组合数学作业讲解

2011-9-6
离散数学
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习题一
[1.38] 给出 r +r +1 +r + 2 +... +n = n+1 的组合意义？ 的组合意义？
组合意义一： 组合意义一：
r r r
r r +1
从{a1, a2, … , an+1}不可重复的取r +1个的组合数为 n+1 不可重复的取r +1个的组合数为
1 a − a 2a − 1 a 0 a0 + (a1 − 6a0 ) x 2 1 0 2 1 G( x) = = + 2 1 − 4x 1 − 2x 1 − 6x + 8x ∞ ∞ 1 a − a ) (4x)n + (2a − 1 a ) (2x)n =( 1 0 ∑ ∑ 0 2 2 1 n=0 n=0 ∞ = ∑[( 1 a1 − a0 )4n + (2a0 − 1 a1 )2n ]xn 2 n=0 2 ∴ an = ( 1 a1 − a0 )4n + (2a0 − 1 a1 )2n 2 2
习题三 [2.18(a)] a −6a +8a = 0 n n−1 n−2 解:设 G( x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ...... 则 D( x) = 1 − 6x + 8x2
D( x) G( x) = (1 − 6x + 8x2 )(a0 + a1 x + a2 x2 + ...) = a0 + (a1 − 6a0 ) x
2011-9-6 离散数学 11
习题二 [2.54] 8台计算机分给3个单位，第1个单位的分配量不超过3台， 8台计算机分给 个单位， 台计算机分给3 个单位的分配量不超过3 第2个单位的分配量不超过4台，第3个单位的分配量不超过5台， 个单位的分配量不超过4 个单位的分配量不超过5 问共有几个分配方案？ 问共有几个分配方案？ 解： (x) = (1+ x + x2 + x3 )(1+ x + x2 + x3 + x4 )(1+ x + x2 +... + x5 ) G
中x 系 为 其 8的 数 中 3+8-1 -3+4-1 -3+ 3-1 -3+ 2-1 8 4 3 2 = 45-15-10- 6 =14
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1− x 1− x 1− x = ⋅ ⋅ 1− x 1− x 1− x 4 5 6 9 1− x − x − x + x +... = (1− x)3
1 1− x2 （2） G x) = −x − x3 − x5 −... = − x ( 2 1− x
（3）G x) =1− x + x2 − x3 + x4 − x5 +... = (
1 1+ x
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2011-9-6
离散数学
∞ 1+ x [2.12]已知 [2.12]已知 an = ∑k2， ，求序列{ = ∑(n+1)2xn 求序列{an}的母函数 3 (1− x) n=0 k=1 是序列{ 的母函数， 解：令 B(x) = 1+ x 是序列{bn}的母函数， (1− x)3 即有 bn = (n+1)2 n+1
组 合 数 学
主 讲 教 师: 万 涛
习题一 [1.2] 5个女生，7个男生进行排列。 5个女生 个男生进行排列。 个女生， (a)若女生在一起有多少种不同的排列？ (a)若女生在一起有多少种不同的排列？ 若女生在一起有多少种不同的排列 (b)女生两两不相邻有多少种不同的排列？ (b)女生两两不相邻有多少种不同的排列？ 女生两两不相邻有多少种不同的排列 (c)两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？ (c)两男生 两男生A 之间正好有3个女生的排列是多少？ 解： (a)将5个女生看做一个整体。 (a)将 个女生看做一个整体。 所求为8 所求为8！5！ (b)先排7个男生，5个女生选择8个间隔位中不同位置排列。 (b)先排 个男生， 个女生选择8个间隔位中不同位置排列。 先排7 所求为7 P 所求为7！ 58 (c)取 个女生与AB（ BA）构成一个整体， (c)取3个女生与AB（或BA）构成一个整体， 然后与余下的7人进行排列。 然后与余下的7人进行排列。 所求为2 P 所求为2！ 35 8！ C 7 + 2 − 1 5！ 或6！2！ 2
r +( n −1 − 解：所求为 C n − r n − r )−1 = C n − r = C rn−11
2011-9-6
离散数学
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习题一 [1.22] 求从O到P的路径数？ 求从O 的路径数？ (a)路径必须过A点； (a)路径必须过 路径必须过A (b)路径必须过道路 ； (b)路径必须过道路AB； 路径必须过道路AB (c)路径必须过A和C； (c)路径必须过 路径必须过A (d)道路 封锁 (d)道路AB封锁(但A、B两点开放)。 道路AB封锁( 两点开放) O (a)按 →P路径 路径， 解：(a)按O→A →P路径，
n (1)含a1的组合数为 (1)含
将上述组合问题分为n +1类 将上述组合问题分为n-r +1类：
r +1
r n−1 (2)不含a1含a2的组合数为 r (2)不含 不含a n−2 (3)不含a1a2，含a3的组合数为 (3)不含 不含a r
2011-9-6
离散数学
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习题一 [1.27] 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐， 6位男宾 位女宾围一圆桌而坐， 位男宾， (a)女宾不相邻有多少种方案？ (a)女宾不相邻有多少种方案？ 女宾不相邻有多少种方案 (b)所有女宾在一起有多少种方案？ (b)所有女宾在一起有多少种方案？ 所有女宾在一起有多少种方案 (c)一女宾A和两位男宾相邻有多少种方案？ (c)一女宾 和两位男宾相邻有多少种方案？ 一女宾A 解：(a)先圆排列男宾，然后女宾在间隔位排列 (a)先圆排列男宾 先圆排列男宾， 所求为 5! P56 = 86400 (b)女宾看做一个整体，所求为 6!⋅ 5! = 86400 (b)女宾看做一个整体， 女宾看做一个整体 (c)选择两位男宾和女宾 组成一个整体， (c)选择两位男宾和女宾A组成一个整体， 选择两位男宾和女宾A 所求为 P26 ⋅ 8! = 1209600
n=0 n=0 ∞ n=0 ∞ ∞
3+78x ，求序列{an}。 求序列{ 1−3x−54x2
∴ an = 7⋅ 9 +(−1) 4⋅ 6
n
n+1
n
2011-9-6
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习题二 [2.8] 求下列序列的母函数 （1）1，0，1，0，1，0，…… （2）0，－1，0，－1，0，－1，…… ，－1 ，－1 ，－1 （3）1，－1，1，－1，1，－1，…… ，－1 ，－1 ，－1 解：（1）G x) =1+ x2 + x4 +... = ：（1 (
n
2 所以非齐次递推关系的通解为 a = A + A n + 5 n2 n 1 2 2 代入初始值 a = 1, a = 2后，得到方程组 0 1
A1 = 1 A1 = 1 A A 5 2 ⇔ A = − 3 1+ 2+2= 2 2 所以递推关系的解为 a = 1 − 3 n + 5 n2
4 5 6
习题三 [2.18(a)] a −6a +8a = 0 n n−1 n−2
解:特征方程为 x2 − 6x + 8 = 0 特征根 r1 = 2 , r2 = 4 递推关系通解an = A1 2n + A2 ⋅ 4n（其中A1 , A2为待定常数） 为待定常数）
2011-9-6
离散数学
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2011-9-6 离散数学 2
习题一 [1.8] 求1040和2030的公因数数目？ 的公因数数目？ 解： 1040＝240×540 2030＝260×530 1040和2030 的最大公约数为240×530 的最大公约数为2 1040和2030 的公因数数目也即240×530的因子数 的公因数数目也即2 所求为(40+1)(30+1)=1271 所求为(40+1)(30+1)=1271 [1.16] n个完全一样的球放到r个有标志的盒(n≥r)中，无一空盒， n个完全一样的球放到 个有标志的盒(n≥r)中 无一空盒， 个完全一样的球放到r 试求方案数？ 试求方案数？
2011-9-6 离散数学 6
习题一
[1.38] 给出 r +r +1 +r + 2 +... +n = n+1 的组合意义？ 的组合意义？
组合意义二： 组合意义二：
r r r
r r +1
从(0, 0)到(r+1, n-r)的路径数=从(0, 0)经过所有点 (r, i)与 0)到 n-r)的路径数 的路径数= 0)经过所有点 i)与 (r+1, i)之间的边的路径数之和(其中0≤i ≤n-r) i)之间的边的路径数之和 其中0≤i ≤n之间的边的路径数之和( (r, n-r) y (r+1, n-r) r+1, (r, n-r-1)
n
将其代入 a −2a +a = 5 ，得 A= 5 n n−1 n−2
来自百度文库
习题二
则 an =
∑k = ∑b
2 k=1 i=0
n+1
n
i
由母函数性质3 由母函数性质3知
B(x) 1+ x 序列{ 序列{an}的母函数 A x) = ( = 1− x (1− x)4
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习题二
∞ 1+ x [2.12]已知 [2.12]已知 an = ∑k2， ，求序列{ = ∑(n+1)2xn 求序列{an}的母函数 3 (1− x) n=0 k=1 n+1
(0, 0)
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(r, 1) (r, 0) x
离散数学 7
习题二 [2.3] 已知母函数 G x) = ( 解：
3+78x 7 −4 G(x) = = + 2 1−3x −54x 1−9x 1+6x = 7∑(9x)n +(−4)∑(−6x)n = ∑(7⋅ 9n +(−1)n+14⋅ 6n)xn
2011-9-6 离散数学 14
习题三 [2.24] 设 an −2an−1 +an−2 = 5, a0 =1, a1 = 2，求解递推关系？ 求解递推关系？
解:特征方程为 x2 − 2x + 1 = 0，解得特征根 r = r = 1 1 2
对应的齐次递推关系通解 a = A + A n n 1 2 而非齐次递推关系的特解为 a∗ = An 2
... ... ... ... ... ...
n−(n−r −1) r +1 = r r (n-r)不含a1 a2 ... An-r -1含An-r 的组合数为 不含a r (n-r +1)不含a1 a2 ... An-r含An-r +1的组合数为 r +1)不含 不含a
另解：序列{ 另解：序列{an}的母函数
A x) = a0 +a1x +a2x2 +a3x3 +... ( =12 +(12 + 22)x +(12 +22 +32)x2 +(12 +22 +32 +42)x3 +... =12(1+ x + x2 + x3 +...) + 22 x(1+ x + x2 + x3 +...) +32 x2(1+ x + x2 + x3 +...) +... 1 2 2 (1 +2 x + 32 x2 +...) = 1− x 1 ∞ 1+ x 2 n = ∑(n+1) x = (1− x)4 1− x n=0
3 5 所求为 C 2 + 2 ⋅ C 3 + 3 = 560
y
P C A B x
3 4 (b)按O→AB →P路径，所求为 C 2 + 2 ⋅ C 3 + 3 = 350 (b)按 →P路径 路径，
3 2 (c)按 (c)按O→A → C →P路径，所求为 C 2 + 2 ⋅ C 13 + 1 ⋅ C 2 + 2 = 240 →P路径 路径， 8 (d)所有路径去除(b)中路径，所求为 C 5 + 5 − 350 = 937 (d)所有路径去除 中路径 所有路径去除(b)中路径，