不等式恒成立问题及能成立问题

例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略

——谈2008年江苏高考数学试卷第14题

摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。

关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。

2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。解析如下：

析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。

解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥⇔≤-

+，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x

∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1）

若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥⇔≥-

+，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x

∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+⨯=，4a ∴≥（2）

若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3）

由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴=

解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略:

1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。

2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。

该题在考查学生基础知识的同时，注意考查了考生的分类讨论的思想、换元的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。

2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目，解析如下

已知函数f(x)=x

a x x ++22,x ∈),1[+∞. （1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；

（2） 若对任意的x ∈),1[+∞，0)(>x f 恒成立，试求a 的取值范围。 析：由于x ∈),1[+∞，0)(>x f 220x x a ⇔++>化繁为简。

解：（1）当21=a 时，221)(++=x

x x f ，)(x f 在区间[),1+∞上为增函数， )(x f ∴在区间[),1+∞上的最小值为2

7)1(=f （2）在区间[),1+∞上，02)(2>++=x

a x x x f 恒成立022>++⇔a x x 恒成立，设),1[,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当

1=x 时，a y +=3min ，

于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a

本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。

通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：解不等式恒成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式恒成立问题的处理策略进行求解。等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关键。

下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。

一、直接法

例1．已知0,0x y >>，且211x y

+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．

析：本题可利用不等式求最值

解： 2142(2)()4()8y x x y x y x y x y

+=+⋅+=++≥，而222x y m m +>+对0,0x y >>恒成立，则228m m +<，解得42m -<<

例2．若不等式142x x a +--≥0在[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为 。 析：本题可转化为求二次函数的最值

解：令[]142,1,2x x y a x +=--∈，则()[]2

211,1,24x y a x =---∈≤≤x 而22 所以2min (21)1y a a =---=-，因不等式142x x a +--≥0在[1，2]上恒成立 所以min 0y a =-≥，即0a ≤

例3．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ

,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值；

（2）若不等式()2f x m -<在ππ

,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 析：()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+

解：（1）π

()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π

212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝

⎭≤≤，max min ()3,()2f x f x ==∴． （2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+， 14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．

二、分离参数法

例4．关于x 的不等式kx x x x ≥-++3922在]5,1[上恒成立，则实数a 的范围为 ．

析：含参问题的考察始终是高考的热点，要善于对问题先观察思考后动手，避免不必要的麻烦。

解析一： 两边同除以x ，则39-++≤x x x k ，69≥+x

x ，03≥-x ， 当且仅当3=x ，两等式同时成立，所以3=x 时，右边取最小值6，6≤∴k ． 解析二：（提示）可分3x 1≤≤和5x 3≤<讨论．求分段函数的最小值．答案：6k ≤．