四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法

在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为

2

2

2

c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2

2

22c b a R ++=

【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=

1663142

2

22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

A C

D

B

E

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，

5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22

210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，

在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==

所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心

52

1

==

AC R 所以该外接球的体积为3

500343π

π==R V

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解

【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，

2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系

)000(，，

A )002(，，

B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，-C

O

A

B

C

P

A

B

C

D

z

x

y

设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知

222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x

222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 13

31==

=z y x

所以半径为3

21

1331222=

++=）（R

【结论】：空间两点间距离公式：2

21221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=

四、四面体是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，

根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为

a 4

6

。