单叶双曲面和双曲抛物面的直母线

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单叶双曲面与双曲抛物面的教法

单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。

双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。

2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。

3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。

2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。

3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。

09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案

2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1 与 1x y
两坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2 2 f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________. 0
3．曲面 z x22 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________.
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) d2 y ________________. dx 2
ey ln 29确定，其中 f 具有二阶导数，且 f
1 ，则
二、（5 分）求极限 lim( ex e2x
2.证明广义积分
0
sin x
x
dx
不是绝对收敛的
3.设函数 y y x 由 x3 3x2 y 2 y3 2 确定，求 y x 的极值。
4.过曲线 y 3 x x 0 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形 3
的面积为 4 ，求点 A 的坐标。
二、（满分 12）计算定积分 I
x sin x arctan ex dx 1 cos2 x
三、（满分 12 分）设 f x 在 x 0 处存在二阶导数 f 0 ，且
lim f x x0 x
0 。证明：级数 f 1 收敛。
n1
n
四、（满分 12 分）设 f x
b
sin f x dx
2
a
m
,f x
0a x b，证明

4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线，称为u族直母线
（5）
如果
那么由(5)知必有
这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.
因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.
同样可以证明由直线
（6）
(其中为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当和的情形)
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面.
证:
单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.
为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
（4.7-1）
其中不同时为零。当时，各式除以式子就化为(3)；当时便化成(4)；当时便化成(4`).
我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
（1）
其中为正常数，
把（1）改写为
或者
（2）
(2)与(1)等价吗?
等价!
（2）
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
改写为:
(2)/
(3)
(3)与(2)等价吗?
不等价!
对于给定的u, (3)表示什么曲线?
直线
（4）
与
（4）/
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
（2）
(2)/
(1)
(3)
也就是说
(3)
与

直纹曲面及其性质

,取u的值,使得

y0 b

0.此
则由(3.4-5)便得
x0 a

z0 c
u(1
y0 ) b
,
x0 z0 1 1 y0 a c u b
所以点P0(x0,y0,z0)在直线(3.4-3)上．
若
x0 a
z0 c
0,则由(3.4-5)可得1
y0 b
0 ,故M0点在直线
下证u族直线(3.4-11)可以构成曲面(3.4-10),从而它是曲面 (3.4-10)的一族直母线.
易知,u族直线(3.4-11)中任何一条直线上的点都在曲面(3.4-
10)上；反过来,设(x0,y0,z0)是曲面(3.4-10)上的点,则有
a(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) c(x0 , y0 , z0 ) d (x0 , y0 , z0 ) , (3.4-12)

1
y b

．
引进不等于零的参数,并考察由(3.4-2)得到的方程组

x a

z c

u 1
y b

,

x a

z c

1 u
1
y b

,
(3.4-1) (3.4-2) (3.4-3)
与两方程组
x a

z c

0,
1
那么取u : w 的值,使得
从而有
a(x0 , y0 , z0 ) d (x0, y0, z0 ) u , c(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) w
ìïïíïïî

解析几何版吕林根课后习题答案

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

二次曲面的直纹性

二次曲面的直纹性一定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。

注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。

试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。

二单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1）（1）等价于（c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2）即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3）对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4）表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5）及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6）也表示直线。

显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。

再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1）有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4）当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4）当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。

同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′）及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′）组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。

单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

&§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线在前面我们已经注意到，柱面和锥面上都有一族直母线，单叶双曲面与双曲抛物面上也有直线存在。

一个连续族的直线产生的曲面称为直纹面，这个族的直线称为直纹面的直母线。

椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。

柱面、锥面、一条空间曲线的切线形成的曲面，主法线形成的曲面等都是直纹面，而且这些直纹面都是由一族直线构成的。

我们指出，单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面，而且是仅有的两种有两族直线的直纹面。

1．单叶双曲面的直纹性设有单叶双曲面1222222=-+c z b y a x (1)将其改写为2222221by c z a x -=-并分解因式，就有(c z a x +) (c za x -) =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y b y 11 (2)引进不等于零的参数u ，并考察由（2）得到的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y u c z a x b y u c z a x 111 (3)与两方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+010b yc z a x (4)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-010byc z a x (4')方程组（4）和（4'）实际上是（3）中u →0∞和u →∞时的两种极限情形。

无论u 取何值，（3）、（4）和（4'）都表示直线。

我们把（3）、（4）和（4'）合起来的一族直线叫做u 族直线。

现证明此u 族直线可以构成单叶双曲面（1），从而它是（1）的一族直母线。

首先，u 族直线中的每一直线均在单叶双曲面（1）上。

因为当u ≠0时，（3）的两式相乘就得（1），所以（3）表示的直线上的点都在曲面（1）上。

而满足（4）和（4'）的点显然都满足（2），从而满足（1），因此直线（4）与（4'）上的点都在（1）上。

反过来，设0M (0x ，0y ，0z )是曲面（1）上任一点，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y b y c z a x c z ax 00000011(5)显然1＋by 0与1－b y 0不能同时为零，不失一般性，设1+b y0≠0。

【最新精选】解析几何之直纹面

解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。

下面介绍一下直纹面。

定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线上。

这样一族直线称为S 的一族直母线。

简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。

种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。

证明：○1、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：()()22222222222212211211111121,0x y z x z y a b c a c bx z x z y y a c a c b b x z y a c b x z y a c b λλλλλλ+-=⇔-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩………………不全为。

()()()121212112111011010x z x z y y a c a c b b x z y a c b y x z b a c x z y a c b y x z b a c x z a c λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔-⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛+ ⎝⇔以，为未知量的方程组：有非零解。

存在不全为零的，使得22111y b x z y a c b λλλ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩成立。

单叶双曲面与双曲抛物面直母线

单叶双曲面与双曲抛物面的直母线DOI : 10. 13853 /j . cnki . i ssn. 1672 -3708. 2000. 06. 006 第年(X X 月卷第6期1o) 台州师专2 学报l f o a 侧T ll 2 u 知山2l o、N6 eO .l力a(U g J nee.e XX (e单叶双曲面与双曲抛物面的直母线董大伦台州师( 范专科学校数学系浙江临海,’31 7 仪旧: 摘要对单叶双曲面与双曲抛物而的直母线的一些性质作进一步的探讨得到儿个结果,。

关键词: 单叶双曲而; 双曲抛物而; 直母线中图分类号:8 2 1文献标识码:A文章编号:!7 o一7 5 l( l2 仪刃)肠一仪犯0一。

: 文【] 给出了单叶双曲面与双曲抛物面的直母线如下性质l单叶双曲面或双曲抛物面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线的交点必共面而且双曲抛物面的这些公垂线是一族共面的平行线本文沿用【] 中的记号及名称对直母线性质进一步深人探讨l, 。

,。

命题1单叶双曲面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线。

的交点轨迹是椭圆( 或圆): 证明设单叶双曲面的方程为护一十乒护一护止一一“(l)由〔l] 知直母线心. 护L X..1二e口二~,.下、+盯J , `“ 0 、了、`尹万`,=u o kl +下U b):l “ 0、丁“三、=ez1 _’工’向其同族其他直母线e r L lw 一X 住:.了/,.、+吸、乙矛Z 护了、.一 C一=u又l +下OuU笋u o( 兰u三)=I _土b所引公垂线的交点在平面加( 。

2 62e Z a Z+62。

2 一。

’。

, )( 吕。

一x)二+Za caZ占2+。

2`夕一占2 。

,)。

少+吞(。

2 占2+吞2 。

, ++ )( 孟ul):=o(2 )上。

为方便我们将方程( 2 ) 简记作Z二。

,众a 2a 2+B丫Z + +(3 )Z。

单叶双曲面的直母线的性质

单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线，被广泛用作几何学上形状最核心的概念，在平面几何学中，用于表示复杂的曲线以及许多其他形状。

它被认为是三维空间中表面曲率最大的曲线，其中最重要的曲率有两个，一个是曲率系数，另一个是角度系数。

因此，它在几何学中被认为是一种特殊的曲线，具有它独特的性质。

单叶双曲面的直母线的形状由一个曲面的曲率决定，它的几何形状与它的曲率密切相关，是这个曲面上变形最小的子曲线。

该曲线本身就是一个局部结构，形状取决于曲面整体结构和曲面的曲率分布，并且每一个点处的曲率值都会发生变化，但它们在一定范围内也具有一定的相似性，能够表现出特定的形状特征。

单叶双曲面的直母线具有它独特的性质，它的母点（转折或半径点）是边缘上最大曲率值的点，它是一个与圆轴垂直的半径向量，并且球面线性曲率表示为等距射线取曲面上每个点处的曲率值，它与曲率比直接相关，这使得它可以方便地用来建立诸如应力和应变分布等几何参数。

单叶双曲面的直母线被广泛应用于决定复杂表面的曲率，也可以用作分析曲面的变形情况，同时也用于做计算几何的连接线，而且用于定义几何形状和构建复杂表面。

它的应用范围很广，不仅可以应用于实际制造，例如汽车制造中，还可以用于推理和几何学等理论研究，以提升精密制造的技术水平。

总之，单叶双曲面的直母线是一种具有巨大运用可能的特殊曲线，可以用来表示曲面的曲率和角度系数，并可以应用于实际制造和推理几何学研究，作为精密制造技术发展的主要基础。

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一、直纹曲面：柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.二、直母线：1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为(λ, μ为参数, 且不全为零)与(λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为(λ为参数) 与(λ'为参数)3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.三、性质：1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为与将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1,代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为与即与例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有3×+2×+(－4)×＝0,解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为例3. 试证单叶双曲面＋－＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,一定是其腰椭圆的切线.证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为l：则l在xOy坐标面上的射影直线l'可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平面的交线l'：现只须证明l'与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l'与腰椭圆相切. 事实上由上式有代入腰椭圆方程得该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l'与腰椭圆只有一个交点.例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5＝0平行的直线的轨迹.解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有＝0,＝0.即有(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0,(－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0,由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得＝0,化简整理得－＝z.这是一双曲抛物面.例5. 求与下列三条直线与＝＝都共面的直线所构成的曲面.解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l 与已知三直线都共面, 故有＝0, ＝0,＝0.或由于X, Y, Z不全为零, 从而有＝0,化简整理得x2+y2－z2＝1.这是一单叶双曲面.作业题：1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程.2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.。

§47单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

§4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一.直纹曲面的概念:直纹曲面的概念:由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.直母线的概念:,构成直纹曲面的那族直线叫做这曲面的一族直母线.显然,柱面和锥面都是直纹曲面.二.单叶双曲面的直母线定理单叶双曲面Σ 1222222=−+c z b y a x 是直纹曲面,它有两族直母线u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()(1()(1221b yu c z a x u b yu c z a x u l u 其中21,u u不全为零.v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v c z a x v b yv c za x v l v 其中21,vv不全为零.证明:由单叶双曲面方程 1222222=−+c z b y a x 得 2222221b y c z a x −=− 有 )1)(1())((b yb yc za xc za x+−=+− 设 21:)1(:)()(:)1(u u b yc za x c z a xb y =−−=++ 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1221b y uc za xu b yu c z a x u l u 其中21,u u 不全为零.对于21,u u 一组确定的值,u l 表示一条直线,当21,u u 变化取不同的值时, u l 就确定了一族直线.下证直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.设点),,(1111z y x P 是满足u l 的点,则⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1111212111by u c z a x u b y u c z a x u )1()(2212122122121by u u c z a x u u −=− 所以 1221221221=−+cz b y a x 因此,满足u l 方程的点在曲面Σ上,所以直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.再证点),,(0000z y x P 是单叶双曲面Σ上的任一点,则1220220220=−+c z b y a x 有 )1)(1())((000000by b y c z a x c z a x +−=+− 不妨设010≠+by (因为b y 01+与b y 01−不可能同时为零,否则有b y =0和b y −=0,所以0=b ,这与0>b 矛盾) ①若000≠+cz a x ,取21,u u ′′使得 )1()(02001by u c z a x u +′=+′ 则有 )1()(01002by u c z a x u −′=−′ 所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线u l ′上 ②若000=+c z a x ,则010=−by 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+010000b y c z a x所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线上.因此曲面Σ上的任一点在直线族u l 中的某一条直线上.这就证明了曲面Σ由直线族u l 构成,因此单叶双曲面Σ是直纹曲面,而u l 是曲面的一族直母线,称为u 族直母线同理可设 21:)(:)1()1(:)(v v cz a x b y b y c z a x =+−=+− 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v cz a x v b y v c z a x v l v 其中21,v v 不全为零. 定理:单叶双曲面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.三.双曲抛物面的直母线定理双曲抛物面Σz by a x 22222=−是直纹曲面,它有两族直母线为 u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z b y a x u u b y a x l u )(2; v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v v b y a x l v )(2 证明由z by a x 22222=−得,z b y a x b y a x ⋅=−+2))((, 设 u by a x z b y a x =−=+)(:2:)( 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z by a x u ub y a x l u )(2 同理可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v vb y a x l v )(2 定理:双曲抛物面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.四.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的性质1.单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.2.单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面.。

双曲抛物面的直母线方程

双曲抛物面的直母线方程1. 引言说起数学，很多人第一反应就是头疼，仿佛那是一道无法翻越的高山。

可今天咱们聊聊双曲抛物面的直母线方程，听起来有点高大上，但其实并不复杂。

就像咱们喝水，简单直接，照样能解渴。

那什么是双曲抛物面呢？简单来说，它就像个凹下去的碗，有点像你那被摔坏了的陶瓷碗，虽然破了，但依然很有形状。

而直母线，就是那条在这凹面上跑的线，仿佛在滑冰的溜冰者，游刃有余。

2. 双曲抛物面初探2.1 形状的魅力想象一下，双曲抛物面就像你在游乐场看到的那种大滑梯。

它的形状既优雅又神秘，就像一个弯曲的马鞍，既可以往下滑，也可以往上看。

在数学的世界里，这种形状可是非常特别的。

它不仅仅是个曲面，还是一种用方程描述的曲面，常常让人感到意外。

2.2 直母线的来历接下来，我们来聊聊直母线。

它就像那种一直陪着你的好朋友，虽然看似简单，但却是理解双曲抛物面的关键。

直母线就像是一根在双曲抛物面上随意游走的“筋骨”，连接着各种点。

它帮助我们理解曲面上的点与点之间的关系，简直就是不可或缺的“粘合剂”。

3. 方程的奥秘3.1 直母线方程好吧，言归正传，直母线的方程到底是什么呢？其实它的方程相对简单，一般来说可以用类似于 ( z = frac{x^2{a^2 frac{y^2{b^2 ) 这样的形式来表示。

乍一看，似乎有点复杂，但我们可以把它想象成一张网，网中每一个点都能反映出双曲抛物面的特征。

用简单的语言来说，这个方程就是在说，“嘿，我的z坐标是由x和y的平方计算出来的”，好像在和我们打招呼。

3.2 形象的比喻你可以把这看作是一位厨师在调配食材，z是成品，x和y就是那些新鲜的食材。

在这个方程中，x和y的变化直接影响到最终的z，就像你多放点盐，菜就咸了，多加点糖，甜度直线上升。

就这样，直母线在双曲抛物面上游走，展示着不同的风采。

数学，就像一首交响乐，虽然各部分看似孤立，但合在一起时却和谐动听。

4. 应用场景4.1 生活中的数学那么，双曲抛物面和直母线方程到底有什么用呢？你可能会问。

证明单叶双曲面同族的直母线异面

证明单叶双曲面同族的直母线异面。

证明单叶双曲面同族的直母线异面是比较困难的，但也可以通过某些流程来证明。

首先，我们需要明白的是单叶双曲面是一类特殊的双曲面，双曲面是一类空间曲线，它们位于空间的一个二维表平面上，其两个曲线支点之间的距离是一致的。

其次，要证明单叶双曲面同族的直母线异面，我们需要证明它们满足以下条件：一、两条曲线间的距离相等；二、两个曲线的母线的夹角不同，比如一条曲线的母线为45度，另一条曲线的母线为90度；三、两条曲线的弧程之和等于2π，即曲
线半径乘以2π等于这两条曲线的弧程之和。

最后，如果满足上述三个条件，我们就可以证明单叶双曲面同族的直母线异面。

证明过程也很简单，我们只需要将两个曲线进行变换，使它们满足以上三个条件，得出单叶双曲面同族的直母线异面。

总而言之，证明单叶双曲面同族的直母线异面并不难，只需要满足以上三个条件，即可得出最终的结论。

单叶双曲面与双曲抛物面共19页文档

例题
例1 求过单叶双曲面 x2 y2 上z的2 点1 的直6母,2,8线的方程.
9 4 16
分析: 单叶双曲面 x2 y2 z2 1 的两族直母线方程为：
9 4 16
w
x 3
z 4
u 1
y 2
,
与
u
x 3
z 4
w 1
y 2
t
x 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线
通过这点.
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三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 2z a2 b2
a,b 0
悉尼歌剧院
定理单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。—— CocoChanel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。—— 杰纳勒尔·乔治 ·S·巴顿
单叶双曲面与双曲抛物面
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克

4.7 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线

（4.7-1） 4.7-
与
（4.7-2） 4.7-
推论1 推论1
对于单叶双曲面上的点，对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 − 2 = 2z 2 a b (a, b > 0 )
悉尼歌剧院
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 ， a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面。它有两族直母线：是直纹曲面。它有两族直母线：
x z y w a + c = u 1 + b , ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y , a c b x z y t a + c = v 1 − b , 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y , a c b
x z y w + = u 1 + , a c b ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y a c b x z y t + = v 1 − , a c b 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y . a c b
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z − 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.

叶双曲面与双曲抛物面

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定理单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
u
x a
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
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例题
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
上2z 的a 两b直母线直交时，其交点必
在一双曲线上.
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2，a夹角为，2过这两直线
分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的轨
迹.
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y b
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通
过这点.
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皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：

从单叶双曲面直母线问题的研究谈研究性教学

从单叶双曲面直母线问题的研究谈研究性教学刘德金【摘要】This paper studies the uniqueness about u and v-family rectilinear generator of uniparted hyperboloid and the plane equation about intersection of the plane with the uniparted hyperboloid,next expounds that research teaching should be carried on with problems in basic course.%研究了单叶双曲面u族和v族直母线存在的唯一性问题和与单叶双曲面交于直母线的平面方程,在此基础上阐述了基础课应以问题为载体进行研究性教学.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2012(028)004【总页数】5页(P106-110)【关键词】单叶双曲面;直母线;平面;研究性教学【作者】刘德金【作者单位】德州学院数学系,山东德州253023【正文语种】中文【中图分类】O119教育部在2005年《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中明确提出：“要积极推动研究性教学，提高大学生的创新能力［1］.”这就明确了在高校实行研究性教学的设想，研究性教学也由此成为高校教学改革的中心问题之一.高校如何进行研究性教学，不少学者认为研究性教学就是以课程内容和学生的学识积累为基础，以“问题”为中心，以小课题研究或项目的设计为教学的切入点，创设一种类似研究的情境或途径，引导学生自己发现问题、研究问题、发现新知识［2，3］.笔者对此非常赞同，认为它尤其适用于基础课的研究性教学.本文拟结合单叶双曲面直母线问题的研究谈谈在解析几何教学中以问题为载体实施研究性教学的做法.文献［4］中研究了单叶双曲面、双曲抛物面的直母线，分别给出了它们的两族直母线方程，并研究了直母线的性质.对单叶双曲面证明了它是由直线族构成的，这两族直线分别叫做单叶双曲面的u族直母线和v族直母线.问题1 以上两族直母线是由（1）式变形为得到的.不难想到把方程（1）变形为也可写出另两族直线方程并且容易证明这两族直线也都构成单叶双曲面.那么，p族、r族直线与u族直母线和v族直母线有什么关系？问题2 单叶双曲面上是否存在直线，它不是由上述方法得到的？问题3 由文献［4］知，用平行平面束截单叶双曲面时可以截出一族平行椭圆或截出一族双曲线.因此单叶双曲面可看作由椭圆构成的，也可看作是双曲线构成的.既然单叶双曲面是由直线构成，那么怎样的平面可以与单叶双曲面相交于直线？进一步地，怎样的平面束与单叶双曲面交出u族直母线或v族直母线？结论1 r族直线正是单叶双曲面⑴的u族直母线；而p族直线正是单叶双曲面（1）式的v族直母线.证明以u族直线中直线为轴的平面束方程为即将r族直线方程整理为（3）中第一式表示的平面过u族中直线的充要条件是存在不全为零的λ、μ使得所以因为u、w不全为零，所以λ＝μ；（3）中第二式表示的平面过u线的充要条件是存在不全为零的λ′、μ′使得所以因为u、w不全为零，所以λ′＝－μ′.λ＝μ时，（4）式变为因为u－w、u＋w不全为零，所以或时，（5）变为因为不全为零，所以或所以对于不全为零的u、v确定的u族直母线中的直线，只要在r族直线中取或，这时r族直线方程中第一式和第二式表示的平面都过这条u族的直线，这说明u族直母线中每条直线是r族中的直线.同法可证r族中每条直线也是u族中的直线.故r族直线就是u族直母线.同理可证，p族直线就是v族直母线.结论2 单叶双曲面上只要有直线，则它一定是u族或v族直母线中的直线.证明若一直线是单叶双曲面（1）式上的直线，则它一定与xoy平面相交，并且交点在腰椭圆上.因此，这样的直线方程可设为，其中（x0，y0，0）是腰椭圆上的点，即经过点（x0，y0，0）的u族中的直线为经过点（x0，y0，0）的v族中的直线为要证（6）式是u族或v族直母线中的直线，只须证明（6）式一定是（8）式或（9）式即可.因为（6）式、（8）式和（9）式都过腰椭圆上的点（x0，y0，0），所以这又只需证（6）式的方向与（8）式或（9）式的方向平行即可.事实上，（6）在单叶双曲面（1）上，则对于任意t有由（7）式因为t是任意的，所以由此得而（8）式的方向向量为（9）式的方向向量为由此可见，方向（10）式平行于单叶双曲面u族中直母线的方向（11）式或v族中直母线的方向（12）式.结论3 与单叶双曲面（1）式相交于直线的平面方程是其中t、v不全为零，w、u不全为零.证明如果平面与单叶双曲面相交于直线，由结论2知这直线一定是直母线，所以这样的平面一定是以直母线为轴的平面束中的平面.以u族直母线中直线为轴的平面束方程是其中w、u不全为零，t、v是不全为零的任意实数.将其整理即得（13）式.以v族直母线中直线为轴的平面束方程是其中t、v不全为零，w、u是不全为零的任意实数.整理也得（13）式.结论4 每个与单叶双曲面相交于直线的平面一定与单叶双曲面相交于两条直母线，其中一条是u族直母线中的直线，另一条是v族直母线中的直线.结论5 以每一条u族直母线中直线为轴的每个平面束中的平面与单叶双曲面相交的另一直线构成v族直母线；以每一条v族直母线中直线为轴的每个平面束中的平面与单叶双曲面相交的另一直线构成u族直母线.结论6 与单叶双曲面交于直线的平面构成有轴平面束“族”，它的方程就是（13）式，以直母线为轴的每个平面束都是这“族”中的平面束.单叶双曲面是一种具有特殊结构的二次曲面，它在许多方面有应用［5］.单叶双曲面直母线是二次曲面研究中的一个重要内容.单叶双曲面直母线问题涉及向量运算，直线、平面的方程和位置关系，直线与曲面、平面与曲面的关系.以上三个问题环环相扣，步步深入，形成一个较好的问题链，贴近教材内容，接近学生水平，是教材内容的延伸和深入，设计这样的问题供学生思考、探讨，具有实际可操作性.对于学生理解和掌握单叶双曲面直母线的知识，对于学生学习能力的培养有现实意义. 对于问题1，后两族直母线与已知的u族和v族直母线的关系应该说不是可轻易做出判断的.比较好理解的探讨结论的方法是，不妨先猜测p族就是u族直母线或v族直母线，然后设法证明.如果得到证明，就说明猜测正确；若证明不成，则结合证明遇到的情况看是否可列举p族中有一直线不在u族直母线中、也不在v族直母线中，从而说明p族直线是不同于u族或v族的直母线.同样的道理可以考虑r 族.朝什么方向猜测，采用什么样的方法去证明猜测，证明时直母线的方程采用单参数还是双参数，这些都值得琢磨和用心选择.问题2是问题1的继续，由结论2的证明可知，实际结论2包含了结论1的内容.不过我们在教学中先提出问题1，在问题1研究的基础上再提出问题2，这样使问题的提出更自然，与教学内容衔接更紧，更贴近学生的水平.问题3的研究是对教学中介绍的平行截割法的反思，这对认识曲面的结构和研究曲面的方法有重要意义.教学中，不事先给出结论，而是让学生或引导学生探索问题的答案.鼓励学生有不同猜测、用不同的方法去证明猜测.这过程中包含了根据对单叶双曲面知识的理解和直观认识对结论的猜测和对证明猜测方法的尝试，也包含了证明探索中遇到挫折后的分析、反思、坚持或纠正.这过程需要不断选择和判断，使学生经历研究中的沟沟坎坎，体会研究中的酸甜苦辣.这样做，即使获得否定的结果也同样能体现探索的意义和价值，使学生的认识不断得到修正，从中获得思维的训练和兴趣、素养、能力的提高，培养了创新意识，获得满足感和成就感.单叶双曲面可研究的问题还有许多，如是否存在一族平行平面，它与单叶双曲面总是相交于直线？通过上述三个研究问题的启示，让学生考虑：对双曲抛物面有什么问题可以研究？除此以外，也曾推荐关于单叶双曲面的教研论文给在上述问题研究中表现出兴趣的同学阅读学习，满足了学习上比较活跃、渴望创新的学生的需求，丰富了学生的课余生活.学生进入大学后，已不满足于教师的照本宣科，希望教师有自己的“东西”.实施研究性教学，用类似于科学研究的方式，引导学生去探究问题、获取新知识，使学生领悟如何发现问题、提出问题，怎样寻求解决问题的途径和方法.这种教学活动既是展现知识创新的过程，也是对学生进行科学研究的初步训练过程，既展示了教师的风采，又满足了学生的求知欲，有利于培养学生的创新能力，能够为学生后来的毕业论文写作或毕业设计打下很好的铺垫.在解析几何课程中实施研究性教学，学生表现出浓厚的兴趣和参与热情，虽说是第一学期的课，但到最后撰写毕业论文，仍有越来越多的学生选择解析几何中的课题.现代学习方式特别强调问题在学习活动中的重要性.一方面强调通过问题来进行学习；另一方面又通过学习来生成问题.这种以问题为中心特征的学习方式体现了当代教育的价值取向.“问题”是研究性教学的载体，研究性教学，一是以问题为切入点，二是以“问题研究”的方式来展开教学.因此提出引人入胜、有研究意义的“问题”，是组织好研究性教学的首要环节，无论是曾被解决了的问题，还是新涌现出来的问题，或许都能成为一个好的研究性教学的题材.教师作为课堂研究性教学中的“设计者”，对教学内容本身进行研究是特别需要的，否则教学只能是就事论事、照本宣科.课堂教学中实施研究性教学，关键是教师要有求新、创新的意识，有“问题意识”，要经常性地琢磨，积累问题，这样才能设计出适合学生探索又具有一定意义的问题，才可能把自己对问题的思考渗透到教学中.需要注意的是，设计的问题应贴近学科和课程的精髓、体现该学科的“思想”，有适合学生自主思考和探索的“抓手”，问题的大小、繁简、难易适宜，能够激发学生学习兴趣和探究热情.研究性教学，问题的解决不一定在课堂上完成，可以留待课下探讨.对研究性的问题期待每位学生参与，但不要奢求每个学生都能给出完整答案.对学生的探讨要及时给以批阅，给出评价，给以鼓励.研究性教学不只是研究型学校的事，一般普通高校也可以，不只是专业课、后继课的事，基础课也可以.关键是以生为本，因材施教.只要各门课程都渗透、各个教师都重视，就一定能达到培养学生创新能力的目的.【相关文献】［1］教育部.关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见（教高〔2005〕1号）［Z］.2005.［2］陈雅芳.当代大学教师的教学理念［J］.中国大学教学，2003，（1）：20－22.［3］彭先桃.大学研究性教学的理念探析［J］.教育导刊，2008，（3）：56－58.［4］吕林根，许子道.解析几何（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.［5］蔡国梁，李玉秀，等.直纹曲面的性质及其在工程中的应用［J］.数学实践与认识，2008，（8）：98－102.。