利用三角形内角平分线定理的逆定理更简单
数学八年级上册课件15.4角平分线第2课时 角平分线的性质定理及逆定理
C
P
O
EB
∴ △ PDO ≌ △ PEO，（AAS）
∴ PD=PE。（全等三角形的对应边相等）
知识梳理
证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知 和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程。
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
D
A
C P
E B
思考
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离 相等。那么到角的两边的距离相等的点是否在角 的平分线上呢？请说说你的想法及证明。
利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边 的距离相等的点在角的平分线上。
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
直角三角形全等用
揭示概念
角平分线的概念：
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使
第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成 的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理 及逆定理
。。。。。。。。。。。。
学习目标
• 1、掌握角平分线定理及逆定理。 • 2、能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的
问题。 • 重点：角平分线的性质定理及其逆定理。
旧知回顾
三角形 全等的条件：
（1）定义（重合）法；
（2）解题 中常用的4 种方法
（3）HL
角平分线性质定理及逆定理-教学设计
为 E，老师一边说，师生共
同操作，让学生通过观察猜
想线段 PD 与线段 PE，线段
OC 与线段 OD 的数量关系。
3、 引导学生猜想当折痕与角
的的两边垂直时，线段 PD、
线段 PE 与边 OA、边 OB 的
关系，肯定它们的发现并引
导学生猜想通过这个特殊
的位置关系能得到什么结
论？
探究二：对上述猜想进行证明 已知： ____________________________________ __________________
求证：_______________ 证明：
角平分线性质定理：
1、 给学生留出时间和空间思 考如何把猜想变成现实。学 生讨论交流证明的方法。在 学生证明之前提示学生，怎 么把文字语言变成数学语 言，根据图形写出已知和求 证。
2、 小组讨论结束，选取证明 完成较好的一个同学的导 学案在多媒体展示，并让其 他同学质疑。
的角，这条
_
叫做这个角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平分
线。
2、 点到直线的距离：从______外一点到
这条直线的_________长度，叫点到直
线的距离。
提问学生
1、 角平分线的定义是什么？ 2、 点到直线的距离是什么？ 板书：
C
O
A
通过角的定义你也可以从中
得到哪些角的数量关系?
复习旧知， 引入新课。激 发学生学习 兴趣和求知 欲。
角平分线的性质定理及逆定理的证明及运用。
灵活应用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
动手操作、小组合作、多媒体、导学案导学
教学过程设计
教学内容
教学方式
板书标题，课件出示学习目标、
学习重点、难点，找学生研读。
角平分线的性质教学设计
《角平分线的性质》教案——人教版《数学》八年级上册鞍山市二十六中学那琳11.3 《角平分线的性质》教案第二课时教学目标知识技能1、了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；2、会利用角的平分线的性质进行证明与计算.解决问题1、提高综合运算三角形全等的有关知识解决问题的能力2、初步了解角平分线的性质及判定在生活、生产中的应用数学思考通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
情感态度探讨角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点角平分线的性质的证明及运用。
难点角平分线性质的探究。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：情境引入：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？学生以小组为单位讨论，有部分学生疑惑，用以前学过的知识解决不了，引出新知识，等待学完再解决。
通过让学生动手画最短的路线，可以复习点到直线的距离这一概念，为探究角的平分线的性质作铺垫；同时也让学生感受到数学与实际生活是紧密相连的，从而激发学生的学习兴趣，体现人人学有价值的数学。
活动2：根据表中的图形和已知，猜想由已知可推出的结论，并用符号语言填写下表：1、学生可以讨论，独立思考，然后说出答案。
已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的结论：点P在∠AOB的平分线上．判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．2、进一步引导学生用集合的观点概括两个性质，教师及时点拨讲解，让学生区别性质和判定两个的区别引导学生写出命题的已知、求证并加以证明，让学生熟悉证明文字命题的步骤，体会由实践活动得到的猜想,只能通过证明来验证,从而发展学生的理性思维。
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等； 而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知：如图所示，E 是AD 上一点，∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ，，。
求证：∠=∠DBE DCE分析：欲证∠=∠DBE DCE ，只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边，只要证出BE=CE ，∠=∠BED CED 即可，或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线，EB AB EC AC ⊥⊥，，可得出EB EC =，由∠=∠AEB AEC ，可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明：∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠，，∴=EB EC （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵ABE BAE BED ∠+∠=∠，∠=∠+∠CED CAE ACE （三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌）（SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC 。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，F AC DF E AB DE 于，于⊥⊥，BE=CF 。
求证：AD 平分∠BAC 。
B D C分析：欲证AD 平分∠BAC ，由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因此只要证明DE=DF 即可，可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标:掌握角平分线得性质定理及其逆定理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明:角平分线得性质定理:角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时,将用到三角形全等得判定公理得推论:推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等。
(AAS)推导过程:已知:OC平分∠MON,P就是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA＝PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO与△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达:(角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示,∵OP平分∠MON(∠1＝∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB.(2)角平分线性质定理得逆定理:到一个角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB.求证:点P在∠MON得平分线上.证明:连结OP在Rt△PAO与Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上.)如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2(OP平分∠MON)(3) 角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路;②实际生活中得应用.例:一个工厂,在公路西侧,到公路得距离与到河岸得距离相等,并且到河上公路桥头得距离为300米.在下图中标出工厂得位置,并说明理由.(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考: 尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图),思考这种作法得依据。
步骤一:以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角得两边分别交于A,B两点。
人教版数学八年级上册1.2角平分线的性质定理的逆定理(角平分线的判定)课件
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
A D
P
EB
判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是
∠AOB 的平分线； ( ) （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距
离等于2cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝1 ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝1 ∠ACB2， ∠ABC＋∠ACB＝1280°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
结论：
B
C
E
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。
如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和 一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
公路
公路
铁路 S
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
角平分线的性质定理的逆定理
（1）若连接 AM ，则 AM 是否平分 BAD ？请你证明你的结论． （2）线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？请说明理
M 3 A 四、总结梳理（3分钟） 1、角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线 （3）垂直距离。 五、过关检测（10 分钟）
探究 3. 1、如图，已知 PD⊥OA,PE⊥OB,且 PD =PE，那么 P 点在∠AOB 的平分线上吗？为什么？
A
要求和方法
D
P O E B
通 过 已 学的三角形 全等的知识 证明 OP 平分 ∠AOB，从而 得出角平分 线的性质定 理的逆定理。
小结：角平分线的性质定理逆定理：
2、例题讲解：
。
如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P． 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． （分析：点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离，•也就是 说要证：PD=PE=PF．而 BM、CN 分别是∠B、∠C 的平分线，•根据角平分线性质和等式的传 递性可以解决这个问题． ）
年级
课型：新授课 班级： 小组： 设计：王磊 姓名：
导学案
审核： 审批： 使用时间：____月____日 星期__ 第___1 _课时 学习过程 累计___2__课时
课题：角平分线的性质定理的逆定理
流程及学习内容 一、解读目标（2 分钟） 学习目标：1、探索并证明角的平分线的定理的逆定理。 2、会应用角的平分线的性质定理及其逆定理进行计算和证明。 学习重点、难点预设： 角的平分线的定理的逆定理的探索与证明，及灵活应用。 二、夯实基础（10 分钟）
三角形角平分线逆定理
三角形角平分線逆定理
過一三角形頂點的線分(或外分)對邊所得的兩條線段與這頂點的兩邊對應成比例為這個角的內角(或外角
)平分線。
如圖，對于
給定的 ABC ，若BD DC =AB AC
，則AD 為∠BAC 的內角(或外角)平分線。
B
B
證明(1)
1.過C 作DA 的平行線，交BA 的延線于E ;
2.因與三角形一邊平行的直線截其它兩邊所得的對應線段成比
例，BA AE =BD DC ，
3.由于給定BA
AC
=BD DC ，得AC =AE,∠AEC =∠ACE
4.∠BAD =∠AEC =∠ACE =∠DAC ;
5.AD 平分∠BAC 。
B
證明(2)
1.過C 作DA 的平行線，交BA 于F ;
2.因與三角形一邊平行的直線截其它兩邊所得的對應線段
成比例，
BF F A =BC CD ,BF +F A AF =BC +CD DC ,BA AF =BD DC
=BA
AC 3.AC =AF,
∠EAD =∠AF C =∠ACF =∠DAC ;
4.AD 為∠BAC 的外角平分線。
B
參考資料
1.Durell.A New Geometry for Schools,1963.(P.475)
1。
信阳市七中八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理教案新版北师大
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时 公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．
角的平分线教案
角的平分线教案角的平分线教案角的平分线教案1教学目标1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．教学过程设计一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明1，复习引入课题．（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角平分线OC．2．画图探索角平分线的性质并证明之．（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段PD，PE．（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．3．逆向思维探求角平分线的判定定理．（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．二、应用举例、变式练习练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA 于DPE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴OP平分∠AOB（-------------）例1已知：如图3－87（a），ABC的角平分线BD和CE交于F．（l）求证：F到AB，BC和AC边的距离相等；（2）求证：AF平分∠BAC；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？说明：（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。
角平分线的性质定理及逆定理
角平分线的性质定理及逆定理江镇中学刘厢一、教学目标1、知识与技能目标：掌握角平分线的性质定理及逆定理的应用；通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
2、过程与方法目标：通过观察猜想，逻辑证明、应用的过程，学会研究问题的一般的数学方法。
3、情感态度价值观目标：了解数学和生活的紧密联系，体会数学实际价值。
二、教学重点、难点重点：角平分线性质定理及其逆定理的应用。
难点：逆定理的推出及两条定理的应用。
三、教学手段：多媒体四、教学过程设计1、引入（1）动动手：作∠AOB的角平分线OC，在OC上任取一点P，作出点P到∠AOB两边的距离OD、OE，量一量，OD、OE在数量上有什么关系吗？（2）请学生口述该结论的证明过程。
已知：OC平分∠AOB，点P 是OC上任意一点，P D⊥OA，P E⊥OB，垂足分别为点D、E 求证：PD=PEC（3） 由学生归纳得出命题：如果点P 在∠AOB 的平分线上，那么点P 到∠AOB 两边的距离相等 2、出示性质定理3、结合图形用几何语言来描述性质定理4、练习（1）如图，已知∠1=∠2，P D ⊥OA ，P E ⊥OB ，PE=3cm求：PD 的长度 （请学生口答）（2）已知：如图，在△ABC 中，∠C=90度，BD 平分∠ABC ，D E ⊥AB 于点E ①如果DC=3,AB=6,则△ABD 的面积为_______②如果AE=4，△ADE 的周长为9，则 AC=_______5、蔡襄性质定理的逆命题是否成立6、请学生结合图形给出证明7、指出到一个角两边距离相等的点，其实是在角平分线所在的直线上8、出示性质定理的逆定理 9、结合图形用几何语言描述逆定理 10、练习（3）如图，要在M 区建一个大型超级购物中心G ，使它到两条公路的距离相等，离两公路交叉处1000米，这个超级购物中心应建于何处(在图上标出点G 的位置，比例尺1：50000)? 11、评讲例题例1 已知：如图，AO 、BO 分别是∠A 、∠B 的平分线，O D ⊥BC ，O E ⊥AB ，垂足分别为点D 、E 。
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》 角平分线的性质定理和逆定理的应用及证明培优(无答案)
人教版八年级数学上册第十二章角平分线的性质定理和逆定理的应用及证明培优知识点：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
此定理用数学语言表示∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE例题1： 如图，已知：AB=AC ，BD=CD ， 求证：DE=DF练习：1．已知：如图所示，BD 是的平分线，AB=BC ，P 在BD 上，求证：PM=PN ．NM BDAP逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．例题：如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的角平分线上。
的距离相等；（2）点P在A练习:如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．灵活应用：BD ，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线,CD分别是E，F.求证：BE＝CF。
ODEC 2.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，且BE ＝CF 。
求证：AD 是△ABC 的角平分线。
3.如图，AB CD ⊥,AC BE ⊥,垂足分别为D 、E ，BE 与CD 相交于点O ，OB=OC . 求证：CAO BAO ∠=∠.4.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DA B.5.如图，BN 是的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，都不是直角，求证：PD=PE常见考题：1..如图所示，三条直线两两相交，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 一处 B 两处 C 三处 D 四处2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。
数学角平分线的性质定理及其逆定理
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且DE=DF,求DE的长。
D O
′
求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P 的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.
E B
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, 且PD=PE O ∴点P在∠AOB的平分线上
A
C C′
B
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
O B
A
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为
半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C 3.作射线OC.
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米， 求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
做一做
1
三角形内角的角平 分线
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
数学人教版八年级上册角平分线有关的定理
角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线.
注：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段.角的平分线是射线.
拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心).
定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.
逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，。
角平分线定理逆定理
角平分线定理逆定理
角平分线定理逆定理是几何学中非常重要的定理，它可以帮助我们求解一些关乎角平分线的几何问题。
它可以将复杂的几何问题简化为容易解决的问题，因此在实际中使用广泛。
角平分线定理逆定理的定义是：在一个多边形内，任意边的中点所连接的角的和等于2的夹角，即两个角平分线所成的夹角。
根据角平分线定理逆定理，我们可以辨别一个多边形中某两个边的中点之间是否是一条角平分线，也可以确定多边形内任意一条边的中点之间的夹角到底是多少。
角平分线定理逆定理可以帮助我们解决许多几何问题，例如：
（1）求在一个三角形内任意两条边的中点之间的夹角大小；
（2）确定一个多边形内任意2条边是否存在角平分线；
（3）求解多边形的内角和；
（4）解决其他类似问题。
另外，角平分线定理逆定理还可以帮助我们完成一些实际中的活动，比如画出一个复杂的图形、测量一个多边形的面积等。
角平分线定理逆定理是一个非常有用的定理，但我们也应该牢记，在实际中，我们需要根据问题的实际情况，选择合适的方法，进行计算。
只有掌握正确的计算方法，才能准确地得出结论。
因此，在采用角平分线定理逆定理解决问题时，我们一定要多加分析，确定计算步骤，以便得出准确的结果。
综上所述，角平分线定理逆定理被广泛用于几何学中，它可以帮
助我们解决复杂的几何问题，同时也可以帮助我们完成一些实际中的活动。
但是，在使用时，我们应该认真分析问题，确定正确的计算步骤，以得到准确的结论。
角平分线定理的逆定理
角平分线定理的逆定理角平分线定理的逆定理呀，这可真是个有趣的东西呢！你想想看，角平分线定理我们都很熟悉了，那它的逆定理又有着怎样神奇的魅力呢？角平分线定理说的是角平分线上的点到角两边的距离相等，那它的逆定理就是如果一个点到角两边的距离相等，那这个点就在这个角的平分线上。
这就好像是在一个神秘的几何世界里，有着一条隐藏的线索，等待着我们去发现和探索！这不就像是在生活中，我们有时候会根据一些迹象去推断事情的真相吗？比如看到地上有一串脚印，我们就能猜到有人走过这里。
角平分线定理的逆定理也是这样，通过一个点到两边的距离相等这个线索，我们就能确定这个点在角平分线上。
假如你在一个大大的几何图形中漫步，突然看到一个点到两边的距离相等，哇，那你是不是会兴奋地意识到，这个点可能就在角平分线上呢！这是多么让人惊喜的发现啊！就像你在森林中迷路了，突然发现了一个指向正确方向的标记一样。
再想想看，角平分线定理的逆定理在解决几何问题中的作用，那可真是不容小觑啊！它就像是一把神奇的钥匙，可以打开许多难题的大门。
当我们遇到一个看似复杂的图形，不知道从哪里下手的时候，突然想到这个逆定理，说不定就能找到解决问题的关键呢！而且，这个逆定理不仅仅在数学中有重要的意义，在我们的生活中也能找到它的影子呢！比如说，判断公平与否。
就好像一个裁判，要判断一件事情是否公平，是不是可以从各个方面的表现来看，如果都相等，那不就意味着是公平的吗？这不就是角平分线定理的逆定理的一种体现吗？总之，角平分线定理的逆定理是一个非常重要而且有趣的定理。
它让我们看到了几何世界中更多的奇妙之处，也让我们在解决问题和思考生活中的事情时有了更多的工具和思路。
它就像一颗闪耀的星星，照亮了我们在几何领域探索的道路，让我们能更加深入地理解和掌握这个神奇的世界。
所以啊，一定要好好重视和利用这个逆定理呀！。
角平分线逆定理证明过程
角平分线逆定理证明过程
嘿，咱今天就来唠唠角平分线逆定理的证明过程哈。
你想啊，角平分线，那可是把一个角分成相等两半的神奇存在呢。
那它的逆定理是啥呢？就是如果一条线能把一个角分成两个相等的角，并且这条线上的点到角两边的距离相等，那这条线就是角平分线啦。
咱开始证明咯。
就好像我们在一个神秘的几何世界里探险一样。
先画个角 ABC，然后呢，假设有一条线 AD 满足那些条件。
嘿，就像找到了一把神奇的钥匙。
我们先从 D 点向角的两边做垂线，垂足分别是 E 和 F。
这时候就像打开了一道门，看到了奇妙的景象。
因为 AD 把角分成了相等的两半呀，所以角BAD 等于角 CAD。
然后呢，再看看三角形 AED 和三角形 AFD，它们可是有好多相同的地方呢。
角 AED 和角 AFD 都是直角，AD 又是公共边，还有角 BAD 等于角 CAD，这不就是全等三角形的条件嘛！哈哈，就像找到了宝藏一样兴奋。
然后呢，这两个三角形全等啦，那 DE 就等于 DF 啦。
哇哦，这就证明了这条线 AD 就是角平分线呀！是不是很神奇呀！
哎呀呀，经过这么一番折腾，终于证明出来啦。
就好像我们征服了一座几何的小山丘。
所以说呀，角平分线逆定理就是这么回事儿。
就像我们生活中的一些道理一样，有时候看似复杂，其实只要用心去探索，就能找到答案。
嘿嘿，这下你对角平分线逆定理的证明过程是不是清楚多啦？就像我们一起经历了一场有趣的几何冒险一样呢！以后再看到角平分线，就会想起我们这次的奇妙之旅啦。
好啦，今天就说到这儿咯，下次再一起探索别的有趣的数学奥秘呀！。