高等数学竞赛数学专业类

数学分析竞赛（2003、2004级解答）

一、判断题（每题5分，共25分）

1、不正确。例：{}{}1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1n x =L ，

{}{}11,0,0,k

n x =L ，{}{}2

1,0,0,k

n x =L ，{}{}31,0,0,k

n x =L ，…。

2、不正确。例：()2,0,x x f x x ⎧=⎨⎩是有理数

是无理数

。

3、不正确。例：(

)f x =

4、正确。0x I ∈，,αβ∃，使[]0,x I αβ∈⊂，()n f x 在[],αβ上一致收敛。

5、正确。两边进行积分计算可得相等。 二、证明题（12分）

证明：由12lim

0n n n n x x x →∞

++=+⇒,N n N ∃∀≥，有121

4

n n n x x x ++<+。 ()4'

特别地有， ()121

4

N N N x x x ++<

+ 整理得， (){}112121

2max ,2

N N N N N n x x x x x x ∆++++<+≤= （1） ()9'

注意到1n N >，故有

{}

1112122max ,n n n n x x x x ∆

++<= （2） 由（1）和（2）可得

21222n n N x x x >>

以此类推，可得{}k

n x 且2k

k n N x x >，所以{}n x 无界。 ()12'

三、证明题（13分）

证明：（i ）只须证：0ε∀>，0δ∃>，1212,:x x a x x δ∀>-<，有

()()12f x f x ε-<。事实上，任取0ε>，

()()121122

1111

sin sin f x f x x x x x -=

-

11212122

11111111

sin sin sin sin

x x x x x x x x =-+- 121212

111111

sin sin sin

x x x x x x ≤

-+- ()3' 121212121111

1111

sin 2sin cos 22

x x x x x x x x --≤-+

12122122122121111111111x x x x x x x x x x x x a a

-⎛⎫⎛⎫≤

-+-≤+<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ε<。 即 3121a x x a ε-<+，因此可取31

a a δε=+。 ()7' （ii ）只须证：00ε∃>，0δ∀>，()1212,0,:x x a x x δ∃∈-<，有

()()120f x f x ε->。事实上，取112

n x n π

π=

-

，2

12

n x n π

π=

+

， ()11'

n 充分大时，()12,0,n n x x a ∈，()12

0n n x x n -→→∞，

而()()120n n f x f x -→。

证毕。 ()13' 四、证明题（12分）

证明：因为[]

()0,1

max

2x f x ∈=，()()010f f ==，故有()00,1x ∈，使得()[]

()00,1max 2x f x f x ∈==，于是()00f x '=。 ()2'

另外，

()()()()()()2

00001!2!

f x f f x f x x x x x ξ'''=+-+-，

ξ在0,x x 之间。 ()7' 将0,1x =分别代入上式，得

()120

4

f x ξ-''=

， ()100,x ξ∈ ()()

22

04

1f x ξ-''=

-， ()20,1x ξ∈， ()9'

当010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，()116f ξ''≤-；

当01

,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣

⎭时，()216f ξ''≤-。

所以ξ∃（取1ξξ=或2ξ），有()16f ξ''≤-。 ()12' 五、证明题（7分）

证明：令()()0

x x x f s ds ϕ=⎰，()()0

y

y y g t dt ϕ=⎰

()(),,Z F x x y y F x y ∆=+∆+∆-

()()()()x x y y x y ϕϕϕϕ=+∆+∆- ()()(

)()()(

)

()()x x

y y

x y

x f s ds y g t dt x y ϕϕϕϕ+∆+∆=++-⎰⎰

()()()()y y

x x y

x

x g t dt f s ds y y ϕϕ+∆+∆=++∆⎰⎰

()()()()1212,0,1x g y y y y y f x x ϕθϕθθθ=+∆∆++∆+∆≤≤ ()2' 另外，

()()()1,00g y y g y y θγγ+∆=+→∆→ ()()()2,00f x x f x x θββ+∆=+→∆→

()()(),00y y y y ϕϕαα+∆=+→∆→ ()5'

()(),,Z F x x y y F x y ∆=+∆+∆-

()()()()()()()x g y y y f x x ϕγϕαβ=+∆+++∆

()()()()()()()x g y y x y y f x x y x f x x x ϕϕγϕϕβααβ=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()7' 六、证明题（7分）

证明：①当0ξ<时，矩形不包含原点，由格林公式，积分为0。 ()3' ②当0ξ>时，矩形包含原点，作圆Γ：222x y ρ+=，使之含于C 内，在以C +Γ为边界的连通域内使用格林公式知