大学高数公式大全

向量在轴上的投影：Pr ju AB = AB cos,是AB与u轴的夹角。
Pr a
bju=(aa1
+
a2
)
=
Pr
ja1
+
b cos = axbx
Pr ja2 + ayby
+
azbz
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos =
axbx + ayby + azbz
ax 2 + ay 2 + az 2 bx 2 + by 2 + bz 2
1 tg tg ctg( ) = ctg ctg 1
ctg ctg
·和差化积公式：
sin + sin = 2sin + cos −
2
2
sin − sin = 2 cos + sin −
2
2
cos + cos = 2 cos + cos −
2
2
cos − cos = 2sin + sin −
i c = ab = ax
j ay
k az
,
c
=
a
b
sin .例：线速度：v
=
w r.
bx by bz
向量的混合积：[abc]
=
(a
b)
c
=
ax bx
ay by
az bz
=
a
b
c
cos
,为锐角时，
cx cy cz
代表平行六面体的体积。
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高等数学公式
平面的方程： 1、点法式：A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0，其中n = {A, B,C}, M 0 (x0 , y0 , z0 )
p};
x 参数方程： y
= =
x0 y0
+ mt + nt
z = z0 + pt
二次曲面：
1、椭球面：x a
2 2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
2、抛物面：x2 + y2 = z（, p, q同号） 2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x 2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=1
双叶双曲面：x 2 a2
方向导数与梯度：
函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：f = f cos + f sin
l x
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z =
f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf (x, y) = f
i
+
f
j
x y
它与方向导数的关系是：f
= grad
x0
,
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z
0
)}
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
3、过此点的法线方程： x − x0 = y − y0 = z − z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
x→
x
三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
sin cos tg ctg
-sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
z = f [u(x, y),v(x, y)] z = z u + z v x u x v x
当u = u(x, y)，v = v(x, y)时，
du = u dx + u dy dv = v dx + v dy
x y
x y
隐函数的求导公式：
隐函数F (x,
y)
=
0， dy dx
=
F(b) − F(a) F( ) 当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds = 1+ y2 dx,其中y = tg
平均曲率：K = . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 s
M点的曲率：K = lim = d =
y .
s→0 s ds
(1+ y2 )3
-tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα
-ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差角公式：
sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos sin sin tg( ) = tg tg
dx 1
x
a2 + x2 = a arctg a +C
dx x2 − a2
=
1 ln 2a
x−a x+a
+C
dx a2 − x2
=
1 ln 2a
a+ a−
x x
+C
dx = arcsin x + C
a2 − x2
a
dx cos 2
x
=
sec2
xdx
=
tgx
+
C
dx sin 2
x
=
csc2
若空间曲线方程为：GF ((
x, x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
,则切向量T
=
{ Fy Gy
Fz , Fz G z Gz
Fx , Fx G x Gx
Fy } Gy
曲1、面过F此(x点, y的, z)法=向0上量一：点n M= {(Fxx0(,
y0 , z0 x0 , y0
)，则： , z0 ), Fy (
−
Fx Fy
， d 2 y dx 2
=
x
(−
Fx Fy
)＋ y
(−
Fx Fy
)
dy dx
隐函数F (x, y, z) = 0， z = − Fx ， z = − Fy
x Fz
y Fz
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高等数学公式
F F
隐函数方程组：GF (( xx,,
y,u,v) y,u,v)
= 0 J =0
yn−2
)
+
4(
y1
+
y3
++
yn−1 )]
定积分应用相关公式：
功：W = F s 水压力：F = p A
引力：F
=
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值：y =
1
b
f (x)dx
b−a a
均方根： 1
b
f 2 (t)dt
b−a a
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M1M 2 = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
xdx
=
−ctgx + C
sec x tgxdx = sec x + C
csc x ctgxdx = −csc x + C a xdx = a x + C
ln a
shxdx = chx + C
chxdx = shx + C dx = ln( x +
x2 a2
x2 a2 )+C
In
=
shx chx
=
ex ex
− +
e−x e−x
arshx = ln( x + x2 +1）
archx = ln( x + x2 −1)
arthx = 1 ln 1+ x 2 1− x
lim sin x = 1 x→0 x
lim (1+ 1 )x = e = 2.718281828459045...
x = (t)
空间曲线 y z
= (t)在点M = (t)
(x0 ,
y0 ,
z0
)处的切线方程：x − x0 (t0 )
=
y
− y0 (t0 )
=
z − z0 (t0 )
在点M处的法平面方程： (t0 )(x − x0 ) + (t0 )( y − y0 ) + (t0 )(z − z0 ) = 0
直线：K = 0;
半径为a的圆：K = 1 . a
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高等数学公式
定积分的近似计算：
b
矩形法： f
a
(x)
b
− n
a
(
y0
+
y1
++
yn−1 )
b
梯形法：f
a
(x)
b
− n
a
[1 2
(
y0
+