指数函数及其性质1-副本
专题23指数函数的图像和性质
专题23指数函数的图像和性质指数函数是高中数学中一个重要的函数，它的图像和性质也是我们需要了解的。
在本篇文章中，我们将深入探讨指数函数的图像和性质，帮助大家更好地理解这一函数。
首先，让我们来回顾一下指数函数的定义。
指数函数是以常数e(自然对数的底数)为底的函数，形如f(x)=a^x。
其中，a称为底数，x称为指数。
1.底数a的取值范围根据指数函数的定义，我们可以得知底数a必须为正数且不等于1、这是因为若底数为负数，则指数函数的值将无法确定；若底数为1，则指数函数的值将始终为1，此时无法展现指数函数的特性。
2.指数函数的图像我们首先来看一下指数函数的图像。
为了简化问题，我们取底数a为2，即f(x)=2^x。
接下来，我们用数轴上的点来表示指数函数f(x)的值，其中横轴表示x，纵轴表示f(x)。
当x为0时，指数函数的值为f(0)=2^0=1、因此，图像上有一个点(0,1)。
当x为1时，指数函数的值为f(1)=2^1=2、因此，图像上有一个点(1,2)。
同样地，我们可以得到当x为2、3、4时的点(2,4)、(3,8)、(4,16)。
将这些点依次连接起来，我们就得到了指数函数y=2^x的图像，它像一个向上开口的曲线，经过点(0,1)，随着x的增加，函数值呈指数增长。
3.指数函数的性质接下来，我们来探讨指数函数的一些性质。
（1）增减性指数函数的增减性与底数a的大小有关。
当底数a大于1时，指数函数是增函数；当底数a介于0和1之间时，指数函数是减函数。
这是因为当底数a大于1时，随着x的增加，指数函数的值也随之增加；当底数a 介于0和1之间时，随着x的增加，指数函数的值反而减小。
（2）对称性指数函数具有关于y轴的对称性。
即对于任意一个点(x,y)，若点(-x,y')也在指数函数的图像上，那么有y=y'。
这是因为指数函数的底数是正数，所以底数的互为倒数的两个数的函数值是相等的。
（3）趋势当底数a大于1时，指数函数的图像逐渐增长；当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像逐渐减小。
高中数学必修1指数函数的基本性质
高中数学必修1指数函数的基本性质指数函数是高中数学中的重要概念之一。
本文将介绍指数函数的基本性质，以帮助理解和应用该函数。
1. 指数函数的定义指数函数是以底数为 $a$ 的指数形式表示的函数，通常写作 $y = a^x$。
其中，底数 $a$ 是一个常数，称为底数；$x$ 是自变量，表示指数；$y$ 是因变量，表示函数值。
2. 指数函数的图像指数函数的图像特点如下：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数是递增函数。
图像在 $x$ 轴的右侧；当 $a < 1$ 时，指数函数是递减函数。
图像在 $x$ 轴的左侧。
- 当 $a > 1$ 时，图像的增长速度逐渐加快；当 $0 < a < 1$ 时，图像的增长速度逐渐减慢。
- 当 $a > 1$ 时，图像在 $y$ 轴上方向无界；当 $0 < a < 1$ 时，图像在 $y$ 轴下方向无界。
3. 指数函数的基本性质指数函数具有以下基本性质：- 任何实数 $x$ 的 $0$ 次方等于 $1$，即 $a^0 = 1$。
- 指数函数的定义域是所有实数，即 $(-\infty, \infty)$。
- 当底数 $a > 0$ 且不等于 $1$ 时，指数函数的值域是 $(0,+\infty)$；当底数 $a < 0$ 时，指数函数的值域是 $(-\infty, 0)$。
- 指数函数的零点不存在。
- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线$y = 0$；当 $0 < a < 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线 $y = 0$。
4. 指数函数的特殊性质指数函数还具有以下特殊性质：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x = 0$ 处有一个特殊点 $(0, 1)$。
- 当底数 $a < 0$ 时，指数函数的图像不完整，因为指数函数只有在底数为正数的情况下定义。
指数函数的性质与变化规律
指数函数的性质与变化规律指数函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将探讨指数函数的性质与变化规律，帮助读者更好地理解和应用指数函数。
一、定义与基本性质指数函数可以用如下的数学表达式来表示：f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
其中，a为正实数并且不等于1。
指数函数的定义域是实数集，值域则取决于a的取值范围。
指数函数的基本性质如下：1. 当x为自然数时，指数函数的取值等于底数连乘自己x次的结果。
例如，f(3) = a^3 = a × a × a。
2. 当x为0时，指数函数的取值等于1。
即f(0) = a^0 = 1。
这是因为任何数的0次方都等于1。
3. 当x为负数时，指数函数的取值等于底数的倒数连乘自己x次的结果。
例如，f(-2) = a^(-2) = 1/(a × a)。
4. 当x为分数时，指数函数的取值等于底数开根号的分母次方。
例如，f(1/2) = a^(1/2) = √a。
二、增长与衰减指数函数在自变量x的取值不同时，其对应的函数值也会有所变化。
指数函数可以表现出增长或衰减的特性。
1. 当底数a大于1时，指数函数是增长的。
随着x的增加，函数值也随之增加。
这是因为底数大于1时，连乘的结果会越来越大。
2. 当底数a大于0且小于1时，指数函数是衰减的。
随着x的增加，函数值会逐渐减小。
这是因为底数大于0且小于1时，连乘的结果会越来越小。
三、对称性与奇偶性指数函数还具有对称性和奇偶性的特点。
1. 当底数a为正数且不等于1时，指数函数关于y轴对称。
即f(-x) = a^(-x) = 1/(a^x) = 1/f(x)。
这意味着函数的图像在y轴上是对称的。
2. 当底数a为负数时，指数函数具有奇偶性。
当指数x为偶数时，函数值为正；当指数x为奇数时，函数值为负。
例如，当a为-2时，f(2) = (-2)^2 = 4，而f(3) = (-2)^3 = -8。
指数函数性质总结
指数函数性质总结指数函数是数学中一种重要的函数类型，它的表达形式是$y=a^x$，其中$a$为底数，$x$为指数。
指数函数具有以下几个重要的性质，下面将对这些性质进行详细总结。
性质一：幂乘法则指数函数的幂乘法则是指，当底数相同时，指数相加的结果等于对应幂相乘的结果。
即对于任意实数$a$和指数$x_1$、$x_2$，有$a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}$。
这个性质可以通过指数函数的定义和乘法法则推导得出。
性质二：指数为0和1的特殊情况当指数等于0时，指数函数的结果总是等于1。
即$a^0 = 1$，其中$a$为任意非零实数。
这是因为任何非零实数的0次方都是1。
当指数等于1时，指数函数的结果总是等于底数本身。
即$a^1 = a$，其中$a$为任意实数。
这是因为任何实数的1次方都等于它本身。
性质三：指数为负数的情况当指数为负数时，指数函数的结果等于底数的倒数的绝对值。
即当$x<0$时，$a^x=\frac{1}{|a^x|}$。
这是因为指数函数的值随着指数的增减而变化，当指数为负数时，结果是正数的倒数。
性质四：指数为分数的情况当指数为分数时，指数函数的结果等于底数的对应幂的开方。
即当$x=\frac{m}{n}$时，$a^x = \sqrt[n]{a^m}$，其中$a$为任意正实数，$m$和$n$为正整数。
这是因为指数为分数等于一个数的多次方根。
性质五：指数函数的图像特点指数函数的图像是一种特殊的曲线，其特点如下：1. 当底数$a>1$时，指数函数随着$x$的增大而迅速增大，曲线趋近于正无穷大。
当$a<1$时，指数函数随着$x$的增大而逐渐趋近于0，曲线接近于$x$轴。
这种特点称为“爆炸增长”和“衰减到零”。
2. 指数函数在$x=0$处取得函数值为1的极值点，称为“基准点”。
当底数$a>1$时，函数在基准点的右侧逐渐增大；当$a<1$时，函数在基准点的右侧逐渐减小。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是一类重要的数学函数，在数学和其他学科的研究中具有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用这一函数。
1. 定义指数函数是以指数为自变量，底数大于0且不等于1的函数。
一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数可以是实数，函数值则可以是正数、负数或零。
2. 指数函数的图像由于底数大于0且不等于1，指数函数的图像不会通过原点(0,0)。
当指数x为0时，函数值为1，因此图像会经过点(0,1)。
当指数x为正值时，函数值逐渐增大；当指数x为负值时，函数值逐渐减小。
图像可以根据底数的不同呈现不同的特点。
3. 底数大于1的指数函数当底数a大于1时，指数函数的图像呈现上升趋势，即从左至右逐渐增大。
随着指数x的增大，函数值也会变得越来越大。
当a越接近1时，曲线的增长速度会变得越来越缓慢。
例如，y = 2^x的图像在x轴的右侧逐渐升高，但增长速度逐渐减慢。
4. 底数介于0和1之间的指数函数当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像呈现下降趋势，即从左至右逐渐减小。
随着指数x的增大，函数值会越来越接近于0。
当a越接近0时，曲线的下降速度会越来越慢。
例如，y = (1/2)^x的图像在x轴的右侧逐渐下降，但下降速度逐渐变缓。
5. 指数函数的水平位移指数函数的图像可以通过水平位移产生变化。
将指数函数右移h个单位，可以得到f(x-h)。
这样做会使整个图像向右平移h个单位。
同样，向左移动h个单位可以得到f(x+h)，将整个图像向左平移h个单位。
6. 指数函数的垂直位移指数函数的图像也可以通过垂直位移产生变化。
将指数函数上移k个单位，可以得到f(x)+k。
这样做会使整个图像上移k个单位。
同样，向下移动k个单位可以得到f(x)-k)，整个图像下移k个单位。
7. 指数函数的对称性对于底数a大于1的指数函数，以y轴为对称轴，具有对称性。
即f(x) = a^x的图像关于y轴对称。
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
指数函数的图象及性质--优质获奖精品课件 (1)
1
2
3
4
5
3.函数y＝(a2－5a＋7)(a－1)x是指数函数，则a的值为( B ) A.2 解析 B.3 C.2或3 D.任意值 由指数函数的定义可得a2－5a＋7＝1，
解得a＝3或a＝2， 又因为a－1>0且a－1≠1，故a＝3.
解析答案
1
2
3
4
5
4.已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( A ) A.(－1,5) C.(0,4) 解析 B.(－1,4) D.(4,0) 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
x
解析答案
1 (3)y＝ 2
x 2 2 x 3
；
x 2 2 x 3
解
1 y＝ 2
x 2 2 x 3
的定义域为 R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
1 ∴ 2
1 －4 ≤2 ＝16.
x 2 2 x 3
1 x -4
1 又 ≠0，即 2 x－4
故 y＝ 2
1 x -4
≠1，
的值域为{y|y＞0，且 y≠1}.
解析答案
(2)y＝ 1－2x；
解
由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝ 1－2x的定义域为(－∞，0].
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，
∴y＝ 1－2 的值域为[0,1).
1 解得 a＝2.
解
2 2a －3a＋2＝1， 由题意得a>0， a≠1，
1 ∴a 的值为2.
解析答案
题型二
指数函数的图象 )
例2
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，
指数函数与对数函数的性质
指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数是高中数学中重要的数学函数，它们在数学及其应用中具有重要的性质和特点。
本文将就指数函数与对数函数的性质进行探讨和分析。
1. 指数函数的性质：指数函数的定义域为实数集，具体形式为f(x) = a^x，其中a是常数且大于0且不等于1。
指数函数的主要性质如下：1.1. 增长性：当a>1时，随着自变量x的增大，指数函数将呈现出逐渐增大的趋势。
即f(x)在整个定义域上是递增的。
这是因为指数的幂次增大后，函数值会迅速增大。
1.2. 函数值：指数函数f(x)在x=0时取值为1，当x>0时，函数值大于1；当x<0时，函数值大于0且小于于1。
函数曲线在经过点(0,1)后，将呈现出逐渐增长的趋势。
1.3.性质的逆运算：指数函数与对数函数是互为反函数的，即指数函数f(x) = a^x与对数函数g(x) = loga(x)满足f(g(x)) = g(f(x)) = x。
其中，a为底数。
这一特性可以通过图像上的对称性得到证明。
2. 对数函数的性质：对数函数的定义域为正实数集，具体形式为f(x) = loga(x)，其中a 是常数且大于0且不等于1。
对数函数的主要性质如下：2.1. 增长性：当0<a<1时，对数函数随着自变量x的增大而递减。
当a>1时，对数函数随着自变量x的增大而递增。
这是因为对数函数是底数为a的指数函数的反函数，其性质与指数函数相反。
2.2. 函数值：对数函数f(x)在x=1时取值为0，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
随着x的增大或减小时，函数值呈现出指数级的变化。
2.3. 对数函数的基本性质：①对数函数f(x) = loga(x)与指数函数f(x) = a^x互为反函数；②特殊对数函数log10(x)可以简写为log(x)，即以10为底的对数函数为常用对数函数；③对数函数满足对数运算的基本性质，如loga(1/x) = -loga(x)，loga(x*y) = loga(x) + loga(y)等。
课件212指数函数及其性质一.ppt
⑵ y＝10x＋1；
⑶ y＝10x＋1； ⑷ y＝2·10x；
⑸ y＝(－10) x；
⑹ y＝(10＋a)x (a＞－10，且a≠－9)；
⑺ y＝x10；
⑻ y＝xx．
集合A：⑴ y＝10x； ⑹ y＝(10＋a)x(a＞－10，且a≠－9)
例1 已知指数函数f(x)＝ax(a＞0, 且a≠1) 的图象过点(3, )，求f(0)，f(1)，f(－3) 的值.
引例：
复习引入
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个； 2个分裂成4个； 4个分裂成8个； 8个分裂成16个； ……，
1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个 数y与x的函数关系式是什么？
复习引入
引例：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个； 2个分裂成4个； 4个分裂成8个； 8个分裂成16个； ……，
1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个 数y与x的函数关系式是 y＝2x.
讲授新课
1. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
对常数a的考虑： (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；
当x≤0时，ax无意义.
讲授新课
1. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域 是R.
1 0 4
5
46 3
4 0 3
7
5.06 4
5.060
2
0.19 3
0.190
练习：
(1) 用“＞”或“＜”填空：
3
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＜
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7
指数函数知识点汇总
指数函数知识点汇总指数函数是高中数学中的重要内容，它是指以一个常数为底的对数函数的逆运算，也就是说指数函数是对数函数的反函数。
以下将从指数函数的定义、特点、性质和应用等方面进行汇总。
1.指数函数的定义：指数函数是以一个正数a（a>0且a≠1）为底的函数，记作y=a^x，其中x是自变量，y是因变量，称为以a为底的指数函数。
2.指数函数的特点：-当a>1时，指数函数是递增函数，即随着自变量的增加，因变量也会增加；-当0<a<1时，指数函数是递减函数，即随着自变量的增加，因变量会减小；-当x=0时，指数函数的值都为1；-当x为负数时，指数函数的值在(0,1)之间或者大于1，根据指数的奇偶性确定。
3.指数函数的性质：-过点(0,1)的指数函数y=a^x的图像必过点(a,a)；-指数函数在定义域内是连续的；-指数函数的值域是(0,+∞)；-指数函数的图像是一条平滑的曲线，且不会与x轴平行；-指数函数的图像均经过点(0,1)，但随着底数a的不同，曲线的形状也不同。
4.指数函数的常见形式：-y=2^x：底数为2的指数函数，也称为指数函数的最简形式；-y=10^x：底数为10的指数函数，也称为常用对数函数。
5.指数函数的应用：指数函数在实际生活中有重要的应用，尤其在经济学、生物学、物理学等领域中-经济学中的复利计算：复利计算是指在固定利率下，一笔资金每经过一定的时间后，利息加到本金上，再按照同样的利率计算下一期的利息，如此类推；-生物学中的指数增长模型：指数增长模型描述了生物群体在适宜生存环境下，其个体数量随时间而呈指数增长的情况；-物理学中的放射性衰变：放射性衰变过程中，放射物质中的原子核数量随着时间的推移而呈指数减少的趋势；-金融学中的指数收益率计算：指数收益率表示其中一特定指数指数中所包括的个股价格变动情况，用以评价股票市场的整体走势。
总结：指数函数是数学中的重要内容，通过对指数函数的定义、特点、性质和应用的汇总，可以帮助我们更好地理解和应用指数函数。
指数函数及性质
6.已知指数函数 y ax a 0且a 1 在区间[1,2]上的最 大值为 1 ，求实数 a 可能的值
4
问题探究
指数函数
y
2x与
y
1
x
的图象有何关系？一般
2
地，y a x
与
y
1
x
的图象也有这种关系吗？
a
谢谢！
指数函数及性质(一)
一.什么样的函数是指数函数？ 二.指数函数的图象是怎样的？ 三.指数函数有哪些性质？
什么样的函数是指数函数？
问题一： 某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂成2个.则1个
这样的细胞第1次分裂后变成2个，第2次分裂后变成4个， 第3次分裂后变成8个，……，设第x次分裂后变成y个，
则y= 2x , x. N*
2.若指数函数y 2m 1x在R上递减，则实数m的取值
范围为
1
. 1 ,1
2
3函数 y 3x1的定义域为 ,1 1,.
4函数 y ax1 过定点 1,1 .
5. 设a,b,c,d都是不等
于1的正实数，函数 y ax , y bx , y cx , y d x 的图 象如下，则a,b,c,d的大小 关系为 b a d c .
性 定点
0,1
质 图象 当x>0时, y 0,1 当x>0时, y 1, 性质 当x<0时, y 1, 当x<0时, y 0,1
1.下列是单调递增的指数函数的是( C )
A.y 2x2
B.y
1 3
x
C.y 1x
1-指数函数及其性质
取值
0 f (x) 1
若 x 0 ，则
若 x 0 ，则
f (x) 1
若 x 0 ，则 0
f (x) 1
对称 函数 y a 与 y a
x x
的图象关于 y 轴对称
性
三、巩固练习
1.已知 y=f(x)是指数函数，且 f(2)=4，求函数 y=f(x)的解析式。 2.设 a、b、c、d 都是不等于 1 的正数，函数：
0 会有什么问题？（如 a 2 ，x=0.5
则在实数范围内相应的函数值
又会怎么样？（
无论
取何值,它总是 1,对它没有研究的必
例 1：判断以下函数是否为指数函数。 （提问） (1)y= (3)y= (5)y= (2)y= (4)y= (6)y=
老师总结：我们判断一个函数是否是指数函数，应该严格根据定义，首先， 要形如 y= 的形式，其次，函数底数 a 应该满足条件 a 足以上条件时，我们才能够判定其为指数函数。 换言之， 我们如果说一个函数是指数函数， 那么这个函数必定能够化成 y= 的形式，其中 a 教 巩固练习 1：已知函数 学 过 程 （x 及 内 容
我们将这些性质整理一下就可以得到这张表：
函数
0 a 1
a 1
图 象
定义
R R
域 值域
0,
0 ,1
0, 0 ,1
定点 性 单调 质 性 若 x 0 ，则
1 f (x)
在 , 上是减函数
在 , 上是增函数
1 x ( ) 2
2
x
的图像的图像在定义域内
的图像在定义域内单调递减。
探究：通过以上两个函数的图像我们对指数函数的性质有了一个初步的理解，那 么我们选取底数 a（a ）的若干个不同的值，在同一平面的坐标系内作
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是一种常见的数学函数，其图像具有独特的特征和性质。
本文将介绍指数函数的图像和性质，帮助读者更好地了解和应用该函数。
一、指数函数的定义和基本形式指数函数是以底数为常数的指数幂的形式表达的函数，一般表示为f(x) = a^x。
其中，a为底数，x为指数，f(x)为函数值。
二、指数函数的图像在探究指数函数的图像之前，我们先来了解指数函数的基本性质：1. 当底数a > 1时，指数函数呈现增长趋势。
随着x的增大，函数值不断增加，曲线向上弯曲。
2. 当0 < a < 1时，指数函数呈现衰减趋势。
随着x的增大，函数值不断减小，曲线向下弯曲。
3. 当a = 1时，指数函数恒等于1，即f(x) = 1。
基于以上性质，我们可以绘制指数函数的图像。
以底数a = 2为例，我们来观察指数函数y = 2^x的图像：在x轴上选取一些不同的x值，计算对应的y值，得到的一组坐标点(x, y)即为函数的图像上的点。
通过连接这些点，我们可以得到指数函数y = 2^x的图像。
三、指数函数的性质指数函数具有以下特性和性质：1. 存在性质：指数函数在定义域内始终存在定义，即对于任意实数x，指数函数f(x) = a^x始终有意义。
2. 定义域和值域：指数函数的定义域为所有实数，即(-∞, +∞)；值域是(0, +∞)。
3. 奇偶性：根据指数函数的定义可知，对于任意实数x，f(x) = a^x > 0。
因此，指数函数没有奇偶性。
四、指数函数的几何性质指数函数在几何上具有以下性质：1. 对称性：指数函数的图像关于y轴是对称的。
即对于任意x，有f(-x) = a^(-x) = 1/(a^x) = 1/f(x)。
2. 渐近线：当x趋近于负无穷时，指数函数的图像趋近于x轴；当x趋近于正无穷时，指数函数的图像趋近于y轴。
这两条直线分别被称为指数函数的水平渐近线和垂直渐近线。
3. 最值和极值点：当a > 1时，指数函数的最值出现在x轴的左侧端点x = -∞处，最小值为0；当0 < a < 1时，指数函数的最值出现在x轴的右侧端点x = -∞处，最大值为正无穷。
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课
前
解 象．(难点)
课
自
时
主 导
读 3 .初步掌握指数函数的有关性质．(重点、难点)
作 业
学
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
指数函数的定义
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
【问题导思】
当 堂
双
细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，….
基 达
标
课 设 1 个细胞分裂 x 次后得到的细胞个数为 y.
自
时
主 确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的 作
导
业
学
人．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
3．情感、态度与价值观
析
教 学 方 案 设 计
当
(1)通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴 堂 双
趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用
基 达
标
课 途，逐步培养学生的应用意识．
前
课
自 主
(2)在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学
时 作
导
业
学 生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教
学 方
●重点难点
案
设 计
重点：指数函数的概念、图象和性质．
当 堂 双 基 达 标
达 标
课 前
增函数，不具有奇偶性．
课
自
时
主 导 学
函数 y＝(13)x 的性质：定义域 R，值域(0，＋∞)，减函数，
作 业
课 不具有奇偶性．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
当 堂
3．指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的单调性与哪个量有关？ 双 基 达 标
课
自
时
主 变化，展示图象变化的动画过程，引导学生分析图象特征， 作
导
业
学
帮助学生总结函数性质，培养学生数形结合的能力．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学 教
●教学流程
法
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学
必修1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
达 标
课 前
坐标是(
)
课
自
时
主 导
A．(1，－3)
B．(1，－2)
作 业
学
C．(2，－3)
课
【提示】 底数 a 的取值．当 a>1 时，函数 y＝ax 在 R
前
课
自 主
上为增函数，
时 作
导
业
学
当 0<a<1 时，函数 y＝ax 在 R 上为减函数．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
指数函数的图象和性质
析
教 学 方 案 设 计
当
a＞1
0＜a＜1
堂 双
当 堂 双 基 达 标
课
前 自
中④、⑤的底数不符合要求，不是指数函数；②中 y＝3x＋1 指
课 时
主
作
导 学
数是 x＋1 而非 x，不是指数函数；①中 y＝2×3x 中系数为 2 业
课 而非 1，不是指数函数．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
当 堂 双 基 达 标
课 前
【提示】
课
自
时
主
作
导
业
学
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分 析
2．你能结合上述图象分析一下两函数各自的性质吗？
辨 析
教 学 方 案 设 计
(如定义域、值域、单调性、奇偶性)．
当 堂
双
基
【提示】
函数 y＝3x 的性质：定义域 R，值域(0，＋∞)，
课
前 自
作好准备．为了较好的突出重点化解难点，本节课宜采用启
课 时
主
导 发发现法及课堂讨论法给予教学．即由实例入手，采用情景
作 业
学
教学法，自然导出指数函数的形式，在概念理解上，用步步
课
教
堂 设问、课堂讨论等方式，引导学生结合指数的有关概念来归 师
互
备
动 探
纳出指数函数的定义，并向学生指出指数函数的形式特点.
课 资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
ห้องสมุดไป่ตู้
法
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
在研究指数函数的图象时(总分 a>1 和 0<a<1 两种情况)，遵 循由特殊到一般的研究规律，通过对图象的观察、探索、交 流、抽象、概括，认识指数函数性质的本质．为了加深学生
当 堂 双 基 达 标
课 前
对性质的理解，建议利用多媒体辅助教学，通过对 a 取值的
菜单
新课标 ·数学
必修1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学
必修1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
作 业
学
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
指数函数的概念
析
教
学
方
(1)下列函数：
案
设 计
①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
当 堂 双 基 达 标
课 前
④y＝x3；⑤y＝(－4)x.
课
自
主 导
其中，指数函数的个数是( )
时 作 业
学
A．1
B．2
C．3
D．4
备 课
探
资
究
源
菜单
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教
易
学
错
教
易
法 分
●教学建议
误 辨
析
析
本节课是在学习指数与指数幂的运算基础上，学习指数
教 学 方 案 设 计
当
函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义、图象及性质， 堂
双
可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到
基 达
标
较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数
当 堂 双 基 达 标
课 当 a 变化时，图象变化的动画过程，重现指数函数的特征与
前 自
性质；接着演示当 a 是固定的常数，从左到右发展，图象变
课 时
主
作
导 学
化的动画过程，从而得出是增函数或减函数的性质．借助几
业