勾股定理全章题型总结
3.1勾股定理(七大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》3.1 勾股定理●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则a 2 + b 2 = c 2、 a 2 = c 2 - b 2、b 2 = c 2 - a 2；22b a c +=、22b c a -=、22a c b -=.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＞c 2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＜c 2.●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2＝c2．【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为 ．【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c=（2）利用勾股定理计算b=【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c==＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b==＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，在Rt △ABD 中，AD 8，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到直线AB 的距离是（ ）A ．185B ．3C ．125D ．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，∴3×42=5CD2，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（ ）A．10B．12C．24D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED ＝90°根据勾股定理∴AD ＝10．故选：A ．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-5】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为 ．【分析】根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据线段垂直平分线的判定方法可以得到MN 为线段AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CD 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ==5，连接NA ，NB ，MA ，MB ，如图所示，∵分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，∴NA ＝NB ，MA ＝MB ，∴直线MN 垂直平分AB ，∵直线MN 交AB 于点D ，∴点D 为AB 的中点，∴CD 为Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD =12AB =52，故答案为：52．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=15，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．（1）求CD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，又∵AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形，又∵CD是△ABC的高，∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=4.8；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=3.6，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（ ）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEFB．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEFC．S△BDH＝S△FGHD．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF =12（a+b）•（a+b）=12(a+b)2=12a2+ab+12b2，S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+（b ﹣a ）2＝a 2+b 2，∴a 2+b 2＝c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：（a +b ）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，∴B 选项不能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：（a +b ）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2＝2ab +c 2，∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2，故C 选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．4D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．36B ．76C ．66D ．12【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122+52＝169，所以x ＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c 2＝a 2+b 2．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a +b ）2的值（a ＜b ）．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出2ab ＝12，再结合c 2＝13即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c 2＝4×12ab +(b ―a )2，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=5，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC ＝b ，∴正方形ACDE 的面积为b 2，∵CD ＝DE ＝AC ＝b ，BC ＝a ，EF ＝BC ＝a ，∴BD ＝CD ﹣BC ＝b ﹣a ，DF ＝DE +EF ＝a +b ，∵∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠BAE ＝90°，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠EAF +∠BAE ＝90°，∴△BAE 为等腰直角三角形，∴四边形ABDF 的面积为：12c 2+12（b ﹣a ）（a +b ）=12c 2+12（b 2﹣a 2），∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，∴b 2=12c 2+12（b 2﹣a 2），∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2，∴12a 2+12b 2=12c 2，∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．【例题3】如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（ ）A．36B．25C．16D．6【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【变式3-1】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）A．8B．4C．2D．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝∴AC 2+BC 2＝AB 2＝8，∴AC ＝CB ＝2，∴S △ACB =12AC •BC ＝2，∴S 阴影＝π（AC 2）2+S △ACB ―12π（AB 2）2＝π+2﹣π＝2，故选：C ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC 为直径的圆的面积+△ACB 的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式3-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A ＝4，S B ＝2，S c ＝2，S D ＝1，则S ＝（ ）A ．25B ．20C ．9D ．5【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可知：S＝S F+S G＝S A+S B+S C+S D＝4+2+2+1＝9；即S＝9；故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-4】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为 ．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S 1＝9，由图形可知，阴影部分的面积=12S 1，∴阴影部分的面积=92，故答案为：92．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S 2﹣S 3＝S 1，是解题的关键．【变式3-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．【分析】如图根据勾股定理有S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1＝162＝256（cm 2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-6】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S 梯形ADEB ＝S △ADC +S △ACB +S △CEB ，∴(a b )(a b )2=ab 2+c 22+ab 2，化简，得：a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【例题4】（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．求BC 边上的高的长．【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC ＝4，根据勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝4，∴AD==3，即BC 边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 ．【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵∠C＝90°，CE＝3，∴AC==4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝1，在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1∴AB=【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式4-3】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式4-4】如图，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．连接CD，在点D的运动过程中，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长为 ．【分析】分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题．【解答】解：①当AD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，∵AC ＝15，∴AD ＝AC ＝15．②当CD ＝AD 时，△ACD 为等腰三角形，∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∵∠CAB +∠B ＝90°，∠DCA +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴CD ＝BD ＝DA ＝12.5；③当CD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，如图，作CH ⊥BA 于点H ，则12×AB ×CH =12×AC ×BC ，∵AC ＝15，BC ＝20，AB ＝25，∴CH ＝12，在Rt △ACH 中，AH =9，∵CD ＝AC ，CH ⊥BA ，∴DH ＝HA ＝9，∴AD ＝18，综上所述：AD 的值为15或12.5或18．故答案为：15或12.5或18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【例题5】如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1+S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2＝AB 2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝7，∴12×π×（AC 2）2+12×π×（BC 2）2+12×AC ×BC ―12×π×（AB 2）2＝7，∴AC ×BC ＝14，∴（AC +BC ）2＝AC 2+BC 2+2AC •BC ＝62+2×14＝64，∴AC +BC ＝8（负值舍去），∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝8+6＝14，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式5-1】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，AC=AE，∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，根据勾股定理得，BE=4，∴AC2+82=（AE+4）2，解得AE=6，则AC=6，∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式5-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，由勾股定理得，BC==8，∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．【变式5-3】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若DE=132，BC＝12，则△ABE的周长为 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴AB=5，∴△ABE的周长为AE+BE+AB=5+2×132=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题6】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（ ）A．13B．15C．18D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=4，∴S△ABE=12AE⋅BE=12×3×4=6，∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．【变式6-1】如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝17，AB＝16，∴AD＝BD=12AB＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴CD=15，∴S△ABC =12AB•CD=12×16×15=120．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式6-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC 中，AC ＝8，AB ＝4，∠BAC ＝120°，求△ABC 的面积．【分析】过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，由勾股定理求出CD 的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∵AC ＝8，∴AD =12AC ＝4，∴CD =∴S △ABC =12AB •CD =12×=【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB ，CD 的长是解题的关键．【变式6-3】如图在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA 和CB 交于O ，求出∠O ＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB 和OD ，根据勾股定理求出OA 和OC ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA 和CB 交于O ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠DAB ＝∠C ＝∠OAB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠O ＝30°，∵AB ＝4，DC ＝5，∴OB ＝2AB ＝8，OD ＝2DC ＝10，由勾股定理得：OA ==OC =∴四边形ABCD 的面积是:S △OCD ﹣S △OAB =12×OC ×CD ―12×OA ×AB =12×5―12×【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BD ＝10，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝6，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，∴BD=6，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝6，∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DE+12BC•CD，=12×4×6+12×8×6，＝36．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； ③ 若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cba HG F EDCBA bacba c ca bcab a bc c baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例 4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积ABC30°DCB A ADBCCB DA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =勾股定理练习一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
勾股定理(知识点+题型分类练习)
ABCabc弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
3. 勾股数：①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等③用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°B（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理知识点与常见题型总结-马心茹
勾股定理复习一•知识归纳1•勾股定理内容： _________________________________________________________________________________表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c ,那么 _____________________________ 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于_____________ ，对于__________ 和__________________ 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中，N C =90，贝H c= _____________ ，b= ____________ ，c= ________________________②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足____________ ，那么______________________ ，其中______ 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2::: c，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a , b , c及a2 F2二c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a c =b，那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2= c中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，____________ ; __________ ; _________ ; ________ ; _________ 等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2-1,2n,n2 V （n^2, n 为正整数）；2 22n 1,2n 2n,2n 2n 1 （n 为正整数）2 2 2 2m —n ,2 mn, m n （ m n, m , n 为正整数）6.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体•通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 常见图形：题型一：直接考查勾股定理例1 •在ABC 中，.C =90 .⑴已知AC =6 , BC =8 .求AB的长⑵已知AB=17, AC =15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b^c2题型二：应用勾股定理建立方程例2 .⑴在ABC 中，.ACB=90 , AB =5 cm , BC =3 cm , CD _ AB 于D , CD = ________________⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为____________⑶已知直角三角形的周长为30 cm，斜边长为13 cm，则这个三角形的面积为______________分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积•有时可根据勾股定理列方程求解例3 •如图ABC 中，.C =90 , .1-2 , CD =1.5, BD =2.5，求AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4•如图Rt ABC , . C =90 AC =3,BC =4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5•如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高2 cm，两树相距8 cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了_______________ mDC题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6•已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt.：① a =1.5，b =2，c =2.5 ② a =-，b =1，c4 3例7•三边长为a，b，c满足a 5=10, ab =18，c=8的三角形是什么形状?题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8•已知.\ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线AD =12 cm，求证：AB=AC 证明：、选择题 八年级上册第一章勾股定理测试题1、 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15.2、 适合下列条件的厶 ABC 中，是直角三角形的个数为( ) 111 ① a ,b ,c ；② a =6, / A=450;③/ A=32°, / B=580; 3 4 5 ④ a = 7,b =24,c = 25;⑤ a=2,b=2,c = 4. A. 2 个； B. 3 个； C. 4 个； D. 5 个. 3、已知直角三角形两直角边的长为 A 和B ,则该直角三角形的斜边的长度为（ A 、 A + B B 、 、2AB D 、.. A 2 B 2直角三角形的两直角边分别为A 、 6厘米B 、8厘米 5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）C 80厘米D 、60厘米 13 13 5、 若等腰三角形腰长为 10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 2 2 2 2 A. 48 cm B. 36 cm C. 24 cm D.12 cm 6、 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A . 10 米 B . 15 米 C. 25 米 D . 30 米7、若一个直角三角形的一条直角边长是 7cm ，另一条直角边比斜边短 A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm &一部电视机屏幕的长为 58厘米,宽为46厘米，则这部电视机大小规格 A.34英寸（87厘米） B. 29英寸（74厘米）C. 25英寸（64厘米） 1cm ，则斜边长为（ （实际测量误差忽略不计） 9、一块木板如图所示，已知 AB = 4, BC = 3,DC = 12, AD = 13, / B = 90 °木板的面 积为（ )A . 60 B . 30 C. 24 D . 12 D.21英寸（54厘米） 10、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m ，当它把绳子 C的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 A . 8cm B. 10cm C. 12cm D . 14cm 11、已知 Rt A ABC 中，/ C = 90° ，若 a ・b=14cm , c=10cm ，贝V Rt A ABC 的面积为( ).2 A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 12、 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行， 另一轮船 以 里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行， 离开港口 2小时后，则两船相距（ ） A 1 A 、25海里 B 、30海里 二、填空题 13、 在△ ABC 中，/ C = 90° 若 14、 在△ ABC 中，/ C = 90° 若 15、 如图，从电线杆离地面 3米处向地面拉一条长为部有 ____________ 米离开港口 2小时后，则两船相距（ C 、35海里 D 、40海里 a = 5, b =12,贝V c = 10, a : b = 3 : 12海东 南尸第12题图 c= _______ . 4，贝H S Rt ^ AB = ------ . 5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底16、如图，沿倾斜角为 30的山坡 植树，要求相邻俩棵树的水平距离 AC 为2m ,那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为 ________ m 。
勾股定理知识点与常见题型总结
第18章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDC B A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +及较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和及第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边及斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理及全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD ==答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c =②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理及勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：AD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理知识点与题型总结大全
CA BD 勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900,AC=7,BC=24，C D ⊥AB 于D. （1）求AB 的长； （2）求CD 的长.类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形， （1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。
（2）求∠ADC 的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______。
【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是（ ）A. 12 B 。
13 C 。
144 D 。
194类型三：距离最短问题【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米,且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCD7cmBD EB16925A BCDL【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。
他要完成这件事情所走的最短路程是多少？类型四：判断三角形的形状【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状.【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2，2mn ，m 2+n 2（m,n 为正整数，且m ＞n)，判断△ABC 是否为直角三角形。
第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
第18章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b=+⋅+梯形，2112S222ADE ABES S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证abccbaEDCBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∆中，90C∠=︒，则c，b=，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b+与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c+<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c+>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及222a b c+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c+=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1n n n-+（2,n≥n为正整数）；2221,22,221n n n n n++++（n为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９．勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm 在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理题型总结
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为n 的线段。
（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c ）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。
若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
2023年勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方；表达措施：假如直角三角形旳两直角边分别为，，斜边为，那么a b c 222a b c +=２.勾股定理旳证明，常见旳是拼图旳措施 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施，列出等式，推导出勾股定理常见措施如下：措施一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．措施二：四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积．四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222a b c +=措施三：，，化简得证1()()2S a b a b =+⋅+梯形2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形３.勾股定理旳合用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系，它只合用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察旳对象是直角三角形４.勾股定理旳应用：勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形旳前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对旳使用勾股定理进行求解．①已知直角三角形旳任意两边长，求第三边。
在中，，则，ABC ∆90C ∠=︒c =b =，a =②懂得直角三角形一边，可得此外两边之间旳数量关系cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bccb aE D CBA③可运用勾股定理处理某些实际问题５.勾股定理旳逆定理 假如三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
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7勾股定理全章知识点及典型题归类一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。
（即： a 22＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一， 其主要应用： 叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c 2 中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25bc 2a 2，a c2b 2）（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长： a 、b 、 c ，则有关系 a 22＝c 2，那么这个三角形是直角三 角形。
要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通 过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （ 1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证 c 2与 a 22是否具有相等关系，若 c 2＝ a 22，则△是以∠C 为直角的直角 三角形 （若 c 2>a 22，则△是以∠C 为钝角的钝角三角形； 若 c 2<a 22，则△为锐角三角形） 。
（定理中 a ，b ， c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如 若三角形三边长a ，b ，c 满足a 2 c 2 b 2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形 是直角三角形，但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系n 组勾股数： n 2 1,2n,n 2 1（ n 2, n 为正整数）；2n 1,2n 2 2 n,2 n 2 2n 1（ n 为正整数）为正整数）二、典型题归类 类型一：等面积法求高【例题】如图，△中，∠ 900，7， 24，⊥于 D 。
（1）求的长； （2）求的长。
类型二：面积问题区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题【例题】 如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A ，B ，C ，D 的面积之和为1）已知直角三角形的两边求第三边 （在 ABC 中， C 90 ，则 c a 2 b 2 ，③用含字母的代数式表示m 2 n 2,2mn, m 2 n 2（ m n, m ， n2。
2 / 7练 2】如图，边长为 1 的立方体中，一只蚂蚁从 A 顶点出发沿着立方体的外例题】 如图，一个牧童在小河的南 4 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的 西8北 7处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这件事 情所走的最短路程是多少？小河【练 1】如图，一圆柱体的底面周长为 20，高ＡＢ为 4，Ｂ Ｃ是上底面的直径． 一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面 爬行到点 C ，试求出爬行的最短路程．）三角形 A.直角 B. 等腰 C. 等腰直角 D.等腰或直角练 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 1）求图中格点四边形的面积和周长。
2）求∠的度数表面爬到 B 顶点的最短路程是（ ）A 、 3B 、C 、D 、1【 练 3】如图，长方体的长为 15，宽为 10，高 为 20， 到点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从短距离是多少？练 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， AE ⊥ BE ，且 AE =3， BE =4，阴影部分的面积是 【练3】如图字母 B 所代表的正方形的面积是 类型三：距离最短问题类型四：判断三角形的形状 【例题】 如果Δ的三边分别为a 、 点BA 点爬到B 点，需要爬行的最b 、c ，且满足 a 222+506a810c ，判断Δ的形状。
A牧童练 1】 已知△的三边分别为 角三角形 .m 2－ n 2,2 22（为正整数 , 且 m >n ）, 判断△是否为直练 2】.已知 a ，b ，c 为△三边，且满足 （a 2－b 2）（a 22－c 2） ＝ 0，则它的形状为B小屋223 / 7练 3】三角形的三边长为（a b ） c 2ab, 则这个三角形是 （ ） 三角形类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题 】若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形 的面积。
类型六：构造应用勾股定理【例题】 如图，已知：在 中， ， ， . 求： 的长.练： △中， 20，32，D 是上一点，且⊥，求的长．类型七：利用勾股定理作长为 n 的线段例 1 在数轴上表示 的点。
作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 3，作⊥且截取 1，以为半径，以 O 为 圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。
【练习】在数轴上表示 13 的点。
类型九：生活问题【 练 1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图） ，测得内部底面半径为 2.5 ㎝，高为12 ㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ㎝，问吸管要做 ㎝。
【 练 2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路” 。
他们仅仅少走了步路（假设 2 步为 1m ），却 踩伤了花草。
2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是 2+ 6 ，求这个三角形的面积．（ A ）等边（ B ）钝角（ C ） 直角（ D ）锐角 类型五：直接考查勾股定理【例题】 在△中， ∠90°（1）已知 6， 10，求 b ； 已知 40， 9，求 c ；（3）已知 25， 15，求 a.。
练习 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。
(2)如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。
（1）求证：（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明．【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？【练习1】如图所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点F 处，已知8，10，求的长。
D台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向22 米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/ 时的速度沿北偏东30o方向往C练习2】如图，△中，∠ 90°，垂直平分线交于D 若8，5，求的长。
移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？高8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，类型十：翻折问题6，8，现将直角边沿直线练3 】如上右图，校园内有两棵树，相距棵树小鸟至少要飞米.如图所示， P 为正方形内一点，将 绕 B 顺时针旋转 90 到 的位置，若 a ，求：以为边长的正方形的面积 练 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， AE ⊥ BE ，且如图 2-9 ，△中，∠ 90°，，P 是△内一点，满足 3，1，?2，求∠的度数． 勾股定理全章知识点及典型题归类2013-3-10 典型题归类 【例题 】如图，△中，∠ 900，7，24，⊥于 D 。
（1）求的长；（2）求的长。
李老师） 姓名： 类型一：等面积法求高 类型二：面积问题 【练 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （1）求图中格点四边形的面积和周长。
（ 2）求∠的度数 AE =3， BE =4，阴影部分的面积是类型三：距离最短问题【例题】 如图，一个牧童在小河的南 4的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8北 7 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河牧童A练 2】如图，边长为 1 的立方体中， 的外表面爬到 B 顶点的最短路程是（A 、3B 、C 、 （1 班） 如图，长方体的长为 15，宽为 到点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？北东D 、1 10，高 为15一只蚂蚁从）类型四：判断三角形的形状例题】 如果Δ的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a 222+506a810c ，判断Δ的形状。
【练1】已知△的三边分别为m2－n2,2 22（为正整数, 且m>n）, 判断△是否为直角三角形.类型九：生活问题【练1】如上右图，校园内有两棵树，相距12 米，一棵树高13 米，另一棵树高8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.练2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/ 时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由.类型十：翻折问题例：如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。
（1）求证：练：△中，20，32，D是上一点，且⊥，求的长．类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+ 6 ，求这个三角形的面积．（2）设，试猜想予证明．之间的一种关系，并给类型六：构造应用勾股定理【例题】如图，已知：在中，，，. 求：的长.类型七：利用勾股定理作长为n 的线段在数轴上表示13的点。
练习：如图，△中，∠ 90°，垂直平分线交于D 若8，5，求的长。
类型十一：旋转问题例题：如图所示，P 为正方形内一点，将绕B 顺时针旋转90 到的位置，若a ，求：以为边长的正方形的面积练习：如图2-9 ，△中，∠ 90°，，P 是△内一点，满足数．3，1，?2，求∠的度。