(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考

第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考

3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数()X

k %。

解：

(1)

1

1

*0

()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑

%%%%%%

3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()X

k %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。 （2）证明当()x n %为实偶函数时，()X

k %也是实偶函数。 证明：（1）

1

01

1

*

*

()()()[()]()()

N nk N

n N N nk nk

N

N

n n X k x n W X k x n W

x n W

X k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%

（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()X

k X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()x

n x n =-%%，所以有

(1)

11*0

()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-=

=-=∑∑∑

%%%%%%

3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级

数的系数()X

k %，确定以下式子是否正确。 （1）()(10)X

k X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()X

k X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X

=%；

（4）

2

5 (

)jk

X k e

π

%，对所有的k是实函数。

解：（1）正确。因为()

x n

%一个周期为N＝10的周期序列，故()

X k

%也是一个周期为N＝10的周期序列。

（2）不正确。因为()

x n

%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()

X k

%是共轭对称的，即应有*

()()

X k X k

=-

%，这里()

X k

%不一定是实数序列。

（3）正确。因为()

x n

%在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有1

(0)()0

N

n

X x n

-

=

==

∑

%%

（4）不正确。根据周期序列的移位性质，

2

5

()jk

X k e

π

%＝2

10

()k

X k W-

%对应与周期序列(2)

x n+

%，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。由题3.2中的（2）知道，

2

5

()jk

X k e

π

%不是实偶序列。

3.4设

3

()()

x n R n

=，()(6)

r

x n x n r

∞

=-∞

=+

∑

%，求()

X k

%，并作图表示()

x n

%和()

X k

%。

解：

3

152

6

66

000633

111(1) ()()()

1

11

k j k k N

nk nk nk

N k

j k j k n n n

W e

X k x n W x n W W

W

e e

π

ππ

-

-

--

===

----======

-

--

∑∑∑

%%%

(0)1(2)(4)0(1)13

1

(13)

/

2

2(3)11(5)13

1(13)

j X

X

X X j j X e X

j j π-=====---=

=-==+-+%%%%%% ()x n %和()X

k %的图形如图3.4_1所示：

3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列1()x n %和2()x n %，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积

3()x n %，并图表示。

解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积3()x n %的过程，可以看出，3()x n %是1()x n %延时1的结果，

即31()(1)x n x n =-%%。