a ，
b ，
c 满足a 2 c 2 b 2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形 是直角三角形，但是 b 为斜
边）
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
n 组勾股数： n 2 1,2n,n 2 1（ n 2, n 为正整数）；
2n 1,2n 2 2 n,2 n 2 2n 1（ n 为正整数）
为正整数）
二、典型题归类 类型一：等面积法求高
【例题】如图，△中，∠ 900，7， 24，⊥于 D 。 （1）求的长； （2）求的长。
类型二：面积问题
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题
【例题】 如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A ，B ，C ，D 的面积之和为
1）已知直角三角形的两边求第三边 （在 ABC 中， C 90 ，则 c a 2 b 2 ，
③用含字母的代数式表示
m 2 n 2,2mn, m 2 n 2（ m n, m ， n
2
。
2 / 7
练 2】如图，边长为 1 的立方体中，一只蚂蚁从 A 顶点出发沿着立方体的外
例题】 如图，一个牧童在小河的南 4 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的 西8北 7处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这件事 情所走的最短路程是多少？
小河
【练 1】如图，一圆柱体的底面周长为 20，高ＡＢ为 4，Ｂ Ｃ是上底面的直径． 一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面 爬行到点 C ，试求出爬行的最短路程．
）三角形 A.直角 B. 等腰 C. 等腰直角 D.等腰或直角
练 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 1）求图中格点四边形的面积和周长。 2）求∠的度数
表面爬到 B 顶点的最短路程是（ ）
A 、 3
B 、
C 、
D 、1
【 练 3】如图，长方体的长为 15，宽为 10，高 为 20， 到点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从
短距离是多少？
练 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， AE ⊥ BE ，且 AE =3， BE =4，阴
影部分的面积是 【练3】如图字母 B 所代表的正方形的面积是 类型三：距离最短问题
类型四：判断三角形的形状 【例题】 如果Δ的三边分别为
a 、 点B
A 点爬到
B 点，需要爬行的最
b 、
c ，且满足 a 222+506a810c ，判断Δ的形状。
A
牧童
练 1】 已知△的三边分别为 角三角形 .
m 2－ n 2,2 22（为正整数 , 且 m >n ）, 判断△是否为直
练 2】.已知 a ，b ，c 为△三边，且满足 （a 2－b 2）（a 22－c 2） ＝ 0，则它的形状为
B
小屋
22
3 / 7
练 3】三角形的三边长为
（a b ） c 2ab
, 则这个三角形是 （ ） 三角形
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题 】若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形 的面积。
类型六：构造应用勾股定理
【例题】 如图，已知：在 中， ， ， . 求： 的长.
练： △中， 20，32，D 是上一点，且⊥，求的长．
类型七：利用勾股定理作长为 n 的线段
例 1 在数轴上表示 的点。
作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 3，作⊥且截取 1，以为半径，以 O 为 圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为
。
【练习】在数轴上表示 13 的点。
类型九：生活问题
【 练 1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图） ，测得内部底面半径为 2.5 ㎝，高为
12 ㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ㎝，问吸管要做 ㎝。 【 练 2】如下左图学
校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷
径”，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了步路（假设 2 步为 1m ），却 踩伤了花
草。
2、已知一直角三角形的斜边长是
2，周长是 2+ 6 ，求这个三角形的面积．
（ A ）等边（ B ）钝角（ C ） 直角（ D ）锐角 类型五：直接考查勾股定理
【例题】 在△中， ∠90°（1）已知 6， 10，求 b ； 已知 40， 9，求 c ；（3）已知 25， 15，求 a.。 练习 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。
(2)
