1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. P
的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时， A y 求AE的长
1
E
C
B
x
D
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一
4 8
18
A`
B
6
C
24
21
B`
12
C`
如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？
渐入佳境
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A
A
C
D
B
例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6
B
14
A C
4
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p 14―x P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
A
• •
C
D
B
分析：（1）本题只有已知角和等边三角形的条件，要证∽，可以从找两个 角对应相等入手. AC CD （2）欲证AC DB CD，只须证 CD DB ，但图中找不到能直接得出这个比例式的 相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上，故可考虑通过等量代换，
2
1.如图，已知△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB. C
2 1 y x 2 2
2 时 当 x 2
y最小值
1 2
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
D
C
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？
A Q A Q
B
P
C
B
P
C
已知，D、E为△ABC中BC、AC上两点， CE=3，CA=8，CB=6， 若∠CDE=∠A， 4 则：CD=_____， 1：2 △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, 1：4 △CDE的面积:△CAB的面积=______. E
1
D
4 3
E
2
· O
C
B
渐入佳境
2.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）, 点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与 △ABC相似，则点P的坐标是__________________.
y
O
· B
C
·
x
· A
渐入佳境
3. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点
C
D
A B
如图，已知平行四边形ABCD, 1 CE= 2 BC S△ADF =16,则S△CEF= 平行四边形ABCD的面积为
， ？
A
D F
D
E
E
C B
B
C
A
F
如图，在□ABCD中，E为CD上一点， DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且 AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=
E D A B
F
H G
2.如图，在△ABC中， CA=6，CB=4，AB=8， 当DE∥AB，D点在BC上（与B、C不重合）， E点在AC上. (1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时， 求CD的长. (2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等 时，求CD的长. C C E A D B A E D B
A
P
Q
B
板书设计
相似三角形性质与判定
一、判定方法 平行线法、两角 两角一夹边、三边 二、性质 应用1 应用2
对应边、对应角 周长比、面积比、 对应线段的比
已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1) ∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
1 y
C
1 x 2 x 1 y
x
2
D
2x
1 y x
2x
y x2 2x 1
0 x 2
渐入佳境
例1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.
求证:AB2=AE·AD 证明：连接BD ∵AB=AC ∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB AB AD AC
∴ B A O· C
D
E
AE
∴AB2=AE·AD
AB
挑战自我
如图，三角形ABC中，BE,CD是两边上的高， 问题1、图中有相似三角形吗？并说明理由 问题2、说明∠AED=∠ABC
B 1
A
y
E
1 y
C
x
D
2x
(3)如图，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分 别向AB作垂线，垂足分别为G、H、F， CH交 DE于P，已知 CH=6，AB=8. ①若EF=x ,DE=y，写出y与x的函数关系式. ②设EF为x，S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式， 以及自变量x的取值范围？ C ③当x为何值时，矩形DEFG的面积 最大，最大面积为多少？ P
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5， AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重 合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E， 同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函 数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似. 问：你能画出符合条件的直线吗？ A
E
相似三角形的判定方法
B
E
D
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似 2、有两角对应相等的两个三角形相似
A′ A
40° 40°
B
80°
C
B′
60 °
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6 ∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A′ A
3 40°
7
40°
14
6
B
C
B′
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？ 为什么？ (3) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 A`B`=18 ，B`C`=12 ，A`C`= 24 21
提示:
Ｍ Ａ
Ｎ Ｄ
Ｍ Ａ
Ｂ
Ｑ
Ｎ
Ｄ
1、PQ是折痕与AD、CE垂直吗，∠ABE是什么角？ 2、要证△PBE和△BAE相似能用AA吗，有成比例线段吗？ 3、沿直线EB折叠纸片，点A要在EC上，只要什么成立？
1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. P
的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时， A y 求AE的长
1
E
C
B
x
D
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一