冀教版初中数学几何讲义(完整版)

几何专题(一)导言：几何探究与证明能力的决定要素1、基本图形的性质与功能的掌握；2、一些探究与证明的基本方法； 3、一些最常用的思考策略.要素一 基本图形判定、性质及功能的再研究一、 关于线段（直线形的边） 1．基本性质与功能：2．性质与功能运用举例： （1）求线段和的最小值题1 如图，公路l 的同侧有A 运站C ，使A 、B 两厂到转运站BA·PCDCABCADB图①图②图③ （2）线段垂直平分线的功能与判定题 2 四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图①，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，P A≠PC ，则点p 为四边形ABCD 的一个准等距点.（1）如图②，画出菱形ABCD 的一个准等距点；（2）如图③，作出四边形ABCD 的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）.题3 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB 是直角，D 是AB 上一点，且BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于E.求证：CD ⊥BE(3)线段中点的功能题4 已知，如图，矩形ABCD 的对角线交于O ，E 为矩形外一点，且∠AEC =90°.求证，BE ⊥ED .DABCDE图1⑤②①B DA ECFGO③④ ⑥ ⑦⑧图2题5 已知，如图，AD 为△ABC 的高，∠B =2∠C ，M 为BC 的中点。

求证： DM =12AB .题6 已知，如图，Ｄ是△ABC 的BC 边上的中点，F 是AD 的中点，BF 延长线交AC 于E ，求证： AE =12CE题7 已知，如图，D 是△ABC 的边BA 延长线上一点，且ＡD=BA ，E 是边AC上一点，且DE=BC.求证：∠DEA=∠C题8 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接称一个新的正方形。

他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②的处，依此方法继续操作，即可拼接称一个新的正方形DEFG.ACBD· MDCM Q A BCD E F GH P N图4图2AD OBC 21 MN图1AD BM N1 2图3AD O BC 21MNO 请你参考小明的作法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示。

请将其分割后拼接成一个平行四边形。

要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连接AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ ，请在图4中探究平行四边形MNPQ 面接的大小.（画图并直接写出结果）题9 在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求ACBD的值．图 3总结：Ⅰ、传递角关系的几条基本途径（另设专题） Ⅱ、角平分线的作用 （1）造等角题1 已知，如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD ，垂足为D ，DE 交BC 于点E.求证：CD=12BE（2）角平分线的性质与判断(轴对称性)题2 已知，如图，点B 、C 分别在∠MAN 的两边上，AC ＞AB ，P 为∠MAN 内一点，且PB=PC.（1）若AP 为∠MAN 的平分线，求证：∠PBA+∠PCA=180°; （2）若∠PBA+∠PCA=180°，求证：AP 为∠MAN 的平分线.BM PAABCDE题 3已知，如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC . 求证：AB-AC=CD（3）角平分先+平行线P 为∠AOB 的平分线情形一，与OA 平行的直线MN 和OB 、OP 所在的直线相交如图①和②；情形二，与OP 平行的直线MN 和OA 、OB 所在的直线相交如图③和④：情形三，与OB 平行的直线MN 和OA 、OP 所在的直线相交，与倾情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。

题4已知如图，P 是等腰三角形△ABC 的∠B 、∠C 的平分线的交点，过P 作DE ∥BC 分别与AB 、AC 交于D 、E. 求证：DB+EC=DE.ABCD①MN 和OB 、OP 交出等腰△COD ，其中OC=CD 。

（∵∠3=∠1=∠2）②MN 和OP 、OB 的反向延长线交出等腰△COD ，其中OC=CD 。

（∵∠3=∠2=∠1=∠4）③MN 和OA 、OB 的反向延长线交出等腰△DCO ，其中OC=OD.（∵∠3=∠1=∠2=∠4）BC2 A BC DO MP N 31 图① 31 A BON D MP 2 4 图②C ADBAOC MN341 2 图④④MN 和OA 的反向延长线、OB 交出等腰△OCD ，其中OC=OD.（∵∠3=∠1=∠2=∠4）图③ 1234 M,O C BP D NA题5 已知，如图，CD 平分∠ACB ，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点.求证：CD ⊥CF .（4）角平分线+角平分线的垂线题6 如图，在△ABC 中AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，点E 是BC 的中点，试证明： （1）DE ∥AB; (2) DE=12(AB －AC )题7 已知，CD 垂直平分线段AB ，AB 平分∠CAD 。

求证：CB ∥AD.题8 已知，如图，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交与点P ，M . (1) 求证：AB=CD ：(2) 若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的 数量关系，并说明理由.ACEFBD ABCDEBC DAO总结：三、三角形 Ⅰ、一般三角形２、关系和功能的运用举例题１ 如图，Ａ、Ｂ两地之间有两条路可走，请说明哪条路会近一些. 题２ 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4,∠BAC=75°,试求∠DAC 度数。

ＡＢＰＣ1 234DABC题3 如图，已知△ABC ，（1） 如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P=90°+12∠A ；（2） 如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则 ∠P=90°－∠A ；(3) 如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P=90°－12∠A ；Ⅱ、等腰三角形1、关系、性质与功能EA BPC图2BCＰA图1ABC FEP 图3总结：2、关系、性质与功能运用举例题1 如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交与点Ｈ，他们的延长线分别与GE 相交于点E 、G ，试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。

题2 如图，已知，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C. 求证：DC=BD+AB.题3 复习“全等能三角形”的知识时，老师布置了一道作业题:“如图1，已知，在△ABC 中，AB=AC ，P 是△ABC 内任意一点，将AP 绕点A 顺时针转至AQ ，使∠QAP=∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ=CP .” 小亮是一个爱动脑筋的同学，她通过对图1的分析，证明了△ABC ≌△ACP ，从而证得BQ=CP .之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中其他条件不变，发现“BQ=CP ”仍然成立，请你就图2给出证明.AGB D EHFABCABCQP图1图2ABCQPⅢ、等边三角形1、关系、性质与功能1、关系、性质与功能运用举例题1如图，扇形ODE的圆心角为120°，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B在扇形ODE内（1）请连接OA、OB，并证明△AOF≌△BOG；（2）求证：△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等于△ABC面积的1C DP ABCQ题2 已知△ABC 为等边三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上一点，且BM=CN ，直线BN 与AM 相交于点Q . 就下面给出的三种情况（如图1、2、3），观察与猜测AM 与BN 的数量关系，并利用图3证明你的结论.题3 已知，如图，P 是等边三角形ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，以BP 为边做∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连接CQ 。

(1)指出AP 与CQ 的大小关系，并证明结论；(2)若PA ：PB ：PC=3:4:5，判断△PQC 的状况，并说明理由.图3CMC 图1C 图2Ⅳ、直角三角形1、团系、性质与功能（※）直角三角形和等腰三角形的关系：（1）每个直角三角形都被斜边上的中线拆分成两个等腰三角形;（2）每个等腰三角形都被底边上的高拆分成2个全等的直角三角形； 2、关系、性质与功能运用举例题1 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于F . 求证：△AEF 是等腰三角形.BCDADCBCD题2已知，如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足。

证明：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE题3已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，∠1=∠2，AD=BD。

求证：4CE=ABⅤ等腰直角三角形1、关系、性质与功能B CC BDEA212、关系、性质与功能运用举例题1 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出一下五个结论: ① AE=CF ；②∠APE=∠CPF ；③△EPF 是等腰直角三角形；④EF=AP ；⑤ . 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有_______________________.题2 已知，如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 的中点， CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F 。