5-克尔效应与自聚焦

根据渐变折射率自聚焦透镜端面处最大数值孔径公式
NA n0 sin m n2 (0) n2 ( R) 2n0 [n(0) n( R)]
式中n0为介质的线性折射率，m为最大会聚角，n(0)是 中心轴上的折射率，n(R)是边沿的折射率；

且有 n( R) n0

则
Hale Waihona Puke Baidu
n(0) n0 n 2 n 2 m n0
( 3 ) 2 e E ( ) n0 2n E ( ) 0 ( 3 ) e 2 则非线性折射率为 n E ( ) 2n0
( 3 ) e 2 0 2
n0 1 n
而
1 2 I 0cn0 E ( ) 2
则非线性折射率可表示为 非线性折射系数
( 3) x ( 3) y
( 3) xxyy
(; ,, ) E () Ex (, z ) (; ,, ) E () E y (, z )
2
2
P (, z ) 6 0
把 Py
( 3)
( 3) yyyy
(, z) 的表达式代入y方向的耦合波方程，得 dE y ( , z ) 3ik 02 (3) 2 yyyy (; ,, ) E () E y (, z ) dz k 若泵浦光 E ( )不随x变化，可解得y方向的信号光场 3k0 (3) 2 E y ( , z ) exp{ik 0 [ yyyy (; , , ) E ( ) ]z} k
第五章 光克尔效应和自聚焦
§1 光致折射率效应的物理机制
已知光场
E (, t ) E ( )e
i (t k r )
作用于介质，通过
的混频，会产生频率仍为ω的三阶非线性 (3) 极化 ( 3) P () 0 3 (; ,, ) E() E () E()
n n0 n n0 n2 I

n I n2 I cn
( 3 ) e 2 0 0
自聚焦：当n2>0时，横截面中心处的折射率最大，越靠 边缘越小，因此，波前的中心部分在介质中的传播速度最 慢，越靠边缘速度越快，从而入射的平面波前在传播过程 中逐渐向入口方向凹陷，光束如同经过一个正透镜，被逐 渐聚焦。即表现为正透镜效应，即为自聚焦。
响应速度越慢
二、互作用光克尔效应
设频率为的单色信号光与频率为 的单色泵浦光同
沿z方向传播，但两者偏振方向不同。设泵浦光沿 y 方向偏振，信号光在x-y平面内偏振。
泵浦光引起介质折射率发生变化，从而由信号光电
场的x和y方向分量产生的非线性极化强度在x和y方 向的分量分别为
P (, z ) 6 0
( ) 0 ( ) ( I )
k0 (1) 0 ( ) ( ) n0 2k0 I (3) ( ) ( ) 2 c 0 n0
§2 光克尔效应
光克尔效应：光电场直接引起的折射率变化的效应， 其折射率变化大小（即非线性折射率）与光电场的平方 成正比。 由于光克尔效应引起的折射率的变化反映了极化率的变 化，而可以证明：极化率的变化只是极化率实部的变化
(1) ( 3)
2
n0 ( ) 1 (1) ( )
n( ) n0 ( ) n( )
当
n( ) n0 ( ) 时，有 ( 3) 3 (; , , ) 2 n( ) E ( ) 2n0 ( )
I ( ) E ( ) ，则折射率表示为
n( ) ( ) / 0 1 ( ) 3 (; ,, ) E ( )

在不考虑三阶极化（即只考虑线性极化）时折射率为
n0 ( ) 1 ( )
(1)

令
n( ) n0 ( ) n( )
n( ) ( ) / 0 1 ( ) 3 (; ,, ) E ( )

准稳态自聚焦：如果输入的光脉冲宽度比较短，但比介 质对场的响应时间大得多，或者介质对场的响应仍可以被 认为是瞬时的，这时自聚焦的焦距随着激光强度的变化而 随时间变化。

瞬态自聚焦：如果激光的脉冲宽度短于或近似等于n的 响应时间，致使n的时间变化在自聚焦中变的很重要。

一、稳态自聚焦
1. 稳态自聚焦方程
3k0 (3) 2 n xxyy (; , , ) E ( ) k

克尔系数：表征光致双折射效应（互作用光克尔效应）
的强弱
K ( )
n// ( ) n ( )
E ( )
2
3 (3) ( 3) ( yyyy xxyy ) 2c

这些物理过程与介质的响应时间有密切的关系
Response time and magnitude of n2 for various machanisms
Physics Machanisms Thermal effect
Electrostriction Nonlinear electronic polarizability Electron cloud aberration
sin m m
在光束截面缩小的过程中又会出现自衍射，使光束发散 、让光束截面扩大，则高斯光束的最大衍射角为

式中k为波矢，a为束腰半径
0 2 an0 ka
2 n n0
2 m
2 m 2
0 2 an0 ka
2n 4 ( ) ( 2 2) n0 k a

若要自散焦作用大于自衍射作用，要求：
m 1


即
2n0 n 2 2 k a
在一般情况下，激光强度高于1MV/cm2即可满足此条件

自散焦：当n2为负值时表现为负透镜效应，即为自散焦
在分析自聚焦现象和建立自聚焦理论时要区分三种状 态，即：稳态、准稳态和瞬态。 稳态自聚焦：当激光束是连续激光或激光的脉冲宽度比 较长，自聚焦后的光斑尺寸、焦距均不随时间发生明显的 变化。
频率为的光场产生的线性极化为
P () 0 () E()
(1) (1)
合并上两式，则介质所产生的频率为的极化为
P( ) 0 [ ( ) 3 (; ,, ) E ( ) ]E ( )
(1) ( 3)
2
P( ) 0 [ ( ) 3 (; ,, ) E ( ) ]E ( )
(1) ( 3)

2
因为频率为的电位移矢量为
D( ) o E ( ) P( ) ( ) E ( )

则由上两式可得
( ) 0 [1 ( ) 3 (; ,, ) E ( ) ]
(1) ( 3)

2
则频率为的折射率为
(1) ( 3) 2
n2 cn
( 3 ) e 2 0 0
n I n2 I cn
( 3 ) e 2 0 0
克尔介质的总折射率为
n n0 n n0 n2 I
光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制有：
① 热效应；② 电致伸缩效应；③ 非线性电极化； ④ 电子云畸变；⑤分子重新分布或振动。
2
因光强
n( ) n0 ( ) n2 ( ) I ( )
其中n2()
称为非线性折射系数
n( ) n0 ( ) n2 ( ) I ( )
频率为 和 ( ) 的两束光（一般前者强，后者 弱）同时作用，会在介质中产生频率为 的三阶极化 因此，频率为 的光不仅会使频率与之相同的折射 率发生变化，也会使频率与之不同的折射率发生变化
3k0 (3) 2 E y ( , z ) exp{ik 0 [ yyyy (; , , ) E ( ) ]z} k
则信号光在y方向的非线性折射率为
3k0 (3) 2 n// yyyy (; , , ) E ( ) k
同理，信号光在x方向的非线性折射率为
光克尔效应的两种形式： （1）自作用克尔效应：非线性极化率是由频率为的信 号光本身的附加光强引起的光克尔效应。

（2）互作用克尔效应：非线性极化率是由频率为 的泵 浦光引起的，或频率相同但传播方向或偏振方向不同的泵 浦光引起的光克尔效应。
一、自作用光克尔效应
设频率为的强激光入射各向同性介质，只考虑一阶
则得 其中
n( ) n0 ( ) n(, )
n( , ) 6 (3) (; , , ) 2n0 ( ) E ( )
2
是频率为 的光产生的频率为 的折射率改变。它 也与光强 I ( )成比例，但比例系数不同。
可以证明：介质的线性折射率和非线性折射率都与极化 率的实部成线性关系；而介质的线性吸收系数和非线性 吸收系数都与极化率的虚部成正比，即
2 2 K ( ) 2 (n// n ) L E ( ) 0 n

克尔光开关
§3 光束的自聚焦
自聚焦现象：设入射到介质的是单模激光束，其横 截面上具有高斯强度的分布I(r)（r是以中心为原点的径 向坐标），中心处最强，越靠边缘越弱。由于光束与介 质的三阶非线性作用，介质的折射率发生与强度成正比 的改变，从而使折射率在横截面上出现 n n0 n2 I (r ) 的分布，使光束经过的介质产生类似透镜的作用，由于 非线性折射系数n2的符号可正可负，可以对光束进行聚 焦或散焦的现象。
(3) P () 0 6 (3) (; ,, ) E() E () E()
0 [6 (; , , ) E ( ) ]E ( )
( 3) 2
同样，频率为
的光场产生的线性极化为
P(1) () 0 (1) () E()
非线性波动方程
NL 2 ( 3) P 0 e E E 2 0 n0 nE 2 2 光波场为横场，利用 E ( E ) E E
将方程写为标量方程，并采用柱坐标，有
2 2 2 2 2 n 2 n E E n E 2 0 0 E 2 2 2 2 2 z c t c n t 0 2 2 2 式中 2 2 x y
( ) ( ) i ( )
(1)
(1)
(1)
( ) ( ) i ( )
( 3)
( 3)
( 3)
n( ) n0 ( ) n( I )
n0 ( ) n0 ( )
(1)
n( )
I c n
2 0 0
(3) ( )
τ (s) 10-1-1
10-8-10-9 10-11-10-12 10-13
n2(esu) 10-4 to 10-5
10-10 to 10-11 10-11 to 10-12 10-13 to 10-14
Molecular redistribution
10-13
10-12 to 10-13
可见：克尔介质的非线性折射系数越大，介质的
和三阶极化率的实部

线性折射率为
n 1 ( )
2 0
(1)
定义有效三阶极化率为

e ( ) 3 ( )
( 3) 2
( 3)
( 3)
则频率为的折射率为
(1)
1 2
n( ) ( ) / 0 1 ( ) 3 (; ,, ) E ( )