四面体外接球的球心、半径求法
正四面体外接球和内切球的半径的九种求法
正四面体外接球和内切球的半径的九种求法【作者简介】张秀洲（1987.06），江苏滨海人，毕业于湖南师范大学，中学数学一级教师，省先进工作者，州、县优秀班主任，州先进个人，县优秀教师，县优秀教育工作者，县教师培训师团队成员，县“国培计划”(A307)指导教师，吉首大学“国培计划”(B101)指导老师。
2016年被花垣县人民政府授予“高考优秀教师”荣誉称号，2013年、2019年被花垣县人民政府记“三等功”。
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。
如果一个球与多面体的各面都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。
有关多面体外接球与内切球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
本文重点研究正四面体外接球和内切球的半径的求法：正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合．分析：如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等．又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中，有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上；同理：球心O也在其它面的高线上．图1又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD，得：点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心．这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．已知正四面体ABCD棱长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为O ，则正四面体的高h即34R h =即14r h =．外接球半径是内切球半径的3倍．下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）如图2，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以O 1D． 因为OO 1⊥平面BCD ，O 1D ⊂平面BCD ， 所以OO 1⊥O 1D .所以，在Rt △OO 1D 中，由勾股定理，得22211OD OO O D =+，即222R R ⎫⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解得R =，所以r R =-．． 知识联系：正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合，半径之比为1：2；正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合，半径之比1：3．方法二：（三角正切倍角公式）如图3，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以OO 1⊥平面BCD ，O 1D，高1h AO =． 1,,2.OA OD ADO DAO DOO θθ=∴∠=∠=∠= 在1Rt ADO ∆中，11tan DO AO θ===2222tan 2tan 21tan 1θθθ∴===--⎝⎭在1Rt ODO ∆中，113tan 2DO OO r θ====r ∴=，R h r =-==． 图2图3． 方法三：（平行线法）如图4，连接DO 并延长交平面ABC 于点G ，则G 为△ABC 的中心.连结DO 1并延长交BC 于中点E ，则A ，G ，E 三点共线，113EO EGED EA==； 再连接1GO ，则1GO ∥AD ，从而有1113O O O G EG AO AD EA ===，所以134AO AO =，1114OO AO ==．． 方法四：（分割体积法）如图5，记正四面体ABCD 的体积为V ，每个面的面积为S ，高为h ，内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，则O ABC O BCD O ACD O ABD V V V V V ----=+++，所以11433Sh Sr =⋅，从而13,.44r h R h ====． 【方法拓展延伸】1.多面体的体积为V ,表面积为S ,利用体积分割法,可得其内切球的半径为3Vr S=； 2.高为h ,各面面积均为S 的棱锥内的任意一点到各面的距离之和为定值h .方法五：（补形法）以正四面体的各棱为正方体的面对角线，将其补形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球，所以正四面体的外接球也是正方体的外接球.设正方体的棱长为x，则2R =且a ,所以R =，从而13r R =．． 【方法拓展延伸】1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外接球也是以这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球,若设其三条侧棱长分别为,,,a b c 则易得外接球的半径为R =． 2.若点P 到两两垂直的三个面的距离分别为,,,a b c 点O 为它们的公共点,则图4图5图6PO =22212a b c ++． 3.若点P 到两两垂直且共点于O 的三条直线m ,n ,l 的距离分别为x ,y ,z ,则PO =2222()2x y z ++．方法六：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD ∆于1O ，则1O 为BCD ∆的外心，求得1163,,33AO a DO a == 由相交弦定理得2663(2).333a R a a ⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭解得64R a =． 666633412r a R a a a ∴=-=-= 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ． 方法七：（坐标法）如图6, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则6333(0,0,),(0,,0),(,,0),(,,0)332626a a A a B a C a D a -- 设球心O 的坐标为(,,)x y z ，则由OA OB OC OD R ====，得2222OA OB OC OD ===，即22222222222263()()333()()263()()26x y z a x y a z ax y a z ax y a z ++-=+++=-+-+=++-+解得60,.12x y z a ===所以66,.124r z a R a ∴=== 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ． 方法八：（相似法）（侧棱、高相似）如图7, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设M 是AB 的中点，连结OM ，OB ，BO 1，AO BO OM AB =∴⊥190AMO AO B ∴∠=∠=，又1MAO O AB ∠=∠，AMO ∴∆∽1AO B ∆， 1AM AO AO AB ∴=，即2,63aRa a = 6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-=方法九：（相似法）（斜高、高相似）如图8, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设E 为BC 中点，连结AE ,EO 1，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC ∆中心，N 是AE 的三等分点， ON ABC ON r 平面，是内切圆半径,⊥且Rt ANO ∆∽1Rt AEO ∆1AN AO AO AE ∴=， 即336332aR a a =，6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。
四面体外接球半径公式
四面体外接球半径公式
四面体外接球半径公式是一种计算四面体外接球半径的公式，它可以用来判断四面体外接球的大小。
四面体外接球半径公式的数学表达式为： R = 3V/S，其中R为四面体外接球的半径，V为四面体的体积，S为四面体的表面积。
四面体外接球半径公式的求解过程如下：
1）首先计算四面体的体积V和表面积S，可以使用体积公式V = (abh)/6，其中a，b，h分别为四面体的三个边，而表面积S可以使用表面积公式S = ab + bc + ca，其中a，b，c为四面体的三个边。
2）计算完体积V和表面积S之后，可以使用四面体外接球半径公式R = 3V/S，将体积V和表面积S代入公式，便可计算出四面体外接球的半径R。
以上就是四面体外接球半径公式的求解过程。
四面体外接球半径公式可以帮助我们计算出四面体外接球的大小，是一种非常方便、有效的计算方法。
四面体外接球的大小是用来描述不同形状物体的一种统计量，它可以用来进行物体尺寸的比较，也可以用来分析几何图形的几何特性。
因此，四面体外接球半径公式是一种实用性很强的数学工具，可以
帮助我们计算出四面体外接球的大小，为我们的几何学研究提供了有效的帮助。
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球是几何学中的概念，它们分别是指一个多面体内部最大的（最小的）球和一个多面体外部最小的（最大的）球。
下面是内接球和外接球的半径计算公式。
（以下解释中，我们以正四面体为例）
内接球半径计算公式：
正四面体的内接球是四面体内部最大的球，它的半径可以通过正四面体的棱长计算得出。
设正四面体的棱长为a，则正四面体的内接球半径R为：
R = a / (2√3)
其中√3表示根号下3，也就是3的平方根。
该公式适用于所有正多面体内接球的半径计算。
外接球半径计算公式：
正四面体的外接球是四面体外部最小的球，它的半径可以通过正四面体的边长计算得出。
设正四面体的边长为a，则正四面体的外接球半径r为：
r = a / (2√6)
其中√6表示根号下6，也就是6的平方根。
该公式同样适用于所有正多面体外接球的半径计算。
需要注意的是，以上公式仅适用于正多面体，对于其他不规则多面体，内接球和外接球的半径计算需要用到其他方法。
正四面体外接球内切球半径
解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体，其四个面都是等边三角形，相互之间都是等角的。
正四面体有个很有意思的性质，就是它的外接球和内切球的半径是相等的。
这个性质可以通过以下步骤进行证明：首先，我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。
我们可以画出如下的图形：正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。
正四面体外接球的圆心为O，内切球的圆心为I。
现在我们来证明r=R。
步骤1：连接OI，这条线段的长度为r+R。
步骤2：连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，将正四面体分成四个小正三角形。
步骤3：我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等，设为S。
步骤4：我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。
AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5：再通过余弦定理求出角AOI的大小。
cos(AOI)=（OI²+AO²-AI²）/(2×OI×AO)=（r+R）/（2r）步骤6：由于AOI是一个等腰三角形，所以角OAI也等于角OIA。
因此，我们可以用余弦定理求出AI的长度。
cos(OAI)=（OI²+AI²-OA²）/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7：我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。
BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8：根据勾股定理，我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。
正四面体外接球半径公式
一.正四面体外接球半径公式是什么？
答：R=（√6）a/4。
a为正四面体的棱长。
设正四面体的棱长为a,求其外接球的半径.设正四面体V-ABC,D为BC的中点,E 为面ABC的中心,外接球半径为R,则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。
在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,可解得：R=（√6）a/4.另外,我们也可以先求出OE,因为OE恰好是四面体的内切球的半径r。
利用等积法可求得r.设四面体的底面积为S,则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4。
扩展资料：
正四面体的性质：
1、正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
5、对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。
正四面体外接球公式
正四面体外接球公式为了推导正四面体外接球的半径公式，首先我们需要先了解一些正四面体的性质。
一、正四面体的性质：1.正四面体的面积公式：一个正四面体的面积可以通过以下公式计算：A=√3*a²，其中a是正四面体的一个边长。
2.正四面体的高公式：一个正四面体的高可以通过以下公式计算：h=(√6/3)*a，其中a是正四面体的一个边长。
3.正四面体的体积公式：一个正四面体的体积可以通过以下公式计算：V=(√2/12)*a³，其中a是正四面体的一个边长。
4.正四面体的垂直高公式：一个正四面体的垂直高可以通过以下公式计算：H=(√6/4)*a，其中a是正四面体的一个边长。
二、正四面体外接球的性质：1.正四面体外接球的半径R，可以通过以下公式计算：R=(√6/4)*a，其中a是正四面体的一个边长。
这是一个重要的结论，可以称之为正四面体外接球半径公式。
推导过程：我们首先使用勾股定理来证明正四面体外接球半径公式。
我们知道正四面体的高是等边三角形高线段的1/3，所以正四面体的高为(√6/3)*a。
又根据正四面体外接球的性质，球的半径，也就是外接球的半径R，正好是正四面体垂直高的2/3倍。
所以我们有：R=(2/3)*(h)。
我们可以把h代入R的公式中，得到：R=(2/3)*((√6/3)*a)=(√6/9)*a。
然而，这个结果与我们之前提到的正四面体外接球半径公式不相符。
所以我们需要检查我们之前提到的正四面体外接球半径公式有没有错误。
我们可以使用三角函数来验证正确性。
正四面体的一个面上的顶角是60度，所以它的两个邻边与外接球的半径之间的夹角也是60度。
根据正余弦定理：cos(60) = a / (2R)。
根据余弦函数的性质：cos(60) = 1/2所以我们可以得到：1/2=a/(2R)即：R=(1/2)*a这可以证明我们的正四面体外接球半径公式是正确的。
综上所述，正四面体外接球半径公式为：R=(1/2)*a或R=(√6/4)*a。
正四面体的外接球和内接球的半径求法
正四面体的内切球及外接圆的半径及其求法
对于棱长为a 的正四面体，有：
1、侧面高为a 3/2（）
2、高为a 6/3（）
3、内切球半径a 6/12（）
4、外接球半径a 6/4（） 内切球根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成三个正三棱锥,首先计算出整体的体积V 然后根据三个三棱锥的体积相等得v=V/3，又有三棱锥的体积计算公式有：1Sh 3则有求出的h 即为内切球的半径.
外接球的半径算法我们可以很容易的知道外接球的球心至正四面体的每一个顶点的距离是相等的,所以继计算出内切球半径后再将分解出来的小的四面体的棱长计算出来即可
内切球与外接球半径的联系：内切球半径+外接球半径=正四面体的高即6/12（）+a 6/4（）=6/3（）。
正四面体外接球和内切球的半径的求法
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正四面体外接球和内切球的半径的求法
作者：李凤华
来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第01期
题已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径R和内切球的半径r.
分析如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O 在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中,有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上;同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心. 这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体ABCD的高为h，则 . 因此，只要求出r和R中的一个，便可求出另一个.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
”。
四面体外接球的球心半径求法
四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。
本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长 即【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。
解:因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即:所以球得表面积为二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。
【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。
解:且,,,,因为 所以知所以 所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点,在中在中 所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心A C所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、解:由已知建立空间直角坐标系解得所以半径为【结论】:空间两点间距离公式:四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接"问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。
作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥得内切、外接球问题例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。
正四面体外接球的半径
正四面体外接球的半径
正四面体外接球是几何中用于计算直角三角形每个边长度的技术。
它是一个三维坐标系下的球体结构，由四个相互重叠的圆柱体所构成，每个圆柱体都具有相同的半径，形状独特。
外接球的半径定义为圆柱
结构的半径，与它自身有关。
因此，计算正四面体外接球的半径可以按以下方式进行：首先，测量正四面体的四边长度，然后在三维坐标系中考虑直角三角形的余
弦定理，以计算外接球半径R：
R=边长/4*sin60°。
给定一个正四面体外接球，可以通过测量每个圆柱体的高度来计
算出外接球的半径，并通过余弦定理来求出球的表面积。
这项技术广
泛应用于几何计算中，可以帮助我们更准确地衡量物体大小和体积。
总的来说，正四面体外接球是一种非常棒的几何计算技术，它可
以帮助我们精准地计算出外接球的半径。
通过理解正四面体外接球半
径的计算，可以更好地利用这项技术进行精准测量。
任意四面体的外接球的半径
任意四面体的外接球的半径
四面体的外接球是指四面体外围环绕着一个球体，有许多应用，如几何拓扑研究、动力学模拟、机器人抓取操作、空间定位、机械零件设计等，都需要外接球的半径。
外接球的半径的计算，基于四面体的正三角形布局，一般采用球内接四边形的大小作为四面体外接球的半径。
对于四面体，我们常用的是等边三角形，也就是球体内接正四边形，我们就可以简单计算该球体的半径。
首先，四面体的三个顶点都在球体表面上，而角b、c可以由角a推出来，具体表达式如下：
b = 2*cos(a/2)
因为在球内接正四边形abcd中，a、b、c和d都是90°，任意一条边ab=r，这时候可以求出四条边的长度，即：
b=r，
e=2*cos(a/2)*sin(a/2)*r，
而球内接正四边形的半周长P=a+b+c+d，由此可以求出球的半径r=P/2π，因此，任意四面体的外接球的半径为：r=a+2*sin(a/2)+2*cos(a/2)+2*cos(a/2)*sin(a/2)/2π，其中a表示任意四面体中两个边中夹角的所有可能性。
正四面体外接球半径公式推导过程
正四面体的外接球半径R=（1/2）a√6，其中a是正四面体的棱长。
下面是详细的推导过程：
1. 构造辅助线：首先，在一个正四面体中，我们画出它的外接球，并标出棱长为a。
接着，在其中一个面上画高AD，并在高上取点E，使得AE=2DE。
点E是底面等边三角形ABC 的中心，也是底面外接圆的圆心。
2. 利用直角三角形：连接PE，由于点E是等边三角形的中心，因此线段PE垂直于底面ABC。
此时，我们可以利用直角三角形AEP和直角三角形DEP来求解外接球的半径。
在直角三角形AEP中，我们有AE=DE=（根号3/2）a，而在直角三角形DEP中，我们有DP=（根号6/4）a。
因为PE是两个直角三角形共用的边，所以它的长度可以通过勾股定理求得，即PE=（根号6/4）a。
3. 应用勾股定理：由于正四面体外接球的球心O到顶点P和底面中心E的距离相等，即有OO'=PE，而OO'同时等于外接球的半径R。
因此，我们可以得出R=（根号6/4）a。
这里，OO'是球心到底面中心的连线，而PE是前面得到的直角三角形中的边。
四面体外接球半径的常规求法
教学参谋解法探究2018年9月四面体外接球半径的常规求法⑩湖北省武汉市第四十三中学卢伟近几年来，随着三视图的引人，使得立体几何客观 题的考查形式趋于多样化，这其中表现突出的就是四面 体外接球球心在哪里的问题.下面结合具体例题的分 析，归纳，并得出结论，以期能够对这一类问题有一个较 为广泛的认识.（以下例题均只求取四面体外接球的半 径"）一、定义法球心到球面上各点的距离相等，即为半径.下面通过对两大类型的分析，从而确定相关特征的 四面体外接球球心的位置.第一类型：“垂直+条件”型（有一条侧棱与底面垂直的四面体）例i在四面体中，丄平面&'(，"&'(为 边长是3的正三角形，且&4)6，求".解析：首先找到的外心G，作OG丄面&'(，且使得〇*)丄$4,则满足条件的02即为该四面体外接球的球心，再取$4的中点，，连接0，，如图1所示，经计算知")2#3.小结:这里不妨设A')-，4S).，V3 4例2在四面体中，S4丄平酿'（，&'丄B(，S()2,求".解析：如图2,易证'（丄邠，由直角三角形斜边的中线等于斜边 '图2的一半知SC的中点0即为球心，故 w")i.(事实上，这里与例i的解题思想是一致的y 例3在四面体中，S4丄平面4'(，120"，4')4()4S)2,求".$S去.在双曲线^#02)1中，过右焦点（左焦点对称可得) a1〇的两条垂直相交弦4'与C1，有如下结论：结论4:当(.222-a2)(.2-a222)>0时，|其中2=^ —&=la2-.2l■2a.22-a222)<0时，=la2-.2l2a.2结论5 :当(.222-a2)(. 2-a222)>0时，当(.222-a2)(. 2-a222)<0 时，114'卜1(11丨>-$^.la2- .2l结论6:若4'与（1的中点分别记为,，7,则直线,7结论7:丄+丄=丄.l4'l l(1l2p结论 8:l4'l+l(1l'8p.结论9:若4'与C1的中点分别记为,，7,则直线,7恒过定点|%，0&.五、结语限于篇幅，上述对双曲线与抛物线的证明过程都没 有给出来，感兴趣的读者可以验证一下.至此，我们感叹 于圆锥曲线内部的和谐与统一，同时也激起我们对未知 领域的向往.我们相信如果能够把这样的一种追求与探 索的情感融入到平时的教学中去，感染学生，使之成为 他们学习与成长中的一道风景，帮助学生领悟数学的魅 力所在.l4'l+ l(1l 当（222-a2l4'l l(1l恒过定点(%2,0).在抛物线02=29中，过焦点的两条垂直相交弦4'与 (1,有如下结论：参考文献：1.钟长彬，杨苍洲，圆锥曲线两垂直焦点弦的一组 结论[J].中学数学研究，2014(6).|!94十•？•!{：，■?高中2018年9月解法探究解析：根据例1的作图，结合正弦定理知，2!= —isin 30o !!=2,其中!为外接圆的半径，则可知&=#T .小结:这3个例题都是属于“垂直+条件”型的四面体 外接球球心的问题.根据例1的作图方式我们知道，关键 是先找到底面A #$C 的外心，这里是分别以特殊三角形 (等边三角形，直角三角形h 与一般三角形(利用正弦定 理)为背景，寻找突破口，则可以得到这类问题的统一计算公式这里底面三角形的外接圆半径，*为垂线段#+的长）第二类型：“等腰+条件”型（定义一类特殊的四面体---等腰四面体：三条侧棱相等的四面体）例4已知在四面体+-#$%"， ++#)+$)+%)2，$ $#%)30。
克列尔公式求外接球半径
克列尔公式求外接球半径克列尔公式求外接球半径克列尔公式源于18世纪法国数学家克列尔的研究，该公式用于计算一个正四面体外接球的半径。
由于正四面体是一种重要的多面体，而外接球半径又是其重要参数之一，因此克列尔公式被广泛地应用于物理、化学、材料科学等领域。
下面将详细介绍克列尔公式的原理、推导和应用。
一、克列尔公式的原理正四面体是一种多面体，具有4个面、6条棱和4个顶点。
如果在正四面体的每个面上取一个点，那么这4个点的凸包就是该正四面体。
同时，如果在正四面体外部构造一个球，该球可以切到正四面体的每个面上且仅切到各个面的一个点上，那么这个球就是该正四面体的外接球。
在任意一个正四面体中，外接球的半径都可以由克列尔公式计算得到。
二、克列尔公式的推导设正四面体ABCD中，A点到外接球的球心O的距离为R，边长为a，则有：AB = AC = AD = aBC = BD = a√2CD = a√3设O为球心，OA = OB = OC = OD = R，则有：∠AOD = 3π/2，∠BOC = π/2，∠AOC = ∠BOD = π/3，则△AOD、△BOC、△AOC、△BOD都是等边三角形。
设M为OA的中点，则有：OM = OA/2 = R/2AD = a√3/3 = 2OM，即 AD/OM = 2∠AOD = 3π/2，∠ADO = π/6△AMO、△ADO相似，则有：AD/OA = OM/AMAD/R = R/2OM2R³ = a³ + 4OM³R³ = a³/(2√3)由此可得：R = a/√6三、克列尔公式的应用克列尔公式的应用非常广泛，特别是在物理、化学和材料科学等领域。
例如，利用克列尔公式可以计算出各种晶体的晶格常数、原子半径和空隙率等参数，进而进一步研究晶体结构和物理性质。
此外，该公式还可以用于诸如密排球堆、分子包装和天然晶体形态等问题的计算。
综上所述，克列尔公式是一种极其重要的数学工具，它不仅有着理论上的重要性，还具有广泛的实际应用价值。
探求正四面体外接球、内切球半径求法知识讲解
探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合•已知正四面体ABCD麦长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为0，则正四面体的咼h是* a，外接球半径是■ a即R h ；内切球3 4 4半径是16 a即r 1h .外接球半径是内切球半径的3倍.下面从不同角度、用12 4不同方法进行探求：方法一：(勾股定理)作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心，高h AH —a，设0为球心，则O AH连结BH BO3在Rt V BOH中, BO2 BH2 OH2，即R2( -a)2(f a R)2，3 3R 迈a,r h R丄a丄a 丄a.4 3 4 12方法二：(三角正切倍角公式)作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心，高h AH —a，设O为球心，则O AH连结BH, BO3Q AO BOABO BAO= BOH 2J J在Rt V ABH中，tan BH T a.2AH 飞—Ta3在Rt V OBH中, tan 2BH V a、3aOH r 3rQ tan 2 2 tan tan 2,3a~zT2 2,6 72" a,6 —a 12作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心，高h AH 纬，设0为球心，则。
AH连结BOCODO方法三：（分割等体积）得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则Z O BCD V A BCD,即4拖1 严,1… 1 .6r AH h a,4 4 12& -.6R h r a a a.3 12 4方法四：（侧棱、高相似或三角）作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心,V AMO :V AHB,AM AOAH AB 在 Rt V ABH 中，cos AHAB在 Rt V AMOK cos 高h AH -I a ，设O 为球心，则O AH 3设M 是AB 的中点，连结OMOBBH,Q AO BO OM ABAMO AHB Rt , 又 MAO HAB ,2-la 3 12或：设 BAH MAO ，贝UaAM 2AO R.6—a 3a方法五：（斜高、高相似或三角）作AH 平面BCDT H 点，则点H 是V BCD 勺中心，高h AH -ia ，设O 为球心，贝U O AH 3设E 为BC 中点，连结AEEH ，作ON AE 于 N 点，则N 是V ABC 中心，N 是AE 的三等分点,ON 平面ABC or是内切圆半径r,且Rt V ANO: Rt V AEHAN AO 即3-AH AE ， R 3 a 23 4 12在 Rt V AEH 中，cos AHAE在 Rt V ANO 中，cos ANAO fa 以下同上.方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作AH 平面BCDT H 点，则点H 是V BCD 勺中心,高h AH 6a ，设O 为球心，贝U O AH3 设E 为BC 中点，连结AEDEDO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，H DE 且DN 平面ABC则 Rt V ODH : Rt V DNEN E DE 刚 OH NE 1 r 1即 = —— R 3rOD DE 3， R 3， 又R rAH h .6 a, 3，则2◎a32r4h存，R3h4或：在Rt V DNEK sin NDENE 1 DE 3在Rt V DOH中, sin NDE sinODH OH,OHOD3r.AH h◎a,12方法七: （构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为则正方体的棱长为a.正方体的体对角线等于外接球直径，有R T a,r h R T a空a 空a.4 12方法八：（相交弦定理）设外接球球心为0，半径为R，过A点作球的直径,交底面V BCD于H，贝U H为V BCD的外心，求得6 3A H訂BH亍，由相交弦定理得3 a) (T a)2解得R 孚a.4r h R 迈a 迈a -la.3 4 12以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的•。
外接球半径二级结论
外接球半径二级结论
外接球是指一个四面体的四个顶点恰好在一个球面上，这个球
称为外接球。
外接球的半径可以通过四面体的体积和三条棱长来计算。
根据二级结论，外接球的半径R可以通过以下公式计算，R = (abc) / (4V)，其中a，b，c分别为四面体的三条棱长，V为四面
体的体积。
另外，外接球的半径也可以通过四面体的各个面的面积来计算。
具体而言，如果四面体的各个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，那
么外接球的半径R可以通过以下公式计算，R = (S1 S2 S3
S4)^(1/2) / (8V)，其中V为四面体的体积。
从几何角度来看，外接球的半径也可以被视为四面体各个顶点
到外接球球心的距离。
在实际问题中，计算外接球的半径可以帮助
我们理解四面体的几何特性，以及在工程、建筑等领域中的应用。
四面体外接球半径公式
四面体外接球半径公式
四面体外接球半径公式是指计算四面体外接球半径的数学公式。
这种公式可以用来确定一个四面体的外接球半径，它是三角形的一个扩展，主要用于三维几何数学中。
四面体外接球半径公式可以用来计算一个四面体的外接球半径（R）。
它通过以下公式来计算：
R=a*√3/2
其中a是四面体的每个面的边长。
四面体外接球半径公式可以用来计算一个四面体外接球的体积，以及四面体的表面积。
根据外接球半径，可以推导出体积公式和表面积公式，计算四面体的体积和表面积。
四面体外接球半径公式还可以用来计算四面体的重心，重心是指四面体三角形的重心，它的位置取决于四面体的形状。
四面体重心的计算也可以通过该公式来完成。
四面体外接球半径公式是一种简单、实用的公式，可以用来计算四面体外接球半径和其他物理参数，为后续计算提供了基础。
特别是在三维几何数学中，该公式可以极大程度地提高几何计算的准确性和精度，为工程计算提供了有力的支持。
高等数学求四面体公式
高等数学求四面体公式
四面体是由四个面和四个角组成的，其中每个面都是三角形。
四面体
的公式涉及到体积、表面积、外接球半径、内切球半径以及距离等多个方面。
1.体积公式：
四面体的体积可以用以下公式表示：
V=(1/6)*，(a-d)·(b-d)×(c-d)
其中V表示四面体的体积，a、b、c、d分别是四面体四个顶点的坐标。
2.表面积公式：
四面体的表面积由所有的面积之和组成，可以用以下公式表示：
S=(1/2)*[S1+S2+S3+S4]
其中S表示四面体的表面积，S1、S2、S3、S4分别是四个三角形面
的面积。
3.外接球半径公式：
四面体的外接球半径可以用以下公式表示：
R=a/(4*V)
其中R表示外接球半径，a表示四面体的边长，V表示四面体的体积。
4.内切球半径公式：
四面体的内切球半径可以用以下公式表示：
r=(3*V)/(S
其中r表示内切球半径，V表示四面体的体积，S表示四面体的表面积。
5.距离公式：
对于四面体的任意两个顶点A(X1,Y1,Z1)和B(X2,Y2,Z2)，可以通过以下公式计算它们的距离：
d=√[(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2]
其中d表示AB两点之间的距离。
以上公式是四面体的基本公式，通过这些公式我们可以计算四面体的各项属性。
对于特定的四面体问题，还可以应用其他的几何知识来进行求解。
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四面体外接球的球心、半径求法
在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为
2
2
2
c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2
2
22c b a R ++=
【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=
1663142
2
22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S
二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
A C
D
B
E
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，
5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22
210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，
在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==
所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心
52
1
==
AC R 所以该外接球的体积为3
500343π
π==R V
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，
2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系
)000(，，
A )002(，，
B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，-C
O
A
B
C
P
A
B
C
D
z
x
y
设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知
222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x
222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 13
31==
=z y x
所以半径为3
21
1331222=
++=）（R
【结论】：空间两点间距离公式：2
21221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=
四、四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为
a 4
6。