空气动力学基本理论(1)

m2 s
，称为运动粘性系数(读[nju
:])
空气粘性不大,初步近似可忽略其粘性作用，忽略粘性的流体称为理 想流体。
作用在流体微团上力的分类
按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力和表面力两类
彻体力：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质量成正比 的非接触力。
例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，彻体力 也称为体积力或质量力。
如讨论P点处压强，在周围取如图微元4面体ABCO,作用在各表面的压
强如图所示，理想流体无剪切应力，由于dx、dy、dz 的取法任意，故面
ABC的法线方向n 方向也是任意的。
分别沿 x、y、z 三个方向建立力的平衡关系：
x方向合外力＝质量×加速度（x方向）
px
1 2
dydz

pnds cos(n,
x)
空气动力学基本理论
空气动力学是研究物体和空气发生相对运动的一门学科，广义上来讲， 其实物理学的一个分支，源自于流体力学。空气动力学按三种方式分类：
（1）按空气速度分为 高速空气动力学
空气动力学
超高声速（Ma≥14） 高超声速（5≤Ma≤14） 超声速（1.4≤Ma≤5） 跨声速（0.8≤Ma≤1.4） 亚声速（0.4≤Ma≤0.8）
当马赫数较小时，可认为此时流动的弹性影响相对较大，即压缩性影响 相对较小（或一定速度、压强变化条件下，密度的变化可忽略不计），从而低 速气体有可能被当作不可压缩流动来处理。
基本物理特性
实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都不算大
• 由于粘性影响，均匀气流流至平板后直接贴着板面的一层速度降为零，称为 流体与板面间无滑移。
由连续质点组成的质点系称为流体微团。
基本物理特性
一般用努生数即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判断流体是否满足 连续介质假设 ：
l / L 1 对于常规尺寸的物体只有到了外层大气中，l /l L 才可能等于甚至大于 1
一旦满足连续介质假设，就可以把流体的一切物理性质如密度、压强、 温度及宏观运动速度等表为空间和时间的连续可微函数，便于用数学分析工 具来解决问题。
du (帕 N / m2 )
dy
这就是著名的牛顿粘性应力公式，它表明粘性剪切应力与速度梯度有关， 与物性有关。
基本物理特性
从牛顿粘性公式可以看出：
1. 流体的剪应力与压强 p 无关。
2. 当τ≠ 0 时，du 0 ，无论剪应力多小，只要存在剪应力，流体就会发 dy
• 任取相邻流层考察可知外层的流体受到内层流体摩擦速度有变慢趋势，反过 来内层流体受到外层流体摩擦拖拽其速度有变快趋势。
• 流层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定距离后，牵扯作用逐步 消失，速度分布变为均匀。
基本物理特性
流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流体的粘性，相对错动流
层间的一对摩擦力即粘性剪切力。
θ2
t1 t2
θ1
F
流体
静止流体在剪应力作用下（不论所加剪切应力τ多么小，只要不等于零）将 产生持续不断的变形运动（流动），换句话说，静止流体不能承受剪切应力，将 这种特性称为流体的易流性
基本物理特性
气体受压时其体积发生改变的性质称为气体的压缩性，而抵抗压缩变形的能力 和特性称为弹性。
压缩性系数定义为单位压强差所产生的体积改变量（相对）：
以前述流体剪切实验为例， 牛顿（1686）发现，流体作用在平板上的摩擦力
正比于速度U 和平板面积 A，反比于高度 h，而μ是与流体介质属性有关的比例常
数：
F=µAU/h
θ2
A
t1 t2
U
θ1
F
h 流体
基本物理特性
设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性剪切应力），则
F U
A
h
对于一般的粘性剪切层，速度分布不是直线而是前述的曲线，则粘性 剪切应力可写为
低速空气动力学 高超声速（Ma≤0.4）
空气动力学基本理论
（2）按用途分为
空气动力学
飞行器空气动力学 工业空气动力学（建筑、船舶、桥梁、通风） 汽车空气动力学
空气动力学基本理论
（3）按研究方法分为
空气动力学
理论空气动力学 实验空气动力学 计算空气动力学（数值计算、仿真）
基本物理特性
空气分子的自由行程： 空气是多种气体的混合体。气体由大量运动的分子组成。分子做着不规
流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力，但切向应力完全 是由粘性产生的，而流体的粘性力只有在流动时才存在，静止流体是不 能承受切向应力的。
理想流体内一点的压强及其各向同性
理想和静止流体中的法向应力称为压强 p（注），其指向沿着表面的 内法线方向，压强的量纲是[力]/[长度]2，单位为（N/m2）或 （帕：pa）
剪力，剪切力大小与流体变形速度梯度有关，而且与流体种类有关
流体的粘性
液体和气体产生粘性的物理原因不同，前者主要来自于液体分子间的内 聚力，后者主要来自于气体分子的热运动。因此液体与气体动力粘性系数随 温度变化的趋势相反：
液体： 温度升高，μ变小，反之变大 气体： 温度升高，μ变大，反之变小
液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可查阅相应表格或近似公 式，如气体动力粘性系数的萨特兰公式等。
应力：

pn
lim Fc A 0 A
n Fc ΔP ΔT
ΔA

pn
lim
A 0
Fc A
lim
P A
lim
T A
作用在流体微团上力的分类
法向应力与切向应力即摩擦应力组成接触应力：
pn p
上述画出的表面力对整个流体而言是内力，对所画出的流体团块来 说则是外力。
0

T
1.5
288.15
288.15 C TC
空气C=110.4K
流体的粘性
在许多空气动力学问题里，粘性力和惯性力同时存在，在式子中μ 和 ρ往往以（μ/ ρ）的组合形式出现，用符号ν 表示

,

Ns m2
,
称为动力粘性系数(读[mju
:])



,

基本物理特性
• 流体与固体的宏观差别：固体－可保持一定体积和形状
液体－可保持一定体积不能保持形状
气体－既不能保持体积也能不保持形状
• 流体与固体在力学特性上最本质的区别在于：二者承受剪应力和产生剪 切变形能力上的不同。
如图所示，固体能够靠产生一定的剪切角变形量θ 来抵抗剪切应力
θ＝τ/G
θ
F
固体
基本物理特性
一般认为气体具有压缩性。
由于
dv v

d
，
E
还可写为：
E

dp
d

dp
d
高速流动时会证明
a2

dp
d
，即音速的平方等于压强对密度的变化率。
所以气体的弹性决定于它的密度和声速：
E a2
基本物理特性
物体飞行速度 u 和扰动的传播速度 a 的比值称为马赫数：
Ma

u a
由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大小可看成是气体相对压缩性 的一个指标。
y
dy
·P
dz
dx
x
z
流体静平衡微分方程
y
假设：
六面体体积：dτ=dxdydz 中心点坐标： x ,y ,z
p p dx x 2
中心点压强：p = p（x,y ,z）
中心点密度： ρ =ρ（x,y,z）
z
中心点处三个方向的单位质量彻体力: fx, fy, fz
·P
dy p p dx
x 2
• 从微观角度而言不论液体还是气体其分子之间都存在间隙，但这个距离与
我们宏观上关心的物体（如汽车）的任何一个尺寸 L 相比较都是微乎其
微的
•例如海平面条件下，空气分子的平均自由程为 l ＝10-8 mm，1mm3液体含
3×1021个分子，1mm3气体含 2.6×1016个分子;10-9mm3液体含 3×1012个分 子， 10-9mm3 气体含 2.6×107个分子
基本物理特性
• 当受到物体扰动时，流体或空气所表现出的是大量分子运动体现出的宏观 特性变化如压强、密度等，而不是个别分子的行为。
• 流体力学和空气动力学所关注的正是这样的宏观特征而不是个别分子的微 观特征。
• 如果我们将流体的最小体积单位假设为具有如下特征的流体质点：宏观上 充分小，微观上足够大，则可以将流体看成是由连绵一片的、彼此之间没 有空隙的流体质点组成的连续介质，这就是连续介质假设。
p


dv v dp
,
(
N
1 / m2
)
体积弹性模量定义为产生单位相对体积变化所需的压强增高：
E dp 1 , (N / m2)
dv v p
基本物理特性
当 E 较大时 β p 较小流体不容易被压缩，反之则容易被压缩。液体的 E 较大，通常可视为不可压缩流体，气体的 E 通常较小且与热力过程有关，故
基本物理特性
密度：
单位体积空气的质量为空气的密度。对于流动的空气，各点的密度可能 不一样，因而建立空气内部任意一点的空气密度很有必要。在连续假设的基 础上我们可以这样定义空气的密度，任意空间点P处，在绕着P点的微小空间， 空间的容积为ΔV，包容的质量为Δm，空气的平均密度为ρ(平均）=Δm/ΔV，令 ΔV→0，则P点的密度为
d/dt=du/dy
综上所述：
•
流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体层间的相
对运动）
•
流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或质点之间的相对运动的能力
•
流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体层间的相对运动）
的剪应力或摩擦力
•
在静止状态下流体不能承受剪力；但是在运动状态下，流体可以承受
生变形运动。
3.
当
du dy
0
时，τ＝0，即只要流体静止或无变形，就不存在剪应力，
流体不存在摩擦力。
因此牛顿粘性应力公式可看成流体易流性的数学表达。
基本物理特性
速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或角变形率 dθ/dt 。如图所示：
u+du
dy
d
u dudt
∴ d =dudt/dy
由于彻体力按质量分布，故一般用单位质量的彻体力表示，并且往
往写为分量形式：
f
lim
0
F
v

fxi
fy j
fzk,
作用在流体微团上力的分类
表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，大小与流体团
块表面积成正比的接触力。
由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法向应力和切向


1 6
dxdydzax
px
C z
y
B pn
dy
·P
o
dz
dx
n pz
Ax
py
理想流体内一点的压强及其各向同性
px
1 2
dydz

pnds cos(n,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x)


1 6
dxdydzax
方程左端等于：
px
1 2
dydz

pn
1 2
dydz
方程右端等于： 三阶小量≈0，由此可得：
同理可得：
px pn py pn
pz pn
即：
px py pz pn
因为图中的n方向为任取，故各向同性得证。
流体静平衡微分方程
下面我们研究压强在平衡流体中的分布规律。
在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡儿坐标系 oxyz，坐标轴 方位任意。在流体内取定一点P（x ,y ,z）,然后以该点为中心点沿坐标轴三 个方向取三个长度 dx,dy,dz, 划出一微元六面体作为分析对象:
dx dz
x
微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示,如图 为 x 方向彻体力，其他方向同理可得。由于流体静止故无剪应力。
流体静平衡微分方程
（ 注：关于有粘性的运动流体，严格说来压强指的是三个互相垂直方向 的法向力的平均值，加负号 ）
在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽管一般压强是位
置的函数 P=P(x,y,z), 但在同一点处压强不因受压面方位不同而变化，这
个结果称为理想流体内压强是各向同性的。
理想流体内一点的压强及其各向同性
则的热运动，彼此挤压碰撞，分子一次碰撞到下一次碰撞发生称为分子的自 由行程 连续介质模型：
1953年，欧拉提出：将空气分子用一种假想的彼此之间没有任何间隙的 空气微团来代替，这种空气微团被定义为足量的分子组成并连续充满其占据 的空间。这便是连续介质模型
基本物理特性
• 连续介质模型：流体力学和空气动力学是从宏观上研究流体（空气）的 运动规律和作用力规律的学科，流体力学和空气动力学常用“介质”一 词表示它所处理 的流体，流体包含液体和气体。
lim p

V 0
m V

dm dV
基本物理特性
下图为 v 0 时平均密度的变化情况(设 A点周围密度较 p点为大)：
y

•A
v
A
z
x
l3 v0
v
当微团体积趋于宏观上充分小、微观上充分大的某体积 (v)0 时，密度 达到稳定值，但当体积继续缩小达到分子平均自由程 l3 量级时，其密度就不 可能保持为常数。