高等代数 第四章 线性变换
高等代数中的线性变换思想应用
高等代数中的线性变换思想应用
在高等代数中,线性变换是一种非常重要的概念。
它是指将向量空间中的每一个向量映射到另一个向量的一种函数。
线性变换具有如下性质：
线性变换对应的线性方程组可以用线性方程组的通解表示。
线性变换满足线性性质,即对于任意的两个向量 $x$ 和$y$,以及任意的两个标量 $\alpha$ 和 $\beta$,都有：$$T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y)$$ 线性变换满足向量空间中的加法性质,即对于任意的两个向量 $x$ 和 $y$,都有：$$T(x+y) = T(x) + T(y)$$ 线性变换的应用非常广泛,在许多领域都有广泛的应用,如：
在线性代数中,线性变换可以用来描述向量空间的线性变换、线性映射、线性映射等概念。
在拉格朗日插值中,线性变换可以用来描述拉格朗日插值多项式的构造。
在图像处理中,线性变换可以用来描述图像的平移、旋转、缩放等变换。
在机器学习中,线性变换可以用来描述线性回归、线性判别分析等模型,以及神经网络中的线性变换层。
总之,线性变换是一种非常重要的概念,在高等代数中有着广泛的应用,并在许多领域中都被广泛使用。
它可以用来描述向量空间的线性变换、线性映射、线性映射等概念,也可以用来描述图像的平移、旋转、缩放等变换,以及机器学习中的线性回归、线性判别分析等模型,以及神经网络中的线性变换层。
线性代数之线性变换说明
最近想明白特点值、特点值到底有什么物理意义，搜到了这篇文章，共享一下。
来源：孙哲的日记[1. 特点的数学意义]咱们先考察一种线性转变，例如x,y坐标系的椭圆方程能够写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。
咱们能够把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，取得一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式确实是(x,y)*M=(x',y')。
那个地址的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。
那么，有无什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有无如此的矢量b，使得矩阵A*b如此的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 若是有，那么b确实是A的一个特点向量，m确实是对应的一个特点值。
一个矩阵的特点向量能够有很多个。
特点值能够用特点方程求出，特点向量能够有特点值对应的方程组通解求出，反过来也一样。
例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,那么常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特点向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特点向量。
实对称矩阵属于不同特点值的特点向量式正交的，因此a^2-a-a=0,a≠2,因此a=0。
仍是太抽象了，具体的说，求特点向量的关系，确实是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合能够表示为每一个向量a在各个特点向量上面的投影长度。
例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特点向量确实是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每一个特点向量E上面有投影，其特点值v确实是权重。
那么每一个行向量此刻就能够够写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。
线性代数 线性变换
5) 零变换 O: V V , O(v) = 0
2. 线性变换的性质
设 L: VW 是一个线性变换，则有 (i) L(0) = 0
(ii) L(−v) = −L(v) ， vRn.
(iii) 设 v1, ... , vk ∈ V , α1,...,αk ∈ , 有 L(α1v1 +···+αkvk) = α1 L(v1) + ···+ αk L(vk)
称 ker (L)为L 的核, L(S5 设线性算子L(x) = (x1, 0)T: 2 2 . 则ker(L)= Span(e2) ; L( 2) = Span(e1) .
定理1
设 L : V W 是一个线性变换, S是V 的一个子空间. 则 i) ker(L) 是V 的子空间. ii) L(S) 是W 的子空间.
例 2 设 f : ，对应关系为 f (x) = ax+b ，它是线性映射吗？ 答：f 是 上的一个线性映射当且仅当 b = 0.
例 3 证明：A Rmn , 映射 L(x) = Ax是从 n m的线性变换.
x=(x1, x2)T
y
1) L(x)=(x1, x2)T 2 2
x
x
L(x)
2) L(x)=3x 2 2
第四章 线性变换
4.1 线性变换的概念
线性变换的判别； 线性变换的核与值域； 线性变换的性质.
1. 线性变换的定义
定义 设 L: VW 是从线性空间V 到线性空间W的映射. 若映射L满足: 对任意的v1, v2 V 及实数 α , β, 有
L(αv1 + βv2) = αL(v1) + βL(v2) 则称映射L是从V 到W的一个线性映射.
高等代数线性变换的运算
线性变换的乘法一般是不适合交换律. 例如，在实数域 R 上的线 性空间 R[x] 中，线性变换
D(f(x)) = f′(x), ∫x
L (f(x)) = f(t)dt
0
的乘积 DL = E ，但一般 L D ̸= E .
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投影变换
定理 设 V 是数域 P 上的一个线性空间，U, W 是 V 的两个子空间，且
V=U⊕W
任取 α ∈ V，设 α = α1 + α2，其中 α1 ∈ U，α2 ∈ W. 令
PU :V
−→V
α = α1 + α2 −→α1
则 PU 是 V 上的一个线性变换，称 PU 是平行于 W 在 U 上的投影，
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线性映射的乘法
命题 设 V, U, W 都是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 U 的一个线 性映射，B 是 U 到 W 的一个线性映射，则 BA 是 V 到 W 的 一个线性映射.
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投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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投影变换
如果 α ∈ U，则 α = α + 0，从而 PU(α) = α. 如果 α ∈ W，则 α = 0 + α，从而 PU(α) = 0. 设 V 上的线性变换 A 也满足 (1)，任取 α ∈ V，设 α = α1+ α2. 其中 α1 ∈ U, α2 ∈ W，则
高等代数线性变换分解
则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)，
线性变换 (1) (2) (3) (4)
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
线性变换
Байду номын сангаас
§2 线性变换的运算
四、线性变换的多项式
线性变换的幂 设 A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，
因此对任意取定的正整数n，n个A 的乘积AA…A是一个确定的
线性变换，记为: An。
-n -1 n 0
若A是可逆的，定义A = (A ) 。对任意的A∈L(V)，定义A =E。
根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) A( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 ) (2) A( x1 , x2 , x3 ) (1, x1 x2 x3 ,1) (3) A( x1 , x2 , x3 ) (0, x1 x2 x3 , 0)
2 ) (4) A( x1, x2 , x3 ) ( x12 , x2 x3 , x3
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A (0) 0, A ( ) A ( )
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
高等代数(线性变换)
Im τ = L (ε 1 , ε 2 )
k e r τ = {0}
例 3
建立映射
σ : M 2 ( R) → M 2 ( R)
，
1 σ ( A) = ( A + AT ) ， σ 2
是线性映射。
E11, E12 , E21, E22
取
1 2
M2 (R)
的 一 组 基
， 则
σ ( Eij ) = ( Eij + E ji ) ，其中 i, j = 1,2 ，因此， σ
简记作 即可由
矩阵 A = (a ij )m ×n 完全描述。
, α n ) 。这样，线性映射 σ
反之，对于任意一个 m × n 阶矩阵 A ，都可以 定义一个由 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线 性映射 σ (α1 ,α 2 ,
,α n ) = (β1 , β 2 , , β m )A ，即：
, σ (α n ) ，即可确定线性
设V
1
,V 2
分别是 n , m 维线性空间，取定
,α n 和 V 2
V 1 的基 α 1 , α 2 ,
1 2
的基 β 1 , β 2 ,
, β m 。若
j
σ 是V 到V 的线性映射，由于 σ (α
则 σ (α
j
) ∈V2 ，
)=
∑a
i =1
m
ij
βi
， j = 1, 2 ,
北京科技大学应用学院数力系卫宏儒weihr168yahoocomcn线性变换线性变换这一章的主要内容一线性映射二线性映射的象和核三线性变换四不变子空间五特征值和特征向量一线性映射定义若21vv分别是数域f上的n维m维线性空间是1v到2v的一个映射且满足条件
清华大学高等代数讲义-6
Lesson 4 Example 9 设
22
J =
2
1 2 2 3 1 3 1 3 3 3
,
则 J 的极小多项式是 mJ (x) = [(x − 2)2 , (x − 2), (x − 3)3 , (x − 3), (x − 3)] = (x − 2)2 (x − 3)3 . Theorem 20 A 可对角化 ⇐⇒ A 的极小多项式无重根.
···⊕
Hale Waihona Puke ⊕···在每个循环子空间上选定一个循环基，合起来就是 V 的基. σ 限制到每个循环子空间上，是一个循环变换 ρ 和一个数乘变换 λε 的和. 循环变换 ρ 在循环基下的矩阵是 0 1 . 0 .. , N = . .. 1 0
Lesson 4 而数乘变换 λε 的矩阵是 λI = λ λ .. . λ 因此，σ = ρ + λε 在循环基下的矩阵是 λ 1 λ N + λI = Definition 19 形如 .. .. . . . 1 λ .. .. . . 1 λ ,
λ
Lemma 2 当 µ = λ 时，(σ − µε) 证明思路: (σ − µε) U 是可逆变换
λ
Uλ
是可逆变换.
⇔ (σ − µε) U 是双射 λ ⇔ (σ − µε) U 是单射 λ ⇔ ker(σ − µε) U = {0}.
λ
Lemma 3 根子空间 U1 , U2 , · · · , Us 的和 U1 + U2 + · · · + Us 是直和. 证明思路： 对子空间个数 s 作数学归纳法. 只要证明对于 αi ∈ Ui ，i = 1, 2, · · · , s， α1 + α2 + · · · + αs = 0 ⇔ αi = 0, i = 1, 2, · · · , s.
高等代数线性变换的定义
则称 A 是 V 到 V′ 的一个线性映射. 线性空间 V 到自身的线性映射称为 V 上的线性变换. 数域 P 上的线性空间 V 到 P 的线性映射称为 V 上的线性函数.
线性变换的概念
我们在上一章研究了数域 P 上线性空间的结构. 在许多数学分支 和实际问题中都会遇到线性空间之间的映射，并且这种映射保持 加法和数量乘法，称它为线性映射. 线性代数就是研究线性空间 和线性映射的理论. 在这一章我们来研究线性映射的理论.
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xn
规定
σ(ξ) = Aξ.
σ(ξ) 是一个 m × 1 矩阵，即是空间 Pm 的一个向量. 根据矩阵运 算的性质，易证 σ 是一个映射，并且对于 a ∈ P, ξ, η ∈ Pn，我们 有
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线性映射的概念
定义 设 V 与 V′ 是数域 P 上的两个线性空间，V 到 V′ 的一个映射 A 如果保持加法运算和数量乘法运算，即
A (α + β) = A (α) + A (β), ∀α, β ∈ V A (kα) = kA (α), ∀α ∈ V, k ∈ P
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高等代数线性变换的值域与核
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线性变换的秩与零度
定义 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，A 是 V 上线性变换，称 dim ImA 为 A 的秩，dim ker A 为 A 的零度或亏. 例 在线性空间 P[x]n 中，令
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线性变换的值域与核的概念
定义 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合 称为 A 的值域，用 A V（或者 ImA ）表示. 所有被 A 变成零 向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A −1(0)（或者 ker A ） 表示.
若用集合的记号则
A V = {A ξ|ξ ∈ V}, A −1(0) = {ξ|A ξ = 0, ξ ∈ V}.
注 上面的定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.
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线性变换的维数公式
定理 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换. 则 A V 的一组基的原像 及 A −1(0) 的一组基合起来就是 V 的一组基. 由此还有
证 设 A V 的一组基为 η1, η2, · · · , ηr，它们的原像为 ε1, ε2, · · · , εr，A εi = ηi, i = 1, 2, · · · , r. 又取 A −1(0) 的一组基为 εr+1, εr+2, · · · , εs. 现在证 ε1, ε2, · · · , εr, εr+1, · · · , εs 为 V 的基. 如果 有
线性变换的值域与核的概念
线性变换
第四章 线性变换在第三章中，我们介绍了同构的概念，它研究的是线性空间与线性空间之间的一种联系. 我们研究客观事物，固然要弄清楚个体事物单个的和总体的性质，但单个事物之间的各种各样的联系则更为重要. 基于此，本章将要研究线性空间本身的向量之间的一种最为基本、最为重要的联系——线性变换. 它是线性空间到它自身的映射是几何中旋转变换、投影变换以及别的科目中类似变换的一种推广. 其应用十分广泛，是线性代数的一个主要研究对象.在本章中，如果不特别声明，我们考虑的都是某个数域P 上的线性空间.§4.1 线性变换及其运算一个集合到它自身的映射，称为这个集合的一个变换. 线性变换就是线性空间到它自身的一种特殊变换. 我们给出它的定义.1. 线性变换的概念定义4.1.1 设A 是线性空间V 的一个变换，如果A 对于V 中任意的向量,αβ及数域P 中的任意数k ，满足：()()()+=+A A A αβαβ；()()k k =A A αα.则称A 是线性空间V 的一个线性变换. 以后我们一般用花体大写字母,,,A B C 来表示线性变换，用()A α或A α来表示向量α在线性变换A 下的象.说明 变换仅反映元素之间的一种单纯的对应关系，而线性变换则涉及到了线性空间中向量的运算. 从定义可以看出，线性变换保持向量的加法与数乘.例4.1.2 设V 是数域P 上的上的线性空间，λ是P 中的某个数，定义变换如下：(),()V λλ=∀∈A ααα.则容易看出，λA 是线性空间V 的一个线性变换.说明1）上例中的线性变换λA 称为由数λ决定的数乘变换.2）当1λ=时，就是V 的恒等变换或单位变换，记为E . 即E 将V 中的每个向量变为它自身.3）当0λ=时，0A 就是V 的零变换，记为0. 它把V 中的每个向量都变为0，即(),()V =∀∈00αα.例4.1.3 对于12(,,,)n n a a a P ∀=∈α，变换1211(,,,)(,,,)n n n a a a a a a -=A是n P 的一个线性变换.例4.1.4 令()()([,])xa f x f t dt x ab =∈⎰A ，则A 是线性空间[,]C a b 的一个线性变换.例 4.1.5 平面π上的向量构成了实数域上线性空间. 将π围绕着坐标原点逆时针方向旋转θ角度，就是一个线性变换，我们用θA 表示. 设平面π上的向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么旋转θ角度后α的坐标按照下面的公式计算：cos sin ()sin cos x x y y θθθθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α. 例 4.1.6 设α是几何空间中某个固定的非零向量，将每个向量η变到它在α上的内射影的变换是一个线性变换，以N α来表示它，即(,)()(,)=N ααηηαα. 其中(,),(,)αηαα表示内积. 例4.1.7 设线性空间3P ，则显然222123123(,,)(,,)a a a a a a =A是3P 的一个变换，但如果取(1,0,0),(2,0,0)==αβ，则()(3,0,0)(9,0,0)+==A A αβ，而()()(1,0,0)(4,0,0)(5,0,0)+=+=A A αβ，则()()()+≠+A A A αβαβ. 所以，A 不是线性变换.2. 线性变换的性质线性变换具有如下的性质：性质1 ();()(),()V =-=-∀∈00A A A ααα.事实上，()(0)0();===0000A A A又()()(())()+-=+-==00A A A A αααα，所以()()-=-A A αα. 性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 也就是说， 如果β是12,,,m ααα的一个线性组合：1122m m k k k =+++βααα，则经过线性变换A 之后，()A β是12(),(),,()m A A A ααα同样的线性组合： 1122()()()()m m k k k =+++A A A A βααα.如果12,,,m ααα之间有线性关系式：1122m m k k k +++=0ααα，则它们的象12(),(),,()m A A A ααα之间也有同样的关系：1122()()()m m k k k +++=0A A A ααα.性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 也就是说，如果12,,,m ααα线性相关，则12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.事实上，若12,,,m ααα线性相关，则在数域P 中存在一组不全为零的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++=0ααα.则由性质2与性质3得11221122()()()()()m m m m k k k k k k +++=+++==00A A A A A αααααα.从而12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.说明 当12(),(),,()m A A A ααα线性相关时，12,,,m ααα未必是线性相关的；当12,,,m ααα线性无关时，12(),(),,()m A A A ααα未必是线性无关的. 如零变换.3. 线性变换的运算线性变换作为映射的一种特殊情形，它当然可以定义乘法、加法及数量乘法.下面我们来介绍线性变换的运算及其简单性质.定义 4.1.8 设12,A A 及A 都是数域P 上线性空间V 上的线性变换，V ∀∈α及k P ∀∈，现在定义：1）线性变换的加法：1212()()()+=+A A A A ααα； 2）线性变换的乘法：1212()()=A A A A αα； 3）数与线性变换的数量乘法：()()k k =A A αα.定理4.1.9 定义4.1.8中的线性变换的和12+A A 、乘积12A A 及数与线性变换的乘积k A 都还是线性变换.证明 仅证明12+A A 是线性变换，其余的类似证明.对于V 中任意的向量,αβ及数域P 上的任意数λ，由于12,A A 都是线性变换，则结合线性变换的和的定义有12121122()()()()()()()()++=+++=+++A A A A A A A A αβαβαβαβαβ 12121212(()())(()())()()()()=+++=+++A A A A A A A A ααββαβ； 1212121212()()()()()()k k k k k k k +=+=+=+=+A A A A A A A A A A αααααααα. 因此，12+A A 是线性空间V 上的线性变换. 证毕.由线性变换的加法及乘积的定义易知下述性质. 性质4 线性变换的加法满足1）结合律：123123()()++=++A A A A A A ； 2）交换律：1221+=+A A A A .说明 1）零变换0与任何线性变换A 的和仍是A ，即+=A 0A . 2）对每个线性变换A ，我们可以定义它的负变换-A ：()().V -=-∀∈A A ααα容易看出-A 也是线性的，且()+-=A A 0.性质5 线性变换的乘法满足 1）结合律：123123()()=A A A A A A ；2）对加法的左右分配律：12312113()+=+A A A A A A A ；1231323()+=+A A A A A A A . 说明 线性变换的乘法一般是不满足交换律的. 如在实数域R 上的线性空间[]x R ，定义线性变换0(())(),(())().xf x f x f x f t dt '==⎰D J则乘积D J 是恒等变换，但一般J D 却不是恒等变换.性质6 数与线性变换的数量乘法满足下面的规律：()()kl k l =A A ； ()k l k l +=+A A A ；1212()k k k +=+A A A A ；1=A A .注 线性变换所满足的全部运算规则，同矩阵所满足的运算规则完全一致. 如果用()V M 表示由数域P 上的线性空间V 的全体线性变换构成的集合，则()V M 构成数域P 上的一个线性空间.定义 4.1.10 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果存在V 上的一个变换，记之为1-A，使得11--==A AAA E ，则称1-A为A 的逆变换，且称A 是可逆的.说明 一个线性变换未必有逆变换，如零变换就没有逆变换.定理4.1.12 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果A 是可逆的，则其逆变换1-A也是V 上的线性变换.证明 任取,V ∈αβ及k P ∈，则1111()[()()]----+=+AAA AA Aαβαβ111111()()()()------=+=+AA A AA A A Aαβαβ.11111()[()()][((())]k k k -----==AA A AA A Aααα11111[((())]()[(()]()k k k -----===AA AAA AAααα.故1-A是V 上的线性变换.4. 线性变换的多项式的概念由于线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 相乘时，其最终结果是确定的，与乘积的结合方式无关. 所以我们可以用nn=AA AA .来表示n （n 是正整数）个线性变换A 的乘积，称nA 为A 的n 次幂. 并规定=AE .由此可以推出指数法则： ,()()m nm n m nmn+==AA A AA，（,m n 是正整数）. （1.1） 当线性变换A 可逆时，也可以定义A 的负整数幂为1()nn--=A A（n 是正整数）. 说明 1）在有了负整数幂概念后，（1.1）中的,m n 就可以取任意的整数了. 2）线性变换乘积的指数法则不成立，一般来说1212()n n n ≠A A A A .设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++是[]P x 上的一个多项式. A 是线性空间V 上的一个线性变换，定义1110()mm m m f a a a a --=++++A AAA E .容易看出，()f A 也是V 上的一个线性变换，称它为线性变换A 的多项式.§4.2 线性变换的矩阵考虑线性方程组=Ax β，其中A 是n 阶方阵，β是常数项向量组. 我们可以这样认为：把矩阵A 当作一种“对象”，它通过乘法“作用”于向量x ，产生的新的向量为Ax .例如，方程31315201134216-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A x β0 与31310201304220-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A u 00通过矩阵A 通过乘法“作用”将x 变成了β. 而将u 变成了0. 于是，解方程A =x β，就要求出n P 中所有经过A “作用”后变为β的向量x . 而线性变换也就是在线性空间内部“作用”，将其中的一个向量变为其中的某个向量. 如此看来，线性变换与矩阵之间会有着千丝万缕的联系. 本节我们将要讨论线性变换与矩阵的关系，且利用矩阵来描述线性变换.1. 线性变换在基下的矩阵设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基.则V 的任一向量η都可以用12,,,n εεε来线性表示，即数域P 中存在唯一的一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.由于线性变换A 保持线性关系不变，则1122()()n n x x x =+++A A ηεεε1122()()()n n x x x =+++A A A εεε.（2.1） 也就是说，η的象()A η与基的象12(),(),,()n A A A εεε之间有着相同的关系.所以，只要知道基的象12(),(),,()n A A A εεε，那么线性空间V 中任一向量η的象()A η也就知道了.命题4.2.1 设1A ，2A 都是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，如果1A 与2A 在这组基上的作用相同，即12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. （2.2）则12=A A .（分析）1A 与2A 相等的意义是它们对V 中的每个向量的作用相同，所以，我们就只要证明对任一向量η，都有12()()=A A ηη即可. 证明 V 中的任一向量η都可以由12,,,n εεε线性表示，即存在一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.则由假设有111121121()()()()n n x x x =+++A A A A ηεεε12122222()()()()n n x x x =+++=A A A A εεεη. 证毕. 说明 命题4.2.1表明了，一个线性变换在V 上的作用，完全由它在任一组基上的作用所决定.命题4.2.2 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，又12,,,n ααα是V 的任意的n 个向量，则存在唯一的线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εα. （2.3）（分析）只要找出这样的线性变换即可. 证明 设β是V 任一向量，且1122n n x x x =+++βεεε.现在定义V 的变换1122()n n x x x =+++A βααα. 我们先来说明A 满足（2.3）.因为11100100i i i i n -+=++++++εεεεεε，1,2,,i n =. 所以111()00100i i i i n i -+=++++++=A εαααααα，1,2,,i n =.我们还需要证明A 是线性的.设,ηγ是V 中任意两个向量，k 是P 中任一数，并设1122n n b b b =+++ηεεε，1122n n c c c =+++γεεε.则111222()()()n n n b c b c b c +=++++++ηγεεε；1122n n k kb kb kb =+++ηεεε.按照A 的定义有111222()()()()n n n b c b c b c +=++++++A ηγααα11221122()()()()n n n n b b b c c c =+++++++=+A A ααααααηγ； 11221122()()()n n n n k kb kb kb k b b b k =+++=+++=A A ηααααααη.所以A 是V 上的线性变换.唯一性可由命题4.2.1直接得到. 证毕.下面，我们就来讨论线性变换与矩阵的联系.设12,,,r ααα是数域P 上的线性空间V 的一组向量，A 是V 上的一个线性变换，我们约定1212(,,,)(,,,)r r =A A A A αααααα.定义4.2.3 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n a a a a a a a a a =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩A A A εεεεεεεεεεεε 用矩阵形式表示，即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==A A A A A εεεεεεεεε，其中111212122212n n n n nn a a a a a a aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 矩阵A 称为A 在基12,,,n εεε下的矩阵.例4.2.4 求[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D 在基11,,,n x x -下的矩阵.解 因为21210,1,2,,(1),n n x x x x n x --====-D D D D所以D 在基11,,,n x x -下的矩阵为0100002000010000n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A . 例4.2.5 设W 是()n n m >维线性空间V 的子空间，12,,,m εεε是W 的一组基，把它扩充为V 的一组基12,,,n εεε. 定义线性变换A 如下：,1,2,,,,1,,.i i i i m i m n ==⎧⎨==+⎩0A A εεε 如此定义的线性变换A 称为对子空间W 的投影. 投影A 在基12,,,n εεε下的矩阵为11100m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个1.说明 在取定一组基之后，我们就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射ϕ.定理4.2.6 设V 是数域P 上的n 维线性空间. 则映射:ϕ→A A是数域P 上的线性空间()V M 到n n P ⨯的一个一一映射，其中A 是线性变换在基12,,,n εεε下的矩阵.（分析）需要证明ϕ是双射，即既是单射，又是满射. 证明 ϕ显然是()V M 到n n P ⨯的映射. 设11()ϕ=A A ，22()ϕ=A A . 则112121(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 212122(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.如果12=A A ，则显然有12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. 则由命题4.2.1知道，ϕ是单射.又对于n n P ⨯中的任一矩阵A ，令1212(,,,)(,,,)n n =A βββεεε.则由命题4.2.2知道，存在线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εβ，即有线性变换A 使得1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.所以ϕ又是满射. 故ϕ是一一映射.这个一一映射的重要性在于它保持运算. 也就是下面的定理.定理4.2.7 设1A ，2A 是数域P 上n 维线性空间V 的任意两个线性变换，1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B . 则在基12,,,n εεε下1）12+A A 的矩阵为+A B ； 2）12A A 的矩阵为AB ； 3）k A 的矩阵为k A . 证明 由于1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B ，则有11212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 21212(,,,)(,,,)n n =B A εεεεεε.1）1212()(,,,)n +A A εεε112212(,,,)(,,,)n n =+A A εεεεεε1212(,,,)(,,,)n n =+A B εεεεεε12(,,,)().n =+A B εεε所以在基12,,,n εεε下，线性变换12+A A 的矩阵为+A B . 2）1212()(,,,)n A A εεε121211211212[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,).n n n n ====B BAB A A A A εεεεεεεεεεεε因此，在基12,,,n εεε下，线性变换12A A 的矩阵为AB . 3）112()(,,,)n k A εεε1121212[(,,,)][(,,,)](,,,)().n n n k k k ===A A A εεεεεεεεε 因此，在基12,,,n εεε下，线性变换k A 的矩阵为k A . 证毕.说明 结合定理4.2.7可以看出，在定理4.2.6中，V 的全体线性变换所构成的线性空间()V M 与n n P ⨯之间的映射，不仅是一一映射，而且还是同构映射. 即()V M 与n n P ⨯同构.推论4.2.8设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 则A 有逆变换的充分必要条件是A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵.且当A 在某组基下的矩阵为A 时，则1-A在这组基下的矩阵为1-A .证明 设A 有逆变换1-A，12,,,n εεε是V 任一组基，A 与1-A在基12,,,nεεε下的矩阵分别是A 与B ，即1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε，11212(,,,)(,,,)n n -=B Aεεεεεε.由定理4.2.7的2）有11212(,,,)(,,,)n n -=AB A Aεεεεεε，则有1212(,,,)(,,,)n n =AB E εεεεεε.而1212(,,,)(,,,)n n =E E εεεεεε，故=AB E .类似地有=BA E ，即有==AB BA E .所以1-=B A .故A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵，而且1-A在12,,,n εεε下的矩阵为1-A .反过来，如果A 在基12,,,n εεε下的矩阵是可逆阵A ，设1-A 是A 的逆矩阵. 则由定理4.2.6，必存在V 的一个唯一的线性变换B 使得11212(,,,)(,,,)n n -=A B εεεεεε.则1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==AA E A B εεεεεεεεε， 1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==A A E B A εεεεεεεεε.所以==AB B A E . 故A 有逆变换. 证毕.利用线性变换的矩阵，可以直接计算一个向量的象. 我们有下面的定理. 定理4.2.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 在基12,,,n εεε下的矩阵是A ，向量α在基12,,,n εεε下坐标为12(,,,)n x x x . 则()A α在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n y y y 可以按如下的公式计算：1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . （分析）实际上就是要求我们求出()A α在基12,,,n εεε下的坐标.证明 由于1212(,,,)n n x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αεεε， 所以11221212()(,,,)(,,,)n n n n x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A αεεεεεε. 又1212()(,,,)n n y yy ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αεεε，而12,,,n εεε是V 的一组基，所以1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.2.9说明了，()A α在某组基下的坐标完全由A 在这组基下的矩阵所决定. 这也就是说，对于某组基，如果给定了线性变换在这组基下的矩阵，也就等于给出了这个线性变换.2. 相似矩阵线性变换的矩阵与线性空间的基是密切联系的，一般来说，随着基的改变，同一线性变换的矩阵也会随之而改变. 读者肯定会要问：线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的呢？亦即改变后的矩阵之间有什么联系呢？下面的定理指明同一线性变换在不同的基下的矩阵之间的联系.定理 4.2.10 设A 是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε与12,,,n ηηη是线性空间V 的两组基，A 在这两组基下的矩阵分别为,A B ，从基12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵为C ，则1-=B C AC .证明 因为1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，所以1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212121211212(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,)n n n n n n -=====A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηηC C A C AC C AC故有1-=B C AC .定义4.2.11 设,A B 是数域P 上的两个n 阶矩阵，如果存在P 上的n 阶可逆矩阵C ，使得1-=C AC B ，则称A 与B 相似，记作A B .定理4.2.12 数域P 上的相似关系是一个等价关系.（分析）需要说明相似关系满足：反身性、对称性及传递性. 证明 设有n 阶矩阵,,A B D .1）因为=AE EA ，则1-=E AE A ，即A A ；2）如果AB ，则存在可逆阵C 使得1-=C AC B ，所以有111()---=C BC A .故BA ；3）如果AB ，BD ，则分别存在可逆阵12,C C 使得111122,--==C AC B C BC D ，所以11121121212()()()---==D C C AC C C C A C C . 故AD . 证毕.定理4.2.13 如果两个矩阵相似，则它们可以看作是同一个线性变换在某两组基下的矩阵.证明 设有n 阶矩阵A 与B 相似. 则n 阶可逆矩阵C 使得1-=C AC B . 又由定理4.2.6，A 可以看作是n 维线性空间V 的一个线性变换A 在某组基12,,,n εεε下的矩阵.则1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.令1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，显然，12,,,n ηηη也是V 的一组基，而又1212121212112(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,).n n n n n n -=====C CA C ACC AC A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηη即1212(,,,)(,,,).n n =B A ηηηηηη 证毕.例 4.2.14 设n 阶矩阵A 与B 相似，()f x 为任一多项式. 证明：()f A 与()f B 相似.（分析）需要找出一个可逆阵C 使得1()()f f -=B C A C . 证明 因为A 与B 相似，则存在可逆阵C ，使得1-=C AC B .现在设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++.则1110()n n n n f a a a a --=++++B B B B E11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C AC C AC C AC C C 11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C AC C C 11111110()()()()n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C A C C E C11110()n n n n a a a a ---=++++C A A A E C1()f -=C A C故()f A 与()f B 相似.§4.3 线性变换的值域与核1. 线性变换的值域与核的概念定义4.3.1 设A 是线性空间V 的一个线性变换，则称集合{}()V ∀∈A αα为A 的值域，记作()V A （或Im A ）；称集合{}()V ∀∈=0且A ξξξ为A 的核，记作1()-0A（或Ker A ）. 即{}()()V V =∀∈A A αα；{}1()()V -∀∈=0=0且A A ξξξ.设,αβ是数域P 上的n 维线性空间V 的任意两个向量，k 是P 中任一常数. 显然()V A 与1()-0A是非空的，即它们都是V 的非空子集. 又由于(),()()k k +=+=A A A A A αβαβαα，即()V A 对加法与数乘是封闭的，所以()V A 是V 的一个子空间. 如果,==00A A αβ，则(),()()k k +=+===00A A A A A αβαβαα.所以1()-0A 也是V 的子空间. 故我们有下面的命题.命题4.3.2 V 的线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是V 的子空间.定义 4.3.3 将V 的线性变换A 的值域()V A 的维数称为线性变换A 的秩；1()-0A的维数称为线性变换A 的零度.例4.3.4 线性空间V 的零变换0的值域是{}0，而核就是V .例4.3.5线性空间[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D ，则D 的值域就是1[]n P x -，D 的核就是P .V 的线性变换的值域()V A 是由全体象的集合而构成的. 这自然使我们联想到基象组12,,,n A A A εεε（12,,,n εεε是V 的一组基），它与值域()V A 之间有哪些联系呢？定理4.3.6 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，在这组基下的矩阵是A ，则1）A 的值域()V A 是由基的象12,,,n A A A εεε所生成的子空间，即12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）A 的秩等于A 的秩.证明 1）设α是线性空间V 的任一向量，它在基12,,,n εεε下的坐标为坐标为12(,,,)n x x x ，即1122n n x x x =+++αεεε.于是11221122()n n n n x x x x x x =+++=+++A A A A A αεεεεεε. 所以12(,,,)n L ∈A A A A αεεε，因而12()(,,,)n V L ⊂A A A A εεε. 再设12(,,,)n L A A A εεε中任一向量η，则存在一组数12,,,n k k k 使得11221122()n n n n k k k k k k =+++=+++A A A A ηεεεεεε这表明了V ⊂A η，所以12(,,,)n L V ⊂A A A A εεε.故12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）因为A 的秩等于dim ()V A ，由1）则有A 的秩等于12(,,,)n rank A A A εεε.又矩阵A 是由基象组的坐标按列而排成的. 而在n 维线性空间V 中取定一组基之后，把V 中的每一向量与它的坐标对应起来，我们就得到了V 到n P 的一个同构映射. 同构映射保持向量组的一切线性关系，因此基象组与它们的坐标组（即矩阵的列向量组）有相同的秩. 证毕.说明 上述定理表明了线性变换与矩阵的对应关系保持秩不变.定理4.3.7设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度n =.即1dim ()dim ()dim V V -+=0A A.证明 设A 的零度为r . 在核1()-0A中取一组基12,,,r εεε，现在将它扩充为V 的一组基121,,,,,,r r n +εεεεε. 又11()(,,,,,)r r n V L +=A A A A A εεεε，而12,,,r A A A εεε全是零向量，所以1()(,,)r n V L +=A A A εε.下面证明1,,r n +A A εε是()V A 的一组基. 显然()V A 中任一向量均可由1,,r n +A A εε线性表示，只需要证明1,,r n +A A εε线性无关即可. 设11r r n n λλ++++=0A A εε，则有11()r r n n λλ++++=0A εε，所以111()r r n n λλ-++++∈0Aεε，因此，11r r n n λλ++++εε可以用1()-0A 的基12,,,r εεε线性表示，设为111122r r n n r r λλλλλ++++=+++εεεεε. 而121,,,,,,r r n +εεεεε线性无关，所以0(1,2,,)i i n λ==.故1,,r n +A A εε线性无关. 因而A 的秩等于n r -，所以A 的秩+A 的零度n =. 证毕.说明 虽然()V A 与1()-0A的维数和是n ，但1()()V -+0A A 未必就是整个线性空间V . 如例4.3.5.推论4.3.7 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，则A 是单射⇔A 是满射. 证明 设A 是单射，则1(){}-=00A ，而又1dim ()dim ()dim V V -+=0A A. 所以dim ()dim V V =A .则()V V =A ，所以A 是满射，从而为双射.反过来，设A 是满射，仍由1dim ()dim ()dim V V -+=0A A有1(){}-=00A，即A 是单射，从而是双射.注 这是有限维线性空间的线性变换的一个特性. 对于无限维线性空间并不成立.例4.3.8 设A 是一个n n ⨯矩阵，2=A A . 证明：A 相似于对角阵B . 其中11100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . （分析）要证明AB ，只要证明A 与B 是同一线性变换在某两组基下的矩阵即可.证明 设有n 维线性空间V ，12,,,n εεε是V 的一组基. 定义线性变换A 为：1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.下面我们来证明A 在某组基下的矩阵就是B .因为2=A A ，所以2=AA . 对任意的()V ∈A α，则必存在V ∈β，使得()=A αβ.则2()====A A A A A αβββα.所以1()(){}V -0=0A A.而又1dim dim ()V n -+0=A A，所以1()()V V -=⊕0A A.因而在()V A 取一组基12,,,r ηηη，在1()-0A中取一组基1,,r n +ηη，所以121,,,,,,r r n +ηηηηη就是V 的一组基. 显然1122,,,,r r ===A A A ηηηηηη1,,r n +==00A A ηη.故1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη.由定理4.2.13，同一线性变换在不同的基下的矩阵是相似的. 即A 相似于对角阵B . 证毕.2. 线性变换的值域与核的求法现在我们总结一下线性变换的值域与核的求法.设V 是数域P 上的n 维线性空间V ，A 是V 的线性变换，常通过下面的两种方法来求()V A 及1()-0A：第一种 取V 的一组基12,,,n εεε，由于1()(,,)r n V L +=A A A εε，所以先求出基象组12,,,n A A A εεε，再求出12(,,,)n rank A A A εεε及其一个极大无关组，也就得到了()V A 的维数及它的基； 设1()-∈0Aη，根据()=0A η来求确定1()-0A的维数与基.第二种 求出A 在基12,,,n εεε下的矩阵A ，所以A 的秩就等于A 的秩，且由于()i A ε在基12,,,n εεε下的坐标就是A 的第i 个列向量，从定理4.3.6的证明可以看出，利用同构，A 的列向量组的极大无关组对应12,,,n A A A εεε的极大无关组，从而可以确定()V A 的基. 设1()-∈0Aη，则由()=0A η知，η在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n x x x 就是齐次线性方程组=0Ax 的解向量，所以=0Ax 的基础解系就是1()-0A的基在12,,,n εεε下的坐标.例 4.3.9 设V 是全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式构成实数域上的线性空间，定义V 的线性变换：[()]()()(())f x xf x f x f x V '=-∀∈A .1）求A 的核1()-0A及值域()V A ；2）证明：1()()V V -=⊕0A A .1）解 取V 的一组基21,,,,n x x x ，则22(1,,,,)(1,,,,)n n x x x x x x =A A .其中100000000010001n -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A . 求解齐次线性方程组=0Ax 得到基础解系(0,1,0,,0)T =ε. 令22(1,,,,)(1,,,,)(0,1,0,,0)n n T x x x x x x x ===ηε.则1()()L x -=0A ， 1dim ()1-=0A.又22323()(1,,,,)(1,0,,2,(1))(1,,,)n n nV L x xx L x x n x L x x x==--=A A A A A ， 所以dim ()V n =A .2）证明 由1）有12323()()()(1,,,)(1,,,,)n n V L x L x x x L x x xx V -+=+==0A A .又1dim ()dim ()1dim V n V -+=+=0A A ，故1()()V V -=⊕0A A . 证毕.§4.4 不变子空间我们知道，同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，而相似的矩阵也可以认为是同一个线性变换在不同基下的矩阵. 所以，我们可以选择适当的基，使得线性变换的矩阵尽可能的简单，这样通过简单的矩阵来把握所给的线性变换. 因此，我们引入不变子空间的概念.定义4.4.1设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间. 如果对于W 中任一向量α，均有W ∈A α，则称W 是A 的不变子空间，简记为-A 子空间.如果A 是线性空间V 的线性变换，W 是A 的不变子空间，由于W 中的向量在A 下的象仍然在W 中，这就使得有可能不必在整个线性空间V 中来研究A ，而只需要在W 中来考虑A 即可. 这样A 便又诱导出W 的一个线性变换，这个线性变换称为A 在W 上的限制（或A 在W 中的诱导变换），记作|W A . 因此()()|W W =∀∈A A βββ.在不致发生混淆时，有时也将|W A 记为A .说明 A 与|W A 的异同：A 是V 的线性变换，V 中每个向量在A 下都有确定的象；|W A 是不变子空间W 上的线性变换，对于W ∀∈β，有()|W =A A ββ，但对于V 中不属于W 的向量ξ，()|W =A A ξξ是没有意义的.例4.4.2 对于V 的任何线性变换A ，平凡子空间{}0及V 都是A 的不变子空间. 例4.4.3 []P x 的子空间[]n P x 是关于线性变换()()f x f x '=D的一个不变子空间.例4.4.4 线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是A 的不变子空间.证明 任取()V ∈A α，则当然有V ∈α，所以有()V ∈A A α，即()V A 对A 不变. 对于任意的1()-∈0Aξ，有1()-=∈00A Aξ，即核1()-0A也是A 的不变子空间.证毕.例4.4.5 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.证明 设W 是线性空间V 的任一子空间，λA 是数乘变换，则对于W 中的任一向量α，都有λλ=A αα.而W 是V 的子空间，所以W λ∈α，即W λ∈A α. 所以W 是λA 的不变子空间. 证毕.例4.4.6 如果线性变换A 与B 可交换，则B 的核1()-0B 与值域()V B 都是A 的不变子空间. 证明 在B 的核1()-0B 中任取一个向量α，则()()()===00B A B A A αα，所以1()-∈0A Bα. 即1()-0B 是A 的不变子空间.在B 的值域()V B 中任取一个向量()B β，则(())(())()V =∈A B B A B ββ.因此，值域()V B 也是A 的不变子空间. 证毕.例4.4.7 已知123321(,,)(,,)a a a a a a =A 是3P 的一个线性变换. 则子空间1212{(,,0)|,}W x x x x =∈F就不是A 的不变子空间. 如(1,2,0)W ∈，但(1,2,0)(0,2,1)W =∉A .命题 4.4.8 A 的不变子空间的交与和还是A 的不变子空间.证明 设1W 与2W 都是A 的不变子空间，α是12W W 中的任一向量，则1()W ∈A α且2()W ∈A α.所以，12()W W ∈A α. 故12W W 是A 的不变子空间.设β是12W W +中任一向量，则存在1W 中的向量1β与2W 中的向量2β，使得12=+βββ.则1212()()()()=+=+A A A A βββββ.又1122(),()W W ∈∈A A ββ，所以12()W W ∈+A β. 故12W W +也是A 的不变子空间.证毕.2. 不变子空间与线性变换的矩阵化简 下面我们来看不变子空间的一个应用.定理 4.4.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果1W 与2W 都是A 的不变子空间，且12V W W =⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 证明 设12,,,r εεε是1W 的一组基. 由于12V W W =⊕，则可设1,,r n +εε是2W 的一组基，且121,,,,,,r r n +εεεεε是V 的一组基. 又1W 与2W 都是A 的不变子空间，则可设111111111,11,11,1(),(),(),().r r r r rr r r r r r n r n n r n r nn n a a a a a a a a +++++++=++⎧⎪⎪⎪=++⎪⎨=++⎪⎪⎪=++⎪⎩AA A Aεεεεεεεεεεεε所以，A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 其中11111r r rr a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ， 1,11,2,1r r r n n r nn a a a a ++++⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.4.9反过来也成立. 如果A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A ， 则由12,,,r εεε与1,,r n +εε所生成的子空间都是A 的不变子空间.（请读者自己给出证明）我们将上述定理4.4.9进行推广，其证明是与定理4.4.9类似的. 推论4.4.10 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,s W W W 都是A的不变子空间，且12s V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：12s ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A . 说明 推论4.4.10反过来也是成立的. 即如果A 在基12,,,(1,2,,)ii i ini s =εεε下的矩阵是12s ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A ， 则由12,,,(1,2,,)ii i in i s =εεε所生成的子空间都是A 的不变子空间.由推论4.4.10立刻有：推论4.4.11设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,n W W W 都是A的一维不变子空间，且12n V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是对角矩阵：12s a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.说明 定理4.4.9及上面的推论告诉我们两个事实：1）对于一个线性变换A ，如果V 可以分解成一些子空间的直和，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是准对角矩阵.2）矩阵相似于准对角矩阵与线性空间分解为不变子空间的直和是相当的.习题A1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：1）在线性空间V 中，()=+A ηηα，其中V ∈α是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，()=A ηα，其中V ∈α是一固定的向量； 3）在线性空间[]n P x 中，()()f x f x '=A ；4）在线性空间3P 中，221231233(,,)(,,)x x x x x x x =+A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =A ；123122331(,,)(,,)x x x x x x x x x =+++A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =++A ；5）在n n P ⨯中，(),=X AXB A 其中,A B 是n n P ⨯中两个固定的矩阵. 2. 证明：21,1,1x x x +++是线性空间3[]P x 的一组基. 并求出线性变换()()f x f x '=A在这组基下的矩阵. 3. 在22P ⨯中定义线性变换1()a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭X A ；2()a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭X X A ；3()a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X X A . 分别求出1A ，2A ，3A 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵.4. 设在数域P 上的三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 求1）A 在基321,,εεε下的矩阵；2）A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈，且0k ≠； 3）A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.5.设,A B 是线性变换，如果=,-A B B A E 证明：1=,k kk k --A B B AAk 是大于1的正整数.6.设n 阶矩阵A 和B 相似，且A 可逆. 则AB 与BA 相似.7.设V 是数域P 上的二维线性空间，线性变换A 在基12,εε下的矩阵是2110⎛⎫⎪-⎝⎭. 12,ηη也是V 的一组基，且从基12,εε到12,ηη的过渡矩阵为1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 求A 在基12,ηη下的矩阵及21,10kk ⎛⎫⎪-⎝⎭为正整数. 8.证明：方阵12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭与 12n i i i a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列.9.如果A 和B 相似，C 和D 相似，证明⎛⎫ ⎪⎝⎭00A B 与⎛⎫ ⎪⎝⎭00C D 相似.10.设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在基1234,,,εεεε下的矩阵是1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭. 1）求A 在基11242234334342,3,,2=-+=--=+=ηεεεηεεεηεεηε下的矩阵； 2）求A 的值域与核；3）在A 的值域中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵；4）在A 的核中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵.11. 设W 是线性空间V 的一个子空间，A 是V 的一个线性变换. 证明：如果W 是A 的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：⎛⎫ ⎪⎝⎭0A C B . 12.设A 是n 维线性空间V 的可逆的线性变换，W 是V 的子空间，且对于A 不变.证明：W 也是1-A 的不变子空间.习题B1. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 上的线性变换，12,W W 是V 的两个子空间，且12V W W =⊕.证明：A 可逆的充分必要条件是12()()V W W =⊕A A .2. 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，且1n -≠0A ，n=0A. 证明：在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间. 证明：1dim ()dim[()]dim W W W -+=0A A.4. 设,A B 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：AB 的秩≥A 的秩+B 的秩n -.5. 设12,,,s A A A 是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中必存在向量η，使得12(),(),,()s A A A ηηη也两两不同.6. 设,A B 是线性空间V 线性变换，且2=A A ，2=BB . 证明：1）,A B 有相同的值域,⇔==A B B B A A ； 2）,A B 有相同的核,⇔==A B A B A B . 7. 设A 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：A 的秩=2A 的秩1()()V V -⇔=⊕0A A.8. 设A 是n 维线性空间V 线性变换，且2=A A . 证明：1）1(){()|}V -=-∈0AA ξξξ；2）若B 是V 线性变换，则1()-0A 与()V A 都是B 的不变子空间⇔=AB B A .。
高等代数第四章线性变换
第四章 线性变换习题精解1． 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是：1 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3 在P 3中,A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4 在P 3中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5 在P x 中,A )1()(+=x f x f6 在P x 中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；7 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=8 在P nn ⨯中,A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2当0=α时,是;当0≠α时,不是.3不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A )α.4是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7不是.例如取a=1,k=I,则 A ka=-i , k A a=i, A ka ≠k A a8是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A =+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA k X =k BXC k kXB ==)()(A X 故A 是n n P ⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2 并检验AB 2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=x,y,z,则有 1) 因为A a=x,-z,y, A 2a=x,-y,-z A 3a=x,z,-y, A 4a=x,y,zB a=z,y,-x, B 2a=-x,y,-z B 3a=-z,y,x, B 4a=x,y,zC a=-y,x,z, C 2a=-x,-y,z C 3a=y,-x,z, C 4a=x,y,z 所以A 4=B 4=C 4=E 2) 因为AB a=A z,y,-x=z,x,y BA a=B x,-z,y=y,-z,-x 所以 AB ≠BA 3因为A 2B 2a=A 2-x,y,-z=-x,-y,z B 2A 2a=B 2x,-y,-z=-x,-y,z 所以A 2B 2=B 2A 23) 因为AB 2a=ABAB a_=AB z,x,y=y,z,x A 2B 2a=-x,-y,z 所以AB 2≠A 2B 23.在Px 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E 证 任取∈)(x f Px,则有AB-BA )(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ))(x xf -B 'f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k B-BA k =k A 1-k k>1 证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=A 2B-ABA+ABA-BA 2=AAB-BA+AB-BAA=AE+EA=2A 结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA 1+m =A 1+m B-A m BA+A m BA-BA 1+m =A m AB-BA+A m B-BA m A=A m E+m A 1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A 1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可. 因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换;证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关. 证 因A 1ε,2ε, ,n ε=A 1ε,A 2ε, ,A n ε=1ε,2ε, ,n ε A故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4中变换A 在基1ε=1,0,0,2ε=0,1,0,3ε=0,0,1下的矩阵;2) o; 1ε,2ε是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵;3) 在空间P x n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→ 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +-- I=1,2, ,n-1 下的矩阵A;4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax sin bx3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx 1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i εi=1,2, ,6下的矩阵;5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=-1,1,1,2η=1,0,-1,3η=0,1,1下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101求A在基1ε=1,0,0,2ε=0,1,0,3ε=0,0,1下的矩阵; 6) 在P 3中,A 定义如下:⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη 求在基1ε=1,0,0,2ε=0,1,0,3ε=0,0,1下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵. 解 1A 1ε=2,0,1=21ε+3εA 2ε=-1,1,0=-1ε+2ε A 3ε=0,1,0= 2ε故在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011100122取1ε=1,0,2ε=0,1则A 1ε=211ε+212ε,A 2ε=211ε+212ε故A 在基1ε,2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121又因为B 1ε=0,B 2ε=2ε所以B 在基1ε,2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000,另外,AB 2ε=AB 2ε=A 2ε=211ε+212ε所以AB 在基1ε,2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210, 3因为 )!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε ,所以A 0110=-=ε A 01)1(εε=-+=x x A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n ε=)!1()]3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε,所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010 ,4因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε, D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε,所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a, 5因为1η,2η,3η=1ε,2ε,3ε⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011,所以 1ε,2ε,3ε=1η,2η,3η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=1η,2η,3ηX,故A 在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211. 6因为1η,2η,3η=1ε,2ε,3ε⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--012110301,所以A 1η,2η,3η=A 1ε,2ε,3ε⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,但已知A 1η,2η,3η=1ε,2ε,3ε⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505故A 1ε,2ε,3ε=1ε,2ε,3ε⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-=1ε,2ε,3ε⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---717172717672737371=1ε,2ε,3ε⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----72471872772757472072075 7因为1ε,2ε,3ε=1η,2η,3η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-所以A 1η,2η,3η=1η,2η,3η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----963110505 =1η,2η,3η⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011101532; 8．在P22⨯中定义线性变换A 1X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a X, A 2X =X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a , A 2X = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵; 解 因A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22,A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22, 故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d cdc b a b a 00000000 又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22, 故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d b c a d b ca 00000000又因A 3E 11= a 2E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22 A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2E 21+cd E 22 A 3E 21= ab E 11+b 2E 12+ad E 21+bd E 22 A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2E 22 故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22223d bdcd bc cd ad c ac bd b ad ab bc ab ac a A 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵; 2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且; 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵. 解 1因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε A 2ε=+332εa +222εa 112εa A 1ε=+331εa +221εa 111εa 故A 在基123,,εεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112132122233132333a a a a a a a a a B 2因A 1ε=111εa ++)(221εk ka 331εa A k 2ε=k 112εa +)(222εk a +332εka A 3ε=13a 1ε+ka 232εk +333εa 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3332312322211312112a ka a k a a k aa ka a B 3因A 21εε+=1211a a +31εε++12112221a a a a --+2ε+3231a a +3ε A 2ε=12a 21εε++1222a a -2ε+332εa A 3ε=13a 21εε++1323a a -2ε+333εa故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----+-=333232311323122212112221131212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果Aε1-k ≠0,但A εk =0,求证ε,A ε,, A ε1-k k >0线性无关.证 设有线性关系0121=+++-εεεk k A l A l l用A 1-k 作用于上式,得 1l Aε1-k =0因A 0=εn 对一切n k ≥均成立 又因为Aε1-k ≠0,所以01=l ,于是有01232=+++-εεεk k A l A l A l再用A2-k 作用之,得2l Aε1-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得021====k l l l 即证ε,A ε,, Aε1-k k >0线性无关.11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A ε1-n 0≠但,求证A 在某组下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101010证 由上题知, ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 线性无关,故ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 为线性空间V 的一组基.又因为A ⋅+⋅+⋅=010εεεA A ε2+⋅+0 Aε1-nAA ε=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅1 A ε2+⋅+0 A ε1-n………………………………………………… AAε1-n =ε⋅0+⋅0 A ε+⋅0 A ε2+⋅+0 A ε1-n故A 在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010101012． 设V 是数域P 上的维线性空间,证明：V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.证 因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.证 设A 在基下n εεε,,,21 的矩阵为A=ij a ,只要证明A 为数量矩阵即可.设X 为任一非退化方阵,且n ηηη,,21=n εεε,,,21 X则n ηηη,,21也是V 的一组基,且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-,从而即有AX=XA,这说明A与一切非退化矩阵可交换. 若取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n X 211则由A 1X =1X A 知ij a =0i ≠j,即得A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn a a a2211再取2X =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001100001000010由A 2X =2X A,可得 nn a a a === 2211故A 为数量矩阵,从而A 为数乘变换.14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---21225521312112011) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵; 2) 求A 的核与值域;3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵; 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵. 解 1由题设,知4321,,,ηηηη=321,,εεε,4ε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2111011000320001 故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=AXX 1-=12111011000320001-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2111011000320001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----871034034031638310310343223322 先求A1-0.设∈ξ A1-0,它在321,,εεε,4ε下的坐标为1χ,432,,χχχ,且在A ε在321,,εεε,4ε下的坐标为0,0,0,0,,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000因rankA=2,故由 ⎩⎨⎧=+++-=++032024321431x x x x x x x可求得基础解系为 X 1=)0,1,23,2('--,X 2=)1,0,2,1('--若令a 1=321,,εεε,4εX 1,a 2=321,,εεε,4εX 2 则a 1, a 2即为A 1-0的一组基,所以 A 1-0=La 1, a 2 再求A 的值域A V.因为 A 1ε=43212εεεε++- A 2ε=432222εεε-+ A 3ε=432152εεεε+++ A 4ε3ε=4321253εεεε-++因rankA=2,故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε发秩也为2,且A 1ε ,A 2ε线性无关,故A 1ε ,A 2ε可组成A V 的基,从而A V=L A 1ε ,A 2ε 4) 由2知a 1, a 2是A1-0的一组基,且知,1ε2ε, a 1, a 2是V 的一组基,又,1ε2ε, a 1, a 2=321,,εεε,4ε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10000100223101201 故A 在基,1ε2ε, a 1, a 2下的矩阵为B=11000100223101201-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10000100223101201=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-002200210012900254 由2知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基,且A 1ε, A 2ε,43,εε=321,,εεε,4ε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为C=11021012100210001-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000223129122515. 给定P 3的两组基⎪⎩⎪⎨⎧===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(321εεε ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(321ηηη 定义线性变换A : A i ε=i ηi =1,2,31) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵; 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵; 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵. 解 1由321,,ηηη=321,,εεεX引入P 3的一组基1e =1,0,0, 2e =0,1,0, 3e =0,0,1,则321,,εεε=1e ,2e ,3e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110121=1e ,2e ,3e A所以321,,ηηη=1e ,2e ,3e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122221=1e ,2e ,3e B=1e ,2e ,3e A 1-B 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为X= A 1-B=1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232 2因A 321,,εεε=321,,ηηη=321,,εεε⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232 故A 在基321,,εεε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232 4) 因A 321,,ηηη=A 321,,εεεX=321,,ηηηX 故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.16.证明⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21相似,其中n i i i ,,,21 是1,2,n , 的一个排列.证 设有线性变换A ,使A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21=)21,,,(n εεε D 1 则A ,,21i i εε,n i ε= ,,21i i εε,n i ε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21= ,,21i i εε,n i εD 2 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21相似. 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似.证 因A 可逆,故A 1-存在,从而A 1-ABA= A 1-ABA=BA 所以AB 与BA 相似.18.如果A 与B 相似,C 与D 相似,证明:.0000相似与⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B B A证 由已知,可设B=X 1-AX, D=Y 1-CY , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00 这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛Y X01- 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似. 19设A,B 是线性变换, A 2= A, B 2=B 证明:1) 如果A+B 2=A+B 那么AB=0; 2) 如果, AB=BA 那么A+B-AB 2=A+B-AB.证 1因为A 2= A, B 2=B, A+B 2=A+B由A+B 2 =A+B A+B= A 2 +AB+BA+ B 2, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2B-B 2A= A 2B+ABA= A AB+BA= A0=0 所以AB=0.2 因为A 2= A, B 2=B, AB=BA 所以A+B-AB 2= A+B-AB A+B-AB= A 2+BA- AB A+ AB+ B 2- AB 2-A 2B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB20. 设V 是数域P 上维线性空间,证明:由V 的全体变换组成的线性空间是2n 维的.证 .21221111维的是的一组基，是，，，，，，，因n P P E E E E E E n n nn nn n n n ⨯⨯所以V 的全体线性变换与n n P ⨯同构,故V 的全体线性变换组成的线性空间是2n 维的. 21. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:3) 在][x P 中有一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f ; 4) 如果)(,0)(==A g A f ,那么)(=A d ,这里.)()()(的最大公因式与是x g x f x d5) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式.0)()(=A f x f 使证 1因为P 上的n 维线性空间V 的线性变换组成的线性空间是2n 维的,所以2n +1个线性变换A2n ,A12-n ,、、、,A,E一定线性相关,即存在一组不全为零的数011,,,22a a a a n n -使2n a A 2n +12-n a A 12-n+1a A+0a E=0令1112222)(a x a x a x a x f nn n n +++=--,且.),,2,1,0(22n x f n i a i ≤∂=））（（不全为零，这就是说,在][x P 中存在一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即证.2由题设知)()()()()(x g x v x f x u x d +=因为0)(,0)(==A g A f 所以)()()()()(A g A v A f A u A d +==03必要性.由1知,在][x P 中存在一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即2n a A 2n +12-n a A 12-n+1a A+0a E=0若则,00≠a 01112222)(a x a x a x a x f n n n n +++=--即为所求.若,00=a 最小的那一个，则是不为零的系数中下标不全为零，令因j i a n i a ),,2,1,0(2 =2n a A 2n +12-n a A12-n +1a A+0a E=0因 A 可逆,故存在右乘等式两边也存在，用1111)()()(,----=j j j A A A A ,得2n a Ajn -2+12-n a A12--j n +…+j a E=0令=)(x f 2n a jn x -2+12-n a 12--j n x+…+)0(≠j j a a ,即)(x f 为所求.充分性.设有一常数项不为零的多项式01112222)(a x a x a x a x f nn n n +++=--)0(0≠a 使0)(=A f即00111=++++--E a A a Aa A a m m m m 所以E a A a Aa A a m m m m 0111-=+++-- 于是E A E a A a a m m =⋅++--)(1110又⋅A E E a A a a m m =++--)(1110故A 可逆.22. 如果s A A A ,,,21 是线性空间V 的个两两不同的线性变换,那么在V 中必存在向量a ,使a A a A a A s ,,,21 也两两不同. 证 令V }{a A A V jiij =∈=ααα, s j i ,2,1,=因为ij j i V A A ∈==0,000故`ij V 非空.又因为s A A A ,,,21 两两不同,所以对于每两个j i A A ,而言,总存在一个向量β,使ββj i A A ≠故ij V 是V 的非空真子集 设则,,ij V ∈βαββααj i i A A A A ==,于是)()(βαβα+=+j i A A即ij V ∈+βα又 )()(ααααk A kA kA k A j j i i === 于是ij V k ∈α 故ij V 是V 的真子空间.1如果ij V 都是V 的非平凡子空间,在V 中至少有一个向量不属于所有的ij V ,设),,,2,1,(s j i V ij =∉α则ααj i A A ≠s j i ,,2,1, =即证: 存在向量α,使αααs A A A ,,,21 两两不同. 2如果{ij V }中有V 的平凡子空间00j i V ,则00j i V 只能是零空间.对于这种00j i V ,只要取,0≠α就有ααj i A A ≠,故这样的00j i V 可以去掉.因而问题可归于1,即知也存在向量α使αααs A A A ,,,21 两两不同.23:,.,证明的子空间中向量的像组成表示由的子空间是的线性变换是有限维线性空间设W AW V W V A)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =⋂+-证 因为故上的线形变换也是,W A W A ⋂-)0(1是.的子空间W 设W A ⋂-)0(1的维数 为r,W 的维数为s.今在W A ⋂-)0(1中取一组基,,,21r εεε 把它扩充成W 的一组基,,,21r εεε s r εε ,1+, 则),,,,(121s r r A A A A A L AW εεεεε +==),(1s r A A L εε +且s r A A εε,1 +线性无关.所以)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =⋂+- 24.设:,,证明的两个线性变换维线性空间是V n B Arank AB rank ≥A +n B rank -)(证 在分别为在这组基下对应的矩阵设线性变换中取一组基B A V ,, A,B,则线性变换对应的矩阵为AB AB.因为B A ,线性变换,的秩分别等于矩阵AB A,B,AB 的秩,所以对于矩阵A,B,AB 有rank AB rank ≥A+n rank -)B (故对于B A ,线性变换,也有ABrank AB rank ≥A +n B rank -)(25.设:,,22证明B B A A ==1;,A BA B AB B A ==是有相同值域的充要条件与 2 .,B BA A AB B A ==有相同的核充要条件是与 证1必要性.若βαβααA B V AV BV B V BV AV =∈=∈∈=使故存在向量则任取,,,,于是αβββB A A AB ===2ββα=A 故有的任意性由,同理可证 A A =β充分性.若=AB B ,A BA =,任取则有,V AV Aa ⊂∈BV Aa B BAa Aa ∈==)(于是BV AV ⊂同理可证AV BV ⊂,故BV AV =2必要性.若),0()0(11--=B A ,对任意V ∈β,作向量ββA -,因为A ββA -==-ββ2A A βA -βA =0所以 ββA -∈),0()0(11--=B A又B )ββA -=0=-ββBA B所以ββBA B =,由β的任意性,故有BA B =作向量ββA -,则)(ββB B -=02=-=-ββββB B B B所以∈-ββB )0()0(11--=A B又..,,,0)(即证必要性故有的任意性由所以AB A AB A B A ===-βββββ 充分性.若由任取),0(.,1-∈==A a BA B AB A 0)0()()(====B A B BA B ααα知从而),0(1-∈B α)0()0(11--⊂B A同理可证)0()0(11--⊂A B即证 )0()0(11--=B A。
高等代数线性变换的运算
它满足
α, 当 α ∈ U,
PU(α) = 0, 当 α ∈ W.
(1)
满足 (1) 式的 V 上的线性变换是唯一的.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
投影变换
证 由于 V = U ⊕ W，因此 α 表示成 U 的一个向量与 W 的一个 向量之和的方式唯一，从而 PU 是 V 到 V 的一个映射. 任取 V 中两个向量
. .. . . ..
幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
幂等变换
因此
P2U = PU, PUPW = PWPU = 0.
(2)
类似地有 P2W = PW.
投影变换
定理 设 V 是数域 P 上的一个线性空间，U, W 是 V 的两个子空间，且
V=U⊕W
任取 α ∈ V，设 α = α1 + α2，其中 α1 ∈ U，α2 ∈ W. 令
PU :V
−→V
α = α1 + α2 −→α1
则 PU 是 V 上的一个线性变换，称 PU 是平行于 W 在 U 上的投影，
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
线性映射的乘法
命题 设 V, U, W 都是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 U 的一个线 性映射，B 是 U 到 W 的一个线性映射，则 BA 是 V 到 W 的 一个线性映射.
高等代数 第四章 线性变换
B= =
4)由2)知A = ,A =
易知A , A , 是V的一组基,且
(A , A , )=( , )
故A在基A , A , 下的矩阵为
C=
=
15.给定P 的两组基
定义线性变换A:
A = ( =1,2,3)
1)写出由基 到基 的过度矩阵;
2)写出在基 下的矩阵;
3)写出在基 下的矩阵.
A =
故A在基 下的矩阵为
2)因
A = +
A(k )= + +
A = + ( )+
故A在 下的矩阵为
3)因
A( )=( )( )+( ) +( )
A = ( )+( ) +
A = ( )+( ) +
故A基 下的矩阵为
10.设A是线性空间V上的线性变换,如果A 0,但A =0,求证
,A , A ( >0)线性无关.
A
A(A )= + A + A + A
…………………………………………………
A（A ）= + A + A + A
故A在这组基下的矩阵为
12．设V是数域P上的维线性空间，证明：V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.
证因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.
Ca=(-y,x,z),C a=(-x,-y,z)
C a=(y,-x,z),C a=(x,y,z)
所以
A =B =C =E
高等代数探索线性变换与特征值特征向量
高等代数探索线性变换与特征值特征向量在高等代数中，线性变换和特征值特征向量是两个重要的概念。
线性变换是指将一个向量空间的元素映射为另一个向量空间的元素的数学操作，而特征值特征向量则用于描述线性变换的性质和特点。
本文将探索线性变换和特征值特征向量的相关概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、线性变换的定义线性变换是指对于一个向量空间V到自身的映射T，满足以下两个条件：1. 对于任意的向量u和v，以及标量k，都有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(ku) = kT(u)；2. 对于零向量0，有T(0) = 0。
线性变换可以通过矩阵乘法的形式进行表示，即T(v) = Av，其中A 是一个n×n的矩阵。
线性变换可以描述多种几何变换，如旋转、缩放、投影等，因此在计算机图形学、物理学等领域有广泛应用。
二、特征值和特征向量的定义给定一个n维向量空间V和一个线性变换T，如果存在非零向量v使得T(v) = λv，其中λ是一个标量，那么称λ是线性变换T的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们了解线性变换对向量空间的影响。
特征向量表示在该线性变换下不改变方向，只是进行拉伸或压缩，而特征值表示该方向上的拉伸或压缩的比例。
三、特征值和特征向量的计算要计算线性变换的特征值和特征向量，我们需要解特征方程Av = λv，其中A是线性变换矩阵，v是特征向量，λ是特征值。
特征方程的解是通过求解(A-λI)v = 0来实现的，其中I是单位矩阵。
解特征方程有两种方法，一种是通过求解(A-λI)v = 0的零空间，即线性方程组的解空间，来求得特征向量。
另一种方法是计算矩阵A的特征多项式，并找出其零点来求得特征值。
四、特征值和特征向量的性质1. 对于n阶矩阵A，它的特征值的个数不超过n个，而特征向量的个数必须等于n。
2. 对于特征值λ和它对应的特征向量v，如果存在特征值μ使得λ + μ = 0，那么对应的特征向量也满足T(v) = μv。
高等代数 第四章 线性变换
第四章 线性变换习题精解1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ= 8）在Pnn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈Pnn ⨯是两个固定的矩阵.解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f7)不是.例如取a=1,k=I,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X故A 是nn P⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)所以A 4=B 4=C 4=E2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)所以AB ≠BA3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A 2B 2=B 2A 23) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)A 2B 2(a)=(-x,-y,z)所以(AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明:A k B-BA k =k A 1-k (k>1)证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A 1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A 1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可.因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
高等代数线性变换
线性变换 (1) (2) (3) (4)
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)，
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设 1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 任何元素都可以是基 1 , 2 ,, n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使得 的像，只要选取适当
(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
则对∀A∈L(V) ， f (A) anA n an1A n1 a1A a0E 称为线性变换 A 的多项式。
结论6 设f(x), g(x)∈P[x], A ∈L(V), 若h(x)=f(x)+g(x), p(x)=f(x)g(x)
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
高等代数 第四章 线性变换
第四章线性变换习题精解1、判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1)在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量;2)在线性空间V中,A其中Ｖ是一固定的向量;3)在P中,A;４)在P中,A;5)在P［]中,A6)在P[］中,A其中P是一固定的数;７)把复数域上看作复数域上的线性空间, Ａ８)在P中,ＡX=BXＣ其中Ｂ,CP是两个固定的矩阵、解1)当时,是;当时,不是。
2)当时,是;当时,不是。
３)不是。
例如当,时,A, Ａ,A A(、4)是、因取,有Ａ=A=＝＝A+ AA A=A故A是P上的线性变换。
5)是、因任取,并令则A= A＝==A+ A再令则ＡＡＡ故A为上的线性变换、6)是、因任取则、Ａ=AAAA７)不是。
例如取ａ=1,k=I,则A(ｋａ)=－i ,k(A a)＝i, A(ka)k A(ａ)8)是、因任取二矩阵,则A(A+ＡA(k)=A故A是上的线性变换、2、在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ｏx轴由oｙ向oz方向旋转９0度的变换,,以Ｂ表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由oｘ向oｙ方向旋转９0度的变换、证明:Ａ=B＝Ｃ=E,ABBＡ,AＢ＝ＢA并检验(AB)=AB是否成立、解任取一向量ａ=(x,y,z),则有1)因为A a=(x,－z,ｙ), A a＝(x,-y,－z)Aａ=(x,ｚ,－ｙ),Ａa=(x,y,ｚ)B a=(z,y,－x),Bａ＝(—x,y,-z)B a=(－z,y,x), Bａ=(x,y,ｚ)C a＝(—y,x,z), C a=(-x,—y,z)C a=(y,—x,z), Ｃa=(x,y,z)因此A=B=C=E2)因为ＡB(a)=A(ｚ,ｙ,—ｘ)=(z,x,y)BA(a)=Ｂ(ｘ,—z,y)=(y,-ｚ,—x)因此ABBA3)因为AB(ａ)=A(—ｘ,y,—z)=(-x,－y,z)ＢＡ(a)=B(ｘ,－y,—z)＝(—ｘ,—y,ｚ)因此AB=BＡ3)因为(AB)(a)=(AＢ)(AB(ａ))_＝AB(ｚ,x,y)=(y,z,ｘ)ＡB(ａ)=(—ｘ,－y,z)因此(ＡB)AB3、在P［x］中,ＡB证明:AB—ＢA=E证任取P［ｘ],则有(AB-BＡ)＝AB－BA＝A(－Ｂ(=—=因此ＡB-BA=Ｅ4、设Ａ,B是线性变换,假如ＡB—ＢＡ＝E,证明:AB—ＢA=A (k>1)证采纳数学归纳法。
【高等代数】05-线性变换
【⾼等代数】05-线性变换 线性变换是线性代数的核⼼概念，包含的内容和结论⼗分丰富。
之前的讨论其实已经⽐较完备了，但这⾥我还是想把它的主要脉络再梳理⼀遍，然后再补充⼀些重要的问题和结论。
1. 线性变换和不变⼦空间1.1 线性变换 线性变换\mathscr{A}\alpha（或线性映射）的概念⾃⽆需多说，它是线性空间V之间的⼀种映射关系。
⽽映射最重要的概念就是象和原象，尤其是变换的象\mathscr{A}V与核\text{Ker}\mathscr{A}，通过关系式（1）搭建起了变换\mathscr{A}的基本机构。
它直观地描述了线性变换在维度上的意义，你可以轻松说出V,\,\text{Ker}\mathscr{A},\,\mathscr{A}V三者之间的关系。
更甚地，可以把V表⽰成某个直交和\text{Ker}\mathscr{A}\oplus U，⽽这⾥U必定与\mathscr{A}V同构。
这个简单的关系很容易被忽略，但它在复合变换的论证中起到了核⼼的作⽤，⽐如关于复合变换的秩（象的维数）的估算，再⽐如后⾯关于幂零变换的归纳法证明。
V/\text{Ker}\mathscr{A}\cong\mathscr{A}V\tag{1} 式（1）说明，变换使得V的维数减少了\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{A})，这个⾓度⾮常便于讨论复合变换的秩。
对于复合变换\mathscr{AB}，它的秩显然有上界\max\{\text{rank}\mathscr{A},\text{rank}\mathscr{B}\}。
从维度减少的⾓度，不难有式（2）的上界式，从⽽轻松得到复合变换秩的下界式（3）。
使⽤这个⾓度，你可以尝试⼀下下⾯的两个问题。
\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{AB})\leqslant\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{A})+\text{dim}(\text{Ker}\mathscr{B})\tag{2}\text{rank}(\mathscr{AB})\geqslant\text{rank}{\mathscr{A}}+\text{rank}{\mathscr{B}}-\text{dim}(V)\tag{3} • 如果\text{rank}(\mathscr{AB})=\text{rank}(\mathscr{B})，则对任意变换\mathscr{C}都有\text{rank}(\mathscr{ABC})=\text{rank}(\mathscr{BC})。
高等代数线性变换解析
(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
A m n A m A n ,
(A m )n A mn ,
m, n N
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB ) ≠ A B 。
n
n n
线性变换 定义5 设
§2 线性变换的运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 P[ x]
线性变换
§3 线性变换的矩阵
定理2 设 1 , 2 ,, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，
A, B∈L(V), 且 A, B 在这组基下的矩阵分别为A和B，则在该 组基下： (1) A + B 的矩阵是 A+B；
(2) AB 的矩阵是 AB； (3) kA 的矩阵是 kA； (4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
矩阵的相似性是由 线性变换所决定的
则 B 为线性变换 A 在基 1 ,2 ,,n 下的矩阵。 A A
1 , 2 ,, n
A可逆的充要条件是它在 一组基下的矩阵A可逆
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
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第四章 线性变换习题精解1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f7)不是.例如取a=1,k=I,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X故A 是n n P ⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)所以A 4=B 4=C 4=E2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A 2B 2=B 2A 23) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)A 2B 2(a)=(-x,-y,z)所以(AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明:A k B-BA k =k A 1-k (k>1)证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A mB-BA m=m A1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可.因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关. 证 因A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵;2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵; 3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→ 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1) 下的矩阵A;4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e axsin bx3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx 1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵;5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P 3中,A 定义如下:⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵. 解 1)A 1ε=(2,0,1)=21ε+3εA 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε A 3ε=(0,1,0)= 2ε故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011100122）取1ε=（1，0），2ε=（0，1）则A 1ε=211ε+212ε，A 2ε=211ε+212ε故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=211ε+212ε所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210， 3）因为 )!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε ，所以A 0110=-=εA 01)1(εε=-+=x x A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n K K ε=)!1()]3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε，所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010KK K， 4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a， 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211.6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301，所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---717172717672737371 =(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----72471872772757472072075 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----963110505 =(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011101532。