2020版数学高考专题突破 (8)

教材链接高考——三角函数的图像与性质

[教材探究](引自人教A 版必修4P147复习参考题A 组第9题、第10题两个经典题目)

题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求函数的递减区间； (2)求函数的最大值和最小值.

题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4 x . (1)求f (x )的最小正周期；

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合. [试题评析] 两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用

三角函数的性质求解.

【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3－ 3.

(1)求f (x )的定义域与最小正周期；

(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π4，π4上的单调性.

解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π

2＋k π，k ∈Z }，

f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －π3－ 3

＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3－ 3

＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋3

2sin x － 3

＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π3.

所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π

2＋2k π(k ∈Z )，

得－π12＋k π≤x ≤5π

12＋k π(k ∈Z ).

设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π12，π4.

所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π

4，－π12上单

调递减.

探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一

函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.

2.把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

【链接高考】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，

已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π4，3π4上的最

小值.

解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫ωx －π2，

所以f (x )＝32sin ωx －1

2cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －3

2cos ωx

＝3sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx －π3.

由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6＝0，

所以ωπ6－π

3＝k π(k ∈Z )， 故ω＝6k ＋2(k ∈Z ). 又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π3，

所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x －π12.

因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，

当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32. 教你如何审题——三角恒等变换、三角函数与平面向量

【例题】 (2019·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；

(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. [审题路线]

[自主解答]

解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2ωx ＋π6.

因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π

2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π6.

设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2B ＋π6＝－2，

即sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0

因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝

3

sin 2π3

，解得sin A ＝1

2. 由于0＜A ＜π3，解得A ＝π

6.

所以C ＝π

6，所以c ＝a ＝ 3.

所以BA →·BC

→＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32

. 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.