相似三角形复习公开课)

∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5， AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重 合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E， 同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函 数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长
C
D
A B
如图，已知平行四边形ABCD, 1 CE= 2 BC S△ADF =16,则S△CEF= 平行四边形ABCD的面积为
， ？
A
D F
D
E
E
C B
B
C
A
F
如图，在□ABCD中，E为CD上一点， DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且 AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1) ∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°
的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时， A y 求AE的长
1
E
C
B
x
D
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一
个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE
A 1 D ）2
2 1 y x 2 2
2 时 当 x 2
y最小值
1 2
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
A
C
D
B
例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6
B
14
A C
4
D
6 x P 14―x
B
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似. 问：你能画出符合条件的直线吗？ A
E
相似三角形的判定方法
B
E
D
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似 2、有两角对应相等的两个三角形相似
A
D
B
E C
尝试练习
已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
D
C
综合运用
例3、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点 D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点 E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x
1
D
4 3
E
2
· O
C
B
渐入佳境
2.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）, 点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与 △ABC相似，则点P的坐标是__________________.
y
O
· B
C
·
x
· A
渐入佳境
3. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点
B A
700
C
300
F D
700
E b
a
200 500
200 300
B
C
F
E
• 评注：一道题有几个小题时，或者后面小题的解决要用 结论，或者这几个小题解决方法类似。本题的第⑴小题 同理可得∽，则有∽。
1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. P
提示:
Ｍ Ａ
Ｎ Ｄ
Ｍ Ａ
Ｂ
Ｑ
Ｎ
Ｄ
1、PQ是折痕与AD、CE垂直吗，∠ABE是什么角？ 2、要证△PBE和△BAE相似能用AA吗，有成比例线段吗？ 3、沿直线EB折叠纸片，点A要在EC上，只要什么成立？
1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. P
A D E
D B
3
1 2
E C
B
F
C
如图(1)
如图(2)
渐入佳境
(3)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD 交于点E,则图中共有_____对三角形相似.
B A
E
D
· O
C
(4)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD 交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有_____对 三角形相似. A
A
4 8
18
A`
B
6
C
24
21
B`
12
C`
如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？
渐入佳境
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A
P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？
A Q A Q
B
P
C
B
P
C
已知，D、E为△ABC中BC、AC上两点， CE=3，CA=8，CB=6， 若∠CDE=∠A， 4 则：CD=_____， 1：2 △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, 1：4 △CDE的面积:△CAB的面积=______. E
自主探究
练习．如图，先把一矩形纸片ABCD对折，设折痕为ＭＮ， 再把Ｂ点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D 点叠在直线AD上，得折痕ＰＱ。 1、求证:△PBE∽△QAB; 2、你认为△PBE和△BAE相似吗？ 如果相似给出证明, 如不相似请说明理由; 3、如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上？ Ｃ Ｅ Ｐ Ｃ 为什么？ Ｂ
B 1
A
y
E
1 y
C
x
D
2x
(3)如图，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分 别向AB作垂线，垂足分别为G、H、F， CH交 DE于P，已知 CH=6，AB=8. ①若EF=x ,DE=y，写出y与x的函数关系式. ②设EF为x，S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式， 以及自变量x的取值范围？ C ③当x为何值时，矩形DEFG的面积 最大，最大面积为多少？ P
渐入佳境
例1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.
求证:AB2=AE·AD 证明：连接BD ∵AB=AC ∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB AB AD AC
∴ B A O· C
D
E
AE

∴AB2=AE·AD
AB
挑战自我
如图，三角形ABC中，BE,CD是两边上的高， 问题1、图中有相似三角形吗？并说明理由 问题2、说明∠AED=∠ABC
D
C
A′ A
40° 40°
B
80°
C
B′
60 °
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6 ∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A′ A
3 40°
7
40°
14
6
源自文库
B
C
B′
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？ 为什么？ (3) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 A`B`=18 ，B`C`=12 ，A`C`= 24 21
E D A B
F
H G
2.如图，在△ABC中， CA=6，CB=4，AB=8， 当DE∥AB，D点在BC上（与B、C不重合）， E点在AC上. (1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时， 求CD的长. (2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等 时，求CD的长. C C E A D B A E D B
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
1 y
C
1 x 2 x 1 y
x
2
D
2x
1 y x

2x

y x2 2x 1
0 x 2
A
• •
C
D
B
分析：（1）本题只有已知角和等边三角形的条件，要证∽，可以从找两个 角对应相等入手. AC CD （2）欲证AC DB CD，只须证 CD DB ，但图中找不到能直接得出这个比例式的 相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上，故可考虑通过等量代换，
2
1.如图，已知△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB. C
2.画一画:
如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线 b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三 角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标 注数据)
A a
500
700 300 300
D
700
b
A
P
Q
B
板书设计
相似三角形性质与判定
一、判定方法 平行线法、两角 两角一夹边、三边 二、性质 应用1 应用2
对应边、对应角 周长比、面积比、 对应线段的比
已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p 14―x P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4