倒立摆系统的控制器设计

频域法控制器设计
控制器的选择
根据图5-1-1和图5-1-2可以初步观察出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：
由于最大超调量：有公式
我们可以算出 为，取 为。
由 = 得， °。
又调节时间为 （△=±2%）
取 =得 =
由特征根为s1,2=
得期待闭环主导极点s1,2=±
=°
2、计算超前校正网络应提供的超前相角 。
=180°°=°
3、计算 角、 和 。
=°
=
=
故校正网络的传递函数为：
4、由幅值条件，计算Kc
根据幅值条件| |=1，可得到Kc=
即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。
然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab中的Simulink仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发散的。
最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID控制法对倒立摆系统进行校正。
针对目标一：调整时间 ，最大超调量 ，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为：
设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与1（单位是弧度）相比很小，即 ，则可以进行近似认为 。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下[3]：
（2-1-9）
假设初始条件为0，对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到：
（2-1-10）
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
倒立摆系统的控制器设计
摘要
倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。
在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。
通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。
为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。
多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。
倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技的有机结合。
…………………………………………(2)
针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为50；增益裕量等于或大于10分贝。通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为：
…………………………………………………(3)
针对目标三：调整时间 ，最大超调量， ，设计或调整PID控制器参数，得出调整后的传递函数为：
（2-2-1）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
（2-2-2）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
（2-2-3）
3 开环响应分析
当输入为小车加速度时，分析摆杆角度与小车位置的脉冲响应和阶跃响应。由式（2-2-1）、（2-1-2）或者通过受力分析物理公式均可得到小车位移和小车加速度的传递函数：
4 根轨迹法设计
校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析
本系统采用小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，得出的传递函数： 即式（2-2-2）。
系统稳定性分析
在MATLAB中新建一个m文件，并进行编程如下：
num=[];
den=[0];
rlocus(num,den)
p=roots(den)
保存后运行文件，由结果可知该系统不存在开环零点，仅有两个绝对值相等的开环实极点 。并绘制出了未校正系统的根轨迹图如下
可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原点的零点处，这说明无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。
根轨迹设计
开环传递函数：
设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：
最大超调量
调整时间
1、根据性能指标，计算校正后闭环主导极点的坐标。
根据式（2-2-2）我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为：
其中输入为小车的加速度 ,输出为摆杆的角速度 。利用Matlab绘制系统的Bode图（图5-1-1）如下。
>> s=tf('s');
>> G0=*s^;
>> figure;margin(G0)
>> grid on
图5-1-1、直线一级倒立摆系统的Bode图
5、控制器的确定
得到了系统的超前校正控制器：
（4-3-1）
6、校正后系统的验证
通过MATLAB作图，得校正后根轨迹如图
单位阶跃响应如图
可知虽然本次校正使系统的性能得到了改善，但是还无法达到我们之前要求到的超调量的性能指标，所以我们需要通过改变校正环节中的各项参数来调整系统，使之能够达到系统设计要求。由于增大 超调量会变小，经过多次尝试，发现当 时，满足性能指标。其单位阶跃如图
（2-1-11）
（2-1-12）
令v=x，则有： （2-1-13）
把上式代入方程组的第二个运动方程，得到：
（2-1-14）
整理后得到传递函数： （2-1-15）
其中 。
拉氏变换后实际系统的模型
本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：
2 数学模型的建立
牛顿力学法系统分析
通过以上假设，将倒立摆抽象为如图所示的系统
图 直线一级倒立摆模型
•M小车质量Kg
•m摆杆质量Kg
•b小车摩擦系数m/sec
•l摆杆转动轴心到质心长度
•I摆杆惯量kg·m2
•F加在小车上的力
•x小车位置
•摆杆与垂直向上方向的夹角
•摆杆与垂直向下方向的夹角
图 小车及摆杆受力分析
图5-1-2、直线一级倒立摆系统的Nyquist图
根据奈奎斯特稳定判据，由根轨迹法中零点、极点的计算可知：系统不存在零点，但存在两个极点，其中一个极点位于S平面的右半部分，另一个位于S平面的左半部分。根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当 由 变化时， 曲线逆时针包围 平面上 点的次数 等于开环传递函数右极点个数 。对于直线一级倒立摆，由图11和图12可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点。因此， 曲线逆时针包围 点的次数 。而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围 点一圈即 。因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。
本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
………………………(1)
（2-1-4）
然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。
对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：
（2-1-5）
（2-1-6）
力矩平衡方程如下：
（2-1-7）
此方程中力矩的方向，如图所示 ,则 ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（2-1-8）
SIMULINK仿真
建立仿真模型如下：
仿真结果如下：
由图可看到，系统的超调量较小，调节时间短，性能指标较好，系统校正成功。
5直线一级倒立摆频域法设计
系统频域响应分析
系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下两种方法进行分析：一种为伯德图，采用两幅分离图，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；另一种是奈奎斯特图，表示的是当 从0变化到无穷大时，向量 的矢端轨迹。奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。
………………………………………..(4)
关键词：直线一级倒立摆根轨迹分析频域分析PID控制
1 倒立摆系统概述
倒立摆的种类
悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
系统的组成
倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。
工程背景
机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。
（3-1）
利用Matlab中的Simulink仿真工具进行仿真，仿真系统的结构如图
摆杆角度的单位脉冲、阶跃响应，小车位置的单位脉冲、阶跃响应如下图
摆杆角度的阶跃响应 摆杆角度的脉冲响应
小车位置的阶跃响应 小车位置的脉冲响应
从图可知，输入加速度时，摆杆角度及小车位移的阶跃响应和脉冲响应都是发散的。倒立摆系统不稳定，需要进行校正。
N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量 。
首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的第一个运动方程。
对小车水平方向所受的合力进行分析，得到如下方程：
（2-1-1）
对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程：
（2-1-2）
即：
（2-1-3）
把这个表达式代入式(4-1)中，得到系统的第一个运动方程：