高等数学竞赛数学专业类

数学分析竞赛（2003、2004级解答）
一、判断题（每题5分，共25分）
1、不正确。

例：{}{}1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1n x =L ，
{}{}11,0,0,k
n x =L ，{}{}2
1,0,0,k
n x =L ，{}{}31,0,0,k
n x =L ，…。

2、不正确。

例：()2,0,x x f x x ⎧=⎨⎩是有理数
是无理数。

3、不正确。

例：(
)f x =
4、正确。

0x I ∈，,αβ∃，使[]0,x I αβ∈⊂，()n f x 在[],αβ上一致收敛。

5、正确。

两边进行积分计算可得相等。

二、证明题（12分）
证明：由12lim
0n n n n x x x →∞
++=+⇒,N n N ∃∀≥，有121
4
n n n x x x ++<+。

()4'
特别地有， ()121
4
N N N x x x ++<
+ 整理得， (){}112121
2max ,2
N N N N N n x x x x x x ∆++++<+≤= （1） ()9'
注意到1n N >，故有
{}
1112122max ,n n n n x x x x ∆
++<= （2） 由（1）和（2）可得
21222n n N x x x >>
以此类推，可得{}k
n x 且2k
k n N x x >，所以{}n x 无界。

()12'
三、证明题（13分）
证明：（i ）只须证：0ε∀>，0δ∃>，1212,:x x a x x δ∀>-<，有
()()12f x f x ε-<。

事实上，任取0ε>，
()()121122
1111
sin sin f x f x x x x x -=
-
11212122
11111111
sin sin sin sin
x x x x x x x x =-+- 121212
111111
sin sin sin
x x x x x x ≤
-+- ()3' 121212121111
1111
sin 2sin cos 22
x x x x x x x x --≤-+
12122122122121111111111x x x x x x x x x x x x a a
-⎛⎫⎛⎫≤
-+-≤+<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ε<。

即 3121a x x a ε-<+，因此可取31
a a δε=+。

()7' （ii ）只须证：00ε∃>，0δ∀>，()1212,0,:x x a x x δ∃∈-<，有
()()120f x f x ε->。

事实上，取112
n x n π
π=
-
，2
12
n x n π
π=
+
， ()11'
n 充分大时，()12,0,n n x x a ∈，()12
0n n x x n -→→∞，
而()()120n n f x f x -→。

证毕。

()13' 四、证明题（12分）
证明：因为[]
()0,1
max
2x f x ∈=，()()010f f ==，故有()00,1x ∈，使得()[]
()00,1max 2x f x f x ∈==，于是()00f x '=。

()2'
另外，
()()()()()()2
00001!2!
f x f f x f x x x x x ξ'''=+-+-，
ξ在0,x x 之间。

()7' 将0,1x =分别代入上式，得
()120
4
f x ξ-''=
， ()100,x ξ∈ ()()
22
04
1f x ξ-''=
-， ()20,1x ξ∈， ()9'
当010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()116f ξ''≤-；
当01
,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣
⎭时，()216f ξ''≤-。

所以ξ∃（取1ξξ=或2ξ），有()16f ξ''≤-。

()12' 五、证明题（7分）
证明：令()()0
x x x f s ds ϕ=⎰，()()0
y
y y g t dt ϕ=⎰
()(),,Z F x x y y F x y ∆=+∆+∆-
()()()()x x y y x y ϕϕϕϕ=+∆+∆- ()()(
)()()(
)
()()x x
y y
x y
x f s ds y g t dt x y ϕϕϕϕ+∆+∆=++-⎰⎰
()()()()y y
x x y
x
x g t dt f s ds y y ϕϕ+∆+∆=++∆⎰⎰
()()()()1212,0,1x g y y y y y f x x ϕθϕθθθ=+∆∆++∆+∆≤≤ ()2' 另外，
()()()1,00g y y g y y θγγ+∆=+→∆→ ()()()2,00f x x f x x θββ+∆=+→∆→
()()(),00y y y y ϕϕαα+∆=+→∆→ ()5'
()(),,Z F x x y y F x y ∆=+∆+∆-
()()()()()()()x g y y y f x x ϕγϕαβ=+∆+++∆
()()()()()()()x g y y x y y f x x y x f x x x ϕϕγϕϕβααβ=∆+∆+∆+∆+∆+∆ ()7' 六、证明题（7分）
证明：①当0ξ<时，矩形不包含原点，由格林公式，积分为0。

()3' ②当0ξ>时，矩形包含原点，作圆Γ：222x y ρ+=，使之含于C 内，在以C +Γ为边界的连通域内使用格林公式知
22202C xdy ydx d x y πθπ-==+⎰⎰Ñ。

()7'
七、证明题（24分）
证明：（i ）设()nx n u x ne -=。

()()()()111111
lim lim
lim
n x
n nx x x
n n n n
u x n e n u x ne n e e
-++-→∞→∞→∞
++=== 当0x >时，
1
1x e
<，此级数绝对收敛； 当0x =时，11x
e =，此级数发散；
当0x <时，
1
1x e
>，此级数发散。

()3' （ii ）对n N ∀∈，[),x δ∀∈+∞，有nx
n ne
ne
δ
--≤，而1
n n ne δ∞
-=∑收敛。

由M 判别法，知级数1
n n ne δ∞
-=∑在[)(),0δδ+∞>一致收敛。

()7'
（iii ）()()()111n x nx n R x ne n e -+--=+++L
()()11n x
x n e R x ne
---=+L
()()()1111nx n x
x
n x
e e
R x ne
e ------=+- ()()()()()11111nx
n n x
x x x n e R x e e e e
----=+--- ()00,1n e e ε⎛⎫
∃∈ ⎪ ⎪-⎝⎭
，n ∀，011x n ∃=+，使()()001n R x e e ε>≥-。

()12' （iv ）设()0,x ∈+∞，0δ∃>，使x δ≤<+∞。

由（ii ）知，()nx ne S x -=∑在[),δ+∞连续，由x 的任意性，得证。

()15' （v ）验证nx ne -∑可逐项积分。

()()
ln 3ln 3
ln 3
ln 2
ln 2
ln 2
nx nx S x dx ne dx e --==-∑∑⎰
⎰
11
1
232
n
n ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭∑。

()19' （vi ）()2nx nx ne n e --'=-∑∑。

()0,x ∈+∞，0δ∃>，x δ≤<+∞，22nx n n e n e δ---≤
而2n n e δ
-∑收敛，（因为2
11lim lim 1n n n n
u n e e u n δ
δ--+→∞→∞+⎛⎫==< ⎪⎝⎭）。

由M 判别法，2nx n e --∑在[),δ+∞一致收敛，故在[),δ+∞可逐项微分，所以()2nx S x n e -'=-∑。

()24'。