大学高数公式大全

2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0
3、截距世方程：x + y + z = 1 abc
平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C2
空间直线的方程：x − x0 m
=
y − y0 n
=
z − z0 p
= t,其中s
=
{m,
n,
−
y2 b2
+
z2 c2
=（1 马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：dz = z dx + z dy du = u dx + u dy + u dz
x y
x y z
全微分的近似计算：z dz = f x (x, y)x + f y (x, y)y
多元复合函数的求导法：
z = f [u(t),v(t)] dz = z u + z v dt u t v t
2
2
a
sin x = 2u ， cos x = 1− u2 ， u = tg x， dx = 2du
1+ u2
1+ u2
2
1+ u2
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高等数学公式
高等数学公式
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦 : shx = ex − e−x 2
双曲余弦 : chx = ex + e−x 2
双曲正切: thx
方向导数与梯度：
函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：f = f cos + f sin
l x
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z =
f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf (x, y) = f
i
+
f
j
x y
它与方向导数的关系是：f
= grad
-tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα
-ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差角公式：
sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos sin sin tg( ) = tg tg
=
(F,G) (u, v)
=
u G
v G
=
Fu Gu
Fv Gv
u v
u = − 1 (F,G) v = − 1 (F,G)
x J (x,v)
x J (u, x)
u = − 1 (F,G) v = − 1 (F,G)
y J ( y,v)
y J (u, y)
微分法在几何上的应用：
tg3
=
3tg − tg3 1− 3tg2
·半角公式：
sin = 1− cos cos = 1+ cos
2
2
2
2
tg = 1− cos = 1− cos = sin ctg = 1+ cos = 1+ cos = sin
2 1+ cos sin 1+ cos
1 tg tg ctg( ) = ctg ctg 1
ctg ctg
·和差化积公式：
sin + sin = 2sin + cos −
2
2
sin − sin = 2 cos + sin −
2
2
cos + cos = 2 cos + cos −
2
2
cos − cos = 2sin + sin −
i c = ab = ax
j ay
k az
,
c
=
a
b
sin .例：线速度：v
=
w r.
bx by bz
向量的混合积：[abc]
=
(a
b)
c
=
ax bx
ay by
az bz
=
a
b
c
cos
,为锐角时，
cx cy cz
代表平行六面体的体积。
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高等数学公式
平面的方程： 1、点法式：A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0，其中n = {A, B,C}, M 0 (x0 , y0 , z0 )
F(b) − F(a) F( ) 当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds = 1+ y2 dx,其中y = tg
平均曲率：K = . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 s
M点的曲率：K = lim = d =
y .
s→0 s ds
(1+ y2 )3
x→
x
三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
sin cos tg ctg
-sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
直线：K = 0;
半径为a的圆：K = 1 . a
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高等数学公式
定积分的近似计算：
b
矩形法： f
a
(x)
b
− n
a
(
y0
+
y1
++
yn−1 )
b
梯形法：f
a
(x)
b
− n
a
[1 2
(
y0
+
yn
)
+
y1
++
yn−1 ]
b
抛物线法： f
a
(x)
b−a 3n
[(
y0
+
yn
)
+
2(
y2
+
y4
++
(arctgx)
=
1
1 +x
2
(arcctgx)
=
−
1
1 +x
2
基本积分表： 三角函数的有理式积分：
tgxdx = − ln cos x + C
ctgxdx = ln sin x + C
sec xdx = ln sec x + tgx + C
csc xdx = ln csc x − ctgx + C
x0
,
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z
0
)}
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
3、过此点的法线方程： x − x0 = y − y0 = z − z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
p};
x 参数方程： y
= =
x0 y0
+ mt + nt
z = z0 + pt
二次曲面：
1、椭球面：x a
2 2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
2、抛物面：x2 + y2 = z（, p, q同号） 2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x 2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=1
双叶双曲面：x 2 a2
z = f [u(x, y),v(x, y)] z = z u + z v x u x v x
当u = u(x, y)，v = v(x, y)时，
du = u dx + u dy dv = v dx + v dy
x y
x y
隐函数的求导公式：
隐函数F (x,
y)
=
0， dy dx
=
导数公式：
(tgx) = sec2 x
(ctgx) = − csc2 x
(sec x) = sec x tgx
(csc x) = − csc x ctgx
(a x ) = a x ln a
(log
a
x)
=
1 x ln
a
高等数学公式
(arcsin x) = 1 1− x2
(arccos x) = − 1 1− x2
n
(uv)(n) = Cnk u (n−k )v(k ) k =0
= u (n)v + nu (n−1)v + n(n −1) u (n−2)v + + n(n −1)(n − k +1) u v (n−k) (k) + + uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) − f (a) = f ( )(b − a) 柯西中值定理：f (b) − f (a) = f ( )
xdx
=
−ctgx + C
sec x tgxdx = sec x + C
csc x ctgxdx = −csc x + C a xdx = a x + C
ln a
shxdx = chx + C
chxdx = shx + C dx = ln( x +
x2 a2
x2 a2 )+C
In
2 1− cos sin 1− cos
·正弦定理： a = b = c = 2R sin A sin B sin C
·余弦定理： c2 = a2 + b2 − 2ab cosC
·反三角函数性质： arcsin x = − arccos x arctgx = − arcctgx
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
x = (t)
空间曲线 y z
= (t)在点M = (t)
(x0 ,
y0 ,
z0
)处的切线方程：x − x0 (t0 )
=
y
− y0 (t0 )
=
z − z0 (t0 )
在点M处的法平面方程： (t0 )(x − x0 ) + (t0 )( y − y0 ) + (t0 )(z − z0 ) = 0
若空间曲线方程为：GF ((
x, x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
,则切向量T
=
{ Fy Gy
Fz , Fz G z Gz
Fx , Fx G x Gx
Fy } Gy
曲1、面过F此(x点, y的, z)法=向0上量一：点n M= {(Fxx0(,
y0 , z0 x0 , y0
)，则： , z0 ), Fy (
−
Fx Fy
， d 2 y dx 2
=
x
(−
Fx Fy
)＋ y
(−
Fx Fy
)
dy dx
隐函数F (x, y, z) = 0， z = − Fx ， z = − Fy
x Fz
y Fz
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高等数学公式
F F
隐函数方程组：GF (( xx,,
y,u,v) y,u,v)
= 0 J =0
2
2
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·倍角公式：
sin 2 = 2sin cos cos 2 = 2 cos2 −1 = 1− 2sin 2 = cos2 − sin 2 ctg2 = ctg2 −1
2ctg tg2 = 2tg
1− tg2
高等数学公式
sin 3 = 3sin − 4sin 3
cos 3 = 4 cos3 − 3cos
yn−2
)
+
4(
y1
+
y3
++
yn−1 )]
定积分应用相关公式：
功：W = F s 水压力：F = p A
引力：F
=
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值：y =
1
b
f (x)dx
b−a a
均方根： 1
b
f 2 (t)dt
b−a a
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M1M 2 = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
向量在轴上的投影：Pr ju AB = AB cos,是AB与u轴的夹角。
Pr a
bju=(aa1
+
a2
)
=
Pr
ja1
+
b cos = axbx
Pr ja2 + ayby
+
azbz
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos =
axbx + ayby + azbz
ax 2 + ay 2 + az 2 bx 2 + by 2 + bz 2
f
(
x,
y)
e，其中e
=
cos
i
+
sin
j，为l方向上的
l
单位向量。
f 是gradf (x, y)在l上的投影。 l
多元函数的极值及其求法：
设f x (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0，令：f xx (x0 , y0 ) = A, f xy (x0 , y0 ) = B, f yy (x0 , y0 ) = C
=
2
sin
0
n
2
xdx =
0
cosn
xdx
=
n −1 n In−2
x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2
2
x2 − a2 dx = x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C
2
2
a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 arcsin x + C
dx 1
x
a2 + x2 = a arctg a +C
dx x2 − a2
=
1 ln 2a
x−a x+a
+C
dx a2 − x2
=
1 ln 2a
a+ a−
x x
+C
dx = arcsin x + C
a2 − x2
a
dx cos 2
x
=
sec2
xdx
=
tgx
+
C
dx sin 2
x
=
csc2
=
shx chx
=
ex ex
− +
e−x e−x
arshx = ln( x + x2 +1）
archx = ln( x + x2 −1)
arthx = 1 ln 1+ x 2 1− x
lim sin x = 1 x→0 x
lim (1+ 1 )x = e = 2.718281828459045...