2019深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学试题_含答案

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【精选】广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考(理科数学)参考答案

得到 g x 2sin 3x

，再将 g x 的图像上所有点向右平移 0 个单位长度，得到 3
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h x 2sin 3 x 2sin 3x 3 ，其图像关于 y 轴对称，所以 3 3
3.由已知求得 a1 4 ，数列 an 的公比 q
1 1 2 ，数列 an an 1 是首项为 8 ，公比为 q 的等比数列， 2 4
1 n 8 1 4 32 所以 a1a2 a2 a3 a3a4 an an 1 1 4 n ，选 C. 1 3 1 4
选 C. 9.如图， D 为边 BC 的中点， AP AB AC AP 2 AD 2 AP AD 2 AD 6 ，答案选 B.

2
1 1 10.定义域 x x ，f x 是定义域上的偶函数，排除 A；当 x 0, 时， 2 2
1 1 ，所以 A，B 都不对.对于 C， a b
2. 对于 A，B，根据反比例函数的性质可知： a b, ab 0
2 所以选项 C 正确；对于 D，取反例：a 1.1, a 1.21, b 0.8, 2b 1.6 . 1 b 1 b 2 1, 而a 1 ，
sin x 1 cos 2 x cos x sin 2 x 2sin 3 x 2sin x cos2 x 2sin x sin 2 x cos2 x
2 sin x cos 2 x ，由 f x 0 得到 sin x 0 或者 cos 2 x 0 .当 sin x 0 时， x 0 ，， 2 ；

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考(理科数学)参考答案

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.解析： 1.()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，3322z i =--，答案选A.2. 对于A ，B ，根据反比例函数的性质可知：11,0a b ab a b>>⇒<，所以A ，B 都不对.对于C ，2111,1b b a >>-⇒<>而，所以选项C 正确；对于D ，取反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====. 3.由已知求得14a =，数列{}n a 的公比12q =，数列{}1n n a a +是首项为8，公比为214q =的等比数列，所以()1223341181432141314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦++++==--，选C .4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p 是q 的充分条件，另一方面，显然A 、B 在等高处的截面积不恒相等，A 、B 的体积可能相等，因此p 不是q 的必要条件，所以答案选A .5.第1次循环，13n =，13S =；第2次循环，12n =，25S =；第3次循环，11n =，36S =；第4次循环，10n =，46S =，9n =；当9n =时，退出循环，所以910a <≤，答案选B .6.阴影部分的面积()()440cos sin sin cos 1S x x dx x x ππ=- =+=⎰，正方形面积为24π，所以所)2414π-=.7. 将()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将()g x 的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到()()2sin 32sin 3333h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以()332k k Z ππθπ-=+∈，即()183k k Z ππθ=-+∈，所以θ()0θ>最小值为518π，答案选C.8.52431x x x ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为()4224255325x C x C ⎛⎛⋅+-⋅=- ⎝⎝，答案选C.9.如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==，答案选B. 10.定义域12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，()f x 是定义域上的偶函数，排除A ；当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ；当12x >时，()0f x <，排除D ，所以选B . 11.设，，，由线段1PF 的中垂线过点2F 得，即，得，即，得，解得，故1>，故选D .利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.()()sin sin3sin sin 2sin sin cos2cos sin2f x x x x x x x x x x x =-=-+=--()()3222sin 1cos2cos sin 22sin 2sin cos 2sin sin cos x x x x x x x x x x =--=-=-2sin cos2x x =-，由()0f x =得到sin 0x =或者cos 20x =.当sin 0x =时，0x =，π，2π；当cos 20x =时，4x π=，34π，54π，74π；所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令()0f x =，则sin sin 3x x =，在同一坐标系中画出函数sin y x =和sin3y x =的图像，如图所示，两个函数图像在区间[]0,2π有7个交点，所以()f x 有7个零点，其中3个零点是0，π，2π，另外四个零点为图中的1x ，2x ，3x ，4x ，由对称性可知，12x x π+=，343x x π+=AD所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1或1-（答对一个给3分） 14. 3015.()0,16216.12π解析：13.ABC ∆为等腰直角三角形，等价于圆心C 到直线10ax y +-=的距离等于，即2=，解得a =1或1-. 14.设该厂生产x 车皮甲肥料，y 车皮乙肥料获得的利润为z 条件为410181566,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数为105z x y =+，如图所示，最优解为()2,2，所以max 1025230z =⨯+⨯=. 15.设公差为d ，则根据已知条件得到11331521434a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+. 1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112122323n n t +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以0t >，且()26215182121112323n n n t nn +++<=⎛⎫- ⎪+⎝⎭186215n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭恒成立，由于186215162n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭当且仅当3n =时取等号，所以()0,162t ∈. 16.考虑到4AO AB AC AD ====，则球心O 与点A 在平面BCD 的两侧，且ABO ∆是等边三角形.由于OB OC OD==，则点O 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心，同理，点A 在平面BCD 上的射影也是BCD ∆的外心，设BCD ∆的外心为1O ，从而AO ⊥平面BCD 于点1O ，所以1AO BO ⊥，且1O 是AO 的中点，1BO =1BO 是平面BCD 被球O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12π.三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=，所以()sin sin sin cos A C B B =+……………………………………………………………………1分在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+……………………………………………………………2分所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+所以sin cos sin sin B C C B =…………………………………………………………………………3分因为在ABC ∆中，sin 0B ≠所以cos sin C C = ……………………………………………………………………………………4分因为C 是ABC ∆的内角所以4C π=.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin 0B ≠或C 的范围，扣1分）（2）在BC D ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-…………………………6分因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-…………………………………………………………7分 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=…………………………………………………………………8分所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ………………………………………9分因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<…………………………………………………………10分所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+…………………………………………………12分 18.（1）证明：如图1，在ADE ∆中，1,2,60AD AE A ==∠=︒，得到DE ==1分所以222AD DE AE +=，从而,AD DE BD DE ⊥⊥ ……………………………………………2分所以在图2中，1,AD DE BD DE ⊥⊥x1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角……………………………………………………………3分所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥ 又因为1,A D DE BDDE D ⊥=，,BD DE ⊂平面BCED所以1A D ⊥平面BCED .……………………………………………………………………………5分（2）方法一：向量法由（1）知，1,,A D DB DE 两两垂直，分别以1,,DB DE DA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………………………………………………………………………6分则()0,0,0D ，()2,0,0B ，()10,0,1A ，12C ⎛⎫⎪⎝⎭，且32BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.………………7分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，设3,02BP BC λλ⎛⎫==-⎪⎝⎭，其中[]0,1λ∈，1132,,122A P A D DB BP BC λλ⎛⎫=++==-- ⎪⎝⎭…………………………………………8分平面1BDA 的一个法向量为()0,1,0n =………………………………………………………………9分则111sin60cos ,A P n A P n A P n⋅︒====…………………10分解得56λ=……………………………………………………………………………………………11分所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分方法二：传统法由（1）知1A D ⊥平面BCED ，因为1A D ⊂平面1ABD ，所以平面1A BD ⊥平面BCED .………………………………………………………………………6分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，作P F B D ⊥于F ，则PF ⊥A 1BCDE F平面1ABD . ……………………………………………………………………………………………7分连接1A F ，则1P AF ∠就是直线1PA 与平面1ABD 所成的角.………………………………………8分设PB x=，则11,,222PF x BF x DF x ===-， (9)分1A F ==……………………10分1tan 60x PFA F==︒……………………………11分解得52x =所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分 19.解：（1）因为12c a =，所以b a =，……① ………………………………………………1分将点M 坐标代入椭圆标准方程，得到223314a b+=……② ……………………………………2分联立①②，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ……………………………………………………………4分（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，并设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线OM 上，所以121212121222y y y y x x x x ++==++…………………………………………………………………………5分因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到22221212043x x y y --+=()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=因为121212121,2y y y y k x x x x +-==+-所以32k =-……………………………………………………………………………………………6分由2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y 得到关于x 的一元二次方程并化简得 ()223330x mx m -+-=()2291230m m ∆=-->，解得m -<7分212123,3m x x m x x -+==……………………………………………………………………………8分原点O 到直线l的距离d =…………………………………………………………………9分12AB x =-=12OABS AB d ∆=⋅⋅==10分()2212m m +-≤=……………………………………………………………………11分当且仅当m =12分综上，当m =OAB ∆l 方程为32y x =-±（没有总结语，扣1分）20.解：（1）……………………………………2分2K 的观测值()21004884224 3.84150509010k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯……………………………………………3分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.…………………………………………4分（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. …………5分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为125p =； ……………………6分女员工实得计件工资超过3100元的概率为212p =. …………………………………………7分设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为X ，则12,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为Y ，则21,5YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. Z 的所有可能取值为0,1,2,3，……………………………………………………………………8分 ()()()()20213300,0002520P Z P X Y P X P Y C ⎛⎫========⨯=⎪⎝⎭ ()()()22121312211,00,125255P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()22121312722,01,1252520P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212132,12510P Z P X Y ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭…………………………………………………10分随机变量Z 的分布列为…………………………………11分()2717123520105E Z =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………12分21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()'x af x e x=-…………………………………………………………………………………………1分 ①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在定义域()0,+∞单调递减，()f x 没有极值点；…………2分②当0a >时，()'x af x e x=-在()0,+∞单调递减且图像连续，()'10a f a e =-<，0x →时，()'f x →+∞，所以存在唯一正数0x ，使得()0'0f x =，函数()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以函数()f x 有唯一极大值点0x ，没有极小值点.………………………………………………3分综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分（2）方法一：由（1）知，当0a >时，()f x 有唯一极大值点0x ，所以()()00max 0ln xf x f x a x e ==-，()0f x <恒成立⇔()00f x <………………………………………………………………………5分因为00x a e x =，所以()000001ln ln 0a f x a x a x x x ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以001ln 0x x -<. 令()1ln h x x x=-，则()h x 在()0,+∞单调递增，由于()11.74ln1.7401.74h =-<，()11.8ln1.801.8h =->，所以存在唯一正数()1.74,1.8m ∈，使得()0h m =，从而()00,x m ∈.………………………………………………………………………………………6分由于()000ln 0x f x a x e=-<恒成立，①当(]00,1x ∈时，()000ln 0x f x a x e=-<成立；②当()01,x m ∈时，由于00ln 0x a x e -<，所以00ln x e a x <.……………………………………7分令()ln x e g x x =，当()1,x m ∈时，()()1ln '0ln x e x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=<，所以()ln x e g x x =在()1,m 单调递减，从而()a g m ≤.因为()()1.74g m g <，且() 1.741.7410.3ln 1.74e g =≈，且a ∈N*，所以10a ≤.…………………………………………………………………………………………………8分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………9分所以()()()00000max0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x e x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……10分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分即10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.所以a 的最大值是10. ………………………………………………………………………………12分方法二：由于()0f x <恒成立，所以() 1.61.6ln1.60f a e =-<， 1.610.5ln1.6e a <≈； () 1.71.7ln1.70f a e =-<， 1.710.3ln1.7e a <≈； () 1.81.8ln1.80f a e =-<， 1.810.3ln1.8e a <≈；因为a ∈N*，所以猜想：a 的最大值是10. ………………………………………………………6分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………8分所以()()()00000max 0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x ex x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……9分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ………………10分所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10.………………………………………………………………………………12分22．解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 4ρθθ-=……………………………1分因为cos ,sin x y ρθρθ==所以直线l 普通方程为40x y -+=.………………………………………………………………2分设(),2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离13d t π⎛⎫===-- ⎪⎝⎭…………………………4分当sin 13t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l的距离的最大值为…………………………………………………………5分（2）设曲线C 上任意点()cos ,2sin P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，所以cos 2sin 40a t t -+>对t ∀∈R 恒成立，……………………………………………………7分()4t ϕ-<，其中cos ϕϕ==………………………………8分4<………………………………………………………………………………………9分由于0a >，解得实数a的取值范围是0a <<……………………………………………10分23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩…………………………1分因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩……………………………3分解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.…………………………………………………5分（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-…………………………………………………………………………6分因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立，所以()min 213t t ++-=……………………………………………………………………………7分因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭…………………………………………………9分所以532m <，所以实数m 的取值范围605m <<.…………………………………………………………………10分。

(百强市校)广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(理)试题

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学命题学校：广东广雅中学定稿人：本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z3i1i，则复数z的共轭复数z的虚部为A.2.设32a 1b1，b 0333C.iD.B.222，则下列不等式中恒成立的是iA.1111B.a b a bC.a b2D.a22b3.已知a是等比数列，na 22，a514，则a a a a a a a a122334n n 1A.1614n B.1612n C.323214 D.3312n4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，p: A、B的体积不相等，q: A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图是一个算法流程图，若输入n的值为13，输出S的值是46，则a的取值范围是A. C.9a 1010a 11B.D.9a 108a 9n6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.21B.4212C.4212D.167.已知函数f x si n x3cos x，x R，先将f x图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵3坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移0个单位长度，得到的图像关于y轴对称，则的最小值为A.9B.3C.518D.238.41x23x 1x x5的展开式中常数项为A.30B.30C.25D.259.已知P是边长为2的等边三角形ABC边BC上的动点，则AP AB AC的值A.有最大值8B.是定值6C.有最小值2D.与P点的位置有关10.函数fx xe x4x2e1x的部分图像大致是y y y yO x O x O x O x A B C D11.设F1、F2分别是椭圆1a2b2（a b 0）的左、右焦点，若在直线xa2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是A.(0，2]B.(0，]3 C.[22，1) D.[33，1)12.已知函数A.f x5sin x sin3x，x 0,2，则函数3B. C.f x 的所有零点之和等于7D.1 2x2y23第二部分非选择题 (共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13.已知直线axy 1 0与圆C :x 12y a21相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数 a的值为※※ .14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是 10 万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是 5 万元.现库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元.15.已知等差数列a 的前n 项和为 nS n，且S15 3，aa34 79，数列1a an n 1的前 n 项和为 T n，且对于任意的 nN *， Tna 11 nt，则实数 t 的取值范围为 ※※ .16.在半径为 4 的球 O的球面上有不同的四点 A ，B ，C ，D，若A B AC A D4，则平面BCD被球O所截得的图形的面积为 ※※ .三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 60 分.17.（12 分）如图，在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，A且a csi n B cos B.（1）求ACB的大小；BC（2）若ACB ABC，点 A、D 在BC 的异侧，DB 2，DC1，D求平面四边形 ABDC 面积的最大值.18.（12 分）等边ABC 的边长为 3，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且满足AD CE 1DB EA 2（图 1）.将ADE沿DE折起到A DE 1的位置，使二面角ADE B 1成直二面角，连接 A B 1，AC1（图 2）.A A1DEDEB图 1CB图 2C（1）求证： A D 1平面BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 PA 与平面 ABD 所成的角为 60 ？若存在，求出线11段PB的长；若不存在，请说明理由.19.（12分）已知椭圆x2y2C : 1a b 0a2b213的离心率为，点M 3,22在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线O M交于点N，并且点N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值.20.（12分）某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：每月完成合格产品的件数（单位：百件）(26,28](28,30](30,32](32,34](34,36]频数10453564男员工人数7231811（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的有关？22列联表，并判断是否有 95％的把握认为“生产能手”称号与性别非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工合计（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望.附：K2n ad bca b c d a cb d，PK2kk0.0500.0100.0013.841 6.63510.828221.（12 分）已知函数fx a l n xex， aR .（1）试讨论函数fx的极值点的个数；（2）若aN*，且fx 0恒成立，求 a的最大值.参考数据：x1.61.71.741.810 ex4.9535.4745.6976.05022026ln x0.4700.5310.5540.5882.303（二）选考题：共10 分.请考生从给出的第22、23 两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为x a cos t y 2sin t（ t为参数，a 0），以坐标原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos42 2.（1）设 P是曲线 C上的一个动点，当a 2 3时，求点 P到直线 l的距离的最大值；（2）若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围.23.（10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 fx x m 2x 3mm 0.（1）当m1时，求不等式fx1的解集；（2）对于任意实数 x ， t ，不等式 f x2 t t 1恒成立，求实数 m 的取值范围.华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案A C C A B B C C B B D D解析：1.z 3i 3i1i1i1i 1i33i22，33z i22，答案选A.2.对于A，B，根据反比例函数的性质可知：a b,ab 011a b，所以A，B都不对.对于C，1b 1b21,而a 1，所以选项C正确；对于D，取反例：a 1.1,a2 1.21,b 0.8,2b 1.6.3.由已知求得a 41，数列an的公比q11，数列a a是首项为8，公比为q22n n 14的等比数列，所以a a a a a a122334a an n 11813214134n ，选C.4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p是q的充分条件，另一方面，显然A、B在等高处的截面积不恒相等，A、B的体积可能相等，因此p不是q的必要条件，所以答案选A.5.第1次循环，n 13，S 13；第2次循环，n 12，S 25；第3次循环，n 11，S 36；第4次循环，n 10，S 46，n 9；当n 9时，退出循环，所以9a 10，答案选B.6.阴影部分的面积S 4cos x sin x dx sin x cos x4021，正方形面积为24，所以所求概率为212421.247.将f x sin x 3cos x 2sin x31图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不3n41变），得到g x 2sin3x3，再将gx的图像上所有点向右平移个单位长度，得到h x2si n3x 32sin3x33，其图像关于y轴对称，所以332k k Z，即18k 5k Z，所以0最小值为，答案选C.3188.41x23x 1x x511的展开式中常数项为x2C43x C225x x，答案选C.9.如图，D为边BC的中点，AP AB AC AP2AD2AP AD2AD26，答案选B.110.定义域x x ，f x是定义域上的偶函数，排除A；当21x 0,2时，Afx 0，排除C；当x12时，fx，排除D，所以选B.B P D C11.设P(a2c,m)，F (c,0)1，F(c,0)2，由线段PF1的中垂线过点F得PF F F 2c2212，即(a2cc)2m22c，得a2a4m24c2(c)22a23c20c c2，即3c42a2c2a40，得3e42e210，解得e213，故1e33，故选D.利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.f x si n x sin3x sin x sin x2x si n x sin x c os2x cos x sin2xsin x 1cos2x cos x sin2x 2sin3x 2sin x cos2x 2sin x si n2x cos2x2sin x cos2x，由f x0得到si n x 0 或者cos2x 0.当sin x 0 时，x 0，，2；当cos2x 0时，x4357，，，；所以f x的所有零点之和等于7，选D.444另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令 fx0，则s in x sin3x，在同一坐标系42 55中画出函数y sin x和y sin3x的图像，如图所示，两个函数图像在区间0,2有7个交点，所以f x有7个零点，其中3个零点是0，，2，另外四个零点y为图x xO x1x234x中的 x ， x ， x ， x ，由对称性可知， 1234xx12，xx334，所以 f x的所有零点之和等于 7，选 D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 1或1（答对一个给 3 分）14. 3015.0,16216. 12解析：13.ABC为等腰直角三角形，等价于圆心C到直线ax y 1 0的距离等于2 2，即 ya 1 212 2，解得 a 1 或 1. 14.设该厂生产 x车皮甲肥料， y车皮乙肥料获得的利润为 z 万元，则约束条件为4x y 1018x 15 y 66，目标函数为z 10 x 5 y，如图所示， (2,2)O xx N , y N最优解为2,2，所以 zmax10 2 5 2 30.15.设公差为d，则根据已知条件得到3a3d 15 1 2a14d 34 1，解得a3 1 d 2，所以a2n 1 n.1 1 1 11 1 1 1 1， Ta a2 2n 1 2n3 n 23 55 7 n n 11 12n 1 2n 31 1 1 2n 122 3 2n 3 t恒成立，所以 t 0 ，且 t2n 12 1 1 12 3 2n 362n 215n 18n18 6 2n 15n t0,162.恒成立，由于186 2n 15162 n当且仅当 n 3 时取等号，所以16.考虑到 AO AB AC AD 4 ，则球心 O 与点 A 在平面 BCD 的两侧，且 ABO 是等边三角形.由于OB OC OD ，则点 O 在平面 BCD 上的射影是 BCD 的外心，同理，点 A 在平面 BCD上的射影也是BCD的外心，设BCD 的外心为O 1，从而 AO平面BCD于O点O 1，所以AO B O ，且 O 是 AO 的中点，BO2 3 111，BO 是平面 BCD 1BO1CD被球 O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12 .A三、解答题：满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为a c si n B cos B ，且a csin A sin C，所以sin A sin C si n B cos B (1)分在ABC中，sin A sin BC所以sin B C si n C si n B cos B ……………………………………………………………2分所以sin B cos C cos B sin C sin C sin B sin C cos B所以sin B cos C sin C sin B (3)分因为在ABC中，sin B 0所以cos C sin C (4)分因为C是ABC的内角所以C4.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin B 0或C的范围，扣1分）（2）在BCD中，BC2BD2CD22B D CD cos D 54cos D (6)分因为ABC是等腰直角三角形，所以SABC 115AB2BC2cos D244 (7)分SBCD 12BD CD si n D sin D (8)分所以平面四边形ABDC的面积S SABC SBCD54cos D sin D52sin D44………………………………………9分因为0 D ，所以4D434 (10)分所以当D 34时，sin D 14，…………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值542 (12)分18.（1）证明：如图1，在ADE中，AD 1,AE 2,A 60，得到DE AD2AE22A D AE cos603 (1)分所以AD2DE2A E2，从而AD D E,BD DE (2)分所以在图2中，AD D E,BD D E1A DB是二面角A DE B11的平面角……………………………………………………………3分所以A DB 901，即A D B D1又因为A D D E,BD DE D1，BD,DE 平面BCED所以A D 平面BCED.……………………………………………………………………………5分1（2）方法一：向量法由（1）知，A D,DB,DE1两两垂直，分别以DB,DE,DA1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 (6)分则D 0,0,0，B 2,0,0，A 0,0,11133，C,,0，且zA13 33BC ,.0………………7分,22假设线段BC上存在点P，使直线PA与平面A BD所成的11x B DPECy角为60，设BP BC 333,22,0，其中0,1，333A P A D DB BP BC 2, ,1分22 1122 (8)平面BDA1的一个法向量为n 0,1,0 (9)分则sin60cos A P,n1A Pn1A P n13323332132 (10)分解得56……………………………………………………………………………………………11分所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52 (12)分方法二：传统法由（1）知A D 平面BCED，因为A D 平面ABD，111所以平面A BD1平面BCED (6)分假设线段BC上存在点P，使直线PA与平面ABD所成的角为60，作PF BD于F ，则11PF A 1平. ................................................B (7)面连接A F1，则PA F1就是直线PA1与平面A BD1所成的角 (8)分设PB x，则PF311x,BF x,DF 2x222，……9分A1A F A D2 11DF2152x x42……………………10分FDEPF A F13x252x14x2tan60……………………………11分B P C解得x 5 2所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52 (12)2222分19.解：（1）因为c1b3，所以a2a2，……①………………………………………………1分将点M坐标代入椭圆标准方程，得到331a24b2......② (2)分联立①②，解得分a 2b 3 (3)所以椭圆C的标准方程为分x2y2143 (4)（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y kx m，并设A x,y ，B x,y1122，线段AB中点x x y yN12,1222在直线OM上，所以y y122x x122y y112x x212…………………………………………………………………………5分x214因为x224y2113y2212，两式相减得到x2x2y2y21212043x 1x2x x y y121243y1y20因为y y1y y 12,12k x x2x x1212所以k 32 (6)分x2y2143由3y x m2，消去y得到关于x的一元二次方程并化简得3x23mx m239m212m230，解得23m 23 (7)分x x m,x x1212分m233 (8)原点O到直线l的距离dm1k2 (9)分AB 1k2x x 1k21212m23SOAB 1mAB d2212m2m212m2323 (10)分m212m22233 (11)分当且仅当分m 6时取等号 (12)综上，当m 6时，OAB面积最大值为3，此时直线l方程为y 32x 6.（没有总结语，扣1分）20.解：（1）非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工4842285050 (2)分K 2的观测值k 1004884225050901024 3.841 (3)分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.................................................4分（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. (5)分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过 3100 元的概率为p12 5； ……………………6 分女员工实得计件工资超过 3100 元的概率为p21 2. …………………………………………7 分设 2 名女员工中实得计件工资超过 3100 元的人数为 X ，则 X1；1 名男员工中实得计件工资超过 3100 元的人数为Y，则Y2.Z的所有可能取值为 0,1,2,3，……………………………………………………………………8 分P Z 0P X 0,Y 0P X 0PY 0C 02 5 201 3 12 2P Z 1P X 1,Y 0P X 0,Y 1 C 12 5 2 5 51 3 12 7P Z 2P X 2, Y 0P X 1,Y1C 12 52 5 201 2 1 P Z 3P X 2,Y 12 5 10分 (10)随机变量 Z 的分布列为Z1 2 3分P3 20 2 57 20 1 10 (11)2 7 1 7 E Z1 2 3 5 20 10 5分 (12)21.解：（1）函数f x的定义域为0,.f 'xa xB 2,2 B 1,521 3 322222222ex… (1)分①当a时，f ' x 0， f x在定义域0,单调递减， f x没有极值点；…………2 分②当a 0时，f'x axe x在0,单调递减且图像连续，f 'a 1e a0，x 0时，f 'x ，所以存在唯一正数x，使得f 'x000，函数f x 在0,x0单调递增，在x,单调递减，所以函数f x有唯一极大值点x，没有极小值点.………………………………………………3分综上：当a 0时，f x没有极值点；当a 0时，fx有唯一极大值点，没有极小值点 (4)分（2）方法一：由（1）知，当a 0时，f x有唯一极大值点x，所以f xmax f x a l n x e x000，f x0恒成立 fx0分 (5)因为axe0，所以a 1f x a ln x a ln x 0x x00，所以1lnx 0x.令hx l n x 1x，则h x 在0,单调递增，由于h 1.74ln1.74110，h1.8ln1.801.74 1.8，所以存在唯一正数m 1.74,1.8，使得hm0，从而分x0,m (6)由于fx0a ln x e x00恒成立，①当x00,1时，f xa ln xe x00成立；②当x 1,m时，由于a ln x ex000xe x00，所以a (7)ln x分令gxe xln x，当x 1,m时，g'xe x ln xl n x21x0，所以gxe xln x在1,m单调递减，从而a g m.因为g m g 1.74，且g 1.74e1.74ln1.7410.3，且a N*，所以a 10分 (8)下面证明a 10时，f x10l n x e x 0.f'x 10xe x，且f 'x 在0,单调递减，由于f ' 1.740,f'1.80，所以存在唯一x1.74,1.8，使得f 'x10xe00， (9)分所以f xm a x f x10ln x e010l n10x10x10ln10x1x (10)分令u x 10ln10x 1x，x 1.74,1.8，易知u x 在1.74,1.8单调递减，所以u x u 1.7410ln10 1.7411.7410 2.3032.310，所以fxmax f x 10ln10x001x0 (11)分即a 10时，f x 10ln x e x 0.所以a的最大值是10 (12)分方法二：由于f x 0恒成立，所以f 1.6a ln1.6e1.60，ae1.6ln1.6xx10.5；f 1.7a ln1.7e1.70，ae1.7ln1.710.3；f 1.8a ln1.8e1.80，ae1.8ln1.810.3；因为a N*，所以猜想：a的最大值是10.………………………………………………………6分下面证明a 10时，f x10l n x e x 0.f'x exx，且f 'x 在0,单调递减，由于f ' 1.740,f'1.80，所以存在唯一x1.74,1.8，使得f 'x10xe00， (8)分所以fxmax10f x 10ln x e010ln10x 10ln10xx1x. ……9分令u x 10ln10x1x，x 1.74,1.8，易知u x 在1.74,1.8单调递减，所以u x u 1.7410l n10 1.7411.7410 2.3032.310，………………10分所以fxmaxf x 10ln10x001x0……………………………………………11分即a 10时，f x10l n x e x 0.所以a的最大值是10.………………………………………………………………………………12分22．解：（1）由cos422，得到cos si n4……………………………1分因为cos x,sin y所以直线l 普通方程为x y 40.………………………………………………………………2分设P 23c os t,2sin t ，则点P到直线l的距离d分10xx00004sin t 4323cos t 2sin t 422sin t 1322 (4)当sin t31时，d 42max所以点P到直线l的距离的最大值为42 (5)分（2）设曲线C上任意点P a cos t,2sin t ，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，所以a cos t 2sin t 40对t R恒成立，……………………………………………………7分a24sin t 4，其中c os2a24,sinaa24………………………………8分从而a244 (9)分由于a 0，解得实数a的取值范围是0a 23 (10)分3x 4,x2323.解：（1）当m 1时，f x x 12x 33x 2,x 12x4,x 1分 (1)因为fx133x x1，所以2或者2x 413x21或者x 1x 41……………………………3分解得：3x33或者x122，所以不等式fx1的解集为x 3x 1.…………………………………………………5分（ 2 ）对于任意实数x，t ，不等式 f x 2t t1恒成立，等价于fxmax2t t 1min (6)分因为2t t 12tt 13，当且仅当2tt10时等号成立，所以2t t 13 (7)min分因为m 0时，f x3mx 4m,x23mx m 2x 3m 3x2m ,x m2x4m,x m函数f x单增区间为,3m23m ，单间区减为,，2所以当x 3m2时，3m 5mf x fmax 22 (9)分所以5m23，所以实数m的取值范围0m 65 (10)分。

2019届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试理科数学

2019届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===⋃=则（）A ．}2{B ．}3{DC ．}4,2,1{D.}4,1{2．已知函数()12f x x =-，若3(log 0.8)a f =，131[()]2b f =，12(2)c f -=，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<3.下列命题不正确．．．的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直； B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行； C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行x1)<的图象的大致形状是（）5. 设A 1、A 2为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得02=⋅PA ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（） A 、)21,0( B 、 )22,0( C 、)1,21( D 、)1,22(6在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF的长度的取值范围为 A. 1⎫⎪⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,⎡⎣ D.7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324B.0.0434C.0.0528D.0.05628.任意a 、R b ∈，定义运算⎪⎩⎪⎨⎧>-≤⋅=*.0 , ,0, ab b a ab b a b a ，则xe x xf *=)(的A.最小值为e -B.最小值为e 1-C.最大值为e1- D.最大值为e二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

华附、省实、深中、广雅2019届高三年级四校联考(理数)

华附、省实、深中、广雅2019届高三年级四校联考数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知31iz i =-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为 A.32- B.32C.32i-D.32i2.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是A.b a 11<B.b a 11>C.2a b >D.22a b >3.已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则1223341n n a a a a a a a a +++++=L A.()1614n --B.()1612n --C.()32143n-- D.()32123n -- 4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图是一个算法流程图，若输入n 的值为13，输出S 的值是46，则a 的取值围是 A.910a ≤< B.910a <≤ C.1011a <≤D.89a <≤sin y x =6.1-B.)241πC.)241πD.167.已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，先将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图像关于y 轴对称，则θ的最小值为 A.9πB.3πC.518πD.23π8.52431x x x ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为 A.30-B.30C.25-D.259.已知P 是边长为2的等边三角形ABC 边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值A.有最大值8B.是定值6C.有最小值2D.与P 点的位置有关10.函数()()241x x x e e f x x --=-的部分图像大致是A B C D11.设1F 、2F 分别是椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2a x c =上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值围是A.(0B.(0C.1)D.1)12.已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,2x π∈，则函数()f x 的所有零点之和等于 A.0B.3πC.5πD.7π第二部分非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ .14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元. 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且315S =，7934a a +=，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的n ∈N *，11n n a T t+<，则实数t 的取值围为 ※※ . 16.在半径为4的球O 的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球O 所截得的图形的面积为 ※※ .三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分.17.（12分）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若ACB ABC ∠=∠，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.18.（12分）等边ABC ∆的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（图1）.将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （图2）.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出线段PB 的长；若不存在，请说明理由.图1图219.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点M ⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与直线OM 交于点N ，并且点N 是线段AB 的中点，求OAB ∆面积的最大值.20.（12分）某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以的（包括2600件），计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a bc d a c b d -=++++，21.（12分）已知函数()ln xf x a x e =-，a ∈R .（1）试讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若a ∈N*，且()0f x<恒成立，求a 的最大值. 参考数据：（二）选考题：共10分.请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，数a 的取值围.23.（10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()23f x x m x m =--+()0m >. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，数m 的取值围.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.解析： 1.()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，w ，答案选A. 2. 对于A ，B ，根据反比例函数的性质可知：11,0a b ab a b>>⇒<，所以A ，B 都不对.对于C ，2111,1b b a >>-⇒<>而，所以选项C 正确；对于D ，取反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====. 3.由已知求得14a =，数列{}n a 的公比12q =，数列{}1n n a a +是首项为8，公比为214q =的等比数列，所以()1223341181432141314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦++++==--L ，选C.4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p 是q 的充分条件，另一方面，显然A 、B 在等高处的截面积不恒相等，A 、B 的体积可能相等，因此p 不是q 的必要条件，所以答案选A.5.第1次循环，13n =，13S =；第2次循环，12n =，25S =；第3次循环，11n =，36S =；第4次循环，10n =，46S =，9n =；当9n =时，退出循环，所以910a <≤，答案选B.6.阴影部分的面积()()440cos sin sin cos 1S x x dx x x ππ=- =+=⎰，正方形面积为24π，所以所求概率为)224114ππ--=.7. 将()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将()g x 的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到()()2sin 32sin 3333h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以()332k k Z ππθπ-=+∈，即()183k k Z ππθ=-+∈，所以θ()0θ>最小值为518π，答案选C. 8.52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为()4224255325x C x C ⎛⎛⋅+-⋅=- ⎝⎝，答案选C.9.如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，答案选B.10.定义域12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，()f x 是定义域上的偶函数，排除A ；当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ；当12x >时，()0f x <，排除D ，所以选B. 11.设2(,)a P m c ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，由线段1PF 的中垂线过点2F 得2122PF F F c ==，即2c =，得242222224()230a a m c c a c c c =--=-++≥，即4224320c a c a +-≥，得423210e e +-≥，解得213e ≥，故1>e ≥ D.利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.()()sin sin3sin sin 2sin sin cos2cos sin2f x x x x x x x x x x x =-=-+=--()()3222sin 1cos2cos sin22sin 2sin cos 2sin sin cos x x x x x x x x x x =--=-=-2sin cos2x x =-，由()0f x =得到sin 0x =或者cos20x =.当sin 0x =时，0x =，π，2π；当cos20x =时，4x π=，34π，54π，74π；所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令()0f x =，则sin sin3x x =，在同一坐标系中画出函数sin y x =和sin 3y x =的图像，如图所示，两个函数图像在区间[]0,2π有7个交点，所以()f x 有7个零点，其中3个零点是0，π，2π，另外四个零点为图中的1x ，2x ，3x ，4x ，由对称性可知，12x x π+=，343x x π+=，所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1或1-（答对一个给3分） 14. 3015.()0,16216.12π解析：13.ABC ∆为等腰直角三角形，等价于圆心C 到直线10ax y +-=的距离等于2，即2=，解得a =1或1-. 14.设该厂生产x 车皮甲肥料，y 车皮乙肥料获得的利润为z 条件为410181566,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数为105z x y =+，如图所示，最优解为()2,2，所以max 1025230z =⨯+⨯=. 15.设公差为d ，则根据已知条件得到11331521434a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+. 1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1112122323n n t +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以0t >，且()26215182121112323n n n t nn +++<=⎛⎫- ⎪+⎝⎭186215n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭恒成立，由于186215162n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭当且仅当3n =时取等号，所以()0,162t ∈.16.考虑到4AO AB AC AD ====，则球心O 与点A 在平面BCD 的两侧，且ABO ∆是等边三角形.由于OB OC OD ==，则点O 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心，同理，点A 在平面BCD 上的射影也是BCD ∆的外心，设BCD ∆的外心为1O ，从而AO ⊥平面BCD 于点1O ，所以1AO BO ⊥，且1O 是AO的中点，1BO =1BO 是平面BCD 被球O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12π.三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=，所以()sin sin sin cos A C B B =+…………………………………………………………………1分在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+……………………………………………………………2分所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+所以sin cos sin sin B C C B =………………………………………………………………………3分因为在ABC ∆中，sin 0B ≠所以cos sin C C = …………………………………………………………………………………4分因为C 是ABC ∆的角所以4C π=.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin 0B ≠或C 的围，扣1分）（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-………………………6分因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-………………………………………………………7分 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=………………………………………………………………8分所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+544D π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ………………………………………9分因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<………………………………………………………10分所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+.………………………………………………12分 18.（1）证明：如图1，在ADE ∆中，1,2,60AD AE A ==∠=︒，得到DE ==……………………………………………1分所以222AD DE AE +=，从而,AD DE BD DE ⊥⊥ …………………………………………2分所以在图2中，1,A D DE BD DE ⊥⊥1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角……………………………………………………………3分所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥又因为1,A D DE BD DE D ⊥=I ，,BD DE ⊂平面BCED所以1A D ⊥平面BCED .……………………………………………………………………………5分（2）方法一：向量法由（1）知，1,,A D DB DE 两两垂直，分别以1,,DB DE DA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ……………………………………………………………………………………6分则()0,0,0D ，()2,0,0B ，()10,0,1A，12C ⎛⎫⎪⎝⎭，且32BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .………………7分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，设3,,022BP BC λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，其中[]0,1λ∈，1132,12A P A D DB BP BC λλ⎛⎫=++==-- ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r………………………………………8分平面1BDA 的一个法向量为()0,1,0n =r……………………………………………………………9分则111sin 60cos ,A P n A P n A P n⋅︒==u u u r r u u u r ru u u r r==………………10分解得56λ=……………………………………………………………………………………………11分所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.……………………………………………12分方法二：传统法由（1）知1A D ⊥平面BCED ，因为1A D ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面BCED .…………………………………………………………………6分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，作PF BD ⊥于F ，则PF ⊥平面1A BD . …………………………………………………………………………………7分连接1A F ，则1PA F ∠就是直线1PA 与平面1A BD 所成的角.……………………………………8分设PB x =，则11,,222PF x BF x DF x ===-，……9分1A F ==分1tan 60x PFA F==︒……………………………11分解得52x =所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.……………………………………………12分 19.解：（1）因为12c a =，所以b a =，……① ………………………………………………1分将点M 坐标代入椭圆标准方程，得到223314a b+=……② …………………………………2分联立①②，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………………3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ……………………………………………………………4分（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，并设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线OM 上，所以121212121222y y y y x x x x ++==++…………………………………………………………………………5分因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到22221212043x x y y --+= ()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=因为121212121,2y y y y k x x x x +-==+-所以32k =-…………………………………………………………………………………………6分由2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y 得到关于x 的一元二次方程并化简得 ()223330x mx m -+-=()2291230m m ∆=-->，解得m -<<分212123,3m x x m x x -+==…………………………………………………………………………8分原点O 到直线l的距离d =………………………………………………………………9分12AB x =-=12OABS AB d ∆=⋅⋅==分()2212m m+-≤=…………………………………………………………………11分当且仅当m =时取等号………………………………………………………………………12分综上，当m =时，OAB ∆l 方程为32y x =-±（没有总结语，扣1分） 20.解：（1）…………………………………2分2K 的观测值()21004884224 3.84150509010k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯…………………………………………3分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.…………………………………………4分（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. …………5分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为125p =； ……………………6分女员工实得计件工资超过3100元的概率为212p =. …………………………………………7分设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为X ，则12,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为Y ，则21,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:.Z 的所有可能取值为0,1,2,3，……………………………………………………………………8分 ()()()()20213300,0002520P Z P X Y P X P Y C ⎛⎫========⨯= ⎪⎝⎭ ()()()22121312211,00,125255P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22121312722,01,1252520P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()212132,12510P Z P X Y ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭………………………………………………10分随机变量Z 的分布列为………………………………11分()2717123520105E Z =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………12分21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()'x af x e x=-………………………………………………………………………………………1分 ①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在定义域()0,+∞单调递减，()f x 没有极值点；…………2分 ②当0a >时，()'x af x e x=-在()0,+∞单调递减且图像连续，()'10a f a e =-<，0x →时，()'f x →+∞，所以存在唯一正数0x ，使得()0'0f x =，函数()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以函数()f x 有唯一极大值点0x ，没有极小值点.………………………………………………3分综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分（2）方法一：由（1）知，当0a >时，()f x 有唯一极大值点0x ，所以()()00max 0ln xf x f x a x e ==-，()0f x <恒成立⇔()00f x <……………………………………………………………………5分因为00x a e x =，所以()000001ln ln 0a f x a x a x x x ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以001ln 0x x -<. 令()1ln h x x x=-，则()h x 在()0,+∞单调递增，由于()11.74ln1.7401.74h =-<，()11.8ln1.801.8h =->，所以存在唯一正数()1.74,1.8m ∈，使得()0h m =，从而()00,x m ∈.………………………………………………………………………………………6分由于()000ln 0x f x a x e=-<恒成立，①当(]00,1x ∈时，()000ln 0x f x a x e=-<成立；②当()01,x m ∈时，由于00ln 0x a x e -<，所以00ln x e a x <.……………………………………7分令()ln x e g x x =，当()1,x m ∈时，()()21ln '0ln x e x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=<，所以()ln x e g x x =在()1,m 单调递减，从而()a g m ≤.因为()()1.74g m g <，且() 1.741.7410.3ln1.74e g =≈，且a ∈N*，所以10a ≤.…………………………………………………………………………………………………8分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'xf x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，…………………………………9分所以()()()00000max 0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x ex x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……10分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()00max0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ …………………………………………11分即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10. ………………………………………………………………………………12分方法二：由于()0f x <恒成立，所以() 1.61.6ln1.60f a e =-<， 1.610.5ln1.6e a <≈； () 1.71.7ln1.70f a e =-<， 1.710.3ln1.7e a <≈； () 1.81.8ln1.80f a e =-<， 1.810.3ln1.8e a <≈；因为a ∈N*，所以猜想：a 的最大值是10. ………………………………………………………6分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'xf x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，…………………………………8分所以()()()00000max0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x e x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……9分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ………………10分所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10.………………………………………………………………………………12分 22．解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 4ρθθ-=……………………………1分因为cos ,sin x y ρθρθ==所以直线l 普通方程为40x y -+=.………………………………………………………………2分设(),2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离13d t π⎛⎫===-- ⎪⎝⎭………………………4分当sin 13t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l的距离的最大值为分（2）设曲线C 上任意点()cos ,2sin P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，所以cos 2sin 40a t t -+>对t ∀∈R 恒成立，……………………………………………………7分()4t ϕ-<，其中cos ϕϕ==………………………………8分4<……………………………………………………………………………………9分由于0a >，解得实数a的取值围是0a <<分23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩………………………1分因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩……………………………3分解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.…………………………………………………5分（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-………………………………………………………………………6分因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立，所以()min213t t ++-=…………………………………………………………………………7分因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以当32m x =-时，()max 3522m mf x f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭………………………………………………9分所以532m<，所以实数m 的取值围605m <<.………………………………………………………………10分。

华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题与答案

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析【最新】

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e 的不等式，计算范围，即可。

广东华附、实、深中、广雅四校2019高三上年末联考-数学理

广东华附、实、深中、广雅四校2019高三上年末联考-数学理数学〔理科〕本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值150分，考试用时120分钟。

本卷须知1、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2、选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题〔共40分〕一. 选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题的4个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，假设P∩Q＝{0}，那么P∪Q=A、{3,0}B、{3,0,1}C、{3,0,2}D、{3,0,1,2}2.复数－i＋1－i1 + i＝A、－2iB、12iC、0D、2i3.在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，那么a8·a10·a12等于A、16B、32C、64D、2564.假设平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P l，那么以下命题中是假命题的为A、过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB、过点P垂直于直线l的直线在平面α内C、过点P垂直于平面β的直线在平面α内D、过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β5.观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：假设定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝A、f(x)B、－f(x)C、g(x)D、－g(x)6.给出下述四个命题中：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②四面体的三组对棱基本上异面直线；③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；④当k>0时，方程x2+ky2=1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，他投篮一次得分的均值为2，那么2a ＋13b 的最小值为 A 、323B 、283C 、143D 、1638.定义域为R 的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg |x －2|，x ≠ 21 ，x =2 ，假设关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0恰有5个不同的实数解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，那么f (x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)等于 A 、lg 2 B 、2lg 2 C 、3lg 2 D 、4lg 2第二部分非选择题〔110分〕【二】填空题:〔本大题共6小题,每题5分,共30分〕. 〔一〕必做题〔9～13题〕：9.从0，1，2，3，4这5个数字中，任取3个组成三位数，其中奇数的个数是*****；10.执行图中的算法后，假设输出的y 值大于10，那么输入x 的取值范围是*****； 11.e 1、e 2、e 3为不共面向量，假设a ＝e 1＋e 2＋e 3，b＝e 1－e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 2－e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，那么x 、y 、z 分别为*****、 12.函数y =(tanx －1)cos 2x 的最大值是*****、13.正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，那么第60个数对是*****、〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分.〕14.〔坐标系与参数方程〕在极坐标中，圆ρ=4cos θ的圆心C 到直线ρsin (θ+π4 )=2 2 的距离为*****.15、〔几何证明选讲〕如下图，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4,BD =8，那么⊙O 的半径等于*****.三、解答题:〔本大题共6小题,共80分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕16.〔此题总分值12分〕数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +cn 〔c 是常数，n =1,2,3，……〕，且a 1，a 2，a 3成公比不为的等比数列、〔Ⅰ〕求c 的值；〔Ⅱ〕求{a n }的通项公式、 17.〔此题总分值12分〕△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量→m =(cos C 2 ,sin C2 )，→n =(cos C2 ,－sinC2 )，且→m与→n的夹角为3 .〔Ⅰ〕求角C的值；〔Ⅱ〕c=3，△ABC的面积S=4 33，求a+b的值.18.〔此题总分值14分〕某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周【一】周【三】周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学能够在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也能够放弃任何一门科目的辅导讲座、(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否那么称为不满座)统计数据说明，各学科(Ⅰ)(Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望、19.〔此题总分值14分〕如图，在三棱锥V －ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC =BC =a ，∠VDC =θ(0<θ<π2 )〔Ⅰ〕求证：平面VAB ⊥平面VCD ；〔Ⅱ〕当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围、20.〔此题总分值14分〕焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称、〔Ⅰ〕求双曲线C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线通过M 〔－2，0〕及AB 的中点，求直线在y 轴上的截距b 的取值范围；〔Ⅲ〕假设Q 是双曲线C 上的任一点，F 1F 2为双曲线C 的左，右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程、 21.〔此题总分值14分〕函数f (x )是在〔0,+∞〕上每一点处可导的函数，假设)(x f x '＞f (x )在〔0，+∞〕上恒成立.〔Ⅰ〕求证：函数g (x )=f (x )x 在〔0,+∞〕上单调递增；〔Ⅱ〕当x 1＞0,x 2＞0时，证明：f (x 1)+f (x 2)＜f (x 1+x 2)；〔Ⅲ〕不等式ln (1+x )＜x 在x ＞－1且x ≠0时恒成立，证明： 122 ln 22+132 ln 32+142 ln 42+…+1(n +1)2 ln (n +1)2>n 2(n +1)(n +2) (n ∈N +).2018届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学答案【一】选择题：题号 12 3 4 5 6 7 8 答案 BACBDCDC1.解：由P ∩Q ＝{0}知，0∈P 且0∈Q .由0∈P ，得a 2log ＝0⇒a =1；由0∈Q 得b =0.故P ∪Q ＝{3,0,1}.选B .2.解：－i ＋1－i1 + i ＝－i －i ＝－2i .选A .3.解：由有a 1·a 19＝16，又a 1·a 19＝a 102，∴在正项等比数列中，a 10＝4. ∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64.选C .4.解：关于A ，由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的B直线，因此平行于平面β，因此A 正确.依照面面垂直的性质定理知，选项C 、D 正确.选B .5.解：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )、选D .6.解：当k =1时，曲线是圆，故D 错误、其余三个命题基本上正确的.选C .7.解：由得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1. 又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，应选D .8.解：因方程方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解，故x =2应是其中的一个根，又f (2)＝1，故1+b +c =0⇒c =－(b +1),因此有，0)1()()(2=+-+b x bf x f ⇒[f (x )－1][f (x )+〔1+b 〕]=0⇒[lg |x －2|－1][lg |x －2|+〔1+b〕]=0⇒四个根为－8，12，2101,210111+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++bb⇒12345()f x x x x x ++++＝f (10)＝3lg 2,选C .【二】填空题:9.答案：18解：从1，3中取一个排个位，故排个位有12A 种方法；排百位不能是0，能够从另外3个数中取一个，有13A 种方法；排十位有13A 种方法。

广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析[精品]

广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学(理)试题(带答案解析)

广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 2．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-2 3．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r ，则C 的离心率是（）A B ．3 C D ．24．函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知圆221x y +=，点()1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D ．221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭ 6．函数f (x )＝√1−x 2−1x−2的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0]C ．[0,1]D ．[0,43] 7．集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅ 8．平面α∥β平面的一个充分条件是（）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α9．已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在12x π=处取得最大值，则函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（） A ．奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．奇函数且它的图象关于x π=对称 D ．偶函数且它的图象关于x π=对称 10．已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（）A ．0B ．2019C ．4038D ．404011．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题13．已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1233721n n n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式. 14．已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 16．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.18．已知函数()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)若()13f <，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）.(Ⅰ)求证：OB OC OA +；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.三、填空题20．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值为______.21．在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =v ，()1,1b =v ，则满足1a b -≤v v 的概率是______ .22．已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．23．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______.参考答案1．B【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以12z z ==，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.考点：命题以及命题的真假.2．B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r ),=0，即()2·20a a b +=v v v 即a r g b r=﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=v v v =﹣1，故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．3．A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．4．B【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得 ()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减；【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.5．D【解析】【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，Q 圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=o ，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==，故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=，如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <. 故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.6．C令x =cosθ,θ∈[0,π]，则f(x)=g(θ)=sinθ−1cosθ−2的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点M(cosθ,sinθ)与点A(2,1)连线的斜率k ，由图象，得0≤k ≤1，即函数f(x)的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用√1−x 2的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sinθ−1cosθ−2的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.7．B【解析】【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】 121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 2k Z +∈Q 可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴M N ，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 8．D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质 9．A 【解析】【分析】首先根据已知可得()()2f x x θ=-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而求解问题. 【详解】Q ()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处取得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，则23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选：A 【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题. 10．C 【解析】【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和. 【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列，可得42016120194a a a a +=+=，所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C 【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于基础题. 11．C 【解析】【分析】【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3，所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，故选C ． 12．A 【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的距离为定值．13．（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）221n nb =- 【解析】【分析】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. （Ⅱ）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解. 【详解】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=，所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（Ⅱ）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n nb n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式，故221n n b =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 14．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）见解析，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.（Ⅲ）法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解；法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，分离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x=+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=. （1）当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. （3）当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，则()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增，所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-. 综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01ak x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.① 令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，则()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1）当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增；在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为()120g =-<. 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时，切线的条数为0.（2）当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<.取211ax e e +=>，则()2211121120a a g x a eae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点.取2121ax ee --=<，则()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，则()'2t u t e =-. 当1t >时，()'220tu t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立. 所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线. 综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.另解：设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01a k x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解. 当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-，令()1ln 1x g x x =+-，则()21'x g x x-=，易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞，故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线，即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.15．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，2x =-，【解析】【分析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（Ⅱ）设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②， ①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③又因为离心率为2，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+，代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以102l x k y ==-，所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y +=-+o o，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-，所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题. 16．（1）∴0.06;（2）见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P =，则()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，则分布列为∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.17．（Ⅰ）//l 平面PAC ，证明见解析；（Ⅱ）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的判定定理即可求解.（Ⅱ）法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解. 法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由（Ⅰ）知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ，又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBC π<∠<，∴,42FBC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 解法二：由题意，AC BC ⊥，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，()02BC t t =<<，则()0,,0B t ，()0,0,2F，),0Dt ，()0,,2BF t =-u u u r，)BD =u u u r .设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得20ty z -+=⎧=，取2y =得()0,2,m t =u r . 易知平面BCD 的法向量()0,0,1n =r，设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角，cos m n m n θ⋅⎛=== ⋅⎝⎭u r r u r r ， ∴42ππθ<<，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.18．(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2af -，由(1)22a f -≥可得实数a 的取值范围．（Ⅰ）由可得，， ①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴； ③ 当时，不等式化为，解得， ∴.综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式()2f x ≥恒成立，∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是.19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．20．6π 【解析】【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用基本不等式即可求解. 【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-，()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan A =，6A π=取等号故答案为：6π【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题. 21．4π【解析】【分析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤r r的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案. 【详解】由(),a m n =r ，()1,1b =r，得()1,1a b m n -=--r r由1a b -≤r r1≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4.则1a b -≤r r 的概率是4π .故答案为：4π【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题. 22．0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()22111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为：0.1 23．215【解析】【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A a B b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】Q 数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a A b b b b B +===+，又311n n A n B n +=+，595939114915a A b B ⨯+∴===+，所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+. 故答案为：215【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.。

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科综合化学试题Word版含答案

7．古往今来，生活处处有化学。下列有关说法正确的是（
）
A ． “凡酸坏之酒，皆可蒸烧 ”这里用到的实验操作是蒸发
B ． “自古书契多编以竹简，其用缣帛者谓之为纸 ”，这里纸的主要成分为纤维素
C ．我国成功实施煤改气工程后，可有效提高空气质量
D ．生物柴油与从石油中分馏得来的柴油都属于烃类物质
8．设 NA 为阿伏加德罗常数的值，下列说法不正确．．．的是（
a 中混合物
加水 I
加乙醇 II
过滤 III
洗涤 IV
干燥 V
操作 II 的目的是 ____________ ；
操作 IV 中选用的洗涤试剂最好的是 _____。
A ．水
B ．乙醇
C ．乙醇水溶液
D ．乙醚
（3）图中仪器 a 用不锈钢材质的而不用玻璃的，其主要原因是 ____________________ 。
乙二醛与 M 电极的产物反应生成乙醛酸。下列说法正确的是
（
）
A ． M 极与直流电源的负极相连 B ．每得到 lmol 乙醛酸将有 2molH +从右室迁移到左室 C． N 电极上的电极反应式 :
HOOC-COOH －2eˉ +2+H= HOOC-CHO+H 2O D ．每消耗 0.1mol 乙二醛在 M 电极放出 2.24L 气体（标准状况）
II ．产品 NaN 3 纯度测定精确称量 0.150 g NaN 3 样品，设计如图 2 所示装置，连接好装置后使锥形瓶倾斜，
试管中的 NaN 3 样品与 M 溶液接触，测量产生的气体体积从而测定其纯度。
使小
3
已知 2 NaN 3→ 3N2(NaN 3 中的 N 全部转化为 N 2，其他产物略），反应中放出大量的热。（4）使用冷水冷凝的目的是 ______。对量气管读数时，反应前后都需要进行的操作是 ______。（ 5）常温下测得量气管读数为 60.0 mL(N 2 的密度为 1.40 g/L) 计算 NaN 3 样品的纯度为

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科综合化学试题 Word版含答案

7．古往今来，生活处处有化学。

下列有关说法正确的是（）A．“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”这里用到的实验操作是蒸发B．“自古书契多编以竹简，其用缣帛者谓之为纸”，这里纸的主要成分为纤维素C．我国成功实施煤改气工程后，可有效提高空气质量D．生物柴油与从石油中分馏得来的柴油都属于烃类物质8．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法不正确．．．的是（）A．标准状况下，2molNa2O2与44.8LSO2完全反应，转移的电子数目为4N AB．3.0g含甲醛(HCHO)的冰醋酸中含有的原子总数为0.4N AC．将1molNH4NO3溶于稀氨水中使溶液呈中性，溶液中NH4+数目为N AD．0.1molHCl与CH3CH=CH2完全反应时，生成的CH3CH2CH2Cl分子数目为0.1N A9．有关下列四组实验描述不正确．．．的是（）A．加热甲装置中的烧杯可以分离SiO2和NH4ClB．利用装置乙可证明非金属性强弱：Cl＞C＞SiC．打开丙中的止水夹，一段时间后，可观察到烧杯内溶液上升到试管中D．向丁中铁电极区滴入2滴铁氰化钾溶液，一段时间后，烧杯中不会有蓝色沉淀生成10．下列说法正确的是（）A．聚乙烯塑料和天然橡胶均不能使溴水褪色B．2-丁烯分子中所有原子有可能在同一平面C．丙烯和环己烷的二氯代物的数目相同（不考虑立体异构）D．将溴乙烷和氢氧化钠的乙醇溶液共热产生的气体通入溴水中，溶液褪色，说明有乙烯生成11．A、B、C、D、E是原子序数依次增大的五种短周期主族元素，其中A的原子序数是B和D 原子序数之和的1/4，C 元素的单质与热水缓慢反应，且该单质可做铝热反应的引燃剂，甲和丙是D 元素的两种常见氧化物，乙是B 元素的单质，0.005mol/L 丁溶液的pH=2，它们之间的转化关系如图所示(部分反应物省略)，下列叙述正确的是（）A ．C 、D 的简单离子均能促进水的电离B ．C 、E 两元素形成化合物中既含有离子键又含共价键C ．A 、D 分别与B 元素形成的化合物都是大气污染物D ．E 的氧化物水化物的酸性大于D 的氧化物水化物的酸性12．乙醛酸(HOOC －CHO)是有机合成的重要中间体。

[精编试卷]广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

【四校联考】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(理)答案

3x
2
tan 60 ……………………………11 分
x2
C54
1 x
4
3x
C52
1 x
2
25 ，答
案选 C.
uuur uuur uuur
9.如图， D 为边 BC 的中点， AP AB AC
uuur uuur AP 2AD
uuur 2 AP
uuur AD
uuur 2 2 AD
6
，答案选
B.
10.定义域
x
x
1 2
，
f
x 是定义域上的偶函数，排除
n r
A1P n
2
3 …………………10
2
3 2
2
33 2
2
1
2
分
解得 5 ……………………………………………………………………………………………11 分 6
所以存在满足要求的点 P ，且线段 PB 的长度为 5 .………………………………………………12 2
分方法二：传统法
由（1）知 A1D 平面 BCED ，因为 A1D 平面 A1BD ，
件为
4x y 10 18x 15y 66 ，目标函数为 z 10x 5y ，如图所示，
(2,2)
O
x
x N , y N
最优解为 2, 2 ，所以 zmax 10 2 5 2 30 .
15.设公差为
d
，则根据已知条件得到
32aa11
3d 15 14d 34
，解得
ad1
6.阴影部分的面积 S
4 0
cos x
sin
x dx
sin
x
cos x

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学理试题

A. 0
B. 3
C. 5
D. 7
第二部分非选择题 (共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置上.
13.已知直线 ax y 1 0 与圆 C : x 12 y a 2 1 相交于 A ， B 两点，且 ABC 为等腰直
3.已知an是等比数列， a2

2
， a5

1 4
，则 a1a2

a2a3

a3a4

a na n1

A.16 1 4n
B.16 1 2n
32
C.
1 4n
3
32
D.
1 2n
3
4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的
几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设 A 、B 为
9.已知 P 是边长为 2 的等边三角形 ABC 边 BC 上的动点，则 AP AB AC 的值
A.有最大值 8
B.是定值 6
C.有最小值 2
10.函数
f
x

x
ex 4x2
ex 1
的部分图像大致是
D.与 P 点的位置有关
11.设
F1
、
F2
分别是椭圆
x2 a2

y2 b2
1（a
15.已知等差数列an的前 n
项和为
Sn
，且
S3
15 ，a7

a9

34
，数列
1 ห้องสมุดไป่ตู้ anan1

的前 n

山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题-解析版

山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x＜1}，集合B=，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足i•z=3+2i（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3=9，且a2-1，a3-1，a5-1构成等比数列，则S5=（）A. 15B.C. 30D. 254.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，则（）A. B. C. D.5.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A.B.C.D.7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种8.如图Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设，，则向量=（）A.B.C.D.9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且，则=（）A. 1B.C.D.10.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A. B. C. D.11.已知椭圆C：，＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，＞，，当a＜0时，方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列式子，＞，＞，＞，……，根据上述规律，第n个不等式应该为______．14.若（x+1）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=______．15.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB=1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD=1寸，则圆柱底面的直径长是______寸”．（注：l尺=10寸）16.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足=+1（n≥2，n∈N），且a1=1．（1）求数列的通项公式{a n}；（2）记b n=，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥成立的n的最小值．18.如图在直角△ABC中，B为直角，AB=2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E-MF-C的余弦值．19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50 100女性70 100合计（）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.抛物线C：y=x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．21.已知函数，（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）已知点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），设函数，当，时，试判断h（x）的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+2|x-3|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）-m2-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}；∴A∪B=[0，+∞）．故选：D．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.【答案】A【解析】解：由i•z=3+2i，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意，，解得．∴．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，∴设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，∴c=ab．故选：C．设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，由此能推导出c=ab．本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，当M位于A（1，-）时，此时DA的斜率最小，此时z min==-．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：R==故：外接球的表面积为：S=4π．故选：B．首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有C42=6种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有A22=2种情况，此时有2×2=4种情况，则有6×4=24种不同的安排方法；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，所以∠BAC=，∠ACB=，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=，则根据圆的性质BD=CD=AB，又因为在Rt△ABC中，AB==r=OD，所以四边形ABDO为菱形，所以==．故选：C．根据Rt△ABC中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO为菱形，所以==．本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由，得4×absinC=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2abcosC，∴2absinC=2abcosC+2ab，即sinC-cosC=1即2sin（C-）=1，则sin（C-）=，∵0＜C＜π，∴-＜C-＜，∴C-=，即C=，则=sin（+）=sin cos+cos sin==，故选：D．根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：令圆的半径为1，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为P===-1．故选：C．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有=，=，可得===2，即有==2，即有e=，故选：B．连接IF1和IF2，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：令t=f（x），则方程f2（x）-2f（x）+a=0可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，故选：A．由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，得解．本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题．13.【答案】ln（n+1）＞++……+【解析】解：根据题意，对于第一个不等式，ln2＞，则有ln（1+1）＞，对于第二个不等式，ln3＞+，则有ln（2+1）＞+，对于第三个不等式，ln4＞++，则有ln（2+1）＞++，依此类推：第n个不等式为：ln（n+1）＞++……+，故答案为：ln（n+1）＞++……+．根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．14.【答案】80【解析】解：∵（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=•23=80，故答案为：80．根据（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，利用二项式展开式的通项公式求得a2的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】26【解析】解：∵AB⊥CD，AD=BD，∵AB=10寸，∴AD=5寸，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴OA2=（OA-1）2+52，∴OA=13寸，∴圆柱底面的直径长是2AO=26寸．故答案为：26．由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.【答案】2-3【解析】解：设AM=x，∠AMN=α，则BM=1-x，∠AMB=180°-2α，∴∠BAM=2α-60°，在△ABM中，由正弦定理可得=，即，∴x=，∴当2α-60°=90°即α=75°时，x取得最小值=2-3．故答案为：2-3．设AM=x，∠AMN=α，在△ABM中利用正弦定理得出x关于α的函数，从而可得x的最小值．本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足=+1，所以：，所以：数列{}为等差数列，且，则：，即，当n≥2时，=2n-1．又a1=1也满足上式，所以：a n=2n-1；（2）由（1）知，，∴，由有n2≥4n+2，有（n-2）2≥6，所以n≥5，∴n的最小值为5．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF=E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF=FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN=M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF=E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC=2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（-2，2，0），M（-1，1，1），∴=（0，1，0），=（-1，0，1），=（2，-1，0），设面EMF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量=（1，2，1），设二面角E-MF-C的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-MF-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-MF-C的余弦值．本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．19.【答案】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得：k2==＞，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P==．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）=10×0.6=6，方差D（X）=10×0.6×0.4=2.4．【解析】（1）完成列联表，由列联表，得k2=，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设直线l的方程为y=2x+b，联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b=0，所以，b=-1，因此，直线l的方程为y=2x-1；（2）设直线l的方程为y=2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b＞0，所以，b＞-1．由韦达定理得x1+x2=2，x1x2=-b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ的方程为，由，得2x2+x-5-2b=0，由韦达定理得，，所以，，所以，＞，所以，的取值范围是，．【解析】（1）设直线l的方程为y=2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△=0求出b的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y=2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．令G（x）=e x-2x（x＞0），G′（x）=e x-2（x＞0），易得G（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴G（x）≥G（ln2）=2-2ln2＞0，∴e x-2x＞0在（0，+∞）恒成立．∵φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．∵f（x）＞g（x）；（Ⅱ）∵点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），∴h（x）==-x sinx+e x cos x，h′（x）=-sin x-x cosx+e x cos x-e x sin x=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x．①当x，时，可知e x＞2x＞x，∴e x-x＞0∴（e x-x）cos x≥0，（e x+1）sin x≤0，∴h′（x）=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x≥0．∴h（x）在[-，0）单调递增，h（0）=1＞0，h（-）＜0．∴h（x）在[-，0]上有一个零点，②当x，时，cos x≥sin x，e x＞x，∴e x cos x＞x sinx，∴h（x）＞0在（0，]恒成立，∴在，无零点．③当，时，0＜cos x＜sin x，h′（x）=e x（cos x-sin x）-（x cosx+sin x）＜0．∴在，单调递减，＜，＞．∴h（x）在（，]存在一个零点．综上，h（x）的零点个数为2．．【解析】（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．易得e x-2x＞，φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．即可证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）h（x）==-xsinx+e x cosx，分①x，②x，③时，讨论h（x）的零点个数即可．本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，即x2+y2-4x=0．∴曲线的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，得．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-3．不妨设t1＜0，t2＞0，∴=．【解析】（Ⅰ）由（t为参数）直接消去参数t，可得直线的普通方程，把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t的几何意义是解题的关键，是中档题．23.【答案】解：（I）当x≤1时，不等式为：1-x+2（3-x）≤4，解得x≥1，故x=1．当1＜x＜3时，不等式为：x-1+2（3-x）≤4，解得x≥1，故1＜x＜3，当x≥3时，不等式为：x-1+2（x-3）≤4，解得x≤，故3≤x≤．综上，不等式f（x）≤4的解集为[1，]．（II）由f（x））-m2-m＞0恒成立可得m2+m＜f（x）恒成立．又f（x）=，，＜＜，，故f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，3）上单调递减，在[3，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（3）=2．∴m2+m＜2，解得-2＜m＜1．即m的最值范围是（-2，1）．【解析】（I）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（II）根据f（x）的单调性求出f（x）的最小值，得出关于m的不等式，从而求出m的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．。