第三章集中量数

算术平均数的意义、适用条件及应用原则
算术平均数的意义
算术平均数是应用最普遍的集中量数，它是“真值”渐近、最佳的估计 值。 算术平均数的适用的条件 一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算， 同时还要作进一步代数运算时，这时就需要用算术平均数表示其集中趋势。 计算和应用算术平均数的原则 ① 同质性原则； （相同的观测手段；相同的观测指标；同问题的同一特质数据） ② 平均数与个体数值相结合的原则；(毕业生应聘的尴尬） ③ 平均数与标准差、方差相结合的原则。
a
为低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数。
众数的意义与应用
众数的意义
众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但极
不准确、稳定，反应不灵敏，不适合代数运算，受抽样的 影响较大等。因此，应用也不广泛，只在特殊情况下应用。 众数适用的情况 （1）当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；
（2）当一组数据出现不同质的情况时；
627 98 268 60 500 88 • B： X T 3800 86.97
• 一家水果店购进一批水果，其中包括 第一天的平均价 30斤苹果， 30斤桃子。苹果一块钱两斤，桃子一块钱三斤。 （30（1/2）+30（1/3））/60=5/12 一天之内，这些水果都卖光了，共卖25元。第 二天，店主又购进30苹果，30桃子。店主一想， 苹果1元2斤，桃子1元3斤，那还不如省点事， 把两种水果掺在一起出售， 第二天的平均价2元5斤算了。一天 下来，60斤水果全部卖完了。店主一清点，怎 2/5=0.4 么一共只卖了24元？而不是25元。那1元钱哪 里去了？ 两种卖法的平均单价是多少?
算术平均数的计算方法
（1）未分组数据（原始数据）计算法
X X1 X 2 X N X i N N
例3－1 现有一组实验观测数据如下： 25、27、28、27、25、29、30、32、33
计算它们的平均数
解：1） 2）
X1 X 2 X N X i X N N xi X AM 其中，xi X i AM N
• 一个人开车从A到达B地时速90公里，从 B回A地时速60公里，其平均时速是75公 里吗？试用加权平均数说明为什么？
二、几何平均数
• 例某产品需经三个车间连续加工，已知三个 车间制品的合格率分别为95%，90%，98%， 求三个车间平均合格率。 • 设平均合格率为 M g 则经三个车间连续加工的 合格产品为 • M M M 95% 90% 98%
（1）当一组观测结果中出现两极端数目时；
（2）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时； （3）当需要快速估计一组数据的代表值时。
一项研究调查了19名大学生，他们的月 消费（单位：人民币元）如下： 220，227，230，231，232，232，235，236， 237，239，240，245，246，249，253，258， 260，510，600 现欲了解他们的平均月消费？
省区代码 1 2 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 5 6 7 8 合计 人数 627 268 400 670 411 314 610 500 3800 平均分数 98 60 82 96 80 65 96 88 665
• 解：已知Xi(各省区平均数），ni（各省区取样 人数） • A： X T 665 83.13 A的方法不正确 8
Mw
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n Wi X i W1 W2 Wn Wi
式中 Wi 为权数
加权平均数的应用 当测量所得的数据，其单位权重并不相等时，
要用加权平均数来求平均数。
例3－7 某课题组在8个省区进行一项调查，各省 区的取样人数和平均数见下表，求该项调查的总 平均数。
算术平均数的概念
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。用
X
表示。
若以 X1，X2，· · · ，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示
观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 X 2 X N Xi X N N
算术平均数的特点
（1）在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0，
第三章 集中量数
算术平均数 中数 众数 其它集中量数（加权平均数、几何平均数、调和平 均数等）
集中量数的概念
集中量数就是对一组数据的集中趋势特点进行度量和描
述的统计量。它反映了次数分布中大量数据向某方向集中的
程度。 常用的集中量数有算术平均数、中数、众数 、加权平均 数、几何平均数、调和平均数等。
算术平均数的优缺点
算术平均数具备一个良好的集中量数所应具备的一些条件： ① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 简明易懂； ④ 计算简单； ⑤ 适合代数运算； ⑥ 较少受抽样变动的影响。 除此之外，算术平均数还有以下一些特殊的优点： ① 只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数； ② 用加权法可以求出几个平均数的总平均数； ③ 用样本数据推断总体集中量数时，算术平均数最接近总体集中量数 的真值，它是总体平均数的最好估计值； ④ 在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。 但是算术平均数也有一些缺点： ① 易受极端数据的影响； ② 若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
表中，次数最多一组的组中值就是粗略众数。
（2）用经验公式求理论众数的近似值 ① 皮尔逊经验法
M 0 3M d 2M （适合正态分布）
② 金氏插补法
fa M 0 Lb i （适合偏态分布） fa fb
b
那一分组区间的次数， f
其中Lb为含众数这一区间的精确下限，f 为高于众数所在组一个组距
中数的概念
中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中 间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比它 大，有一半的数据比它小。中数用Ｍd 表示。
未分组数据（原始数据）求中数的方法
（1）一组数据中无重复数值的情况 指一组数据中没有相同的数，这时取处于序列中间位 置的那个数为中数。如果数据个数为奇数，则中数为 N21 位置的那个数；如果数据个数为偶数，则中数为居于中间 位置两个数的平均数，即第 N 与第 N 1 位置的两个 2 2 数据的平均数。 例3－2 求数据4、6、7、8、12的中数 例3－3 求2、3、5、7、8、10、15、19的中数。
数据分组后（次数分布表）求中数的方法
将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数 目求中数是一样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的 值作为中数。
N 2
M d Lb
Fb i f Md
或
Fa Md La i f Md
N 2
式中 Lb 为中数所在分组区间的精确下限，La 为中数所在
即
Xi X 0 。
（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原 。


来的平均数加常数C，即 X i C X C
N
（3）在一组数据中，每一个数都乘以一常数C，则所得的平均数为原 来的平均数乘以常数C，即 X i C C X
N
。
答： 参加方队学生的最佳身高值应取1.66。
这是因为从这10个身高值可以看出，1.66出现的
次数最多，是这组数的众数，既然这10个男生中
有3个身高为1.66米，而一个班远不止10个男生，
那么8个班的男生中应该能选出40名这种身高的人。
算术平均数、中数、众数之间的关系
（1）当次数分布呈正态时： M M M d 0
d （2）当次数分布呈正偏态时： M M d M 0 且 M M0 3
M M
1
M Md 1 （3）当次数分布呈负偏态时： M M d M 0 且 M M0
3
一、加权平均数
加权平均数的概念
加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平
均数，用 MW 表示。 加权平均数的计算方法
当一组数据彼此间变异较大，几乎是按一定的比例关系变化 时，要用几何平均数计算平均比率。
例3－9 在一项有关阅读能力的实验中，得 到这样的结果。阅读的遍数与每遍理解的 程度依次是：第一遍为40%，第二遍为52%， 第三遍为65 %，第四遍为75%第五遍为 86%，第六遍为97%.在该实验研究中被试 阅读能力的平均进步率是多少？阅读能力 的平均增加比率又是多少？
g g g
几何平均数的概念
几何平均数是N个数值连乘积的N次方根，用
几何平均数的计算方法
Mg
表示。
Mg
几何平均数的应用
N
X1 X 2 X N
（1）直接应用公式计算几何平均数 当一组实验数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏 态时，要用几何平均数作为集中趋势的代表。
（2）应用几何平均数的变式计算
（3）当次数分布中有两极端的数目时； （4）当粗略估计次数分布的形态时。
思考题 学校要召开运动会，决定从高一年级8个班中
抽调40名男生组成一个整齐的彩旗方阵队，如果从高一（1） 班的体检表中任意抽出10份男生表格，得到10个男同学的身高 （单位：米）如下： 1.63 1.60 1.68 1.66 1.66 1.63 1.75 1.66 1.58 1.65 请根据这10个身高值提供的信息确定参加方队学生的最佳身高 值应取多少？并说明理由。
思考题
X 272.63
解：由于这19名大学生的月消费中存在极端数据，算
术平均数（ 元）不能很好地反映他们的平均月消 X 272.63 费（19人中17人月消费低于272.63元），应求中数：
N 1 19 1 10 2 2
M d 239 （元）
答：这些大学生的平均月消费是239元。
众数的概念