中考数学专题 规律探索题

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规律探索

类型一 数式规律

1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为1

4尺，…，第n 天折断一半后

得到的木棍长应为________尺． 12n

2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．

第2题图

41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝

n （n ＋1）

2

，∴第8行最后一个数为

8×9

2

＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5

＝41. 3. 观察下列关于自然数的式子：

2

第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …

根据上述规律，则第2019个式子的值是______．

8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075.

4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1

n (n 为正整数)顺次排成一列：

1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝1

2，…，S 1

＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．

63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个1

3的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第

2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×

1

64＝633

64

.

类型二图形规律

5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，…，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n的坐标是________．

第5题图

(2n，3) 【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．

6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．

3

4

第6题图

(6058，1) 【解析】∵铁片OABC 为正方形，A (3，0)，P (1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P 1，P 2，

P 3，P 4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一

个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P 2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P 2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P 2019(6058，1)．

第6题解图

7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，

O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线

向右运动，速度为每秒π

2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标

是________．

5

第7题图

(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，

P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，

1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．

8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．

第8题图

(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB 的中点，∴点D 的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60

秒时是把菱

形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．

9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．

第9题图

3n－1 3 【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三

角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×

3

2

＝3，又∵OA2＝A2F2

＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×

3

2

＝33，同理可得：OB3＝18，则

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