乐课力七年级数学春季班全等三角形(一)

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《全等三角形》教学PPT课件初中数学公开课课件

12.1 全等三角形
第一课时
一导入新授
同一张底片冲洗出来的两张照片
二探究新知
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形,叫做全等三角形.
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
A
D
B
CE
F
如上图，对应顶点：点A和点D,点B和点E，点C和点F 对应边： AB和DE, BC和EF, AC和DF 对应角： ∠A和∠D, ∠B 和∠E, ∠C和∠F
解： ∵ △ADE是由△ABC旋转而得到的 ∴ △ADE ≌ △ABC ∴ ∠DAE= ∠BAC=85 ° ∵ ∠BAD=35° ∴ ∠BAE= ∠DAE —∠BAD =85°—35° =50°
四夯实基础
1.已知, △ABC ≌ △DEF,∠A=50°， ∠B=65°,DE=18cm, 则∠F=__6_5_°_,AB=_1_8_c_m 2.如图, △ABC中，∠ACB=90 °，沿CD折叠△CBD，使点B恰好
对应角.
解：对应顶点：点A和点A,点B和点D，点C和点E 对应边：AB与AD, BC与DE,AC与AE 对应角：∠BAC与∠DAE, ∠B与∠D, ∠C与∠E
如图所示： △ABC≌ △DCB，写出其对应顶点，对应边和对应角.
A
D
E
1
B
2 C
解：对应顶点：点A和点D,点B和点C，点C和点B
对应边：AB与DC, BC与CB,AC与DB
全等三角形的表示：
全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”
A
D
B
CE
F
如图，△ABC 和△DEF全等，记作： △ABC ≌ △DEF
读作： △ ABC全等于△ DEF

乐课力七年级数学春季班第五讲全等三角形的判定

52o
例题3
【基础】（ 2010年苏州中考 23题，6 分）如图， C是
线段 AB的中点，CD 平分∠ ACE ， CE平分∠ BCD ， CD=CE . ⑴求证： △ACD≌ △BCE. ⑵若∠ D=50° ，求∠ B 的度数.
例题3
【提高、尖子】（ 2010年南宁中考23 题,8分）如图，
已知 Rt △ABC ≌ Rt △ADE ， ∠ ABC= ∠ ADE
例题10
（1）已知：△ABC和△A1B1C1 中，AB A1B1，BC B1C1 ，
BAC B1A1C1 110，则△ABC与△A1B1C1 是否全等？
例题10 （B2A）C 已知B1：A1△C1AB9C0和，△则A1B△1CA1 中BC，与AB△AA1B1B1C1，1 是BC否全B1等C1？，
上，且BP = AC ；点 Q在 CE的延长线上，且CQ = AB 。求证：AP = AQ 且 AP ⊥ AQ。．
例题6
【基础、提高】已知：如图，AB ∥DC ，AB=DC ， AE ⊥AD ，AF ⊥AB ，AE=AD ，AB=AF . 求证：AC = EF .
例题6 【尖子】（1997年荆州数学竞赛）已知：如图， AB
∥CD ， ∠D= 2∠B ，设， AD=a ， DC=b,求线段AB 的长.
例题7
（ 2008年成都中考）已知：如图， △ABC 中，
∠ ABC =45 °， CD ⊥AB 于D ， DE 平分 ∠ ABC，且BE⊥AC 于E ，与CD 相交于点F . H是 BC边的中点，连结 DH与BE 相交于点G . ⑴求证： BF=AC ⑵求证：CE 1 BF
A
E
D
F
B
C
例题13

七年级春季班第07课---全等导引

B全等性质和判定导引（罗）一、基本认识在一个三角形中有六个主要元素,就是三角和三边.我们知道，要证明两个三角形全等，只要指出在这两个三角形中有三个（适当选择的）元素相等就行了，其余的三个元素也因此就相等了.首先要注意的是，要证明两个三角形全等，无论如何都不能缺一组对应边相等。

若只有3组角对应相等（其实2组就够了），最多能得到两三角形相似.其次，一定要当心“对应”这两个字.1）“△ABC 和△DEF 全等”与“△ABC ≌△DEF ”这两者需要表达的意义是有很大区别的.前者没有要求对应点字母对应，后者严格要求对应点的字母对应.2）“两三角形有两角分别相等且有一组边相等，这两个三角形全等。

”这句话是不正确的，因为可能存在不对应的情况。

例如：Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高。

对于△ABD 和△ACD 来说，∠ADB = ∠BAC =90°，∠ABD = ∠DAC ，AD = AD ，但这两个三角形并不全等。

最后，几何证明的特色就在于“解无定法”，思考问题时，一定要避免这道题“非得”这么做才可以的想法。

某种方法可能对于这道题很好，但是对其他题也许就不行了。

所以平时练习时，一定要强调一题多解，加强转换问题的能力，从各个角度来切入问题。

二、等式性质公共边等长加等长（平移）等角加等角（旋转）三、常用模型导引（重点）由于只要获取3组对等关系即可证明全等，故本节的重点在于能够迅速地从图形中找到直接的、有用的信息。

而熟悉常见的全等模型的构图方法，掌握处理这些模型的方法，对于解决全等证明具有很大的帮助。

全等三角形的构造，一部分是从具有良好对称性的图形（如：平行四边形或等腰三角形）中构造而来；一部分是经过几何变换（平移、翻折、旋转）获得的；还有一部分是利用某些图形良好的角度特性（角平分线、高线、圆），再加上特殊的条件使得一组对应边相等，从而构造出全等三角形。

观察题目给出的图形时，一定要见树木更见森林（第三境界），知道它是怎样从整体中分离出来的，知道它是怎样构造的。

著名机构七年级数学春季班讲义第11讲-全等三角形的概念和性质及判定一-马秋燕

本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．全等形、全等三角形及其相关的概念（1）全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的概念性质和判定内容分析知识结构模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲AB C DE全等三角形的数学语言：三角形ABC与三角形A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作“三角形ABC 全等于三角形A′B′C′”．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.例题解析【例1】下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．全等三角形的周长和面积都相等D．所有的等边三角形都全等【难度】★【答案】【解析】【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等【难度】★【答案】【解析】【例3】如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC【难度】★ 【答案】【解析】【例4】下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【难度】★ 【答案】【解析】【例5】练习画出下列条件的三角形：（1）画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=；（2）画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；（3）画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒；（4）画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒．【难度】★ 【答案】【解析】【例6】下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】【解析】21ABCD【例7】下列说法中错误的是（）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【难度】★★ 【答案】【解析】【例8】如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（） A ．80° B ．100° C ．60° D ．45° 【难度】★★ 【答案】【解析】【例9】如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF ⊥BE交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【难度】★★ 【答案】【解析】【例10】如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长．【难度】★★ 【答案】【解析】α321AB CDEP1ABEF【例11】如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数．【难度】★★ 【答案】【解析】【例12】如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数．【难度】★★ 【答案】【解析】【例13】如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCA’B ’A BCDEF G 21A B C DEA ’【例14】如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．ABC DE（1）ABCD（2）A BCDE（3）ABC（4）DEF【难度】★★★ 【答案】【解析】本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．模块二：全等三角形的判定知识精讲【例15】如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例16】如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么? 【难度】★ 【答案】【解析】【例17】如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．【难度】★ 【答案】【解析】【例18】如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【难度】★ 【答案】【解析】例题解析ABCDEFA B CD21AB CDEABCDE【例19】如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例20】如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2）说明AB =CD 的理由；（3）图中有哪几对全等三角形? 【难度】★★ 【答案】【解析】ABC D EFABCD EFO ABC DEOABCDEF【例23】如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例24】如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【例26】如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】21ABC DEFACDABCDE ABC DEO【例27】如图，已知AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ．试说明：AC ⊥CE ，若将CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变，结论AC 1⊥C 2E 还成立吗?请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例28】如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由；（2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状．【难度】★★★ 【答案】【解析】2121A BDQP ABCDEMNPQ ABCD EMAB C 2D EC 1AB C 1D EM AB C 2 DEM C 1MAB C 1D EC 2【例29】如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD ．（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】下列命题中正确的是（）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等【难度】★ 【答案】【解析】随堂检测A BCD EF【习题2】如图，△ABD ≌△CDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是（）A ．△ABD 和△CDB 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等C ．∠A +∠ABD =∠C +∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD =BC【难度】★ 【答案】【解析】【习题3】如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘米，DM =5厘米，∠DAM =390，则AN = 厘米，NM =____________厘米，∠NAB = ．【难度】★ 【答案】【解析】【习题4】尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 【难度】★ 【答案】【解析】【习题5】如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC //DB ，且AC =DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据__________；（2）若AC //DB ，且AE =BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据__________；（3）若AE =BF ，且CE =DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据__________；（4）若AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．则△ACE ≌△BDF ，根据__________．【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDA BCD MNABCDPOA BCEDF【习题6】如图，已知△ABC ≌△ADE , ∠CAD =150，∠DFB =900，∠B =250．求∠E 和∠DGB 的度数．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB ∥CD ，AB =CD ．试说明：BD 平分EF ．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°，（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB 'C '的顶点C '与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上?（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C '在同一直线上? 【难度】★★ 【答案】【解析】【习题9】已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ．试说明：△AGE ≌△DAC ．【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDE F G ABDEFGABCDE FG【习题10】在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．（1）若∠A ＝∠B ，P A ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由；（2）若OA ＝OB ，P A ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题11】如图，△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，绕着顶点A 旋转后位置如下：（1）当C 、A 、D 在同一直线上，说明CE 与BD 有何关系?为什么?（2）当△ADE 再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE 与BD 又有何关系．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDPOAB CDP OAB CD E（1）（2）ABDCE（3）（4）AB CE DABCDE【作业1】如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，则AD 的长为_________cm ．【难度】★ 【答案】【解析】【作业2】如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组【难度】★ 【答案】【解析】【作业3】下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【难度】★ 【答案】【解析】【作业4】已知△ABC ≌△DEF ,若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，则DE =_______，DF =_______，EF = _______．【难度】★★【答案】【解析】课后作业A B C DEABCD【作业5】如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业6】如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ， ∠D -∠E =200，∠BAC =600，求∠C 的度数．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业7】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别与CD 、 CE 交于点M 、 N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；② CM =CN ；③ AC =DN ．其中正确的结论是_______________，证明正确的结论．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业8】如图，AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ．试说明：DC ＝BE ，DC ⊥BE ．【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDABCD EM NA BCDEGABCDEE【作业9】如图，已知AE =CF ，∠DAF =∠BCE ，AD =CB ．（1）问△ADF 与△CBE 全等吗?请说明理由；（2）如果将△BEC 沿CA 边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变，结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业10】如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE ，BE与CD 相交于点F ．（1）请说明△ABE ≌△ADC 的理由；（2）求∠1的度数．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCD EF A BC D E FAB CDEC （A ）BD。

人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教案

人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教案一. 教材分析《三角形全等的判定(1)SSS》是人教版数学七年级上册的一章，主要介绍了三角形全等的判定方法之一——SSS(Side-Side-Side)。

本节课通过讲解和实例分析，让学生理解并掌握SSS判定方法，能够运用SSS证明两个三角形全等。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别和判断三角形的类型。

但是，对于三角形全等的判定方法，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握SSS判定方法。

三. 教学目标1.让学生理解三角形全等的概念，掌握SSS判定方法。

2.培养学生运用SSS判定方法解决实际问题的能力。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：SSS判定方法的理解和运用。

2.教学难点：对于复杂图形的SSS判定方法的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生自主探究和小组讨论，培养学生的解决问题能力和团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备一些实际的三角形图形，用于讲解和练习。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引出三角形全等的概念，例如：“在拼图游戏中，如何判断两个三角形是否完全一样？”让学生思考和讨论，引导学生认识到三角形全等的重要性。

2.呈现(10分钟)讲解三角形全等的定义和SSS判定方法。

通过PPT和实物图形，让学生直观地理解SSS判定方法。

举例说明SSS判定方法的应用，让学生初步掌握如何判断两个三角形全等。

3.操练(10分钟)让学生分组练习，每组提供一些实际的三角形图形，要求学生运用SSS判定方法判断两个三角形是否全等。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固(10分钟)通过一些综合性的题目，让学生运用SSS判定方法解决问题。

教师引导学生思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。

北师大版七年级下册数学《全等三角形》全等三角形的判定(1)讲义

12.2全等三角形的判定（1）知识点一：全等三角形的判定1、全等三角形的判定一：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．用数学语言表述：在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌'''A B C ∆（SSS ） 2、这个判定方法告诉我们：当三角形的三边都确定后，其形状、大小都随之确定，这就是三角形的稳定性． 3、全等三角形的判定二：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”．用数学语言表述：在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌'''A B C ∆（SAS ）知识点二：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等，全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF .求证：∠A ＝∠D ．2、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．3、如图，AD=CB ，E 、F 是AC 上两动点，且有DE=BF.（1）若E 、F 运动至如图①所示的位置，且有AF=CE ，求证：△ADE ≌△CBF.（2）若E 、F 运动至如图②所示的位置，仍有AF=CE ，那么△ADE ≌△CBF 还成立吗？为什么？（3）若E 、F 不重合，AD 和CB 平行吗？说明理由.A ’C ’B ’C ’ B ’C ’ ∠B ’D FCBAEDFCBA EC 'B 'A 'C BA C 'B 'A 'C B A练习一：1、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．2、如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．证明△ABC≌△FDE.3、如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，求证：△ABC≌△BAD．例题二：4、已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．5、如图所示，AD为△ABC的高，且AD＝BD，F为AD上一点，连结BF并延长AC于E，CD＝FD，求证：BE⊥AC.6、(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE=DF，EH=FH，你能发现哪些结论？并说明理由. FDCBEAABCED(2)如图，∠1=∠2，AB=AD ，AE=AC ，求证BC=DE. 练习二：4、已知：如图，AB ＝AC ，BE ＝CD ．求证：∠B ＝∠C ．5、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．6、已知：如图，AC ⊥BD ，BC=CE ，AC=DC ，求证：∠B+∠D=90°.第二部分：能力拓展例题：7、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上，找出图中全等的三角形，并说明理由.8、如图，已知CA=CB ，AD=BD ，M 、N 分别是CA、CB 的中点，求证：DM=DN.跟进练习：7、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF= CD ，AB ∥DE ，且AB= DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）CBF=FEC.8、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

全等三角形(知识点讲解)

全等三角形全等三角形知识梳理一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

DCB AED C BA F EDCB AODCBAFE DC B A2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)5. 经典例题透析证明图形全等基础版——“SSS ”（1）已知：AB=DC ，AD=BC ，求证：∠A=∠C（2）如图，E 是AD 上的一点，AB=AC ，AE=BD ，CE=BD+DE ，求证：∠CED=∠B+∠C基础版—— “SAS ”（3）如图，AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF ，求证：BE=DF（4）已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AE DF =，AB DC =．求证：ACE DBF ∠=∠．基础版—— “ASA ”与“AAS ”（5）如图，已知：AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CENM ED CB A OEDCBA（6）如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB ＝AC ，直线MN 过点A ，BD ⊥MN 于D ，CE ⊥MN 于E ，求证：DE ＝BD+CE基础版——“HL ”（R t △）（7）如图，AB ⊥AC ，AB//CD ，AC=CD ，BC=DE ，BC 与DE 相交于点O ，求证：DE ⊥BC类型一：全等三角形性质的应用1、如图，△ABD ≌△ACE ，AB =AC ，写出图中的对应边和对应角.举一反三：【变式1】如图，△ABC ≌△DBE .问线段AE 和CD 相等吗？为什么？2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC 的长。

乐课力七年级数学春季班第八讲全等三角形综合(一)

第八讲全等三角形综合（一）板块一倍长中线倍长过中点的线段，构造全等三角形：（图形的运动——旋转180°，中心对称）C'A O BCCBA如图，O为线段AB的中点。

【常用辅助线】延长CO至'C，使得'OC OC=，联结'BC.在AOC∆和'BOC∆中⎧⎪⎨⎪⎩∴AOC∆≌'BOC∆（）∴A B∠=∠（）∴//'AC BC（）【例题1】在ABC ∆中，a 5AB =，a 3AC =(0>a )，求中线AD 的取值范围.BCA【例题2】如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且DE DF ⊥，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论。

CD B FEA【例题3】在ABC∆中，AD平分BAC∠，E为BC中点，过E作EF AD∥交AB于G，交CA的延长线于F，求证：BG CF=板块二截长补短【例题4】如图，ABC∆中，2,12C B∠=∠∠=∠，求证：.AB AC CD=+AB CD【例题5】【基础、提高】如图，已知：在四边形ABCD中，//,AB CD BE平分,ABC AB CD BC∠+=求证：CE平分BCD∠.BACDGFE D CBA【尖子】如图，在四边形ABCD 中，已知,60,120AB AD BAD BCD =∠=∠=o o . 求证：BC DC AC +=.DBA【例题6】【基础、提高】如图60ABD ACD ∠=∠=o ，1902ADB BDC ∠=-∠o 。

求证：AB BD CD =+.【尖子】如图，已知：在ABC ∆外作正方形ABDE 和,ACGF M 是BC 的中点.求证：12AM EF =.DC BAB CAFGDEM（基础、提高）（尖子）【例题7】【基础】求证：等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长。

【提高】如果这个点在底边延长线上，你可以得到什么结论？给出你得出的命题，并证明。

人教版数学七年级上册《全等三角形》教学设计(第一课时)》教学设计

人教版数学七年级上册《全等三角形》教学设计（第一课时）》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册《全等三角形》是初中的重要知识点，主要让学生了解全等三角形的概念、性质和判定。

本节课的教学内容主要包括全等三角形的定义、性质以及SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。

通过对全等三角形的学习，为学生后续学习几何证明和三角形相似打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了平行线、相交线等基本几何知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但学生在学习全等三角形的过程中，可能会对概念和判定方法的理解存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步掌握全等三角形的知识。

三. 教学目标1.理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。

2.学会使用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法判断两个三角形是否全等。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

4.学会运用全等三角形的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.全等三角形的概念和性质。

2.SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法的掌握和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法。

2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解全等三角形的概念和性质。

3.采用合作学习的方式，让学生在小组讨论中互相启发，共同解决问题。

4.注重练习与反馈，及时巩固所学知识。

六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。

2.练习题和学习资料。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的全等三角形例子，如两只完全一样的铅笔、两块相同的饼干等，引导学生思考：如何判断这两个物体是否完全相同？从而引入全等三角形的概念。

2.呈现（10分钟）教师简要介绍全等三角形的定义和性质，如全等三角形的对应边相等、对应角相等。

同时，展示SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过动画演示让学生直观地理解这四种判定方法的应用。

全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)

BPAa专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA%③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .，【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a ，b ，c.'求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m ，n, ∠ .求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.…【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.@随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角#C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半%C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

全等三角形第一节课ppt课件

C
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
A
B
∵△ABC≌△ABD
D ∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D.
规律一：有公共边的，公共边是对应边
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
先写出全等式，再指出它们的
对应边和对应角
D
B
∵△AOC≌△BOD
o
∴AO=BO,AC=BD,OC=OD.
∴∠A=∠B,∠C=∠D,
A
C
∠AOC= ∠BOD.
规律二：有对顶角的，对顶角是对应角
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
A
如图：∵△ABC≌ △DFE
B
C
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE
D
∵△ABC≌ △DFE
F
E
∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
A
D
B
CE
F
“全等”你用能符否号直“接≌ 从”记表作示
图∆A中B的C△≌A∆BDC和EF△中DE判F全断等出，所记读有对作作的应::△△对角AA应？BBCC顶≌全点△等D于、E△F对D应EF边和
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益

第十二章全等三角形知识点和典型例习题

第十二章全等三角形知识点和典型例习题知识点1、全等三角形的定义和表示方法（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形的形状和大小完全相同，只是位置不同，其中一个经过平移、旋转、翻折等变换后必定与另一个重合。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角（3）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（4）寻找对应元素的方法：①根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

②根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；③通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

平移如图（1），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；翻折如图（3），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；图1 图2 图3知识点2、全等三角形的性质（1）性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。

（对边、对角的区别）（2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。

（3）全等三角形的周长相等，面积相等。

知识点3、全等三角形的判定（1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

（2）“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（3）“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（4）“角角边”（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教学设计

人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定(1)SSS》是人教版数学七年级上册的教学内容。

本节内容主要介绍三角形全等的判定方法之一——SSS（Side-Side-Side，即边边边）。

通过本节课的学习，学生能够理解SSS判定法的含义，掌握其证明过程，并能够运用SSS判定法判断两个三角形是否全等。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了二年级时的平面几何知识，包括图形的性质、图形的相互关系等。

但是，对于全等形和全等三角形的概念，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际例子出发，理解全等三角形的概念，并掌握SSS判定法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解全等三角形的概念，掌握SSS判定法，并能运用SSS判定法判断两个三角形是否全等。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：SSS判定法的概念及其证明过程。

2.难点：如何判断两个三角形是否全等，以及如何运用SSS判定法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入全等三角形的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：在讲解SSS判定法时，引导学生主动思考、提问，提高学生的逻辑思维能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作精神。

4.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的动手能力。

六. 教学准备1.教具：三角板、尺子、彩色粉笔。

2.教学课件：全等三角形的图片、动画、实例等。

3.练习题：与本节课内容相关的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如折纸、拼图等，引导学生思考：什么是全等三角形？全等三角形的性质是什么？2.呈现（10分钟）通过课件展示全等三角形的图片，让学生观察并总结全等三角形的特征。

七年级数学全等三角形

色兔魂样的嘴唇，说话时露出匀称的暗灰色猫妖一样的牙齿，一条脏脏的锅底色鲜笋般的舌头仿佛真是震撼但又露出一种隐约的原始。他仿佛深紫色天鹅一般的身材真的有
些风光同时还隐现着几丝正点，肥胖的亮黑色细小画笔一样的胡须认为很是神气飘忽不定。脏脏的锅底色鲜笋般的舌头真的有些飘然但又带着几分阴森。那一双飘浮的淡白
。那个身穿奇绝的仙霞衣的神汉是
Ｂ．丝日勃木匠。他出生在奇埃奇种族的花豹峰，绰号：十头枕木！年龄看上去大约十二三岁，但实际年龄足有三四千岁，身高
不足一米七，体重不足四十公斤。此人最善使用的兵器是『银冰骨圣山杏杖』，有一身奇特的武功『白兽春神药罐腿』，看家的魔法是『粉鸟玄怪勋章宝典』，另外身上还
带着一件奇异的法宝『灰丝吹神香炉珠』。他有着异常的淡紫色肥肠般的身材和高高的亮灰色馅饼一样的皮肤，好像十分科学酷帅，他头上是古老的水红色土堆模样的卷发
摇闪着亮亮的深橙色云烟，那模样好像漂浮着很多土堆，张目前望，天空的景象有点像非凡的弹头，样子十分的有趣。香鸟窝圣地周边透出一种空气中悠闲的仙味，这种味
道出奇的浓烈，不用鼻子；炒股入门炒股经验股票操作炒股的技巧股票黑马推荐；也能用手摸到……忽然，香鸟窝圣地神奇的远处飘过来丝丝凉香
的脚显得极为顽强迷离，他凸凹的仿佛怪石般的屁股似乎有点神气和飘忽不定！腰间一条，短粗的暗黑色铅笔般的腰带似乎有点飘然但又露出一种隐约的阴森。这个丑男喘
息时有种嘶哑的淡黑色画册般的声音，得意时会散发出散射的粉红色拐棍一样的气味。他很大的纯白色旗杆一般的骨骼似乎有点顽强却又透着一丝迷离，那种高雅的暗紫色
你们能发现其中的对应边、对应角之间分别有什么关系？
五总结规律全等三角形的性质：
全等三角的对应边相等，对应角相等。
记法：⊿ABC≌

著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)

全等三角形的判定及性质课时目标1. 理解全等三角形的概念及性质，并灵活运用；2. 掌握全等三角形的判定方法，并熟练应用于证明题.知识精要1. 全等形能够重合的两个图形叫做全等形.2. 全等三角形（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形.（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角.注：（1）全等三角形不一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系. （2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合.3. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；4. 确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小.5. 全等三角形的判定判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等地，那么这两个三角形全等.（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等地，那么这两个三角形全等.（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA）判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等AAS）DBEDB判定4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等SSS ）热身练习1. AC 与BD 交于点O ，且AB ∥CD ，AO=CO ，OB=OD ，AB=CD. 求证：△ABD ≌△ACE. 证明：在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(已知已知已知CD AB OD OB CO AO∴△ABD ≌△ACE （SSS ）2. 已知△ABD ≌△ACE ，AD=3cm ，BD=1cm ，BC=6cm ，求△ADE 的周长. 解：∵△ABD ≌△ACE∴AE=AD=3cm ，CE=BD=1cm 又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴ADE C ∆=10cm3. 已知△ABC ≌△DBC ，如果∠ABC=72°，∠ACB=45° （1）求∠D 的度数. （2）求∠ABD 的度数. 解：∠A=180°－72°－45°=63°∵△ABC ≌△DBC∴∠D=∠A=63°（全等三角形的对应角相等）同理：∠DBC=∠ACB=45° ∴∠ABD=72°－45°=27°4. 在水平桌面上放置了一块三角形木块，∠A=30°，∠B=90°，AC=2cm ，经过AECBDBEDBDCA运动后△ABC 到A B C '''∆的位置. （1）求ACB '∆的度数.（2）点A 的运动路线是什么图形？求出它的长度. 解：（1）60°（2）运动路线是圆弧：ππ342231=⋅⋅=l5. 已知AD=AE ，∠ADB=∠AEC ，BE=DC （1）试说明：△ABE ≌△ACD. （2）AB 与AC 相等吗？为什么？证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BE AEC ADB AEAD∴△ABE ≌△ACD (SAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)6. 已知AC ∥BE 且AC=BE ，点B 是AD 的中点，试说明△ABC ≌△BDF. 证明：∵AC ∥BE ∴∠A=∠EBD ∵AC=BE ，AB=BD ∴△ABC ≌△BDF （SAS ）7. 已知AD=AE ，∠ADC=∠AEBCBDA （1）△ADC 和△AEB 全等吗？为什么？（2）BD 与CE 相等吗？为什么? 解：（1）△ADC ≌△AEB 全等，证明略（ASA ）（2）∵△ADC ≌△AEB ∴AB=AC∴AB －AD=AC －AE即 BD=CE精解名题例1 △ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC 的长.解：∵△ABC ≌△DEF∴∠DEF=∠ACB=180°－30°－50°=100° EC=BF=2例2 P 为∠AOB 的平分线OC 上任意一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：OP 是EF 的垂直平分线. 证明：易证 △OEP ≌△OFP （AAS ） ∴OE=OF∴△OME ≌△OMF ∴EM=FM ，∠OME=90° ∴OP 是EF 的垂直平分线例3 在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，求证：BC=AC+AD. 证明：在BC 上截取EC=ACFBO∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCB=∠DCA易证△DEC ≌△ACD （SAS ） ∴∠A=∠DEC=2∠B ，AD=DE ∴∠BDE=∠B ∴BE=DE=AD ∴BC=AC+AD例4 △ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形面一个△AMN ，求△AMN 的周长. 解：延长NC 到L ，使CL=BM ，连接DL先证BDM DCL ≅V V （SAS ） DMN DLN ≅V V （SAS ） ∴MN NL NC CL NC BM ==+=+ ∴AMN C AM AN MN =++V AM BM AN NC =+++= 2巩固练习1. 如图，△ABC ≌△ DEF ，这两个三角形的对应边是 AB 与 AC ， BC 与 DE ， CA 与 FE .ACDBA(1题图)2. △ABC≌△DEF，那么∠A=∠D3. △ABC以点B为旋转中心，A旋转到E，CDA B D CB(3题图) (4题图)4. AD，BE，CF是△ABC的高，沿AD翻折，点F与点E，点B与点C重合，那么图中全等的三角形有（ D ）A. 3对B. 5对C. 6对D. 7对5. 给定一个三角形的六个元素中的下列条件画三角形，所画的三角形的大小形状可能不唯一确定的是（ D ）A. 两角及夹边B. 两角及其中一个角的对边C. 两边及夹角D. 两边及其中一条边的对角6. 下列判断错误的是（ A ）A. 全等三角形的所有边都相等B. 全等形的周长、面积一定对应相等C. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角，所画的三角形不一定是唯一的D．确定一个三角形至少要有一个元素是边7. 下列判断中错误的是（ C ）A. 成轴对称的两个图形全等B. 成中心对称的两个图形全等C．两个正方形一定是全等形 D. 运动后能重合的两个三角形全等8. 已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，EEBAED CB求∠DFB 和∠DGB 的度数. 解：∠DFB =90°，∠DGB =65°9. 已知：△ABD ≌△ACE.求证：∠EBO ≌∠DCO. 证明：∵△ABD ≌△ACE ∴∠D=∠E ，DC=BE ∵∠DOC=∠BOE ∴∠EBO ≌∠DCO （AAS ）10. 已知BE=CD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C 解：∵BE=CD∴BD=EC ∵∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC 又∵∠B=∠C∴△ABD ≌△ACE （ASA ）自我测试1. 如图1，已知△ABC ≌ △CDA ，则对应边是 AB 和CD ，BC 和DA ， AC 和CA ，对应角是 ∠ABC 和∠CDA ，∠BCA 和∠DAC ， ∠BAC 和∠DCA .DC图2 图32. 已知ABC∆≌'''CBA∆，A与'A，B与'B是对应顶点，ABC∆的周长为10cm，AB =3cm，BC =4cm.则''BA= 3 cm，''CB= 4cm，''CA= 3 cm.3. 已知ABC∆≌DEF∆，A与D，B与E分别是对应顶点，︒=∠52A，︒=∠67B，BC =15cm，则F∠= 61°，FE = 15 cm.4. 填空题：（1）如图2，已知AC =DB，要使ABC∆≌DCB∆，需增加一个条件是AB=CD等. （2）如图3，已知ABC∆中，090=∠C，AM平分CAB∠，CM =20cm那么M到AB的距离是20cm.（3）如图4，AB =EB，∠1=∠2，∠ADE =120°，AE、BD相交于F，则∠3的度数为30°．（4）如图5，已知：∠1 =∠2，∠3 =∠4，要证BD =CD，需先证△AEB ≌△AEC，根据是ASA ，再证△BDE ≌△BCE ，根据是SAS ．（5）如图6，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC =AE．若AB = 5，则AD = 5 ．5. 如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C∠∠，求证:AD=AE.证明：先证△AEB ≌△ADC（ASA）∴AD=AE(全等三角形的对应边相等)图1E图5 图6图4AACDFEAB6. 如图，DF=AE ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE=BF.求证：∠A=∠D. 证明：先证△CDF ≌△BAE (SAS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)7. 如图，已知：在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证：△ABE ≌△FCE. 证明：∵AB//CD∴∠FCE=∠B ，∠F=∠EAB 又E 是BC 的中点 ∴CE=BE∴△ABE ≌△FCE (AAS)8. 求证：△ABE ≌△FCE 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，求证：BE=CD. 证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ∴∠E=∠CDA=90°EFDCBA∴∠BCE+∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠EBC=∠ACD∴△CBE≌△ACD(AAS)∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)9. 已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：（1）△ACD≌△BCE （2）CF=CG （3）△FCG是等边三角形证明：（1）△ACD≌△BCE （SAS）（2）∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC∴△CDG≌△CEF(ASA)∴CF=CG（3）∵CF=CG，∠ACE=60°∴△FCG是等边三角形G F。

学而思初一数学春季班第12讲全等三角形的认识.目标满分班教师版

三角形4级全等三角形的认识三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形暑期班第五讲春季班第十三讲买玻璃漫画释义满分晋级阶梯12全等三角形的认识一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点．对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角．对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴ 把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上.⑵ 有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角.思路导航知识互联网题型一：全等三角形的概念和性质C BA B'A'二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边相等2. 全等三角形的对应角相等3. 全等三角形的周长相等，面积相等【引例】如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠的度数.【解析】 ∵ABC ADE △≌△∴25D B ∠=∠=︒，DAE BAC ∠=∠又∵10120CAD EAB ∠=︒∠=︒，∴11()(12010)5522DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒∴10552590DFB BAF B FAC CAB B ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △_______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_______DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图所示，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中正确结论共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（东城区期末检测）⑶ 已知下图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°（实验中学期中）【解析】 ⑴DE ，DF ，F ∠，ABC ∠，=，=；⑵C ；⑶D.c ba 72°58°50°ca α典题精练例题精讲FEC B AF G EDCA全等三角形的判定方法：1. 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ．2. 如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ．3. 如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．4. 如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．5. 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．两个三角形中对应相等的边或角是否全等全等：√ 不全等：×公理或推论（简写）三条边√ SSS 两边一角两边夹角√ SAS 两边与其中一边对角 × 两角一边两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边 √ AAS 三角×特殊：直角三角形中，常用“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】学生版方框内需要填充.C BAC'B'A'思路导航题型二：全等三角形的判定【引例】已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．证明：∵BE CF =（）∴BE EC CF EC +=+（）即BC =_____．在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（）∴ACB DFE ∠=∠（）∴AC DF ∥（）【解析】分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等）即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【点评】此题非常基础，就是要给学生呈现一个标准的书写格式，每一步都要有利有据，老师们一定要给学生强调到位，突出证明过程的重要性.【例2】如图，已知AB DC AC DB ==，．求证：12∠=∠．（东城区一模考试）【解析】证明：在ABC △和DCB △中，AB DCAC DB BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABC DCB △≌△． ∴A D ∠=∠．典题精练例题精讲FEDCBAA DBCO12又∵AOB DOC ∠=∠， ∴12∠=∠．【点评】该模型为共边模型，是以后讲轴对称变换的基础，在这里老师们需给学生强调“公共边”的意义.2. 全等三角形的判定（二）——SAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】学生版方框内需要填充.【例3】已知:如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AF CD =，AB ∥DE ，且AB DE =．求证：⑴ABC DEF △≌△；⑵CBF FEC =∠∠．【解析】 ⑴ ∵AF CD =，∴AC DF =．又∵AB DE ∥， ∴EDA BAD =∠∠．在ABC △和DEF △中， AB DEEDA BAD AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴(SAS)ABC DEF △≌△．⑵ 在ABF △和DEC △中， AB DE EDA BAD AF DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，C BAEDA'B'C'典题精练思路导航ADF CBE∴ABF △≌DEC △(SAS )． ∴ABF DEC ∠=∠又∵由⑴知ABC DEF ∠=∠， ∴ABC ABF DEF DEC -=-∠∠∠∠， ∴CBF FEC =∠∠．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？【点评】学生版方框内需要填充.【例4】如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【解析】 ∵AE BF ∥，∴AEO BFO ∠=∠在AEO △和BFO △中 AOE BOF AEO BFO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)AEO BFO △≌△， ∴OE OF =∵CE DF =，∴OC OD = 在AOC △和BOD △中C BAED C'B'A'典题精练思路导航OF E DBAOA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AOC BOD △≌△， ∴C D ∠=∠， ∴AC BD ∥4. 全等三角形的判定（四）——HL作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．【点评】学生版方框内需要填充.【例5】已知：如图，DE AC BF AC AD BC DE BF ⊥⊥==，，，．求证：AB DC ∥．【解析】 ∵DE AC BF AC ⊥⊥，，∴90AED CFB ∠=∠=︒，在Rt ADE △和Rt CBF △中， AD BCDE BF =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ADE CBF △≌△， ∴DAE BCF ∠=∠，在ACD △和CAB △中，C BAB'A'N C'M典题精练思路导航FEDCBAAD BC DAC BCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACD CAB △≌△， ∴ACD CAB ∠=∠， ∴AB CD ∥.【例6】 ⑴ 小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去（师大实验月测试题）⑵ 如图在ABD △和ACD △中，90C B ∠=∠=，要使ABD ACD △≌△，需增加的条件是．（写出其中一个答案即可）【解析】 ⑴ C ；⑵ AC AB =或CD BD =或CAD BAD ∠=∠或ADC ADB ∠=∠.【例7】已知ABC △中，AB BC AC =≠，作与ABC △只有一条公共边，且与ABC △全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．【解析】 7【教师备选】为什么SSA 不能判定全等③②①DCBA 典题精练题型三：全等三角形判定的应用作图：已知线段a b ，和角α，求作ABC △，使得BC a AC b A α==∠=，，，这样的三角形有几个？训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分；⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点，求证：OE OF =．【解析】 ⑴ ∵AB DC ∥，∴A C ∠=∠，在AOB △和COD △中， A CAOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AOB COD △≌△， ∴AO CO BO DO ==，，即AC 与BD 互相平分． ⑵由⑴可知AO CO =，在AOE △和COF △中， AOE COF A C AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AOE COF △≌△， ∴OE OF =另：证明BOE DOF △≌△也可．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．【解析】 7对：AOB △≌DOC △；AOC △≌DOB △；AEO △≌DFO △；a bαAFEO D C BlOF EDCBA思维拓展训练（选讲）AEC △≌DFB △；ABC △≌DCB △；ABD △≌DCA △； AEB △≌CFD △．理由略．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，；【解析】只有⑹所作的三角形不唯一．训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； ⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言）证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则11190BDC B D C ∠=∠=︒，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．【解析】⑴；⑵略；⑶若ABC △、111A B C △均为锐角三角形或均为直角三角形或均为DCBAD 1C 1B 1A1钝角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠，则111ABC A B C △≌△．题型一全等三角形的概念和性质巩固练习【练习1】 ①判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别． ② 两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【解析】 ①⑴定义，⑵SAS ，⑶ASA ，⑷AAS ，⑸SSS ，⑹HL ；相等．②C ；③D ．【练习2】如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．【解析】 30︒.题型二全等三角形的判定巩固练习【练习3】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【解析】在BCE △和CBF △BEC CFBCBE BCF BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩复习巩固EDCAFEA∴BCE CBF △≌△， BF CE =．另一方法：面积法．1122ABC S AB CE AC BF =⋅=⋅△，∵AB AC =，∴BF CE =．等腰三角形两腰上的高相等．【练习4】如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．【分析】法一，根据题目中给出的条件，可以利用“HL ”证明ABC BAD △≌△，得到CAB DBA ∠=∠，然后再利用“AAS ”证明CAE DBF △≌△，即可得出CE DF =．法二，此题在证明了ABC BAD △≌△后，根据全等三角形的面积相等，即ABC BAD S S =△△，而这两个三角形又是同底的，可以得出高CE 等于高DF ．【解析】法一：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴90ACB BDA ∠=∠=°．在Rt ABC △和Rt BAD △中， ()AB BA BC AD =⎧⎨=⎩边，，公共 ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△， ∴AC BD =，CAB DBA ∠=∠（全等三角形的对应边、对应角相等）． ∵CE AB ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ， ∴90CEA DFB ∠=∠=°．在CAE △和DBF △中， 90CEA DFB CAE DBF AC BD ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩°，，， ∴(AAS)CAE DBF △≌△，∴CE DF =（全等三角形的对应边相等）．法二：∵AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴90ACB BDA ∠=∠=°．在Rt ABC △和Rt BAD △中， AB BA BC AD =⎧⎨=⎩，， ∴Rt Rt (HL)ABC BAD △≌△， ∴ABC BAD S S =△△．又∵AB AB =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，FE DCBA∴CE DF =．【点评】本题方法一通过两次直角三角形全等得到结论，其中第一次全等运用了“HL ”，第二次全等运用了“AAS ”，要注意区别．通过方法二我们可以知道有时灵活运用三角形面积相等也可证明两条线段相等．题型三全等三角形判定的应用巩固练习【练习5】如图所示，ABC △中，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①EBO DCO ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC = 上述四个条件中，在不添加辅助线的情况下，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情形) . 【解析】 ①③、①④、②③、②④.A BCDEO第十四种品格：信念当一块石头有了愿望一位名叫希瓦勒的乡村邮递员，每天徒步奔走在各个村庄之间。

乐课力七年级数学春季班第一讲从三线八角到几何论证

4
1
a
E
M 50°
A
B
3
2
b
图1
C N
F
1 D
G
【练习3】 C
H AG
（1）已知：如图 AGH B , CGH BEF , EF AB 于 F ,证明：CG AB.
E
F
B
2014 年七年级春季班第 12 页共 14 页
平行班
第 1 讲学生版
（2）已知：如图，CDA CBA ，DE 平分 CDA ，BF 平分 CBA ，且 ADE AED 。
B
C
E F
A
D
（2）如图，已知 BE 平分 ABC ， ABF CFB 65 ， EDF 50 。求证： BC / / AE 。
E
D
F
C
A
B
（3）如图，已知 AB//DC//EF//HG，BC//DE//GF//HI，求证： B H 。
D
C
HG
I
E
F
A
B
2014 年七年级第 4 页共 14 页
平行班
第 1 讲学生版
【补充 1】如图，已知 A B C D 180 。求证 AE//DF。
E F
A B
C
D
【补充 2】7 条直线两两相交，试证明：在所有的交角中至少有一个角小于 26
【练习1】（1）已知，如图， 1 ABC ADC ， 3 5 ， 2 4 ， ABC BCD 180 ．将下列推理过程补充完整：
求证： DE // FB
D
F
C
A
E
B
（3）已知：如图， AD BC, EF BC,BFE G ,求证： AD 平分 BAC .

新初一数学衔接讲义全等三角形概念与性质老师春季班

学科教师辅导讲义学员学校：年级：七年级课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题全等三角形概念与性质考点及考试要求全等三角形概念与性质知识梳理要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB 和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.热身练习1、下列说法中，正确的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．12、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35° C．30° D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙7、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°，∴∠ECB ＝________°.∵将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD ≌△EBC ，∠ADB 与∠ECB 是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD ，EBC ；ECB ，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.8、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．【思路点拨】由旋转的定义，B C BC '=，A B C=ABC ''∠∠＝∠BB C '，由平角的定义及三角形的内角和可知AB D '∠=旋转角度.【答案】35°；【解析】旋转得到的三角形和原三角形全等，所以B C BC '=，A B C=ABC ''∠∠，所以， AB D ='∠180°－∠BB C '－∠A B C ''＝180°－（∠ABC ＋∠BB C '）＝∠BCB '＝35°．【总结升华】旋转得到的三角形与原三角形全等，并且对应边的夹角等于旋转角度.这道题要注意隐含条件B C BC '=，这是一对对应边．9、如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.解法导析1、B. 正确的为：①②③2、DE ；DF ；∠F ；∠ABC 。