(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题答案
课后习题及答案_第3章离散傅⾥叶变换--上机习题答案第3章离散傅⾥叶变换(DFT)上机习题答案1. 解：该题求解程序为ex323.m，程序运⾏结果如下图所⽰。
第（1）⼩题⽤1024点DFT近似x(n)的傅⾥叶变换；第（2）⼩题⽤32点DFT。
题下图(e)和(f)验证了X(k)是X(e jω)的等间隔采样，采样间隔为2π/N。
图(g) 验证了IDFT 的惟⼀性。
2. 解：设x1(n)和x2(n)的长度分别为M1和M2，X1(k)=DFT［x1(n)］N, X2(k)=DFT［x2(n)］NY c(k)=X1(k)X2(k), y c(n)=IDFT［Y c(k)］N所谓DFT的时域卷积定理，就是当N≥M1+M2－1时，y c(n)=x1(n)*x2(n)。
本题中，M1=M2=4，所以，程序中取N=7。
本题的求解程序ex324.m如下：% 程序ex324.mx1n=［2 1 1 2］；x2n=［1 －1 －1 1］；%时域直接计算卷积yn：yn=conv(x1n，x2n)%⽤DFT计算卷积ycn：M1=length(x1n)；M2=length(x2n)；N=M1+M2－1；X1k=fft(x1n，N)；%计算x1n的N点DFTX2k=fft(x2n，N)；%计算x2n的N点DFTYck=X1k.*X2k；ycn=ifft(Yck，N)程序运⾏结果：直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积yn和⽤DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积ycn 如下：yn=［2 －1 －2 2 －2 －1 2］ycn=［ 2.0000 －1.0000 －2.0000 2.0000－2.0000 －1.0000 2.0000］3.解：本题的求解程序为ex325.m。
程序运⾏结果如下图所⽰。
由图可见，循环卷积为线性卷积的周期延拓序列的主值序列；当循环卷积区间长度⼤于等于线性卷积序列长度时，⼆者相等，见图（b）和图(c)。
第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
• 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样；
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2 3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
返回
回到本节
DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
x(n)
IDFT[ X (k)]N
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
长度为 N的离 散序列
返回回Biblioteka 本节例3.1： x(n) R8(n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
k 0,1, , N 1
n0
返回
回到本节
比较前面三式，得到
X (k) X (z) j2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 ze N
X (k) X (ej ) 2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 N
结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0，2] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔 采样，频率采样间隔为2 /N。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
华北电力大学自动化系
15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
华北电力大学自动化系
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
华北电力大学自动化系
8
第3章 离散傅里叶变换及其快速算法
计算中， 在DFT计算中，不论是乘法和加法，运算量均与 计算中 不论是乘法和加法， N2成正比。因此，N较大时，运算量十分可观。例 成正比。因此， 较大时 运算量十分可观。 较大时， 计算N=10点的 点的DFT，需要 次复数相乘， ，计算 点的 ，需要100次复数相乘，而 次复数相乘 N=1024点时，需要 点时， 点时 需要1048576（一百多万）次复数乘 （一百多万） 如果要求实时处理， 法，如果要求实时处理，则要求有很高的计算速 度才能完成上述计算量。 度才能完成上述计算量。 反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多 与 的运算结构相同， 反变换 的运算结构相同 乘一个常数1/N，所以二者的计算量相同。 乘一个常数 ，所以二者的计算量相同。
nk X (k ) = ∑ { Re [ x( n)]Re WN − I m [ x(n)]I m [WNnk ] n =0 N −1
(
+ j Re [ x(n)]I m
(
[ ] [W ]+ I
nk N
)
nk [ x( n)]Re WN } m
[ ])
又每个复数相加包括2个实数相加，所以，每计算一个 X（ k） 要进行 次实数相乘和 次实数相乘和2N+2（ N-1） =2（ 2N-1） 次实 （ ） 要进行4N次实数相乘和 （ ） （ ） 数相加，因此，整个DFT运算需要 2实数相乘和 （2N-1） 运算需要4N 实数相乘和2N（ 数相加，因此，整个 运算需要 ） 次实数相加。 次实数相加。
虽然频谱分析和DFT运算很重要 ， 但在很长 运算很重要， 虽然频谱分析和 运算很重要 一段时间里， 由于DFT运算复杂 ， 并没有得到 运算复杂， 一段时间里 ， 由于 运算复杂 真正的运用， 真正的运用 ， 而频谱分析仍大多采用模拟信号 滤波的方法解决， 直到1965年首次提出 年首次提出DFT运 滤波的方法解决 ， 直到 年首次提出 运 算的一种快速算法以后， 情况才发生了根本变 算的一种快速算法以后 ， 人们开始认识到DFT运算的一些内在规律 ， 运算的一些内在规律， 化 ， 人们开始认识到 运算的一些内在规律 从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算 方法——快速付里变换（FFT）算法。FFT的出 快速付里变换（ 方法 快速付里变换 ）算法。 的出 现 ， 使 DFT 的 运 算 大 大 简 化 ， 运 算 时 间 缩 短 二个数量级， 一 ～ 二个数量级 ， 使 DFT的运算在实际中得到 的运算在实际中得到 广泛应用。 广泛应用。
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
3.1 图 P3.1 所示的序列 x(n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X (k) 。
∑ ∑ ∑ 解： X (k)
=
N −1
x(n)WNnk
=
N −1
x(−n)WNnk
=
−( N −1)
x(n)WN−nk
=
X (−k)
解：图 P3.5_1 所示的是计算这两个序列的周期卷积 x3 (n) 的过程，可以看出，x3 (n) 是 x1 (n) 延时 1 的结果， 即 x3(n) = x1(n −1) 。
3.6 计算下列序列的N点DFT：
(1) x(n) = δ (n)
(2) x(n) = δ [(n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N
总计需要时间： (105 + 21)s = 126s
用 FFT 计算 DFT：
复数乘法：
N 2
log2
N
=
5120次, 5120 ×100μ s
≈
0.512s
复数加法： N log2 N = 10240次,10240× 20μs ≈ 0.2048s
总计需要时间： (0.512 + 0.2048)s = 0.7168s
（2） x2 (n) = x ⎡⎣(2 − n)⎤⎦4 R4 (n)
解： x1(n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x(n) 。 （1）绘出 x(n) 与 x(n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x(n) 与 x(n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x(n) 与 x(n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列(xn 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数(X k。
解:(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.2 (1设(xn 为实周期序列,证明(x n 的傅里叶级数(X k 是共轭对称的,即*((X k X k =− 。
(2证明当(xn 为实偶函数时,(X k 也是实偶函数。
证明:(1 111**((([(]((N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X−−=−−−==−=−===∑∑∑ k(2因(xn 为实函数,故由(1知有 *((Xk X k =− 或*((X k X k −= 又因(xn 为偶函数,即((x n x n =− ,所以有(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号(xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果,不直接计算其傅里叶级数的系数(Xk ,确定以下式子是否正确。
(1,对于所有的k; ((10Xk X k =+ (2((Xk X k =− ,对于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k eπ,对所有的k是实函数。
解:(1正确。
因为(x n 一个周期为N =10的周期序列,故(X k 也是一个周期为N=10的周期序列。
(2不正确。
因为(xn 一个实数周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共轭对称的,即应有*((Xk X = k −,这里(X k 不一定是实数序列。
(3正确。
因为(xn (0n ==在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等,所以有 10(0N n Xx −=∑ (4不正确。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
频域
离散
周期
时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据 对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周 期散化，
令 d 0 从而 k 0
k 2F0 , N
j 0 kT N 1 n 0
s 0
n 0
N 1
j
2 kn N
0 k N 1
N称为DFT变换区间长度， N M
令
WN e
j
2 N
，记作旋转因子
傅里叶变换与逆变换对为：
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1 N 1
0 k N 1 0 n N 1
N
示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征
24
2.DFT与FT、ZT之间的关系
有限长序列
x(n) n 0,1, 2, M 1
N M
DFT与ZT、FT、DFS
X ( z ) ZT [ x(n)] X (e ) FT [ x(n)]
j j
n
x(n) z
7
2 时域：以Ts 采样，频域延拓周期 s Ts 2 频域：以0 采样，时域延拓周期T0 0
x(n)
T0 1 F0
Ts
1 fs
t n
| X (e
jk0T
)|
s
2 Ts
0
2 T0
k
8
四种形式归纳
类型
傅里叶变换 傅里叶级数
时间函数
连续 非周期
频率函数
N
(1)
1-z -8 X(z)= , -1 1-z
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理课后第三章习题答案
1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)
n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )
n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案
m −1 N −1
−j
2 π ( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk k r −1 − j2mπ lk mN m = ∑ ∑ x( n′)e = X ∑e e l =0 n′=0 r l =0 k 因为 m = 整数 m −1 − j 2 π lk m m = ∑e k l =0 0 ≠ 整数 m m −1 N −1
m =0 n =0
N −1
N −1
由于
∑W
n =0
N −1
n (m+ k ) N
N = 0
m= N −k m ≠ N − k, 0 m
N −1
所以
5.
DFT［X(n)］=Nx(N－k)
N −1 k =0
k=0, 1, …, N－1
证: 由 IDFT 定义式
x(n) = 1 N
∑ X (k )W
=
1− e
−j
2π (m −k ) N N 2π (m−k ) N
1− e
N −1 n =0
−j
N = 0
N −1 n =0
k=m k≠m
2π 2π
0≤k≤N－1
- j mn - j kn 2π 1 j mn (6) X (k ) = cos ∑ mn ⋅ WNkn = ∑ (e N + e N )e N
Xep(k)=DFT［xr(n)］ ， 是 X(k)的共轭对称分量；
Xop(k)=DFT［jxi(n)］,
是 X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果 x(n)为实序列， 则 Xop(k)=DFT ［jxi(n)］
=0，
(n) 第3章离散傅里叶变换(DFT)
W e
k N
j
2 k N
e
j
2 ( k mN ) N
W
( k mN ) N
k , m, N 均为整数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
( X ( k mN ) x ( n )WN k mN ) n n 0 kn x ( n )WN X ( k ) n 0 N 1 N 1
k
16
k
16
k
e
j
3 k 16
sin( k ) 4 , k 0,1,...... 15 sin( k ) 16
X
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
1.5
x ( n)
1
0.5
x(n)=R4(n)
n
0 1 2 3 4 5 6 7
0
X (k )
N=8
k
sin( k ) 2 X (k ) sin( k ) 8 k 0,1,......7
nn23213nn23214任何有限长序列xn都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和类似的xn的dftxnxk也可以表示成其共轭对称分量xepk和共轭反对称分量xopk之和nk2xk的共轭对称分量nk2xk的共轭反对称分量0nn13211例题第三章习题12opep由dft的对称性可知已知nk0kn13219xnk3221对实序列的进行dft可以利用上述对称性减少计算量
X ( k )e
n 0
N 1
n
X
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1
离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk 。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.2 （1）设()xn 为实周期序列，证明()x n 的傅里叶级数()X k 是共轭对称的，即*()()X k X k =- 。
（2）证明当()xn 为实偶函数时，()X k 也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nkNn N N nk nkNNn n Xk xn W X k xn W xn W Xk --=---==-=-===∑∑∑（2）因()xn 为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =- 或*()()X k X k -= 又因()xn 为偶函数，即()()x n x n =- ，所以有 (1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk ，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+ ，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =- ，对于所有的k ； （3）(0)0X= ；（4）25()jkXk e π ，对所有的k 是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n 一个周期为N ＝10的周期序列，故()Xk 也是一个周期为N ＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n 一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()Xk 是共轭对称的，即应有*()()Xk X k =- ，这里()X k 不一定是实数序列。
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题数字信号处理第三版第3章离散傅里叶变换(DFT)习题1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=δ(n)(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) n ) jNmn N x(=e,0 mπ 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π(7) x(n)=ejω0nRN(n)(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ20 N k=m k=N m其它kNjθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k其中，m为正整数，0mN/2, N为变换区间长度。
3．已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)，循环卷积区间长度L=10。
，4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］数字信号处理第三版证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)5．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理1x(0)=N∑X(k)k=0N 16．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。
7．证明: 若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=__（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
的 N 值。
19． 已知调幅信号的载波频率 fc=1 kHz， 调制信号频率 fm=100 Hz， 用 FFT
对其进行谱分析， 试求：
(1) 最小记录时间 Tp min; (2) 最低采样频率 fs min; (3) 最少采样点数 Nmin。 20． 在下列说法中选择正确的结论。 线性调频 Z 变换可以用来计算一个有限
取样值。
21． 我们希望利用 h(n)长度为 N=50 的 FIR 滤波器对一段很长的数据序列进行
滤波处理， 要求采用重叠保留法通过 DFT(即 FFT)来实现。 所谓重叠保留法， 就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为 M=100 个采样点)， 但相邻两段必 须重叠 V 个点， 然后计算各段与 h(n)的 L 点(本题取 L=128)循环卷积， 得到输 出序列 ym(n)， m 表示第 m 段循环卷积计算输出。 最后， 从 ym(n)中选取 B 个 样值， 使每段选取的 B 个样值连接得到滤波输出 y(n)。
求 X1 (k ) = DFT[ x1 (n)]8 和 X 2 (k ) = DFT[ x2 (n)]8 ［注: 用 X(k)表示 X1(k)和 X2(k)。 ］
17． 设 x(n)是长度为 N 的因果序列， 且 X (e jω ) = FT[ x( n)]
∞ y(n) = x(n + mM ) RM (n) m =− ∞
长序列 h(n)在 z 平面实轴上诸点{zk}的 Z 变换 H(zk)， 使
(1) zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a 为实数， (2) (3) a≠1;
zk=ak, k=0, 1, …, N－1, a 为实数， a≠1; (1)和(2)都不行， 即线性调频 Z 变换不能计算 H(z)在 z 平面实轴上的
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2
由8点DIT-FFT运算流图可以发现，第L级共有2L-1个 不同的旋转因子。 N=23=8时的各级旋转因子表示如下: 0 L=1时 WNp WN
L=2时 L=3时
0 2 WNp WN , WNp WN
0 1 2 3 WNp WN ,WNp WN ,WNp WN ,WNp WN
倒 二进制数 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
序 十进制数 J 0 4 2 6 1 5 3 7
X (0), X (1), X (2), X (7)
12
由8点DIT-FFT运算流图可见，N=2M时，其DIT-FFT运算流图 由M级蝶形构成，每级有N/2个蝶形。因此，每级需要N/2 次复数乘法运算和N次复数加法运算，M级蝶形所需复数乘 法次数CM(2)和复数加法次数CA(2)分别为
CM (2) N N M log2 N 2 2
CA (2) NM N log 2 N
N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。同一级中，每个 蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形有用，而且每个蝶形的输入、输出数 据节点又同在一条水平线上，这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数 据可立即存入原输入数据所占用的存储单元。这样，经过M级运算后，原 来存放输入序列数据的N个存储单元(A(0),A(1),…,A(N-1))中便依次存放 X(k)的N个值。这种利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方 法称为原位（址）计算。 • 节约内存单元，降低设备成本
0 WN 0 WN 0 WN
2 WN
X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)
20
W N0
0 WN 0 WN 0 WN
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
第3章-离散变换-解答
2 j n N
e
j
2 n N
]
N 2 cos( n) RN (n) 2 N
5
(2)
N2 Y (k )Y (k ) F2 (k ) 2 [ (k 1) (k N 1)] f 2 (n) f 2 ( n ) y ( n) y ( n) j 4 1 N
n 0
n 0
6 6 ~ X 1 (2) ~ x1 (n)W72 n ~ x1 (n)e j 2 n e j 0 e j 2 e j 4 0.12 j 0.54
n 0
n 0
6 6 ~ X 1 (3) ~ x1 (n)W73n ~ x1 (n)e j 3n e j 0 e j 3 e j 6 0.72 j 0.35
n0
n 0
6 6 ~ X 1 (6) ~ x1 (n)W76 n ~ x1 (n)e j 6 n e j 0 e j 6 e j12 1.4 j1.76
n0
n 0
~ X 1 (0) 3, ~ X 1 (4) 0.80,
~ X 1 (1) 2.25, ~ X 1 (5) 0.55,
方法 2 用卷积： （1）
2 2 ( n m) m cos N N m0 1 N 1 2 2 [cos (m n m) cos (m n m)] 2 m 0 N N 1 N 1 2 1 N 1 4 2 cos n cos( m n) 2 m 0 2 m0 N N N f1 (n) x(n) x(n) cos
方法 1 用 DFT: (1)
2
2
f1 (n) x(n) x(n) X (k ) X (k ) F1 (k )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。
（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。
（3）正确。
因为()x n%在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有1(0)()0NnX x n-===∑%%（4）不正确。
根据周期序列的移位性质，25()jkX k eπ%＝210()kX k W-%对应与周期序列(2)x n+%，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。
由题3.2中的（2）知道，25()jkX k eπ%不是实偶序列。
3.4设3()()x n R n=，()(6)rx n x n r∞=-∞=+∑%，求()X k%，并作图表示()x n%和()X k%。
解：3152666000633111(1) ()()()111k j k k Nnk nk nkN kj k j k n n nW eX k x n W x n W WWe eπππ----===----======---∑∑∑%%%(0)1(2)(4)0(1)131(13)/22(3)11(5)131(13)j XXX X j j X e Xj j π-=====---==-==+-+%%%%%% ()x n %和()Xk %的图形如图3.4_1所示：3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列1()x n %和2()x n %，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积3()x n %，并图表示。
解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积3()x n %的过程，可以看出，3()x n %是1()x n %延时1的结果，即31()(1)x n x n =-%%。
3.5 计算下列序列的N 点DFT ：(1)()()x n n δ=(2)00()[()]*(),0N N x n n n R n n N δ=-<< (3)(),01nx n a n N =≤≤- (4)2()cos(),01,x n nm n N o m N Nπ=≤≤-<< 解：（1）10()()(0)1,01N nkN n X k n W k N δδ-====≤≤-∑ （2）0100()[()](),01N n k nkN N N N n X k n n R n W W k N δ-==-=≤≤-∑（3）111(),0111N Nk N N n nkN Nk kn N Na W a X ka W k N aW aW -=--===≤≤---∑ （4）22211002()2()22()()1()()()(()()()21()cos()211121112N N j nm j nm j nk nk NN N N n n j k m j k m j k m j k m N N N j k m j k m j k m j k m j k m N j k m j k m NN X k nm W e e eN e e ee e e e e e ee πππππππππππππππ----==---+---++---+-+-----⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪=+ ⎪--⎝⎭--=+-∑∑()()()(){1)()()()11()(),20,sin sin 12sin /sin /N j k m N j k m j k m N N N N j k m j k m N N Nk m k m e e e k m k m e e k m N k m N πππππππππ+-++-+++---+==-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎧⎫-+⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎣⎦=+⎨⎬-+⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭=或其他3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列()x n ,画出1()x n 和2()x n 的图形。
（1）()144()2()x n x n R n =-⎡⎤⎣⎦（2）()244()2()x n x n R n =-⎡⎤⎣⎦解：1()x n 和2()x n 的图形如图P3.7_1所示：3.8 图P3.8表示一个4点序列()x n 。
（1）绘出()x n 与()x n 的线性卷积结果的图形。
（2）绘出()x n 与()x n 的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出()x n 与()x n 的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。
解：（1）图P3.8_1（1）所示的是()x n 与()x n 的线性卷积结果的图形。
（2）图P3.8_1（2）所示的()x n 与()x n 的4点循环卷积结果的图形。
（3）图P3.8_1（3）所示的()x n 与()x n 的8点循环卷积结果的图形。
可以看出，()x n 与()x n 的8点循环卷积结果的图形与（1）中()x n 与()x n 的线性卷积结果的图形相同。
3.9 ()x n 是一个长度为N 的序列，试证明[()][()]N N x n x N n -=-。
证明：因为[()]N x n -是由()x n 周期性重复得到的周期序列，故可表示为[()][()]N N x n x n rN -=-+ 取r ＝1，上式即为[()][()]N N x n x N n -=-。
3.10 已知序列()(),01nx n a u n a =<<。
现在对其Z 变换在单位圆上进行N 等分取样，取值为()()|k Nz W X k X z -==，求有限长序列的IDFT 。
解：在z 平面的单位圆上的N 个等角点上，对z 变换进行取样，将导致相应时间序列的周期延拓，延拓周期为N ，即所求有限长序列的IDFT 为 ()()(),0,1, (11)n rNp Nr r a x n x n rN au n rN n N a∞∞+=-∞=-∞=+=+==--∑∑ 3.11 若长为N 的有限长序列()x n 是矩阵序列()()N x n R n =。
（1）求[()]x n Z ，并画出及其-零点分布图。
（2）求频谱()j X e ω，并画出幅度|()|j X e ω的函数曲线。
（3）求()x n 的DFT 的闭式表示，并与()j X e ω对照。
解：（1）11021111111111()()1()()()1(1)(1)N N nnNn n N N N j k k k NN NNk k k N N N N z X z Rn zzz z W z W z e z z z z z z zπ-∞----=-∞=-----===-----===-∏-∏-∏--====--∑∑极点：00(1)z N =-阶；零点：2,1,2,...,1j k Npk z e k N π==-图P3.11_1(1)是极-零点分布图。
（2）12222111222sin 1()2()()|1sin()2j N N N jjjN j N j j j z e j j j N e e e eX e X z ee e e e ωωωωωωωωωωωωω------=--⎛⎫⎪--⎝⎭====--sin 12|()|,()2sin 2j N N X e ωωϕωωω⎛⎫⎪-⎝⎭==-图P3.11_1(2)所示的是频谱幅度|()|j X e ω的函数曲线。
（3）{21,020,1,2,...,12011()()()11Nk j k N nk j N k N N Nk N k k j k n NN NW e X k R n WX e W e πωππω--==-=-=--=====--∑可见，()X k 等于()j X e ω在N 个等隔频率点2(0,1,2,...,1)k N Nπω==-上的取样值。
3.12 在图P3.12中画出了有限长序列()x n ，试画出序列4[()]x n -的略图。
解：3.13 有限长序列的离散傅里叶变换相当与其Z 变换在单位圆上的取样。
例如10点序列()x n 的离散傅里叶变换相当与()X z 在单位圆10个等分点上的取样，如图P3.13（a ）所示。
为求出图P3.13（b ）所示圆周上()X z 的等间隔取样，即()X z 在[(2/10)(/10)]0.5j k z eππ+=各点上的取样，试指出如何修改()x n ，才能得到序列1()x n ，使其傅里叶变换相当于上述Z 变换的取样。
解：22991010102110.5exp 101000()()()()(0.5)j nk jn jnk n z j k n n X k x n eX z x n eeπππππ----⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=====∑∑由上式得到101()(0.5)()jnnx n ex n π--=3.14 如果一台通用计算机计算一次复数乘法需要100s μ，计算一次复数加法需要20s μ，现在用它来计算N ＝1024点的DFT ，问直接计算DFT 和用FFT 计算DFT 各需要多少时间？ 解：直接计算DFT ：复数乘法：22102410485761048576100105N s s μ==⨯≈次，复数加法：(1)102410231047552,10475522021N N s s μ-=⨯=⨯≈次 总计需要时间：(10521)126s s +=用FFT 计算DFT ： 复数乘法：2log 5120,51201000.5122NN s s μ=⨯≈次 复数加法：2log 10240,10240200.2048N N s s μ=⨯≈次 总计需要时间：(0.5120.2048)0.7168s s +=3.15 仿照本教材中的图3.15，画出通过计算两个8点DFT 的办法来完成一个16点DFT 计算的流程图。