05第五章参数估计
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如果对于事先给定的 （通常 是大于 0 小于 1 之间的一个较小的数，
如 0.05，0.01 等），存在两个统计量L (X1,, X n ) 和U (X1,, X n ) 使得
P(L (X1,, X n ) U (X1,, X n )) 1
则称 (L,U ) 为参数 的置信度为1 的置信区间（confidence interval）,
U x
M
(x )2
i1
M
Up
M
( p )2
i1
M
大数法则
大数法则（大数定律）
1 n
lim P(
n n
i1
Xi
)1
大数法则从数量关系角度阐明了样本
和总体之间的内在联系，证明了随着抽样
容量n的增加，能够以接近1的概率期望抽
样平均数与总体平均数的偏差为任意小。
中心极限定理
图示
各种分布的图示
【解】以 表示瓶装饮料的平均容量，由已知可得，样本容量为n 25 ，
样本均值 x 499.5，样本标准差为 s 2.63 ，因为置信水平1 0.99 ，查
自 由 度 为 n 1 24 的
t
分
布
表
得
分
位
数
t (n 2
1)
t0.005 (24)
2.797
，
所
以
， ，因 x t (n 1) s 499 .5 2.797 2.63 / 25 499 .5 1.4712 498 .03 x t (n 1) s 499 .5 1.4712 500 .97
3．通过不等式变形，即可求出未知参数 的置信水平为1 的
置信区间。
单正态总体均值的区间估计（方差已知）
设样本 X1,, X n 来自正态总体 N (, 2) ，这里 2 已知，总体均值 未知，如 何求总体均值 的置信水平为1 的置信区间?
构造枢轴量 Z X ，服从标准正态分布 N (0,1) ，给定置信水平1 ，有 n
特点
抽样推断方法与其它统计调查方法相 比，具有省时、省力、快捷的特点，能以 较小的代价及时获得总体的有关信息。
1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定 可靠性的估计和推断 2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位 3. 抽样推断必然会产生抽样误差
作用
1. 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面资料 就必须采用抽样推断方法
第四节 一般总体均值的大样本区间估计
一、非正态总体均值的大样本区间估计
二、总体成数的大样本区间估计 三、总体成数的大样本单侧区间估计
第五节 正态总体方差的区间估计 一、单正态总体方差的区间估计 二、两正态总体方差的区间估计
第六节 样本容量的确定
一、总体均值估计的必要样本容量 二、总体成数估计的必要样本容量 三、影响必要样本容量的因素
2
2
1478 1.96 n
1296 / 27 1478 13.58 1464 .42 ，
x z 1478 1.96 1296 / 27 1478 13.58 1491 .58 ，
2n
因此该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95% 的置信区间为
(x z , x z ) (1464 .42, 1491 .58) 。
这类置信区间也称为双侧置信区间，L 和U 分别称为置信水平1 的 置信下限和置信上限；1 称为置信水平（confidence level）或置信系 数（confidence coefficient）。
区间估计的概念
置信区间越小，说明估计的精度越高，即我们对未 知参数的了解越多、越具体；置信水平越大，估计可 靠性就越大。
【解】问题实际上就是求总体均值(60W 灯泡的平均寿命)的置信区间，
由已知条件可得，总体方差 2 1296 ，样本容量为 n 27 ，样本均值
x 1478 。 因 为 置 信 水 平 为 1 0.95 ， 所 以 查 标 准 正 态 分 布 表 可 得
z z0.025 1.96， x z
假设湖水中钠的含量为随机变量 X ，服从正态分布 N (, 2 ) ，试求湖水钠的平均含量
的 95%置信区间。
【解】由已知可得，样本容量为n 32，样本均值 x 19.0688，样本标准差为
s 3.2555，因为置信水平1 0.95，查自由度为 n 1 31的 t 分布表得分位
数 ，所以 ， t2 (n 1) t0.025(31) 2.04
s
x t (n 1) 19.0688 2.04 3.2555 / 32 19.0688 1.1737 17.90
2Hale Waihona Puke Baidu
n
x t (n 1) s 19.0688 1.1737 20.24 ，因此湖水钠的平均含量 的 95%置信区间为
是1 ”；但这个具体区间到底包含还是不包含参数 ，我们无法知道；
然而根据大数定律，我们宁愿相信这个区间是包含未知参数 的那 100(1 )% 区间中的一个。
一般步骤
1 ． 寻 找 样 本 X1, X n 的 一 个 函 数 u( X1, X n; ) ， 通 常 称 为 枢 轴 量
(pivotal)，它只含待估的未知参数 ，不含其它任何未知参数，并且
2
s n
)
。
【例 5.5】某饮料公司生的一种瓶装例软题饮料，其包装上标明净容量是 500ml，
在市场上随机抽取了 25 瓶，测得到其平均容量为 499.5ml，标准差为 2.63ml。 试求该公司生产的这种瓶装饮料的平均容量的置信水平为 99%的置信区间 (假定饮料的容量服从正态分布 N(, 2) )。
抽样误差主要包括样本平均数与总体平均数的差 数，样本成数与总体成数的差数。抽样误差愈小，表 示样本的代表性愈高；反之，代表性就愈低。
抽样误差的大小决定于以下几个因素： 1. 样本容量n的多少。 2. 总体被研究标志的变异程度。 3. 抽样方法的选择。
抽样平均误差
抽样平均误差就是抽样平均数或 成数的标准差。
点估计
点估计，也称定值估计，就是以样本估计量 直接代替总体参数的一种推断方法。 点估计常用方法：矩估计法、极大似然估计法。
点估计量的优良标准
1. 无偏性
E(x); E(p)
2. 一致性
lP i x m 1 ; lP i p m 1
n
n
3. 有效性
ˆ 1 ˆ
区间估计的概念
实际上，也可以证明当样本容量
n
充分大时，枢轴量
t
X S
n
近似服
从标准正态分布，这也可以解释当 n 较大时，用标准正态分布的分位数
z
2
来近似
t
分布的分位数
t 2
(n
1)
的合理性。
t分布与标准正态分布的比较
例题 【例 5.6】为研究某内陆湖的湖水的含盐量，随机地从该湖的 32 个取样点采了 32 个湖水
2
n
2
n
正态总体方差 2 未知时，总体均值 的置信水平为1 的（双侧）置信
区间为 ( X t (n 1) 2
S, n
X t (n 1)
2
S n
)
；
总 体 均 值 的 置 信 水 平 为 1 的 （ 双 侧 ）置 信 区 间 的 观 测 值 为
(x t (n 1)
2
s, n
x t (n 1)
在样本容量一定的前提下，精度与置信度往往是相 互矛盾的。若要同时提高置信度和精度，只能增加样 本容量。
区间估计和假设检验（下章）有着对偶的关系，有 一种假设检验就可根据该检验构造相应的置信区间。
置信区间的构建往往要借助于未知参数点估计或其 函数的抽样分布来进行。
直观含义
直观含义：在大量多次抽样下，由于每次抽到的样本一般不会完全相同， 用同样的方法构造置信水平为1 的置信区间，将得到许多不同区间 (L(x1,, xn ), U (x1,, xn )) ，这些区间中大约有100(1 )%的区间包含未知参数 的真值，大约有100%的区间不包含参数 的真值。但是在实际问题中， 往往只有一个具体的样本，即样本的一次观测值，根据这个实际样本数 据做区间估计，代入置信区间公式得到一个具体的、固定的区间 (L(x1,, xn ), U (x1,, xn )) ，比如 (495, 506) ，不再是随机区间，其两个端点是 两个具体的数，这个区间要么包含参数 的真值，要么不包含 的真值， 根本不存在这个具体区间“可能包含 的真值”“可能不包含 的真值” 问题，因此不能说“某具体区间 (L(x1,, xn ), U (x1,, xn )) 包含参数 的概率
2n
2n
单正态总体均值的区间估计(方差未知时)
枢轴量t X ，服从自由度为 n-1 的 t 分布 t(n 1) ；可得
Sn
P(| t | t (n 1)) P( X t (n 1)) 1 ，即
2
Sn 2
P( X t (n 1) S X t (n 1) S ) 1 。
样本，测得它们的含钠量(单位：ppm)分别为：
13.0 18.5 16.4 14.8 19.4 17.3 23.2 24.9 20.8 19.3 18.8 23.1 15.2 19.9 19.1 18.1 25.1 16.8 20.4 17.4 25.2 23.1 15.3 19.4 16.0 21.7 15.2 21.3 21.5 16.8 15.6 17.6
P( X
n
z ) 1 ，即 2
P( X z X z ) 1 ；所以
2n
2n
总体均值
的置信水平为1
的（双侧）置信区间
(X
z
2
, X z
n
2
n) ；
得到样本观测值后，对该样本观测值，总体均值 的置信水平为1 的
（双侧）置信区间为 (x z 2
, x z
n
2
n ) ，它是一个具体的区间。
x z
2n
x
x z
2n
例题 【例 5.4】某灯具生产厂家生产一种 60W 的灯泡，假设其寿命为随机变量
X，服从正态分布 N(,1296) 。现在从该厂生产的 60W 的灯泡中随机地抽取 了 27 个产品进行测试，直到灯泡烧坏，测得它们的平均寿命为 1478 小时。 请计算该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95%的置信区间。
参数估计的基本步骤
1. 按照一定的抽样方式抽取适当的样本进行调查， 针对该种抽样方式选择总体参数的最优样本估计量， 计算估计值，以此作为总体参数的点估计；
2. 根据该种抽样方式的抽样平均误差公式计算出 抽样误差，我们往往要先计算样本标准差以替代未知 的总体标准差；
3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、t分布 表或其他分布表获得对应的概率度，然后再计算出抽 样极限误差，最后对总体参数作出区间推断。
u(X1, Xn; ) 的分布要已知但不含任何未知参数（当然也不包含待估参数 ），在很多情况下， u( X1, X n; ) 可以从 的点估计经过变换获得；
2．对给定的置信水平1 ，由u( X1, Xn; ) 的抽样分布确定分位点。 由于枢轴量 u( X1, X n; ) 的分布已知（多数情况下都是常见分布）且不 含任何未知参数，因此它的分位点可以计算出来（通过查表或利用统 计分析软件）；
2. 某些理论上可以进行全面调查的现象，采用抽样推 断可以达到事半功倍的效果
3. 抽样推断可以对全面调查的结果进行评价和修正
4. 抽样推断可用于工业生产过程中的质量控制
5. 利用抽样推断的原理，可以对某些总体的假设进行 检验，来判断假设的真伪，为决策提供依据
重复抽样
重复抽样又叫有放还抽样或重置抽 样。它是每抽出一个样本单位后，把结 果记录下来，随即将该单位放回到总体 中去，使它和其余的单位在下一次抽选 中具有同等被抽中的机会。在重复抽样 过程中，总体单位数始终保持不变，并 且同一个单位有多次被抽中的可能性。
不重复抽样
不重复抽样又叫无放还抽样或不重 置抽样。它是每抽出一个样本单位后，把 结果记录下来，该单位就不再放回到总体 中去参加以后的抽选。在不重复抽样过程 中，总体单位数逐渐减少，并且每个单位 至多只有一次被抽中的可能性。
抽样误差
用样本指标来代表总体指标时就会产生一定的误 差，这种误差是抽样推断方法本身所固有的，所以叫 抽样误差，属于代表性误差。
2
n
2
n
此该公司生产的这种瓶装饮料的平均容量的置信水平为 99%的置信区
间为(498.03, 500.97)。由于该区间包含了 500，故该公司的这种瓶装饮料
的容量符合其包装上的标准，不存在容量不足欺骗消费者的行为。
正 近似 态分t 分布布极的为分接位近数(见t下(nt图分1))，布。所与以也正可态以分用标布准正态分布的分位数 z2 来 2
如 0.05，0.01 等），存在两个统计量L (X1,, X n ) 和U (X1,, X n ) 使得
P(L (X1,, X n ) U (X1,, X n )) 1
则称 (L,U ) 为参数 的置信度为1 的置信区间（confidence interval）,
U x
M
(x )2
i1
M
Up
M
( p )2
i1
M
大数法则
大数法则（大数定律）
1 n
lim P(
n n
i1
Xi
)1
大数法则从数量关系角度阐明了样本
和总体之间的内在联系，证明了随着抽样
容量n的增加，能够以接近1的概率期望抽
样平均数与总体平均数的偏差为任意小。
中心极限定理
图示
各种分布的图示
【解】以 表示瓶装饮料的平均容量，由已知可得，样本容量为n 25 ，
样本均值 x 499.5，样本标准差为 s 2.63 ，因为置信水平1 0.99 ，查
自 由 度 为 n 1 24 的
t
分
布
表
得
分
位
数
t (n 2
1)
t0.005 (24)
2.797
，
所
以
， ，因 x t (n 1) s 499 .5 2.797 2.63 / 25 499 .5 1.4712 498 .03 x t (n 1) s 499 .5 1.4712 500 .97
3．通过不等式变形，即可求出未知参数 的置信水平为1 的
置信区间。
单正态总体均值的区间估计（方差已知）
设样本 X1,, X n 来自正态总体 N (, 2) ，这里 2 已知，总体均值 未知，如 何求总体均值 的置信水平为1 的置信区间?
构造枢轴量 Z X ，服从标准正态分布 N (0,1) ，给定置信水平1 ，有 n
特点
抽样推断方法与其它统计调查方法相 比，具有省时、省力、快捷的特点，能以 较小的代价及时获得总体的有关信息。
1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定 可靠性的估计和推断 2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位 3. 抽样推断必然会产生抽样误差
作用
1. 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面资料 就必须采用抽样推断方法
第四节 一般总体均值的大样本区间估计
一、非正态总体均值的大样本区间估计
二、总体成数的大样本区间估计 三、总体成数的大样本单侧区间估计
第五节 正态总体方差的区间估计 一、单正态总体方差的区间估计 二、两正态总体方差的区间估计
第六节 样本容量的确定
一、总体均值估计的必要样本容量 二、总体成数估计的必要样本容量 三、影响必要样本容量的因素
2
2
1478 1.96 n
1296 / 27 1478 13.58 1464 .42 ，
x z 1478 1.96 1296 / 27 1478 13.58 1491 .58 ，
2n
因此该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95% 的置信区间为
(x z , x z ) (1464 .42, 1491 .58) 。
这类置信区间也称为双侧置信区间，L 和U 分别称为置信水平1 的 置信下限和置信上限；1 称为置信水平（confidence level）或置信系 数（confidence coefficient）。
区间估计的概念
置信区间越小，说明估计的精度越高，即我们对未 知参数的了解越多、越具体；置信水平越大，估计可 靠性就越大。
【解】问题实际上就是求总体均值(60W 灯泡的平均寿命)的置信区间，
由已知条件可得，总体方差 2 1296 ，样本容量为 n 27 ，样本均值
x 1478 。 因 为 置 信 水 平 为 1 0.95 ， 所 以 查 标 准 正 态 分 布 表 可 得
z z0.025 1.96， x z
假设湖水中钠的含量为随机变量 X ，服从正态分布 N (, 2 ) ，试求湖水钠的平均含量
的 95%置信区间。
【解】由已知可得，样本容量为n 32，样本均值 x 19.0688，样本标准差为
s 3.2555，因为置信水平1 0.95，查自由度为 n 1 31的 t 分布表得分位
数 ，所以 ， t2 (n 1) t0.025(31) 2.04
s
x t (n 1) 19.0688 2.04 3.2555 / 32 19.0688 1.1737 17.90
2Hale Waihona Puke Baidu
n
x t (n 1) s 19.0688 1.1737 20.24 ，因此湖水钠的平均含量 的 95%置信区间为
是1 ”；但这个具体区间到底包含还是不包含参数 ，我们无法知道；
然而根据大数定律，我们宁愿相信这个区间是包含未知参数 的那 100(1 )% 区间中的一个。
一般步骤
1 ． 寻 找 样 本 X1, X n 的 一 个 函 数 u( X1, X n; ) ， 通 常 称 为 枢 轴 量
(pivotal)，它只含待估的未知参数 ，不含其它任何未知参数，并且
2
s n
)
。
【例 5.5】某饮料公司生的一种瓶装例软题饮料，其包装上标明净容量是 500ml，
在市场上随机抽取了 25 瓶，测得到其平均容量为 499.5ml，标准差为 2.63ml。 试求该公司生产的这种瓶装饮料的平均容量的置信水平为 99%的置信区间 (假定饮料的容量服从正态分布 N(, 2) )。
抽样误差主要包括样本平均数与总体平均数的差 数，样本成数与总体成数的差数。抽样误差愈小，表 示样本的代表性愈高；反之，代表性就愈低。
抽样误差的大小决定于以下几个因素： 1. 样本容量n的多少。 2. 总体被研究标志的变异程度。 3. 抽样方法的选择。
抽样平均误差
抽样平均误差就是抽样平均数或 成数的标准差。
点估计
点估计，也称定值估计，就是以样本估计量 直接代替总体参数的一种推断方法。 点估计常用方法：矩估计法、极大似然估计法。
点估计量的优良标准
1. 无偏性
E(x); E(p)
2. 一致性
lP i x m 1 ; lP i p m 1
n
n
3. 有效性
ˆ 1 ˆ
区间估计的概念
实际上，也可以证明当样本容量
n
充分大时，枢轴量
t
X S
n
近似服
从标准正态分布，这也可以解释当 n 较大时，用标准正态分布的分位数
z
2
来近似
t
分布的分位数
t 2
(n
1)
的合理性。
t分布与标准正态分布的比较
例题 【例 5.6】为研究某内陆湖的湖水的含盐量，随机地从该湖的 32 个取样点采了 32 个湖水
2
n
2
n
正态总体方差 2 未知时，总体均值 的置信水平为1 的（双侧）置信
区间为 ( X t (n 1) 2
S, n
X t (n 1)
2
S n
)
；
总 体 均 值 的 置 信 水 平 为 1 的 （ 双 侧 ）置 信 区 间 的 观 测 值 为
(x t (n 1)
2
s, n
x t (n 1)
在样本容量一定的前提下，精度与置信度往往是相 互矛盾的。若要同时提高置信度和精度，只能增加样 本容量。
区间估计和假设检验（下章）有着对偶的关系，有 一种假设检验就可根据该检验构造相应的置信区间。
置信区间的构建往往要借助于未知参数点估计或其 函数的抽样分布来进行。
直观含义
直观含义：在大量多次抽样下，由于每次抽到的样本一般不会完全相同， 用同样的方法构造置信水平为1 的置信区间，将得到许多不同区间 (L(x1,, xn ), U (x1,, xn )) ，这些区间中大约有100(1 )%的区间包含未知参数 的真值，大约有100%的区间不包含参数 的真值。但是在实际问题中， 往往只有一个具体的样本，即样本的一次观测值，根据这个实际样本数 据做区间估计，代入置信区间公式得到一个具体的、固定的区间 (L(x1,, xn ), U (x1,, xn )) ，比如 (495, 506) ，不再是随机区间，其两个端点是 两个具体的数，这个区间要么包含参数 的真值，要么不包含 的真值， 根本不存在这个具体区间“可能包含 的真值”“可能不包含 的真值” 问题，因此不能说“某具体区间 (L(x1,, xn ), U (x1,, xn )) 包含参数 的概率
2n
2n
单正态总体均值的区间估计(方差未知时)
枢轴量t X ，服从自由度为 n-1 的 t 分布 t(n 1) ；可得
Sn
P(| t | t (n 1)) P( X t (n 1)) 1 ，即
2
Sn 2
P( X t (n 1) S X t (n 1) S ) 1 。
样本，测得它们的含钠量(单位：ppm)分别为：
13.0 18.5 16.4 14.8 19.4 17.3 23.2 24.9 20.8 19.3 18.8 23.1 15.2 19.9 19.1 18.1 25.1 16.8 20.4 17.4 25.2 23.1 15.3 19.4 16.0 21.7 15.2 21.3 21.5 16.8 15.6 17.6
P( X
n
z ) 1 ，即 2
P( X z X z ) 1 ；所以
2n
2n
总体均值
的置信水平为1
的（双侧）置信区间
(X
z
2
, X z
n
2
n) ；
得到样本观测值后，对该样本观测值，总体均值 的置信水平为1 的
（双侧）置信区间为 (x z 2
, x z
n
2
n ) ，它是一个具体的区间。
x z
2n
x
x z
2n
例题 【例 5.4】某灯具生产厂家生产一种 60W 的灯泡，假设其寿命为随机变量
X，服从正态分布 N(,1296) 。现在从该厂生产的 60W 的灯泡中随机地抽取 了 27 个产品进行测试，直到灯泡烧坏，测得它们的平均寿命为 1478 小时。 请计算该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95%的置信区间。
参数估计的基本步骤
1. 按照一定的抽样方式抽取适当的样本进行调查， 针对该种抽样方式选择总体参数的最优样本估计量， 计算估计值，以此作为总体参数的点估计；
2. 根据该种抽样方式的抽样平均误差公式计算出 抽样误差，我们往往要先计算样本标准差以替代未知 的总体标准差；
3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、t分布 表或其他分布表获得对应的概率度，然后再计算出抽 样极限误差，最后对总体参数作出区间推断。
u(X1, Xn; ) 的分布要已知但不含任何未知参数（当然也不包含待估参数 ），在很多情况下， u( X1, X n; ) 可以从 的点估计经过变换获得；
2．对给定的置信水平1 ，由u( X1, Xn; ) 的抽样分布确定分位点。 由于枢轴量 u( X1, X n; ) 的分布已知（多数情况下都是常见分布）且不 含任何未知参数，因此它的分位点可以计算出来（通过查表或利用统 计分析软件）；
2. 某些理论上可以进行全面调查的现象，采用抽样推 断可以达到事半功倍的效果
3. 抽样推断可以对全面调查的结果进行评价和修正
4. 抽样推断可用于工业生产过程中的质量控制
5. 利用抽样推断的原理，可以对某些总体的假设进行 检验，来判断假设的真伪，为决策提供依据
重复抽样
重复抽样又叫有放还抽样或重置抽 样。它是每抽出一个样本单位后，把结 果记录下来，随即将该单位放回到总体 中去，使它和其余的单位在下一次抽选 中具有同等被抽中的机会。在重复抽样 过程中，总体单位数始终保持不变，并 且同一个单位有多次被抽中的可能性。
不重复抽样
不重复抽样又叫无放还抽样或不重 置抽样。它是每抽出一个样本单位后，把 结果记录下来，该单位就不再放回到总体 中去参加以后的抽选。在不重复抽样过程 中，总体单位数逐渐减少，并且每个单位 至多只有一次被抽中的可能性。
抽样误差
用样本指标来代表总体指标时就会产生一定的误 差，这种误差是抽样推断方法本身所固有的，所以叫 抽样误差，属于代表性误差。
2
n
2
n
此该公司生产的这种瓶装饮料的平均容量的置信水平为 99%的置信区
间为(498.03, 500.97)。由于该区间包含了 500，故该公司的这种瓶装饮料
的容量符合其包装上的标准，不存在容量不足欺骗消费者的行为。
正 近似 态分t 分布布极的为分接位近数(见t下(nt图分1))，布。所与以也正可态以分用标布准正态分布的分位数 z2 来 2