球形和圆柱形坐标系介绍

常用坐标系

1■球坐标系

定义：假设P点在三维空间的位置的三个坐标是(匚乞p)o那么，0 < r是从原点

到P点的距离，0 W B W n是从原点到P点的连线与正z-轴的夹角，0 W $ < 2 n是从原点到P点的连线在xy-平面的投影线，与正X-轴的夹角。

解释

假设P (x, y, z)为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r , 9 , $ )来确定，

其中：r为原点0与点P间的距离；

9为有向线段0P与z轴正向的夹角，通常把它称之为仰角；

$，为从正z轴来看，自x轴按逆时针方向转到0M所转过的角，这里M 为点P在xOy面上的投影，通常把它称之为方位角；

这样的三个数r，9，$叫做点P的球面坐标，显然，这里r，9， $的变化范围为r € [0,+ s)，$€ [0, 2 n ]，9€ [0, n ]，

与直角坐标系间的转换

1).球坐标系(r, 9 , $ )与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：

X=rsin 9 cos $

y=rsin 9 sin $

z=rcos 9

2).反之，直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r, 9 , $ )的转换关系为：

r= sqrt (x*2 + y*2 + z*2);

9 = arccos(z/r);

$ =arctan (y/x);

2■圆柱坐标系

圆柱坐标系是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往z-轴的延伸。添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11)，径向距离、方位角、高度，分别标记为p，$，z。

如图右，P点的圆柱坐标是（p,©, Z）。

p是P点与z-轴的垂直距离（相当于二维极坐标中的半径r）, ©是线0P在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角（相当于二维极坐标中的0 ） , z与直角坐标的z 等值，即P点距x-y平面的距离。

与直角坐标系间的转换

x= p cos ©

y= p sin ©

z=z