第4课 网内业务分析(2)

例5 两次排队问题
假设输入信息流为泊松流，到达率为λ包/秒， 每包的平均比特数为a，且信息包服从指数分布，队 列A和B不限制队长，即构成不拒绝系统。
信息包首先送入队列A，再由容量为C1bit/s的 信道送到队列B，最后有容量为C2bit/s的信道送出 系统。信道C1的服务率μ1=C1/a (包/秒)，信道C2的 服务率μ2=C2/a (包/秒)。
选择状态变量: 取x,y,z作为系统的状态变量,分别
表示A、B、 C三线的忙闲，以1代表占用，以0代 表空闲。对于即时拒绝系统，状态矢量集为：{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}。
状态转移图如下：
稳态的状态方程：
求解方程组：为简化起见令λ1 =λ2 =λ， ρ =λ/μ，可解得：
2. 业务强度
业务强度也称话务量强度或呼叫量。定义为 线路占用时间与观察时间之比。
业务强度无量纲，单位是Erlang（爱尔朗）。 一些结果：具有m 条信道的线路中，实际能承 载的业务强度不大于m，若用户发出的实际业务强 度超过此限制，则肯定有些呼叫被拒绝。实际上， 即使业务强度小于m， 有时也可能有呼叫被拒绝。
状态转移图:
优先制在状态转移图中体现为：在r >0 时，(r , s+1 )状态不能转移到(r , s) 状态，因 为一旦线路空闲，A 队将占用，状态将转移 至(r -1 , s+1 )状态。 状态(t , r , s )= (1 , 0 , 0 ) 意味着有一个呼 叫正在占用线路，此呼叫可以来自A 队，也 可以来自B 队，此时，A 、B 两队均无呼叫在 排队。
时延
i =1
时延是通信网中的另一重要指标，它是指 消息进入通信网后，直到利用完网络资源所需 的时间，包括等待时间、服务时间、传输时间。 不同的业务对时延的要求不同。
通过量和信道利用率
在所有的呼叫中，有一部分是被拒绝的， 另一部分是实际通过网络的。 通过量：单位时间内通过网络的业务量称为通 过量。即Tr = a(1- pc) (爱尔朗)，a为业务量强 度，即μ/λ，pc为呼损。有时也用单位时间内 通过网络的呼叫次数作为通过量。 信道利用率（η）：若线路的容量为Cr，则 η=Tr/Cr。 举例：若某条线路可通m 路电话，其容量可定 为m，则信道利用率相当于排队模型中的窗口 占用率或系统效率，即η=Q(1-pn)/m，M/M/m
纯随机呼叫
(1) 用户数为无限多； (2) 用户间相互独立； (3) 若每个用户的呼叫率为λ0， 而且趋于 零，则总呼叫率为：λ= lim N→∞ Nλ0。
N为用户数，此时 ，Δt 内出现一个呼叫的概率为： λ ⋅ Δt 。
准随机呼叫
实际的通信网中，不存在严格的纯随机 呼叫，因为用户数总是有限的。 设用户数N为有限值，用户间相互独立， λ0为单位时间内每个用户平均呼叫次数，r 为已被接受服务的用户数，则呼叫到达率为 (N-r)٠λ0，此时在Δt内到达一个呼叫的概率 为(N-r)٠λ0 ٠Δt ，当N较大时，准随机呼叫 可近似地作为纯随机呼叫处理，N愈大，这 种近似愈合理。
要解此方程组，利用归一条件： ∑
m
r=0
pr = 1
例2 主备线即时拒绝系统
在交换站有两种输出线，A是主用线，B 是备用线，当A线被占用时，再有呼叫到来就 占用B 线来传输。到达率服从均值为λ的指 数分布，服务率服从均值为μ的指数分布。
选择状态变量 此处，一个状态变量已不能表达系统的状 态。令二维矢量(x，y)为系统状态，x：表示主 用线A的状态，y：表示备用线B的状态，0 表 示空闲，1 表示占线，状态集为{00, 01, 10, 11} 系统的状态转移图为: 稳态的状态方程:
呼损的比较：
令ρ=1，自用备线系统的呼损p11=0.2，公用备 线系统的呼损pC=0.26，可见，呼损有所增加，可看 成是节省一条备用线的代价。若ρ<<1则可得近似式： 此时二者的差别不大。以上分析 表明：在业务量不太大的情况下，采 用公用备线系统是很合算的，但在业 务量较大时，采用这种方式就要考虑 呼损指标。
稳态下的系统状态方程：
在以上方程中，当r或s出现负值时，令 prs=0，这些方程构成一个二维的差分方程， 求通解相当困难。 教材上，求解了一个特例。设A队为不拒 绝型的，即nr=∞，而B队为即时拒绝的，即 ns=0，亦即s≡0，这样状态转移图就只剩下0 状态和最左一列。此系统相当于M/M/1+0 状 态。若B队不存在，则此系统成为标准的 M/M/1系统。加上B 队，即使利用优先制，A 队的平均等待时间也会有所增加，但信道的 利用率也有所提高。但信道利用率的提高是 以优先队的等待时间增大为代价的。
系统的性能指标：
信息包在系统中的总时间：(或者说平均时延)
信道利用率：
信道C1的利用率η1=ρ1 ； 信道C2的利用率η2=ρ2 ； 总的信道利用率: η= (ρ1+ρ2)/2。 可见，只有ρ1 < 1 且ρ2 < 1 时，系统才能稳定 工作。 从本例可以得到一个重要结论：对于M/M排队 系统，其输出过程，即顾客离去的规律仍是一个以输 入到达率λ为平均值的泊松流。
阻塞率和呼损
阻塞率有两种定义，即时间阻塞率和呼叫 阻塞率。 时间阻塞率：总观察时间内，阻塞时间所占的 百分比：
时间阻塞率pn 就是排队论中截止队长为n 时的 拒绝概率。 呼叫阻塞率（呼损）：被拒绝的呼叫次数占总 呼叫次数的百分比。
呼损与转接次数的关系
转接次数越多，呼损越高。设网内的源 宿端间，某有向径上有r 条边，各边上的呼损 t 为pci ( i = 1, 2, …, r)，则该径上源宿端间的呼 损为： r pc = 1 − ∏ (1 − pci )
例1：有限用户即时拒绝系统的分析
假设某交换站有N个用户，每个用户的呼 叫率为λ0，有m条中继线，用户占线时间服从 均值为1/μ的负指数分布，截止队长n=m，若 用户之间相互独立，则总呼叫率为Nλ0。
相当于M/M/m(m,N)排队源自文库统，选用占线 数k作为状态变量。状态转移图如下：
根据状态转移图列出系统方程:
3.与排队论中参数的对应关系
(1) 信道数m相当于服务窗口数; (2) 单位时间内平均呼叫数相当于顾客到达率λ; (3) 每次呼叫占用线路的平均时间 t 相当于平均服 务时间1/μ。所以业务量强度 ： λ a=λt = =ρ μ (4) 当业务量强度a ≥ m 时，相当于 λ ρ= ≥1 mμ 此时不拒绝系统将是不稳定的，对于拒绝系统， 当然还是稳定的，只是有拒绝现象而已。
第四章 通信网内业务分析
主要内容
§4.1
排队论基础 §4.2 业务模型与分析 §4.3 提高网络效率的一些措施 §4.4 多址接入系统
§4.2 通信网的业务模型与分析
通信网中的信息流总是随机的；当公 用一些网资源如信道等，必然会出现排队 现象。因此，本节讨论的内容实际上是排 队论在通信网中的应用。通信网所用的术 语和分析方法，往往与排队理论中所用的 不同。本节先给出通信网的各种测度和指 标的定义，然后再结合具体问题来讨论其 模型及其分析。
全网通过量和全网效率
若通信网中有M条边，相当于M条线路。 全网通过量是从各端(n端)进入网内，且能到 n 达宿端的业务量。即：T = a (1 − p )
∑
r =1
r
c
其中ar是从第r端进入网络的业务量强度； pc是这些业务量强度在网中被阻塞的百分比
全网效率
各线路的通过量Tr 之和与各线路的容量 M M Cr之和的比值。即 η = ∑ Tr / ∑ Cr
例4 优先制排队系统 前面三例都是即时拒绝系统，以下考虑允许 排队等待的优先制服务方式。 系统描述： 有n个业务流共用一条输出线路，事先规定 各自的优先级，优先级最高的队，只要线路有空 即可占用。优先级较低的队，必须在优先级高的 队无呼叫等待时，且线路有空的情况下，才能占 用线路。优先级高的呼叫，甚至可以强行中断正 在占用线路的优先级低的业务流，这称为强拆。 半自动接续的电话网就曾采用这种机制。
输出定理：
M/M/m不拒绝排队系统的输出过程与输入过程相互 独立，并具有同样的分布，都是以λ为均值的泊松流。 这个定理在信息转接的计算中应用很广，它使多次 排队系统简化为各自独立的排队问题，并从各分系统的 性能来计算总性能。 若各排队系统有截止队长等限制时，输出过程就不 具有此性质了，需要像前面那样去求联合概率prs，并且 r和s也不会相互独立。 对于非M/M/m系统，如M/D/1等系统，也不具备此 性质，所以限制了输出定理的使用范围。 对于多次排队系统，一旦有一个子系统不是M/M/m 类型的，则此子系统之前的各排队过程仍然是相互独立 的，但在它以后就不成立了。
以两队输入，一条输出线的情 况为例，A队有优先权，B队只能在 A队无呼叫等待时，才能占用输出 线，但占用后不因A 队有呼叫到达 而被强拆，A、B两队的呼叫到达率 分别为λ1和λ2，服务率为μ。
选择状态变量：
系统的状态取决于线路的忙闲，以及A、B 两队待 处理的呼叫数。令t为线路状态：t=1表示占用，t=0表 示空闲。令r与s分别表示A、B两队中等待的呼叫数，r 和s中不包括正在传输的呼叫，nr 和ns分别为两队的截 止队长，当t=0时，r与s必然也是零，这是系统空闲状 态，称之为0状态，当t=1时，需用一个二维矢量(r、s) 来代表系统状态。
r =1 r =1
§4.2.2 业务分析举例
用排队论分析通信网中各端的业务问题的步骤： 第一步：先确定模型 常用的模型有：M/M/m(n)，M/D/1，M/Er /1。 第二步：定义状态变量 常用的状态变量有：队列长度，占用线数。通信 网中的业务分析一般只限于稳态。 第三步：列出状态方程 对于 M/M问题，可先画出状态转移图，列出稳态 方程，进入某状态的概率 = 离开该状态的概率。 第四步：求解状态方程 计算所需的目标参量，并计算网络的质量指标和 性能指标。
A端用户的呼损：pCA=p101 + p111， B端用户的呼损：pCB=p011 + p111。 代入上述关系式可得：
线路利用率为：
公用备线系统与自用备线系统的比较
即本例的公用备线系统（三线系统）代替前例 两个自用备线系统的情况。
信道利用率的比较：
两个自用备线系统将配备四条信道，而本例 的公用备线系统仅配备三条信道。所以，信道利用 率必然会提高。η自备= 40%，η公备= 48.5%。
选择状态变量：设r和s分别为队列A和B的队列长度 (包括正在传送的信息包)，选择(r，s)为状态变量。 状态转移图：
稳态下系统状态方程：
利用归一条件可求出p00=(1−ρ1)(1−ρ2)。 其中 ρ1=λ/μ1 ρ2=λ/μ1， prs=(1−ρ1)(1−ρ2) ρ1r ρ2s。 从这个解可以看出：r和s是两个相互独立的随机变 量，也就是说在此系统中，两个排队过程是相互独 立的。
§4.2.1 各种测度和指标
1. 业务量（话务量）
定义：在指定时间内，某条线路被占用 的总时间。 例： 若某线路有m条信道，第r条信道被 占用 Qr 秒，则该线路上 (m 条信道 ) 的业务量 （话务量）为：
业务量的另一种表达形式为：
其中， T是观察时间，R(t)是在时刻t被占用的 信道数，是一个随机变量，Q 是R(t)在t到t+T 内的累计值，也是一个随机变量，并且是起始 时刻t和观察时间T的函数。 量纲：业务量的量纲是时间，若一个信道 代表一个电话话路，则业务量（话务量）的单 位是：秒·话路，分钟·话路，小时·话路，天·话 路。
求解方程组，得:
其中，P10为主用线A的阻塞概率；P01为 备用线B的阻塞概率；P11为系统的阻塞概 率，也就是呼损，ρ=λ/μ。
系统的线路利用率为：
若系统中的A线和B线不分主备，则成为 标准的M/M/2(2)问题。M/M/2(2)中的p0对应 于该系统中的p00，p1等于p01+p10，p2等于 p11， 即呼损。线路利用率与本系统一致，可 见在本例的条件下，若不分主备，系统的性能 并无变化，但是，若备用线可以另作它用，则 情况就不同了。
例3 公用备线即时拒绝系统
两个业务流分别送到系统的A和B两个处理单元， 两个输入可认为是两组独立用户，也可以认为是两种 不同性质的业务。系统有三个输出，A线和B线为各 自的专用线，C线为共用的备用线，可接受A、B两种 业务，当专用线忙时，都可使用C线。 假设指数分布的情 况，两个到达率分别为 λ1和λ2，三线的服务 率均为μ，这是一种三 窗口的排队系统，但不 是标准的，无法使用前 面的公式。