2020版数学高考专题突破 (8)
2022年高考数学之平面向量专题突破专题八 平面向量的极化恒等式(解析版)
2022年高考数学之平面向量专题突破专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1](1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝()A ．1B ．2C ．3D ．5答案A解析通法由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2)(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．答案－16解析因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是 AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝()A ．13B ．7C ．5D ．3答案C解析连接AP ，BP ，则PM →＝PA →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(PA →＋AM →)·(PB→－AM →)＝PA →·PB →－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案32解析连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5)(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF→＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案78解析极化恒等式法设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b )BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝(2a －c ，2b )·(2a －c ，2b )＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．答案4解析过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=uu u r uuu r uu u r uu u r ，AC ⋅uuu r2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-uu u r uu u r uuu r，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=uuu r uu u r．【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝()A ．1B ．116C ．14D ．－123．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____．A ．0B ．2C ．3D ．65．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于()A ．16B ．29C ．1318D ．136．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于()A ．89B ．109C ．259D ．2697．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是()A ．44B ．22C ．24D ．728．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC→＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →＝________．10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC→＝15．则AC →·BD →的值为________．考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98解析a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，<a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析坐标法以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)，则AB →＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3)，从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52，即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤(b ＋c )24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →)max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是()A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2x 2－34≥2×＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二(几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →．图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →＝34，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴PA →·(PB →＋PC →)＝2PD →·PA →＝2|PM →|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________．答案[－2，6]解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：PA →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以PA →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为_____．答案5－213解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θθ则PC →·PA →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·PA →取得最小值，为5－213．极化恒等式法设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·PA →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·PA →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·PA →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案23解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·|BC →|·2h ＝2⇒|BC →|＝2h ，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →22－14BC →BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h 2≥23(当且仅当|PM →|＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为()A ．－14B ．－13C ．－12D ．－12．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是()A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________．7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______．8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上的一个动点，延长AE 交圆O 于点F ，则FA →·FB→的取值范围是________．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则PA →·PB →的取值范围为_________．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C→，则()A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________．15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________．18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1](1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝()A ．1B ．2C ．3D ．5答案A解析通法由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2)(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．答案－16解析因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是 AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝()A ．13B ．7C ．5D ．3答案C解析连接AP ，BP ，则PM →＝PA →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(PA →＋AM →)·(PB→－AM →)＝PA →·PB →－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－PA →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案32解析连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5)(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案78解析极化恒等式法设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b )BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝(2a －c ，2b )·(2a －c ，2b )＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．答案4解析过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=uu u r uuu r uu u r uu u r ，AC ⋅uuu r2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-uu u r uu u r uuu r，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=uuu r uu u r．【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．1．答案1解析取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－|AO |2＝12－14x 2＝1．2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝()A ．1B ．116C ．14D ．－122．答案B解析取AO 中点Q ，连接PQ ，AP →·OP →＝PA →·PO →＝PQ 2－AQ 2＝516－14＝116．3．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．3．答案9解析因为AB →·AD →＝AO →2－OD →2＝9－OD →2＝－7⇒OD →2＝16，所以BC →·DC →＝CO →2－OD →2＝25－16＝9．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____．A ．0B ．2C ．3D ．64．答案C解析如图，点A ，B 分别在直线x ＝1，x ＝3上，|AB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，AB 的中点在x 轴上，OA →·OB →＝OM →2－BM →2＝4－4＝0．5．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于()A ．16B ．29C ．1318D ．135．答案C解析解法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos60°＋12－2×13×1×12＝79，即AD ＝73，同理可得AE ＝73，在△ADE中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝79＋79－2×73×73＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE →|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318．解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得－16，所以AD →＝(－16，－32)，AE →AD →·AE →－16，－＝－136＋34＝1318．极化恒等式法取DE 中点F ，连接AF ，则AD →·AE →＝|AF |2－|DF |2＝34－136＝1318．6．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于()A ．89B ．109C ．259D ．2696．答案B解析坐标法由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则AE →AF →以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．极化恒等式法取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →＝|AM |2－|EM |2＝54－536＝109．7．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是()A ．44B ．22C ．24D ．727．答案B解析如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝EP 2－AE 2＝EP 2－16＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →，∴AE ＝2DP ，即△FAE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12＝4，FE ＝2PE ＝62，AP 2＝40，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AP 2－EP 2＝40－(32)2＝22．8．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC→＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．8．答案4解析取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，则BE ⊥AE ，∴BE ＝23．在△DEB 中．FN ∥12EB ．∴FN＝3．BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2(FN 2－DN 2)＝4．9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →＝________．9．答案－277解析由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝19，即BC ＝19，因为AB →·AC→AD 2－CD 2＝|AB |·|AC |·cos120°＝－3，所以|AD |＝72，因为S △ABC ＝2S △ADC ，则12|AB |·|AC |·sin120°＝－277．10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC→＝15．则AC →·BD →的值为________．10．答案解析极化恒等式如图，取, , , AB AC CD BD 中点, , , H I J K ，四边形ABCD 中，易知, , EF KI HJ三线共点于O ，2215154AD BC HK HI HO IO ⋅=⇒⋅==-uuu r uu u r uuu r uu r Q ，又4AC BD HE HF ⋅=⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r Q ()224HO FO -，在EFI ∆中，122EF EI FI ===Q ，由中线长公式知214IO =,从而24HO =，AC BD ⋅uuu r uu u r =14(4142-=．基向量法2EF AB DC =+uu u r uu u r uuu rQ ，22242EF AB DC AB DC ∴=++⋅uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r ， AB DC EF =又=1,，1AB DC ∴⋅=uu u r uuu r ，15 ()()15AD BC AC CD BD DC ⋅=∴+⋅+=uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu rQ ，，则2AC BD AC DC CD BD DC ⋅+⋅+⋅-uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r 15=，可化为()()515AC BD AB BC DC CD BC CD ⋅++⋅+⋅+-=uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r ，15, AC BD AB DC ⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu rAC BD⋅uuu r uu u r 故=14．考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98解析a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，<a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析坐标法以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)，则AB →＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3)，从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52，即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤(b ＋c )24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →)max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是()A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2x 2－34≥2×＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二(几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →．图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →＝34，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴PA →·(PB →＋PC →)＝2PD →·PA →＝2|PM →|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________．答案[－2，6]解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：PA →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以PA →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为_____．答案5－213解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θθ则PC →·PA →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·PA →取得最小值，为5－213．极化恒等式法设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·PA →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·PA →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·PA →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案23解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·|BC →|·2h ＝2⇒|BC →|＝2h ，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →22－14BC →BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h 2≥23(当且仅当|PM →|＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为()A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11．答案C解析PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC→＝|PD |2－|CD |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12．2．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是()A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]2．答案A解析建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0，0)，A (－2，0)，C (－1，0)，设B (2cos θ，2sin θ)．θ∈[0，2π)．则CO →·CB →＝(1，0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1，3]．故选A ．极化恒等式法连接OB ，取OB 的中D ，连接CD ，则CO →·CB →＝|CD |2－|BD |2＝CD 2－1，又|CD |2min ＝0，∴CO →·CB →的最小值为－1．|CD |2max ＝2，∴CO →·CB →的最大值为3．3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．3．答案－116解析取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB ，时，PD ＝34，即所求最小值为－116．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．4．答案16132解析第1空因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB→|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．第2空通法在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又所以DM →－1DN →所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132．极化恒等式法如图，取MN 的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →＝PD →2－MP →2＝PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD →|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．5．答案解析取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=- ，∵CM CN ⋅ 的最小值为34，∴min 1CP = ，由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小，如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH ＝1，又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14，所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________．6．答案[－9，0]解析如图，MA →·MB →＝MO →2－AO →2＝MO →2－16，∵|OG →|≤|OM →|≤|OC →|，∴7≤|OM →|≤4，∴MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______．7．答案[0，16]解析如图取CD 的中点E ，连接PE ，PC →·PD →＝PE →2－DE →2＝OE →2－2，2≤|PE →|≤25，所以PC →·PD →的取值范围为[0，16]．8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上的一个动点，延长AE 交圆O 于点F ，则FA →·FB→的取值范围是________．8．答案[0，6]解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：FA →·FB →＝|FD |2－|AD |2＝|FD |2－3，因为F 在劣弧BC 上，所以当F 在点C 处时，|FD |max ＝3，当F 在点B 处时，|PD |min ＝3，所以PA →·PB →∈[0，6]．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则PA →·PB →的取值范围为_________．9．答案[－6，10]解析极化恒等式法设AB 的中点为C ，连接CP ，则PA →·PB →＝|PC →|2－|AC →|2＝|PC →|2－15．|PC →|2－15≥25－15＝10，|PC →|2－15≤9－15＝－6．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．10．答案15解析取K 为MN 中点，由极化恒等式，AM →·AN →＝|AK |2－1，显然K 的轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK |min ＝5－1＝4，所以AM →·AN →的最小值为15．11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．11．答案32解析设D 是AB 的中点，连接CD ，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于C ´，由△ABC ´是等边三角形，∵AD ＝32，∴C ´D ＝32，则CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－(32)2≤|C ´D →|2－34＝(32)2－34＝32．∴(CA →·CB →)max ＝32．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C→，则()A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90°C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC12．答案D解析如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE ．。
2022届高考数学解三角形综合满分突破专题八 多三角形问题(解析版)
专题八 多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437， 则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2． (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长．专题八 多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437， 则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．1．解析 (1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°．在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos ∠PBA ＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74．故P A ＝72．(2)设∠PBA ＝α，由已知得PBBC＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α，即PB ＝sin α． 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α．所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34． 2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．2．解析 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β．因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1．又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4．(2)设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24．因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74． 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．3．解析 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°， ∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理可得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－2．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．4．解析 (1)在△ABC 中，AB ＝2，∠ACB ＝30°，由正弦定理可知，BC sin ∠BAC ＝2sin 30°，所以BC ＝4sin ∠BAC ．又∠ABD ＝60°，∠ACB ＝30°，则∠BAC ＋∠CBD ＝90°， 则sin ∠BAC ＝cos ∠CBD ，所以BC ＝4cos ∠CBD ． (2)CD 为定长，因为在△BCD 中，由(1)及余弦定理可知，CD 2＝BC 2＋BD 2－2×BC ×BD ×cos ∠CBD ＝BC 2＋4－4BC cos ∠CBD ＝BC 2＋4－BC 2＝4，所以CD ＝2．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．5．解析 设∠CED ＝α．因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3．(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217．(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α， 所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714． 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47． 6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．6．解析 (1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13， 因为∠D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223． 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝2． (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝23，因为BC ＝23，AC sin B ＝AB sin ∠ACB ，所以23sin B ＝AB sin (π－2B )＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ， 所以AB ＝4．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2．(1)求AD 的长；(2)求△CBD 的面积．7．解析 (1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255， 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55． 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝5．(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55． 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45， ∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD ．在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD ＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58． 8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长． 8．解析 (1)△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×BC ×22＝12，得BC ＝2． 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即AC 2＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5，得AC ＝5． 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin ∠ABC ，即2sin ∠CAB ＝5sin 3π4，所以sin ∠CAB ＝55． (2)由题设知∠CAB ＜π2，则cos ∠CAB ＝1－sin 2∠CAB ＝1－15＝255， 因为AB ⊥AD ，所以∠DAC ＋∠CAB ＝π2．所以sin ∠DAC ＝cos ∠CAB ＝255． 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠DAC ，即5sin π6＝CD 255，解得CD ＝4．。
2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第八卷答案解析(9页)
2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第八卷3月一模精选基础卷（第8卷）1.已知集合{}{}2|20,|1A x x x B x x =-<=≤，则A B =U （ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．[)1,2-D ．[]1,1-【答案】C【解析】由题,因为220x x -<,解得02x <<,则{}|02A x x =<<, 因为1x ≤,解得11x -≤≤,则{}|11B x x =-≤≤, ∴{}|12A B x x =-≤<U 故选:C.2.设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ． B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1)【答案】D【解析】设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以22(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足， 故选：D.3.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则圆心(),a b 到直线0x y +=的距离等于半径=2a b +=，即2a b +=±.充分性：若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则2a b +=±，充分性不成立； 必要性：若2a b +=，则直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，必要性成立. 故p 是q 的必要不充分条件. 故选B.4．已知双曲线2213y x m -=m 的值为（ ）A ．1B ．65C D ．9【答案】A【解析】双曲线2213y x m -=的离心率为e ==1m =. 故选A.5.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A B C D 【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 故选B.6.ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，||1a =r，||2b =r 则CD =u u u r （ ）A ．2133a b +r rB ．1233a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +r r【答案】A【解析】由题意，因为CD 平分ACB ∠，可得12BD BC AD AC ==,又因为AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r，所以222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，所以22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ．故选A ．7.执行如图所示的程序框图，若输入的25t =-，则输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】输入25t =-,初始值1,0,1S n m ===. 第1次循环：0,2,1S m n ===,?S t >判断为“是” 第2次循环：2,4,2S m n =-==,?S t >判断为“是” 第3次循环：6,8,3S m n =-==,?S t >判断为“是” 第4次循环：14,16,4S m n =-==,?S t >判断为“是” 第5次循环：30,32,5S m n =-==,?S t >判断为“否”. 输出5n =. 故选：C8.函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x = D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图像可知2A =,且周期为236πππ⎡⎤⎛⎫⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故22πωπ==,故()2cos(2)f x x φ=+. 又()23f π=可得22,3k k Z πφπ⨯+=∈,又||φπ<,故23πφ=-. 故2()2cos(2)3f x x π=-. 所以()g x 的解析式为22cos 22cos 22sin 21232x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C9.5)a 的展开式中x 项的系数为270，则12ax dx =⎰__________．【答案】1【解析】)5a 展开式的通项为5215rr r r T C xa -+=，令512r-=得3r = )5a 的展开式中x 项的系数为335270C a =，解得3a =，12ax dx =⎰123103|1x dx x==⎰，故答案为1.10.已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为截面的面积为8，则圆锥的侧面积为__________.【答案】【解析】设圆锥母线长为l ，由△SAB为等边三角形，且面积为所以21sin 23l π=l =4；又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8，得rh =8； 又2216r h +=，解得r h ==所以圆锥的侧面积4S rl ππ===g故答案为：．11.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 【解析】（1）∵2b ac =，21111224S ac b =⨯==，2b =， ∴21n a n =-，*n N ∈. （2）∵11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴111111111123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ∵n T 是关于n 的增函数*n N ∈，，∴1132n T ≤<. 12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB BC ===，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求平面11AB D 与平面1AEC 所成二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图，连AC BD 、相交于点O ，连OF ，11//,2,//,FO BB FO BB FO BE FO BE =∴=Q ，四边形BEFO 为平行四边形，可得//EF OB ，OB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，//EF 平面ABCD .（2）以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r方向分别为x y 、、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标分别为()()()()0,0,01,0,00,1,01,1,1D A C E 、、、，()()()()11111,0,2,1,1,2,0,1,20,0,2A B C D 、.设平面1AEC 的法向量为()()()1,,,1,1,2,0,1,1m x y z AC AE ==-=u r u u u u r u u u r， 有1200m AC x y z n AE y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩u u u u v v u u u v v ，取1,1,1x y z =-==-，有()1,1,1m =--u r ； 设平面11AB D 的法向量为()()()111,,,1,1,0,1,0,2n a b c D B AD ⋅==-r u u u u r u u u u r，有111020n D B a b n AD a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，取2,2,1a b c ==-=，有()2,2,1n =-r ；有5,3,cos m n m n m n ⋅=-==〈⋅〉==u r r u r r u r r ， 故平面11AB D 与平面1AEC9=. 13.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+. 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值. 【解析】（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.14.已知0a b c >>>，且231a b c ++=，求证： （1）11112348a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）2228271a b c ++< 【解析】证明：（1）111112132332123a b c b c a c a ba b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g g g48≥=； （2）由0a b c >>>，可知222,,ab b ac c bc c >>>，于是：()2222123494612a b c a b c ab ac bc =++=+++++222222222494612827a b c b c c a b c >+++++=++.。
2023届高考二轮专题突破讲义：函数方程不等式之同构法
专题突破之——同构法解函数（方程、不等式）综合问题【关于同构的认识】同构即结构形式相同．对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．这种题目，实际上是命题人将原先形式明显、规整的式子，打乱重排而形成的一类题目．我们需要对这个看似杂乱无章的式子进行整合变形，使其显现原型，进而借助函数的性质进行处理．当然有些等式也可借助同构的思想进行处理．【一个等价转换】已知函数()f x 在区间[,]a b 上单调递增，则1212()()f x f x a x x b <⇔≤<≤【黄金变换】1.对数恒等式log log a x x a a x a ==，ln ln x x e x e ==,2.常见变形ln x x x xe e +=,22ln x x e =,22ln x x x x e e +=,ln ln ln x x x e x +=+,ln()ln()ln()x a x a x a e x a ++++=++【高考真题】1.(2020‧新课标卷Ⅱ文数‧12)若2233x y x y ---<-，则（）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y-----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23x xf x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233x yx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．2.(2020‧新课标卷Ⅰ理数‧12)若242log 42log aba b +=+，则（）A.2a b >B.2a b< C.2a b > D.2a b <【答案】B【解析】由指数与对数运算可得22422log 42log 2log abba b b +=+=+，又因为2222222log 2log 22og ()1l bb b b b b +<+=++，即2222log 2log (2)aba b +<+，令2()2log xf x x =+，由指对函数单调性可得()f x 在(0,)+∞内单调递增，由()(2)f a f b <，可得2a b <，故选B.3.【2020‧全国Ⅰ卷‧22】已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞【解析】（1）略（2）（同构转化）()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111xh x x x-=-='在()0,1上'()0,()h x h x >单调递增；在(1,)+∞上'()0,()h x h x <单调递减，∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,)+∞.4.【2021全国新高考Ⅰ.22】已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】（1）略（2）（同构转化，极值点偏移）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.往证122x x e <+<，过程从略.【模拟试题】1.（2021‧八省模拟高考‧8）已知5a <且55,4a ae e b =<且44,3b be e c =<且33c ce e =，则（）A.c b a <<B.b c a<< C.a c b<< D.a b c<<【答案】D【解析】因为5e 5e ,5a a a =<，故0a >，同理0,0b c >>，令(),0xe f x x x =>，则()()21x e x f x x-'=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，因为5e 5e ,5aa a =<，故5e e 5aa=，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()3f f c =因为()()()543f f f >>，故()()()f a f b f c >>，所以01a b c <<<<.故选：D ．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．2.(2022‧T8联考‧8)设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若a e a +1＋b <b ln b ，则A ．ab ＞eB ．b >e a +1C ．ab ＜eD ．b <e a +13.(2022‧湖北十一校第一次联考‧16)已知函数()e xf x x =-，则()f x 的单调递增区间为________；若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 2e 1xx ax+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,)+∞(填[)0,+∞亦可)；1(,]2-∞【解析】'()e 1xf x =-,令'()0f x >,得()f x 的单调递增区间(0,)+∞(或[)0+∞，亦可);ln 2e 1x x ax+-≥可化为2e ln x a x x x ≤⋅--.设()e ln (0)x g x x x x x =⋅-->法一：(e 1)(1)'()(0)x x x g x x x⋅-+=>，记()e 1x x x ϕ=⋅-，显然()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，由零点存在性定理可知存在o x ，使()e 10o x o o x x ϕ=⋅-=，则可知()g x 在(,)o x -∞上单调递减，在(,)o x +∞上单调递增，则()()e ln o x o o o o g x g x x x x ≥=⋅--=11ln11e oo o ox x x x --=-+=，则21a ≤，故12a ≤.法二：()e ln x g x x x x =⋅--=ln e e ln x x x x ⋅--=ln e (ln )x x x x +-+，设ln t x x =+，则()e t g t t =-，由第一空可知0()(0)e 01g t g ≥=-=，则21a ≤，故12a ≤.法三：易证得+1x e x ≥，则()ln x g x e x x x =⋅--=(ln )x lnx e x x +-+≥ln 1(ln )1x x x x ++-+=,则21a ≤，故12a ≤.4.【圆创教育2022届第二次联考‧8】已知,,(1,)a b c ∈+∞．且2ln 22ln 12a a --=，212ln 1e b b --=，2ln π2ln 1πc c --=，则（）A.b a c >>B.b c a >>C.a b c >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln x g x x=和()()22ln 11f x x x x =-->，利用导数分别判断其单调性，由ln e ln πln 2e π2>>即可得()()()f b f c f a >>，最后可得b c a >>.【详解】令()ln x g x x =，则()21ln xg x -'=，即()g x 在()e,+∞上单调递减，∴ln e ln πln 4e π4>>，即ln e ln πln 2e π2>>，设()()22ln 11f x x x x =-->，则()()221220x f x x x x-'=-=>，即()f x 在()1,+∞上单调递增，又∵()()()f b f c f a >>，∴b c a >>.故选：B .5.[2022武汉二调‧22]已知函数11()|ln |,()|ln()|x x f x a x x g x e e a ax x ax-=++=+--，其中0a >.(1)当1a =时，求1'('()f e f e 的值；(2)讨论()g x 的零点.【解析】【典例精析】例1．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,4]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是______________．【答案】)+∞【解析】由题意可知22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()f x 在R上单调递增，()2()())f x a f x f x a f x a +≥⇔+≥⇔+≥，即1)0x a -+≤任意的[,4]x a a ∈+恒成立，所以1)(4)0a a ++≤，解得a ≥例2.已知函数()f x 时定义在R 上不恒为0的偶函数，且对任意实数x 都有(1)()(1)x f x xf x +=+，则2021(_______.2f =【答案】0【解析】条件可变形为()(1)1f x f x x x +=+于是20212019201711()()()()()222222021201920171122222f f f f f -===⋅⋅⋅==-得11(()22f f -=-，而()f x 为偶函数1111()()(()02222f f f f ∴-=∴-==故2021()02f =.例3.设方程24xx +=的根为m ，设方程2log 4x x +=的根为n ，则_______.m n +=【答案】4【解析】令()2xf x x =+，则2()(log )4f m f n ==，而()f x 在R 上单调递增，故2log m n =，又由得24mm +=即24m m =-，故2log (4)m m =-22log (4)log ,4,4m n m n m n ∴-=∴-=+=.例4.已知关于x 的方程212221x ax x ax +-=-+-，当132x ≤≤时有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为____________.【答案】5[2,]2【解析】221212221212x ax x ax x ax x ax ++-=-+-⇔++=+令()2xf x x =+，函数()f x 在R 上单调递增故21x ax +=，1a x x=+令1()g x x x =+，221(1)(1)'()1x x g x x x +-=-=1(,1)2x ∈，'()0g x <，()g x 递减；(1,3)x ∈，'()0g x >，()g x 递增；15()22g =，(1)2g =，10(3)3g =故a 的取值范围为5(2,]2.例5.已知,[,44x y ππ∈-，且满足33sin 20,4sin cos 0x x m y y y m +-=++=，则cos(2)x y +=（）A.1- B.0C.12D.1【答案】D【解析】由33sin 20,4sin cos 0x x m y y y m +-=++=得33sin (2)sin(2)2x x y y m +=-+-=，而函数3()sin f x x x =+在[,]22ππ-上单调递增故2x y =-，即20x y +=，所以cos(2)1x y +=.例6.若ln x ae x a -≥+对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(,1]-∞【解析】ln ln ln ln x ax a x a x ex a e x a x x e x a e x ---≥+⇔+-≥+⇔+-≥+令()tf t e t =+，则不等式等价于()(ln )f x a f x -≥而()f t 是R 上的增函数，所以ln x a x -≥，ln a x x≤-记()ln g x x x =-，11'()1x g x x x-=-=，01x <<时，'()0g x <，()g x 递减；1x >时，'()0g x >，()g x 递增；所以()(1)1g x g ≥=所以1a ≤.例7.【多选题】下列不等关系中正确的是2ln 32ln 3.sin 33sin1cos1.sin 33sin1cos1B C D <><>【答案】BC【解析】考察函数ln ()xf xx =知在(0)e ，上单调递增，故(2)f f >，即ln 22>，2ln 3>，故选项B 正确；考察函数sin ()x g x x =知在()2ππ上单调递减，故(2)(3)g g >，即sin 2sin 323>，可得sin 33sin1cos1<，故选项C 正确；【强化训练】1.已知实数12x x ，满足135122,(ln 2)xx e e x x e =-=，则12______.x x =【答案】5e【解析】522(ln 2)x x e -=即3222(ln 2)x x e e -=，即2ln 232(ln 2)x x e e --=令()x f x xe =，则312()(ln 2)f x f x e=-=0x <时()0f x <；0x <时()0f x >且单调递增；故12ln 2x x =-，又由31()f x e =即131xx e e =两边取自然对数得11ln 3x x +=可得12ln ln 5x x +=，故512x x e =.2.已知正实数lnlg x yy x>，则（）1.ln ln(1).ln(1)lg .32.21x y x y A x y B x yC D -->++><>【答案】D【解析】ln lg ln ln lg lg ln lg ln lg x yx y y x x x y y y x>⇒->-⇒+>+设()ln lg f x x x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增故()()f x f y x y>⇒>故选项D 正确.3.若2222log log 41a a a b b b -+=-++，则A.2a b > B.2a b< C.21a b >+ D.21b a >+【答案】A【解析】2222log log 41a a a b b b -+=-++可化为2222log log (2)2(2)a a a b b b b-+=-++令22()log f x x x x =-+，则()(2)f a f b b=+1'()211210ln 2f x x x =+-≥>-=故()f x 是(0,)+∞上的递增函数而0b >，故()(2)f a f b >故2a b >.4.若1201x x <<<则A.2121ln ln xxe e x x ->- B.1221ln ln xx e ex x ->-C.1221xx x e x e > D.1221xx x e x e<【答案】C 【解析】A 选项：21212121ln ln ln ln xxxxe e x x e x e x ->-⇔->-，令()ln xf x e x =-，则1'()x f x e x =-，21''()0xf x e x=+>，故'()f x 在R 上单调递增，而1(20,(1)102f f e =<=->，故0(0,1)x ∃∈，当0(0,)x x ∈时'()0f x <，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时'()0f x >，()f x 单调递增；即()f x 在(0,1)上不单调，从而不等式不能恒成立.B 选项：12122112ln ln ln ln xx x x e ex x e x e x ->-⇔+>+，令()ln x f x e x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而12()()f x f x <，故B 错误.CD 选项：12212121x xx x x x x e x e e e >⇔>，令()x x f x e =，则1'()x x f x e-=，故当(0,1)x ∈时'()0f x >，()f x 单调递增，从而21()()f x f x >，故C 正确D 错误.5.已知[,[0,],22m R ππαβπ∈-∈∈，且33sin 0,()cos 02m m πααββ++=-++=，则若cos()αβ+=（）A.1-B.0C.12D.1【答案】B【解析】33sin 0,()cos 02m m πααββ++=-++=即33sin 0,()sin()022m m ππααββ++=-+-+=考察函数3()sin ,()22f x x x x ππ=+-≤≤，因为2'()3cos 0f x x x =+≥，所以()f x 在[,]22ππ-上为增函数，()()2f f παβ=-由[,],[0,]22ππαβπ∈-∈有,[,]22ππαβ∈-所以2παβ=-，2παβ+=故cos()0,αβ+=故选B.6.已知ln x axe ax x ≥对一切实数1x >恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(,]e -∞【解析】ln ln ln ln axaxaaxx axe ax x xe x x xe ex ≥⇔≥⇔≥设()t f t te =，则不等式等价于()(ln )af x f x ≥而'()(1)tf t t e =+，1t <-时，'()0f t <，()f t 递减；1t >-时，'()0f t >，()f t 递增；结合函数()t f t te =的图象性质知：()(ln )af x f x ≥对一切实数1x >恒成立，等价于ln x a x ≥，即ln x a x≤记()ln x h x x =，2ln 1'()ln x h x x-=当1x >时，'()0h x >，()h x 单调递增，()(1)h x h e >=所以a e ≤.7.设实数0λ>，若对任意(0,)x ∈+∞，不等式ln 0xx e λλ-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________.【答案】1[,)e+∞【解析】ln ln 0ln ln x x x xxex e x x x e x e λλλλλλ-≥⇔⋅≥⇔⋅≥⋅记()tf t te =，则不等式等价于()(ln )f x f x λ≥'()(1)t f t t e =+,1t <-时，'()0f t <，()f t 递减；1t >-时，'()0f t >，()f t 递增；因为0x λ>，结合函数()tf t te =的图象性质知：()(ln )ln f x f x x xλλ≥⇔≥于是ln x x λ≥记ln ()x g x x =，1ln '()xg x x-=0x e <<时，'()0g x >，()g x 递增；x e >时，'()0g x <，()g x 递减；所以max 1()()g x g e e==，所以1eλ≥.8.（2022湖北八市3月联考‧22）设函数()(1)ln(1)(1)xf x e ax ax a x =---++.（e 为自然常数）(1)当1a =时，求()()xF x e f x =-的单调区间；(2)若()f x 在区间1[,1]e上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)(,1]e e +【解析】（1）()(1)ln(1)2F x x x x =---，'()ln(1)1F x x =--由'()0F x =解得1x e =+，由'()0F x >解得1x e >+，由'()0F x >解得11x e <<+，故()F x 在(1,1)e +上单调递减，在(1,)e ++∞上单调递增.（2）'()ln(1)(1)(1)ln(1)11xx af x e a ax ax a e a ax ax =----++=--+-由题意可知'()0f x ≥即ln(1)10xe a ax --+≥在区间1[,1]e上恒成立，由10ax ->得1a x >，故max 1()a x>，即a e >，不等式ln(1)10x e a ax --+≥等价于ln 11ln ln()x ae x a x x a a-+-≥-+-，即1ln()ln 1ln ln()x x a ae x a x e a--+-≥-+，记()xg x e x =+，则不等式即1(ln )(ln())g x a g x a-≥-显然()g x 在R 上单调递增，故问题转化为1ln ln()x a x a -≥-在区间1[,1]e上恒成立，即ln(1)x ax ≥-，1xe ax ≥-，1x e a x+≤，记11(),[,1]x e h x x x e +=∈，则2(1)1'()0x x e h x x --=≤，故()h x 在区间1[,1]e上单调递减，从而min ()(1)1a h x h e ≤==+，终上所述：实数a 的取值范围为(,1]e e +.。
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而O E D ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥．因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ， 而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥．因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ． 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ．由（Ⅰ）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，133BR FB ==，由余弦定理得，RD== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即332sin RDB =∠，sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29．为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)， ∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
专题08 双曲线中的参数范围及最值问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(解析版)
专题08 双曲线中的参数范围及最值问题一、单选题1．若点O 和点F 分别为双曲线2212x y -=的中心和左焦点，点P 为该双曲线上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为（ ） A．2B．2C ．12D ．32-【解析】由题意，点()0,0O，点()F ，设点(),P x y ，则2212x y -=，2212x y =-，(),2,x ⎡∈-∞+∞⎣，所以()(),,OP x y FP x y ==，所以(2222331222OP FP x x y x x x ⎛-=- ⎝⋅=+=++⎭， 所以当x =OP FP ⋅取最小值233222⎛-= ⎝⎭.故选：B. 2．过双曲线()222103x y a a-=>的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得||6AB =，若这样的直线有且只有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]()0,13,⋃+∞ B ．()()0,13,+∞C ．()0,1D ．()3,+∞【解析】若A ，B 在同一支上，当min ||AB 时AB 为双曲线的通经，即有2min 26||b AB a a==； 若A ，B 不在同一支上，则min ||2AB a =．因为6a 与2a 不可能同时等于6，所以2666a a >⎧⎪⎨<⎪⎩或2666a a<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得3a >或01a <<，故选：B3．已知0(M x ，0)y 是双曲线2222:1x y C a b-=上的一点，半焦距为c ，若||MO c （其中O 为坐标原点），则20y 的取值范围是（ ）A ．420,b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．420,a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．42,b c ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．42,a c ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】||MO c 2220a b +222200x y a b ++，又2200221x y a b -=，所以222002(1)y x a b=+，所以 22222002(1)y a y a b b ++≤+，可得4422220b b y a b c =+，故选：A 4．设双曲线)(2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为2，若以点)()(,P m n m a <为圆心的圆P 过C 的右顶点且与C 的两条渐近线相切，则OP 长的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪ ⎭⎝B ．)(0,1C ．1,12⎛⎫⎪ ⎭⎝D ．11,42⎛⎫⎪ ⎭⎝【解析】由题可得渐近线方程为by x a=±，1c =， 由于圆P 与两条渐近线都相切，则P 在x 轴或y 轴上，又圆P 过C 的右顶点，则P 在x 轴正半轴上，即)()(,00P m m a <<，圆心)(,0P m bm =，又圆半径为a m -，则由题可得a m bm -=，即1am b =+， 又221a b +=，则()()2222211211111a b b m b b b b --====-+++++， ()0,1b ∈，()20,1m ∴∈，()0,1m ∴∈，则OP 长的取值范围是)(0,1.故选：B.5．设双曲线2222:1(0,0)x y C ab a b -=>>A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两个点，M 是双曲线C 上异于A ，B 的动点，直线,MA MB 斜率分别12,k k ，若11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2k 的取值范围为（ ） A ．[24,4]--B ．31,816⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[4,24]D ．13,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设00(,)M x y 11(,)A x y ，则11(,)B x y --，那么2200221x y a b -=，2211221x y a b-=两式相减得：22220101220x x y y a b ---=，整理得：222010101222010101()()()()y y y y y y b x x x x x x a --+==--+ 即2122b k k a = ，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C ab a b -=>>所以c e a ==，所以2218b a =，故1218k k =，其中11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21113,8168k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选：D.6．已知M 、N 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上关于原点对称的两点，P 是C 上异于M 、N 的动点，设直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ．若直线12y x =与曲线C 没有公共点，当双曲线C 的离心率取得最大值时，且123k ≤≤，则2k 的取值范围是（ ） A ．11,128⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,812⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】因为直线12y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>没有公共点，所以双曲线C 的渐近线的斜率12b k a =≤， 而双曲线C的离心率c e a ==当双曲线C 的离心率取最大值时，b a 取得最大值12，即12b a =，即2a b =，则双曲线C 的方程为222214x y b b-=，设()11,M x y 、()11,N x y --、()00,P x y ，则2211222200221414x y b b x y b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得：()()()()10101010224x x x x y y y y b b +-+-=，即1010101014y y y y x x x x -+⋅=-+，即1214k k ⋅=， 又123k ≤≤，211,128k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：A.7．已知P 是双曲线22:14y x E m-=上任意一点，M ，N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若122k k +的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．16B ．32C ．1或16D ．2或8【解析】双曲线22:14y x E m -=中0m >，设()11,M x y ，()11,N x y --，()22,P x y ，则221114y x m-=，222214y x m -=，所以相减得2222121204y y x x m---=，∴221222124y y x x m -=-， 因此2221212112222121214y y y y y y k k x x x x x x m -+-=⋅==-+-．从而1221k k +≥=，所以32m =（当且仅当122k k =时取等号）．故选：B ．8．已知点()15,0F -，()25,0F ．设点P 满足126PF PF -=，且12MF =，21NF =，则PM PN -的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】因为12610PF PF -=<，所以点P 在以1F ，2F 为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为221916x y -=．由题意知M 在圆()221:54F x y ++=上，N 在圆()222:51F x y -+=上，如图所示，12PM PF ≤+，21PN PF ≥-，则()()12122139PM PN PF PF PF PF -≤+--=-+=．当M 是1PF 延长线与圆1F 的交点，N 是2PF 与圆2F 的交点时取等号．故选：C ．二、多选题9．如果双曲线2222-1(0b 0)x y a a b=＞，＞的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F P ，为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则PA PF +的值可能为（ ）A ．32B ．2C ．72D ．4【解析】由(M -在双曲线的渐近线上知，ba=(c,0)F ，由M 与F 关于b y x a ==1=-，故2c =，1a =，b =2213y x -=，设双曲线左焦点为1(2,0)F -，若P 在左支上，由双曲线定义知，112222PA PF PA PF AF +=++≥+=若P 在右支上，由双曲线定义知，112222PA PF PA PF AF +=+-≥-==则根据选项的数值大小关系知，CD 满足条件； 故选：CD10．已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线C 22:13y x -=上，下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的离心率为2B ．当P 在双曲线左支时，122PF PF 的最大值为14C ．点P 到两渐近线距离之积为定值D ．双曲线C的渐近线方程为y x = 【解析】在双曲线C 22:13y x -=中，实半轴长1a =，虚半轴长b =2c =.对于AD ，双曲线的离心率2ce a==，渐近线方程为y =，故A 正确，D 错误； 对于B ，当P 在双曲线的左支上时，12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，故()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++，当且仅当114PF PF =时，即12=PF 时等号成立，故122PF PF 的最大值为18，故B 错误； 对于C ，设00(,)P x y ，则220013y x -=，即220033x y -=，0y +=0y -=，故00(,)P x y22003344x y -==为定值，故C 正确. 故选：AC.11．已知双曲线()22*1x y n n n-=∈N ，不与x 轴垂直的直线l 与双曲线右支交于点B ，C ，（B在x 轴上方，C 在x 轴下方），与双曲线渐近线交于点A ，D （A 在x 轴上方），O 为坐标原点，下列选项中正确的为（ ） A ．AC BD =恒成立B ．若13BOC AOD S S =△△，则AB BC CD ==C ．AOD △面积的最小值为1D ．对每一个确定的n ，若AB BC CD ==，则AOD △的面积为定值【解析】设:l y kx b =+，代入22x y n -=得()222120k x bkx b n ----=，① 显然1k ≠±，()()22224410b k k b n ∆=+-+>，即()2210b n k +->，设()11,B x y ，()22,C x y ，则1x ，2x 是方程①的两个根，有12221kb x x k +=-，()21221b n x x k -+=-，设()33,A x y ，()44,D x y ，由y kx b y x =+⎧⎨=⎩得31bx k =-， 由y kx b y x =+⎧⎨=-⎩，得41b x k -=+；所以34221kbx x k +=-，所以AD 和BC 的中点重合， 所以AB CD =，所以AC BD =恒成立．故A 正确．因为AD 和BC 的中点重合为P ，所以AB CD =，又13BOC AOD S S =△△，所以13BC AD =，所以AB BC CD ==，故B 正确．设直线l 方程为x ty m =+，(1,0)(0,1),1t m ∈->，由x ty m y x =+⎧⎨=⎩得31m y t =-，由x ty m y x =+⎧⎨=-⎩得41my t -=+，OA =OD =90AOD ∠=︒，2221||||121AODm S OA OD m t==>>-△，故C 错误. 因为AB BC CD ==，所以13BC AD =，得1234x x -=-，即()229108nb k =->，所以0n >，21k >，又OA =，OD =，90AOD ∠=︒，所以2219218AODb nS OA OD k ===-△是定值．故D 正确． 故选：ABD.12．已知1l ，2l 是双曲线T ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，直线l 经过T 的右焦点F ，且1//l l ，l 交T 于点M ，交2l 于点Q ，交y 轴于点N ，则下列说法正确的是（ ） A ．FOQ △与OQN △的面积相等B ．若T 的焦距为4，则点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为14C ．若FM MQ =，则T 的渐近线方程为y x =±D ．若12,23FM FQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则T 的离心率[]2,3e ∈ 【解析】,A 由题可知，(c,0)F ，不妨记1l ：b y x a =，2l ：by x a=-．由1//l l 可得l 的方程为()b y x c a =-，与2l 的方程联立可解得2Q c x =，2Q bc y a =-，即点,22c bc Q a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．对于()b y x c a =-，令0x =，可得bc y a =-，即点0,bc N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21224FOQ bc bcS c a a=⨯⨯=△，21224OQNc bc bc S a a=⨯⨯=△，所以FOQ OQN S S =△△，所以选项A 正确； ,B 设点M 的坐标为00,x y ，则2200221x y a b-=，即22222200b x a y a b -=，所以M 到两条渐近线的222222002222b x a y a b a b a b-==++，因为T 的焦距为4，所以2c =，所以2222224a b a b a b =+，因为2242a b ab =+≥，所以2ab ≤，224a b ≤，所以22222214a b a b a b =≤+，所以点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为1，所以选项B 错误；,C 由FM MQ =得M 为QF 的中点，则03224cc c x +==，0224bc bc a y a=-=-，即点3,44c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线T 的方程得22223441c bc a a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即222c a =，又222c a b =+，所以22a b =，所以a b =，所以双曲线T 的渐近线方程为y x =±，所以选项C 正确；,D 由()b y x c a =-与22221x y a b-=，得222M c a x c +=，所以MF QF =22211221,232F M F Q c a c x x c c x x e c +--⎡⎤==-∈⎢⎥-⎣⎦-，得[]22,3e ∈，所以e ∈，所以选项D 错误． 故选：AC ． 三、填空题13．已知()00,M x y 是双曲线2222:1x y C a b-=上的一点，半焦距为c ，若MO c ≤（其中O 为坐标原点），则20y 的取值范围是___________.【解析】因为MO c ≤，所以MO ≤222200x y a b +≤+，又2200221x y a b -=，可得2222002a y x a b=+， 所以，22222222222000022a y c y x y a y a a b b b +=++=+≤+，所以，42020b y c≤≤.14．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，若动点P 在C的右支上，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，2OP OF ⋅的最小值是2a （其中O 为坐标原点），则212||||PF PF 的最小值为___________ 【解析】设(),P x y ，且x a ≥，()2,0F c ，则(),OP x y =,()2,0OF c =，因此2OP OF cx ⋅=，当x a =时，2OP OF ⋅取得最小值，且最小值为2ac a =，即2c =，所以2222ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a =，b =2PF t =（1t ≥），则12PF t =+，所以()221224448PF t t PF tt +==++≥=，（当4t t =即2t =时取等号），即212||||PF PF 的最小值为8.15．过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【解析】因为双曲线方程为222y x λ-=，则0λ≠，设()11,A x y ,()22,B x y ，因为点P 恰为线段AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ ，即直线l 的斜率为2，，所以直线l 的方程为21y x =- ， 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++=， 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点，所以()1642210λ∆=-⨯⨯+>， 解得12λ<且0λ≠，所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭16．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(5)1x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________. 【解析】如图∵双曲线的方程为221916x y -=，右焦点坐标为()25,0F ，连接22,AF MF .由双曲线的定义，得1226MF MF a -==.∴12266MF MA MF MA AF +=++≥+. 因为点A 是圆()2251x y +-=上的点，此时圆心为(0)，5，半径为1，∴2211AF CF ≥-=，∴1265MF MA AF +≥+≥，当点M ，A 在线段2CF 上时上式取等号，即1MF MA +的最小值为5. 四、解答题17．已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，， 所以1011AP k k -===. （2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-， 因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．，整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-． 所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m km y x k k k -=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -． 由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠． 所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >． 所以k 的取值范围是,2)(,0)(0,(22)(2,)-∞--+∞． 18．在平面直角坐标系xOy 内，已知双曲线Γ：2221y x b-=(0b >)，（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求b 的值；（3）若直线:21l y x =+与Γ交于A 、B 两点，且坐标原点O 始终在以AB 为直径的圆内，求b 的取值范围.【解析】（1）由双曲线Γ：2221y x b-=(0b >)可得其渐近线方程为y bx ±=，而Γ的一条渐近线方程为2y x =，故2b =即Γ的方程为：2214y x -=.（2）不妨设P 在第一象限，1F 、2F 分别为左右焦点，则122PF PF -=，()1F ，)2F而22221212=44PF PF F F b +=+，所以21224PF PF b =，所以2122PF PF b =，故12PF F △的面积为2b ，所以29b =，因为0b >，故3b =.（3）设()()1122,,,A x y B x y ，因为坐标原点O 始终在以AB 为直径的圆内， 故AOB ∠为钝角，所以0OA OB ⋅<即12120x x y y +<， 故()()121221210x x x x +++<即()12125210x x x x +++<.由222221y x b x y b =+⎧⎨-=⎩可得()2224410b x x b ----=，所以212122241,44b x x x x b b ++==---，又2040b ∆>⎧⎨-≠⎩，故()()221644102b b b ⎧+-+>⎪⎨≠±⎪⎩，故b >2b ≠.又22214521044b b b ⎛⎫+⋅-+⋅+< ⎪--⎝⎭可化简为2255840b b --++-<，该不等式对任意的b >2b ≠恒成立.故b >2b ≠.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左顶点A，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若ABC 1．（1）求双曲线E 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求MNPQ的取值范围． 【解析】（1）因为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>为等轴双曲线，所以a b =，设双曲线的焦距为2c ，0c >，故2222c a b a =+=，即c =． 因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将B x c =代入22221x y a b-=，可得B y a =，故2BC a =．将ABC 1，所以112BC AF ⨯⨯=，即()1212a a c ⨯⨯+=，所以21a =，1a =，故双曲线E 的方程为221x y -=．（2）依题意，直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，联立方程组221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 可得，()221220k x kx -+-=，所以()()()222210,24120,20,1M Nk k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=--⨯->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩解得11k -<<，且222,12.1M N M N k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 所以M N MN x =-== 联立方程组,1,y x y kx =⎧⎨=-⎩得11P x k =-，同理11Q x k =+，所以11P Q PQ x k =-=+．所以MN PQ =11k -<<，所以(MN PQ ∈． 20．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为32（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为8116，求实数k 的取值范围． 【解析】(1)焦点(),0c ±到渐近线0bx ay ±=b ==,又32c a =,∴22222954c a a b a ==+=+,∴24a =,∴双曲线C 的标准方程为22145x y -=. (2)设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠,()11,M x y ,()22,N x y , 则由22145x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,可得()2225484200k x kmx m ----=,根据题意可知2540k -≠,且()()()22284544200km k m ∆=----->,即22540m k +->①,设线段MN 的中点坐标为()00,x y ,则12024254x x km x k +==-,002554my kx m k =+=-, ∴线段MN 的垂直平分线方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭,此直线与x 轴,y 轴的交点坐标分别为29,054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,290,54m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,∴22199812545416km m k k ⋅⋅=--,化简可得()222548k m k -=②,将②代入①得()222545408k k k-+->,即()()22454850k k k --->,解得0k <<52k >,∴实数k 的取值范围是5555,,00,,2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．已知椭圆1C 的方程为2214xy +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点． (1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线:=l y kx 2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB >(其中O 为原点)，求k 的取值范围．【解析】(1)设双曲线2C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，则2234a c ＝，＝，再由222a b c ＋＝，得21.b＝故2C 的方程为2213xy -=(2)将y kx ＝代入2213x y -=，得22(13)90k x -=－－由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点，得()()()22221306236133610k k k k ⎧-≠⎪⎨=-+-=->⎪⎩22113k k ∴≠<且①，设1122()()A x y B x y，，，，则1212229,1313x x x x k k =---＋＝ (12121212(x x y y x x kx kx ∴＋＝＋()2212122371()231k k x x x x k +++=-＝＋又2OA OB >，得12122x x y y ＋＞，2237231k k +∴>-，即2239031k k -+>-，解得2133k <<②，由①②得13＜k 2＜1，故k的取值范围31,,13⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．己知等轴双曲线N 的顶点分别是椭圆22:162x y C +=的左、右焦点1F 、2F .（1）求等轴双曲线N 的方程；（2）Q 为该双曲线N 上异于顶点的任意一点，直线1QF 和2QF 与椭圆C 的交点分别为E ，F 和G ，H ，求4EF GH +的最小值.【解析】（1）由椭圆22:162x y C +=可得2c =，所以等轴双曲线N 的顶点为(20)，设等轴双曲线N 为22221x ya b-=，所以2a b ==，所以等轴双曲线N 的方程为22144x y -=；（2）设11(,)E x y ，22(,)F x y ，33(,)G x y ,44(,)H x y ,设直线1QF 的方程为2x my =-，直线2QF 的方程为2x ny =+， 由222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(3)420m y my +--=，所以0∆>显然成立，所以12122242,33m y y y y m m +==-++， 同理可得34342242,33n y y y y nn +=-=-++， 所以EFGH ==，联立直线1QF 和2QF ：22x my x ny =-⎧⎨=+⎩，解得224m n x m ny m n +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以224(,)m n Q m n m n +--， 因为Q 在双曲线上，所以222(22)1614()4()m n m n m n +-=--，解得1mn =， 所以222222221111146(4)6(4)13333m n m m EF GH m n m m +++++=+⨯=+⨯++++ 222222222222*********(4)(4)()313431311m m m m m m m m m m m m ++++++=+⨯=⨯+⨯+++++++，22221334)313m m m m ++=++⨯≥+=++.当且仅当22221334313m m m m ++=⨯++，即25m =。
高考数学专题突破学生版-空间中点线面的位置关系(考点讲析)
理
线垂直于另一个平面.
α⊥β
α∩β＝MN
ABβ AB⊥MN
AB
⊥α
【典例 16】（2019·江西临川一中高三月考（文））如图，四面体 ABCD 中， ABC 是边长为 1 的正三角形，
8
ACD 是直角三角形， ABD CBD ， AB BD .
(1)证明：平面 ACD 平面 ABC ； (2)若点 E 为 BD 的中点，求点 B 到平面 ACE 的距离. 【典例 17】（2017 课标 1，文 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 ．
根据题意，确定两异面直线各自的方向向量 a，b，则两异面直线所成角θ满足 cosθ＝ | a ·b | . | a || b |
热门考点 04 与线、面平行相关命题的判定
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义
定理
性质
图形
条件 a∩α＝∅
a α，b⊄α，a∥b a∥α
结论 a∥α
2. 面面平行的判定与性质
热门考点 03 异面直线所成的角
异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角或 直角叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
②范围： (0, ] . 2
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
4
【典例 8】（2019·北京高考真题（文））已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题八 第1讲 数学文化 Word版含答案
第1讲数学文化函数中的数学文化题[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题为()A．①③B．①③④C．②③D．①④【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A ．【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练] (2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的12，第2关所收税金为剩余持金的13，第3关所收税金为剩余持金的14，第4关所收税金为剩余持金的15，第5关所收税金为剩余持金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为( )A ．136斤 B ．130斤 C ．125斤 D ．120斤 解析：选C ．设此人持金x 斤，根据题意知第1关所收税金为x 2斤； 第2关所收税金为x 6斤；第3关所收税金为x 12斤； 第4关所收税金为x 20斤； 第5关所收税金为x 30斤． 易知x 2＋x 6＋x 12＋x 20＋x 30＝1， 解得x ＝65.则第5关所收税金为125斤．故选C ．数列中的数学文化题[典型例题](1)(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)(2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A ．17532里 B ．1 050里 C ．22 57532里 D ．2 100里【解析】 (1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎨⎧a 1＝1516，d ＝18. 所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15. 因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C ．(2)由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{a n }，则该匹马首日行走的路程为a 1，公比为12，则有a 1[1－(12)7]1－12＝700，则a 1＝350×128127，则a 1[1－(12)14]1－12＝22 57532(里)．故选C ．【答案】 (1)C (2)C(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[对点训练]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D ．因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D ．2．(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A ．507斗粟 B ．107斗粟 C ．157斗粟 D ．207斗粟 解：选C ．法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5， 解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C ． 法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C ．三角函数中的数学文化题[典型例题]《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．32 B ．34 C ．52 D ．54【解析】 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2＋1)2(2－1)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22＋3－22－522＝34，故选B ． 【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练](2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.解析：设两住宅楼楼间距实际为x m．如图，根据题意可得，tan∠DCA＝27x，tan∠DCB＝45－27x＝18x，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝27x＋18x1－27x·18x＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.答案：54立体几何中的数学文化题[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324(2) (2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．【解析】 (1)如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27. 因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B ．(2)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A -BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.【答案】 (1)B (2)12π立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等． [对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V ＝112×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2解析：选A ．设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得体积为V ＝πr 2h .由题意知V ＝112×(2πr )2×h ，所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.故选A ． 2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V ＝13πh (R 2＋r 2＋R ·r )，其中R ，r 分别表示上、下底面的半径，h 为高)( )A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解析：选A ．由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)， 则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以这一天该地的平均降雨量约为342ππ×122≈2(寸)，故选A ．算法中的数学文化题[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)()A．12B．24C．36 D．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝7，则输出的b＝()A．19 B．31C．51 D．63【解析】(1)按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B．(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C．【答案】(1)B(2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6C．7 D．30解析：选C．a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b 不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b 成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a ＝12，b ＝3，a ＝12－3＝9，n ＝4＋1＝5；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝9－3＝6，n ＝5＋1＝6；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝6－3＝3，n ＝6＋1＝7；a ＝b 成立，输出的kb ＝6，n ＝7.概率中的数学文化题[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A ．13B ．14C ．15D ．16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．136B ．118C ．112D ．19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下 田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝39＝13.故选A ．(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B ．【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．[对点训练]1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A ．111B ．211C ．355D ．455解析：选C ．不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有C 211＝55种不同的选法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为355，故选C ．2．(2019·广州市综合检测(一))刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为( )A ．b aB ．a bC ．3a bD ．3b a解析：选C ．依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3ab，选C ．一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b ＋(2c＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝⎛⎭⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B ．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________． 解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.。
2020年高中数学专题突破练8互斥事件与对立事件新人教A版必修3
专题8 互斥事件与对立事件1．事件的包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)记作B⊇A(或A⊆B)．2．事件的相等关系一般地，若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.3．互斥事件与对立事件(1)若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥．(2)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件．例1 判断下列给出的每对事件，是互斥事件还是对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．变式训练1 抛掷一个骰子(各面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，判断下列给出的每对事件，是否为对立事件．(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面数字大于4”．例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是1 4，取到方块(事件B)的概率是14，问：(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？变式训练2 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？A 级1．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( )A ．互斥不对立B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．不互斥、不对立2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为( ) A.23 B.13 C.14 D.343．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取到1支次品的概率是( )A.29B.1645C.1745D.254．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( ) A ．0.95 B ．0.97 C ．0.92 D ．0.085．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从袋中任取一球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是________．6．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．7．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．B 级8．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为( )A ．“都是红球”与“至少一个红球”B ．“恰有两个红球”与“至少一个白球”C ．“至少一个白球”与“至多一个红球”D ．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”9．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 10．下列四种说法： ①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件． 其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________．12．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．13．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ∪B )．14．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．专题8 互斥事件与对立事件典型例题例1 解 (1)是互斥事件，不是对立事件．原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件．原因：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)既不是互斥事件，也不是对立事件．原因：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 变式训练1解 (1)根据题意可作出图．由图可知：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含的结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件．(2)根据题意作图可得．由图可知，“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面数字大于4”各自所含的结果组成的集合互为补集，它们构成对立事件．例2 解 (1)因为C ＝A ∪B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥， 根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝12.(2)事件C 与事件D 互斥，且C ∪D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，P (D )＝1－P (C )＝12.变式训练2 解 设得到黑球、黄球的概率分别为x ，y ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝512，y ＋（1－13－x －y ）＝512.解得：x ＝14，y ＝16，(1－13－14－16)＝14.所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.强化提高1．C [必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．] 2．A3．C [(间接法)“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为P ＝1－8×710×9＝1745.]4．C 5.0.2 6．0.10解析 射手命中圆环Ⅰ为事件A ，命中圆环Ⅱ为事件B ，命中圆环Ⅲ为事件C ，不中靶为事件D ，则A 、B 、C 互斥，故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.90＝0.10.7.568.D 9．C [由题意知，B －表示“大于或等于5的点数出现”，事件A 与事件B －互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23.]10．D [对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A 、B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错；因A ，B ，C 并不一定是随机试验中的全部基本事件，故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错；若A 、B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件，故④错．] 11．0.3解析 因为A ，B 为互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．所以P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.12.59解析 记“没有5点或6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“至少有一个5点或6点”的事件为B .因A ∩B ＝∅，A ∪B 为必然事件，所以A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故至少有一个5点或6点的概率为59.13．解 基本事件的空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{1，2，3}，A ∪B ＝{1，2，3，5}，记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4.由题意知这四个事件彼此互斥．故P (A ∪B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.14．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝13，P （B ∪C ）＝512，P （C ∪D ）＝512，P （A ∪B ∪C ∪D ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.。
2020届江西省南昌八中高考模拟冲刺卷数学(理科)试卷八(含答案解析)
理科数学（八） 第1页（共8页） 理科数学（八） 第2页（共8页）江西南昌2020届高考模拟冲刺卷理 科 数 学（八）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x a =-+>，且1A ∉，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞C ．[0,)+∞D ．(,1)-∞2．计算()212i 1i 2+-+的值为（ ） A ．2i -B ．23i +C ．13i 2+ D ．1i 2- 3．“212++=n n n a a a 对任意正整数n 成立”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0ω>，π2ϕ<，则（ ）A ．4A =B ．1ω=C ．π6ϕ=D ．4B =5．在2012(1)n nn x a a x a x a x -=++++L 中，若2520n a a -+=，那么自然数n 等于（ ）A ．9B ．7C ．10D ．86．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知区域M 是如图的OBCDE 围成的阴影部分，则区域内的点的坐标满足x y ->1的概率 为（ ）A ．65B ．43 C ．41 D ．61 8．程序框图如图，运行此程序，输出结果b =（ ） A ．7B ．163C ．6D ．49．一个空间几何体的正视图、侧视图如下图，图中的单位为cm ，六边形是正六边形， 则这个几何体的俯视图的面积是（ ）A ．263B ．283C ．2103D ．220cm10．过点)4,4(-P 作直线l 与圆22:(1)25C x y -+=交于A 、B 两点，若2||=PA ，则圆心C 到直线l 的距离等于（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2理科数学（八） 第3页（共8页） 理科数学（八） 第4页（共8页）11．甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．72种B ．52种C ．36种D ．24种12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若111||||2AF BF -=，则直线l 的倾斜角π(0)2θθ<<等于（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数()(0xf x a a =>，且1)a ≠的图象经过点(,)a a ，则()f x =________．14．如图所示，直线2=x 与双曲线22:14xC y -=的渐近线交于21,E E 两点，记11OE =e uuu r ，22OE =e uuu r ．任取双曲线C 上的点P ，若12OP a b =+e e uu u r（a 、b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 ．15．已知圆123,,O O O 是三个两两垂直的平面与球O 的球面的交线，其半径分别为2 且圆123,,O O O 的公共点P 在球面上，则球的表面积为 ． 16222233+=33388+=4441515+=…6a a t t +=， （a ，t 均为正整数），则类似以上等式，可推测a ，t 的值，则a t += ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，5BC =，3AC =，4cos2cos23A C -=．（1）求AB 的值； （2）求πsin(2)4A -的值．18．（12分）盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元． （1）若某人摸一次球，求他获奖励的概率；（2）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量X 为获奖励的人数， ①求(1)P X >；②这10人所得钱数的期望． （结果用分数表示，参考数据：10141()152=；可用公式：()E aX b aEX b +=+）理科数学（八） 第5页（共8页） 理科数学（八） 第6页（共8页）19．（12分）如图，边长为1的正三角形SAB 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面垂直，且CD AB //，AB BC ⊥，1=BC ，2=CD ，E 、F 分别是线段SD 、CD 的中点．（1）求证：平面//AEF 平面SBC ；（2）求二面角F AC S --的平面角的余弦值．20．（12分）如图，已知椭圆22143+=x y 上两定点(2,0)P -，3(1,)2Q ，直线1:2=-+l y x m 与椭圆相交于A 、B 两点（异于P 、Q 两点）． （1）求证：PA QB k k +为定值；（2）当(1,2)m ∈-时，求A 、P 、B 、Q 四点围成的四边形面积的最大值．21．（12分）已知函数2()ln()(0)f x x ax a =>．（1）若2()f x x '≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，设函数x x f x g )()(=，若121,(,1)x x e∈，121x x +<，求证：41212()x x x x <+．理科数学（八） 第7页（共8页） 理科数学（八） 第8页（共8页）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，直线0cos sin x x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数）与抛物线22(0)y px p =>相交于横坐标分别为12,x x 的A ，B 两点． （1）求证：2012x x x =；（2）若OA OB ⊥，求0x 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知,a b +∈R，设x =y =（1）xy ab ≥；（2）x y a b +≤+．理科数学答案（八）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】可知2{20}A x x x a =-+≤，而1A ∉，1A ∈，那么2120a -+≤，则1a ≤． 2．【答案】D 【解析】()212i 111i i 2i i 222+-+=+-=-． 3．【答案】B【解析】数列{}n a 为等比数列，则一定可以推出“212++=n n n a a a 对任意正整数n 成立”；反之不一定．则选B ． 4．【答案】C【解析】易知2A =，2B =，由图象知5πππ41264T =-=，那么πT =，又2πT ω=，那么2ω=，那么A 、B 、D 错误．5．【答案】D【解析】展开式的通项为1C ()r r r n T x +=-，那么22C n a =，55C n n n a --=-，可得252C C n n n -=，带值运算知8n =满足． 6．【答案】B【解析】可得1(1)(8)n a a n d n d =+-=+，又212k k a a a =，得22(8)9(28)k d d k d +=⋅+，所以216641872k k k ++=+，则2280k k --=，解得4k =，或2k =-（舍）． 7．【答案】A【解析】在区域M 内且当x y ->1时表示的区域为如图的ABCDE 的部分， 知3OBCDE S =，52ABCDE S =，56ABCDE OBCDE S S =， 则区域内的点的坐标满足x y ->1的概率为65．8．【答案】C【解析】第一次循环，1102a =，1102b =，9i =； 第二次循环，497a =，497b =，8i =；第三次循环，283a =，283b =，7i =；第四次循环，475a =，475b =，6i =；第五次循环，7a =，7b =，5i =； 第六次循环，163a =，163b =，4i =； 第七次循环，6a =，6b =，3i =；第八次循环，7a =，此时不满足a b <，那么输出6b =． 9．【答案】D【解析】知俯视图是一个长方形，该长方形的长为5，宽是正六边形边长的2倍， 可得正六边形边长为2，那么俯视图的面积是220cm ． 10．【答案】B【解析】如图，22||5441PC =+=，||5BC =， 可得2222||2||PC d BC d --=-，得222222||4||4||PC d PC d BC d ---+=-，22||5PC d -=，224d =，4d =，故选B ．11．【答案】C【解析】当丙在第一或第五位置时，有13232A A 种方法；EDOxyCBA当丙在第二或第四位置时，有22222A A 种方法； 当丙在第三位置时，有2222A A 种方法， 则不同的排法种数为248436++=种． 12．【答案】B【解析】设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，则21222(2)k x x k++=，121x x =，而11AF x =+，21BF x =+， 那么由111||||2AF BF -=，可得2112122()1x x x x x x -=+++，则222(2)2k k+=+，则42230k k --=，那么23k =， 而直线l 的倾斜角θ满足π02θ<<，那么k =π3θ=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2x- 【解析】可得aa =12aa a =，则12a =，那么1()()22x xf x -==． 14．【答案】41ab =【解析】可得()12,1E ，()22,1E -，∴(2,1)(2,1)(22,)OP a b a b a b =+-=+-u u u r，∴(22,)P a b a b +-，代入双曲线方程得41ab =． 15．【答案】8π【解析，那么球的表面积为24π8π=．16．【答案】41【解析】观察可得6a =，分母依次为3，8，15，知第4个为24，第5个为35， 那么6a =，35t =，则41a t +=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）（2）10． 【解析】（1）在ABC △中，4cos2cos23A C -=，则224(12sin )(12sin )3A C ---=，224sin sin A C =，2sin sin A C =，由正弦定理sin sin AB BC C A =，则sin 2sin CAB BC BC A===（2）在ABC △中，根据余弦定理，得222cos 25AB AC BC A AB AC +-==⋅，于是sin A ==，从而4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos 2cos sin 5A A A =-=，所以πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44410A A A -=-=． 18．【答案】（1）115；（2）①17；②12-． 【解析】（1）某人摸一次球，求他获奖励的概率为343102C 1C 15p ==．（2）①由题意1~(10,)15X B ， 则101910141141(1)1(0)(1)1()C ()1515157P X P X P X >=-=-==--⨯⨯=． ②设Y 为在一局中的输赢，则114610215155EY =⨯-⨯=-，则6(10)1010()125E Y EY ==⨯-=-．19．【答案】（1）证明见解析；（2）7-． 【解析】（1）F Θ是CD 的中点，121==∴CD FC ． 又1=AB ，所以AB FC =．AB FC //Θ，∴四边形ABCF 是平行四边形，BC AF //∴．E Θ是SD 的中点，SC EF //∴．又F EF AF =I ，C SC BC =I ，∴平面//AEF 平面SBC ． （2）取AB 的中点O ，连接SO ，则在正SAB △中，AB SO ⊥， 又Θ平面⊥SAB 平面ABCD ，=AB 平面I SAB 平面ABCD ，⊥∴SO 平面ABCD ．于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．则有)0,21,0(-A ，)0,21,1(C ，)23,0,0(S ，)0,21,1(-F ，(1,1,0)AC =uu u r ，13(0,2AS =uu r ．设平面SAC 的法向量为(,,)x y z =m ，由00AC AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uuu r uu r ，可得013022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取1x =，1y =-，3z =，得(1,)3=-m ．平面FAC 的法向量为(0,0,1)=n ．7cos ,⋅<>==⋅m n m n m n Q ，而二面角F AC S --的大小为钝角，∴二面角F AC S --的平面角的余弦值为7-． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）33 【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，可得22444120x mx m -+-=，则212123x x m x x m⎧=-⎨+=⎩， 212211121233(1)()(2)02221(2)(1)PA QBy y x y x y k k x x x x --+-+-∴+=+=+-+-， 用1112y x m =-+，2212y x m =-+代入可得 121212*********232222(2)(1)PA QBx x x mx m x x x mx m x k k x x -++---++--+=+- 122112(1)()30(2)(1)x x m x x m x x -+-++-==+-．（2）22242151232455APBQP Q m m S AB h h m ---=⨯+=- P Q ，Q 在直线l 的两侧，2512345APBQ S m ∴=-， 当0m =时，33APBQ S ∴= 21．【答案】（1）02ea <≤；（2）证明见解析． 【解析】（1）()2ln()f x x ax x '=+，2()2ln()f x x ax x x '=+≤，即2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立． 设()2ln()1u x ax x =+-，由2()10u x x'=-=，得2x =． 当2x >时，()u x 单调减；当02x <<时，()u x 单调增， 所以当2x =时，)(x u 有最大值(2)u ，则(2)0u ≤，2ln(2)12a +≤，所以0ea <≤． （2）当1a =时，x x x x f x g ln )()(==，()1ln 0g x x '=+=，1x e=， 所以在),1(+∞e上)(x g 是增函数，1(0,)e上是减函数． 因为11211x x x e<<+<，所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=， 即121121ln ln()x x x x x x +<+，同理122122ln ln()x x x x x x +<+，所以)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+， 又因为122124x x x x ++≥，当且仅当“12x x =”时取等号，又121,(,1)x x e∈，121x x +<，12ln()0x x +<， 所以)ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++， 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+，所以42121)(x x x x +<． 22．【答案】（1）证明见解析；（2）02x p =． 【解析】（1）直线0cos sin x x t y t αα=+⎧⎨=⎩…①与抛物线22(0)y px p =>…②，交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴0α≠， 把①代入②，得关于t 的一元二次方程220sin2cos 20t tp px αα--=，设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则1222cos sin p t t αα+=，01222sin px t t α-=…③ ∴22120102001212(cos )(cos )(cos )()cos x x x t x t x x t t t t αααα=++=+++…④把③代入④得222120012120(cos )()cosx x x x t t t t x αα=+++=．（2）∵OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，由（1）知2120y y x =-， 又1122sin ,sin y t y t αα==，∴21212sin y y t t α=，由③知220022sin sin px x αα--=，∴02x p =．23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵,a b +∈R，x y ==∴xy ab =≥=，当且仅当a b =时取等号．（2）∵,a b +∈R，x y +=则22222()()()(2a b a b x y a b ab ++-+=+-++2()2a b += 而4422()()8()a b a b ab a b +--=+，∴4224()8()()a b ab a b a b +-+=-，∴2()a b +≥22()()0a b x y +-+≥， ∴a b x y +≥+．。
2020版数学高考专题突破及解析
第 2 节函数的单调性与最大( 小) 值最新考纲 1. 理解函数的单调性、最大( 小) 值及其几何意义； 2. 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1 . 函数的单调性(1) 单调函数的定义增函数减函数定义在函数y ＝ f ( x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1 ，x 2 ∈ A当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是增加的当x 1 < x 2 时，都有f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，那么就说函数 f ( x ) 在区间 A 上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2) 单调区间的定义如果y ＝ f ( x ) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间.2 . 函数的最值前提函数y ＝ f ( x ) 的定义域为 D条件(1) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≤M ；(2) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M (3) 对于任意x ∈D ，都有 f ( x ) ≥ M ；(4) 存在x 0 ∈ D ，使得 f ( x 0 ) ＝M结论M 为最大值M 为最小值[ 微点提醒]1 . 函数y ＝ f ( x )( f ( x )>0) 在公共定义域内与y ＝－ f ( x ) ，y ＝的单调性相反.2 . “ 对勾函数” y ＝x ＋( a >0) 的单调增区间为( －∞ ，－) ，( ，＋∞ ) ；单调减区间是[ －，0) ，(0 ，] .基础自测1 . 判断下列结论正误( 在括号内打“√” 或“×” )(1) 对于函数 f ( x ) ，x ∈ D ，若对任意x 1 ，x 2 ∈ D ，且x 1 ≠ x 2 有( x 1 －x 2 )[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]>0 ，则函数 f ( x ) 在区间 D 上是增函数. ( )(2) 函数y ＝的单调递减区间是( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) . ( )(3) 对于函数y ＝ f ( x ) ，若 f (1)< f (3) ，则 f ( x ) 为增函数. ( )(4) 函数y ＝ f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上是增函数，则函数的单调递增区间是[1 ，＋∞ ) . ( )解析(2) 此单调区间不能用并集符号连接，取x 1 ＝－ 1 ，x 2 ＝ 1 ，则 f ( －1) ＜ f (1) ，故应说成单调递减区间为( －∞ ，0) 和(0 ，＋∞ ) .(3) 应对任意的x 1 ＜x 2 ， f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) 成立才可以.(4) 若 f ( x ) ＝x ， f ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上为增函数，但y ＝ f ( x ) 的单调递增区间是R .答案(1) √ (2) × (3) × (4) ×2 . ( 必修1P 37 例 1 改编) 下列函数中，在区间(0 ，＋∞ ) 内单调递减的是( )A . y ＝－xB . y ＝x 2 －xC . y ＝ln x －xD . y ＝ e x解析对于 A ，y 1 ＝在(0 ，＋∞ ) 内是减函数，y 2 ＝x 在(0 ，＋∞ ) 内是增函数，则y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0 ，＋∞ ) 上均不单调；选项D 中，y ＝ e x 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.答案 A3 . ( 必修1P3 8 例4 改编) 函数y ＝在区间[2 ，3] 上的最大值是________ .解析函数y ＝在[2 ，3] 上是减函数，当x ＝ 2 时，y ＝取得最大值＝ 2.答案 24 . (2018·广东省际名校联考) 设函数 f ( x ) 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A . y ＝在R 上为减函数B . y ＝| f ( x )| 在R 上为增函数C . y ＝－在R 上为增函数D . y ＝－ f ( x ) 在R 上为减函数解析如 f ( x ) ＝x 3 ，则y ＝的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性， A 错；则y ＝| f ( x )| 在R 上无单调性，B 错；则y ＝－的定义域为( －∞ ，0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，在定义域上无单调性，C 错.答案 D5 . (2019·西安调研) 若函数 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则 f ( m ) 与 f (1) 的大小关系是( )A . f ( m )> f (1)B . f ( m )< f (1)C . f ( m ) ≥ f (1)D . f ( m ) ≤ f (1)解析因为 f ( x ) ＝( m －1) x ＋ b 在R 上是增函数，则m －1>0 ，所以m >1 ，所以 f ( m )> f (1) .答案 A6 . (2017·全国Ⅱ卷) 函数 f ( x ) ＝ln( x 2 － 2 x －8) 的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－2)B . ( －∞ ，1)C . (1 ，＋∞ )D . (4 ，＋∞ )解析由x 2 － 2 x －8>0 ，得x >4 或x < － 2.设t ＝x 2 － 2 x －8 ，则y ＝ln t 为增函数.要求函数 f ( x ) 的单调递增区间，即求函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间.∵ 函数t ＝x 2 － 2 x －8 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) ，∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为(4 ，＋∞ ) .答案 D考点一确定函数的单调性( 区间)【例 1 】(1) (2019·东北三省四校质检) 若函数y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，则 a 的取值范围为( )A . ( －∞ ，－4) ∪ [2 ，＋∞ )B . ( － 4 ，4]C . [ － 4 ，4)D . [ － 4 ，4]解析令t ＝x 2 －ax ＋ 3 a ，则y ＝log t ( t >0) ，易知t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在上单调递减，在上单调递增.∵ y ＝log ( x 2 －ax ＋ 3 a ) 在区间(2 ，＋∞ ) 上是减函数，∴ t ＝x 2 －ax ＋ 3 a 在(2 ，＋∞ ) 上是增函数，且在(2 ，＋∞ ) 上t >0 ，∴ 2 ≥ ，且 4 － 2 a ＋ 3 a ≥ 0 ，∴ a ∈ [ － 4 ，4] .答案 D(2) 判断并证明函数 f ( x ) ＝ax 2 ＋( 其中1< a <3) 在x ∈ [1 ，2] 上的单调性.解 f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增，证明如下：设 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，则 f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝ax ＋－ax －＝( x 2 －x 1 ) ，由 1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 2 ，得x 2 －x 1 >0 ，2< x 1 ＋x 2 <4 ，1< x 1 x 2 <4 ，－1< －< －.又因为1< a <3 ，所以2< a ( x 1 ＋x 2 )<12 ，得 a ( x 1 ＋x 2 ) －>0 ，从而 f ( x 2 ) － f ( x 1 )>0 ，即 f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，故当 a ∈ (1 ，3) 时， f ( x ) 在[1 ，2] 上单调递增.规律方法 1.(1) 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1) . (2) 单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“ 和”“ ，” 连接.2 . (1) 函数单调性的判断方法有：① 定义法；② 图像法；③ 利用已知函数的单调性；④ 导数法.(2) 函数y ＝ f [ g ( x )] 的单调性应根据外层函数y ＝ f ( t ) 和内层函数t ＝g ( x ) 的单调性判断，遵循“ 同增异减” 的原则.【训练 1 】( 一题多解) 试讨论函数 f ( x ) ＝( a ≠ 0) 在( －1 ，1) 上的单调性.解法一设－1< x 1 < x 2 <1 ，f ( x ) ＝ a ＝ a ，f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a － a ＝，由于－1< x 1 < x 2 <1 ，所以x 2 －x 1 >0 ，x 1 －1<0 ，x 2 －1<0 ，故当 a >0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )>0 ，即 f ( x 1 )> f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.法二 f ′( x ) ＝＝＝－.当 a >0 时， f ′( x )<0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递减；当 a <0 时， f ′( x )>0 ，函数 f ( x ) 在( － 1 ，1) 上单调递增.考点二求函数的最值【例 2 】(1) 已知函数 f ( x ) ＝ a x ＋log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 在[1 ，2] 上的最大值与最小值之和为log a 2 ＋ 6 ，则 a 的值为( )A. B. C . 2 D . 4(2) 已知函数 f ( x ) ＝则 f [ f ( －3)] ＝________ ， f ( x ) 的最小值是________ .解析(1) f ( x ) ＝ a x ＋log a x 在[1 ，2] 上是单调函数，所以 f (1) ＋ f (2) ＝log a 2 ＋ 6 ，则 a ＋log a 1 ＋ a 2 ＋log a 2 ＝log a 2 ＋ 6 ，即( a －2)( a ＋3) ＝0 ，又 a >0 ，所以 a ＝ 2.(2) ∵ f ( －3) ＝lg[( －3) 2 ＋1] ＝lg 10 ＝ 1 ，∴ f [ f ( －3)] ＝ f (1) ＝0 ，当x ≥ 1 时， f ( x ) ＝x ＋－ 3 ≥ 2 － 3 ，当且仅当x ＝时，取等号，此时 f ( x ) min ＝ 2 －3<0 ；当x <1 时， f ( x ) ＝lg( x 2 ＋1) ≥ lg 1 ＝0 ，当且仅当x ＝0 时，取等号，此时 f ( x ) min ＝0.∴ f ( x ) 的最小值为 2 － 3.答案(1)C (2)0 2 － 3规律方法求函数最值的四种常用方法(1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2) 图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“ 一正二定三相等” 的条件后用基本不等式求出最值.(4) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练 2 】(1) (2019·郑州调研) 函数 f ( x ) ＝－在x ∈ [1 ，4] 上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( )A. B . 2 C. D.(2) (2018·邵阳质检) 定义max{ a ， b ， c ，} 为 a ， b ， c 中的最大值，设M ＝max{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } ，则M 的最小值是( )A . 2B . 3C . 4D . 6解析(1) 易知 f ( x ) ＝－在[1 ，4] 上是增函数，∴ M ＝ f ( x ) max ＝ f (4) ＝ 2 －＝，m ＝ f (1) ＝0.因此M －m ＝.(2) 画出函数M ＝{2 x ， 2 x － 3 ， 6 －x } 的图像( 如图) ，由图可知，函数M 在 A (2 ，4) 处取得最小值 2 2 ＝ 6 － 2 ＝ 4 ，故M 的最小值为 4.答案(1)A (2)C考点三函数单调性的应用多维探究角度 1 利用单调性比较大小【例 3 － 1 】已知函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后关于y 轴对称，当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]·( x 2 －x 1 )<0 恒成立，设 a＝ f ， b ＝ f (2) ， c ＝ f (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . c > a > bB . c > b > aC . a > c > bD . b > a > c解析由于函数 f ( x ) 的图像向左平移 1 个单位后得到的图像关于y 轴对称，故函数y ＝ f ( x ) 的图像关于直线x ＝ 1 对称，所以 a ＝ f ＝ f .当x 2 > x 1 >1 时，[ f ( x 2 ) － f ( x 1 )]( x 2 －x 1 )<0 恒成立，等价于函数f ( x ) 在(1 ，＋∞ ) 上单调递减，所以 b > a > c .答案 D角度 2 求解函数不等式【例 3 － 2 】(2018·全国Ⅰ卷) 设函数 f ( x ) ＝则满足f ( x ＋1)< f (2 x ) 的x 的取值范围是( )A . ( －∞ ，－1]B . (0 ，＋∞ )C . ( － 1 ，0)D . ( －∞ ，0)解析当x ≤ 0 时，函数 f ( x ) ＝ 2 －x 是减函数，则 f ( x ) ≥ f (0) ＝ 1. 作出 f ( x ) 的大致图像如图所示，结合图像知，要使 f ( x ＋1) ＜ f (2x ) ，当且仅当或解得x < － 1 或－ 1 ≤ x <0 ，即x <0.答案 D角度 3 求参数的值或取值范围【例 3 － 3 】已知 f ( x ) ＝满足对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 成立，那么实数 a 的取值范围是________ .解析对任意x 1 ≠ x 2 ，都有>0 ，所以y ＝ f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上是增函数.所以解得≤ a <2.故实数 a 的取值范围是.答案规律方法 1. 利用单调性求参数的取值( 范围) 的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程( 组)( 不等式( 组)) 或先得到其图像的升降，再结合图像求解. 对于分段函数，要注意衔接点的取值.2 . (1) 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2) 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“ f ” .【训练 3 】(1) 已知奇函数 f ( x ) 在R 上是增函数，若 a ＝－ f ，b ＝ f (log 2 4.1) ， c ＝ f (2 0.8 ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为( )A . a < b < cB . b < a < cC . c < b < aD . c < a < b(2) 若函数 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax 与g ( x ) ＝在区间[1 ，2] 上都是减函数，则 a 的取值范围是( )A . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1)B . ( － 1 ，0) ∪ (0 ，1]C . (0 ，1)D . (0 ，1]解析(1) 由 f ( x ) 是奇函数，得 a ＝－ f ＝ f (log 2 5) .又log 2 5>log 2 4.1>2>2 0.8 ，且y ＝ f ( x ) 在R 上是增函数，所以 a > b >c .(2) 因为 f ( x ) ＝－x 2 ＋ 2 ax ＝－( x － a ) 2 ＋ a 2 在[1 ，2] 上为减函数，所以由其图像得 a ≤ 1 ，g ( x ) ＝，g ′( x ) ＝－，要使g ( x ) 在[1 ，2] 上为减函数，需g ′( x )<0 在[1 ，2] 上恒成立，故有－ a <0 ，因此 a >0 ，综上可知0< a ≤ 1.答案(1)C (2)D[ 思维升华]1 . 利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1) 取值；(2) 作差；(3) 定号；(4) 判断.2 . 确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图像法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3 . 求函数最值的常用求法：单调性法、图像法、换元法、利用基本不等式. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“ 单峰” 函数一定存在最大值( 最小值) .[ 易错防范]1 . 区分两个概念：“ 函数的单调区间” 和“ 函数在某区间上单调” ，前者指函数具备单调性的“ 最大” 的区间，后者是前者“ 最大” 区间的子集.2 . 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“ ，” 或“ 和” 连接，不要用“ ∪ ” . 例如，函数 f ( x ) 在区间( － 1 ，0) 上是减函数，在(0 ，1) 上是减函数，但在( － 1 ，0) ∪ (0 ，1) 上却不一定是减函数，如函数 f ( x ) ＝.基础巩固题组( 建议用时：40 分钟)一、选择题1 . 函数 f ( x ) ＝－x ＋在上的最大值是( )A. B . － C . － 2 D . 2解析易知 f ( x ) 在上是减函数，∴ f ( x ) max ＝ f ( －2) ＝ 2 －＝.答案 A2 . (2019·广州模拟) 下列函数 f ( x ) 中，满足“ 任意x 1 ，x 2 ∈ (0 ，＋∞ ) 且x 1 ≠ x 2 ，( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 ” 的是( )A . f ( x ) ＝ 2 xB . f ( x ) ＝| x －1|C . f ( x ) ＝－xD . f ( x ) ＝ln( x ＋1)解析由( x 1 －x 2 )·[ f ( x 1 ) － f ( x 2 )]<0 可知， f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数， A ， D 选项中， f ( x ) 为增函数； B 中， f ( x ) ＝| x －1| 在(0 ，＋∞ ) 上不单调，对于 f ( x ) ＝－x ，因为y ＝与y ＝－x 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，因此 f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数. 答案 C3 . (2019·萍乡一模) 已知函数 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3)( a >0 且 a ≠ 1) ，若 f (0)<0 ，则此函数的单调递增区间是( )A . ( －∞ ，－1]B . [ － 1 ，＋∞ )C . [ － 1 ，1)D . ( － 3 ，－1]解析令g ( x ) ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 ，由题意知g ( x )>0 ，可得－3< x <1 ，故函数的定义域为{ x | －3< x <1} . 根据 f (0) ＝log a 3<0 ，可得0< a <1 ，又g ( x ) 在定义域( － 3 ，1) 内的减区间是[ － 1 ，1) ，∴ f ( x ) 的单调递增区间为[ － 1 ，1) .答案 C4 . 函数y ＝，x ∈ ( m ，n ] 的最小值为0 ，则m 的取值范围是( )A . (1 ，2)B . ( － 1 ，2)C . [1 ，2)D . [ － 1 ，2)解析函数y ＝＝＝－ 1 在区间( － 1 ，＋∞ ) 上是减函数，且 f (2) ＝0 ，所以n ＝ 2.根据题意，x ∈ ( m ，n ] 时，y min ＝0.∴ m 的取值范围是[ － 1 ，2) .答案 D5 . (2019·蚌埠模拟) 已知单调函数 f ( x ) ，对任意的x ∈ R 都有 f [ f ( x ) －2 x ] ＝ 6 ，则 f (2) ＝( )A . 2B . 4C . 6D . 8解析设t ＝ f ( x ) － 2 x ，则 f ( t ) ＝ 6 ，且 f ( x ) ＝ 2 x ＋t ，令x ＝t ，则 f ( t ) ＝ 2 t ＋t ＝ 6 ，∵ f ( x ) 是单调函数，且 f (2) ＝ 2 2 ＋ 2 ＝ 6 ，∴ t ＝ 2 ，即 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 2 ，则 f (2) ＝ 4 ＋ 2 ＝6.答案 C二、填空题6 . 设函数 f ( x ) ＝g ( x ) ＝x 2 f ( x －1) ，则函数g ( x ) 的递减区间是________ .解析由题意知g ( x ) ＝函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g ( x ) 的递减区间是[0 ，1) .答案[0 ，1)7 . 设函数 f ( x ) ＝在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，那么 a 的取值范围是________ .解析 f ( x ) ＝＝ a －，∵ 函数 f ( x ) 在区间( － 2 ，＋∞ ) 上是增函数，∴ 即即 a ≥ 1.答案[1 ，＋∞ )8 . ( 一题多解)(2019·成都诊断) 对于任意实数 a ， b ，定义min{ a ，b } ＝设函数 f ( x ) ＝－x ＋ 3 ，g ( x ) ＝log 2 x ，则函数h ( x ) ＝min{ f ( x ) ，g ( x )} 的最大值是______ .解析法一在同一坐标系中，作函数 f ( x ) ，g ( x ) 图像，依题意，h ( x ) 的图像如图所示的实线部分.易知点 A (2 ，1) 为图像的最高点，因此h ( x ) 的最大值为h (2) ＝ 1.法二依题意，h ( x ) ＝当0< x ≤ 2 时，h ( x ) ＝log 2 x 是增函数，当x >2 时，h ( x ) ＝ 3 －x 是减函数，因此h ( x ) 在x ＝ 2 时取得最大值h (2) ＝ 1.答案 1三、解答题9 . 已知函数 f ( x ) ＝－( a >0 ，x >0) .(1) 求证： f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数；(2) 若 f ( x ) 在上的值域是，求 a 的值.(1) 证明设x 2 > x 1 >0 ，则x 2 －x 1 >0 ，x 1 x 2 >0 ，∵ f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ＝－＝－＝>0 ，∴ f ( x 2 )> f ( x 1 ) ，∴ f ( x ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数.(2) 解∵ f ( x ) 在上的值域是，又由(1) 得 f ( x ) 在上是单调增函数，∴ f ＝， f (2) ＝ 2 ，易得 a ＝.10 . 函数 f ( x ) ＝log a (1 －x ) ＋log a ( x ＋3)(0< a <1) .(1) 求方程 f ( x ) ＝0 的解.(2) 若函数 f ( x ) 的最小值为－ 1 ，求 a 的值.解(1) 由得－3< x <1.∴ f ( x ) 的定义域为( － 3 ，1) .则 f ( x ) ＝log a ( －x 2 － 2 x ＋3) ，x ∈ ( － 3 ，1) ，令 f ( x ) ＝0 ，得－x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 1 ，解得x ＝－1± ∈ ( － 3 ，1) .故 f ( x ) ＝0 的解为x ＝－1± .(2) 由(1) 得 f ( x ) ＝log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ，x ∈ ( － 3 ，1) ，由于0< －( x ＋1) 2 ＋ 4 ≤ 4 ，且 a ∈ (0 ，1) ，∴ log a [ －( x ＋1) 2 ＋4] ≥ log a 4 ，由题意可得log a 4 ＝－ 1 ，解得 a ＝，满足条件.所以 a 的值为.能力提升题组( 建议用时：20 分钟)11 . (2017·全国Ⅰ卷) 已知函数 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 上单调递减，且为奇函数. 若 f (1) ＝－ 1 ，则满足－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 的x 的取值范围是( )A . [ － 2 ，2]B . [ － 1 ，1]C . [0 ，4]D . [1 ，3]解析∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) .∵ f (1) ＝－ 1 ，∴ f ( －1) ＝－ f (1) ＝ 1.故由－ 1 ≤ f ( x －2) ≤ 1 ，得 f (1) ≤ f ( x －2) ≤ f (－1) .又 f ( x ) 在( －∞ ，＋∞ ) 单调递减，∴ － 1 ≤ x － 2 ≤ 1 ，∴ 1 ≤ x ≤ 3.答案 D12 . 已知函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，则函数g ( x ) ＝在区间(1 ，＋∞ ) 上一定( )A . 有最小值B . 有最大值C . 是减函数D . 是增函数解析因为函数 f ( x ) ＝x 2 － 2 ax ＋ a ＝( x － a ) 2 ＋ a － a 2 在区间( －∞ ，1) 上有最小值，所以函数 f ( x ) 的对称轴x ＝ a 应当位于区间( －∞ ，1) 内，即 a <1 ，又g ( x ) ＝＝x ＋－ 2 a ，当 a <0 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a >0 ；当 a ＝0 时，g ( x ) ＝x 在区间(1 ，＋∞ ) 上为增函数，此时，g ( x ) min > g (1) ＝ 1 ：当0< a <1 时，g ( x ) ＝x ＋－ 2 a ，g ′( x ) ＝ 1 －>1 －a >0 ，此时g ( x ) min > g (1) ＝ 1 － a ；综上，g ( x ) 在区间(1 ，＋∞ ) 上单调递增.答案 D13 . 已知 f ( x ) ＝不等式 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，则实数 a 的取值范围是________ .解析二次函数y 1 ＝x 2 － 4 x ＋ 3 的对称轴是x ＝ 2 ，所以该函数在( －∞ ，0] 上单调递减，所以x 2 － 4 x ＋ 3 ≥ 3 ，同样可知函数y 2 ＝－x 2 － 2 x ＋ 3 在(0 ，＋∞ ) 上单调递减，所以－x 2 － 2 x ＋3<3 ，所以 f ( x ) 在R 上单调递减，所以由 f ( x ＋ a )> f (2 a －x ) 得到x ＋ a <2 a －x ，即 2 x < a 在[ a ， a ＋1] 上恒成立，所以2( a ＋1)< a ， a < － 2 ，所以实数 a 的取值范围是( －∞ ，－2) .答案( －∞ ，－2)14 . 已知函数 f ( x ) ＝ a －.(1) 求 f (0) ；(2) 探究 f ( x ) 的单调性，并证明你的结论；(3) 若 f ( x ) 为奇函数，求满足 f ( ax )< f (2) 的x 的范围.解(1) f (0) ＝ a －＝ a － 1.(2) f ( x ) 在R 上单调递增. 证明如下：∵ f ( x ) 的定义域为R ，∴ 任取x 1 ，x 2 ∈ R 且x 1 < x 2 ，则 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ a －－ a ＋＝，∵ y ＝ 2 x 在R 上单调递增且x 1 < x 2 ，∴ 0<2 x 1 <2 x 2 ，∴ 2 x 1 － 2 x 2 <0 ， 2 x 1 ＋1>0 ， 2 x 2 ＋1>0.∴ f ( x 1 ) － f ( x 2 )<0 ，即 f ( x 1 )< f ( x 2 ) .∴ f ( x ) 在R 上单调递增.(3) ∵ f ( x ) 是奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) ，即 a －＝－ a ＋，解得 a ＝1( 或用 f (0) ＝0 去解) .∴ f ( ax )< f (2) 即为 f ( x )< f (2) ，又∵ f ( x ) 在R 上单调递增，∴ x <2.∴ x 的取值范围是( －∞ ，2) .。
2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（八） 数学（文）（解析版）
2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（八）数学（文）（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |(x －2)(x ＋2)≤0}，B ＝{y |x 2＋y 2＝16}，则A ∩B ＝( ) A ．[－3,3] B ．[－2,2] C ．[－4,4] D ．∅ 答案 B解析 由题意，得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |－4≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}． 2．已知复数z ＝2＋b i(b ∈R )(i 为虚数单位)的共轭复数为z －，且满足z 2为纯虚数，则z z －＝( )A ．2 2B ．2 3C ．8D ．12 答案 C解析 ∵z 2＝4－b 2＋4b i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－b 2＝0，4b ≠0，解得b ＝±2，∴z z －＝|z |2＝22＋b 2＝8.3．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为( )A ．k ≥16?B ．k <8?C ．k <16?D ．k ≥8? 答案 A解析 程序运行过程中，各变量的值如下表所示：S k 是否继续循环循环前 0 1 — 第一圈12是第二圈3 4 是 第三圈 7 8 是 第四圈1516否4．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn ＝( )A.13B.12 C ．2 D ．3 答案 A解析 由题意得，甲组数据为：24,29,30＋m,42； 乙组数据为：25,20＋n,31,33,42.∴甲、乙两组数据的中位数分别为59＋m2，31， 且甲、乙两组数的平均数分别为 x －甲＝24＋29＋(30＋m )＋424＝125＋m 4，x －乙＝25＋(20＋n )＋31＋33＋425＝151＋n 5，由题意得⎩⎨⎧59＋m 2＝31，125＋m 4＝151＋n5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝9.∴m n ＝39＝13.5．(2019·南昌调研)给出下列四个函数：①f (x )＝2x －2－x ；②f (x )＝x sin x ；③f (x )＝log 33－x3＋x；④f (x )＝|x ＋3|－|x －3|.其中是奇函数的编号为( )A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④ 答案 B解析 对于①，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以是奇函数；对于②，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以是偶函数；对于③，f (－x )＝log 33＋x 3－x ＝－log 33－x3＋x ＝－f (x )，所以是奇函数；对于④，f (－x )＝|－x ＋3|－|－x －3|＝|x －3|－|x ＋3|＝－(|x ＋3|－|x －3|)＝－f (x )，所以是奇函数．故选B.6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，0≤x ≤1，x ＋y －1≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最小值为( )A.92 B ．5 C.322 D.5 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)：其中A (1,2)，B (0,1)，C (1,0)，z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示可行域内的点与P (－1，－1)距离的平方，过点P 作直线x ＋y －1＝0的垂线，设垂足为Q ，|PQ |＝|－1－1－1|12＋12＝32， z min ＝|PQ |2＝92.7. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB →·AD→＝( )A．10 B．11 C．12 D．13答案B解析以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，据此可得AB→＝(4,1)，AC→＝(6,4)，结合平面向量的平行四边形法则有AD→＝AC→－AB→＝(2,3)，则AB→·AD→＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.8．(2019·辽宁葫芦岛二模)近年来随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个．某二线城市2018年初制定人才引进与落户新政(即放宽政策，以下简称新政)：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给予的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户，高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户．新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年(即2017年)与新政执行一年(即2018年)新增落户人口学历构成比例，得到如下饼状图：则下面结论中错误的是()A．新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B．新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C ．新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D ．新政对专科生在该市落实起到了积极的影响 答案 B解析 设2017年全年新增落户人数为x ，则2018年全年新增落户人数为2x ，根据两个饼状图可知：年份高中及以下全年新增 落户人数专科全年 新增落户 人数 本科全年 新增落户 人数 硕士及以上 全年新增 落户人数 2017 0.09x 0.26x 0.49x 0.16x 20180.1x0.58x1.16x0.16x9．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该四棱锥的体积是( )A ．4 B.83 C.163 D.423 答案 A解析 由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为a ，高为x ，则直观图中等腰梯形的腰为2x ，面积S ′＝12(a ＋a ＋2x )x ＝(a ＋x )x ，由斜二测画法的特点知原底面梯形的高为22x ，面积S ＝12(a ＋a ＋2x )·22x ＝22(a ＋x )x ，∴S ＝22S ′＝22×2＝4，故四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4×3＝4，故选A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫也可用结论直接得出S 原S 直＝22，S 底＝22S ′＝4，V ＝13S 底×h ＝13×4×3＝4.10．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B ．2cos40° C.1sin50° D.1cos50° 答案 D解析 由题意可得－ba ＝tan130°，所以e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D.11．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋(1－x )2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．函数g (x )＝3f (x )－8的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 由题意可得函数f (x )＝1＋x 2＋1＋(1－x )2＝AP ＋PF ，当A ，P ，F 三点共线时，f (x )取得最小值5；当P 与B 或C 重合时，f (x )取得最大值2＋1.求函数g (x )＝3f (x )－8的零点的个数，即为求f (x )＝83的解的个数，由f (x )的最大值2＋1<83，可知函数f (x )＝83无解．12．已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AF →＝2FB →，S△OAB ＝23|AB |，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝14xC ．y 2＝8xD ．y 2＝18x 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AF→＝2FB →，则y 1＝－2y 2，又由抛物线焦点弦性质，y 1y 2＝－p 2， 所以－2y 22＝－p 2，得|y 2|＝22p ，|y 1|＝2p ， 1|AF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ，得|BF |＝34p ，|AF |＝32p ，|AB |＝94p .S △OAB ＝12·p 2·(|y 1|＋|y 2|)＝328p 2＝23·94p ，得p ＝2，抛物线的标准方程为y 2＝4x . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量a ＝(1，－2)，a ＋b ＝(x,8)，c ＝(－2,1)，若b ∥c ，则实数x 的值为________． 答案 －19解析 由已知可得b ＝(x －1,10)，由b ∥c 得x －1＝－20，则x ＝－19.14．如图，在体积为V 1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面，共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V 2，则V 2V 1＝________.答案 23解析 设上下圆锥的高分别为h 1，h 2，圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h ，则V 2V 1＝πr 2h －13πr 2(h 1＋h 2)πr 2h ＝πr 2h －13πr 2hπr 2h ＝23.15．(2019·太原模拟)已知θ为锐角，且2sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝5cos2θ，则tan θ＝________.答案 56解析 由已知得2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝5(cos 2θ－sin 2θ)，即sin θ(sin θ＋cos θ)＝5(sin θ＋cos θ)(cos θ－sin θ)．因为θ为锐角，所以sin θcos θ－sin θ＝5，所以tan θ1－tan θ＝5，得tan θ＝56.16．已知数列{a n }，令P n ＝1n (a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n )(n ∈N ＋)，则称{P n }为{a n }的“伴随数列”，若数列{a n }的“伴随数列”{P n }的通项公式为P n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，52解析 由题意，P n ＝1n (a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n )(n ∈N ＋)， 则a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1， a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)2n ， 则2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)2n ＝(n ＋1)2n ， 则a n ＝2(n ＋1)，对a 1也成立，故a n ＝2(n ＋1)， 则a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{a n －kn }为等差数列，故S n ≤S 4对任意的n (n ∈N ＋)恒成立可化为a 4－4k ≥0，a 5－5k ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4(2－k )＋2≥0，5(2－k )＋2≤0，解得125≤k ≤52.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·河南八市重点高中联盟第五次测评)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，∠ACB ＝90°.(1)求证：平面AB 1C 1⊥平面A 1B 1C ；(2)若∠A 1AC ＝60°，AC ＝2CB ＝2，求四棱锥A －BCC 1B 1的体积． 解 (1)证明：∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ， 平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∠ACB ＝90°，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥A 1C ，∵B1C1∥BC，∴A1C⊥B1C1，2分∵四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，∴四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，∵AC1∩B1C1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，又A1C⊂平面A1B1C，∴平面AB1C1⊥平面A1B1C.5分(2)∵四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AC＝2，∴S△ACC1＝12×2×2×sin60°＝3，7分∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，BC⊥平面ACC1A1，BC＝1，∴V B1－ACC1＝13S△ACC1·B1C1＝13×3×1＝33，10分∴V A－BCC1B1＝2V A－CC1B1＝2V B1－ACC1＝233，即四棱锥A－BCC1B1的体积为233. 12分18．(本小题满分12分)如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解(1)因为在△ABC中，cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45，2分所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝6365，4分由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ， 所以AB ＝AC sin Csin B ＝1040米， 所以索道AB 的长为1040米.6分(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )米，乙距离A 处130t 米，所以由余弦定理，得7分 d 2＝(130t )2＋2500(t ＋2)2－2·130t ·50(t ＋2)·1213 ＝200(37t 2－70t ＋50)＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤37⎝ ⎛⎭⎪⎫t －35372＋62537，t ∈[0,8]，11分 故当t ＝3537时，甲、乙的距离最短．所以乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.12分19．(2019·山东济南3月模拟)(本小题满分12分)某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换．其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M .如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．(1)结合图形，写出集合M ；(2)根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)；(3)若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a 个一级滤芯、b 个二级滤芯作为备用滤芯(其中b ∈M ，a ＋b ＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？解 (1)由题意可知当一级滤芯更换9,10,11个时，二级滤芯需要更换3个，2分当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，所以M ＝{3,4}. 4分(2)由题意可知二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，5分 在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，6分设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A ，所以P (A )＝30100＝0.3.7分(3)因为a ＋b ＝14，b ∈M ，①若a ＝10，b ＝4，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为100×10×30＋(100×10＋200)×40＋(100×10＋400)×30＋200×4×100100＝2000.9分②若a ＝11，b ＝3，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为100×11×70＋(100×11＋200)×30＋200×3×70＋(200×3＋400)×30100＝1880，11分所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个.12分20．(2019·湖北宜昌元月调考)(本小题满分12分)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (0,4)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，F 是椭圆C 的上焦点．问：是否存在直线l ，使得S △MAF ＝S △MNF .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)∵c a ＝12，b ＝3，且有a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.4分(2)由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋4，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋4，y 24＋x 23＝1⇒(3k 2＋4)x 2＋24kx ＋36＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(24k )2－144(3k 2＋4)＞0， ①x 1＋x 2＝－24k 3k 2＋4， ②x 1x 2＝363k 2＋4， ③ 6分∵S △MAF ＝S MNF ，∴M 为线段AN 的中点，∴x 2＝2x 1， ④将④代入②，解得x 1＝－8k 3k 2＋4， ⑤8分 将④代入③，得x 21＝183k 2＋4， ⑥ 将⑤代入⑥，解得k 2＝365， ⑦10分将⑦代入①检验成立，∴k ＝±65，即存在直线l ：6x －5y ＋45＝0或6x ＋5y －45＝0符合题意.12分21．(2019·山西吕梁一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ln x ＋1.(1)求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )＞3.解 (1)因为f ′(x )＝e x －1x ，又f (1)＝e ＋1，f ′(1)＝e －1，所以y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即所求切线方程为y ＝(e －1)x ＋2.4分(2)证明：由(1)，知f ′(x )＝e x －1x ，易知f ′(x )在区间(0，＋∞)上单调递增，因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，且f ′(1)＞0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f ′(x 0)＝0，即f ′(x )＝0有唯一的根，记为x 0，则f ′(x 0)＝e x 0－1x 0＝0，对e x 0＝1x 0两边取对数， 得ln e x 0＝ln 1x 0，整理，得x 0＝－ln x 0，8分 因为x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0－ln x 0＋1＝1x 0＋x 0＋1≥3，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立，因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f (x )min ＞3，即f (x )＞3.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝λ(λ>0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若OA ⊥OB ，求直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴交于P 点，△OAP 的面积是△OBP 面积的3倍，求λ的值．解 (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(cos θ＋sin θ)＝λ，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝λ(λ>0)，2分联立，得⎩⎨⎧ x ＝－y ＋λ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得3y 2－2λy ＋λ2－2＝0， Δ＝4λ2－12(λ2－2)>0，即λ2<3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2λ3，y 1y 2＝λ2－23，因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(λ－y 1)(λ－y 2)＋y 1y 2＝2y 1y 2－λ(y 1＋y 2)＋λ2＝0，4分即2×λ2－23－λ×2λ3＋λ2＝0，则λ2＝43，由于λ>0，因而λ＝233，故直线l 的直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.5分(2)易知S △OAP ＝12|OP |·|y 1|＝3S △OBP ＝32|OP |·|y 2|，因而|y 1|＝3|y 2|，6分由(1)知y 1＋y 2＝2λ3，y 1y 2＝λ2－23，①若y 1，y 2均为正，则y 1＝3y 2，则4y 2＝2λ3，3y 22＝λ2－23，得λ＝263；8分②若y 1，y 2一正一负，则y 1＝－3y 2，则－2y 2＝2λ3，－3y 22＝λ2－23，得λ＝1.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|，不等式f (x )＋2|x |≤4的解集为A .(1)求集合A ；(2)证明：对于任意的x ，y ∈∁R A ，|xy ＋1|>|x ＋y |恒成立． 解 (1)不等式f (x )＋2|x |≤4，即|x －1|＋2|x |≤4，当x ≥1时，得x －1＋2x ≤4⇒x ≤53，所以1≤x ≤53；2分当0<x <1时，得1－x ＋2x ≤4⇒x ≤3，所以0<x <1；3分 当x ≤0时，得1－x －2x ≤4⇒x ≥－1，所以－1≤x ≤0.4分综上，不等式的解集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤53.5分(2)证明：若证|xy ＋1|>|x ＋y |，即证|xy ＋1|2>|x ＋y |2，即证x 2y 2＋2xy ＋1>x 2＋2xy ＋y 2成立，即证x 2y 2－x 2－y 2＋1>0，即证(x 2－1)(y 2－1)>0.7分∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤53， ∴∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >53.8分∵x ，y ∈∁R A ，∴|x |>1，|y |>1，∴x 2>1，y 2>1，∴(x 2－1)(y 2－1)>0成立，即原命题得证.10分。
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟(八)理科数学
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（八）数学试题（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.12i12i+=- A. 43i 55--B. 43i 55-+C. 34i 55--D. 34i 55-+【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii Q ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2.已知集合{}{}2|02,N ,|450,N A y y y B x x x x =≤<∈=--≤∈，则A B =I （ ）A. {}1B. {}0,1C. [)0,2 D. ∅【答案】B 【解析】集合{}0,1A =，{}0,1,2,3,4,5B =，所以{}0,1A B =I .故选择B.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上， 则cos2θ＝( ) A. －45B. －35C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos θ的平方代入即可求出值．【详解】解：根据题意可知：tan θ＝2，所以cos 2θ22221115cos sin cos tan θθθθ===++， 则cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝215⨯-135=-． 故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．【此处有视频，请去附件查看】4.曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点（1，1）处的切线的斜率k ． 【详解】解：由题意知，1x y xe-=，则()11x y x e-=+' ，∴在点（1，1）处的切线的斜率k ＝2，故选：B【点睛】本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题． 5.下列叙述正确的是（ ）A. 命题“p 且q ”为真，则,p q 恰有一个为真命题B. 命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C. 命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D. 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·(f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 【答案】C 【解析】 【分析】由p 且q 的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误.【详解】解：对于A ，命题“P 且q 为真，则P ，q 均为真命题”，故错误；对于B ，“a ＞b ”推不出“a 2＞b 2”，比如a ＝1，b ＝﹣1；反之也推不出，比如a ＝﹣2，b ＝0，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分不必要条件，故错误；对于C ，命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤，故正确； 对于D ，如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，由零点存在定理可得函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，故错误． 其中真命题的个数为1， 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．6.若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【分析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:322z y x =-+, 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点M ,联立220x y y --=⎧⎨=⎩,解得2,0x y ==,所以(2,0)M ,将2,0x y ==代入目标函数可得z 的最大值为6. 故选:C.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题. 7.若1a b >>，01c <<，则（ ） A. c c a b < B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<Q lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<Q 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 【此处有视频，请去附件查看】8.在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u r D 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r=( )A. 2B. -2C. D. -【答案】B 【解析】∵D 为AC 的中点∴1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，11()22DA CA CB BA u u u v u u u v u u u v u u u v ==+∵•0,2,AB BC AB BC ===u u u v u u u v u u u v u u u v∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v故选B.9.函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当x →-∞时，120,1111xx e x x -→=-→++，所以去掉A,B; 因为21(0)0,(1),(2)3f f e f e ===+，所以(2)(1)(1)(0)f f f f ->-，因此去掉C ，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A.33πB. 8πC. 6πD.433π【答案】B 【解析】几何体如图，球心为O ，半径为1+1=2，表面积为242=8ππ（），选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 11.不等式x e x ax ->的解集为P ,且[]0,2P ⊆,则a 的取值范围是（ ） A. (),1e -∞- B. ()1,e -+∞C. (),1e -∞+D. ()1,e ++∞【答案】A 【解析】试题分析：即不等式xe x ax ->在(0,2]是上恒成立，即min (1),(0,2]xe a x x<-∈，令(1),(0,2]x e y x x =-∈，则(1)01x e x y x x ==⇒'-=，列表分析可得1x =时(1)xe y x=-取最小值1e -，从而a 的取值范围是(),1e -∞-，选A. 考点：不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A. (0,1) B. (1,)+∞C. (,)e +∞D. (0,)e【答案】C 【解析】 【分析】令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0．x ∈（0，+∞）．xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调性，即可解出． 【详解】解：令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0，x ∈（0，+∞）． ∵xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立． ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．由()1f x ＜lnx ，可得()()10f x lnx f x ->，即()()0g x f x > 又()0f x > ∴g （x ）＞0=g （e ）， ∴x ＞e ．即不等式()1f x ＜lnx 的解集为{x |x ＞e }． 故选：C ．【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量(1,),(,4)a x b x ==r r ，若a r 与b r反向则x =_________【答案】2- 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式即可得到结果.【详解】∵向量(1,),(,4)a x b x ==r r ， a r 与b r反向∴240x a b ⎧=⎨⋅<⎩v v ，解得2x =-，故答案为：2-【点睛】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用． 14.函数()cos26sin 1f x x x =++的最大值为_______【答案】6 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式，转化为关于t 的一元二次函数，进而可根据二次函数的性质来解决． 【详解】解：y ＝﹣2sin 2x +6sin x +2， 设sin x ＝t ，则﹣1≤t ≤1，f （t ）＝﹣2t 2+6t +2，对称轴为x 32=，开口方向向下，在区间[﹣1，1]上单调增， ∴f （t ）max ＝f （1）＝6， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题．解题过程中运用了函数思想和转化与化归思想．15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________【答案】【解析】 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】解：由题意得12ac sin60°12=a sin30°12+c sin30°，＝a +c ，得11a c+=， 得4a +c4a +c ）（11a c +）45c a a c ⎫=++⎪⎝⎭5⎫⎪⎪⎝⎭＝， 当且仅当4c aa c=，即c ＝2a 时，取等号，故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．16.设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当[2,3]x ∈时，()f x x =，则当[2,0]x ∈-时，()f x 的解析式为______________【答案】()3|1|f x x =-+ 【解析】 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ，可得答案． 【详解】解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ， ∴x ∈[﹣2，﹣1]时， 2+x ∈[0，1]，4+x ∈[2，3]， 此时f （x ）＝f （4+x ）＝4+x ， x ∈[﹣1，0]时，﹣x ∈[0，1]，2﹣x ∈[2，3]，此时f （x ）＝f （﹣x ）＝f （2﹣x ）＝2﹣x ， 综上可得：x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝3﹣|x +1| 故答案为：()3|1|f x x =-+【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知函数()22sin cos 1f x x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)T π=，对称中心(,0),()212k k Z ππ-∈； (Ⅱ)min max ()()1,()()266f x f f x f ππ=-=-==. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把()f x 化简成一角一名一次式即y=sin()A x ωϕ+的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出x ωϕ+的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得()f x 的最值，得解.试题解析：解：（Ⅰ）()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为， 令，则，∴()f x 的对称中心为；（Ⅱ）∵∴∴ ∴∴当时，()f x 的最小值为； 当时，()f x 的最大值为． 考点：二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分两个公式，同时要注意两个特殊角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.18.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）1n n +. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据{}n a 是等差数列，设公差为d ，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （Ⅱ）求得()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，由裂项相消求和，化简运算可得所求和． 【详解】（Ⅰ）公差d 不为零的等差数列{}n a ，若515S =，且124,,a a a 成等比数列，可得2121451015,a d a a a +==，即21113a d a a d +=+（）（）， 解得111a d ==，．则n a n =；（Ⅱ）()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++， 可得前n 项和1111112231n T n n =-+-++-+L .1111n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．19.如图，直棱柱111ABC A B C -中，D E ，分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB ===，22AB =（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（26 【解析】【分析】（1）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，则BC 1∥DF ，由此能证明BC 1∥平面A 1C ． （2）以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系C ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【详解】（1）如图，连接1AC 交1A C 于点F ，则点F 为1AC 的中点，连接DF .因为D 是AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DF 是中位线，所以1//DF BC .因为1BC ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD .（2）因为22AC CB AB ==， 所以90ACB ︒∠=，即AC BC ⊥.则以C 为坐标原点，分别以CA u u u r ，u u r CB ，1CC u u u u r 为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设12AA AC CB ===，则(0,0,0)C ，(1,1,0)D ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A则(1,1,0)CD =u u u r ，(0,2,1)CE =u u u r ，1(2,0,2)CA =u u u r . 设111(,,)m x y z =u r 是平面1DA C 的一个法向量，则100m CD m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩， 取11x =，则11y =-，11z =-，则(1,1,1)m =--u r. 设222(,,)n x y z =r 是平面1EA C一个法向量，则100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u uv v ，即222220220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 取22x =，则21y =，22z =-，则(2,1,2)n =-r .所以cos ,m n 〈〉==u r r ， 所以sin ,3m n 〈〉=u r r ， 即二面角1D A C E --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos B C b c +=（1）求b 的值；（2）若cos 2B B =,求a c +的取值范围. 【答案】（1）b =（2）a c +∈⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin A C转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos B C b c +=应用余弦定理，可得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=化简得2b =则b =（2）Q cos 2B B +=1cos 12B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈Q 62B ππ∴+= 所以3B π=法一.Q 21sin bR B ==,则sin sin a c A C +=+ =2sin sin 3A A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=3sin 2A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<Q 2a c ∴<+≤法二因为b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立. 所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭a c ∴+≤2a cb +>=综上a c +∈⎝21.已知数列{}n a 中，132a =且12n a =()11n a n -++()2n n N *≥∈，． （Ⅰ）求2a ，3a ；并证明{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）925,48，证明见解析；（Ⅱ）()1122n n n +-⋅++. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出2a 和3a 的值，再根据题意将n a 的递推式代入n a n -进行计算化简最终会得到n a n -和()11n a n ---的关系，最终得证数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得n b 的通项公式，得到·21n n b n =+，由n b 通项公式的特点可根据错位相减法得到数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】（Ⅰ）由题意，可知：()211212a a =++= 13921224⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭， ()321312a a =++= 192531248⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭．①当1n =时，1311122a -=-=， ②当2n ≥时，()1112n n a n a n n --=++-= 1111222n a n n -++-= 1111222n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n -⎡⎤--⎣⎦． ∴数列{}n a n -是以12为首项，12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ），可知：12nn a n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴ 12nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．*n N ∈． ∴ 1222n n n n n b a n ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 122212n n n n n n ⋅+⋅=⋅+． 123n n S b b b b ∴=++++L()()12121221=⋅++⋅++ ()()332121n n ⋅++⋅+L1231222322n n n =⋅+⋅+⋅++⋅+L ， ③2321222n S =⋅+⋅+L ()11222n n n n n ++-⋅+⋅+ ④③-④，可得： 123121212n S -=⋅+⋅+⋅+L +11222n n n n n +⋅-⋅+- 1122212n n n n ++-=-⋅-- ()1122n n n +=-⋅--，()1122n n S n n +∴=-⋅++【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前n 项和．本题属中档题．22.已知21()(2)(0)2x f x ax ax x e a =-++->． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在3个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）22(2,)(,)e e e +∞U【解析】【分析】(1)对函数求导，比较导函数的两根大小，进而得到单调性；（2）通过函数表达式可得到函数有一个零点2，要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根，即()22,0x e a x x=≠，令()2xe h x x=对函数求导研究函数单调性，结合函数的图像得到参数范围. 【详解】（1）()()()()21x x x f x ax a e x e x e a =-+++-=--' 因为0a >，由()0f x '=，得11x =或2ln x a =．（i ）当0a e <<时，1ln a >，在(),ln a -∞和()1,+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()ln ,1a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（ii ）当a e =时，1ln a =，在(),-∞+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，（iii ）当a e >时，ln 1a >，在(),1-∞和()ln ,a +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,ln a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（2）()()()2112222x x f x ax ax x e x ax e ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点2x =．要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根， 又方程()()12022,02x x e ax e x a x x -+=≠⇔=≠，令()()22,0xe h x x x=≠，即函数y a =与()y h x =图像有两个交点，令()()2221220x x x e x xe e h x x x-='-==，得1x = ()h x 的单调性如表：x (),0-∞()0,1 1 ()1,2 ()2,+∞ ()h x '－ － 0 ＋ ＋ ()h x↘ ↘ 极小值 ↗ ↗当0x <时，()0h x <，又()22h e =，()h x 的大致图像如图， 所以，要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为()()222,,e e e ⋃+∞ 【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。
专题08 巧辨“任意性问题”与“存在性问题(解析版)
2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇 函数与导数专题08 巧辨“任意性问题”与“存在性问题”一．方法综述含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”问题,历来是高考考查的一个热点，也是高考复习中的一个难点．破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与“存在性”问题也是解题的关键．本专题举例说明辨别“任意性问题”与“存在性问题”的方法、技巧.二．解题策略类型一 “∀x ，使得f(x)>g(x)”与“∃x ，使得f(x)>g(x)”的辨析(1)∀x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )min ＝[f (x )－g (x )]min >0.如图①.(2)∃x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max >0.如图②. 【例1】【2020·河南濮阳一中期末】已知函数1()ln (0),()a f x a x a g x x x x=-≠=--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若存在0[1,]x e ∈，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.【解析】（I ）()f x 的定义域为'221(0,),().a a x f x a x x x ++∞=--=- 所以，当0a >时，()'0f x <，()f x 在(0,)+∞上递减；当0a <时，()'0fx >，所以，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）在[]1e ，上存在一点0x 使00()()f xg x <成立， 即函数1()ln a h x a x x x x=-++在[]1,e 上的最小值小于0, ()'222(1)1+1()1x x a a a h x x x x x+-⎡⎤⎣⎦=--+-=.①当1+a e ≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减， 所以()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<， 得222111,1,111e e e a e a e e e +++>>-∴>---Q ； ②当11a +≤，即0a ≤时，0a >Q ，不合乎题意；③当11a e <+<，即01a e <<-时，()h x 的最小值为()1h a +，0ln(1)1,0ln(1),a a a a <+<∴<+<Q 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>. 此时(1)0h a +<不成立.综上所述，a 的取值范围是211e a >e +-. 【指点迷津】(1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当x 0≥0时，总有f (x 0)≥g (x 0)，即f (x 0)－g (x 0)≥0(注意不是f (x )min ≥g (x )max )，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )≥0恒成立问题．(2)存在x ≥0，使得f (x )≥g (x )，即至少有一个x 0≥0，满足f (x 0)－g (x 0)不是负数，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )的函数值至少有一个是非负数． 【举一反三】【2020·江西瑞金一中期中】已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<Q ，()422ln 20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--=Q 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为3类型二 “若1122x D x D ∃∈∃∈，，，使得()()12f x g x ＝”与“1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝”的辨析(1) 1122x D x D ∃∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 与g (x )在D 2上的值域B 的交集不是空集，即A ∩B ≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2) 1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 是g (x )在D 2上的值域B 的子集，即A ⊆B ，如图④.其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的值域都在函数y ＝g (x )的值域之中． 说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影． 【例2】【2020河北衡水中月考】已知函数()()()11ln 1f x a x x =---+，()1xg x xe -=.（1）求()g x 在区间(]0,e 上的值域；（2）是否存在实数a ，对任意给定的(]00,x e ∈，在[]1,e 存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =，若存在，求出a 的范围，若不存在，说出理由. 【解析】（1）()()1'1xg x x e-=-，()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，(]1,x e ∈时，()'0g x <，()g x 单调递减，()00g =，()11g =，()10e g e e e -=⨯>，∴()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1. （2）由已知得1()1f x a x='--，且[]1,x e ∈， 当0a ≤时，()'0f x ≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意． 当11a e≥-时，()'0f x ≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，不合题意． 当101a e <<-时，()0f x '=得011x a=-．当1(1,)1x a∈-时()'0f x <，()f x 单调递减， 当1()1x e a ，∈-时，()'0f x >，()f x 单调递增，∴()min 11f x f a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由（1）知()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1，而()11f =，所以对任意(]00,x e ∈，在区间[]1,e 上总有两个不同的()1,2i x i =，使得()()0i f x g x =.当且仅当()1101fe f a ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，即()()()()()1111ln 1102a e a a ⎧--≥⎪⎨+-+≤⎪⎩， 由（1）得111a e ≤--. 设()()ln 11h a a a =+-+，10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'111a h a a a =-=--， 当10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0h a <，()h a 单调递减，∴()11110h a h e e⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭. ∴()0h a ≤无解.综上，满足条件的a 不存在. 【指点迷津】本例第(2)问等价转化的基本思想是：函数g (x )的任意一个函数值都与函数f (x )的某两个函数值相等，即f (x )的值域都在g (x )的值域中． 【举一反三】【2020·河南南阳一中期中】已知函数1()ln 1f x x x=+-, 32()324g x x a x a =--+, []0,1x ∈,其中0a ≥.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]11,x e ∈,总存在[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,求a 的取值范围. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,22111()x f x x x x-'=-+=, 令()0f x '>,解得1x >,令()0f x '<,解得01x <<,∴函数()f x 的减区间为(0,1),增区间为(1,)+∞;（2）依题意,函数()f x 在[]1,e 上的值域包含于函数g x （）在[]0,1上的值域,由（1）可知,函数()f x 在[]1,e 上单调递增,故值域为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,由32()324g x x a x a =--+得22()333()()g x x a x a x a '=-=+-, ①当0a =时,()0g x '≥恒成立,故函数g()x 在[]0,1上单调递增,此时值域为[]224,3254,5a a a ⎡⎤-+--+=⎣⎦,故0a =不符合题意;②Q 当0a >时,()0g x '>的解集为(,)a +∞,()0g x '<的解集为(0,)a ,∴ 故函数()g x 在(0,)a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,且2(0)42,(1)325g a g a a =-=--+,()i 当01a <<时,函数g()x 在(0,)a 上单调递减,在(,1)a 上单调递增,此时值域为{}32224,42,325a a max a a a ⎡⎤--+---+⎣⎦,则此时需要32240a a --+≤,即320a a +-≥,当01a <<时,320a a +-≥不可能成立,故01a <<不符合题意; ()ii 当1a ≥时,()0g x '≤在[]0,1上恒成立,则函数g()x 在[]0,1上单调递减,此时值域为2325,42a a a ⎡⎤--+-⎣⎦,则23250142a a a e ⎧--+≤⎪⎨-≥⎪⎩,解得1122a e ≤≤-; 综上所述,实数a 的取值范围为11,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 类型三 f (x )，g (x )是闭区间D 上的连续函数，“∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”与“∃x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”的辨析(1)f (x )，g (x )是在闭区间D 上的连续函数且∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )min >g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值均大于函数y ＝g (x )的任意一个函数值．如图⑤.(2)存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )max >g (x )min .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的某一个函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值．如图⑥.【例3】【2020·甘肃天水一中月考】已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.(1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】（1）1()(0)g x m x x =-+>'， 当0m ≤时，1()0g x m x=-+>'恒成立，即函数()g x 的单调增区间为∞（0，+），无单调减区间，所以不存在极值．当0m >时，令1()0g x m x =-+='，得1x m =,当10x m <<时，()0g x '>，当1x m>时，()0g x '<，故函数()g x 的单调增区间为10m （，），单调减区间为1m+∞（，），此时函数()g x 在1x m =处取得极大值，极大值为111()ln 1ln g m m m m m=-⨯+=--，无极小值．综上，当0m ≤时，函数()g x 的单调增区间为()0+∞，，无单调减区间，不存在极值．当0m >时，函数()g x 的单调增区间为10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，极大值为1ln m --，无极小值 （2）当0m >时，假设存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立，则对[]1,2x ∈，满足max min ()()f x g x > 由(1)(1ln )()3x x f x m x++=-[]1,2x ∈（）可得，221(1ln 1)(1)(1ln )ln ()x x x x x x x f x x x +++-++-=='. 令[]()ln 1,2h x x x x =-∈（），则1()10h x x'=-≥，所以()h x 在[]1,2上单调递增，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0f x '>，所以()f x 在[]1,2上单调递增，所以max (21)(1ln 2)3(1ln 2)()(2)3322f x f m m +++==-=-由（1）可知，①当101m<≤时，即m 1≥时，函数()g x 在[]1,2上单调递减，所以()g x 的最小值是(2)2ln 2g m =-+．②当12m ≥，即102m <≤时，函数()g x 在[]1,2上单调递增， 所以()g x 的最小值是(1)g m =-．③当112m <<时，即112m <<时，函数()g x 在11,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.又(2)(1)ln 22ln 2g g m m m -=-+=-，所以当1ln 22m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-.当ln 21m ≤<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(2)ln 22g m =-所以当0ln 2m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-，故3(1ln 2)32m m +->-， 解得3(1ln 2)4m +>,所以ln 20m >>． 当ln 2m ≤时，函数()g x 在[]1,2上的最小值是(2)ln 22g m =-，故3(1ln 2)3ln 222m m +->-， 解得3ln 22m +>，所以3ln 2ln 22m +≤<.故实数m 的取值范围是3ln 20,2+⎛⎫⎪⎝⎭【指点迷津】1.本例第(2)问从形的角度看，问题的本质就是函数f (x )图象的最低点低于g (x )图象的最高点．2.题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.【举一反三】【2020·四川石室中学月考】已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x=+，∴2()1a g x x =-'，（Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（ⅱ）∵211()2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 类型四 “∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)”与“∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)”的辨析(1)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最小值大于g (x )在D 2上的最小值，即f (x )min >g (x )min (这里假设f (x )min ，g (x )min 存在)．其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值大于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑦.(2)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最大值小于g (x )在D 2上的最大值，即f (x )max <g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值小于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑧. 【例4】【2020·江西抚州二中期末】已知函数()42ln af x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26xg x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，224()1a a f x x x -'=-++2(2)[(2)]x x a x---=， 由()0f x '=，得2x =或2=-x a .当4a >即22a ->时，由()0f x '<得22x a <<-， 由()0f x '>得02x <<或2x a >-；当4a =即22a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间.（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增，从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--.对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21x ∈+∞,，使()g x 的值不超过()22e f x +在区间[)2,+∞上的最小值26e -.由2266xe e mx ≥+--，22e e xm x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()22222()x x e x e xh x e x ---'=Q ()232x x e xe e x+-=-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22xxe xe e +-20xx xee >-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-，从而2m e e ≤-. 【指点迷津】“对任意x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“f (x )在(0,2)上的最小值大于或等于g (x )在[1,2]上的最小值”． 【举一反三】【2020重庆西南大学附中月考】已知函数()()()11ln x x f x x++=，()()ln g x x mx m R =-∈ .（1）求函数()g x 的单调区间；（2）当0m >时，对任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，试确定实数m 的取值范围.【解析】（1）由()()ln 0g x x mx x =->，得()'1g x m x=-.当0m ≤时，()'0g x >，所以()g x 的单调递增区间是()0,∞+，没有减区间.当0m >时，由()'0g x >，解得10x m <<；由()'0g x <，解得1x m>，所以()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间；当0m >时，()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当0m >时，对任意[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，只需()()min min 3f x m g x ->成立.由()()()11ln ln 1ln 1x x x f x x xxx++==+++，得()'2221ln 11ln x x xf x x xx x--=+-=.令()()ln 0h x x x x =->，则()'1x h x x-=.所以当()0,1x ∈时，()'0h x <，当()1,x ∈+∞时，()'0h x >.所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，且()11h =，所以()()()min 110h x h x h ≥==>.所以()'0f x >，即()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在[]1,2上递增，所以()()min 12f x f ==.由（1）知，当0m >时，()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，①当101m<≤即m 1≥时，()g x 在[]1,2上递减，()()min 2ln22g x g m ==-； ②当112m <<即112m <<时，()g x 在11,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,2m ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，()()(){}min min 1,2g x g g =，由()()()21ln22ln2g g m m m -=---=-， 当1ln22m <≤时，()()21g g ≥，此时()()min 1g x g m ==-， 当ln21m <<时，()()21g g <，此时()()min 2ln22g x g m ==-， ③当12m ≥即102m <≤时，()g x 在[]1,2上递增，()()min 1g x g m ==-， 所以当0ln2m <≤时，()()min 1g x g m ==-， 由0ln223m m m<≤⎧⎨->-⎩，得0ln2.m <≤当ln2m >时，()()min 2ln22g x g m ==-，由ln223ln22m m m>⎧⎨->-⎩，得 ln22ln2m <<-．∴ 02ln2m <<-．综上，所求实数m 的取值范围是()0,2ln2-．三．强化训练1．【2020·江西萍乡一中期中】已知函数ln ()xx af x e+=. （1）当1a =时，求()f x 的极值； （2）设()xg x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有()()11112xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，ln 1()xx f x e+=，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以1ln ()xx x xf x xe--'=，且0x xe >， 令()1ln h x x x x =--，所以当01x <<时，10,ln 0x x x -><， 所以()1ln 0h x x x x =-->. 又()2ln h x x '=--，所以当1x >时，()2ln 0h x x '=--<，所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h <=. 同理当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)是单调递增，在(1,)+∞单调递减， 所以当1x =时，()f x 的极大值为1(1)f e=，无极小值. （2）令()()xm x xe f x ax =-，因为对任意12,(0,)x x ∈+∞都有()()11112xx e f x ax g x ->成立，所以()()12min max m x g x >.因为()()ln xm x xe f x ax x x =-=， 所以()1ln m x x '=+.令()0m x '>，即1ln 0x +>，解得1x e>； 令()0m x '<，即1ln 0x +<，解得10x e<<.所以()m x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以min 11()m x m e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因为()xg x xea -=-，所以()(1)xg x x e -'=-，当0x >时0x e ->，令()0g x '>，即10x ->，解得01x <<；令()0g x '<，即10x -<，解得1x >. 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max 1()(1)g x g a e==-， 所以11a e e->-， 所以2a e >，即实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 2．【2020·河北邯郸期末】已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xxf x f x e e +-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 【解析】（1）2()2()9xx f x f x e e+-=+-Q ,…① 所以2()2()9xx f x f x ee ---+=+-即1()2()29xx f x f x e e-+=+-…② 由①②联立解得:()3xf x e =-.（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+,()()()1333x x x F x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+Q又()(1)0xF x x e ''=-+<Q 在(1,1)-上恒成立, 所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=-> ()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩,解得:37a -≤≤实数a 的取值范围为[3,7]-. （3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =1232,0,ln 4T T T ∴=-==当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)--. 故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(12)-、ln3,ln(3ln 4)+、12(1ln 2)--3．【2020·天津滨海新区期末】已知函数()2ln h x ax x =-+.（1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】()1当1a =时，()()12ln ,'2h x x x h x x=-+=-+2x =时，()()3'2,24ln 22h h =-=-+()h x ∴在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=-- 化简得：322ln 220x y +-+=()2对函数求导可得，()()221'0ax ax f x x x-+=>令()'0f x =，可得2210ax ax -+=20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为()1,2 ()3由2210ax ax -+=，解得121,1x x a a=-=+而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增12a <<Q2112x a ∴=+<+()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增 ∴在12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+012x ⎡⎤∴∃∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对a M ∀∈恒成立等价于不等式2(2ln 2ln 1112))()n (l 2a a m a a -+++>--++恒成立 即不等式2()ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()()121210,'1ma a m g g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==+ ①当0m ≥时，()()'0,g a g a <在()1,2上递减()()10g a g <=不合题意②当0m <时，()1212'1ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+ 12a <<Q若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上先递减 ()10g =Q12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立若111,2m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即14m ≤-，则()g a 在()1,2上单调递增 ()()10g a g ∴>=恒成立m ∴的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦4．【2020·全国高三专题练习】已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）当1a =时，因为()3213x x x f x =-+所以()221x x f x =-+'，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =. 若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a . 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .（Ⅲ） 由题设，只要()()max min 23f x f x -≤即可. 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，(),()f x f x ' 变化情况如下表：由表可知(0)0(1)f f =>，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()'f x f x , 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,,，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，因()()2203f f -=，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤⎧⎨≥⎩，即3211262311026a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩ ，解得113a ≤<. 当1a =时，由（Ⅱ）知()f x 在[]0,2为增函数， 此时()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，符合题意. 当12a <<时，同理只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤⎧⎨≥⎩，即3211226311062a a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ ，解得513a <≤. 当2a ≥时，2()(1)32f f >=，()2()0(311)f f f =->，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5．【2020·河南安阳期末】已知函数()ln f x x x x =+，()x xg x e=. （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()00,1,,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.【解析】（1）()()2f xg x ax ≥，即()2ln x x x x x ax e +⋅≥，化简可得ln 1x x a e+≤. 令()ln 1xx k x e +=，()()1ln 1xx x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[)1,+∞上单调递减，()()11k x k e≤=.所以a 的最小值为1e.（2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x xx x x e+>>.两边同除以x 可得11ln x x x e+>.设()1ln t x x x =+，则()22111x t x x x x-'=-=.在()0,1上，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减.在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=. 设()1x h x e=，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即001ln x x e=，要证()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =，()10xxF x e -'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-.即要证01011122ln x x x x x x e--<. 记()0022ln x xx xm x x x e--=-，01x x <<. 因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()00000ln 0x xm x x x e =-=.()0000022212121ln 1ln x x x x x xx x x xm x x x e e e---+--'=++=++-. 设()t t n t e =，()1t tn t e-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>.()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1n t e=.且()0n t >，故()10n t e <<，因为021x x ->，所以002120x x x xe e ---<<.因此()0m x '>，即()m x 在()01,x 上单调递增.所以()()00m x m x <=，即01011122ln x x x x x x e --<.故()()2012F x F x x <-得证.6．【2020·山东邹平一中期末】已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+. (1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值; (3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <. 【解析】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，1cos 1x -≤≤Q ,()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，, ()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立; (2)由()()()ln ,10m x mg x x m x g x x x x+'=+∴=+=> 当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，上为增函数,无极值 当()()0,00;0m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数,()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,综上知:当()0m g x ≥，无极值,当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)当()11sin 22a f x x x ==-，在()0+∞，上为增函数, 由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，上为增函数, 这时,()()f x g x +在()0+∞，上为增函数, 所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠ 所以有0m <现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:111222112sin ln 2sin ln 22x x m x x x m x -+=-+()()()2121211ln ln 2sin sin 2m x x x x x x --=---①1122sin sin x x x x -<-()()212111sin sin 22x x x x -->--② 由①②式可得:()()()2121211ln ln 22m x x x x x x -->--- 即()()21213ln ln 02m x x x x -->-> 又1221ln ln ,ln ln 0x x x x <->2121302ln ln x x m x x -∴->⨯>-③ 又要证12249x x m <，即证21294m x x > 120,0m x x <<<Q即证m ->④所以由③式知,只需证明:2121ln ln x x x x ->-2121ln 1x x x x -> 设211x t x =>,只需证1ln t t->即证()ln 01t t >> 令()()ln 1h t t t =-> 由()()()2101h t t h t '=>>，在()1+∞，上为增函数, ()()10h t h∴>=2121ln ln x x x x -∴>-,所以由③知,0m ->>成立, 所以12249x x m <成立. 7．【2020·陕西西安中学高三期末】已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a -≤＜，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）∵依题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，∴2()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. 当0a >时，由()0f x'>得x ()0fx '<得0x <<综上可得当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，()f x 在(上单调递减；在)+∞上单调递增.（2）因为20a -≤<，由（1）知，函数()f x 在[]1,2上单调递增，不妨设1212x x ≤≤≤，则121211()()f x f x mx x -≤-， 可化为2121()()m m f x f x x x +≤+， 设21()()ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[]1,2上的减函数， 即2()0a mh x x x x=--≤'在[]1,2上恒成立，等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立， 设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤＜，所以2()30＞'=-g x x a ，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数，所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立） 所以12m ≥．8．【2020·浙江温州期末】已知函数()()2log ln a f x x x x =+-，1a >. （1）求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（2）若关于x 的方程()1f x t -=在区间()0,∞+上有三个零点，求实数t 的值；（3）若对任意的112,,x x a a -⎡⎤∈⎣⎦，()()121f x f x e -≤-恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围.【解析】（1）()()2ln 1'21ln x f x xx a =⋅+-,∵1x >,∴()'0f x >,故()f x 在()1,+∞上单调递增.（2）()()()()2222ln ln ln 'ln x x a a f x x a +-=,令()()()222ln ln ln g x x x a a =+-,()()22'ln 0g x a x=+>,()10g =, 故当()0,1x ∈,()'0g x <,()1,x ∈+∞,()'0g x >,即()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,x ∈+∞上单调递增.()11f =, 若()()11f x t f x t -=⇔=±在区间()0,∞+上有三个零点,则11t -=,2t =.（3）()f x 在1,1x a -⎡⎤∈⎣⎦上单调递减；在(]1,x a ∈上单调递增.故()()min 11f x f ==,()()max 1max ,f x f f a a ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 令()()112ln h a f f a a a a a ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭,∴()0h a <, 故()max 1ln f x a a =+-,∴ln 1ln 1a a e a a e -≤-⇒-≤-, 因为1a >,设()ln a a a ϕ=-则1'()10a aϕ=->,故()ln a a a ϕ=-为增函数, 又()ln 1e e e e ϕ=-=-. ∴(]1,a e ∈.9．【2020·浙江台州期末】已知函数()ln f x a x x b =-+，其中,a b ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）使不等式()ln f x kx x x a ≥--对任意[]1,2a ∈，[]1,x e ∈恒成立时最大的k 记为c ，求当[]1,2b ∈时，b c +的取值范围.【解析】（1）因()f x 的定义域为()0,∞+，()()'10af x x x=->， 当0a ≤时，()'0f x <，∴()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()'f x 在()0,∞+上单调递减，()'0f a =， ∴()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减； （2）()()l ln n f x kx x x f x x x a k x a ++⇒≤≥--()1ln ln a x x x x bx+-++=. ∵[]1,2a ∈，[]1,x e ∈，∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥， 令()()21ln ln ln 'x x x x b x x b g g x x x x+-++-+-=⇒=， 由（1）()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；（1）当()10p ≥，即1b =时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≥⇒≥，∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.（2）当()0p e ≤，即[]1,2b e ∈-时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≤⇒≤，∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 22b b c g x g e b c b e e ++===⇒+=+14,2e ee ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦.（3）当()()10p p e <时，()ln p x x x b =-+-在上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈，使得()00p x =，则当()01,x x ∈时()()0'0p x g x ⇒<⇒<.当()0,x x e ∈时()()0'0p x g x ⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+.此时00ln b x x =-. 令()()()11ln '10x h x x x h x h x x x-=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增， ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈，∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述，42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 10．【2020·蒙阴实验中学期末】设函数()212ln 222af x ax x x -=+++，a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）2x =是函数()f x 的极值点，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，()217ln 422g x x x x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，若[)11,x ∀∈+∞，()20,x ∃∈+∞，使不等式()()1122mf xg x x x -≥+恒成立，求m 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，2a =时，()2ln 2f x x x =++，()12f x x x'=+， ()13f '=，()13f =，所以切线方程为()331y x -=-，即30x y -=.（2）()()22221222ax a x a f x ax x x+-+-'=++=， 2x =是函数的极值点，()8422204a a f +-+'==，可得1a =-，所以()2232(0)2x x f x x x-++'=>，令()0f x '>，即22320x x --<，解得1,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，结合定义域可知()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减. （3）令()()()2ln ln 26h x f x g x x x x x =-=+++，[)11,x ∀∈+∞，[)20,x ∃∈+∞， 使得()()1122m f x g x x x -≥+恒成立，等价于()()2min 21mh x x x x ≥+≥⎡⎤⎣⎦， ()12ln 2h x x x x x'=++-，因为1x ≥，所以2ln 0x x ≥，12x x+≥，即()'0h x ≥， 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()14h x h ≥=， 即()20,x ∃∈+∞使得函数4mx x+≤，即转化为240x x m -+≤在()0,∞+有解， ()22424x x m x m -+=--+，所以40m -+≤，4m ≤.。
【高中数学专项突破】专题8 等式性质与不等式性质专题突破(含答案)
【高中数学专题突破】专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥402.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ） A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y +=D ．54200x y +≤5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小.7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a <b <0B.a <0<bC.a >0>bD.a >b >010.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a <b <0，则a 2<b 2；②若<c ，则a <bc ； ③若a >b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号)11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．9D ．1312.若102a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 319.若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A.a 1b 1＋a 2b 2 B.a 1a 2＋b 1b 2 C.a 1b 2＋a 2b 1 D.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．23．若两个正实数x ，y 1x y=246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.专题8 等式性质与不等式性质题组1 用不等式（组）表示不等关系1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥40 【答案】C2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种 【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片，y 盒.则即①当x ＝3时，7y ≤32，y ≤.∵y ∈N *且y ≥2，∴y 可以取2,3,4，此时有3种选购方式；②当x ＝4时，7y ≤26，y ≤，∵y ∈N * 且y ≥2，∴y 可以取2,3，此时有2种选购方式；③当x ＝5时，y ≤，∵y ∈N *且y ≥2，∴y 只能取2，此时有1种选购方式；④当x ＝6时，y ＝2，此时有1种选购方式.综上，共有7种选购方式.3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ）A ．25105x x -⎧⎨<<⎩B ．251x -或521x -C ．52105x x -⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意，其中一段的长度为x m 可知另一段绳子的长度为()5m x -，因为两段细子的长度之差不小于1m ，可得()5105x x x ⎧--⎪⎨<<⎪⎩，即25105x x ⎧-⎨<<⎩. 故选D.4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y += D ．54200x y +≤【答案】D【解析】由题意，可得50040020000x y +≤，化简得54200x y +≤. 故答案为: D.5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.【答案】【解析】由题意可得题组2 作差法比较大小5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小顺序是________.【答案】z >y >x【解析】方法一 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x ， ∵z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，∴z 2>y 2，即z >y ，故z >y >x . 方法二 特值代换法，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，z ＝，则x <y <z ，故z >y >x .6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ⊖B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ⊖N 的大小. 【答案】∵MN ＝M 2＋N 2＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝2a 2＋2b 2， M ⊖N ＝M ·N ＝(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，∴MN －M ⊖N ＝2a 2＋2b 2－(a 2－b 2)＝a 2＋3b 2≥0，∴MN ≥M ⊖N . 7.已知0a b +>，比较22a b b a +与11a b+的大小. 【答案】2211a b b a a b+≥+ 【解析】222211a b a b b a b a a b b a--⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭2211()a b b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭222()()a b a b a b+-=. ∵0a b +>，2()0a b -≥，∴222()()0a b a b a b +-≥，当且仅当a b =时，取等号，∴2211a b b a a b+≥+.题组3 不等式的性质8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2D.＋<(a ≠b )【答案】D【解析】显然有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2，又a 2＋b 2－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥(a＋b )2，故选D.9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )A.a <b <0B.a <0<bC.a >0>bD.a >b >0 【答案】D【解析】因为x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，所以，a >b >0，故选D.10.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a <b <0，则a 2<b 2；②若<c ，则a <bc ；③若a >b ，则c －2a <c －2b ；④若a >b ，则<. 其中，正确的结论是________.(填序号) 【答案】③【解析】①用特殊值法检验.令a ＝－2，b ＝－1，有4>1，故①错误；②当b <0时，有a >bc ，故②错误；③当a >b 时，有－2a <－2b ，从而c －2a <c －2b ，故③正确；④当a >0，b <0时，显然有>，故④错误.综上，只有③正确.11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13【答案】C【解析】因为正数x 、y 满足x y xy +=，所以1xy x =-（1x >），所以441x x y x x +=+-441x x =++-，令1t x =-，0t >， 44455x y t t t t+=++=++，由对勾函数4()f t t t=+在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)4f t f ==， 所以4x y +的最小值为9，此时33,2x y ==． 故选：C ． 12.若102a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8B ．1 4C ．1 2D ．1【答案】A【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()2212111122122228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤⋅= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”，所以正确选项为A13.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．1ab< B ．+2b a a b≥ C ．2211ab a b< D ．22++a b a b <【答案】ABD【解析】对于选项A ，当2,1a b =-=-，a b <，22>11a b -==-，此时1a b<不成立；对于选项B ，当1,1a b =-=，a b <，+2b a a b =-，此时+2b aa b≥不成立； 对于选项C ，2222221111,,0a b a b b a a b a a b b b a --=<∴-<，所以2211ab a b<成立；选项D ，当222,1,+2,+0a b a b a a b b =-=-<==，，此时22++a b a b <不成立. 故选：ABD.题组4 利用不等式的性质判断或证明14.已知a >6，求证：－<－. 【答案】方法一 要证－<－，只需证＋<＋，只需证<，只需证2a －9＋2<2a －9＋2，只需证<，只需证(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，只需证18<20，因为18<20显然成立，所以不等式－<－成立. 方法二 要证－<－，只需证<，因为a >6，所以a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0， 又因为a －3>a －5，所以>， 同样有>，则＋>＋，所以－<－.15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c －<a <c ＋. 【答案】证明 要证c －<a <c ＋，只需证－<a －c <，即证|a －c |<，两边平方得a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证a 2＋ab <2ac ，因为2c >a ＋b ，a 为正实数，所以a 2＋ab <2ac 成立，所以原不等式成立.16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.【答案】证明 (a 5＋b 5)－(a 2b 3＋a 3b 2)＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )·(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2). ∵a ，b 都是正数，∴a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0.又∵a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)>0， ∴a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2.17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥题组5 利用性质比较大小18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 3 【答案】B【解析】因为a2＋a<0，所以a(a＋1)<0，所以－1<a<0，根据不等式的性质可知－a>a2>－a3，故选B.19.若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A.a1b1＋a2b2B.a1a2＋b1b2C.a1b2＋a2b1D.【答案】A【解析】方法一特殊值法令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.方法二作差法∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2，∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，∴0<a1<，0<b1<.又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－－，a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝＋－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4>0，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)＝2>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.题组6 利用不等式的性质求范围20．已知1122α-≤≤，02β≤≤，则22βα-的取值范围是________. 【答案】[]2,1- 【解析】由1122α-≤≤，则121α-≤≤，又由02β≤≤，得102β-≤-≤， 则2212βα-≤-≤.故答案为：[]2,1-.21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______【答案】[]1,7【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤①13x y ≤-≤,22()6x y ∴≤-≤⋯②∴①+②得137x y ≤-≤.故答案为[1,7]22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b 2<1<b ，产生矛盾，所以a>0，则b 2>1>b ，解得b ∈(－∞，－1)．23．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】(2,8)-. 【解析】解：411x y+=44⎛⎫=+=++816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号.246x m m +>-恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈- 故答案为：()2,8-。
重难点专题08 极值点偏移的十大类型(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
极值点偏移问题中（极值点为x0），证明x1+x2>2x0或x1+x2<2x0的方法：①构造F(x)=f(x)―f(2x―x)，②确定F(x)的单调性，③结合特殊值得到f(x)―f(2x0―x2)>0或f(x2)―f(2x0―x2)<0，再利用f(x1)=f(x2)，2得到f(x)与f(2x0―x2)的大小关系，1④利用f(x)的单调性即可得到x1+x2>2x0或x1+x2<2x0.处理极值点偏移问题中的类似于x1x2<a（f(x)=f(x2)）的问题的基本步骤如下：1①求导确定f(x)的单调性，得到x1,x2的范围；②构造函数F(x)=f(x)―f a，求导后可得F(x)恒正或恒负；x极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0；4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0.比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值（一般用t表示）表，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数示两个极值点，即t=x1x2问题求解．两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)=a―bln a―ln b(a≠b), a(a=b).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab≤L(a,b)≤a+b2（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a=b时，等号成立．。
专题八 几何证明之四边形中的三角形全等问题 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题八几何证明之四边形中的三角形全等问题1、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证DG＝BE；（2）连接FC，求tan∠FCN的值；（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴△BAE≌△GAD（SAS），∴DG＝BE；（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，又AE＝EF，∴△BAE≌△MEF（ASA），∴FM＝BE，EM＝AB，又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，∴CM＝FM，在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，同理可证∠GAD＝∠FEM，又AG＝EF，∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，∴EM＝AD＝BC＝8，＝，设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，∴CM＝BE＝a，∴＝，∴FM＝，∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．2、【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．【实践探究】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋转得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，即正方形ABCD的边长是6；故答案为：6；（2）EF2＝BE2+DF2，理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ 于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，设DM＝x，则MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的长是2．3、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）解：∠BFD＝2∠A时，四边形BECD成为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．4、已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，∵EM∥BC，∴∠MEC+∠ECD＝180°，∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；（3）证明：∵△BAD≌△CAE，∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACE，∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠EMC，∴ME＝EC，∴DB＝ME，又∵EM∥BD，∴四边形MBDE是平行四边形．5、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴AB＝CE＝3，∵AD＝4，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD＝5，∵△BD≌△ECB，∴D＝BE＝4，∴DE＝BD﹣BE＝1，∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝．6、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．（1）如图1，求证：BE∥DF；（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：由（1）得：△AFD≌△CEB，同理：△ABF≌△CDE（SAS），∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，作BG⊥AC于G，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，∴BG＝＝＝AB，∴AG＝＝＝AB，∴AE＝2AG＝AB，∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．7、如图，在平行四边形ABCD中，点G在CD上，点H在AB上，且DG＝BH，点E．F在AC上，且AE＝CF．连接GF，FH，HE，EG．（1）求证：△CFG≌△AEH；（2）若AG＝GC，则四边形EHFG是什么特殊四边形？请说明理由．证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠GCF＝∠HAE，∵DG＝BH，∴GC＝AH，在△CFG与△AEH中，，∴△CFG≌△AEH（SAS）；（2）∵△CFG≌△AEH，∴GF＝EH，∠AEH＝∠GFC，∴∠FEH＝∠EFG，∴四边形EGFH是平行四边形，∵AG＝GC，∴∠GAE＝∠GCF，在△GAE与△GCF中，∴△GAE≌△GCF（SAS），∴EG＝GF，∴平行四边形EGFH是菱形．8、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE．（2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）；（2）证明：∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴四边形BECF是菱形，∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，∴EF＝BC，∴四边形BECF是正方形．9、阅读材料：教育部基础教育司负责人解读“2020新中考”时强调要注重学生分析与解决问题的能力，要增强学生的创新精神和综合素质．王老师想尝试改变教学方法，将以往教会学生做题改为引导学生会学习．于是她在菱形的学习中，引导同学们解决菱形中的一个问题时，采用了以下过程（请解决王老师提出的问题）：先出示问题（1）：如图1，在等边三角形ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，如果BD＝CE，连接AD、BE，AD、BE相交于点P，求∠APE的度数．学习，王老师请同学们说说自己的收获．小明说发现一个结论：在这个等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，则∠APE的度数就是一个定值，不会发生改变．紧接着王老师出示了问题（2）：如图2，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为BC上一点，F为CD上一点，BE＝CF，连接DE、BF，DE、BF相交于点P，如果DP＝4，BP＝3，求出菱形的边长．问题（3）：通过以上的学习请写出你得到的启示（一条即可）．解：问题（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠ABP+∠EBC＝∠ABC＝60°；问题（2）过点D作DG⊥BF交BF于点G，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝60°，BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝BD，由（1）可知∠DPG＝60°，在Rt△DPG中，sin60°＝，即＝，解得：DG＝2，cos60°＝，即＝，解得：PG＝2，∴BG＝BP+PG＝3+2＝5，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2+DG2＝52+（2）2＝37，∴BD＝，∴BC＝BD＝，∴菱形的边长为；问题（3）平时应该注意基本图形的积累，在学习过程中做个有心人．10、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．11、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系．（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵BD+CD＝BC，∴CF+CD＝BC；故答案为：CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD＝CF∴BC+CD＝CF，∴CF﹣CD＝BC；（3）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长4且对角线AE、DF相交于点O．∴DF＝AD＝4，O为DF中点．∴Rt△CDF中，OC＝DF＝×＝．13、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），∴S△BCG＝BC•GN＝××（﹣1）＝．15、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A 的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：∵△ABC为等腰直角三角形∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，∴点B的坐标为（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，得，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+2，当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：∵OC平分∠AOB，∴CD＝CE∴四边形OECD是正方形∴∠DCE＝90°，OD＝OE，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），∴OB＝b，OA＝a，∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，即a+DA＝b﹣DA，∴DA＝，∴OD＝OA+DA＝a+＝，∴S＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，四边形AOBC故答案为：．16、如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在直角坐标系中．（1）如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°时，求点A的坐标；（2）如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转75°时，求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图2所示：则∠AOD＝30°，∵正方形OABC的边长为2，∴AO＝2，∴AD＝AO＝1，∴OD＝＝＝，∴点A的坐标为：（，﹣1）；（2）连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图3所示：则∠AOE＝75°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB＝45°，OB＝AO＝2，在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝30°，∴BE＝OB＝，OE＝BE＝，∴点B的坐标为（，﹣）．。
2020年高考数学考点击破8.2圆与方程(学生版)
8.2 圆的方程考向一 圆的方程【例1】(1)已知圆E 经过三点A (0,1),B (2,0),C (0,－1),且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254（2）（2019·重庆复旦中学高二月考）若方程220x y x y k ++++=表示一个圆,则k 的取值范围是 ( ) A ．12k >B ．12k ≤C ．102k <<D ．12k <（3）（2019·四川广安中学高二月考（理））若直线220ax by +-=（,0a b >）始终平分圆224280x y x y +---=的周长,则12a b+的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．D ．3+【举一反三】1．（2020·全国高一专题练习）以()1,2-为圆心 ） A ．22240x y x y +-+= B ．22240x y x y +++= C ．22240x y x y ++-=D ．22240x y x y +--=2．（2019·四川高二期中（理））圆:C ()()22439x y -++=关于直线:l 30x y +-=对称的圆的标准方程是（ ）A ．()()22619x y -++= B ．()()22619x y ++-= C ．()()22619x y -+-=D ．()()22619x y +++=3．（2019·宣威市民族中学高一月考）已知圆22240x y x my +-+-=上两点M ,N 关于直线20x y +=对称,则圆的半径为（ ）．A ．9B ．3C ．D ．2考向二 点与圆的位置关系【例2】（2018·上海高二期中）点2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）．A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定【举一反三】1．（2019·重庆一中高二月考（理））已知点()1,2A 在圆22230x y x y m ++++=外,则实数m 的取值范围是（ ） A ．()13,-+∞B ．1313,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()13,13,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭2．（2019·江西上高二中高二月考（理））如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3,则实数a 的取值范围为( )A ．2⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．⎡⎣考向三 直线与圆的位置关系【例3】（1）（2020·石嘴山市第三中学高一期末）已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外,则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）． A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定（2）（2019·重庆复旦中学高二月考）若直线y ＝x +b 与曲线1y =有两个不同的公共点,则实数b 的取值范围为（ ）A ．[1,2）B ．[1,2]C ．[2,1）D ．[2,1]（3）（2020·安徽高三期末（文））过点(2,2)的直线与圆221x y +=相交于A,B 两点,则OAB V （其中O 为坐标原点）面积的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【举一反三】1．（2020·安徽高三期末（理））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切,则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3 D ．42．（2020·湖南高二期末）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线被圆22(2)2x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为（ ）ABC D ．23．（2020·江苏高三专题练习）在圆x 2+y 2−2x −6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_______.考向四 圆与圆的位置关系【例4】（1）（2020·全国高三专题练习）已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离（2）（2019·重庆西南大学附中高二期中）已知圆()221:21C x y ++=与圆()222:4C x a y -+=相交,则实数a 的取值范围是（ ） A ．35a <<B ．53a -<<-C ．11a -<<或 53a -<<-D ．11a -<<或35a <<（3）（2019·湖南高一期末）已知圆C 1：x 2+y 2＝4,C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25交于A ,B 两点,则直线AB 的方程为（ ） A ．4x ﹣3y ﹣2＝0 B ．4x ﹣3y +2＝0 C ．3x ﹣4y ﹣2＝0 D ．3x +4y ﹣2＝0【举一反三】1（2018·甘肃临夏中学高一期末）圆x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0与圆x 2＋y 2－6x －10y ＋30＝0的公共弦所在的直线方程是__________．2．（2020·全国高三专题练习）已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0． （1）m 取何值时两圆外切？ （2）m 取何值时两圆内切？（3）当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．考向五 圆的切线方程【例5】（1)（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末（文））由直线1y x =-上的点向圆()()22231x y -+-=引切线,则切线长的最小值为（ ）A ．1B ．2CD (2)（2019·全国高三专题练习（文））圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条(3)（2020·江苏高三专题练习）已知两圆2224440x y ax a +++-=和222210x y by b +-+-=恰有三条公切线,若a R ∈,b R ∈,且0ab ≠,则2211a b+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．49D ．19【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线,则切线方程为( )A x ＋y －5＝0B x ＋y ＋5＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝02．（2020·全国高三专题练习）已知点P ＋1,2),点M (3,1）,圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.（1）求过点P 的圆C 的切线方程；（2）求过点M 的圆C 的切线方程,并求出切线长．3．（2019·陕西西安中学高三月考（文））圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条考向六 有关圆的最值【例6】2020·全国高三专题练习）已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,则 ①yx的最大值为_____； ②y －x 的最大值和最小值分别为____________________； ③x 2＋y 2的最大值和最小值分别为____________________. 【举一反三】1．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1,P (x ,y )为圆上任意一点,则y －2x －1的最大值为________． 2．设点P (x ,y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点,定点A (2,0),B (－2,0),则PA ―→·PB ―→的最大值为________．1．（2019·江西南康中学高二月考）当圆22220x y x ky k ++++＝的面积最大时,圆心坐标是()融会贯通A ．(0,－1)B ．(－1,0)C ．(1,－1)D ．(－1,1)2．（2018·甘肃高一月考）圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交 C ．内切 D ．外切3．（2019·黑龙江哈师大附中高二期中）若曲线C ：x 2+y 2﹣2ax +6ay +10a 2﹣1＝0上所有的点均在第二象限内,则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣1,0）B ．（﹣∞,﹣1）C ．（1,+∞）D ．（0,1）4．（2018·华东师范大学第三附属中学高二期中）已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4,则点P (3,2)满足（ ） A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外5．（2019·宣威市民族中学高一月考）若原点(0,0)O 在圆2222210x y ax a a +++-+=外,则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≠B ．0a >C ．112a <<或1a > D ．1a > 6．（2019·平罗中学高二期中（理））若点(,1)M m m -在圆22:2410C x y x y +-++=内,则m 的取值范围（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞U7．（2020·四川高三（文））已知直线3y x =-+与圆22220x y x y +--=相交于A ,B 两点,则AB =（ ）A ．2B C D ．28．（2020·江苏高三专题练习）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,学会一寸,锯道长一尺,问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知道大小,用锯取锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面如图所示,已知弦1AB =尺,弓形高1CD =寸,则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈,5sin 22.513︒≈,1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸9．（2020·全国高三专题练习）圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2,则实数a 等于（ ） A ．2B ．2-C ．4D ．4-10．（2020·全国高三专题练习）若圆Ω过点()()0,10,5-,且被直线0x y -=截得的弦长为,则圆Ω的方程为（ ）A ．()2229x y +-=或()()224225x y ++-= B ．()2229x y +-=或()()221210x y -+-= C ．()()224225x y ++-=或()()224217x y ++-= D ．()()224225x y ++-=或()()224116x y -+-=11．（2020·江苏高三专题练习）一条光线从点()2,3--射出,经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或53B ．35-或32C ．23-或23D ．43-或34- 12．（2020·浙江高二期末）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A ,()0,2B ,圆()22:1C x a y -+=,若圆C 上存在点M ,使得2212MA MB +=,则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．1⎡-+⎣C ．1,1⎡+⎣D ．1⎡-+⎣13．（2019·四川高二期中（理））已知圆222212:()()4,:(1)(2)1(,)O x a y b O x a y b a b R -+-=--+--=∈,那么两圆公切线的条数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．314．（2018·上海交大附中高二期末）已知两点()1,2A ,()4,2B -到直线l 的距离分别为1,4,则满足条件的直线l 共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．（2019·上海市通河中学高二期中）圆22620x x y y -++=关于直线0x y -=对称的圆方程为___________16．（2020·江苏高三专题练习）在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的点共有________个．17．（2020·江苏高三专题练习）过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条,则该切线的方程为________．18．（2020·江苏高三专题练习）过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB 的面积为_______．。
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教材链接高考——三角函数的图像与性质[教材探究](引自人教A 版必修4P147复习参考题A 组第9题、第10题两个经典题目)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求函数的递减区间； (2)求函数的最大值和最小值.题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4 x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合. [试题评析] 两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π(k ∈Z )， 故ω＝6k ＋2(k ∈Z ). 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32. 教你如何审题——三角恒等变换、三角函数与平面向量【例题】 (2019·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. [审题路线][自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12. 由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC→＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②得b ＝3，c ＝2. 满分答题示范——解三角形【例题】 (12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A . (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. [规范解答][高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12ac sin B ＝a 23sin A 就有分，第(2)问中求出cos B cos C －sin B sin C ＝－12就有分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A ；第(2)问由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9.❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos B cos C －sin B sin C ＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.[构建模板]【规范训练】 (2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.1.已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.2.(2019·西安调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)及A ∈(0，π)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35， 故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17且B ∈(0，π)，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，因此△ABC 的中线AD ＝1292.4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长.解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12.(2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3.又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ，∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.6.(2019·南昌二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.解(1)∵(a＋b＋c)(sin B＋sin C－sin A)＝b sin C，∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12.又A∈(0，π)，所以A＝2 3π.(2)根据a＝3，A＝23π及正弦定理得bsin B＝csin C＝asin A＝332＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C.∴S＝12bc sin A＝12×2sin B×2sin C×32＝3sin B sin C.∴S＋3cos B cos C＝3sin B sin C＋3cos B cos C ＝3cos(B－C).故当B＝C＝π6时，S＋3cos B cos C取得最大值 3.。