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专题函数的周期性

一知识点精讲

1. 周期函数的定义：对于/（兀）定义域内的每一个兀，都存在非零常数使得 /（X4- T ）= f （x 恒成立，则称函数/（兀）具有周期性，丁叫做/（兀）的一个周期，则灯

（R W ZK H O ）也是/（兀）的周期，所有周期中的最小正数叫/⑴ 的最小正周期.周期函 数的定义域一定是无限集

2性质

①若/U ）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为夬兀）的最小正周期； ②若周期函数心）的周期为T,则/（亦）（0^0）是周期函数，且周期为丄

丨力|

（9） 函数y = f （x ） （XG ^）的图象关于直线x = a ^x = b （a

（10） 函数y = f （x ） （x G 7?）的图象关于两点A 仏％）、（°

（11） 函数y = fM （XG /?）的图象关于4（仏％）和直线x = b （a

（⑵ f （x + a ） = f （x ）-f （x-a ）t 则/（兀）的周期T = 6a.

二典例解析

1. 设 f （x ）是（一8,+8）上的奇函数，f （x+2）二-f （x ）,当 OWxWl 时,f （x ）二X,则 f （7.5）=（

）

A.0.5

B. -0.5 C 」.5 D. -1.5

a h

2. 若y=fi2x ）的图像关于直线x =—和兀=刁（/?>。）对称，则/（兀）的一个周期为（ ）

3.几种特殊的具有周期性的抽象函数：

函数歹=/（兀）满足对定义域内任一实数兀（其中。>0为常数） /（无）=/（兀 +。），

则 y = f^x ）的周期 T = a .

/（x+a ） = -/（%）,则/⑴的周期 T = 2a.

/（x + a ） = ±y^-j,则/G ）的周期 T = 2a.

/（x + d ） = /（x-d ）,则/（兀）的周期 T = 2a ・

+ 则/（x ）的周期 T = 2a. 1 + /（兀） f （兀+ G ） =」7（X ）,则/（兀）的周期T = 4a 数. 1 + /O ）

f （兀 + G ） = I + 心）,则 /（x ）的周期:T = 4a . 1-/（兀）

函数y = 满足/（^ + .v ） = f （a-x ） （Q >0）,若/（x ）为奇函数，则其周期为 (1) (2) (3) (4) (5)

(6)

(7) (8)

3. _________________________________________________________________ 已知/⑴在R 上是奇函数满足/(x + 3) = -/(x),/(l) = 2,则/(5)= ____________________________

4.已知定义在R 上的奇函数/(劝满足/(兀+2) = —/(“)，则/(200^|= _________________ 例

5.已知函数)u /(劝是定义在/?上的周期函数，周期7 = 5,函数y = /(x)(-l

是奇函数，又知y = /(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x = 2时函数取 得最小值-5。

①证明：/(I) + /(4)=0；②求J = /(X ),XG ［1,4］的解析式；③求y = f(x)在［4,9］上 的解析式。

9、函数 y = f(x)定义域为 R,且恒满足 f(x + 2) = /(2-x)/(6 + x) =/(6-x),当

2

10、已知偶函数y = f(x)定义域为R,且恒满足/(x + 2) = /(2-x),若方程/(%) = 0在 ［0,4］上只有三个实根，且一个根是4,求方程在区间(-&10］中的根。

附参考答案：

7,： -1 T 2： (1,0)人：x = l

G ：y 轴即 x = 0 T 5：① y 轴② x = l T 6 ： (£)x =—②兀=— T-,: C T Q :②④ 4 2

(8Zr -2 < x <8k+ 2,k e Z)

(8k + 2 W 兀 W 8R + 6, £ w Z) 7］0 :方程的根为一 6、一4、一 2、024、6、&10共9个根。

2. /(兀)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且/⑴=0,则方程/(x) = 0在区间(0,6)内 解的个数的最小值是 ( )

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

4. /⑴ 是偶函数，且/(0) = 993,又g(x) = /(x —1)为奇函数，则f(1992)二 _______________ 6-数列｛色｝中吗=1® =5,陽+2 =色+］ —色,贝忆006 = ___

7已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当兀w (0,1)时,/(兀+ 1)=兀+ 1・求/(%)在(1,2)上 的解析式。

A.

B. 2(h - a) D ・ 4(b-a) —(x — 8£)

一扣―8灯+

2

/(X)= <

8 /⑴ 的定义域是 R ,且 /(X 4-2)[1-/(X )] = 1 + /(X ),若/*(0) = 2008,求 /(2000 的值。 9.已知函数/(兀)满足/(兀+

1) =

1 + /(兀),若/(0) = 2004,试求/ (2005)o

1 一 /(兀)

(2009山东理)10.定义在R 上的幣数f(x)满足f(x)=

(2009)的值为(

) A.-l B.O C.l 【解析】:由已知得/(-l) = log 22 = 1,/(0) = 0,/(l) = /(O)一/(-l) = -l, /(2) = /(!)-/(O) = -1 ,/(3) = /(2)-/(l) = -l-(-l) = O, /(4) = /(3) - /(2) = 0-(-1) = 1,/ (5) = /(4) - /(3) = 1 ,/(6) = /(5) - /(4) = 0, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f (2009) =f (5)二1,故选C.

(2009山东理)16.己知定义在R 上的奇函数/(%),满足/(x-4) = -/(%),_&在区间［0,2］ 上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区问［-&8］上有四个不同的根西,兀，则

/(x-8) = /(x),所以函数是以8为周期的周期函数,乂因为/(X )在区间［0,2］上是增函数，所 以/(兀)在区间1-2,0］±也是增函数.如图所示，那么方程f(x)二m(m>0)在区间［-&8】上有四个 不同的根X i ,X 2,X 3,X 4,不妨设兀］< x 2 < x 3 < x 4由对称性知%! +x 2 =-12兀3 +兀4 = 4所以 西+勺 + %3 +无= -12 +4 = -8

答案:・8

(2009全国一)(11)函数/(兀)的定义域为R,若/(刈 与/(x-1)都是奇函数，则(D )

flog 2(l-x),x<0

[/(x-l)-/(x-2),x>0 D. 2

【解析】：因为定义在R 上的奇函数，满足= 以/(x — 4) = /(—x),所以, 由/(兀)为奇函数，所以函数图象关于直线兀=2对称且/(0)= 0,由/(%-4) = -/(%)知