李雅普洛夫稳定性分析精品PPT课件

4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样 的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，
为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差
向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
①范数 X 0 X e 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的 闭球域S(δ)内.
（2） 求系统的特征方程：
det(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
6
1
(
2)(
3)
0
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
向于无穷大时，有：
lim x
t
xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
如果 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
Hale Waihona Puke 3、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
4、不稳定 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( )内
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
的X的运动轨迹有
lim
t
x
xe
，
则称平衡状态
xe 在李雅普诺
夫意义下是稳定的。
如果 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
2 渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋
2）平衡状态——状态空间中满足 Xe f (X e ,t) 0 属性的一个 状态。
3）受扰运动——自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。 用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。
2 李亚普洛夫稳定性定义
2.1 系统的平衡状态 2.2 状态向量范数 2.3 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变 化所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于 线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统， 只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只 和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
李亚普洛夫稳定性分析
讲解人：
主要内容
1. 系统稳定性概述 2. 2. 李亚普洛夫稳定性定义 3. 3. 李雅普诺夫判稳第一方法 4. 4. 李雅普诺夫判稳第二方法 5. 5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
1 系统稳定性概述
控制系统稳定性属于系统的基本结构特性，通常有两种 定义：
1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界 输入有界输出稳定(BIBO)。
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S( ) ，则称平衡状态xe是 不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了 S( ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S( ) 外的某个极限环。
3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断 2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统
② X 0u X e 表示X 0u偏差都在以Xe 为中心，ε为半径的闭 球域S(ε)内
2.3 李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
设 xe 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域S( )
或任意正实数 0 ，都可以找到另一个正实数 ( , t0 ) 或球
Im S平面
稳 定
临 界
不 稳 Re
区稳定
定区
输出稳定(有界输入有界输出)的充要条件是传递函数 G(S)=C(SI-A)-1B的极点具有负实部。
内部稳定性判据
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
[例]
的特征值判断
3.1 线性定常系统的李亚普洛夫第一法 外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 G(s) C(sI A)1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
图解表示：
设系统方程为：x
0 1
6 1
x
2
1
u,
y 0 1 x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1
1
(s
(s 2) 2)(s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
3. 系统稳定性
系统运动稳定性的实质：自治系统平衡状态的稳定性。 它是偏离平衡状态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结 构因素使之限制在平衡状态的有限领域内或使之最终返回 到平衡状态——系统偏差量过渡过程的收敛性。
1）自治系统——不受外部影响即没有输入作用的一类动态系 统。即
X f ( X ,t),...X (t0 ) X 0 ,....t t0,
稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 不稳定
2.1 系统的平衡状态
平衡状态：对所有时间t，如果满足 xe f ( xe ) 0 ，称xe为系统 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。
说明： 1、对于线性定常系统：xe f ( xe ) Ax 0
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原 点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。