高等代数 第四章 线性变换

第四章 线性变换

习题精解

1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；

3） 在P 3

中，A

),,(),,(2

33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3

中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；

5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f

6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=

8） 在P n

n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n

n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,

A ≠)(αk k A()α.

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有

A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++

=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx

),,2()

,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=

= k A )(α

故A 是P 3

上的线性变换.

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令

)()()(x g x f x u +=则

A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.

A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )

A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f

7)不是.例如取a=1,k=I,则

A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)

8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则

A (=+=+=+BYC BXC C Y X

B Y X )()A X +A Y

A (k X )=k BXC k kX

B ==)()(A X

故A 是n n P ⨯上的线性变换.

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:

A 4=

B 4=

C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2

并检验(AB )2

=A 2

B 2

是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为

A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)

B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)

C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)

所以

A 4=

B 4=

C 4=E

2) 因为

AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为

A 2

B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)

所以

A 2

B 2=B 2A 2

3) 因为

(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)

A 2

B 2(a)=(-x,-y,z)

所以

(AB )2≠A 2B 2

3.在P[x] 中,A '

)(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E

证 任取∈)(x f P[x],则有

(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('

f ))(x =;

)(xf x f +)(x -'

xf )(x =)(x f

所以 AB-BA=E

4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明:

A k B-BA k =k A 1-k (k>1)

证 采用数学归纳法. 当k=2时

A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A

结论成立.

归纳假设m k =时结论成立,即A m

B-BA m

=m A

1

-m .则当1+=m k 时,有

A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A

1

-m A=)1(+m A m

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.

证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A

1

-.

若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1

-,有a=b,这与条件矛盾.

其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1

-b=a 即可.

因此,A 是一个双射.

6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且