《高等代数》下05级期末试卷A参考答案

《高等代数》下05级期末试卷A 参考答案： 一、1. 12(,)1,αα=11(,)2,αα=22(,)13,αα=

121212(,),arccos

αααααα<>==⋅

2. 211010043001010200(2)(1)E A λλλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭

（1）A 的最小多项式：2

(2)(1)λλ--； （2）A 的初等因子：(2),λ-2(1);λ-

（3）A 的若当标准形200010;011⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

(4) A 的有理标准形200001.012⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

3.123123123010(,,)(,,)213(,,)101A ηηηεεεεεε∆

⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

，

01021310,101

A ==≠

所以123,,ηηη是V 的一组基，

设123,,g g g 是123,,ηηη的对偶基，123123(,,)(,,)A ηηηεεε=，

所以1

123123123111(,,)(,,)()(,,)101302g g g f f f A f f f --⎛⎫ ⎪'==- ⎪ ⎪-⎝⎭

，

即11232131233;;2.g f f f g f g f f f =-+==-+- 二、（1）

2(1)(2)E A λλλ-=+-，故特征值1231,2;λλλ=-==

可对角化.

（2）11,λ=-01110110

1011110000E A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1111α-⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，

22,λ=1111112111000111000E A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭12111,0,01αα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

正交化得21112211111/2(,)1,1/2,(,)01αββαβαβββ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

再单位化1231111,1,1,102ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪

===-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭

令,0

T ⎛⎫ ⎪ ⎪

=

⎪ ⎪⎝⎭

则12.2T AT -⎛⎫

⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭ 三、（1）设λ是σ的特征值，α是对应的特征向量，0,α≠即,σαλα=因为2

,σσ=故有2

2

(),λασασασσαλα====但0,α≠

故2

,λλ=10.λ=或

（2）略；

（3）,,V αασαασα∀∈=+-则1

()(0),V V σσ-⊆+ 又11

()(0),()(0),V V V V σσσσ--∴+⊆，是的子空间

从而1

()(0),V V σσ-+＝由（2）知10(0),V σ-＝，可以证明1(),V V σ＝所

以1()(0){0},V σσ-=即可得1()(0).V V σσ-⊕＝

四、证明一：设W 是σ的不变子空间，因,V W W ⊥

=⊕分别取W 及W

⊥

的标准正交基12,,,m εεε及1,,,m n εε+则11,,,,,m m n εεεε+是V 的一组标准正交基。又σ是正交变换，故11,

,,,

,m m n σεσεσεσε+也是V

的一组标准正交基.但W 是σ的不变子空间，所以1,,m σεσε在W 中，且

是W 的一组基，从而1,

,m n σεσε+在W ⊥中，即,.W W ασα⊥⊥∀∈∈

W ⊥也是σ的不变子空间.

证明二： ,,W W γασαγ∀∈∃∈使得＝；对于,W β⊥

∀∈(,)0,αβ=

则0γσβσασβαβ（，）＝（，）＝（，）＝，所以.W σβ⊥

∈

从而σ对W ⊥

不变．

五、（1）A 是反对称矩阵，A 的特征值只能是0或纯虚数，故

(1)0,n E A E A --=-+≠E A +可逆；

（2）()()

11

1

1

1111()()()()()

()()()()()()()()()()()V V E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E

--------''=-+-+'

'=+--+=-+-+=--++=，

V 是正交阵. 六、设()()1,

21,2,

,,,

,,s t A B αααβββ==

则()()1,

2

1,2,,,

,s t L

L αααβββ⊥

(,)0,1,2,

,;1,2,,.i j i s j t αβ⇔===在标准正交基下，

则有0,i j αβ⊥

=()12

1

2

0.t s A B ααβββα⊥⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭