05第五章参数估计
SPSS讲义05总体参数的估计
§5.3 区间估计
• 两个总体均值估计量的样本均值分别 为170.56和165.60,样本标准差分别为 6.97857 和 7.55659 ； 还 得 到 均 值 的 置 信 区 间 分 别 是 <168.5767, 172.5433>,<163.4524, 167.7476>.
用计算机可以很容易地得到挂面重量的 样本均值、总体均值的置信区间等等. 下面是SPSS的输出：
Descriptives（ 描 述 统 计 量 ）
结果变量 统计量
weight
Mean（ 样 本 均 数 ）
统计 量值 449 .0104
标准 误差 .794 35
95% Confidence Interval for MLeoawner B ound（ 下 限 ） （ 总 体 均 数 的 95%可 信 区 间 ）
§5.4 关于置信区间的注意点
• 一个描述性例子：有10000个人回答的调查 显 示 , 同 意 某 观 点 人 的 比 例 为 70%〔 有 7000 人同意〕,可算出总体中同意该观点的比例 的95%置信区间为〔0.691,0.709〕；
• 另一个调查声称有70%的比例反对该种观点, 还说总体中反对该观点的置信区间也是 〔0.691,0.709〕.
§5.1 用估计量估计总体参数
• 点估计<point estimation>,即用估计 量的实现值来近似相应的总体参数.
• 区间估计<interval estimation>；它 是包括估计量在内〔有时是以估计量 为中心〕的一个区间；该区间被认为 很可能包含总体参数.
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤引言：参数估计是统计学中一项重要的任务，它用于根据样本数据来推断总体参数的值。
参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
本文将详细介绍参数估计的一般步骤，并以人类的视角进行描述，使读者更好地理解和应用这些步骤。
一、确定估计方法在参数估计中，首先需要确定合适的估计方法。
估计方法可以分为点估计和区间估计两种。
点估计方法通过单个数值来估计参数的值，例如最大似然估计和矩估计。
区间估计方法则通过一个区间来估计参数的范围，例如置信区间估计。
选择合适的估计方法是参数估计的第一步。
二、选择样本在确定了估计方法后，接下来需要选择合适的样本进行参数估计。
样本应当具有代表性，能够反映总体的特征。
为了保证样本的代表性，可以使用随机抽样方法来选择样本。
通过合理选择样本，可以减小估计误差，提高参数估计的准确性。
三、计算估计值在选择好样本后，需要计算参数的估计值。
对于点估计方法，可以使用最大似然估计或矩估计等方法来计算参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间估计来计算参数的范围。
计算估计值时，需要根据样本数据和估计方法进行相应的计算，确保估计结果的准确性。
四、进行推断在计算得到估计值后，需要进行推断，即根据估计值对总体参数进行推断。
对于点估计方法，可以直接使用估计值作为总体参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间来表示总体参数的范围。
通过推断可以了解总体参数的可能取值范围，帮助做出正确的决策和预测。
总结：参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
在进行参数估计时，需要选择合适的估计方法和样本，计算出估计值，并进行相应的推断。
参数估计在统计学中扮演着重要的角色，它帮助我们根据样本数据来推断总体参数的值，从而更好地了解和应用统计学。
通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解和应用参数估计的一般步骤。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
参数估计PPT课件
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
应用统计-第05章-参数估计
χ 1-α / 2
χα / 2
2
χ2
第 五 章
27
5.2.3 总体方差的区间估计 总体方差σ2在(1-α)置信水平下的置信区间为：
(n − 1) s 2
2 χα / 2
≤σ 2 ≤
(n − 1) s 2
χ12−α / 2
例5.5
应 用 统 计 第 五 章
28
根据例5.1的数据，以95%的置信水平建立该种食品 重量方差的置信区间。 解：根据样本数据计算的样本标准差为：
（单位：周岁）
36 31 47 44 48 45 44 33 24 40 50 32
试确立投保人年龄90%的置信区间。
应 用 统 计 第 五 章
16
解：已知，n=36，1-α =90%，zα/2=1.645。由 于总体方差未知，但为大样本，可用样本方 差来求总体方差。 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下：
10
5.1.3 评价估计量的标准 无偏性(unbiasedness) 无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等 于被估计的总体参数。 有效性(effciency) 一个无偏的估计量并不意味着它非常接近 被估计的参数，它还必须与总体参数的离 散程度比较小。对同一总体参数的两个无 偏点估计量，标准差越小的估计量越有效。 相合性(consistency) 相合性是指随着样本容量的增大，点估计 量的值越来越接近被估总体的参数。
o μ – 2.58σx μ – 1.96σx μ – 1.65σx μ
μ + 1.65σx μ + 1.96σx μ + 2.58σx
x
90%的样本 95%的样本 99%的样本
应 用 统 计 第 五 章
8
统计学习题05
2.下面哪些是影响必要样本容量的因素（）。
A.总体各单位标志变异程度B.允许的极限误差大小
C.推断的可靠程度D.抽样方法和抽样组织方式
E.样本均值和样本统计量
答案：ABCD
3.评价估计量是否优良的常用标准有（ ）。
A.无偏性B.有效性
C.准确性D.一致性
E.随机性
答案：ABC
4.点估计（ ）。
[参考答案]
28.306
2.现有一大批种子，为了估计其发芽率，随机抽取400粒进行发芽试验。结果有15粒每发芽。试以90%的置信度估计这批种子的发芽率。
[参考答案]
[ 0.95 , 0.97 ]
3.设总体X服从参数 的泊松分布，其概率分布率为 ，
x=0，1，2，……试求参数 的极大似然估计量及矩估计量。
A.求每晚睡眠时间总体均值的点估计。
B.假定总体是正态分布，求总体均值的点估计的95%置信区间。
[参考答案]
A.6.86，B.[6.54 , 7.18]
5.在某地方选举进行以前展开的民意测验表明，在随机抽取的121名居民中有65名支持某候选人，试求该候选人支持率的信赖区间。（ =5%）
[参考答案]
0.54-0.089=0.451
答案：C
21.已知σ2的1-α置信区间为，该区间也可表示为（）。
（D）以上答案都不正确
答案：B
二、多项选择题
1.在区间估计中，如果其他条件保持不变，置信度与精确度之间存在下列关系( )。
A.前者愈低，后者也愈低B. 前者愈高，后者也愈高
C. 前者愈低，后者愈高D.前者愈高，后者愈低
E. 两者呈相反方向变化
3.在进行参数估计时，我们并不是直接用一个个的具体样本之来估计、推断总体参数，而是根据样本构造出一些特定的量，用这些特定量来估计总体参数，这些根据样本构造的特定量就称为样本统计量。在估计过程中，我们把用来推估总体参数的样本统计量称为估计量。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的值。
它是一个重要的统计推断技术，可以帮助我们了解和描述总体的特征。
参数估计的一般步骤如下：
1. 确定研究对象和目标参数：首先，我们需要明确研究对象是什么，需要估计的是哪个参数。
例如，我们可能希望估计某个产品的平均寿命，那么研究对象是产品，目标参数是平均寿命。
2. 收集样本数据：为了进行参数估计，我们需要收集一定数量的样本数据。
样本应该能够代表总体，并且必须是随机选择的，以避免抽样偏差。
3. 选择合适的估计方法：根据研究对象和目标参数的不同，我们可以选择不同的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
点估计给出一个单一的数值作为参数的估计值，而区间估计给出一个范围，以表明参数估计值的不确定性。
4. 计算估计值：根据选择的估计方法，我们可以使用样本数据计算出参数的估计值。
例如，对于平均寿命的估计，我们可以计算样本的平均值作为总体平均寿命的估计值。
5. 评估估计的准确性：估计值的准确性可以通过计算估计的标准误
差或置信区间来评估。
标准误差反映了估计值与真实参数值之间的差异，而置信区间提供了参数估计值的不确定性范围。
6. 解释和应用估计结果：最后，我们需要解释估计结果并应用于实际问题中。
根据估计结果，我们可以得出结论，做出决策或提出建议。
参数估计是一种重要的统计推断方法，可以帮助我们了解总体特征并做出准确的推断。
通过正确的步骤和方法，我们可以获得可靠的参数估计结果，并将其应用于实际问题中。
第五章 t检验 3参数估计 PPT课件
参数估计 - 区间估计
由于估计量是随机变量，所以一般都带有一 定的随机误差，点估计仅仅给出了参数的一 个估计值，有时候还需要了解这种估计结果 的可靠程度。 用区间的的形式给出未知参数的变化范围， 并赋予一定的概率保证，这便构成了区间估 计的基本思想。
6
参数估计 - 区间估计
设总体X的分布中含有未知参数θ
x
x
~ N(0,1)
标准正态分 布两尾概率 分位点
P(u
x
x
u ) 1
P( x u x x u x ) 1
9
参数估计 - 区间估计
正态总体平均数的区间估计当 2未知 Nhomakorabeax
x
~ N(0,1)
2
(n 1) s
2
确定置信区间的步骤 计算样本平均数 x ； 确定置信水平，一般用 1-α=0.95或0.99， 通过查表可确定分位数； 求出标准误 x ，(σ总体标准差，n n 样本数)。
8
参数估计 - 区间估计
当 2已知
正态总体平均数的区 间估计
x ~ N ( , )
n
2
P( u x x u x ) 1
（5-16）
（5-17）
ˆ 为样本百分数， S 为样本百分数标准误， S 的计算公 其中， P ˆ ˆ P P
式为：
SP ˆ ˆ (1 P ˆ) P n
（5-18）
14
【例 5.10】
调查某地 1500 头奶牛，患结核病的有 150 头，求
该地区奶牛结核病患病率的 95%、99%置信区间。
3
参数估计 - 点估计
第五章参数估计与非参数估计
N
k
∴ 条件密度的估计：P(x) N
V
(V足够小)
讨论:① 当V固定的时候N增加, k也增加,当 N 时 k
P
k
1
P(x)
k N
1
只反映了P(x)的空间平均估计
N
VV
而反映不出空间的变化
② N固定,体积变小
k
当 V 0时,k=0时 P(x) N 0
V
k
k 0 时 P(x) N
i=1,2,…M
所以后验概率
P(
|
X
i)
P( X i | ).P() P(X i | )P()d(贝叶斯公式)
因为N个样本是独立抽取的，所以上式可以写成
N
P( | X i) a P(X k | ).P()
k 1
其中 a
1
P( X i | )P()d 为比例因子,只与x有关,与μ无关
∵ P(Xk| μ)=N(μ,σ2),P(u)=N(μ0,σ02)
P( X i | i) 服从正态分布
待估参数为 i 1
N
k1
logP(X k | ) 0
所以在正态分布时
P(
X
k
|
)
1 2
log[
2
n
|
|]
1 2
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
N
1 X k 0 k 1
N
所以 1( X k N) 0 k 1
出使它最大时的θi值。
∵学习样本独立从总体样本集中抽取的
N
∴ P( X i | i. i) P( X i | i) P( X k | i)
05第五章 抽样推断
置信水平
(confidence level)
1.
2.
将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间 包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置 信度 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例
3.
常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10
总体参数估计就是以样本统计量来估 计总体参数。 参数估计要求：
1. 精确性—适当的极限误差范围；
2. 可靠性—估计结果正确的概率。
参数估计—点估计和区间估计。
2014-3-30 第五章 抽样推断 20
2.2 点估计(point estimate)
点估计就是根据总体参数与样本统计 量之间的内在联系，直接以样本统计量 作为相应总体参数的估计值，点估计又 称为定值估计。 常用的点估计量有：
第五章
抽样推断
第一节 抽样推断及其特点
第二节 总体参数估计 第三节 假设检验概述
统计名言
不象其他科学，统计从来不打算使自 己完美无缺，统计意味着你永远不需 要确定无疑
—— Gudmund R.Iversen
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
2014-3-30 第五章 抽样推断
ˆ x X
2014-3-30
2 ( x x )
ˆp ˆ 2 S2 P
n1
21
第五章 抽样推断
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 2.
3. 4.
参数估计 (parameter estimation) 就是用样本统计量去估 计总体的参数 估计量：用于估计总体参数的统计量的名称 如样本均值，样本比例，样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 参数用 表示，估计量用 表示 ˆ 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是 的估计值
卫生统计学七版 第五章参数估计基础
二、总体均数及总体概率的区间估计
（一）总体均数的置信区间
1、t 分布法
当 未知且 n 较小时，估计双侧置信 区间：
（X
-t
,
s X
,
X
t ,
s X
)
可简写为：
X
t ,
s X
或X t,
s n
总体均数的95%双侧置信区间为：X
t0.05,
s X
例5-2(P95) 已知某地27名健康成年男子血红蛋白 含量的均数为125g/L，标准差为15g/L，试估计该地健康 成年男子血红蛋白平均含量的95%和99%置信区间 。
二项分布 n 31 X 25 n X 6 查附表6，得7 37 改错
该药物治疗脑血管梗塞有效概率的95%置信区间为 63%～93%。
2、正态近似法 适用范围：np＞5,且n(1-p)＞ 5
例5-6（P96） 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%，试估计该 仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 np 1200.783 93.96 n(1 p) 1200.217 26.04
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计的范围称为置信区间，用CI（confidence interval）
表示，其置信度为（1 ），一般取置信度为95%，即取为0.05，此区
间的较小值称为置信下限，较大值称为置信上限。一般进行双侧置信区 间的估计。
第五章 参数估计基础
公共卫生学院 邹焰
定量资料
统计描述等级资料（有序分类资 料）
05第五章 人工免疫算法
第五章人工免疫算法习题与答案1. 填空题（1）人工免疫算法的缩写是，它是对的一种模拟。
判别优劣的适应度函数这里称为。
（2）利用生物免疫系统的某一方面原理就可以设计新算法，因此人工免疫算法是多个算法的统称，其中最具代表性的算法有、和。
解释：本题考查人工免疫算法的基础知识。
具体内容请参考课堂视频“第5章人工免疫算法”及其课件。
答案：（1）AIA，生物免疫机理，亲和度（2）否定选择算法、免疫规划算法、克隆选择算法2.给出人工免疫算法的定义，并指出其特征。
解释：本题考查人工免疫算法的定义和特点。
具体内容请参考课堂视频“第5章人工免疫算法”及其课件。
答案：人工免疫算法是基于免疫学理论和生物免疫系统机制而提出的计算智能算法，是对生物免疫机理的一种模拟，并受到遗传算法的启发，因此免疫算法与遗传算法有许多相似之处。
AIS算法具有以下特征：（1）具有全局搜索能力。
（2）具有多样性保持机制。
（3）鲁棒性强。
（4）具有并行分布式搜索机制。
3.关于人工免疫算法，下面说法错误的是（）。
A）人工免疫算法是一种全局搜索优化方法。
B）抗原对应着优化问题的可行解。
C）免疫操作可以用于产生新的解。
D）优化问题的寻优过程实际上是免疫系统识别抗原并实现抗体进化的过程。
解释：本题考查人工免疫算法的特点。
具体内容请参考课堂视频“第5章人工免疫算法”及其课件。
答案：B（1）生物免疫系统运用多种免疫调节机制产生多样性抗体以识别、匹配并最终消灭外界抗原，免疫应答中的抗体更新过程是一个全局搜索的进化过程，A 选项正确。
（2）抗原对应着问题，抗体对应着优化问题的可行解，B选项错误。
（3）免疫操作中克隆变异、抗体补充等可以产生新的抗体，对应着新解产生的过程，C选项正确。
（4）优化问题的寻优过程对应着免疫系统识别抗原并实现抗体进化的过程，D选项正确。
4.试写出克隆选择算法的基本流程。
解释：本题考查克隆选择算法CSA的步骤。
具体内容请参考课堂视频“第5章人工免疫算法”及其课件。
参数估计计算
重复抽样
• 其平均数和标准差分别记为
•
x x和 。
x 是样本平均数抽样总体的标准差，简称标
准误(standard error)，它表示平均数抽样误差
的大小。统计学上已证明总体的两个参数与x 总
体的两个参数有如下关系： x
•
x
=μ，
n
• 随着样本含量 n 的增大， 样本平均数的分 布愈来愈从不连续趋向于连续的正态分布。 当n＞30时， x 的分布就近似正态分布了。
△ u 2
n
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
【例】拥有管理学士学位的大学毕业生年薪 的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪 95% 的置信区间，希望边际误差为 400 元， 应抽取多大的样本容量？
估计总体均值时样本容量 的确定 (例题分析)
解: 已知 =2000，△=400, 1-=95%， u/2=1.96 置信度为95%的置信区间为
标准正态分布
• 对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x， 都可以通过标准化变换：
•
• • •
u=(x-μ)／σ
将 其变换为服从标准正态分布的随机变量u。 u 称 为 标 准 正 态变量或标准正态离差 (standard normal deviate)。
• • •
• •
正态分布的概率计算 • 例如，u=1.75 ，1.7放在第一列,0.05放在第七行 。 1.7所在行与 0.05 所在列相交处的数值为0.9599， 即 Φ(1.75)=0.9599 有 时 会 遇 到 给 定 Φ(u) 值 ， 例 如 Φ(u)=0.284， 反过来查u值。这只要在表中找到 与 0.284 最接近的值0.2843，对应行的第一列数 -0.5， 对应列的第一行数 值 0.07 ，即相应的u值 为 u = - 0.57，即 Φ(-0.57)=0.284 如果要求更精确的u值，可用线性插值法计算。
05第五章 土石坝第一部分
三、设计的基本要求 2.设置防渗和排水设施，控制渗流 土石坝挡水后，在坝体内形成渗流，在饱和 区，土石料承受上浮力，减轻了有效重量；浸水
使c、φ值减小；渗流力对坝坡稳定不利；渗流逸
出时可能引起管涌、流土等渗流破坏。设置防渗
和排水可以控制渗流范围、减小逸出比降，增加
抗滑和抗渗稳定。防渗设施还有利于减小坝体和
3.按土料配置和防渗体所用材料分 （1）均质坝
坝体主要由一种土料组成，同时起防渗和稳定作 用。由于黏性土抗剪强度较低且施工碾压较困难，多
用于低坝。
（2）土质防渗体分区坝
由相对不透水或弱透水土料构成坝的防渗体，而 以透水性较强的土石料构成坝壳或下游支撑体。
心墙坝；斜心墙坝；斜墙坝等。
坝壳部位除采用一种土石料外，常采用多种土料 分区排列。
（2）世界上H＞300m的高坝都是土石坝： 【塔吉克斯坦】罗贡坝，H=335m； 【前苏】努列克坝，
【中】 石头河，粘土心墙坝 ，H=114m，V=835万m3（已建成）；
H=300m。
小浪底，壤土斜心墙坝 ，H=154m，V=5184万m3（已建成）； 天生桥一级，面板堆石坝，H=178m（已建成）； 水布垭，面板堆石坝，H=233m（在建，清江）； 苗家坝，面板堆石坝，H=263m，（拟建，白龙江）；
土石坝
土石坝
枢纽由拦河坝、溢洪道、泄洪隧洞、输水隧洞和 水电站组成。
土石坝
坝壳
心墙
坝壳
土坝典型剖面图
糯扎渡电站枢纽由心墙堆石坝、左岸溢洪道、 左岸引水发电系统等组成。
本工程枢纽主要由大坝、引水发电系统和泄水建筑物三大部分组成。
面板 垫层 过渡层
防浪墙
坝顶
土石坝
块石护坡 大块石区
(完整版)统计学习题答案第5章参数估计
第5章 参数估计• 1.从一个标准差为 5的总体中抽出一个容量为 40的样本，样本均值为 25。
(1) 样本均值的抽样标准差(T x 等于多少？ (2)在95%的置信水平下，允许误差是多少？解：已知总体标准差b =5，样本容量n =40,为大样本，样本均值 x =25,(2)已知置信水平1 - a =95%，得Z a /2 =1.96 ,• 2•某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3周的时间里选取 49名顾客组成了一个简单随机样本。
(3) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； (4) 在95%的置信水平下，求允许误差；(5)如果样本均值为120元，求总体均值 95%的置信区间。
解：(1)已假定总体标准差为 b =15元，(2)已知置信水平1 - a =95%，得Z a /2 =1.96 ,(3)已知样本均值为 x =120元，置信水平1- a =95%，得 乙/2 =1.96 ,可知，如果样本均值为 120元，总体均值95%的置信区间为(115.8 , 124.2 )元。
• 3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)：3.3 3.1 6.2 5.8 2.34.15.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.66.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.11.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.71.41.229352.405362.5(1 )样本均值的抽样标准差=0.7906于是，允许误差是E=Za/2b,n=1.96X 0.7906= 1.5496。
则样本均值的抽样标准误差为(T 15CT - = ----- = ------- =2.1429x..n 49于是，允许误差是 E = Z a /2=1.96X 2.1429=4.2000。
参数估计PPT课件
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
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U x
M
(x )2
i1
M
Up
M
( p )2
i1
M
大数法则
大数法则（大数定律）
1 n
lim P(
n n
i1
Xi
)1
大数法则从数量关系角度阐明了样本
和总体之间的内在联系，证明了随着抽样
容量n的增加，能够以接近1的概率期望抽
样平均数与总体平均数的偏差为任意小。
中心极限定理
图示
各种分布的图示
s
x t (n 1) 19.0688 2.04 3.2555 / 32 19.0688 1.1737 17.90
2
n
x t (n 1) s 19.0688 1.1737 20.24 ，因此湖水钠的平均含量 的 95%置信区间为
2
n
2
n
此该公司生产的这种瓶装饮料的平均容量的置信水平为 99%的置信区
间为(498.03, 500.97)。由于该区间包含了 500，故该公司的这种瓶装饮料
的容量符合其包装上的标准，不存在容量不足欺骗消费者的行为。
正 近似 态分t 分布布极的为分接位近数(见t下(nt图分1))，布。所与以也正可态以分用标布准正态分布的分位数 z2 来 2
这类置信区间也称为双侧置信区间，L 和U 分别称为置信水平1 的 置信下限和置信上限；1 称为置信水平（confidence level）或置信系 数（confidence coefficient）。
区间估计的概念
置信区间越小，说明估计的精度越高，即我们对未 知参数的了解越多、越具体；置信水平越大，估计可 靠性就越大。
u(X1, Xn; ) 的分布要已知但不含任何未知参数（当然也不包含待估参数 ），在很多情况下， u( X1, X n; ) 可以从 的点估计经过变换获得；
2．对给定的置信水平1 ，由u( X1, Xn; ) 的抽样分布确定分位点。 由于枢轴量 u( X1, X n; ) 的分布已知（多数情况下都是常见分布）且不 含任何未知参数，因此它的分位点可以计算出来（通过查表或利用统 计分析软件）；
P( X
n
z ) 1 ，即 2
P( X z X z ) 1 ；所以
区间
(X
z
2
, X z
n
2
n) ；
得到样本观测值后，对该样本观测值，总体均值 的置信水平为1 的
（双侧）置信区间为 (x z 2
, x z
n
2
n ) ，它是一个具体的区间。
如果对于事先给定的 （通常 是大于 0 小于 1 之间的一个较小的数，
如 0.05，0.01 等），存在两个统计量L (X1,, X n ) 和U (X1,, X n ) 使得
P(L (X1,, X n ) U (X1,, X n )) 1
则称 (L,U ) 为参数 的置信度为1 的置信区间（confidence interval）,
x z
2n
x
x z
2n
例题 【例 5.4】某灯具生产厂家生产一种 60W 的灯泡，假设其寿命为随机变量
X，服从正态分布 N(,1296) 。现在从该厂生产的 60W 的灯泡中随机地抽取 了 27 个产品进行测试，直到灯泡烧坏，测得它们的平均寿命为 1478 小时。 请计算该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95%的置信区间。
【解】以 表示瓶装饮料的平均容量，由已知可得，样本容量为n 25 ，
样本均值 x 499.5，样本标准差为 s 2.63 ，因为置信水平1 0.99 ，查
自 由 度 为 n 1 24 的
t
分
布
表
得
分
位
数
t (n 2
1)
t0.005 (24)
2.797
，
所
以
， ，因 x t (n 1) s 499 .5 2.797 2.63 / 25 499 .5 1.4712 498 .03 x t (n 1) s 499 .5 1.4712 500 .97
特点
抽样推断方法与其它统计调查方法相 比，具有省时、省力、快捷的特点，能以 较小的代价及时获得总体的有关信息。
1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定 可靠性的估计和推断 2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位 3. 抽样推断必然会产生抽样误差
作用
1. 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面资料 就必须采用抽样推断方法
2n
2n
单正态总体均值的区间估计(方差未知时)
枢轴量t X ，服从自由度为 n-1 的 t 分布 t(n 1) ；可得
Sn
P(| t | t (n 1)) P( X t (n 1)) 1 ，即
2
Sn 2
P( X t (n 1) S X t (n 1) S ) 1 。
2
n
2
n
正态总体方差 2 未知时，总体均值 的置信水平为1 的（双侧）置信
区间为 ( X t (n 1) 2
S, n
X t (n 1)
2
S n
)
；
总 体 均 值 的 置 信 水 平 为 1 的 （ 双 侧 ）置 信 区 间 的 观 测 值 为
(x t (n 1)
2
s, n
x t (n 1)
是1 ”；但这个具体区间到底包含还是不包含参数 ，我们无法知道；
然而根据大数定律，我们宁愿相信这个区间是包含未知参数 的那 100(1 )% 区间中的一个。
一般步骤
1 ． 寻 找 样 本 X1, X n 的 一 个 函 数 u( X1, X n; ) ， 通 常 称 为 枢 轴 量
(pivotal)，它只含待估的未知参数 ，不含其它任何未知参数，并且
点估计
点估计，也称定值估计，就是以样本估计量 直接代替总体参数的一种推断方法。 点估计常用方法：矩估计法、极大似然估计法。
点估计量的优良标准
1. 无偏性
E(x); E(p)
2. 一致性
lP i x m 1 ; lP i p m 1
n
n
3. 有效性
ˆ 1 ˆ
区间估计的概念
2
2
1478 1.96 n
1296 / 27 1478 13.58 1464 .42 ，
x z 1478 1.96 1296 / 27 1478 13.58 1491 .58 ，
2n
因此该厂 60W 灯泡的平均寿命的置信水平为 95% 的置信区间为
(x z , x z ) (1464 .42, 1491 .58) 。
样本，测得它们的含钠量(单位：ppm)分别为：
13.0 18.5 16.4 14.8 19.4 17.3 23.2 24.9 20.8 19.3 18.8 23.1 15.2 19.9 19.1 18.1 25.1 16.8 20.4 17.4 25.2 23.1 15.3 19.4 16.0 21.7 15.2 21.3 21.5 16.8 15.6 17.6
2. 某些理论上可以进行全面调查的现象，采用抽样推 断可以达到事半功倍的效果
3. 抽样推断可以对全面调查的结果进行评价和修正
4. 抽样推断可用于工业生产过程中的质量控制
5. 利用抽样推断的原理，可以对某些总体的假设进行 检验，来判断假设的真伪，为决策提供依据
重复抽样
重复抽样又叫有放还抽样或重置抽 样。它是每抽出一个样本单位后，把结 果记录下来，随即将该单位放回到总体 中去，使它和其余的单位在下一次抽选 中具有同等被抽中的机会。在重复抽样 过程中，总体单位数始终保持不变，并 且同一个单位有多次被抽中的可能性。
3．通过不等式变形，即可求出未知参数 的置信水平为1 的
置信区间。
单正态总体均值的区间估计（方差已知）
设样本 X1,, X n 来自正态总体 N (, 2) ，这里 2 已知，总体均值 未知，如 何求总体均值 的置信水平为1 的置信区间?
构造枢轴量 Z X ，服从标准正态分布 N (0,1) ，给定置信水平1 ，有 n
参数估计的基本步骤
1. 按照一定的抽样方式抽取适当的样本进行调查， 针对该种抽样方式选择总体参数的最优样本估计量， 计算估计值，以此作为总体参数的点估计；
2. 根据该种抽样方式的抽样平均误差公式计算出 抽样误差，我们往往要先计算样本标准差以替代未知 的总体标准差；
3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、t分布 表或其他分布表获得对应的概率度，然后再计算出抽 样极限误差，最后对总体参数作出区间推断。
实际上，也可以证明当样本容量
n
充分大时，枢轴量
t
X S
n
近似服
从标准正态分布，这也可以解释当 n 较大时，用标准正态分布的分位数
z
2
来近似
t
分布的分位数
t 2
(n
1)
的合理性。
t分布与标准正态分布的比较
例题 【例 5.6】为研究某内陆湖的湖水的含盐量，随机地从该湖的 32 个取样点采了 32 个湖水
【解】问题实际上就是求总体均值(60W 灯泡的平均寿命)的置信区间，
由已知条件可得，总体方差 2 1296 ，样本容量为 n 27 ，样本均值
x 1478 。 因 为 置 信 水 平 为 1 0.95 ， 所 以 查 标 准 正 态 分 布 表 可 得
z z0.025 1.96， x z
假设湖水中钠的含量为随机变量 X ，服从正态分布 N (, 2 ) ，试求湖水钠的平均含量
的 95%置信区间。
【解】由已知可得，样本容量为n 32，样本均值 x 19.0688，样本标准差为
s 3.2555，因为置信水平1 0.95，查自由度为 n 1 31的 t 分布表得分位