南大复变函数与积分变换课件PPT版6.4 几个初等函数构成的共形映射映射.ppt
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复变函数和积分变换第6章共形映射.ppt
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定义6.5两曲线在无穷远点处的夹角，就是指它们在反演变换下的像曲线在
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复变函数与积分变换
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定理6.5（保域性）设w=f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则D的像 G=f(D)也是一个区域. 定义6.2具有伸缩率不变性与保角性的共形映射称为第一类共形映射；如果 映射w=f(z)具有伸缩率不变性，但只保持夹角的大小不变而方向相反，则称 映射为第二类共形映射. 例6.2函数f(z)=z2+2z在z平面处处解析，f′(z)=2z+2，显然当z≠－1时， f′(z)≠0，因此，映射f(z)=z2+2z在z平面上除z=－1外处处是共形的.
图6.2
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复变函数与积分变换
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其次，我们讨论导数的模|f′(z0)|的几何意义.由于|Δz|和|Δw|分别是向
量Δz和Δw的长度，故
这说明像点间的无穷小距离与原
像点间的无穷小距离之比的极限是|f′(z0)|，这可以看成是曲线C经w=f(z)
映射后在z0点的伸缩系数或伸缩率.它仅与z0有关，而与曲线C的形状和方向
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复变函数与积分变换
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定理6.6（黎曼存在与唯一性定理）如果扩充复平面上的单连通区域D，其边 界点不止一点，则存在一个在D内的单叶解析函数w=f(z)，它将D共形映射成 单位圆|w|<1，且当合条件f(a)=0,f′(a)>0，(a∈D)时，f(z)是唯一的. 定理6.7（边界对应定理）设w=f(z)在单连通区域D内解析，在D上连续，且 把区域D的边界C保持相同绕行方向、一一对应地映射为单连通区域G的边界 Γ，则w=f(z)将D共形映射为G.
即在区域
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完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
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定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
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上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
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例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
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容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
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在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换精品PPT课件
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
复变函数与积分变换第06章 共形映射
在D内 过z0引 一 条 有 向 光 滑 曲 线:
C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
(2)补 充 定 义 使 分 式 线 性 函数 在 整 个 扩 充 平 面
上 有 定 义: 当c 0时，w a / c
z d / c z
当c 0时， 在z 时 ， 定 义w .
(3)w az b z dw b (d )(a) bc 0
由(1)式 仅与映射w f (z)及点 z0的值有关。
② 转动角的大小及方向与曲线C的形状与
方向无关，这种性质称为映射具有转动角
~~~~~~~~~~~
的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设Ci (i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , Ci (i 1,2)
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
(ii)w az
设z re i a ei ,则w rei( )
把z先转一个角度再将z 伸长(或缩短) a
倍后就得w, w az是旋转和伸缩合成的映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
名词介绍: 关于圆的对称点(见图） y
o
x
割线方向p0 p的极限位置：
z'(t0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
)
—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.
C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
(2)补 充 定 义 使 分 式 线 性 函数 在 整 个 扩 充 平 面
上 有 定 义: 当c 0时，w a / c
z d / c z
当c 0时， 在z 时 ， 定 义w .
(3)w az b z dw b (d )(a) bc 0
由(1)式 仅与映射w f (z)及点 z0的值有关。
② 转动角的大小及方向与曲线C的形状与
方向无关，这种性质称为映射具有转动角
~~~~~~~~~~~
的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设Ci (i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , Ci (i 1,2)
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
(ii)w az
设z re i a ei ,则w rei( )
把z先转一个角度再将z 伸长(或缩短) a
倍后就得w, w az是旋转和伸缩合成的映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
名词介绍: 关于圆的对称点(见图） y
o
x
割线方向p0 p的极限位置：
z'(t0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
)
—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.
南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.1 复数
z2
5
5
14
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
P4 例1.1
证明 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 2 Re ( z1 z2 ) .
15
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
轻松一下吧 ……
16
第 附：历史知识 —— 虚数史话 一 章 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在《大术》 复 数 与 复 变 函 数 中求解这样的问题： 两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数． 卡尔丹发现只要把 10 分成 5 15 和 5 15 即可。
卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它 们与 负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的 学生哈里奥特的责难。
发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗 贝尔、拉普拉斯等。 为这门学科的发展作了大量奠基工作的
则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在 复数领域的推广和发展 。
(虚数史话)
5
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的几种表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数
13
§1.1 复数 第 一 章 复 解 (1) ( 3 4 i ) ( 3 4 i ) z2 3 4i 数 与 7 1 35 5 i 复 i. 变 5 5 25 函 数 z1 z1 7 1 i . (2)
z2 z1 5 5i ( 5 5 i ) ( 3 4 i )
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
n1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
复变函数与积分变换课件(南昌大学)
的 根,则z也 是 其 根. (实 多 项 式 的 零 点 成 对 出现)
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
南大复变函数与积分变换课件(PPT版)2.2-解析函数与调和函数的关系
v y
u x
,
v x
u . y
(A) (B )
(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：
v( x,
y)
v y
dy
u x
dy
v~( x,
y)
c
(x),
(C )
其中，v~( x, y)已知，而 ( x) 待定。
(3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数 ( x).
解 析
P37 定义
且满足 C R 方程：u v ,
u v ,
2.4
x y y x
函
则称 v 是 u 的共轭调和函数。
数
定理 函数 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在区域 D内解析的充要
P37 定理
条件是：在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。
2.4
注意 v 是 u 的共轭调和函数
由 v 6xy ( x) u 6xy , ( x) 0,
x
y
(x) c , v(x, y) 3x2 y y3 c .
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系
第 二 章
解 解 (2) 求虚部 v( x, y)。
析
方法二：全微分法
函
数
由 v u 3x2 3 y2 , v u 6xy ,
8
§2.2 解析函数与调和函数的关系
第 三、构造解析函数
二 章
方法
全微分法 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) P39
解
(1) 由 u 及 C R 方程得到待定函数 v 的全微分：
析 函
dv v dx v dy u dx u dy .
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(w)
形a映 射z1 z aw (z a)2 h2 i
(z1 )
(z a)2 h2 i
hi
w z4 i z4 i
(z4 )
z2 z12
(z2 )
z3 z2 h2
h2
z4 z3
(z3 )
22
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共 形 映 射
休息一下 ……
23
第 三、综合举例
六 章
主要步骤 (一般)
共 (1) 预处理
形 目标 使区域的边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。
映 射
工具 几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。
(2) 将区域映射为角形域(或者带形域 )
方法 将区域边界的一个交点 z1 映射为 ; [ 另一个(交)点 z2 映射为 0 ]。
工具
w k 1 , 或者 w k z z2 .
(w)
2i
(w1 )
π
w w14
8
8
π 4
2
4
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共解 形 映 射
P157 例6.14
(z)
4π 5
z1 4 z
w
(4 (4
z z
)5 )5
i i
(w)
w z2 i
1
1
z2 i
(z1 ) π 5
z2 z15
(z2 )
5
§6.4 几个初等函数构成的映射
结论 指数函数 w ez 在 z 平面上是第一类保角映射。
在水平带形域 0 y h上，如果 h 2π , 则指数函数 w ez
是共形映射。
8
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共 形
解 令 w1 iz , 则 w ew1.
映 射
如图，所求的象区域 G 为：
G { z : | z| 1, Re z 0}.
形
映 射
0
2π n
w zn
n 0 2π
0 R
znw
n 0 Rn
特点 幂函数 w zn 扩大顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
类似地，根式函数 w n z 作为幂函数的逆映射，其映射 特点是缩小顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
2
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 一、幂函数 w zn, ( n 2 整数 )
z z1
z z1
11
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 三、综合举例
六 章
主要步骤 (一般)
共 (3) 将角形域( 或者带形域 )映射为上半平面
形
工具 w zn , w n z . ( 对于角形域 )
映
射
w ez .
( 对于带形域 )
(4) 将上半平面映射为单位圆域
工具 w z i . zi
(
z z
2 2
)
i
2 03
z2 iz1
3i (z2)
z3
π 3
z2
(w)
1
1
w z4 i z4 i
(z4 )
z4 ez3
πi (z3)
18
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共解
形
π 2
映
射
(z)
π 2
z1 i z
P162 例6.19
w
1 1
ieiz ieiz
2
(z1 )
π 2
( 无附加条件 )
w ei0 z z0 .
z z0
( 由附加条件确定 0 , z0)
12
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六
P161 例6.18
章
解 共
(z)
w z2 ？(错！！)
形 映 射
1
1
01
z1
z1 z1
z z
1 1
2
i
w
z z
1 1
2
i
(w)
z2 z12
01
六 章
共
2. 保形性
解析性
(1) 在 z 平面上处处可导，且
dw nzn1 ; dz
形 映
(2) 当
z 0 时， dw dz
0.
射 单值性 在 z 平面上不是双方单值的，比如：
对于 w z4,
取
z1
π
e2
i
z2 eπi , 则 z14 z24 .
结论 幂函数 w zn 在 z 平面上除原点外是第一类保角映射。
, 1,
得 ki
zi z i ,i
故6
iz1
1
iz z
i i
.
w
1
z2 z2
i i
(z1 )
π
6
01
z2 z16
(z2 )
16
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六
P159 例6.16
章
解 共
(z)
1 i
将 2 , 0 0,
(w)
形 映 射
2 0
z1
z z2
12 (z1 )
w 再有ee要z221ππ求ii(( zz将kzz22z)1)z2iii ,
1
i,
1
w z4 i z4 i
0
i
1 2
得 k 1,
故
z1
z. z2
(z4 )
z2 iz1
z4 ez3
1 2
i
(z2 )
z3 2πz2
πi (z3)
17
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六
章
解
共
形
2
映
射
z1
z2 z2
(z)
6
3
2
4
(z1 )
π
e3
i
(
z2 z2
)
i
e w
π 3
i
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六
§6.4
几个初等函数构成的映射
章 一、幂函数
共 形
二、指数函数
映 射
三、综合举例
1
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 一、幂函数 w zn, ( n 2 整数 )
六 章
1. 映射特点
共
令 z r ei , 则有 w r en in , 即 | w | r n, arg w n .
1
1 (z1)
共解 形
(z)
z1
1 z
映
射
1 0 1
w
1
ie
πi 2z
2
1
ie
πi 2z
(w)
w
1 1
ei iz2 ei iz2
2
π 2
z2
π 2
z1
(z2 )
π 2
(利用前例的结果)
20
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 *例 设区域 D 如图所示，求一共形映射将 D 映射成单位圆域。
i
(w)
w ew1
i
(z)
π 2
π 2
w1 iz ,
(w1 )
π 2
i
π 2
i
9
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共解 形 映 射
P158 例6.15
(z) πi
π 2
i
2(z i)
we 2
z1
z
π 2
i
π 2
i
(z1 )
z2 2z1
(w)
w ez2
πi
(z2 )
10
§6.4 几个初等函数构成的映射
(z1 ) 1
w z2 i z2 i
(z2 )
注
从上半单位圆域到上半平面的映射为
w
z z
1 1
2
.
13
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六
章 解
共
形
1
映
射
(z)
01
1
z z
1 1
2
i
w
z1 z
z 1 2 i z 1
(z1 ) 1 0 1
z2
z1 z1
1 1
2
(w) 1
在角形域 0
0 上，如果 0
2π n
，则幂函数
w
zn是
共形映射。
3
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共 形 映
πi
解 令 w1 ze 4 ,
则 w w14 .
射
如图，所求的象区域 G 为：
G { z : | z| 8, Im z 0}.
2i
(z)
π 4π
4
2
πi
w1 ze 4
y
(z)
v
(w)
y 4π
y 2π y
z xx
w ez
w ex
y
u 6
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 二、指数函数 w ez
六 章
1. 映射特点
(z)
共
hi (h 2π)
形
映
射
z1
π h
z
w ez
特别有
πi
( z1 )
w1 ez1
(w)
h (h 2π)
π
w1 w h
(?) 单值性？
i
π 2
i
z2 ez1 i