第三章集中量数

数据分组后（次数分布表）求中数的方法
将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数 目求中数是一样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的 值作为中数。
N 2
M d Lb
Fb i f Md
或
Fa Md La i f Md
N 2
式中 Lb 为中数所在分组区间的精确下限，La 为中数所在
算术平均数的优缺点
算术平均数具备一个良好的集中量数所应具备的一些条件： ① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 简明易懂； ④ 计算简单； ⑤ 适合代数运算； ⑥ 较少受抽样变动的影响。 除此之外，算术平均数还有以下一些特殊的优点： ① 只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数； ② 用加权法可以求出几个平均数的总平均数； ③ 用样本数据推断总体集中量数时，算术平均数最接近总体集中量数 的真值，它是总体平均数的最好估计值； ④ 在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。 但是算术平均数也有一些缺点： ① 易受极端数据的影响； ② 若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 人数 627 268 400 670 411 314 610 500 3800 平均分数 98 60 82 96 80 65 96 88 665
• 解：已知Xi(各省区平均数），ni（各省区取样 人数） • A： X T 665 83.13 A的方法不正确 8
第三章 集中量数
算术平均数 中数 众数 其它集中量数（加权平均数、几何平均数、调和平 均数等）
集中量数的概念
集中量数就是对一组数据的集中趋势特点进行度量和描
述的统计量。它反映了次数分布中大量数据向某方向集中的
程度。 常用的集中量数有算术平均数、中数、众数 、加权平均 数、几何平均数、调和平均数等。
分组区间的精确上限，Fb 为该组以下各组的累加次数，Fa 为该 组以上各组的累加次数，f Md 为该组的次数。
中数的意义与应用条件
中数的意义
中数虽然也具备一个良好集中量数所应具备的一些条件，
如计算简单，严密确定，简明易懂；但反应不够灵敏，受抽样 的影响较大，不适合代数运算等。因此，中数不被普遍应用， 只在特殊情况下应用。 中数适用的情况
g g g
几何平均数的概念
几何平均数是N个数值连乘积的N次方根，用
几何平均数的计算方法
Mg
表示。
Mg
几何平均数的应用
N
X1 X 2 X N
（1）直接应用公式计算几何平均数 当一组实验数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏 态时，要用几何平均数作为集中趋势的代表。
（2）应用几何平均数的变式计算
众数的概念
众数有理论众数和粗略众数两种定义方法。理论众数是 指与次数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。粗略众 数是指一组数据（或次数分布）中次数出现最多的那个数的
数值。众数用 M0
表示。
众数的计算方法
（1）用观察法直接寻找粗略众数 在一组原始数据中，次数出现最多的那个数值就是众数；在次数分布
中数的概念
中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中 间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比它 大，有一半的数据比它小。中数用Ｍd 表示。
未分组数据（原始数据）求中数的方法
（1）一组数据中无重复数值的情况 指一组数据中没有相同的数，这时取处于序列中间位 置的那个数为中数。如果数据个数为奇数，则中数为 N21 位置的那个数；如果数据个数为偶数，则中数为居于中间 位置两个数的平均数，即第 N 与第 N 1 位置的两个 2 2 数据的平均数。 例3－2 求数据4、6、7、8、12的中数 例3－3 求2、3、5、7、8、10、15、19的中数。
Mw
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n Wi X i W1 W2 Wn Wi
式中 Wi 为权数
加权平均数的应用 当测量所得的数据，其单位权重并不相等时，
要用加权平均数来求平均数。
例3－7 某课题组在8个省区进行一项调查，各省 区的取样人数和平均数见下表，求该项调查的总 平均数。
思考题
X 272.63
解：由于这19名大学生的月消费中存在极端数据，算
术平均数（ 元）不能很好地反映他们的平均月消 X 272.63 费（19人中17人月消费低于272.63元），应求中数：
N 1 19 1 10 2 2
M d 239 （元）
答：这些大学生的平均月消费是239元。
算术平均数的计算方法
（1）未分组数据（原始数据）计算法
X X1 X 2 X N X i N N
例3－1 现有一组实验观测数据如下： 25、27、28、27、25、29、30、32、33
计算它们的平均数
解：1） 2）
X1 X 2 X N X i X N N xi X AM 其中，xi X i AM N
算术平均数的概念
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。用
X
表示。
若以 X1，X2，· · · ，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示
观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 X 2 X N Xi X N N
算术平均数的特点
（1）在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0，
d （2）当次数分布呈正偏态时： M M d M 0 且 M M0 3
M M
1
M Md 1 （3）当次数分布呈负偏态时： M M d M 0 且 M M0
3
一、加权平均数
加权平均数的概念
加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平
均数，用 MW 表示。 加权平均数的计算方法
627 98 268 60 500 88 • B： X T 3800 86.97
• 一家水果店购进一批水果，其中包括 第一天的平均价 30斤苹果， 30斤桃子。苹果一块钱两斤，桃子一块钱三斤。 （30（1/2）+30（1/3））/60=5/12 一天之内，这些水果都卖光了，共卖25元。第 二天，店主又购进30苹果，30桃子。店主一想， 苹果1元2斤，桃子1元3斤，那还不如省点事， 把两种水果掺在一起出售， 第二天的平均价2元5斤算了。一天 下来，60斤水果全部卖完了。店主一清点，怎 2/5=0.4 么一共只卖了24元？而不是25元。那1元钱哪 里去了？ 两种卖法的平均单价是多少?
• （2）一组数据中有重复数值的情况 • ① 当重复数值没有位于数列中间时，求中数 的方法与无重复数据时求中数的方法相同。 • 例3－4 求数据5、5、6、10、12、15、17的中数。 • ② 当重复数值位于数列中间时，需要假设位 13 于中间的几个重复数目为连续数目，取序列中上 下各 N 2 那一点上的数值为中数。 • 例3－5 求数据11、11、11、11、13、13、13、 17、17的中数。 • 例3－6 求数据11、11、11、11、13、13、13、 17、17、18的中数。
• 一个人开车从A到达B地时速90公里，从 B回A地时速60公里，其平均时速是75公 里吗？试用加权平均数说明为什么？
二、几何平均数
• 例某产品需经三个车间连续加工，已知三个 车间制品的合格率分别为95%，90%，98%， 求三个车间平均合格率。 • 设平均合格率为 M g 则经三个车间连续加工的 合格产品为 • M M M 95% 90% 98%
a
为低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数。
众数的意义与应用
众数的意义
众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但极
不准确、稳定，反应不灵敏，不适合代数运算，受抽样的 影响较大等。因此，应用也不广泛，只在特殊情况下应用。 众数适用的情况 （1）当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；
（2）当一组数据出现不同质的情况时；
即
Xi X 0 。
（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原 。


来的平均数加常数C，即 X i C X C
N
（3）在一组数据中，每一个数都乘以一常数C，则所得的平均数为原 来的平均数乘以常数C，即 X i C C X
N
。
• （2）数据分组后（次数分布表）计算法 • f Xc X N • • （式中 XC 为各区间的组中值，f 为各区间 的次数）
例3－2 计算下列数据的平均数
分组区间 96~ 93~ 90~ 87~ 84~ 81~ 78~ 75~ 72~ 69~ 66~ 63~ Biblioteka Baidu0~ 合计 组中值 97 94 91 88 85 82 79 76 73 70 67 64 61 次数 2 3 4 8 11 17 19 14 10 7 3 1 1 100
答： 参加方队学生的最佳身高值应取1.66。
这是因为从这10个身高值可以看出，1.66出现的
次数最多，是这组数的众数，既然这10个男生中
有3个身高为1.66米，而一个班远不止10个男生，
那么8个班的男生中应该能选出40名这种身高的人。
算术平均数、中数、众数之间的关系
（1）当次数分布呈正态时： M M M d 0
表中，次数最多一组的组中值就是粗略众数。
（2）用经验公式求理论众数的近似值 ① 皮尔逊经验法
M 0 3M d 2M （适合正态分布）
② 金氏插补法
fa M 0 Lb i （适合偏态分布） fa fb
b
那一分组区间的次数， f
其中Lb为含众数这一区间的精确下限，f 为高于众数所在组一个组距
请同学们描述一个历史人物：
• 三国中对张飞的描述： • 玄德回视其人，身长八尺，豹头环眼， 燕颔虎须，声若巨雷，势如奔马。玄德 见他形貌异常，问其姓名。其人曰： “某姓张名飞，字翼德。世居涿郡，颇 有庄田，卖酒屠猪，专好结交天下豪杰。 恰才见公看榜而叹，故此相问。”
• 三国中对关羽的描述： • 玄德看其人：身长九尺，髯长二尺；面 如重枣，唇若涂脂；丹凤眼，卧蚕眉， 相貌堂堂，威风凛凛。玄德就邀他同坐， 叩其姓名。其人曰：“吾姓关名羽，字 长生，后改云长，河东解良人也。因本 处势豪倚势凌人，被吾杀了，逃难江湖， 五六年矣。今闻此处招军破贼，特来应 募。” • 罗贯中从哪些方面描述人物？
（3）当次数分布中有两极端的数目时； （4）当粗略估计次数分布的形态时。
思考题 学校要召开运动会，决定从高一年级8个班中
抽调40名男生组成一个整齐的彩旗方阵队，如果从高一（1） 班的体检表中任意抽出10份男生表格，得到10个男同学的身高 （单位：米）如下： 1.63 1.60 1.68 1.66 1.66 1.63 1.75 1.66 1.58 1.65 请根据这10个身高值提供的信息确定参加方队学生的最佳身高 值应取多少？并说明理由。
（1）当一组观测结果中出现两极端数目时；
（2）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时； （3）当需要快速估计一组数据的代表值时。
一项研究调查了19名大学生，他们的月 消费（单位：人民币元）如下： 220，227，230，231，232，232，235，236， 237，239，240，245，246，249，253，258， 260，510，600 现欲了解他们的平均月消费？
当一组数据彼此间变异较大，几乎是按一定的比例关系变化 时，要用几何平均数计算平均比率。
例3－9 在一项有关阅读能力的实验中，得 到这样的结果。阅读的遍数与每遍理解的 程度依次是：第一遍为40%，第二遍为52%， 第三遍为65 %，第四遍为75%第五遍为 86%，第六遍为97%.在该实验研究中被试 阅读能力的平均进步率是多少？阅读能力 的平均增加比率又是多少？
算术平均数的意义、适用条件及应用原则
算术平均数的意义
算术平均数是应用最普遍的集中量数，它是“真值”渐近、最佳的估计 值。 算术平均数的适用的条件 一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算， 同时还要作进一步代数运算时，这时就需要用算术平均数表示其集中趋势。 计算和应用算术平均数的原则 ① 同质性原则； （相同的观测手段；相同的观测指标；同问题的同一特质数据） ② 平均数与个体数值相结合的原则；(毕业生应聘的尴尬） ③ 平均数与标准差、方差相结合的原则。