中考专题复习之翻折专题
中考复习41——图形的平移、翻折
图形的平移、翻折1、（09凉山22题）如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角，且交y 轴于点C ，以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D 。
（1）求直线l 的解析式； （2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当⊙O 2第一次与⊙O 1外切时，求⊙O 2平移的时间。
2、（10兰州28题）如图，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD ＝2，AB ＝3；抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4，0），抛物线的顶点为M 。
（1）当x 取何值时，y 的值最大，最大值是多少？（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动。
设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）。
①当114t =时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由。
②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时点N 的坐标；若不可能，请说明理由。
y xO CB O 2O 1A D x y 图2N D E OBM A C P3、（10青岛24题）已知，把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图1摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上。
∠ACB ＝∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，EF ＝9cm 。
如图2，△DEF 从图1的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动。
专题31 几何变换之翻折模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题31几何变换之翻折模型【理论基础】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。
对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。
解决翻折题型的策略1.利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等。
对应边相等，对应角相等②对应点连线被对称轴垂直平分2.结合相关图形的性质(三角形，四边形等)3.运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
翻折折叠题型(一)，直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。
一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。
翻折折叠题型(二)，分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。
般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。
【例1】如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE ' ，若点C 恰好在线段B D '上，若90BCD ∠=︒，DC ：3CB '=：2，AB =CE 的长度为（）A．42B 722C．32D522【例2】如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将ADE沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设DE k CE=．（1）若点F与点C重合，则k=__________．（2）若点F是边BC的中点，则k=__________．【例3】（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE 翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．一、单选题1．一张正方形的纸片，如图进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是（）度．A ．1080︒B ．360︒C ．180︒D ．900︒2．如图，四边形ABCD 为平行四边形，若将△ACB 沿对角线AC 翻折得到△ACE ，连接ED ，则图中与∠CAD 度数一定相等（除∠CAD 外）的角的个数有（）A ．2个B ．4个C ．5个D ．7个3．如图，点D ，E 是正△ABC 两边上的点，将△BDE 沿直线DE 翻折，点B 的对应点恰好落在边AC 上，当AC ＝5AF 时，BD BE的值是（）A ．23B ．34C ．35D ．574．如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，∠C ＝45°，AB ＝5，BC ＝D 在AC 上运动，连接BD ，把△BCD 沿BD 折叠得到BC D '△，BC '交AC 于点E ，C D AB '∥，则图中阴影部分的面积是（）A ．78B ．127C ．52D ．2075．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，延长DC 到点F （0＜CF ＜4），在线段CB 上截取点P ，使得CP ＝CF ，连接BF 、DP ，再将△DCP 沿直线DP 折叠得到△DEP ．下列结论：①若延长DP ，则DP ⊥FB ；②若连接CE ，则CE FB ∥；③连接PF ，当E 、P 、F 三点共线时，CF ＝4；④连接AE 、AF 、EF ，若△AEF 是等腰三角形，则CF ＝﹣4；其中正确有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =8，tan ∠ABC =32，点N 是边AC 的中点，点M 是射线BC 上的一动点（不与B ，C 重合），连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折得△EMN ，连接BE ，CE ，当线段BE 的长取最大值时，sin ∠NCE 的值为（）A B C D 7．如图，ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，15ADE ∠=︒，BD =将ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B '，恰好BE B E '⊥，若点F 为BC 上一点，则B F '的最短距离是（）A ．1B 2C 3D 58．如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点M 处，折痕为AP ；再将PCM △，ADM △分别沿PM ，AM 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点N 处．下列结论不．正确的是（）A ．M 是CD 的中点B ．MN AP⊥C ．当四边形APCD 是平行四边形时，3AB MN=D ．AD BC∥二、填空题9．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数22y x =-+的图象与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．将ABO 沿直线AB 翻折得到ABC ．若点C 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，则k =____________．10．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB 3AC =4，点D 是AB 的中点，点E 是边BC 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′DE 的位置，B ′D 交边BC 于点F ，若△CB ′F 为直角三角形，则CB ′的长为______．11．如图，将ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B '处，若138∠=︒，231∠=︒，则D ∠=___．12．如图，90POQ ∠=︒，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C '△，A O '交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD ∠的度数为______．13．如图，抛物线y ＝2x ﹣2x ﹣3与x 轴相交于A ，B 两点，点C 在对称轴上，且位于x 轴的上方，将△ABC 沿直线AC 翻折得到△A B 'C ，若点B '恰好落在抛物线的对称轴上，则点C 的坐标为_____．14．四边形ABCD 为平行四边形，己知AB 13，BC ＝6，AC ＝5，点E 是BC 边上的动点，现将△ABE 沿AE 折叠，点B ′是点B 的对应点，设CE 长为x ，若点B ′落在△ADE 内（包括边界），则x 的取值范围为____________．15．如图，点A 、B 分别在平面直角坐标系xOy 的y 轴正半轴、x 轴正半轴上，且OA =4，OB =3，将△AOB 沿AB 折叠，O 的落点为P ，若双曲线y =k x过点P ，则k =________．16．如图，过点A 折叠边长为2的正方形ABCD ，使B 落在B '，连接D B '，点F 为D B '的中点，则CF 的最小值为_____．三、解答题17．如图，四边形ABCD 中，AC AD =，90BAC ∠=︒，45BDC ∠=︒．(1)求∠ABC 的度数；(2)把 BCD 沿BC 翻折得到 BCE ，过点A 作AF BE ⊥，垂足为F ，求证：2BE AF =；(3)在（2）的条件下，连接DE ，若四边形ABCD 的面积为45，10BC =，求DE 的长．18.（1）[初步尝试]如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为____18____；（2）[思考说理]如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM的值；（3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB '上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到A PM ' ，点A 的对应点为点A '，A M '与CP 交于点F ，求PF MF 的取值范围．19．综合与实践在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，折痕为BM ，把纸片展平，连接AN ，如图①；(1)折痕BM 所在直线是否是线段AN 的垂直平分线？请判断图中ABN 是什么特殊三角形？请写出解答过程．(2)继续折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点H 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，把纸片展平，如图②，求∠GBN 的度数．(3)拓展延伸：如图③，折叠矩形纸片ABCD ，使点A 落在BC 边上的点A '处，并且折痕交BC 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平，连接AA '交ST 于点O ，连接AT ；求证：四边形SATA '是菱形．20．图，一张矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，将△BCE 沿直线CE 对折，点B 落在对角线AC 上，记为点F ．(1)若AB ＝4，BC ＝3，求AE 的长．(2)连接DF ，若点D ，F ，E 在同一条直线上，且DF ＝2，求AE 的长．21．如图1，在△ABC 中，BC ＝6，P 是BC 边的一点，且不与B ，C 重合，将△APB 沿AP 折叠得'APB △，过点C 作AP 垂线，垂足为D ，连接DB BB B C ''，，．(1)AB 和'AB 的数量关系是，AP 与'BB 的位置关系是；(2)如图2，当四边形'BDCB 是平行四边形时，求BP 的长；(3)在（2）的条件下，若BD ＝CD ，求证：223AB AC AD DP -=⋅．22．矩形ABCD 满足BC ＝2AB ，E 、F 分别为AD 、BC 边上的动点，连接EF ，沿EF 将四边形DEFC 翻折至四边形GEFH ．(1)①如图1，若点G 落在矩形ABCD 内，当∠BFE ＝57°时，直接写出∠AEG ＝．②如图2，若点G 落在AB 边上，当G 为AB 中点时，直接写出sin ∠BFH ＝．(2)如图3，若点G 落在AB 边上，且满足AB ＝nAG ，①求BH DF 的值（用含n 的代数式表示）；②在E 、F 运动的过程中，直接写出DE CF AG+的值（用含n 的代数式表示）23．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在ABCD 中，AN 为BC 边上的高，AD m AN=，点M 在AD 边上，且BA BM =，点E 是线段AM 上任意一点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得FBE ．(1)问题解决：如图①，当60BAD ∠=︒，将ABE △沿BE 翻折后，使点F 与点M 重合，则AM AN =______；(2)问题探究：如图②，当45BAD ∠=︒，将ABE △沿BE 翻折后，使EF BM ∥，求ABE ∠的度数，并求出此时m 的最小值；(3)拓展延伸：当30BAD ∠=︒，将ABE △沿BE 翻折后，若EF AD ⊥，且AE MD =，根据题意在备用图中画出图形，并求出m 的值．24．【问题情境】：数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片()ABCD AD AB >，其中宽8AB =．(1)【动手实践】：如图1，威威同学将矩形纸片ABCD 折叠，点A 落在BC 边上的点M 处，折痕为BN ，连接MN ，然后将纸片展平，得到四边形ABMN ，则折痕BN 的长度为______．(2)【探究发现】：如图2，胜胜同学将图1中的四边形ABMN 剪下，取AN 边中点E ，将ABE △沿BE 折叠得到A BE ' ，延长BA '交MN 于点F ．点Q 为BM 边的中点，点P 是边MN 上一动点，将MQP △沿PQ 折叠，当点M 的对应点M '落在线段BF 上时，求此时tan PQM ∠的值；(3)【反思提升】：明明同学改变图2中Q 点的位置，即点Q 为BM 边上一动点，点P 仍是边MN 上一动点，按照（2）中方式折叠MQP △，使点M '落在线段BF 上，明明同学不断改变点Q 的位置，发现在某一位置QPM ∠与（2）中的PQM ∠相等，请直接写出此时BQ 的长度．。
中考专题复习之翻折专题
（17徐州）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，
课前小练
1．（17期末）已知点A（a，2），B（3，b）关于y轴对称，则（a+b）2018的值（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．（18河南一模）在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点A（4，3），B（3，﹣1）的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
4．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ）
【例2】：连接中考（2017济宁）实验探究：
（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．
（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2．折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
典型例题:矩形的折叠
【例1】：追本溯源
如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上任取一点E，连接BE,将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，求CE的长．
追本溯源：（苏科版八年级下册第95页21题）
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F，求BF的长．
中考专题翻折问题
翻折问题翻折问题是近几年中考中常考的一个问题,解决此类问题的关键是找出隐藏的条件翻折前后的线段相等,角相等1 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,∠BAE＝30°,AB＝3,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为2A．3B．2 C．3 D．32.小许拿了一张正方形的纸片如图甲,沿虚线对折一次得图乙．•再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线虚线与底边平行剪去一个角．打开后的形状是• ．3.如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得图形是CB AD4．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折,然后沿着图丙中的虚线剪下,得到①,•②两部分,将①展开后得到的平面图形是 ．A 三角形B 矩形C 菱形D 梯形5 如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是…6如图,在梯形ABCD 中,DC ∥AB ,将梯形对折,使点D 、C 分别 落在AB 上的点D '、C ',折痕为EF ,若CD =3cm,EF =4cm,则D A '+C B '为………………………………………………… A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m7．如图,将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠,使点D 落在BC 边的中点E 处,点A 落在F 处,折痕为MN ,则线段CN 的长是…A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm8 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF ．若AB ＝6,则BC 的长为 A ．1B ．2错误!C ．2错误!D ．129如图,两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放,其中重叠部分 部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的 面积是 cm 2A ．B ．C ．D ．N M FEDCBAl321S 4S 3S 2S 110.在直线l 上依次摆放着七个正方形如图所示;已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4,则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______;11如图,一张矩形纸片ABCD 的长AD=9cm,宽AB=3cm,现将其折叠,使点D 与点B 重合,则BE=________12已知,一张矩形纸片ABCD 的边长分别为9cm 和3cm,把顶点A 和C 叠合在一起,得折痕EF如图．1猜想四边形AECF 是什么四边形,并证明你的猜想． 2求折痕EF 的长．C'FE D CB(D)A13 如图,矩形纸片ABCD 中,AB =8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的E 点上,BG =10.1当折痕的另一端F 在AB 边上时,如图1.求△EFG 的面积. 2当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图2.证明四边形BGEF 为菱形,并求出折痕GF 的长.HA BCDEF G图2ABCDE FG H (A)(B)A BCDE F G图1历年中考题集：12008烟台红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起如图,则重叠四边形的面积为_______2.cm2.如图,将矩形纸ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH ＝3厘米,EF ＝4厘米,则边AD 的长是___________厘米.32007德州如图,四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF ．若6CD =,则AF 等于 A ．43B ．33C ．42D ．84.如图,矩形ABCD 的周长为20cm ,两条对角线相交于O 点,过点O 作AC 的垂线EF ,分别交AD BC ，于E F ，点,连结CE ,则CDE △的周长为 A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm5．把长为8cm,宽为2cm 的矩形按虚线对折,按图中的斜线剪出一个直角梯形,展开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为6cm2,则打开后梯形的周长是A ．)13210(+cmB ．)1310(+cmC ．22cmD ．18cm6将矩形ABCD 沿DE 折叠,使A 点落在BC 上的F 处,若∠EFB ＝60,则∠CFD ＝ A 、20 B 、30 C 、40 D 、507 2012南京市,6,2如图,在菱形纸片ABCD 中,∠A=600,将纸片折叠,点A 、D 分别落在点A`、D`处,且A`D`经过点B,EF 为折痕,当D`F⊥CD 时,DFCF的值为 A.213- B.63 C.6132- D.813+Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ ＤＡA O D EB F CH DE GFE A`D`DCBA82012,黔东南州,8如图,矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠,使点D 落在BC 上的F 处,已知AB=6,△ABF 的面积是24,则FC 等于A 、1B 、2C 、3D 、49、2012河北省9,3分如图4,在□ABCD 中,∠A=70°,将□ABCD 折叠,使点D,C 分别落在点F,E 处,点F,E 都在AB 所在的直线上,折痕为MN,则∠AMF 等于Ａ．70° Ｂ．40° Ｃ．30° Ｄ．20°10 2012贵州遵义,10,3分如图,矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE,延长BG 交CD 于F 点,若CF=1,FD=2,则BC 的长为A ．32B ．26C ．25D ．2311 2012湖北武汉,７,3分如图,矩形ABCD 中,点E 在边AB 上,将矩形ABCD 沿直线DE,点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE ＝5,BF ＝3,则CD 的长是 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10122012四川达州,14,3分将矩形纸片ABCD,按如图所示的方式折叠,点A 、点C 恰好落在对角线BD 上,得到菱形BEDF.若BC=6,则AB 的长为 .13 如图,直角梯形纸片ABCD ,AD ⊥AB ,AB =8,AD =CD =4, 点E 、F 分别在线段AB 、AD 上,将△AEF 沿EF 翻折,点 A 的落点记为P ．1当AE =5,P 落在线段CD 上时,PD = ；2当P 落在直角梯形ABCD 内部时,PD 的最小值等于 ．14如图,在直角梯形纸片ABCD 中,AB DC ∥,90A ∠=,CD AD >,将纸片沿过点D 的直线折叠,使点A 落在边CD 上的点E 处,折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．1求证：四边形ADEF 是正方形；2取线段AF 的中点G ,连接EG ,如果BG CD =,试说明四边形GBCE 是等腰梯形．当我被上帝造出来时,上帝问我想在人间当一个怎样的人,我不假思索的说,我要做一个伟大的世人皆知的人;于是,我降临在了人间;我出生在一个官僚知识分子之家,父亲在朝中做官,精读诗书,母亲知书答礼,温柔体贴,父母给我去了一个好听的名字：李清照;ECBDAG F小时侯,受父母影响的我饱读诗书,聪明伶俐,在朝中享有“神童”的称号;小时候的我天真活泼,才思敏捷,小河畔,花丛边撒满了我的诗我的笑,无可置疑,小时侯的我快乐无虑;“兴尽晚回舟,误入藕花深处;争渡,争渡,惊起一滩鸥鹭;”青春的我如同一只小鸟,自由自在,没有约束,少女纯净的心灵常在朝阳小,流水也被自然洗礼,纤细的手指拈一束花,轻抛入水,随波荡漾,发髻上沾着晶莹的露水,双脚任水流轻抚;身影轻飘而过,留下一阵清风;可是晚年的我却生活在一片黑暗之中,家庭的衰败,社会的改变,消磨着我那柔弱的心;我几乎对生活绝望,每天在痛苦中消磨时光,一切都好象是灰暗的;“寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚”这千古叠词句就是我当时心情的写照;最后,香消玉殒,我在痛苦和哀怨中凄凉的死去;在天堂里,我又见到了上帝;上帝问我过的怎么样,我摇摇头又点点头,我的一生有欢乐也有坎坷,有笑声也有泪水,有鼎盛也有衰落;我始终无法客观的评价我的一生;我原以为做一个着名的人,一生应该是被欢乐荣誉所包围,可我发现我错了;于是在下一轮回中,我选择做一个平凡的人;我来到人间,我是一个平凡的人,我既不着名也不出众,但我拥有一切的幸福：我有温馨的家,我有可亲可爱的同学和老师,我每天平凡而快乐的活着,这就够了;天儿蓝蓝风儿轻轻,暖和的春风带着春的气息吹进明亮的教室,我坐在教室的窗前,望着我拥有的一切,我甜甜的笑了;我拿起手中的笔,不禁想起曾经作诗的李清照,我虽然没有横溢的才华,但我还是拿起手中的笔,用最朴实的语言,写下了一时的感受：人生并不总是完美的,每个人都会有不如意的地方;这就需要我们静下心来阅读自己的人生,体会其中无尽的快乐和与众不同;“富不读书富不久,穷不读书终究穷;”为什么从古到今都那么看重有学识之人那是因为有学识之人可以为社会做出更大的贡献;那时因为读书能给人带来快乐;自从看了丑小鸭这篇童话之后,我变了,变得开朗起来,变得乐意同别人交往,变得自信了……因为我知道：即使现在我是只“丑小鸭”,但只要有自信,总有一天我会变成“白天鹅”的,而且会是一只世界上最美丽的“白天鹅”……我读完了这篇美丽的童话故事,深深被丑小鸭的自信和乐观所折服,并把故事讲给了外婆听,外婆也对童话带给我们的深刻道理而惊讶不已;还吵着闹着多看几本名着;于是我给外婆又买了几本名着故事,她起先自己读,读到不认识的字我就告诉她,如果这一面生字较多,我就读给她听整个一面;渐渐的,自己的语文阅读能力也提高了不少,与此同时我也发现一个人读书的乐趣远不及两个人读的乐趣大,而两个人读书的乐趣远不及全家一起读的乐趣大;于是,我便发展“业务”带动全家一起读书……现在,每每遇到好书大家也不分男女老少都一拥而上,争先恐后“抢书”,当我说起我最小应该让我的时候,却没有人搭理我;最后还把书给撕坏了,我生气地哭了,妈妈一边安慰我一边对外婆说：“孩子小,应该让着点;”外婆却不服气的说：“我这一把年纪的了,怎么没人让我呀”大家人你一言我一语,谁也不肯相让……读书让我明白了善恶美丑、悲欢离合,读一本好书,犹如同智者谈心、谈理想,教你辨别善恶,教你弘扬正义;读一本好书,如品一杯香茶,余香缭绕;读一本好书,能使人心灵得到净化;书是我的老师,把知识传递给了我；书是我的伙伴,跟我诉说心里话；书是一把钥匙,给我敞开了知识的大门；书更是一艘不会沉的船,引领我航行在人生的长河中;其实读书的真真乐趣也就在于此处,不是一个人闷头苦读书；也不是读到好处不与他人分享,独自品位；更不是一个人如痴如醉地沉浸在书的海洋中不能自拔;而是懂得与朋友,家人一起分享其中的乐趣;这才是读书真正之乐趣呢这所有的一切,不正是我从书中受到的教益吗我阅读,故我美丽；我思考,故我存在;我从内心深处真切地感到：我从读书中受到了教益;当看见有些同学宁可买玩具亦不肯买书时,我便想到培根所说的话：“世界上最庸俗的人是不读书的人,最吝啬的人是不买书的人,最可怜的人是与书无缘的人;”许许多多的作家、伟人都十分喜欢看书,例如毛泽东主席,他半边床上都是书,一读起书来便进入忘我的境界;书是我生活中的好朋友,是我人生道路上的航标,读书,读好书,是我无怨无悔的追求;。
中考专题--翻折圆特训(含详细解析)
翻折圆专题一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．72．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB ⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．33．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34C ．2+3D ．1+24．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．45．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235 D ．265 二．填空题6．如图，等腰⌒ABC 中，AC ＝BC ＝32．⌒ACB ＝120°，以AB 为直径在⌒ABC 另一侧作半圆，圆心为O ，点D 为半圆上的动点，将半圆沿AD 所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB 交点为F ，当弧AD 与BC 边相切时，AF 的长为 ．7．如图，AB 是⌒O 的弦，点C 在AB⌒ 上，点D 是AB 的中点．将AC ⌒ 沿AC 折叠后恰好经过点D ，若⌒O 的半径为52，AB ＝8．则AC 的长是 ．8．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为．⌒上一点，连接AD，交AB⌒于点C，9．如图，将⌒O的劣弧AB⌒沿AB翻折，D为优弧ADB连接BC、BD；若BC＝5，则BD＝．10．如图，将BC⌒沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝8，则BC的长是．11．已知：如图，在半径为8的⌒O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC⌒折叠后与AB相交于点D，如果AD＝3DB，那么AC的长为．12．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O 的半径为 ．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B ＝21，且AD ＝4，则AB ＝ ．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF 的长 ．16．如图，扇形OAB 的半径为4，⌒AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是弧AB 上的一动点．（1）当P 是OB 中点，且PQ ⌒OA 时（如图1），弧AQ 的长为 ；（2）将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点（如图2）．若OP ＝3，则O 到折痕PQ 的距离为 ．三．解答题17．如图，将弧AB⌒沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．（1）求证：BC＝BD；⌒＝120°，求弦AB的长和圆的半径．（2）若AC＝1，CD＝4，弧AB18．如图1和图2，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将BC⌒沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出⌒B的度数；（2）设CD交⌒O于点E，若CE平分⌒ACB，⌒求证：⌒BDE是等腰三角形；⌒求⌒BDE的面积；⌒沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的BD⌒的中点，（3）将图1中的BD直接写出⌒B的度数．19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O的距离是．⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．（4）如图2，设BDC20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB⌒，P是⌒上的一动点，连接PQ．半径OB上一动点，Q是AB（1）当⌒POQ＝度时，PQ有最大值，最大值为．⌒的长；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⌒OB于点P，求BQ（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．21．如图，AB为⌒O的直径，点C为⌒O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作⌒MPB＝⌒ADC．（1）判断PM与⌒O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝3，求四边形OCDB的面积．22．如图，AB为⌒O的直径，点C是⌒O上一点，CD是⌒O的切线，⌒CDB＝90°，BD交⌒O于点E．⌒＝CE⌒．（1）求证：AC（2）若AE＝12，BC＝10．⌒求AB的长；⌒如图2，将BC⌒沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为23．已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，求折痕EF的长；（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．24．如图，⌒O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．（1）如图⌒，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图⌒）⌒O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．25．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝2时，⌒求BF的长；⌒如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．翻折圆小专题 参考答案与试题解析一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．7【分析】求出⌒CDB 为等边三角形，求出BE 和DE 的长，求出AE ，再根据勾股定理求出AB 即可．【解答】解：过点O 作OF ⌒AB 于F ，过点B 作BE ⌒AC 于E ，连接OA 、OB 、BD 、BC ， ⌒OF ＝21OA ， ⌒⌒AOF ＝⌒BOF ＝60°， ⌒⌒ADB ＝⌒AOB ＝120°，⌒ACB ＝21⌒AOB ＝60°， ⌒⌒CDB ＝⌒ACB ＝60°， ⌒⌒CDB 为等边三角形， ⌒CD ＝2，⌒DE ＝1，BE ＝3， ⌒AB ＝22BE AE +＝()()22311++＝7，故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．2．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB ⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．3【分析】首先作出ACB⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接，O ′C ，OB ，由垂径定理，可求得OE 的长，即可求得OO ′的长，由切线的性质，利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：作出ACB ⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接O ′C ，OB ， ⌒OC 是⌒O ′的切线， ⌒O ′C ⌒OC ， ⌒BE ＝21AB ＝21×8＝4， ⌒OE ＝22BE OB -＝3， ⌒OO ′＝2OE ＝6，⌒OC ＝22C O O O '+'＝115622=-． 故选：A ．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34C ．2+3D ．1+2【分析】作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．首先证明CH 是⌒O 的直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形，再证明⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5即可解决问题；【解答】解：作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．根据对称性可知，ADB⌒ 所在圆的圆心在直线AH 上， ⌒AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ， ⌒AC ⌒AH ，⌒⌒CAH ＝90°，⌒CH 是⌒O 的直径，⌒⌒CBH ＝90°，⌒⌒ABD ＝⌒ABH ＝45°，⌒⌒AHC ＝⌒ABC ＝45°，⌒⌒ACH ＝⌒AHC ＝45°，⌒AC ＝AH ，⌒OC ＝OH ，⌒AD 垂直平分线段CH ，⌒DC ＝DH ，⌒⌒DCH ＝⌒DHC ，⌒BD ＝BH ，⌒⌒BDH ＝⌒BHD ＝45°，⌒⌒BDH ＝⌒DCH +⌒DHC ，⌒⌒DCH ＝22.5°，⌒⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5°，设BD ＝BH ＝a ，则CD ＝DH ＝2a ，⌒tan⌒ACB ＝tan⌒CHB ＝212+=+=aa a BH BC 故选：D ． 【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH 是直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形．4．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．4【分析】作AB 关于直线CB 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，若32=DB AD ，且AB ＝10， ⌒AD ＝4，BD ＝6，作AB 关于直线BC 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，可得A 、C 、A ′三点共线，⌒线段A ′B 与线段AB 关于直线BC 对称，⌒AB ＝A ′B ，⌒AC ＝A ′C ，AD ＝A ′D ′＝4，A ′B ＝AB ＝10．而A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，即A ′C •2A ′C ＝4×10＝40．则A ′C 2＝20，又⌒A ′C 2＝A ′B 2﹣CB 2，⌒20＝100﹣CB 2，⌒CB ＝45．故选：A ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．5．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235D ．265 【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⌒AB ，则AD ＝BD ＝21AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC⌒ ＝CD ⌒ ，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，⌒AD ＝BD ＝21AB ＝2， 在Rt⌒OBD 中，OD ＝()2225-＝1，⌒将弧BC⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OCF 中，CF ＝()2225-＝2，⌒CE ＝CF +EF ＝2+1＝3，而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3，⌒BC ＝32．故选：B ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．二．填空题6．如图，等腰⌒ABC 中，AC ＝BC ＝32．⌒ACB ＝120°，以AB 为直径在⌒ABC 另一侧作半圆，圆心为O ，点D 为半圆上的动点，将半圆沿AD 所在直线翻叠，翻折后的弧AD与直径AB 交点为F ，当弧AD 与BC 边相切时，AF 的长为【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⌒O于点E，设⌒O′与BC 相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′⌒BE，即⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M，在Rt⌒O′AM中，O′A＝3，⌒O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，⌒AC＝BC＝23．⌒ACB＝120°，⌒AB＝6，⌒O′A＝OA＝3，延长BC交⌒O于点E，⌒AB是⌒O的直径，⌒⌒E＝90°，设⌒O′与BC相切于点G，则⌒O′GB＝90°，⌒⌒E＝⌒O′GB，⌒AE⌒O′G，⌒⌒ABC＝30°，AB＝6，⌒AE＝O′G＝3，⌒四边形O′AEG为平行四边形，⌒AO′⌒BE，⌒⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M⌒O′A＝3，⌒O′AB＝30°，⌒AM＝MF＝233，⌒AF＝2AM＝33．故答案为：33．【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．7．如图，AB 是⌒O 的弦，点C 在AB⌒ 上，点D 是AB 的中点．将AC ⌒ 沿AC 折叠后恰好经过点D ，若⌒O 的半径为52，AB ＝8．则AC【分析】如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．首先证明⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，推出⌒BOC ＝90°，推出BC ＝210，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt⌒BCH 中，根据CH 2+BH 2＝BC 2，构建方程求出x 即可解决问题；【解答】解：如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．⌒AD ＝DB ，⌒OD ⌒AB ， ⌒⌒ADO ＝90°，⌒OA ＝25，AD ＝DB ＝4，⌒OD ＝22AD OA ＝2，⌒BE 是直径，⌒⌒BAE ＝90°，⌒AD ＝DB ，EO ＝OB ， ⌒OD ⌒AE ，AE ＝2OD ＝4，⌒AE ＝AD ，⌒AD⌒ ＝AE ⌒ ， ⌒EC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，⌒⌒BOC ＝2⌒CAB ＝90°，⌒BC ＝2OC ＝210，⌒CH ⌒AB ，⌒⌒CAH ＝⌒ACH ＝45°，⌒AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt⌒BCH 中，⌒CH 2+BH 2＝BC 2，⌒x 2+（8﹣x ）2＝（210）2，⌒x ＝6或2（舍弃），在Rt⌒ACH 中，⌒AC ＝22CH AH ，⌒AC ＝62．故答案为62．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．属于中考填空题中的压轴题．8．一张半径为R 的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O 为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2【分析】如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心，连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，先利用ED ：DF ＝3：2计算出DF ＝52•2R ＝54R ，则OD ＝51R ，再在Rt⌒O ′OD 中利用勾股定理计算出O ′＝526R ，则OC ＝21O ′O ＝1026R ，然后在Rt⌒AOC 中根据勾股定理可计算出AC ＝1074R ，再利用垂径定理可得AB ＝2AC ＝574R ． 【解答】解：如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心， 连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，⌒ED ：DF ＝3：2，⌒DF ＝52•2R ＝54R ， ⌒OD ＝51R ， 在Rt⌒O ′OD 中，OO ′＝2251R R +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝526R ， ⌒OC ＝21O ′O ＝1026R ， 在Rt⌒AOC ，AC ＝22526⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ＝1074R ， ⌒OC ⌒AB ，⌒AC ＝BC ，⌒AB ＝2AC ＝574R ． 即折痕长为574R ．故答案为574R ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．9．如图，将⌒O 的劣弧AB⌒ 沿AB 翻折，D 为优弧ADB ⌒ 上一点，连接AD ，交AB ⌒ 于点C ，连接BC 、BD ；若BC ＝5，则BD ＝ 5 ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到⌒ADB ＝⌒BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，⌒ADB 所对的弧是劣弧AB⌒ ， ⌒CAB 所对的弧是劣弧BC⌒ ，⌒CBA 所对的弧是劣弧AC ⌒ ， ⌒⌒ADB ＝⌒CAB +⌒CBA ，由三角形的外角的性质可知，⌒BCD ＝⌒CAB +⌒CBA ，⌒⌒ADB ＝⌒BCD ，⌒BD ＝BC ＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10．如图，将BC⌒ 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝8，则BC 的长是【分析】根据折叠的性质可得BC⌒ ＝BDC ⌒ ，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，从而得到⌒BAC ＝⌒ADC ，根据等角对等边可得AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ＝DE ＝21AD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：⌒弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，⌒BC⌒ ＝BDC ⌒ ， ⌒⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，在⌒BCD 中，⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，⌒⌒BAC ＝⌒ADC ，⌒AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，则AE ＝DE ＝21AD ＝21×4＝2， ⌒BE ＝BD +DE ＝8+2＝10，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAE ＝180°﹣90°＝90°，⌒⌒CAE ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°， ⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BE CE CE AE ，⌒CE ＝52102=⨯=•BE AE在Rt⌒BCE 中，BC ＝()30210522222=+=+BE CE 故答案为：2302．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出AC ＝CD ．11．已知：如图，在半径为8的⌒O 中，AB 为直径，以弦AC （非直径）为对称轴将AC⌒ 折叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC【分析】根据翻折变换的性质和圆周角定理可得⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，根据三角形的外角的性质可得⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，从而得到⌒ABC ＝⌒BDC ，根据等角对等边可得BC ＝CD ，过点C 作CE ⌒BD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE ＝DE ＝21BD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接CD 、CB ，作CE ⌒AB 于E ，⌒弧AC 沿弦AC 折叠交直径AB 于点D ，⌒⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，在⌒BCD 中，⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，⌒⌒ABC ＝⌒BDC ，⌒BC ＝CD ，又CE ⌒AB ，⌒BE ＝DE ＝21BD ， ⌒AD ＝3DB ，AD +BD ＝16，⌒BD ＝4，AD ＝12，⌒AE ＝AD +DE ＝12+2＝14，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAD ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝90°，⌒⌒CAD ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°，⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BECE CE AE = ⌒CE ＝27，⌒AC ＝14422=+CE AE故答案为：144．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ．【分析】过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交AB⌒ 于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，由圆周角定理得出AC ⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ，得出AC ＝CD ＝DE ，证出CM ＝EM ，延长CM ＝41BC ，证出DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ，设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，得出AD ＝2AF ，由三角函数得出AD ＝2AB •sin 2α，因此41AB ＝2AB •sin 2α，求出sinα＝42，由勾股定理和三角函数得出cosα＝AB BC ＝414，即可得出结果． 【解答】解：过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：AC⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ， ⌒AC ＝CD ＝DE ，⌒CM ＝EM ，⌒E 是BC 的中点，⌒CM ＝41BC ， ⌒AB 是半圆O 的直径，⌒AC ⌒BC ，⌒DM ⌒BC ，⌒DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ， 设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，⌒AC ＝CD ，⌒AD ＝2AF ，⌒AF ＝AC •sinα，AC ＝AB •sinα，⌒AD ＝2AB •sin 2α，4⌒sinα＝42，即AB AC ＝42， ⌒AB ＝22AC ，BC ＝22AC AB ＝7AC ， ⌒cosα＝AB BC ＝414， ⌒BC ：AB ＝414； 故答案为：414．【点评】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，求出cosα是解决问题的关键．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，首先证明AC ＝CD ，推出AE ＝DE ＝1，再证明四边形OFED 是正方形即可解决问题．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，2沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ =CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，⌒BE ＝3，EC ＝22BE BC -＝3，⌒EC ＝EB ，⌒⌒ECB ＝⌒EBC ＝45°，⌒OC ＝OB ，⌒⌒OCB ＝⌒OBC ，⌒⌒OCE ＝⌒OBD ，⌒⌒OFC ＝⌒ODB ＝90°，OC ＝OB ，⌒⌒OCF ⌒⌒OBD （AAS ），⌒OF ＝OD ，可得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OBD 中，OB ＝22BD OD +=5【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B ＝21，且AD ＝4，则AB ＝ 10 ．【分析】作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ，由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，列出方程解决．【解答】解：作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′． ⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝⌒BCA ′＝90°，⌒A 、C 、A ′共线，根据对称性可知：AD ＝A ′D ＝4，⌒tan⌒ABC ＝21=BC AC ，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ， 由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，⌒a •2a ＝45a ，⌒a ＝25．AB ＝525•＝10．故答案为10．【点评】本题考查翻折变换、相交弦定理，解题的关键是作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，转化为相交弦定理解决问题．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF【分析】设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ，根据相交圆的性质就可以得出O ′O 与EF 互相垂直平分，由勾股定理就可以求出OO ′和EM 的值，从而得出结论．【解答】解：设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ， ⌒O ′O 与EF 互相垂直平分．⌒OM ＝21OO ′，EF ＝2EM ． ⌒AB ＝4，⌒OA ＝OB ＝OE ＝2．⌒AD ：DB ＝3：1，⌒DB ＝41AB ＝1， ⌒OD ＝1⌒O ′O ＝522='+D O OD⌒OM ＝25 ⌒EM ＝21122=-OM OE ⌒EF ＝2EM ＝11，即折痕EF 的长为11． 故答案为：11．【点评】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的运用，勾股定理的运用，垂直平分线的性质的运用，解答时求出根据相交圆的性质求解是关键．16．如图，扇形OAB 的半径为4，⌒AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是弧AB 上的一动点．（1）当P 是OB 中点，且PQ ⌒OA 时（如图1），弧AQ π ； （2）将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点（如图2）．若OP ＝3，则O 到折痕PQ ．【分析】（1）要想求弧长，就得求AQ⌒ 所对的圆心角的度数，所以要连接OQ ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出⌒1＝30°，再利用平行线截得内错角相等得出⌒2的度数，代入弧长公式计算即可．（2）先找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，证明四边形OCO ′B 是矩形，由勾股定理求O ′B ，从而求出OO ′的长，则OM ＝21OO ′＝6． 【解答】解：（1）如图1，连接OQ ，⌒扇形OAB 的半径为4且P 是OB 中点，⌒OP ＝2，OQ ＝4，⌒PQ ⌒OA ，⌒⌒BPQ ＝⌒AOB ＝90°，⌒⌒1＝30°，⌒⌒2＝⌒1＝30°，由弧AQ 的长＝180430⨯⨯π＝π32， 故答案为：π32；（2）如图2，找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，ON ，则OM ＝O ′M ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝3，点O ′是B'Q⌒ 所在圆的圆心， ⌒O ′C ＝OB ＝4，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点，⌒O ′C ⌒AO ，⌒O ′C ⌒OB ，⌒⌒POO '＝⌒CO 'M ＝⌒PO 'M ，⌒⌒PMO '＝⌒QMO '＝90°，⌒⌒O 'PM ＝⌒MNO '，⌒O 'P ＝O 'N ＝OP ＝3，⌒四边形OPO 'N 是平行四边形，⌒O 'P ＝ON ，⌒O 与O '对称，⌒ON ＝O 'N ＝3，⌒BP ＝CN ＝4﹣3＝1，⌒PN ⌒OO '，⌒⌒MNO '＝⌒MNO ，⌒⌒BPO '＝⌒CNO ，⌒⌒O 'BP ⌒⌒OCN （SAS ），⌒⌒O 'BP ＝⌒OCN ＝90°，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝2213-＝22，在Rt⌒OBO ′中，OO ′＝()22224-＝26， ⌒OM ＝21OO ′＝21×26＝6， 即O 到折痕PQ 的距离为6，故答案为：6．【点评】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l ＝180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．三．解答题17．如图，将弧AB⌒ 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC ＝BD ；（2）若AC ＝1，CD ＝4，弧AB⌒ ＝120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．由翻折不变性可知：BC ＝BC ′，⌒CAB ＝⌒BAC ′，⌒BD⌒ ＝BC'⌒ ， ⌒BD ＝BC ′，⌒BC ＝BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．⌒弧AB⌒ ＝120°， ⌒⌒D ＝21×120°＝60°， ⌒⌒AOB ＝⌒ACB ＝2⌒D ＝120°，⌒BC ＝BD ，⌒⌒BCD 是等边三角形，⌒BC ＝DC ＝4，在Rt⌒ACH 中，⌒⌒H ＝90°，⌒ACH ＝60°，AC ＝1， ⌒CH ＝21，AH ＝23， ⌒AB ＝2129232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+BH AH ⌒OM ⌒AB ， ⌒AM ＝BM ＝221， 在Rt⌒AOM 中，⌒⌒OAM ＝30°，⌒AMO ＝90°， ⌒OA ＝︒30cos AM＝7【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．如图1和图2，AB 是⌒O 的直径，AB ＝10，C 是⌒O 上的一点，将BC ⌒ 沿弦BC 翻折，交AB 于点D ．（1）若点D 与圆心O 重合，直接写出⌒B 的度数； （2）设CD 交⌒O 于点E ，若CE 平分⌒ACB ， ⌒求证：⌒BDE 是等腰三角形； ⌒求⌒BDE 的面积；（3）将图1中的BD ⌒ 沿直径AB 翻折，得到图2，若点F 恰好是翻折后的BD ⌒ 的中点，直接写出⌒B 的度数．【分析】（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，然后证明AC⌒＝CD⌒ ＝BD ⌒ ，则可得到AC ⌒ 的弧度，从而可求得⌒B 的度数； （2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由等弧所对的圆周角相等可得到⌒CEB ＝⌒E ′，依据圆内接四边形的性质可得到E ′＝⌒BDE ，故此可证明⌒CEB ＝⌒BDE ；⌒连接OE ．先证明⌒BOE 为直角，依据勾股定理可求得BE 的长，从而得到BD 的长，最后依据⌒DBE 的面积＝21BD •OE 求解即可； （3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC ⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⌒B 的度数．【解答】解：（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆．⌒AC⌒ 与CD ⌒ 所对的角均为⌒CBA ，⌒O 与⌒O ′为等圆， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒CD ＝BC ， ⌒CD⌒ ＝BD ⌒ ． 又⌒CDB⌒ ＝CO'B ⌒ ， ⌒AC⌒ ＝31ACB ⌒ ， ⌒⌒ADC ＝31×180°＝60°． ⌒⌒B ＝30°．（2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由翻折的性质可知：CFB ⌒ ＝CDB ⌒ ， ⌒⌒CEB ＝⌒E ′．⌒四边形CDBE ′是圆内接四边形， ⌒⌒E ′＝⌒BDE ． ⌒⌒CEB ＝⌒BDE ． ⌒BE ＝BD ．⌒⌒BDE 为等腰三角形． ⌒如图2所示：连接OE ． ⌒AB 是⌒O 的直径， ⌒⌒ACB ＝90°．⌒CE 是⌒ACB 的角平分线， ⌒⌒BCE ＝45°． ⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝2522=+OB OE ． ⌒BD ＝52． ⌒⌒DBE 的面积＝21BD •OE ＝21×52×5＝2225．（3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．⌒⌒O 与⌒O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⌒ABC ， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 同理：DF⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒F 是劣弧BD 的中点， ⌒DF⌒ ＝BF ⌒ ． ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ． ⌒弧AC 的度数＝180°÷4＝45°． ⌒⌒B ＝21×45°＝22.5°． 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．19．如图1，AB 是⌒O 的直径，AB ＝10，C 是⌒O 上的一点，将弧BC 沿弦BC 翻折，交AB 于点D ，连接CD 并延长，交⌒O 于点E ，连接BE ． （1）当AD ＝2时，BE 的长是 8 ．（2）当点D 位于线段OA 上时（不与点A 重合），设⌒ABC ＝a ，则a 的取值范围是 0＜a ≤30° ．（3）当⌒ABC ＝15°时，点D 和点O（4）如图2，设BCD⌒ 所在圆的圆心是O ′，当BE 与⌒O ′相切时，求BE 的长．【分析】（1）由折叠的性质以及圆周角定理的推理可知AC ⌒ ＝CD ⌒ ，从而可知AC ＝DC ，根据等腰三角形的性质可知：⌒CAD ＝⌒CDA ，然后再证明⌒BDE ＝⌒BED ，可推出BE ＝BD ，最后根据BE ＝AB ﹣AD 求解即可；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°；当点D与点O重合时，可证得⌒AOC为等边三角形，从而可知⌒ABC＝30°，进而可确定出a的取值范围；（3）如图2所示：过点C作CF⌒AB，垂足为F，连接OC，先征得⌒COF＝30°，在Rt⌒CFO中，根据特殊锐角三角函数值，可求得OF＝235，然后根据等腰三角形三线合一可知AF＝DF，从而可求得AD的长，最后根据DO＝OA﹣AD求解即可．（4）如图3，作⌒O'的直径BF，连接FD、OE．由切线的性质可知⌒FBD+⌒DBE＝90°，根据直径所对的圆周角等于90度可知：⌒FDB＝90°，从而可证得⌒DBE＝⌒DFB，根据同弧所对的圆周角相等可知：⌒DFB＝⌒DCB，⌒DBE＝⌒ACE，从而可得到⌒DBE＝⌒DFB ＝⌒DCB＝⌒ACE＝45°，进而可证明⌒OBE为等腰直角三角形，然后可求得BE的长．【解答】解：（1）⌒⌒ABC＝⌒DBC，⌒AC⌒＝CD⌒．⌒AC＝DC．⌒⌒CAD＝⌒CDA⌒⌒CAD＝⌒DEB，⌒CDA＝⌒BDE，⌒⌒BDE＝⌒BED．⌒BE＝BD．⌒BE＝AB﹣AD＝10﹣2＝8；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°，如图1，当点D与点O重合时．则DC＝DA．由（1）可知：AC＝DC，又⌒DC＝AD，⌒AC＝DC＝AD．⌒⌒ADC＝60°．⌒⌒ABC＝30°．⌒0°＜α≤30°（3）如图2所示：过点C 作CF ⌒AB ，垂足为F ，连接OC ．⌒⌒ABC ＝15°， ⌒⌒COF ＝30°．在Rt⌒CFO 中，cos⌒COF ＝23OC OF ⌒OF ＝235． ⌒AC ＝DC ，CF ⌒AD ， ⌒AF ＝DF ．⌒AD ＝2AF ＝2（OA ﹣OF ）＝2（5﹣235）＝10﹣53． ⌒OD ＝OA ﹣AD ＝5﹣（10﹣53）＝53﹣5； （4）如图3，作⌒O '的直径BF ，连接FD 、OE ．⌒BE 与⌒O '相切， ⌒BE ⌒BF ．⌒⌒FBD +DBE ＝90°． ⌒BF 是⌒O '的直径， ⌒⌒FDB ＝90°．⌒⌒FBD +⌒DFB ＝90°． ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ．⌒⌒DFB ＝⌒DCB ，⌒DBE ＝⌒ACE ， ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ． ⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ＝45°． ⌒OB ＝OE ，⌒ABE ＝45°， ⌒⌒OEB ＝45°． ⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝22OB OE ＝52．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理以及圆周角定理的推理、等腰三角形的性质和判断、特殊锐角三角函数，以及等边三角形的性质和判定，证得⌒ACD 为等腰三角形和⌒OBE 为等腰直角三角形是解答本题的关键． 20．如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为AB ⌒ ，P 是半径OB 上一动点，Q 是AB⌒ 上的一动点，连接PQ ．（1）当⌒POQ ＝ 90 度时，PQ （2）如图2，若P 是OB 中点，且QP ⌒OB 于点P ，求BQ⌒ 的长； （3）如图3，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B ′恰好落在AO 的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．【分析】（1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；（2）先判断出⌒POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt⌒B 'OP 中，OP 2+（102﹣10）2＝（10﹣OP ）2，解得OP ＝102﹣10，最后用面积的和差即可得出结论．（4）先找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，证明四边形OCO ′B 是矩形，由勾股定理求O ′B ，从而求出OO ′的长，进而得出OP ． 【解答】解：（1）⌒P 是半径OB 上一动点，Q 是AB ⌒ 上的一动点， ⌒当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合， 此时，⌒POQ ＝90°，PQ ＝22OB OA +=102， 故答案为：90，102；（2）如图2，连接OQ ， ⌒点P 是OB 的中点， ⌒OP ＝21OB ＝21OQ ． ⌒QP ⌒OB ， ⌒⌒OPQ ＝90°在Rt⌒OPQ 中，cos⌒QOP ＝21=OQ OP ， ⌒⌒QOP ＝60°，⌒l BQ ⌒=ππ3101801060=⨯ ；（3）由折叠的性质可得，BP ＝B 'P ，AB '＝AB ＝102， 在Rt⌒B 'OP 中，OP 2+（102﹣10）2＝（10﹣OP ）2 解得OP ＝102，S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S ⌒AOP ＝()100210025102101021210360902+-=-⨯⨯-⨯ππ． （4）找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，如图4， 则OP ＝O ′P ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝6，点O ′是B'Q ⌒ 所在圆的圆心， ⌒O ′C ＝OB ＝10，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点， ⌒O ′C ⌒AO ， ⌒O ′C ⌒OB ，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝524622=-， 在Rt⌒OBO ′，OO ′＝()302521022=+，⌒OP ＝21OO ′＝21×230＝30， 即O 到折痕PQ 的距离为30，【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．21．如图，AB 为⌒O 的直径，点C 为⌒O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC ，CD ，BD ，过点C 的切线与线段BA 的延长线交于点P ，连接AD ，在PB 的另一侧作⌒MPB ＝⌒ADC ． （1）判断PM 与⌒O 的位置关系，并说明理由； （2）若PC ＝3，求四边形OCDB 的面积．【分析】（1）连接DO 并延长交PM 于E ，如图，利用折叠的性质得OC ＝DC ，BO ＝BD ，。
中考复习专题折叠压轴题(无答案)
中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。
折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。
折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。
典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°A3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度。
中考数学专题之各种图形翻折提高集
C DBAE Oxy中考数学专题之各种图形翻折提高集（附答案） 一、 提高培养综合题1 ：（★★★★★）（2019广州中考.25．）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E 。
（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该 重叠部分的面积；若改变，请说明理由。
【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．【答案】（1）由题意得B （3，1）。
若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤32，如图25-a ，图DExyCB AO此时E （2b ，0）∴S ＝12OE ·CO ＝12×2b ×1＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即32＜b ＜52，如图2此时E （3，32b -），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )＝ 3－[12(2b －1)×1＋12×(5－2b )·(52b -)＋12×3(32b -)]＝252b b - ∴2312535222b b S b b b ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。
2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题
2022年中考数学复习专题---图形的变换（平移、翻折、旋转）综合题班级：___________姓名：___________学号：___________1．综合与实践 问题情境：综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题． 动手操作：已知：三角形纸片ABC 中，6120AB AC BC BAC ==∠=︒，，.将三角形纸片ABC 按如下步骤进行操作： 第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，然后展开铺平，折痕分别交BC AC ，于点D E ，，连接AD ，易知AD CD =．第二步：在图1的基础上，将三角形纸片ABC 沿AD 剪开，得到ABD ∆和ACD ∆.保持ABD ∆的位置不变，将ACD ∆绕点D 逆时针旋转得到FDG ∆(点F G ，分别是A C ，的对应点)，旋转角为()0360αα︒<<︒问题解决：（1）如图2，小彬画出了旋转角0120α︒<<︒时的图形，设线段FG AC ，交于点P ，连接AG DP ，.小彬发现DP 所在直线始终垂直平分线段AG .请证明这一结论；（2）如图3，小颖画出了旋转角90α=︒时的图形，设直线AF 与直线CG 相交于点O ，连接CF 判断此时COF ∆的形状，说明理由；（3）在ACD ∆绕点D 逆时针旋转过程中，当FG BC ⊥时，请直接写出B F ，两点间的距离．2．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D 在边BC 上，过D 作DE ⊥AB 于E ． （1）连接AD ，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，判断△CEF 的形状，并说明理由（2）若．把△BED 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=3．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，30AB ABD =∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ． 实验探究：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现AEDF=_________． 将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，连接,AE DF ，如图2所示，发现AEDF=_________． （2）小亮同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，连接,AE DF ，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立?并说明理由． 拓展延伸：（3）在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，AE 的长为____________．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上． （1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点,F E ，使OF=2OA ，OE 2OD =，连接EF ，将FOE ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α得到F OE ''∆，连接,AE BF ''（如图2）．（1）探究AE '与BF '的数量关系，并给予证明； （2）当30α=︒时，求证：AOE '为直角三角形．6．如图，在△ABC 中，AB =∠B =45°，∠C =60°． （1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．7．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ， 连结AM 、BD ．（1）AM与BD的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．9．如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．(3)已知线段AB＝BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．10．我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：（1）如图1，点A 的坐标为（-5，1），将点A 绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点A '，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点A '，求k 的值．（2）将（1）中的(0)ky x x =>的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x 轴相交于点B ，若直线x =C 与点D ，求△BCD 的面积． （3）在（2）的情况下，半径为6的M 的圆心M 在x 轴上，如图3，若要使△BCD 完全在M 的内部，求M 的圆心M 横坐标xm 的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．11．对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90︒后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ；①若点P 的坐标为(2,0)，则点Q 的坐标为________； ②若点Q 的坐标为(2,1)-，则点P 的坐标为________； （2）如图2，已知点C 的坐标为(1,0)，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标；（3）如图3，已知图形G 是端点为(1,0)和(0,2)-的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点(0,)T t ，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．12．如图，正比例函数y ＝12x 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点A ，将正比例函数y ＝12x 向上平移6个单位，交y 轴于点C ，交反比例函数图象于点B ，已知AO ＝2BC ． （1）求反比例函数解析式；（2）作直线AB ，将直线AB 向下平移p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求p 的值．13．综合与实践：问题情境：（1）如图，点E 是正方形ABCD 边CD 上的一点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①线段BE 和BF 的数量关系是______．②写出线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系．并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边CD 所在直线上的－点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①如图，点E 在线段DC 上时，请探究线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若2==，直接写出线段FM和AGDE DC a的长度．14．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα翻折问题姓名：___________班级：___________学号：___________1．如图将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ． （1）求证：EFC DAF ∠=∠；（2）若3tan 4AE EFC =∠=，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2,AD 是BC 边上的中线，将A 点翻折与点D 重合，得到折痕EF ，求:CE AE 的值.3．如图，点A ，M ，N 在O 上，将MN 沿MN 折叠后，与AM 交于点B ．（1）若70MAN ∠=︒，则ANB ∠=________°； （2）如图1，点B 恰好是翻折所得MN 的中点， ①若MA MN =，求AMN ∠的度数；②若tan MAN ∠=tan AMN ∠的值； （3）如图2，若222AB BN MN +=，求MBAB的值．4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ，沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；（2）连接DF ，若65≤DF ，求m 的取值范围．5．如图1，一张矩形纸ABCD ，ABa AD=，点,E F 分别在边,CD AB 上，且AE EF =，把ADE 沿AE 翻折得到AGE ．（1）如图1，若1AD =．（Ⅰ）当AD DE =时，AFE ∠=_____度； （Ⅱ）当//AG EF 时，求AF 的长度．（2）若直线EG 与边AB 交于点H ，当2AH FH =时，求a 的最小值．6．如图，在折纸游戏中，正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ． （1）求证：45EBF ∠=︒．（2）如图，过点P 作//MN BC ，交BF 于点Q ． ①若5BM =，且10MP PN ⋅=，求正方形折纸的面积． ②若12QP BC =，求AM BM的值．7．如图，在ABC 中，12,120AC BC ACB ==∠=︒，点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △．（1）如图1，若45CDB ∠=︒，求等边CDE △的边长；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G ． ①求证：CFDF ．②如图3，将CFD 沿CF 翻折得CFD '，连接BD '，求出BD '的最小值．8．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =E 从B 点运动到C 点的过程中． ①AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ②点B '的运动路径长为．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．9．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．①求证：'//BE CE ；②若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．10．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值． （2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．11．【基础巩固】（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△．【尝试应用】（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AE AF的值． 【拓展提高】（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．12．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AB CE =．（1）如图1，将ABD △沿AD 翻折到AFD ，AF 交CE 于点G ，探索线段AB 、AG 、CG 之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，H 为直线BC 上任意一点，连接AH ，将AH 绕点A 逆时针旋转60°到AH '，连接CH '，若BD =，求CH '的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，12BC AB =，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ，沿GF 将四边形AFGD 翻折至四边形EFGP ，点E 落在BC 上，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O（1）GF 与AE 之间的位置关系是：______，GF AE 的值是：______，请证明你的结论；（2）连接CP ，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长14．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP ∆，形成如下四种情形，设DP x =，ADP ∆和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP ∆后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？15．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）； （3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当时，求AE的值．（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．。
中考数学中的折叠问题专题复习
中考数学中的折叠问题专题复习1 / 6 中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
和证明。
2、能力训练目标：、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想 1、巧设情景，设疑引入、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD,展开纸片；展开纸片；再次折叠该三角形纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。
小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B重合，点C 落在点C '处， 折痕为EF ，如果∠ABE ＝20°，则∠EFC'＝（ ）A. 125°A. 125°B. 80°C. 75°C. 75°D. 无法确定无法确定 评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
中考一轮复习 数学专题15 图形的旋转、翻折(对称)与平移(学生版)
专题15 图形的旋转、翻折（对称）与平移一、单选题1．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ） A ．()3,1 B ．()1,1- C ．()1,3 D ．()1,1-2．（2022·广西）如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（ ）A ．（3，-3）B ．（3，3）C ．（－1，1）D ．（－1，3）3．（2020·山东菏泽）在平面直角坐标系中，将点()3,2P -向右平移3个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A ．()0,2-B ．()0,2C ．()6,2-D ．()6,2--4．（2020·四川自贡）在平面直角坐标系中，将点()2,1向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A ．(),-11 B ．(),51 C ．(),24 D ．(),-225．（2021·四川雅安）如图，将ABC 沿BC 边向右平移得到DEF ，DE 交AC 于点G ．若:3:1BC EC =．16ADG S =△．则CEG S △的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．（2021·浙江丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (−1，b )，(1，b )，(2，b )，(3.5，b )，平移y 轴右侧的一盏灯笼，使得y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）A ．将B 向左平移4.5个单位B ．将C 向左平移4个单位 C ．将D 向左平移5.5个单位 D ．将C 向左平移3.5个单位7．（2022·四川南充）如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ''△，点B '恰好落在CA 的延长线上，3090∠=︒∠=︒，B C ，则BAC '∠为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．308．（2022·山东青岛）如图，将ABC 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180︒，得到A B C '''，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(2,3)--C ．(1,3)--D ．(3,1)--9．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到EDC △，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若BCD α∠=，则EFC ∠的度数是（用含α的代数式表示）（ ）A ．1902α︒+B ．1902α︒-C ．31802α︒-D ．32α 10．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 在y 轴上，点C 的坐标为（0，1），AC ＝2，Rt△ODE 是Rt△ABC 经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）* 本号资料皆来源于微信：数学A ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位11．（2022·黑龙江绥化）如图，线段OA 在平面直角坐标系内，A 点坐标为()2,5，线段OA 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()5,2C ．()2,5-D ．()5,2-12．（2021·四川广安）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE ，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒13．（2020·湖北黄石）在平面直角坐标系中，点G 的坐标是()2,1-，连接OG ，将线段OG 绕原点O 旋转180︒，得到对应线段OG '，则点G '的坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1C ．()1,2-D ．()2,1--14．（2020·四川攀枝花）如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．2πB ．34πC ．πD ．3π15．（2022·天津）如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB AN = B ．AB NC ∥ C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥16．（2022·江苏扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：△AFE DFC △△；△DA 平分BDE ∠；△CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△17．（2021·黑龙江牡丹江）如图，△AOB 中，OA ＝4，OB ＝6，AB ＝，将△AOB 绕原点O 旋转90°，则旋转后点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．（4，2）或（﹣4，2）B ．（4）或（﹣4） C ．（﹣2）或（2） D ．（2，﹣2，18．（2021·广东广州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到A B C '''，使点C '落在AB 边上，连结BB '，则sin BB C ''∠的值为（ ）A ．35B ．45CD 19．（2021·河南）如图，OABC 的顶点(0,0)O ，(1,2)A ，点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ．将ODA 绕点O 顺时针旋转得到OD A ''△，当点D 的对应点D 落在OA 上时，D A ''的延长线恰好经过点C ，则点C 的坐标为（ ）A ．0)B ．C ．1,0)D ．1,0)20．（2020·海南）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．21．（2020·山东菏泽）如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则BED ∠等于（ ）A ．2α B ．23α C ．α D ．180α︒-22．（2020·山东聊城）如图，在Rt ABC △中，2AB =，30C ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转得到Rt A B C '''∆，使点B 的对应点B '落在AC 上，在B C ''上取点D ，使2B D '=，那么点D 到BC 的距离等于（ ）．A ．21⎫+⎪⎪⎝⎭B 1C 1D 123．（2020·山东枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(1,2-+B ．()C ．(2+D ．(- 二、填空题 24．（2022·山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A ，B 的坐标分别是()0,2A ，()2,1B -．平移ABC 得到A B C '''，若点A 的对应点A '的坐标为()1,0-，则点B 的对应点B '的坐标是_____________．25．（2021·辽宁鞍山）如图，△ABC 沿BC 所在直线向右平移得到△DEF ，若EC ＝2，BF ＝8，则BE ＝___．26．（2021·湖南湘潭）在平面直角坐标系中，把点()2,1A -向右平移5个单位得到点A '，则点A '的坐标为____． 27．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，2OA =，点B 在第一象限．标记点B 的位置后，将AOB 沿x 轴正方向平移至111AO B 的位置，使11A O 经过点B ，再标记点1B 的位置，继续平移至222A O B △的位置，使22A O 经过点1B ，此时点2B 的坐标为__________．28．（2021·湖南怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知(2,1)A -，(1,4)B -，(1,1)C -，将ABC 先向右平移3个单位长度得到111A B C △，再绕1C 顺时针方向旋转90︒得到221A B C △，则2A 的坐标是____________．29．（2022·山东潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO 绕原点O 逆时针旋转75︒，再沿y 轴方向向上平移1个单位长度，则点B ''的坐标为___________．30．（2020·江苏镇江）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．31．（2020·广东广州）如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．32．（2020·湖南湘西）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为___________．33．（2022·湖南永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A 为网格线的交点.若线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后，端点A 的坐标变为______．34．（2021·湖北随州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）35．（2020·广西）以原点为中心，把()3,4M 逆时针旋转90°得到点N ，则点N 的坐标为______． 36．（2022·广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B 到x 轴的距离为4，若将OAB 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OA B ''△，则点B '的坐标为__________．37．（2022·湖北随州）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则△BHD 的度数为______，DH 的长为______． 本@号资料皆来源于微信*：数学38．（2021·四川巴中）如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ．若BQ ：AQ ＝3：1，则AM ＝__________．9(0)0αα︒<<︒得到AB C ''△，连接BB '，CC '，则CAC '△与BAB '△的面积之比等于_______．40．（2020·四川眉山）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C △的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．41．（2020·山东烟台）如图，已知点A (2，0)，B (0，4)，C (2，4)，D (6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．42．（2020·甘肃天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．三、解答题43．（2022·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）．(1)将△ABC 向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △﹔(2)以边AC 的中点O 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向旋转180°，得到222A B C △，请画出222A B C △．44．（2022·黑龙江牡丹江）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 与△DEF 关于点O 成中心对称，△ABC 与△DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O 的位置；（2）将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1； （3）在网格中画出格点M ，使A 1M 平分△B 1A 1C 145．（2021·黑龙江哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC ∆的顶点和线段DE 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将ABC ∆向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到MNP ∆；（点A 的对应点是点M ，点B 的对应点是点N ，点C 的对应点是点P ），请画出MNP ∆；（2）在方格纸中画出以DE 为斜边的等腰直角三角形DEF （点F 在小正方形的顶点上）．连接FP ，请直接写出线段FP 的长．46．（2021·安徽）图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90︒得到221A B C △，画出221A B C △．47．（2022·湖南）如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度）中，AOB ∆的顶点坐标分别为(3,0)A ，(0,0)O ，(3,4)B ．(1)将AOB ∆沿x 轴向左平移5个单位，画出平移后的△111AO B （不写作法，但要标出顶点字母）； (2)将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△222A O B （不写作法，但要标出顶点字母）； (3)在（2）的条件下，求点B 绕点O 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留)π．48．（2022·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标； (3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．49．（2020·四川巴中）如图所示，ABC 在边长为1cm 的小正方形组成的网格中．（1）将ABC 沿y 轴正方向向上平移5个单位长度后，得到111A B C △，请作出111A B C △，并求出11A B 的长度； （2）再将111A B C △绕坐标原点O 顺时针旋转180°，得到222A B C △，请作出222A B C △，并直接写出点2B 的坐标； （3）在（1）（2）的条件下，求线段AB 在变换过程中扫过图形的面积和．50．（2022·江苏常州）如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．(1)按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为______；(2)在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．51．（2021·黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点坐标分别为()()()1,3,4,3,00,0A B --．（1）画出ABO 关于x 轴对称的11A B O ，并写出点1A 的坐标；（2）画出ABO 绕点O 顺时针旋转90︒后得到的22A B O ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点2A 所经过的路径长（结果保留π）．52．（2021·青海西宁）如图，正比例函数12y x =与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点A ，AB x ⊥轴于点B ，延长AB 至点C ，连接OC ．若2cos 3BOC ∠=，3OC =．（1）求OB的长和反比例函数的解析式；（2）将AOB绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．53．（2021·江苏淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为；*本号资料皆来源于微信：数学第*六感（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的15．54．（2021·辽宁阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于 y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．55．（2021·贵州毕节）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ． （1）求证：BD CE =，BD CE ⊥；（2）如图2．连接AF ，DC ，已知135BDC ∠=︒，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．56．（2021·内蒙古通辽）已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形OM OA ⎫<<⎪⎪⎝⎭，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =； （2）将MON △绕点O 顺时针旋转．△如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；△当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．57．（2021·湖南衡阳）如图，点E 为正方形ABCD 外一点，90AEB =︒∠，将Rt ABE △绕A 点逆时针方向旋转90︒得到,ADF DF 的延长线交BE 于H 点．（1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知7,13BH BC ==，求DH 的长．58．（2021·北京）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明； （2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．59．（2021·浙江嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<≤︒，得到矩形'''AB C D[探究1]如图1，当90α=︒时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．60．（2021·四川阿坝）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，点D 落在线段AB 上，连接BE ．（1）求证：DC 平分ADE ∠；（2）试判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由：（3）若BE BD =，求tan ABC ∠的值．61．（2020·湖南邵阳）已知：如图△，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图△，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．△AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）△求证：AF DM ⊥；△若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED 的值．（可不写过程，直接写出结果）62．（2020·江苏常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt△ABC △Rt△CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． △请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；△如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．63．（2020·福建）如图，ADE ∆由ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求BDE ∠的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠=∠CDF DAC ．△判断DF 和PF 的数量关系，并证明；△求证：=EP PC PF CF．64．（2020·甘肃金昌）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ∠=︒，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE △．（1）求证：AEM △△ANM ．（2）若3BM =，2DN =，求正方形ABCD 的边长．。
中考数学几何问题综合专题复习6.翻折问题
7.翻折问题1.在ABC 中，AB AC ＝，60BAC ∠︒＜，D 为BC 延长线上一点，E 为ACD ∠内部一点，且90ABE ECD ∠∠︒＋＝．（1）若60ABE ∠︒＝，如图1，直接写出AC BE 、间的数量关系：___________； （2）若45ABE ∠︒＝，如图2，求证：BE ；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA 沿BE 翻折，翻折后的点A 落在点M 处，且MC BC ⊥，连接EM ，交BC 的延长线于N ，若2CN ＝，求AN 的长．解析：（1）AC BE ＝提示：作AF BC ⊥于F ，BG CE ⊥交EC 延长线于G∵AB AC ＝， ∴12BF FC BC ＝＝∵9060ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝ ∴30ECD ∠︒＝，∴30BCG ∠︒＝∴1602CBG BG BC ∠︒＝，＝∴ABF EBG BF BG ∠∠＝，＝∴RtABF Rt EBG ≌，∴AB BE ＝ ∴AC BE ＝（2）作AF BC ⊥于F ，BG CE ⊥交EC 延长线于G∵AB AC ＝， ∴12BF FC BC ＝＝ ∵9045ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝ ∴45ECD ∠︒＝， ∴45BCG ∠︒＝∴45CBG ∠︒＝， 2BG BC ＝ ∴ABF EBG ∠∠＝， ∴Rt ABF Rt EBG ∽∴BE BGAB BD==∴BE∴BE（3）作AF BC ⊥于F ，MH BE ⊥于H则90ABF BAF ∠∠︒＋＝，12BF FC BC ＝＝ 由题意，45MBE ABE AB BM ∠∠︒＝＝，＝ ∴90ABM ∠︒＝，∴90ABF MBC ∠∠︒＋＝ ∴BAF MBC ∠∠＝ ∵MC BC ⊥， ∴90BCM AFB ∠∠︒＝＝ ∴ABF BMC ≌，∴2AF BC BF BF MC ＝＝，＝ ∴2BC MC ＝ 由（2）知，BE ，∴BE∵45MBH ∠︒＝，∴45BMH ∠︒＝，212BH MH BM BE ＝＝＝ ∴BH EH MH ＝＝，∴45MEH EMH ∠∠︒＝＝ ∴90BME ∠︒＝，∴Rt BMC Rt MNC ∽ ∴24MC CN ＝＝， ∴468FC FN AF ＝，＝，＝∴10AN ==2.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，翻折C ∠，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E F 、分别在边AC BC 、上） （1）若CEF 与ABC 相似．①当2AC BC ==时，求AD 的长； ②当34AC BC ==，时，求AD 的长；（2）当点D 是AB 的中点时，CEF 与ABC 相似吗？请说明理由．解析：（1）若CEF 与ABC 相似．①当2AC BC ==时，ABC 为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D 为AB 边中点，2AD AC ==． ②当34AC BC ==，时，有两种情况： （I ）若34CE CF =：：，如答图2所示．∵CE CFAC BC =：：，∴EF BC ∥．由折叠性质可知，CD EF ⊥，∴CD AB ⊥，即此时CD 为AB 边上的高． 在Rt ABC 中，34AC BC ==，， ∴5AB =，∴3cos 5AC A AB ==．3•cos 3 1.85AD AC A ==⨯=；（II ）若34CF CE =：：，如答图3所示．∵CEF CAB ∽， ∴CEF B ∠=∠．由折叠性质可知，90CEF ECD ∠+∠=︒， 又∵90A B ∠+∠=︒， ∴A ECD ∠=∠， ∴AD CD =．同理可得：B FCD CD BD ∠=∠=，，∴此时115 2.522ADAB ==⨯=． 综上所述，当34AC BC ==，时，AD 的长为1.8或2.5．（2）当点D 是AB 的中点时，CEF 与ABC 相似．理由如下：如答图3所示，连接CD ，与EF 交于点Q ．∵CD 是Rt ABC 的中线， ∴CD DB AB ==， ∴DCB B ∠=∠． 由折叠性质可知，90CQFDQF ∠=∠=︒，∴90DCB CFE ∠+∠=︒， ∵90B A ∠+∠=︒， ∴CFE A ∠=∠， 又∵C C ∠=∠，∴CEF CBA ∽．3.在矩形ABCD 中，ABa AD=，点G H ，分别在边AB DC ，上，且HA HG ＝．点E 为AB 边上的一个动点，连接HE ，把AHE 沿直线HE 翻折得到FHE ． （1）如图1，当DH DA ＝时， ①填空：HGA ∠＝___________度；②若EF HG ∥，求AHE ∠的度数，并求此时a 的最小值；（2）如图3，602AEH EG BG ∠︒＝，＝，连接FG ，交边DC 于点P ，且F G A B⊥，G 为垂足，求a 的值．解析：（1）①45︒②分两种情况：第一种情况（如图1）45HAG HGA ∠∠︒＝＝， ∴180454590AHG ∠︒︒︒︒＝－－＝由折叠可知：45HAE F AHE FHE ∠∠︒∠∠＝＝，＝又∵EF HG ∥，∴45FHG F ∠∠︒＝＝∴904545AHF AHG FHG ∠∠∠︒︒︒＝－＝－＝即45AHE FHE ∠∠︒＋＝，∴22.5AHE ∠︒＝此时，当B 与G 重合时，a 的值最小，最小值是2 第二种情况（如图2）∵EF HG ∥，∴45HGA FEA ∠∠︒＝＝ 即45AEH FEH ∠∠︒＋＝ 由折叠可知：AEH FEH ∠∠＝， ∴22.5AEH FEH ∠∠︒＝＝ ∵EF HG ∥，∴22.5GHE FEH ∠∠︒＝＝ ∴9022.5112.5AHE ∠︒︒︒＝＋＝ 此时，当B 与E 重合时，a 的值最小设DH DA x ＝＝，则AH GH ＝在RtAHG 中，90AHG ∠︒＝，∴2AG x ＝∵AEH FEH GHE FEH ∠∠∠∠＝，＝， ∴AEH GHE ∠∠＝∴GH GE ＝，∴2AB AE x ＝＝22AB x a AD x+===+ （2）过点H 作HQ 交AB 于Q ，则90AQH GQH ∠∠︒＝＝在矩形ABCD 中，90D DAQ ∠∠︒＝＝ ∴90D DAQ AQH ∠∠∠︒＝＝＝ ∴四边形DAQH 为矩形， ∴AD HQ ＝设AD x GB y ＝，＝，则2HQ x EG y ＝，＝ 由折叠可知：60AEH FEH ∠∠︒＝＝ ∴180606060FEG ∠︒︒︒︒＝－－＝ 在RtEFG 中，·cos604EG EF EF y ︒＝，＝在RtHQE 中，tan 603HO EQ x =︒＝∴23QG QE EG x y +＝＋＝∵HAHG HQ AB ⊥＝，，∴23AQ GQ x y +＝＝∴23AE AQ QE x y +＝＋＝ 由折叠可知：AE EF ＝∴243x y y +=，∴3y x ＝∴2223AB AQ GB x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭＝＋＝∴AB a AD =＝4.如图，ABC 为等边三角形，D 为ABC 内一点，且120ADB ∠︒＝，把ADB 沿BD 翻折，点A 落在点E 处，连接CE ． （1）求证：BD CE AD ＋＝；（2）连接CD ，若87AD CD ＝，＝，求CE 的长．解析：（1）将ABD 绕点A 逆时针旋转60︒得ACF ，连接DF 、CF EF 、则ADF 是等边三角形， ∴60AD DF ADF AFD ∠∠︒＝，＝＝∵120ADB ∠︒＝，∴180ADB ADF ∠∠︒＋＝∴B D F 、、三点在同一直线上 ∵120AFC ADB ∠∠︒＝＝，∴60DFC ∠︒＝ 由题意，60EDF ADF DE AD ∠∠︒＝＝，＝ ∴DE DF ＝，∴DEF 是等边三角形∴60EF DE AD DFE ∠︒＝＝，＝ ∴E C F 、、三点在同一直线上 ∴BD CE CF CE EF AD ＋＝＋＝＝ （2）过C 作CG DE ⊥于G ∵DEF 是等边三角形，∴60DEF ∠︒＝设CE x ＝，则12GE x ＝， 2CG x ＝，182DG x ＝－ 在Rt CDG中，22218722x x ⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得1235x x ＝，＝∴CE 的长为3或55.已知矩形ABCD 的一条边8AD ＝，将矩形ABCD 折叠，使顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP OP OA 、、．①求证：OCP PDA ∽；②若OCP 与PDA 的面积比为1:4，求边AB 的长； （2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求OAB ∠的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P A 、不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM ＝，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问当点M N 、在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．解析：（1）①∵四边形ABCD 是矩形，∴90C D ∠∠︒＝＝∴90APD DAP ∠∠︒＋＝∵AOP 是由ABO 沿AO 折叠， ∴90APO B ∠∠︒＝＝ ∴90APD CPO ∠∠︒＋＝ ∵DAP CPO ∠∠＝， ∴OCP PDA ∽ ②∵OCP PDA ∽，OCP PDA 与的面积比为1:4∴214OCP PDA S CP S AD ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， ∴12CP AD = ∵8AD ＝， ∴4CP ＝ 设AB x ＝，则4DP x ＝－在Rt PDA 中，222AP AD DP ＝＋ ∴222(8)4xx ＝＋－，∴10x ＝即边AB 的长为10（2）∵折叠后AOB 与AOP 重合， ∴AP AB ＝，OAB OAP ∠∠＝ ∵AB CD ＝， ∴AP CD ＝∵P 是CD 的中点，∴ 12DP AP ＝∵90D ∠︒＝， ∴30PAD ∠︒＝又OAB OAP ∠∠＝， ∴30OAB ∠︒＝（3）线段EF 的长度不变作MH BN ∥交PB 于点H∵AP AB ＝， ∴APB ABP ∠∠＝ ∴MHP ABP MHF NBF ∠∠∠∠＝，＝ ∴MHP APB ∠∠＝， ∴MP MH ＝ ∵MP BN ＝， ∴BN MH ＝ ∵NFB MFH ∠∠＝， ∴NBF MHF ≌ ∴FH FB ＝∵EF EH FH ＝＋，∴12EF EP FB PB ＝＋＝由（1）得：108AB AD ＝，＝， ∴6DP ＝ ∴4PC ＝，∴PB ＝，∴EF ＝6.如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ，且2AEC ABE ∠∠＝．连接BF AC 、． （1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）在图1中，若点M 是BF 上一点，沿AM 折叠ABM ，使点B 恰好落在线段DF上的点 B '处（如图2），1312A BA C ＝，＝，求MF 的长．解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB DF ∥∴ABE FCE BAE CFE ∠∠∠∠＝，＝ ∵E 是BC 的中点，∴BE CE ＝ ∴AEB FEC ≌，∴AB FC ＝ ∴四边形ABFC 是平行四边形 ∴22AF AE BC BE ＝，＝∵2AEC ABE AEC ABE BAE ∠∠∠∠∠＝，＝＋ ∴ABE BAE ∠∠＝， ∴AE BE ＝， ∴AF BC ＝∴四边形ABFC 是矩形（2）∵四边形ABFC 是矩形，1312AB AC ＝，＝ ∴131290CF AB BF AC ACF MFB ∠∠'︒＝＝，＝＝，＝＝ ∵AB M '是由ABM 折叠得到的 ∴13AB AB B ''＝＝，在Rt AB C '中，5B C ='=∴B F CF B C ''＝－＝ 设MF x ＝，则12B M BM x '＝＝－ 在RtB MF '中，222B F MF B M''＋＝即222(812)x x ＋＝－，解得103x ＝∴103MF ＝.7.在直角梯形ABCD 中，90AD BC B ∠︒∥，＝，60C ∠︒＝，AD CD ＝，点E 在射线BC 上，将ABE 沿AE 翻折，点B 落到点F 处，射线EF 与射线CD 交于点M ．（1）如图1，当点M 在CD 边上时，求证：3FM DM AB －＝.（2）如图2，当点E 在BC 边的延长线上时，线段FM DM AB 、、的数量关系是：_______________；（3）在（2）的条件下，过A 点作AG CM ⊥，垂足为点G ，设直线BG 与直线AM 交于点N ，若61AD FM ＝，＝，求GN 的长．解析：（1）过A 作AG CD ⊥，交CD 的延长线于G ，连接AM AC 、∵AD BC ∥， ∴ACB DAC ∠∠＝∵AD CD ＝， ∴ACD DAC ∠∠＝ ∴ACB ACD ∠∠＝， ∴AB AG ＝ ∵AB AF ＝， ∴AF AG ＝又90AM AM AFM G ∠∠︒＝，＝＝ ∴AMF AMG ≌， ∴FM GM ＝∴FM DM DG －＝ ∵60ADG BCD ∠∠︒＝＝，∴33DG AG AB =＝∴3FM DM AB －＝（2）3DMFM AB -=提示：过A 作AG CM ⊥于G ，连接AM AC 、同（1）可证：AB AG AF FM GM ＝＝，＝∵DM GM DG －＝，33DG AG AB =＝∴3DMFM AB -=（3）连接AC ，作MH BC ⊥于H ，DK BC ⊥于K∵6160AD FM BCD ∠︒＝，＝，＝∴63CD KC ＝，＝，AB DK ＝＝，9BC ＝∵3DMFM AB -=，∴143DM ⨯+=＝∴105CM HC ＝，＝，MH ＝，4BH ＝设BE x ＝，则14FE x ME x HE x --＝，＝，＝∵222MHHE ME ＋＝，2224()(1)x x ＋－＝－解得15x ＝， ∴156BE CE ＝，＝ ∵60BCG ∠︒＝， ∴120ECG ∠︒＝30120ACB ACD BAG ∠∠︒∠︒＝＝，＝ ∵AMF AMG ≌， ∴MAF MAG ∠∠＝∴12MAE GAC EAC MAG BAF EAC ∠∠∠∠∠-∠＝－＋＝60BAE EAC BAC ∠∠∠︒＝－＝＝ 又60GAC ∠︒＝， ∴GAN CAE ∠∠＝ ∵120AB AG BAG ∠︒＝，＝， ∴30ABG ∠︒＝ ∴150AGN ACE ∠︒∠＝＝， ∴AGN ACE ∽∵12AG AC ＝， ∴ 123GN CE ＝＝8.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC DC 、于点E F 、，连结EF ．（1）猜想BE EF DF 、、三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A 作AMEF ⊥于点M ，请直接．．写出AM 和AB 的数量关系； （3）如图2，将R t A B C 沿斜边AC 翻折得到Rt ADC ，E F 、分别是BC CD 、边上的点，12EAF BAD ∠∠＝，连接EF ，过点A 作AM EF ⊥于点M ．试猜想AM 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想．答案：见解析解析：（1）猜想：BE DF EF ＋＝证明：延长CB 到G ，使BG DF ＝，连接AG∵四边形ABCD 是正方形 ∴90AB AD ABC D ∠∠︒＝，＝＝ ∴90ABG ∠︒＝，∴ABG D ∠∠＝ ∴ABG ADF ≌ ∴AG AF GAB FAD ∠∠＝，＝∵45904545EAF FAD BAE BAD EAF ∠︒∠∠∠∠︒︒︒＝，＋＝－＝－＝ ∴45GAE GAB BAE ∠∠∠︒＝＋＝ ∴GAE EAF ∠∠＝又∵AG AF AE AE ＝，＝， ∴AEG AEF ≌ ∴EG EF ＝ 即BE DF EF ＋＝（2）AM AB ＝（3）猜想：AM AB ＝证明：延长CB 到G ，使BG DF ＝，连接AG∵Rt ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt ADC∴90AB AD ABC D ∠∠︒＝，＝＝ ∴90ABG ∠︒＝， ∴ABG D ∠∠＝ ∴ABG ADF ≌ ∴AG AF GAB FAD ∠∠＝，＝ ∵12EAF BAD ∠∠＝， ∴12FAD BAE BAD ∠∠∠＋＝∴12GAE GAB BAE FAD BAE BAD ∠∠∠∠∠∠＝＋＝＋＝ ∴GAE EAF ∠∠＝又∵AG AF AE AE ＝，＝， ∴AEG AEF ≌∴EG EF ＝，AEGAEFSS＝∴11··22EG AB EF AM ＝ ∴AM AB ＝9.（1）如图1，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ．求证：BF DF ＝； （2）若矩形纸片ABCD 中，410AB BC ＝，＝，将矩形ABCD 沿过B 点的直线折叠，使点C D ，落在点E G ，处，折痕交线段AD （不含端点）于点H ，线段BE 交直线AD 于点F ．图2是该矩形折叠后的一种情况．请探究并解决以下问题： ①当BEH 为直角三角形时，求DH 的长；②当110DH ≤＜时，求tan BEH ∠的取值范围．解析：（1）由题意，12∠∠＝ ∵AD BC ∥， ∴13∠∠＝ ∴23∠∠＝， ∴BF DF ＝ （2）①∵H 不与端点A D ，重合 ∴9090BEH EBH ∠︒∠︒＜，＜∴当BEH 为直角三角形时，只能90BHE ∠︒＝ 连接CH∵BC BE CBH EBH BH BH ∠∠＝，＝，＝ ∴BCH BEH ≌ ∴90BHC BHE ∠∠︒＝＝ ∴DHC ABH ∽， ∴DH ABDC AH=即4410DH DH=-，解得2DH ＝或8DH ＝ ∴当BEH 为直角三角形时，DH 的长为2或8②∵BE HG ∥，∴BEH EHG ∠∠＝∴4tan tan EG BEH EHG GH GH∠∠=＝＝ ∵110DH ≤＜，∴tan 4BEH∠≤0.4＜10.已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP OP OA 、、． ①图中COP ∠=∠___ ②若OCP 与PDA 的面积比为14：，求边AB 的长为_____； （2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求OAB ∠的度数为_____度；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P A 、不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BNPM =，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问当点M N 、在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度． 解析：（1）如图1， ①∵四边形ABCD 是矩形，90AD BC DC AB DAB B C D ∴==∠=∠=∠=∠=︒，，．由折叠可得：AP AB PO BO PAO BAO APO B ==∠=∠∠=∠，，．．90APO ∴∠=︒．90APD CPO POC ∴∠=︒-∠=∠． D C APD POC ∠=∠∠=∠，． OCP PDA ∴∽．②OCP 与PDA 的面积比为14：，12OC OP CP PD PA DA ∴==== 222PD OC PA OP DA CP ∴===，，．848AD CP BC =∴==，，．设OP x =，则8OB x CO x ==-，．在RtPCO 中，9048C CP OP x CO x ∠=︒===-，，，，22284x x ∴=-+（）．解得：5x =．210AB AP OP ∴===．∴边AB 的长为10．（2）如图1，P 是CD 边的中点，12DP DC ∴=．DC AB AB AP ==，，12DP AP ∴=． 90D ∠=︒，12DP sin DAP AP ∴∠==． 30DAP ∴∠=︒．9030DAB PAO BAO DAP ∠=︒∠=∠∠=︒，，，30OAB ∴∠=︒． OAB ∴∠的度数为30︒．（3）作MQ AN ∥，交PB 于点Q ，如图2．AP AB MQ AN =，∥，APB ABP ABP MQP ∴∠=∠∠=∠，． APB MQP ∴∠=∠．MP MQ ∴=．MP MQ =，ME PQ ⊥，12PE EQ PQ ∴==． BN PM MP MQ ==，， BN QM∴=．MQ AN ∥，QMF BNF ∴∠=∠．在MFQ 和NFB 中，QMF BNF QFM BFN QM BN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩． MFQ NFB ∴≌． QF BF ∴=．12QF QB ∴=．111222EF EQ QF PQ QB PB ∴=+=+=．由（1）中的结论可得：4890PC BC C ==∠=︒，，．PB ∴==12EF PB ∴== ∴在（1）的条件下，当点M N 、在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为11.问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ． 当12CE CD =时，求AMBN的值为_____．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =则AMBN的值等于______；（注：若答案不是整数，请化为小数）；若14CE CD =则AMBN的值等于______；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于____．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 设11(1),,AB CE m BC m CD n =>=则AMBN的值等于______．（用含方法指导：为了求得AM BN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2,m n 的式子表示）解析：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE 、、由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴,BM EM BN EN ==∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,2A D CAB BC CD DA ∠=∠=∠=︒====∵1,12CE CE DE CD =∴==设BN x =,则,NE x =2NC x =-在RtCNE 中，222NE CN CE =+．∴222(2)1x x =-+解得54x =，即54BN =在RtABM 和在Rt DEM 中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，2222AM AB DM DE ∴+=+设AM y =则2DM y =-∴22222(2y)1y+=-+解得14y=即14AM = 15AM BN ∴=方法二：同方法一，54BN=如图（1－2），过点N 做//NG CD 交AD 于点G ，连接BE∵AD BC ∥∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==∵,90MNBE EBC BNM ⊥∴∠+∠=︒,90,NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=︒∴∠=∠在BCE 与NGM 中90EBC MNG BC NGC NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴,.BCE NGM EC MG =≌∵51,1.44AM AG MG AM =-=-=∴1.5AM BN =类比归纳25（或410）；917；()2211n n -+联系拓广2222211n m n n m -++12.ABC 中，60AB AC BAC ∠︒＝，＜，D 为BC 延长线上一点，E 为ACD ∠内部一点，且90ABE ECD ∠∠︒＋＝．（1）若60ABE ∠︒＝，如图1，直接写出AC BE 、间的数量关系：AC =______BE ； （2）若45ABE ∠︒＝，如图2，求证：BE ；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA 沿BE 翻折，翻折后的点A 落在点M 处，且MC BC ⊥，连接EM ，交BC 的延长线于N ，若2CN ＝，求AN 的长为______．解析：（1）AC BE ＝提示：作AF BC ⊥于F BG CE ⊥，交EC 延长线于G12AB AC BF FC BC ∴＝，＝＝9060ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝3030ECD BCG ∴∠︒∴∠︒＝，＝1602CBG BG BC ∴∠︒＝，＝ABF EBG BF BG ∴∠∠＝，＝ Rt Rt ABF EBG AB BE ∴∴≌，＝∴AC ＝BE （2）作AFBC ⊥于F BG CE ⊥，交EC 延长线于G12AB AC BF FC BC ∴＝，＝＝9045ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝4545ECD BCG ∴∠︒∴∠︒＝，＝452CBG BG BC ∴∠︒＝，＝Rt Rt ABF EBG ABF EBG ∴∠∠∴＝，∽BE BGBE AB BD==∴=BE ∴（3）作AF BC ⊥于F MH BE ⊥，于H则1902ABF BAF BF FC BC ∠∠︒＋＝，＝＝由题意，45MBE ABE AB BM ∠∠︒＝＝，＝9090ABM ABF MBC ∴∠︒∴∠∠︒＝，＋＝BAF MBC ∴∠∠＝ 90MC BC BCM AFB ⊥∴∠∠︒，＝＝ 2ABF BMC AF BC BF BF MC ∴∴≌，＝＝，＝ 2BC MC ∴＝由（2）知，BE ，BE ∴1454522MBH BMH BH MH BM BE ∠︒∴∠︒＝，＝，＝＝＝ 45BH EH MH MEH EMH ∴∴∠∠︒＝＝，＝＝ 90Rt Rt BME BMC MNC ∴∠︒∴＝，∽12NC MC MC BC ∴==, 248NC MC BC =∴==，， 68FN AF ∴==，10AN ∴===13.如图1，四边形ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为B '．（1）求CB F ∠'的度数为______度；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB '，试判断B AE ∠'与 GCB ∠'的大小关系，并说明理由；（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB 与DC 重合，折痕为MN ，再把这个正方形展平，设EF 和MN 相交于点O ；第二步：沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为B '；再沿直线AH 折叠，使D 点落在EF 上，对应点为D '；第三步：设CG AH ，分别与MN 相交于点P Q ，，连接B P PD D Q '''，，，QB '． 试判断四边形B PD Q ''的形状为______，并证明你的结论．解析：（1）如图1，由对折可知，1902EFC CF CD ∠︒＝，＝∵四边形ABCD 为正方形，12CD CB CF CB ∴∴＝，＝又由折叠可知，12CB CB CF CB '∴'＝，＝ ∴在RtB FC '中，1sin `2CF CB F CB ∠'＝＝ 30CB F ∴∠''︒＝解法二：如图1，连接B D ＇，．（2）B AE GCB ∠'∠'＝理由如下：如图2，连接B D '由对折知，EF 垂直平分CD B C B D ∴''，＝ 由折叠知，B C BC '＝∵四边形ABCD 为正方形，BC CD ∴＝ B C CD B D B CD ∴''∴'＝＝，为等边三角形 60CDB ∴∠'︒＝∵四边形ABCD 为正方形 9030CDA DAB B DA ∴∠∠︒∴∠'︒＝＝，＝ DB DA DAB DB A '∴∠'∠'＝，＝1(180)752DB A B DA ∴∠'︒∠'︒＝－＝907515B AE DAB DAB ∴∠'∠∠'︒︒︒＝－＝－＝ 由（1）知30CB F ∠'︒＝ //30EF BC B CB CB F ∴∠'∠'︒，＝＝由折叠知，11301522GCB B CB ∠'∠'⨯︒︒＝＝＝ B AE GCB ∴∠'∠'＝（3）四边形B PD Q ''为正方形 如图3，连接AB '由（2）知，B AE GCB ∠'∠'＝ 由折叠知，GCB PCN B AE PCN ∠'∠∴∠'∠＝，＝ 由对折知，119022AEB CNP AE AB CN BC ∠'∠︒=＝＝，＝， 又∵四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴＝AE CN AEB CNP ∴∴'＝，≌EB NP ∴'＝同理可得，FD MQ '＝ 由对称性可知，EB FD ''＝EB NP FD MQ ∴''＝＝＝由两次对折可知，OE ON OF OM ＝＝＝OB OP OD OQ ∴''＝＝＝，∴四边形B PD Q ''为矩形由对折知，MNEF ⊥于点 O PQ B D ∴⊥''，于点O ∴四边形B PD Q ''为正方形14.如图，在Rt ABC 中，9045C AC BC D∠︒＝，＝，＝，是BC 边上一点，3CD ＝，P 是AC 边上一动点（不与A C 、重合），过点P 作PE BC ∥交AD 于点E ． （1）设AP x DE y ＝，＝，求y 关于x 的函数关系式； （2）以PE 为半径的E 与以DB 为半径的D 能否相切？若能，求tan DPE ∠的值；若不能，请说明理由； （3）将ABD 沿直线AD 翻折，得到AB D '，连接EC B C '、，当A C EBC B ∠∠'＝时，求AP 的长．解析：（1）在Rt ACD 中，435AC CD AD ∴＝，＝，＝//PE BC ，∴AP AE AC AD =，即545x y-= 55044y x x ∴＝-＋（＜＜）（2）对于34E E r EP x ，＝＝；对于2D D r DB ，＝＝；圆心距554ED x ＝-＋当两圆外切时，E D r r ED ＋＝，∴352544x x ＋＝-＋解得3522x PC ∴＝，＝ //PE BC DPE PDC ∴∠∠，＝5tan tan 6PC DPE PDC CD ∴∠∠＝＝＝ 当两圆内切时，||E Dr r ED －＝，35|2|544x x ∴－＝－＋解得72x ＝或6x ＝（舍去），12PC ∴＝1tan tan 6PC DPE PDC CD ∴∠∠=＝＝（3）延长AD 交 BB '于F ，则AF 垂直平分BB '在RtBDF 中，2BD ＝，4sin sin 5AC BDF ADC AD ∠∠=＝＝85BF ∴＝，165BB '＝ ADC BDF CAD DBF ∠∠∴∠∠＝，＝当 ACE BCB ∠∠'＝时，CAE CBB '∽AC BCAE BB ∴='，即451655y =-，64525y ∴-＝ ∴56455425x -+=-，解得256125x ＝15.如图①，把矩形纸片ABCD 沿EF GH 、同时折叠，B C 、两点恰好落在AD边的P 点处，已知9086FPH PF PH ∠︒＝，＝，＝． （1）求图①中矩形ABCD 的边BC 的长为______； （2）求图①中四边形EFHG 的面积为______；（3）如图②，点M 是直线EF 上的动点，点N 是直线GH上的动点，连接A M MN ND ''、、，求A M MN ND ''＋＋的最小值为______．答案：24；57.6；24解析：（1）由题意，86BF PF CH PH ＝＝，＝＝90FPH ∠︒＝，10FH ∴==（2）连接BE CG 、AD BC PEF ∴∠，PFE BFE ∠∠＝8PE PF ∴＝＝ 同理，PG PH ＝＝EG PE ∴＝由题意，A M MN ND AM MN ND AD ''≤＋＋＝＋＋当点M N 、都落在线段AD 上时， A M MN ND ''＋＋取得最小值 即等于线段AD 的长A M MN ND ∴''＋＋的最小值为2416.如图1，在梯形ABCD中，9021A B C D B A B C D ∠=︒==∥，，，，BC m P ＝，为线段BC 上的一动点，且和B C 、不重合，连接PA ，过P 作PE PA⊥交CD 所在直线于E ．设BP x CE y ＝，＝． （1）求y 与x 的函数关系式（2）若点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段．．CD 上，求m 的取值范围 （3）如图2，若4m ＝，将PEC 沿PE 翻折至PEG 位置，90BAG ∠=︒，求BP长为______.解析：（1）9090AB CD B B C ∠=︒∴∠=∠=︒，， 90APB BAP ∴∠∠=︒＋ 90PE PA APE ⊥∴∠=︒， 90APB CPE BAP CPE ∴∠∠=︒∴∠∠＋，＝ 在ABP 和PCE 中，90B C BAP CPE ∠∠=︒∠∠＝，＝ABP PCE ∴∽，AB BPPC CE∴=BC m BP x PC m x ∴-＝，＝，＝2xm x y∴=-，2122m y x x ∴=-+y ∴与x 的函数关系式为21022my x x x m =-+（＜＜） （2）22211()22228m m m y x x x =-+=--+∴当2m x =时，28m y =最大∵点E 总在线段CD 上，218m ∴≤m ∴≤0m ∴≤＜（3）连接CG ，过P 作PH AG ⊥于H由翻折可知4CG PE PG PC x ⊥-，＝＝//PE PA CG PA ⊥∴，90B BAG ∠=∠=︒， AG PC ∴∥∴四边形APCG 为平行四边形 4AG PC x ∴-＝＝90B BAG AHP ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABPH 为矩形242AH BP x PH AB HG x ∴====∴=-，，在Rt PHG 中，222PH HG PG ＋＝ 2222(42)(4)x x ∴＋－＝－，解得12223x x ＝，＝2BP ∴＝或2317.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，0680A C （，），（，）．（1）如图1，D 是OC 的中点，将AOD 沿AD 翻折后得到AED ，AE 的延长线交BC 于F ，求点F 的坐标为_____.（2）如图2，点M N 、分别是线段AB OB 、上的动点，2ON MB ＝，如果以M N B 、、三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M N B 、、三点不在同一条直线上），求点M 的坐标为______．解析：（1）连接DF由题意，90AED AOD ∴∠∠︒＝＝90DEF DEF DCF ∴∠︒∴∠∠＝，＝ D 是OC 的中点，OD DC ∴＝ OD DE DE DC ∴＝，＝ 又DF DF DEF DCF ∴＝，≌ 90EDF CDF ADF ∴∠∠∴∠︒＝，＝ AOD ADF ∴∠∠＝ 又OAD DAF AOD ADF ∠∠∴＝，∽AO AD AD AF ∴=，2AD AF AO∴＝0680A C （，），（，），D 是OC 的中点2226844652AO BC AB OC OD AD ∴＝＝，＝＝，＝，＝＋＝522663AF ∴==，103BF == 108633FC BC BF ∴--=＝＝883F ∴（，）（2）6810BC OC OB ∴=＝，＝，设BM x ＝①当点B 为圆心时，则BM BN ＝1021023ON MB x x x ∴-∴＝，＝，＝1014833AM ∴-=＝ 1463M ∴（，） ②当点M 为圆心时，则MB MN ＝ 过N 作NG AB ⊥于G则BGN BAO ∽，GN BG BNAO BA BO ∴==1026810GN BG x-∴==36(102)655GN x x ∴=--＝，48(102)855BG x x =--＝8138855GM x x x =--=-2221368655x x x ⎛⎫⎛⎫∴=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得15x ＝（舍去），2259x ＝2547899AM ∴=-=4769M ∴（，） ③当点N 为圆心时，则MN BN ＝12BG BM ∴=，81852x x ∴-=解得8021x=808882121AM ∴-=＝ 88621M ∴（，）综上所述，M点坐标为1447886663921M（，），（，），（，）41 / 41。
初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之翻折
第30讲几何三大变换之翻折翻折的性质（轴对称的性质）如图，将△ABC 沿着DE 翻折，使得点A 落在BC 的点F 处结论有：①ADE FDE ∆≅∆（即AD =DF ，AE =EF ，∠A =∠DFE ，∠ADE =∠FDE ，∠AED =∠FED ）②DE 垂直平分AF函数的对称变换①一次函数y kx b=+关于x 轴对称后的解析式：y kx b=--关于y 轴对称后的解析式：y kx b=-+②二次函数2y ax bx c=++关于x 轴对称后的解析式：2y ax bx c=---关于y 轴对称后的解析式：2y ax bx c=-+【例题讲解】例题1.如图，ABC ∆中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC ∠的度数是______解：如图，连接OB 、OC ，54BAC ∠=︒ ，AO 为BAC ∠的平分线，11542722BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，又AB AC = ，11(180)(18054)6322ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，27ABO BAO ∴∠=∠=︒，632736OBC ABC ABO ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，()AOB AOC SAS ∴∆≅∆，OB OC ∴=，∴点O 在BC 的垂直平分线上，又DO 是AB 的垂直平分线，∴点O 是ABC ∆的外心，36OCB OBC ∴∠=∠=︒，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，OE CE ∴=，36COE OCB ∴∠=∠=︒，在OCE ∆中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．例题2.如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为与边AD 、BC 交于点F 、H ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G .（1）尺规作图作出折痕FH ；（2）求折痕FH 的长；（3）求△EBG 的周长；（4）若将题目中的“点E 为AB 中点”改为“点E 为AB 上任意一点”，其它条件不变，则△EBG 的周长是否发生变化，若不变，请求出该值，若发生变化，请说明理由.例题3、如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，则AP 的长为．解： 四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，6AD BC ==，8CD AB ==，由折叠的性质可知ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，8BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，DOP EOG OD OE D E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，设AP EP x ==，则6PD GE x ==-，DG x =，8CG x ∴=-，8(6)2BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即2226(8)(2)x x +-=+，解得： 4.8x =，4.8AP ∴=，故答案为：4.8．例题4.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB =，10AD =，点E 是CD 中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落到B '处，折痕为HG ，连接HE ，则tan EHG ∠=________．解：如图2中，作NF CD ⊥于F ．设DM x =，则10AM EM x ==-，DE EC = ，AB CD ==，12DE CD ∴==在RT DEM ∆中，222DM DE EM += ，222(10)x x ∴+=-，解得 2.6x =，2.6DM ∴=，7.4AM EM ==，90DEM NEF ∠+∠=︒ ，90NEF ENF ∠+∠=︒，DEM ENF ∴∠=∠，90D EFN ∠=∠=︒ ，DME FEN ∴∆∆∽，∴DE EM FN EN =，∴7.4EN=，EN ∴=AN EN ∴==tanAN AMN AM ∴∠==如图3中，ME EN ⊥ ，HG EN ⊥，//EM GH ∴，NME NHG ∴∠=∠，NME AMN ∠=∠ ，EHG NHG ∠=∠，AMN EHG ∴∠=∠，tan tanEHG AMN ∴∠=∠=方法二，tan tan EN BC EHG EMN EM DE ∠=∠==．故答案为例5.如图，已知ABCD 的三个顶点(,0)A n 、(,0)B m 、(0D ，2)(0)n m n >>，作ABCD 关于直线AD 的对称图形11AB C D（1）若3m =，试求四边形11CC B B 面积S 的最大值；（2）若点1B 恰好落在y 轴上，试求n m 的值．解：（1）如图1，ABCD 与四边形11AB C D 关于直线AD 对称，∴四边形11AB C D 是平行四边形，1CC EF ⊥，1BB EF ⊥，11////BC AD B C ∴，11//CC BB ，∴四边形BCEF 、11B C EF 是平行四边形，1111BCEF BCDA B C DA B C EF S S S S ∴=== ，112BCC B BCDA S S ∴= ．(,0)A n 、(,0)B m 、(0,2)D n 、3m =，3AB m n n ∴=-=-，2OD n =，()()223932232(22BCDA S AB OD n n n n n ∴=⋅=-⋅=--=--+ ，211324(92BCC B BCDA S S n ∴==--+ ．40-< ，∴当32n =时，11BCC B S 最大值为9；（2）当点1B 恰好落在y 轴上，如图2，1DF BB ⊥ ，1DB OB ⊥，1190B DF DB F ∴∠+∠=︒，1190B BO OB B ∠+∠=︒，11B DF OBB ∴∠=∠．190DOA BOB ∠=∠=︒ ，AOD ∴∆∽△1B OB ，∴1OB OA OD OB =，∴12OB n n m=，12m OB ∴=．由轴对称的性质可得1AB AB m n ==-．在1Rt AOB ∆中，222(()2m n m n +=-，整理得2380m mn -=．0m > ，380m n ∴-=，∴38n m =．例题6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在y 轴和x 轴的正半轴上，D 为边AB 的中点，一抛物线22(0)y x mx m m =-++>经过点A 、D（1）求点A 、D 的坐标（用含m 的式子表示）；（2）把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处，连接OA '并延长与线段BC 的延长线交于点E ，①若抛物线经过点E ，求抛物线的解析式；②若抛物线与线段CE 相交，直接写出抛物线的顶点P 到达最高位置时的坐标：解：（1）当0x =时，y m =，(0,)A m ∴，当y m =时，0x =或2m(2,)D m m ∴；（2）①如图，设A D '与x 轴交于点Q ，过点A '作A N x '⊥轴于点N ．把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处，OAD ∴∆≅△OA D '，OA OA m ='=，2AD A D m ='=，90OAD OA D ∠=∠'=︒，ADO A DO ∠=∠'， 矩形OABC 中，//AD OC ，ADO DOQ ∴∠=∠，A DO DOQ ∴∠'=∠，DQ OQ ∴=．设DQ OQ x ==，则2A Q m x '=-，在Rt △OA Q '中，222OA A Q OQ '+'= ，222(2)m m x x ∴+-=，解得54x m =， 1122OA Q S OQ A N OA A Q '='='' ，334554m m A N m m ∴'==，45ON m ∴==，A ∴'点坐标为4(5m ，3)5m -，易求直线OA '的解析式为34y x =-，当4x m =时，3434y m m =-⨯=-，E ∴点坐标为(4,3)m m -．代入22(0)y x mx m m =-++>得0m =（舍)，12m =，∴抛物线的解析式为：212y x x =-++．②当4x m =时，2222(4)248x mx m m m m m m m -++=-++=-+ ，即抛物线l 与直线CE 的交点为2(4,8)m m m -+，抛物线l 与线段CE 相交，2380m m m ∴--+，0m > ，3810m ∴--+解得：1182m ，2222()y x mx m x m m m =-++=--++ ，∴当x m =时，y 有最大值2m m +，又2211()24m m m +=+- ，∴当1182m 时，2m m +随m 的增大而增大，∴当12m =时，顶点P 到达最高位置，22113(224m m +=+=，∴抛物线顶点P 到达最高位置时的坐标为1(2，3)4．【巩固练习】1、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若3AB =，5BC =，则tan EFC ∠的值为________.2.如图，先将一平行四边形纸片ABCD 沿AE ，EF 折叠，使点E ，B '，C '在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG 折叠，使AE 落在EF 上，则AEG ∠=度．3、点E、F 分别在一张长方形纸条ABCD 的边AD 、BC 上，将这张纸条沿着直线EF 对折后如图，BF 与DE 交于点G ，长方形纸条的宽AB=2cm ，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的GEF S ∆最小值为_____________。
中考数学翻折专题
《翻折专题习题集》1.（2019南充）如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，以下结论错误的是（）A．AB2＝10+2B．＝C．BC2＝CD•EH D．sin∠AHD＝2.（2019乐山）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A．B．1C．D．3.（2019河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．4.（2019泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．5.（2019重庆B卷）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+26.（2019攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AC，现在有如下4个结论：①∠EAC＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47.（2019兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（）A．B．C．﹣1D．﹣18.（2019黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．9.（2019邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED 等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°10.（2019随州）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，则AG∥CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；④若CF＝FG，则DE＝（﹣1）a；⑤BG•DE+AF•GE＝a2．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）11.（2019长春）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．12.（2019海南）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）A．12B．15C．18D．2113.（2019包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k＝．14.（2019深圳）如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF ＝．15.（2019通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．16.（2019铜仁）如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF ∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．517.（2019桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．18.（2019内江）如图，在菱形ABCD中，simB＝，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，的值是．19..（2019宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．20.（2019龙东）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC 边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE 是直角三角形时，则CD的长为．21.（2019咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．22.（2019大连）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8．则D′F的长为（）A．2B．4C．3D．223.（2019天水）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．24.（2019甘肃省）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．25..（2019江西省）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．26.（2019青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．27.（2019潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．28.（2019资阳）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．29.（2019天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．30.（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．31.（2019衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为．32.（2019重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．33.（2019葫芦岛）如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是．34.（2019淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．35.（2019连云港）如图，在矩形ABCD中，22AD AB=．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①CMP∆是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③6PC MP=；④2BP AB=；⑤点F是CMP∆外接圆的圆心，其中正确的个数为()36.（2019衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．37.（2019岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）38.（2019连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求AEF∠的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN∆沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P S'的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B C''恰好经过点A，C N'交AD于点F．分别过点A、F作AG MN⊥，FH MN⊥，垂足分别为G、H．若52AG=，请直接写出FH的长．39.（2019盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如图③，两次折痕交于点O；（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．【探究】（1）证明：OBC OED∆≅∆；（2）若8OB为y，求y关于x的关系式．AB=，设BC为x，240.（2019扬州）如图，已知等边ABC∆的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把ABC∆沿直线1折叠，点B的对应点是点B'．（1）如图1，当4PB=时，若点B'恰好在AC边上，则AB'的长度为；（2）如图2，当5PB=时，若直线1//AC，则BB'的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，ACB∆'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当6PB=时，在直线1变化过程中，求ACB∆'面积的最大值．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②（一）填一填，做一做：（1）图②中，∠CMD＝．线段NF＝（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．（二）填一填（3）图③中阴影部分的周长为．（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝°．（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有对；（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝（用含m，n的代数式表示）．动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是，的值是．（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．43.（2019郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．中考大神。
中考数学复习：专题4-14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用
专题14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用【专题综述】翻折问题是近年来各地中考中的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及所学有关知识的灵活应用能力．一般翻折问题中，图形中往往会出现直角三角形，此时，若灵活运用勾股定理，可能使问题迎刃而解，本文通过几道中考题来说明这一解题技巧。
【方法解读】一、直接解题例1 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.【举一反三】（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B 与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．二、间接解题例2 如图，把一个矩形纸片O ABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=5,12BCOC,则点A′的坐标．【举一反三】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕E N，EN交AD于点M，求EM的长．【来源】江苏省徐州市2017年中考信息卷数学试题【强化训练】1.（2017•昌乐县模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，现将纸片折叠压平，使点A与点C重合，折痕为EF，如果sin∠BAE=，那么重叠部分△AEF的面积为（）A．B．C．D．2.（2017•枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（）A．2 B．C．D．13.（2015•本溪一模）如图，在等边三角形纸片△ABC中，将纸片折叠，点A落在BC边上的点D处，MN为折痕，当DN⊥NC时，CN=1，则A、D两点之间的距离为．4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF 沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为．5.（2015秋•宁德校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC 上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（5，4），则点E的坐标为．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在的直线的解析式为y=﹣x+3，把△AOC沿对角线AC折叠，使O点至D点，且AD交BC于F，求△ACF的面积．7.（2014•潮阳区模拟）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部．如果将BG延长交DC于点F．（1）则FG FD（用“＞”、“=”、“＜”填空）（2）若BC=12cm，CF比DF长1cm，试求线段AB的长．8.（2017春•鄂州期末）把长方形AB′CD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，已知∠BAO=30°，（1）求∠AOC和∠BAC的度数；（2）若AD=3，OD=，求CD的长．9.（2010•张家港市模拟）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A 与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF、C E和EF，设EF与AC的交点为O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若，△ABF的为面积12cm2，求△ABF的周长．10.（2015•路南区二模）操作：已知矩形ABCD中，AB=5cm，AD=2cm．作如下折叠操作：如图①和图②所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P，连结MP，将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′．探究：（1）如图①，若AM=4cm，点P在AD上，点A′落在DC上，求∠MA′C的度数；（2）如图②，若AM=2.5cm．①点P在DC上，点A′落在DC上，求线段DP的长；②若点P由A开始，沿A→D→C方向，在AD、DC边上运动．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为ts，当边MA′与线段DC有交点时，直接写出t的取值范围 1.25≤t≤3.5．发现：（3）若点M在线段AB上移动，点P为线段AD或DC边上的任意点，随着点M位置的不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：①不会落在线段DC上；②只有一次落在线段DC上；③会有两次落在线段DC上．求：在②③的情况下，AM的取值范围．。
专题33 中考几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
中考复习9——翻折中的全等及相似
中考复习9——翻折中的全等及相似一、正方形中的翻折例1、已知边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G.（1）求CG的长；（2）求tan∠DEF的值.例2、如图，将正方形ABCD折叠，使点A落在DC边上的G点处，折痕为EF，已知BF=1，AE=2，AG与EF相交于点H.（1）①直接写出正方形ABCD的边长；②如图1，求证：EF=AG；（2）求证：BH=AB.（3）直接写出tan∠BHE的值.归纳：翻折中常见的模型有：.二、矩形的翻折例3、在矩形ABCD 中，AB BC =k E 是AB 上一点，将矩形沿DE 折叠，使点A 落在点P 处.（1）如图1，若点P 恰好在BC 边上，连AP .①求AP DE 的值（用k 表示）； ②若tan ∠BAP=12，求tan∠ADP 的值；（2）如图2，AB=8，AD=12，若点E 是AB 边的中点，EP 的延长线交BC 于点F.求BF 的长.图1 图2例4、(1)证明推断：如图(1)，在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ ⊥AE 于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF ⊥AE ．①求证：DQ =AE ； ②推断：GF AE 的值为____；(2)类比探究：如图(2)，在矩形ABCD 中，BC AB =k(k 为常数).将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O.试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP ，当k =23时，若tan∠CGP =34，GF =2√10，求CP 的长．例5.已知矩形ABCD，F为DC边上一点，连接AF，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E 处.，求tan∠EAF的值；（1）如图1，若tan∠AEB=12（2）如图2，在AD边上取点G，使DG=CE，连接GF与BD交于点H，求证：GF⊥BD.图1 图2例6、如图，折叠矩形ABCD，使点D落在边AB的M点处，折痕为EF，AB=1，AD=2.（1）设AM的长为t，试用含有t的式子表示四边形CDEF的面积.（2）若DM和EF交于点P，Q是MN的中点，求PM+PQ的最小值.三角形中的翻折例7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，D是边AB上一点．连接CD，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在△ABC的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是____________．例8、如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD 折叠得到△CFD，CF与边AB交于点E，当DF⊥AB时，BD的长是.例9、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，M，N分别是AC，BC上两个动点.将△MNC沿MN折叠得到对应的△MNP.（1）当点P在斜边AB上时.①如图1，若M是AC的中点，则BPAP的值是；②如图2，若P是AB的中点，求MCNC的值.（2）如图3，若MP⊥AB，MCAC =14，求CNBC的值.图1 图2 图3。
31.中考数学专题 翻折变换数学母题题源系列(解析版)
【母题原题一】【2019·广东深圳】如图在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使点B 对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使点D 对应点落在对角线AC 上，求EF =__________.【解析】作FM AB ⊥于点M ，由折叠可知：1EXEB AX ===，AE =1AM DF YF ===，∴正方形边长1,1AB FM EM ===，∴EF ===.【名师点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．【母题原题二】【2019·江苏淮安】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，H 是AB 的中点，将CBH∆专题06 翻折变换沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan HAP ∠=__________．【答案】43【解析】如图，连接PB ，交CH 于E ， 由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH PH =，又∵H 为AB 的中点，∴AH BH =，∴AH PH BH ==， ∴HAP HPA ∠=∠，HBP HPB ∠=∠， 又∵180HAP HPA HBP HPB ︒∠+∠∠+∠=+， ∴90APB ︒∠=，∴90APB HEB ︒∠=∠=， ∴AP HE ∥，∴BAP BHE ∠=∠， 又∵Rt BCH △中，4tan 3BC BHC BH ∠==， ∴4tan 3HAP ∠=，故答案为：43．【名师点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．【母题原题三】【2019·江苏扬州】将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC =26°，则∠ACD = __________．【答案】128°. 【解析】如图，延长DC 到F ，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BCF=∠ABC=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°，故答案为：128°.【名师点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.【母题原题四】【2019·山西】综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是__________，AEBE的值是__________；（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：__________．【答案】（1）67.5°；（2）四边形EMGF是矩形，理由见解析；（3）菱形FGCH或菱形EMCH(一个即可).【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，∠BAC =12∠BAD =45°， ∵折叠，∴∠BCE =12∠BCA =22.5°，BE =EN ，∠ENC =∠B =90°， ∴∠BEC =90°-22.5°=67.5°，∠ANE =90°， 在Rt △AEN 中，sin ∠EAN =ENAE，∴2EN AE =，∴AE EN ，∴AE AE BE EN ==故答案为：67.5°（2）四边形EMGF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠BCD =∠D =90°， 由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM =CG ， ∠BEC =∠NEC =∠NFC =∠DFC =67.5°， 由折叠可知：MH 、GH 分别垂直平分EC ，FC ，∴MC =ME ，GC =GF ，∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF =∠GFE =90°， ∵∠MCG =90°，CM =CG ，∴∠CMG =45°，又∵∠BME =∠1+∠5=45°，∴∠EMG =180°-∠CMG -∠BME =90°， ∴四边形EMGF 是矩形；（3）如图所示，四边形EMCH 是菱形，理由如下：由（2）∠BME =45°=∠BCA ，∴EM ∥AC ，∵折叠，∴CM =CH ，EM =CM ，∴EM =CH ，∴EM =CH ， ∴四边形EMCH 是平行四边形， 又CM =EM ，∴平行四边形EMCH 是菱形.(同理四边形FGCH 是菱形，如图所示：).【名师点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识是解题的关键.【母题原题五】【2019·江苏徐州】如图，将平行四边形纸片ABCD 沿一条直线折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．求证： （1）ECB FCG ∠=∠； （2）EBC FGC △≌△．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A BCD =∠， 由折叠可得，A ECG ∠=∠， ∴BCD ECG ∠=∠，∴BCD ECF ECG ECF ∠-∠=∠-∠， ∴ECB FCG ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴D B ∠=∠，AD BC =，由折叠可得，D G ∠=∠，AD CG =， ∴B G ∠=∠，BC CG =， 又ECB FCG ∠=∠，∴(ASA)EBC FGC △≌△．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.【母题原题六】【2019·江苏常州】如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是__________； （2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论．【答案】（1）AC BD '∥；（2）EB 与ED 相等，见解析. 【解析】（1）连接AC '， 在平行四边形ABCD 中，AD BC =，ADB CBD ∠=∠，∵把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处， ∴'AD BC =，CBD C'BD ∠=∠， ∴'ADB C BD ∠=∠，∴ED EB =，∴AE C E '=，∴EAC'EC A EBD EDB '∠=∠=∠=∠， ∴AC BD '∥，故答案为：AC BD '∥； （2）EB 与ED 相等．由折叠可得，CBD C BD '∠=∠， ∵AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠， ∴EDB EBD ∠=∠，∴BE DE =．【名师点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【命题意图】这类试题主要考查几何图形中与折叠有关的问题，涉及三角形全等，勾股定理，平行四边形的判定及性质等．【方法总结】翻折问题的解决通常需要借助轴对称的相关知识，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，对问题进行分析处理．1．【浙江省临海市2019届九年级中考3月模拟数学试题】如图，△ABC纸片中，AB=BC>AC，点D是AB 边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①根据折叠知AD=DF，所以BD=DF，即△BDF一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误；②连接AF，交DE于G，根据折叠知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF．进一步得E是AC的中点．由折叠知AE=EF，则EF=EC，得∠C= ∠CFE．又∠DFE=∠A=∠C，所以∠DFE=∠CFE，正确；③在②中已证明正确；④根据折叠以及中位线定理得右边=AB，要和左边相等，则需CE=CF，则△CEF应是等边三角形，显然不一定，错误．故选B．【名师点睛】考查了三角形中位线定理，正确利用折叠所得对应线段之间的关系以及三角形的中位线定理是解题的关键．2．【黑龙江省哈尔滨市十七中2018–2019学年九年级下学期二模数学试题】如图，在ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE △沿AE 折叠至AD'E △处，'AD 与CE 交于点F ，若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则'FED ∠的大小为A ．20°B ．30°C ．36°D ．40°【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴52D B ∠=∠=︒， 由折叠的性质得：52D'D ∠=∠=︒，20EAD'DAE ∠=∠=︒，∴522072AEF D DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，180108AED'EAD'D'∠=︒-∠-∠=︒， ∴1087236FED'∠=︒-︒=︒；故选C ．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF 和∠AED ′是解决问题的关键．3．【山东省济南市历城区中考数学模拟试题】如图（1），在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图（2）．下列关于图（2）的四个结论中，不一定成立的是A ．点A 落在BC 边的中点B ．∠B +∠1+∠C =180° C ．△DBA 是等腰三角形D ．DE ∥BC【答案】A【解析】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠C A．故选A．【名师点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．4．【山东省淄博市张店区2018届3月份九年级中考模拟试卷】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B=70°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于A．55°B．50°C．45°D．40°【答案】B【解析】由折叠可得，∠CED=90°=∠BCE，又∵∠D=∠B=70°，∴∠DCE=20°，由折叠可得，∠DCF=3×20°=60°，∴∠BCF=50°，故选B．【名师点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5．【甘肃省民勤县第六中学2019届九年级下学期第三次诊断考试数学试题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，M为AD上一点，将△ABM沿BM翻折至△EBM，ME和BE分别与CD相交于O，F两点，且OE=OD，则AM的长为__________．【答案】4.8 【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =∠C =90°，AD =BC =6，CD =AB =8， 根据题意得：△ABP ≌△EBP ， ∴EP =AP ，∠E =∠A =90°，BE =AB =8，在△ODP 和△OEG 中，D EOD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ODP ≌△OEG （ASA ）， ∴OP =OG ，PD =GE ，∴DG =EP ， 设AP =EP =x ，则PD =GE =6–x ，DG =x ， ∴CG =8–x ，BG =8–（6–x ）=2+x ， 根据勾股定理得：BC 2+CG 2=BG 2， 即62+（8–x ）2=（x +2）2，解得x =4.8，∴AP =4.8；故答案为：4.8．6．【河南省平顶山市2019届九年级中考数学三模试题】在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =120°，点E ，F 分别是边AB ，BC 边上的动点，沿EF 折叠△BEF ，使点B 的对应点B ′始终落在边CD 上，则A 、E 两点之间的最大距离为__________．【答案】2【解析】如图，作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB∥CD，∴∠D+∠BAD=180°，∴∠D=60°，∵AD=AB=2，∴AH=AD•sin60°=∵B，B′关于EF对称，∴BE=EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，==BE的值最小，根据垂线段最短可知，当EB'AH∴AE的最大值=2，故答案为2【名师点睛】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．【2019年山东省聊城市莘县中考数学三模试卷】如图，在矩形ABCD中，BC=4，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿直线BE折叠，点A对应点为点A'，延长BA'，交边DC于点F．若点F是DC的三等分点，则CD的长为__________．或【解析】如图，连接EF，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠D =90°，∵点E 是AD 中点，∴AE =DE ，∵将矩形ABCD 沿直线BE 折叠，∴AB =A 'B ，∠BA 'E =∠A =90°，AE =A 'E ，∴A 'E =DE ，EF =EF ，∴Rt △A 'EF ≌Rt △DEF （HL ），∴DF =A 'F ，设AB =CD =3x =A 'B ，若DF =x ，∴A 'F =x ，CF =2x ，∴BF =4x ，在Rt △BCF 中，BF 2=CF 2+BC 2，∴16x 2=4x 2+16，∴x =3，∴CD =3x若DF =2x ，则CF =x ，同理可得：CD ，或【名师点睛】考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，利用分类思想解决问题是本题的关键． 8．【河北省张家口市桥西区2019届九年级中考6月模拟数学试题】如图，在平行四边形ABCD 中，AD DB ⊥，垂足为点D ，将平行四边形ABCD 折叠，使点B 落在点D 的位置，点C 落在点G 的位置，折痕为EF ． （1）求证：ADE GDF △≌△；（2）若AE BD =，求CFG ∠的度数；（3）连接CG ，求证：四边形BCGD 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）见解析.【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，AD ∥BC ，∠A =∠C ，由折叠可知，BC =DG ，CF =FG ，∠G =∠C ，EF 垂直平分BD ，∴∠A =∠G ，AD =DG ，又∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴点E、F分别平分AB、CD，∴AE=BE=12AB=12CD=CF=DF，∴AE=FG，∴△ADE≌△GDF；（2）∵AE=BD，AE=BE=12AB，∴BD=12AB，∴sin A=12BDAB，∴∠A=30°，∵DF=CF=FG，∴∠FDG=∠DGF=∠A=30°，∴∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；（3）如图，连接CG．由折叠可知，BC=DG，BC∥DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，AD∥BC，∴BC⊥BD，∴∠CBD=90°，∴四边形BCGD是矩形．【名师点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定以及矩形的判定，解题时注意：有一个角为直角的平行四边形是矩形．9．【2019年江苏省连云港市灌南县、海州区、连云区中考数学二模试卷】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N 处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=12∠BAC，∠DCF=12∠DCA．∴∠EAB=∠DCF．在△ABE和△CDF中B DAB CDEAB DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF=BE，∴AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，∵∠B=90°，∴∠ACE=90°–30°=60°，即∠CAE=∠ACE，∴EA=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【名师点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．10．【2019年广东省汕头市澄海区中考数学一模试卷】如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连接CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE=BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF=120°．【解析】（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC ∥AD ，即BC ∥DG ，由折叠可知，BC =DG ，∴四边形BCGD 是平行四边形，∵AD ⊥BD ，∴∠CBD =90°，∴四边形BCGD 是矩形；（2）由折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BD ⊥EF ，DP =BP ，∵AD ⊥BD ，∴EF ∥AD ∥BC ，∴1AE PD BE BP==，∴AE =BE ， ∴DE 是Rt △ADB 斜边上的中线，∴DE =AE =BE ，∵AE =BD ，∴DE =BD =BE ，∴△DBE 是等边三角形，∴∠EDB =∠DBE =60°，∵AB ∥DC ，∴∠DBC =∠DBE =60°，∴∠EDF =120°．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．。
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课题
专题复习：翻折专题
课型
复习课
课时主备
***
第一修改人
年级
九
学科
数学教学目标1、理解折叠 Nhomakorabea题的本质
2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题
3、渗透方程思想及中考复习以“本”为本的导向。
教学重点
1、理解折叠问题的本质
2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题
教学难点
渗透方程思想及中考复习以“本”为本的导向。
教学过程
教学内容
活动设计
设计意图
折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。 折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理。折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题。
典型例题:矩形的折叠
【例1】：追本溯源
如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上任取一点E，连接BE,将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，求CE的长．
追本溯源：（苏科版八年级下册第95页21题）
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F，求BF的长．
A．12B．10C．8D．6
5．（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF= ，则∠A=（ ）
6．（2017•海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是．
则QN+NP+PD的最小值=．
随堂练习
4．（2016•潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是．
5．（2016•黑龙江）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．
【例2】：连接中考（2017•济宁）实验探究：
（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．
（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2．折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
【例3】：连接中考
（17•徐州）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后得折痕AD、BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，
【知识要点】
1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能，那么这个图形就是，这条直线就是它的. 2. 如果一个图形沿一条 直线折叠，如果它能与另一个图形，那么这两个图形成，这条直线就是，折叠后重合的对应点就是. 3. 如果两个图形关于对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的. 4. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为，它是由移 动的和所决定． 5. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段，对应，图形的与都没有发生变化，即平移前后的两个图形；且对应点所连的线段。
课前小练
1．（17期末）已知点A（a，2），B（3，b）关于y轴对称，则（a+b）2018的值（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
3．（18•河南一模）在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点A（4，3），B（3，﹣1）的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
4．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ）
教师指导学生进行口答．
学生计算
学生思考，举手发言，教师板书．
通过口答让学生回忆知识点
激发学生求知欲望．
注意做题的规范书写，并让学生进一步感受到数学在实际生活中的应用，激发学生学习数学的热情．
作业
报纸配套练习
板书
反思