李雅普洛夫稳定性分析精品PPT课件

渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
4、不稳定 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( )内
2）平衡状态——状态空间中满足 Xe f (X e ,t) 0 属性的一个 状态。
3）受扰运动——自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。 用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。
2 李亚普洛夫稳定性定义
2.1 系统的平衡状态 2.2 状态向量范数 2.3 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）
Im S平面
稳 定
临 界
不 稳 Re
区稳定
定区
输出稳定(有界输入有界输出)的充要条件是传递函数 G(S)=C(SI-A)-1B的极点具有负实部。
内部稳定性判据
线性定常连续系统渐近稳定的充分百度文库要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
[例]
稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 不稳定
2.1 系统的平衡状态
平衡状态：对所有时间t，如果满足 xe f ( xe ) 0 ，称xe为系统 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。
说明： 1、对于线性定常系统：xe f ( xe ) Ax 0
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原 点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
（2） 求系统的特征方程：
det(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
6
1
(
2)(
3)
0
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样 的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，
为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差
向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
①范数 X 0 X e 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的 闭球域S(δ)内.
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S( ) ，则称平衡状态xe是 不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了 S( ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S( ) 外的某个极限环。
3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断 2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统
李亚普洛夫稳定性分析
讲解人：
主要内容
1. 系统稳定性概述 2. 2. 李亚普洛夫稳定性定义 3. 3. 李雅普诺夫判稳第一方法 4. 4. 李雅普诺夫判稳第二方法 5. 5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
1 系统稳定性概述
控制系统稳定性属于系统的基本结构特性，通常有两种 定义：
1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界 输入有界输出稳定(BIBO)。
向于无穷大时，有：
lim x
t
xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
如果 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
设系统方程为：x
0 1
6 1
x
2
1
u,
y 0 1 x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1
1
(s
(s 2) 2)(s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
的特征值判断
3.1 线性定常系统的李亚普洛夫第一法 外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 G(s) C(sI A)1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
图解表示：
② X 0u X e 表示X 0u偏差都在以Xe 为中心，ε为半径的闭 球域S(ε)内
2.3 李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
设 xe 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域S( )
或任意正实数 0 ，都可以找到另一个正实数 ( , t0 ) 或球
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
的X的运动轨迹有
lim
t
x
xe
，
则称平衡状态
xe 在李雅普诺
夫意义下是稳定的。
如果 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
2 渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋
3. 系统稳定性
系统运动稳定性的实质：自治系统平衡状态的稳定性。 它是偏离平衡状态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结 构因素使之限制在平衡状态的有限领域内或使之最终返回 到平衡状态——系统偏差量过渡过程的收敛性。
1）自治系统——不受外部影响即没有输入作用的一类动态系 统。即
X f ( X ,t),...X (t0 ) X 0 ,....t t0,
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变 化所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于 线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统， 只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只 和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。