高考数学总复习基础知识与典型例题立体几何(最新编写)

rr
对空间任意两个向量 a、b(b 0), a // b 的充要条件是存在实数 r
使a b;
推论： 如果 l 为经过已知点 A 且平u行uur于已u知u非ur 零向r量 a 的直线r，那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的
充要条件是存在实数 t , 满足等式 OP OA ta . 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .
和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。
若几何体本身不是四面体或平行六面体， 则需先将其分成几个四面体或平行六面体
之后，再施行等积变换。
用等积变换求点到平面的距离 ,是用两种不同的体积计算方法 ,来建立所求距离的方程 ,使问题得解 .
异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。用等积
3
上；（ 2）求这个平行六面体的体积。
1.角 ：异面直线所成的角 ,直线和平面所成的角 ,二面角 ,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。 异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。 直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。
二面角： 化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。
变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。
⑸球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。
例 41.M= { 正四棱柱 } ，N= { 长方体 } ，P= { 直四棱柱 } ，Q={ 正方体 }, 下列关系中正确的是 （）
(A) QY M Y N Y P (B) QüM üN üP (C) QY N Y M Y P (D) QüN üM üP
rr
算 加法结合律： ( a b) c a (b c) ;
rr r r
数乘分配律： ( a b) a b .
2. 共线向量与共面向量 :
(1) 如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量
.
(2) 平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意两个向量总是共面的．
(3) 共线向量定理： r r r r r r
几 注 :球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆
.
何 体
⑶球面面积 S 球面=4π R2；球体积 V 球= 4 π R3. 3
⑷经度、纬度和球面距
北极、南极的连线称为地轴 .英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴
为直径，天文台所在半圆弧称为 O°经线，也称为本初子午线 .
空 1. 空间向量及其加减与数乘运算：
间 (1) 在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一
向 向量或相等的向量．
量 (2) 空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广．
及 其
(3) 空间向量的加r 减与r 数乘r 运r算满足如下运算律：
运
加法交换律： a b b a ; rr rr
角 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含 两点的距离中最小的距离 .
与 七种距离之间有密切联系， 有些可以相互转化， 如两条平行线的距离可转化为求点到直
距 线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离
.
离 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点
2，则球
心到平面 BCD 的距离等于 _____________ 。
例 50. 如图， 在平行六面体 AB CD— A1B1C1D1 中，已知 AB=5，AD=4 ，AA1=3，AB⊥ AD ，
∠ A1AB=∠ A1AD= 。（ 1）求证：顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠ BAD 的平分线
例 47. 如图，以正方体 ABCD — A1B1C1D1 的顶点为顶点，且四个面均为直角三角形的
四面体是
.(要求：只写出其中的一个，并在图中画出相应的四面体
)
例 48. 若棱锥底面面积为 150cm2 ，平行于底面的截面面积是 54cm2 ，底面和这个截面
的距离是 12cm，则棱锥的高为
；
例 49. 已知 A ，B ，C，D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于
.
在正棱锥中，要熟记由高 PO，斜高 PM ，侧棱 PA，底面外接圆半径 OA ，底面内切圆
半径 OM ，底面正多边形半边长 OM ，构成的三棱锥， 该三棱锥四个面均为直角三角形。
⑵多面体中表面上两点的最短距离。
多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，
这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）
2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。 异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。 线面距离，面面距离常化归为点面距离。
3.计算问题： （ 1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算
异面直线所成的角 范围： 0°＜ θ≤ 90° 方法：①平移法；②补形法 .
直线与平面所成的角 范围： 0°≤ θ≤ 90° 方法：关键是作垂线，找射影 .
.
⑤ 平面图形的翻折， 要注意翻．折．前后的长度、 角度、位置的变化， 翻折前后在同一个三角形中的角度、
长度不变
例 51. 空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别为 AC、 BD中点，若 CD＝ 2AB＝ 4， EF⊥ AB，则
EF 与 CD 所成的角为 ( ) (A)30
° ( B)45 ° (C)60 ° (D)90 °
BC 的距离是（
2
14
） (A) 2 (B)
(C)
(D)1
2
4
例 56. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1 B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中心， E
是 CC1 的中点，那么异面直线 OE 和 AD1 之间的距离等于 ( )
2
(A)
2
(B)1
(C) 2
(D) 3
例 57.正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，（ 1）BC1 与底面 ABCD 所成角为
( A) 1200
( B) 900
( C) 600
( D ) 450
例 54. 若三直线 PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=3，则点 P 到平面 ABC 的距离为（ ）
(A) 2
(B) 3 (C) 5
(D) 7
例 55. 等边△ ABC 的边长是 1， BC 边上的高是 AD，沿 AD 折成直二面角，则点 A 到
，则 ABC 的周长的最小值为
.
角
D1
C1
2， 3，
与 A1 距
B1 E
离
D
C
O
A
B
例 60. 如图，P— ABCD 是正四棱锥， ABCD A1B1C1D1是正方体， 其中 AB 2, PA 6 . （ 1）求证： PA B1D1 ；（2）求平面 PAD 与平面 BDD1 B1 所成的锐二面角 的大小； （ 3）求 B1到平面 PAD 的距离 .
(C) 可能作一个或零个
(D) 以上都不对
例 44. 长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3， 6，这个长方体的顶点都在同一个球面
上，则这个球面的表面积为（
） (A) 7 2
(B)56 π
(C)14π
(D)64 π
例 45. 将两邻边长之比为 3:4 的长方形 ABCD沿对角线 AC折成一个直二面角， 若四点 A 、
3. 正多面体 : 每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面 体，叫做正多面体 . 正多面体只有五种 , 如图 : 正四面体、正六面体、正八面体、正十二 面体、正二十面体 .
4.球 :(1) 球面和球的概念 :与定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体 ,简 Nhomakorabea球 .定
点叫做球心 ,定长叫做球的半径 .与定点距离等于定长的点集合叫做球面 .
。
⑶关于组合体体积的计算问题。
有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。
构成组合体的方式一般有两种： 其一是由几个简单几何体堆积而成， 其体积就等于
这几个简单几何体体积之和； 其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，
其
体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。
.
⌒
如图 2 所示： NS 为地轴， P 所在经线为 NPS ，设 P 点所在经线为 0°经线， B 所在
经线为东径 n 度 (n＝∠ AOB) ，P 在北纬 m 度 (m＝ POA )要确定 Q在地球上的位置， 必
须知道 Q的经度与纬度 .
注 :⑴棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题
.
注 : 在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：
① 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决
.
②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法
.
③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形
.
④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高
；（ 2）A1C 与
底面 ABCD 所成的角的正切值为
；（ 3）BC1 与对角面 BB1 D1D 所成的角为
。
例 58. 若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为
a 和 2a ，到棱的距离为 2a，
则此二面角的度数是
.
例 59. 二面角 空
l 为 60 ，在其内一点 A 到平面 、 的距离分别为
间 B ,C
经线指的是某点与地轴形成半圆圆弧，赤道面指的是垂直于地轴