一元函数积分学(不定积分的概念与性质)

不定积分的几何意义
3.1.3 基本积分表 3.1.2 不定积分的性质
求积分习例2-14
思考题---分段函数的不定积分
一、原函数的概念 1. 问题
(1)已知速度v( t ), 求路程s( t ).
即 s( t ) v( t )(已知), 求s( t ).
(2)已知曲线上每一点处的 切线斜率k ( x ), 求曲线y f ( x ).
即 y k ( x )(已知), 求y f ( x ).
2. 原函数的定义
若在I内, F ( x ) f ( x )或dF ( x ) f ( x )dx,
则称F ( x )为f ( x )在I内的一个原函数 .
如 sin x cos x, sin x 是cos x 的原函数.
dy 根据题意知 2 x, dx 即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数.
2 xdx x C ,
2
f ( x) x 2 C ,
2
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x 1.
三、基本积分表
(1)
kdx kx C
( k是常数);
例11. 计算 cot 2 xdx. 解:
2 2 cot x dx (csc x 1)dx
cot x x C .
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等 变形，才能使用基本积分表.
cos 2 x dx. 例12. 计算 2 2 cos x sin x
解:
x 1 例10. 计算 2 dx. x 1
4
假分式 化成多项式 加真分式
x4 1 x4 x2 x2 1 2 dx 解: 2 dx 2 x 1 x 1 2 2 (x 1 2 )dx x 1 1 3 x x 2 arctan x C . 3
高等数学A
第3章 一元函数积分学
3.1 不定积分
3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 不定积分的性质 3.1.3 基本积分表
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.1 不定积分
问题
3.1.1 原函数的概念
原函数的定义 原函数的存在性 定义
不 定 积 分 的 概 念 与 性 质
3.1.2 不定积分的概念
x
90 x 2 2 3 cos x x C ln 90 3
3
(2x x x 3 x ) x 例4. 计算 dx. 2 x
(2 x x x 3 x ) x 解: dx 2 x
(2 x

1 2
3 )dx x
2 x 2 x 3 ln x C
x dx 5 x dx
5 2
1 2
2 10 x x +C 7 3
7 2
3 2
例3. 计算 (10 x 32 x 3 sin x x )dx.
x 2x ( 10 3 3 sin x x )dx 解:
90 dx 3 sin xdx xdx
x x e dx e C; x a x C; (13) a dx ln a (14) sinh xdx cosh x C ;
(12)
(15) cosh xdx sinh x C ;
(16) 0dx C .
四、不定积分的性质
不定积分的基本性质：
d (1) f ( x )dx f ( x ), 或 d[ f ( x )dx] f ( x )dx, dx
(7)
sin xdx cos x C ;
dx 2 ( 8) sec xdx tan x C ; 2 cos x dx (9) 2 csc2 xdx cot x C ; sin x
(10) sec x tan xdx sec x C ; (11) csc x cot xdx csc x C ;

sin x C cos x
（ C为任意常数）
定理2. 设F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数, 则
(1) F ( x ) C也是f ( x )的一个原函数 , 其中C为任意常数 ; ( 2) 若 ( x )是f ( x )的一个原函数 , 则 ( x ) F ( x ) C .
1 1 ln x ( x 0), ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x x
3. 原函数的存在性 定理1. 若函数f(x)在区间I上连续, 则f(x)在I上存在 原函数F(x).
问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一,它们之间有什么联系？ 如
sin x cos x
(4) 如果f(x)在I上存在原函数,则称f(x)在I上可积.
二、不定积分的概念 1. 定义 函数f(x)在区间I上的原函数全体, 称为f(x) 在I上的不定积分. 记为


被 积 函 数
f ( x )dx
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式 积 分 变 量 任 意 常 数

故结论正确.
(4) kf ( x )dx k f ( x )dx .
n n i 1 i 1
(k为任意常数)
(5) ki f i ( x )dx ki f i ( x )dx.
性质(1)(2)说明微分运算与求不定积分的运算 是互逆的. 性质(3)可推广到有限多个函数之和的情况.
(3) 不定积分与原函数是两个不同的概念，它们 是整体 与个体的关系，原函数是一个函数，不 定积分是一族函数.
(4) 若F ( x ) f ( x ), 则 f ( x )dx F ( x ) C .
2.不定积分的几何意义
若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的 一条积分曲线.
则 f ( x )dx表示f ( x )的某一条积分曲线沿着 纵轴方向任 意地平行移动所得到的 所有积分曲线组成的曲 线族.
如图.
y
这些曲线在横坐标 相同处切线平行. o x
例1. 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解: 设曲线方程为 y f ( x ),
1 x ( 2) x dx C ( 1); 1
特别地,
x 1 xdx 2 C x dx 2 x C 1 1 x 2 dx x C
2
dx (3) ln | x | C ; x
1 ( 4) dx arctan x C ; 2 1 x 1 ( 5) dx arcsin x C ; 2 1 x (6) cos xdx sin x C ;
arctan x ln x C .
1 2x2 dx . 例9. 计算 2 2 x (1 x )
2 2 1 2x2 1 x x dx 2 解: 2 dx 2 2 x (1 x ) x (1 x )
分式化成最 简真分式的 代数和
1 1 2 dx dx 2 x 1 x 1 arctan x C . x
证明: (1) [ F ( x ) C ] F ( x ) f ( x ),
F ( x ) C 是f ( x )的一个原函数 . ( 2) ( x ) F ( x ) ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0
cos 2 x cos x sin x dx dx 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x
2 2
(csc2 x sec2 x )dx
( 2) F ( x )dx F ( x ) C , 或 dF ( x ) F ( x ) C .
( 3) [ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx;
证明:
f ( x )dx g( x )dx f ( x )dx g( x )dx f ( x ) g( x ).
3 2 )dx 例7. 计算 ( 2 1 x 1 x2
1 x x2 dx 例8. 计算 2 x(1 x )
例9. 计算
1 2 x2 dx 2 2 x (1 x )
x4 1 例10. 计算 2 dx . x 1
2 例11. 计算 cot xdx .
例5. 计算 ( 2 x 3 x ) 2dx. 解: ( 2 x 3 x )2dx (4 x 2 6 x 9 x )dx
4x 6x 9x 2 C ln 4 ln 6 ln 9
例6. 计算 sec x (sec x tan x )dx. 解:
( x ) F ( x ) C
即 ( x ) F ( x ) C
(C 为任意常数).
注意:
(1) 初等函数在其定义区间上都有原函数. (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数.
(3) 原函数不唯一.
1 2 1 2 1 如 sin x , cos x , cos 2 x都是(sin x cos x )的原函数. 2 2 4
习惯上, 称求已知函数 f ( x) 的全部原函数的过程,
为求函数 f ( x) 的不定积分.
求不定积分是求导的逆运算.
例如：
( x 2 ) 2 x ,
(sin x ) cos x ,
1 (ln | x |) , x
2 2 x d x x C;
cos x d x sin x C ;
1 x d x ln | x | C .
每一个求导 公式, 反过 来就是一个 求原函数的 公式, 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式.
注意: (1) 尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义， 但在使用时须作为一个整体看待. (2) 积分变量是指d后面的那个量.
如 f ( u)du中u为积分变量,比较 u x dx与 u x du.
sec x(sec x tan x )dx (sec2 x sec x tan x )dx
tan x sec x C
3 2 例7. 计算 ( )dx . 2 2 1 x 1 x
3 2 解: ( )dx 2 2 1 x 1 x 1 1 3 dx 2 dx 2 2 1 x 1 x
3 arctan x 2 arcsin x C
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1 x x2 dx . 例8. 计算 2 x(1 x )
2 2
分式化成最 简真分式的 代数和
解:
1 x x x (1 x ) x(1 x 2 ) dx x(1 x 2 ) dx
1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
五、求不定积分习例---直接积分法 例2. 计算
x ( x 2 5)dx
x 2x (10 3 3sin x x )dx 例3. 计算
(2 x x x 3 x ) x dx 例4. 计算 2 x
x x 2 (2 3 ) dx 例5. 计算
例6. 计算 sec x(sec x tan x )dx
cos 2 x dx 例12. 计算 2 2 cos x sin x
1 例13. 计算 2 x 2 x dx sin cos 2 2
1 例14. 计算 1 cos 2 x dx .
例2. 计算

2
x ( x 2 5)dx .
5 2 1 2
解: x ( x 5)dx ( x 5 x )dx