线段中点以及角平分线解题规律总结ppt课件
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线段的中垂线和角平分线课件
中垂线与线段垂直，且中垂线 上的角为直角。
中垂线上的任意一点到线段两 端点的连线与中垂线垂直。
中垂线的应用
01
在几何作图中，中垂线 用于确定对称图形和等
分线段。
02
在实际生活中，中垂线 可用于建筑、工程和设 计等领域，例如桥梁、 道路和管道的铺设等。
03
在数学问题中，中垂线 是解决等腰三角形、菱 形和正方形等问题的关
在几何证明中，经常使用角平分线的性质来证明某些结论。
在实际生活中，角平分线可以用于设计、建筑、工程等领域 ，例如道路、桥梁、建筑物的布局和设计。
04
线段的中垂线和角平分线的 比较
定义的比较
总结词
线段的中垂线和角平分线的定义不同 ，中垂线是垂直平分线段的直线，而 角平分线是将一个角平分的射线。
详细描述
键工具。
03 角平分线
角平分线的定义
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角平分的射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 相对边上的两个点与角的顶点构 成三个相等的角。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离相等 。
角平分线将相对边上的任意一点与角 的顶点的连线分为两等份。
角平分线的应用
线段的中垂线和角平分线p• 引言 • 线段的中垂线 • 角平分线 • 线段的中垂线和角平分线的比较 • 练习与问题解答
01 引言
主题介绍
线段的中垂线
线段的中垂线是垂直平分线段的 直线，它将线段分为两个相等的 部分。
角平分线
角平分线是将一个角分为两个相 等的角的射线，它与相对边相交 于一点。
06
解答
中垂线上的任意一点到线段两端点的距离相等 ；角平分线上的任意一点到角的两边的距离相 等。
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
《角的平分线的性质》PPT优质课件
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
三角形的中线、角平分线（课件）
4.1.3 三角形的中线、角平分线
北师大版 七年级下
新知导入
1.有 两边 相等的三角形叫等腰三角形。 有三边都相等的三角形是 等边 三角形，也叫正三角形。 2. 三角形 两边之和大于第三边。
三角形两边之差小于第三边。 第三边大于两边之 差 ,小于两边之 和 。
新知导入
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定 这个点的位置吗？
课堂练习
4.下列说法中正确的是( A ) A．三角形的角平分线和中线都是线段 B．三角形的角平分线和中线都是射线 C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段 D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
课堂练习
5.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，若∠A＝ 52°，则∠1＋∠2的度数为__6__4_°___．
2
反之：
∵BE＝CE (BE＝ 1 BC)
2
∴AE 是△ABC的中线
思考：已知E 是BC 的中点， △ABD与 △ACD的面积相等吗？
SABE SACE
新知讲解
【议一议】 （1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎 样的位置关系？与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
新知讲解
新知讲解
【画一画】 在纸上画出一个锐角三角形 连接一个顶点与它对边的中点
这条线段叫什么？
新知讲解
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形
三的角中形线的。中线还 如有图什，么A特E 点是呢△A？BC 的 BC 边上的中线．
A
B
E
C
BE=EC
符号语言：
∵AE 是△ABC的中线 ∴BE ＝CE ＝ 1 BC
北师大版 七年级下
新知导入
1.有 两边 相等的三角形叫等腰三角形。 有三边都相等的三角形是 等边 三角形，也叫正三角形。 2. 三角形 两边之和大于第三边。
三角形两边之差小于第三边。 第三边大于两边之 差 ,小于两边之 和 。
新知导入
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定 这个点的位置吗？
课堂练习
4.下列说法中正确的是( A ) A．三角形的角平分线和中线都是线段 B．三角形的角平分线和中线都是射线 C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段 D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
课堂练习
5.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，若∠A＝ 52°，则∠1＋∠2的度数为__6__4_°___．
2
反之：
∵BE＝CE (BE＝ 1 BC)
2
∴AE 是△ABC的中线
思考：已知E 是BC 的中点， △ABD与 △ACD的面积相等吗？
SABE SACE
新知讲解
【议一议】 （1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎 样的位置关系？与同伴进行交流．
锐角三角形的三条中线交于一点.
新知讲解
新知讲解
【画一画】 在纸上画出一个锐角三角形 连接一个顶点与它对边的中点
这条线段叫什么？
新知讲解
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形
三的角中形线的。中线还 如有图什，么A特E 点是呢△A？BC 的 BC 边上的中线．
A
B
E
C
BE=EC
符号语言：
∵AE 是△ABC的中线 ∴BE ＝CE ＝ 1 BC
七年级 下册 数学 PPT课件 精品课 第4章三角形 三角形的中线、角平分线
归纳
知2－导
铅笔支起三角形卡片的点就是三 角形的重心！
（来自《教材》）
知2－讲
位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形的内部，如图，这个点叫三角形的重心．
（来自《点拨》）
角的平分线
C
如右图，如果∠AOB=∠BOC，
那么射线OB叫做∠AOC的角
B
平分线。
O
A
从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系?
三角形的三条角平分线线交于一点
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠__A_B_E=_∠__C_B_E= 1 ∠__AB_C__
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠__B_C_F_
B
D
C
练一练
• 1、AD是ΔABC的角平分线（如图），
【解析】(1)因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，所以
∠B+∠BCD=90°，所以∠CDB=90°，
所以△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，故CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°，
所以S△ABC
= 1 AC·BC=1
2
2
AB·CD.
又因为AC=8，BC=6，AB=10，
所以CD= AC BC 68 24 .
(2)易错警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形
的三边关系．
（来自《点拨》）
知1－练
3 如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E 是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边 形PDCE的面积为( B )
三角形的中线与角平分线(共22张PPT)
在几何图形中的应用比较
中线在几何图形中的应用主要涉及三 角形中的中位线定理和重心定理，如 中线定理、塞瓦定理等。
角平分线在几何图形中的应用则主要 涉及角平分线的性质定理和角平分线 定理，如角平分线定理、梅涅劳斯定 理等。
在实际问题中的应用比较
中线在实际问题中的应用主要涉及建筑、桥梁等结构物的稳定性分析，如利用中 线定理计算结构的支撑力等。
解题策略
利用中线的性质解决几何问题， 如求面积、证明等。
实际应用
在建筑、工程等领域，中线可用于 确定结构的稳定性或优化设计。
拓展应用
在物理学、工程学等领域，中线可 用于分析力的分布和传导。
03 角平分线
CHAPTER
角平分线的定义和性质
角平分线的定义
从一个角的顶点出发，将相对边分为 两等分的线段。
角平分线与三角形的中线
在三角形中，一个角的角平分线与相对边的中点相交，且这个交点 到这个角的两边的距离相等。
角平分线的应用
1 2
在几何证明中的应用
利用角平分线的性质可以证明一些几何命题，如 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
在三角形面积计算中的应用
利用角平分线的性质可以将三角形的面积分成两 个相等的部分，从而简化面积的计算。
课程目标
掌握三角形中线与角 平分线的定义和性质。
理解中线和角平分线 在几何学中的重要性 和应用。
学习如何利用中线和 角平分线进行证明和 计算。
02 三角形的中线
CHAPTER
中线的定义和性质
01
02
03
定义
三角形的中线是指连接三 角形的一个顶点与对边中 点的线段。
性质
中线与三角形的对边平行 且等于对边的一半。
人教版八年级数学上册 《三角形的高、中线与角平分线》PPT教育课件
三角形中线的理解
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∴BD= BC
CD=
BC
∴BC=2BD BC=2CD
A
B
C
D
第十页，共二十页。
三角形的重心
概念：三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
A
F
B
E
O
D
第十一页，共二十页。
C
扩展
思考：△ABD和△ADC的面积相等吗？
∵D是BC的中点
人教版八年级数学上册 《三角形的高、中线与角平分线》PPT教育课件
科
目：数学
适用版本：人教版
适用范围：【教师教学】
第十一章 三角形
11.1.2 三角形的高、中
线与角平分线
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知识点回顾
问题：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
分析：即过点p做已知直线l的垂线。
0
p
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
l
O
第三页，共二十页。
课堂测试
问题：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?
分析：即过点A点做已知对边BC的垂线。
0
A
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
B
C
O
角平分线的性质 课件
角的平分线与等边三角形的关系
角的平分线与等边三角形的联系
在等边三角形中，角的平分线也是中垂线，因此，角的 平分线与等边三角形也有密切的联系。
角的平分线与等边三角形的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如证明等边三 角形、求角度等。
THANKS
谢谢
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用虚线表示角平 分线，并在角平分线上标注相应的字 母。
例如，若角平分线为AD，则可以表示 为AD平分∠BAC。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到该角的两边的距离相等。 这一性质是角平分线的基本性质，也是证明其他角平分线性质的基础。
02
CHAPTER
角平分线的性质
04
CHAPTER
角平分线的作法
通过角的顶点作角的平分线
总结词
角的顶点是角的两条边的交汇点，通过角的顶点作角的平分线的方法是常用的方法之一 。
详细描述
首先，确定角的顶点，然后使用直尺或圆规等工具，从角的顶点出发，作一条与角的一 边平行的线段，线段的长度可以根据需要自行确定。接着，将线段的中点与角的另一边
角的平分线与平行线相交形成的交点，到角的两边的距离 相等。
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如求距离、证明 角相等等。
角的平分线与等腰三角形的关系
角的平分线与等腰三角形 的联系
角的平分线是等腰三角形底边上的中垂线， 因此，角的平分线与等腰三角形有密切的联 系。
角的平分线与等腰三角形 的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如 证明等腰三角形、求角度等。
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
利用角平分线定理，可以证明线段的 比例关系。
证明三角形全等
苏科版七年级上册第6章 平面图形的认识(一)：线段中点以及角平分线解题规律总结课件(共16张PPT)
A D C E B
2、在一直线上有A、B、C三个点，M为 AB的中点，N为BC的中点，若AB=a， BC=b（a≠b）．试用a、b的代数式表示 MN的长度
一条射线把一个角分成两个相等的角，则 这条射线叫这个角的角平分线. B 符号语言
角平分线的性质
O ∵射线OC平分∠AOB A 1 ∴∠1=∠2（或∠1= ∠AOB或∠AOB= 2∠1） 2 角平分线的判定 1 ∵∠1=∠2（或∠1= ∠AOB或∠AOB= 2∠1） 2 ∴射线OC平分∠AOB
2 1
C
例2、如图，∠AOB＝80°，OM是 ∠AOB内任意数.
如图，∠AOB＝80°，OM是∠AOB外任 意一条射线，若OC平分∠AOM，OD平 分∠BOM，求∠COD的度数.
A O C B M D
通过以上问题的解 决你有什么发现
没有图的要画图
通过以上问题的解决你有什么发现
在同一条直线上，有公共端 点两条线段中点之间的距离就 等于，不重合的那两端点距离 的一半.紧扣题目中提供的中点 条件，从公共端点出发，根据 线段中点的性质有条理的写出 过程.
1、已知：线段AB＝20cm，C是 线段 直线AB上 一点，E是BC的中点，D是AC的中点， 求线段DE的长.
1、如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、 OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）若∠AOC=40°，∠BOC=80°，求 ∠DOE的度数； （2）若∠AOB=150°，求∠DOE的度数； （3）若∠AOB=α（0≤α≤180°），请直接写 出∠DOE的度数．
当两个角的顶点及边重合时， 两个角的平分线所组成的角， 就应该等于不重合的两边所构 成角的一半.紧扣题目中提供的 角平分线条件，从公共边出发， 根据角平分线的性质有条理的 写出过程.
2、在一直线上有A、B、C三个点，M为 AB的中点，N为BC的中点，若AB=a， BC=b（a≠b）．试用a、b的代数式表示 MN的长度
一条射线把一个角分成两个相等的角，则 这条射线叫这个角的角平分线. B 符号语言
角平分线的性质
O ∵射线OC平分∠AOB A 1 ∴∠1=∠2（或∠1= ∠AOB或∠AOB= 2∠1） 2 角平分线的判定 1 ∵∠1=∠2（或∠1= ∠AOB或∠AOB= 2∠1） 2 ∴射线OC平分∠AOB
2 1
C
例2、如图，∠AOB＝80°，OM是 ∠AOB内任意数.
如图，∠AOB＝80°，OM是∠AOB外任 意一条射线，若OC平分∠AOM，OD平 分∠BOM，求∠COD的度数.
A O C B M D
通过以上问题的解 决你有什么发现
没有图的要画图
通过以上问题的解决你有什么发现
在同一条直线上，有公共端 点两条线段中点之间的距离就 等于，不重合的那两端点距离 的一半.紧扣题目中提供的中点 条件，从公共端点出发，根据 线段中点的性质有条理的写出 过程.
1、已知：线段AB＝20cm，C是 线段 直线AB上 一点，E是BC的中点，D是AC的中点， 求线段DE的长.
1、如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、 OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）若∠AOC=40°，∠BOC=80°，求 ∠DOE的度数； （2）若∠AOB=150°，求∠DOE的度数； （3）若∠AOB=α（0≤α≤180°），请直接写 出∠DOE的度数．
当两个角的顶点及边重合时， 两个角的平分线所组成的角， 就应该等于不重合的两边所构 成角的一半.紧扣题目中提供的 角平分线条件，从公共边出发， 根据角平分线的性质有条理的 写出过程.
线段的中点及角平分线PPT课件
判断：
• 若AM=BM，则M为线段AB的中点。
M A
线段中点的条件： 1、在已知线段上。 2、把已知线段分成两条相等线段的点
B
例1 （1）已知：如图，点C是线段AB上一点，
AC=a，BC=b，点M是AC的中点,点N是BC的中点 求线段MN的长
A M C N B
a
b
∴MN=MC+CN = AC+
CB =
(AC+CB) =
(a+b)
例1 （2）已知：如图，点C是线段AB上一点，
AB=8cm，点M是AC的中点,点N是BC的中点，求 线段MN的长
A M C N B
∴MN=MC+CN = AC+
CB =
(AC+CB) =
AB＝4
答：线段MN的长为4cm
DB=3cm，BC=7cm，C是AD的中点， 求AB的长. C A D B 解：∵DB=3cm，BC=7cm ∴CD=BC－DB=7－3=4cm， ∵点C是AD的中点， ∴AC=CD=4cm， ∴AB=AC+CD+DB=4+4+3=11cm
（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm，①求线段AC的长 解：①有两种情况
A 10 B 甲 6 C
图甲：当点C在线段AB的延长线时 AC=AB+BC=10+6=16
10 A C 乙 B
6
图乙：当点C在线段AB上时 AC=AB –BC=10 – 6=4
（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm， ②若M是AB的中点,点N是BC的中点,求MN的长 解：①有两种情况
图1
A
三角形的中线、角平分线、垂线ppt课件
A E
你有什么发现？与同学交流。
D
C
长边上的高在三角形内，
B
短边上的高在三角形外
钝角三角形的三条高不相交于一点.
F
这三条高所在的直线是否相交于 一点呢？请大家画一画。
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点.
精选ppt课件
14
如图，七年级一、二班的同学在植树节前要绿化 一块三角形的空地，你能帮助他们把这块地划分成面 积相等、都是三角形形状的两块地吗？ A
就叫做这条线段的中点。
如图所示：
M是线段AB的中点， 那么 AM=BM= 1 AB
A
2
M B
精选ppt课件
2
相关知识回顾
3.你还记得 “过一点画已知 直线的垂线”的方法吗?
01 23 4 5
01 23 4 5
精选ppt课件
3
相关知识回顾
3.怎样 “过线段外一点画该 线段所在直线的垂线”?
01 23 4 5
C
7
二、三角形的中线
在三角形中，连接一个角的顶点与这个角的 对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
思 考
三角形的中线是一条__C___。
A.直线 B.射线 C.线段
A
在△ ABC中，如果AE是 △ABC的
●
中线，那么
BE = __C_E___ = ２１__B_C_精_选_ppt课件
B
●
E
8C
二、三角形的中线
每人画一个锐角三角形。 然后画出这个三角形各边上的高。 你有什么发现？与同学交流。
FA E
B
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
C D
精选ppt课件
中考数学专题复习线段中点与角平分线问题公开课精品课件
三、类比迁移，学以致用
变式3：如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB外 部一射线，∠AOC＝30°，OM，ON分别平分 ∠AOC和∠BOC，求∠MON的度数。
四、拓展提高、应用规律
例3、 已知∠AOB＝α，过O任作一射线OC，OM
平分∠AOC，ON平分∠BOC，试探寻∠MON与α
的关系；
B
N
六、课堂总结： 请说说你收获了什么？
六、课堂总结：
主要知识 线段中点 角平分线
主要思想方法
分类讨论 类比思想
特殊到一般
平时数学学习，希望你能尝试着提出数学问题，让 你的同伴或老师去解决！（可从简单问题开始）
谢谢大家
（1）如图，当OC在∠AOB内
C
部时，试探寻∠MON与α的关
M
系；
O
A
（2）当OC在∠AOB外部时，其它条件不变
，上述关系是否成立？画出相应图形，并说
明理由。
五、课后思考题：
B、C是线段AD上任顺意次 两点，且M、N 分别是AB和CD上的点，且 AM=BM,CN=ND,若MN=a,BC=b,求 AD的长。
美国著名数学家哈尔莫斯曾说过,“问题是数学的 心脏。”数学学习是围绕数学问题而进行的学习。
线段中点与角平分线问题
一、课前热身，引入课题
问题1：已知线段AB＝5cm，C为线段AB上一点，且 BC＝3cm，M是线段AC的中点,则线段AM＝ 1 cm。
线段中点：把一条线段分成相等的两部分的点叫线段的中点．
C
角平分线:从一个角的顶点引出的一条射线，把 O
B
这个角分成相等的两个角，则这条射线叫做这个
A
角的角平分线。
变式1：已知∠AOB＝90°，∠BOC=30°，OM平分
《角平分线的判定》课件
应用举例
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
线段中点以及角平分线解题规律总结ppt课件
12
当两个角的顶点及边重合时， 两个角的平分线所组成的角， 就应该等于不重合的两边所构 成角的一半.紧扣题目中提供的 角平分线条件，从公共边出发， 根据角平分线的性质有条理的 写出过程.
13
2、已知：如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC， ∠AOB=90° （1）若∠AOC=40°，求∠AOM和∠MON的大小； （2）当锐角∠AOC的度数发生改变时，∠MON的大小 是否发生改变？如不会改变，请写出∠MON的大小， 并写出推理过程；如会改变，也请说明理由
（1）求线段MN的长； （2）若AC+BC=acm，其他条件不变， 求线段MN的长.
A
M
C
N
B
3
1、如图，点C为线段AB延长线上一点， AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、 BC的中点． （1）求线段MN的长； （2）若AC-BC=acm，其他条件不变， 求线段MN的长.
A MB
N
C
4
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已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN 上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度 旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速 度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数． （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t 的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是 由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角 （指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在， 请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
10
如图，∠AOB＝80°，OM是∠AOB外任 意一条射线，若OC平分∠AOM，OD平 分∠BOM，求∠COD的度数.
A
O
当两个角的顶点及边重合时， 两个角的平分线所组成的角， 就应该等于不重合的两边所构 成角的一半.紧扣题目中提供的 角平分线条件，从公共边出发， 根据角平分线的性质有条理的 写出过程.
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2、已知：如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC， ∠AOB=90° （1）若∠AOC=40°，求∠AOM和∠MON的大小； （2）当锐角∠AOC的度数发生改变时，∠MON的大小 是否发生改变？如不会改变，请写出∠MON的大小， 并写出推理过程；如会改变，也请说明理由
（1）求线段MN的长； （2）若AC+BC=acm，其他条件不变， 求线段MN的长.
A
M
C
N
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3
1、如图，点C为线段AB延长线上一点， AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、 BC的中点． （1）求线段MN的长； （2）若AC-BC=acm，其他条件不变， 求线段MN的长.
A MB
N
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已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN 上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度 旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速 度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数． （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t 的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是 由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角 （指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在， 请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
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如图，∠AOB＝80°，OM是∠AOB外任 意一条射线，若OC平分∠AOM，OD平 分∠BOM，求∠COD的度数.
A
O
三角形的角平分线和中线PPT课件
婴幼儿体格生长
三角形的角平分线和中线PPT课件
在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的 线段叫做这个三角形的中线。
A
B
D
C
做一做：如图,在△ABC中,AC=9cm，中线AD把 △ABC分成两个小三角形。若△ABD的周长比 △ADC的周长小3源自m，则AB的长为___6___cm。
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边 相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三 角形的角平分线。
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
谢谢
A
B
D
C
例1:如图,AE是在△ABC的角平分线.已知∠B=45o,
∠C=60°,求下列角的大小：
（1）∠BAE
（2）∠AEC
C E
A
B
做一做：如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是 △ABC的两条角平分线，相交于点O。 (1)若∠ABC=60O,∠ACB=80O，则∠BOC=__1_1_0_o _ (2)若∠A=70O，则∠BOC=__1_2_5_o__
三角形的角平分线和中线PPT课件
在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的 线段叫做这个三角形的中线。
A
B
D
C
做一做：如图,在△ABC中,AC=9cm，中线AD把 △ABC分成两个小三角形。若△ABD的周长比 △ADC的周长小3源自m，则AB的长为___6___cm。
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边 相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三 角形的角平分线。
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
谢谢
A
B
D
C
例1:如图,AE是在△ABC的角平分线.已知∠B=45o,
∠C=60°,求下列角的大小：
（1）∠BAE
（2）∠AEC
C E
A
B
做一做：如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是 △ABC的两条角平分线，相交于点O。 (1)若∠ABC=60O,∠ACB=80O，则∠BOC=__1_1_0_o _ (2)若∠A=70O，则∠BOC=__1_2_5_o__
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2、已知线段AC=8cm，直线AB上有一点 C，且BC=6cm，点M、N分别是AC、BC 的中点．求MN的长
没有图的要画图 通过以上问题的解决你有什么发现
5
在同一条直线上，有公共端
点两条线段中点之间的距离就 等于，不重合的那两端点距离 的一半.紧扣题目中提供的中点 条件，从公共端点出发，根据 线段中点的性质有条理的写出 过程.
（1）求线段MN的长； （2）若AC+BC=acm，其他条件不变， 求线段MN的长.
A
M
C
N
B
3
1、如图，点C为线段AB延长线上一点， AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、 BC的中点． （1）求线段MN的长； （2）若AC-BC=acm，其他条件不变， 求线段MN的长.
A MB
N
C
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12
当两个角的顶点及边重合时， 两个角的平分线所组成的角， 就应该等于不重合的两边所构 成角的一半.紧扣题目中提供的 角平分线条件，从公共边出发， 根据角平分线的性质有条理的 写出过程.
13
2、已知：如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC， ∠AOB=90° （1）若∠AOC=40°，求∠AOM和∠MON的大小； （2）当锐角∠AOC的度数发生改变时，∠MON的大小 是否发生改变？如不会改变，请写出∠MON的大小， 并写出推理过程；如会改变，也请说明理由
6
1、已知：线段AB＝20cm，C是线直段线AB上 一点，E是BC的中点，D是AC的中点， 求线段DE的长.
A
B
D
C
E
7
2、在一直线上有A、B、C三个点，M为 AB的中点，N为BC的中点，若AB=a， BC=b（a≠b）．试用a、b的代数式表示 MN的长度
8
一条射线把一个角分成两个相等的角，则
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通过线段中点和角平分线 的类比学习，我们发现知识之 间是相通的，只有会思考的人 才可以得到更多！
16
10
如图，∠AOB＝80°，OM是∠AOB外任 意一条射线，若OC平分∠AOM，OD平 分∠BOM，求∠COD的度数.
A
O
C
B MD
通过以上问题的解 决你有什么发现
11
1、如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、 OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）若∠AOC=40°，∠BOC=80°，求 ∠DOE的度数； （2）若∠AOB=150°，求∠DOE的度数； （3）若∠AOB=α（0≤α≤180°），请直接写 出∠DOE的度数．
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已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN 上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度 旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速 度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数． （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t 的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是 由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角 （指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在， 请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
线段中点以及角平分线解题规律总结
1
线段中点的意义
∵P是线段AB的中点
∴AP=BP，
A
P
B
AP=
1
AB，BP=
1 AB
线段中点的性质
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
反之， 若P在线段AB上，且
1
BAAPP==BAPB
，
2
则P是AB中点
线段中点的判定
2
例1、如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm， CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的 中点．
这条射线叫这个角的角平分线.
符号语言
B C
角平分线的性质
2
∵射线OC平分∠AOB
O1
A
∴∠1=∠2（或∠1= 1 ∠AOB或∠AOB= 2∠1）
2
角平分线的判定
∵∠1=∠2（或∠1= 1∠AOB或∠AOB= 2∠1）
2
∴射线OC平分∠AOB
9
例2、如图，∠AOB＝80°，OM是 ∠AOB内任意一条射线，若OC平分 ∠AOM，OD平分∠BOM，求∠COD 的度数.