贵州大学数值分析往年试题(6套)
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
(完整word版)数值分析试题(word文档良心出品)
一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程阿西吧的f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取阿西吧的近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解阿西吧的线性方程组的迭代格式中求阿西吧的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求二次插值多项式及f（2.5）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
4、欧拉预报--校正公式求解初值问题取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.三、证明题（20分每题 10分）1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。
参考答案：一、填空题1、局部平方收敛2、< 13、 44、5、三阶均差为06、n7、b-a8、9、 1 10、二阶方法二、计算题1、2、3、≈1.25992 (精确到,即保留小数点后5位)4、y(0.2)≈0.01903三、证明题1、证明：当=1时，公式左边：公式右边：左边==右边当=x时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：故具有三次代数精度A卷一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共9×3＝27分）1、要使11的近似值的相对误差不超过0.1%，应取______________有效数字。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析试题集(2020年7月整理).pdf
2 设 f (x) = 3x2 + 5 ， xi = i ( i = 0,1, 2,) ，则二阶差商 f [xn , xn+1, xn+2 ] = --------。
1 1 3 A = 5 1 ，则 A 1= -----------------。
4
设
A
=
a +1 −1
2 4
，当
a
满足条件
----------------
时，A 可作 LU 分解。
n
5 设 xi ( i = 0, 1, 2, , n ) 是互异节点，对于 k = 0, 1, 2, , n ， xikli (x) -----------。 i=0
二（10 分）由下表求插值多项式
x
0
y
2
1
2
3
4
y
1
位-----------------。
2 设 f (x) = 3x2 + 5 ， xi = i ( i = 0,1, 2,) ，则二阶差商 f [xn , xn+1, xn+2 ] = --------。
1 1 3 A = 5 1 ，则 A 1= -----------------。
4
设
A
=
a +1 −1
2 1
2
A = −1
4 ，则
A = -----------，
(A) = -----------------。
3
设
A
=
a +1 −1
2 4
，当
a
满足条件----------------时，A
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
贵州大学2005-2015年数学分析考研真题
贵州大学2005年数学分析考研真题一、判断下列结论的正误，正确的简要说明理由，错误的给出反例（每小题5分，共30分）1、设有数列}{a n ，满足0)(lim 1=-+∞→n n n a a ，则极限n n a ∞→lim 存在.2、设)()(limx g x f x x →存在，)(lim 0x g x x →存在，则)(lim 0x f x x →必存在.3、若)(x f 在开区间),(b a 上连续，则)(x f 在),(b a 上一致连续.4、若可导函数)(x f 在],[b a 严格单调递增，则在),(b a 内必有0)('>x f .5、若)(x f 在0x x =处有定义，且)0()0-(00+=x f x f ，则)(x f 在0x x =处连续.6、若二元函数),(y x f 在),(00y x 处偏导数存在，则),(y x f 在),(00y x 连续.二、求解下列各题（每小题10分，共60分）1、求数列的极限nnn a a +∞→2lim ，（其中0||≠a ）.2、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=0),1ln(0,)(x x x chx x f ，试讨论)(x f 的可导性并在可导处求出')(x f .3、确定a,b 之值，使函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=00,0,)(x b x x a x e x f x ，当当当处处连续.4、在抛物线2x y =找出直线243=-y xk 的距离为最短的点.5、求由不等式33cos sin x y x ≤≤，40πx ≤≤所确定的区域的面积.6、求曲线222,1t t y t x -=+=与x 轴所围成的封闭图形绕x 轴旋转所得的立体的体积.三、证明题(每小题15分，共60分）1、)(x f 在],[b a 上连续，且a a f <)(，b b f >)(，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ξξf =)(.2、函数),(y x z z =由方程)(z φy x z +=所确定，其中)(z φ具有连续导数，且0)(-1'≠z φy ，证明xzz φy z ∂∂=∂∂)(.3、设)(x f ，)(x g 都在],[b a 上连续，)}(),({max )(],[x g x f x M b a x ∈=，证明)(x M 在],[b a 上连续.4、设)}({x S n 在],[b a 上一致收敛于)(x S ，且每个)(x S n 在],[b a 上连续，则)(x S 连续.贵州大学2006年数学分析考研真题一、单项选择题（共六小题，每小题5分，满分30分）1.在以下格式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（）A.0sin lim x x x→ B.1lim(1)xx x →∞+ C.sin lim x x x x →∞+ D.lim axnx e x→∞2.设f(x)在[0,1]连续可导，不恒为常数，若f(0)=f(1)，则在开区间（0，1）内（）A.'()0f x = B.'()0f x >C.'()0f x < D.存在12ξξ≠，使得''12()()0f f ξξ<3.设()f x 可导，()()(1|sin |)F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件4.设()f x 在区间[a,b]上非负，在（a,b ）内''()0f x >，'()0f x <，1(()())2b aI f b f a -=-，2()baI f x dx =⎰，1()()I b a f b =-，则123,,I I I 的大小关系（）A.213I I I ≤≤B.123I I I ≤≤C.132I I I ≤≤ D.321I I I ≤≤5.设函数()f x 在(,)-∞∞内连续，则导函数的图形如图1所示，则图1()f x 的图形为（）6.'00(,)0x Z x y =，'00(,)0y Z x y =是函数(,)Z f x y =在00(,)x y 取得极值的（）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件二、判断下列结论是否正确，请说明理由或举出反例（每小题5分，共25分）1.11limsin()lim lim sin()0lim sin()0n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞=⨯=⨯=.2.函数()f x 在0x x =处可导，则|()|f x 在0x 处可导.3.设()f x 是在区间[a,b]上取0，1两值的函数，则()f x 在[a,b]必存在间断点.4.设()f x 是在区间[a,b]上可导且严格单调下降，则在区间（a,b ）上，'()0f x <.5.1nnn a x∞=∑在数域上必绝对收敛，三、解答题（共7小题，共95分）1.（16分）分别举出满足下列要求的函数（1）定义域为R ，值域为{-1，0，1}的递减函数.（2）定义在闭区间[0,1]上的无上界的函数.（3）定义在R 上的不是常数的周期函数，且无最小周期（在定义域（a,b ）内任意区间上都不是单调的.（4）定义在闭区间[0,1]上的函数，它有反函数，但在[0,1]的任意区间上都不单调.2.（10分）试给出lim n n a A →∞≠的N ε-定义，并由此证明lim cos 1n n π→∞=.3.（14分）1110,1,(1,2,...2n n naa x a x n x +>==+=，证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n x x →∞.4.（14分）试叙述罗尔中值定理，并证明罗尔中值定理与下面的命题等价：若()f x 在[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，且存在0(,)x a b ∈，使得00(()())(()())0f x f a f x f b -->，则存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=5.（18分）（1）110,0,,1,2,...n n n n n na b a b n a b ++>>≤=，试证：i ）1nn b∞=∑收敛，则1nn a∞=∑也收敛.Ii ）1nn a∞=∑发散，则1nn b∞=∑也发散.（2）幂级数1nnn a x∞=∑在2x =处收敛，试证1(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.6.（11分）设sin()(,xz xy x y ϕ=+，其中(,)u v ϕ具有二阶连续的偏导数，求：22z x ∂∂，2zxy∂∂7.计算累次积分2222yRy y y x I dy edx dy dx----=+⎰贵州大学2007年数学分析考研真题一、填空题（每小题5分，满分40分）1.已知201cos 2lim 1ln (1)x x a x b →-=++，则a ，b 的值为____________.2.设vz u =，u x y =+，v x y =-，那么zy ∂∂______________.3.()sin sin sin(cos )f x x x x =+⋅在[,44ππ-上的定积分值是__________.4.已知曲线积分(,)Ly Q x y dy +⎰与积分路径无关，则(,)Q x y _______________.5.设)(x f是可导函数，⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(，则)(''x F ____________.6.使级数nn xx n )11(1211+--∑+∞=绝对收敛的x 的取值范围__________________.7.写出一个闭区间[0,1]的函数)(x f ，使得)(2x f 是Riemann 可积的，但)(x f 不是Riemann 可积的，例如__________________.8.关于数列}{n x 收敛的Cauchy 收敛原理是________________________________________.二、计算题，每小题10分，满分40分1.求极限0lim x x +→2.讨论1()sin xf x e x =在开区间（0，1）内的一致连续性.3.按定义讨论级数1111()1n n n x x n n +∞+=-+∑在闭区间[-1,1]上的一致收敛性.4.设(,)f x y =，按定义证明(,)f x y 在(0,0)处连续，(0,0)x f 与(0,0)y f 存在，但(,)f x y 在（0，0）处不可微.三、本题15分，设()ln(),(,)f x x x e x e =-+∈-+∞1.求()f x 在(,)e -+∞上的最小值2.令11,(),1n n x e x f x n +==≥，讨论数列{}n x 极限的存在性，若极限存在，求出此极限，若极限不存在，说明理由.四、本题12分，计算积分()()()I x y dydz y z dzdx z x dxdy =+++++∑⎰⎰，其中∑为中心在原点，边长为2的正方体：[1,1][1,1][1,1]-⨯-⨯-的表面，积分沿外侧.五、本题13分，设22(,),()(,)yf x y I y f x y dxx y +∞==+⎰1.证明()I y 在y=0处不连续2.证明()I y 在含有y=0的任何闭区间上连续六、本题15分，设()f x 在[0,2]连续，在（0，2）可导，(0)(2)0,(1)2f f f ===1.证明存在(1,2), ()c f c c∈=使2.证明存在'(0,),st ()[()]1c f c f ξξξξ∈--=七、本题15分，利用幂级数21!n n n x n +∞=∑的和函数S(x).证明212!n n e n +∞==∑，并求31!n n n +∞=∑的值贵州大学2008数学分析考研真题一、填空题（每小题5分，共30分）1.已知1)1(ln 2cos 1lim2=++-→bx a x x ，则b a ,的值分别为___________________________________.2.设y x v y x u u z v -=+==,,，那么=∂∂yz__________________________________________.3.)sin(cos sin sin )(x x x x f +=在]4,4[ππ-上的定积分值是_____________________________.4.已知曲线积分⎰+Ldy y x Q dx x y ),(sin与积分路径无关，则=),(y x Q _________________.5.设)(x f 是可导函数，⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(，则=)(x F n ___________________________.6.级数∑∑∑+∞=+∞=+∞=--11111cos ,)1(,n 1n n n n n n 中收敛的有_______________________________________.二、（每小题9分，满分54分）按要求解答以下各题1.（1）给出区间[0,1]上函数)(x f 黎曼可积的两种不同类型的条件；（2）给出[0,1]上的一个函数)(x f ，使得|)(|x f 黎曼可积，但)(x f 非黎曼可积.2.叙述数列}{n x 收敛的Cauchy 收敛原理，并且此原理讨论数列1,121122≥+++=n nx n 的敛散性.3.求极限11ln 11lim-+-+--→x x x e x x .4.讨论xe xf x 1sin)(=在开区间(0,1)内的已知连续性.5.按定义讨论级数∑+∞=++-11)111(n n n x n x n 在闭区间[-1,1]上的一致收敛性.6.设||),(xy y x f =，按定义证明),(y x f 在(0,0)处连续，），（），（与0000||yfx f ∂∂∂∂存在但),(y x f 在(0,0)处不可微.三、（本题14分）设),(),ln()(+∞-∈+-=e x e x x x f 1.求)(x f 在),(+∞-e 上的最小值；2.令1),(11≥==+n x f x e x n n ，。
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式. 解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑(2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1］上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式.解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=,且()1x ρ=，这样，有()()()()()()()()1120011011201100012101,11,,3123,,,,32269,324dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ========++==++=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以,法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦再回代解该方程，得到14a =,0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()xf x e =,[0,1]x ∈，试求()f x 在［0， 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式. 解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样,有()()()()()()100012110101100100110,111,31,,2, 1.7183,1x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===========⎰⎰⎰⎰⎰所以，法方程为0111 1.7183211123a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦解法方程，得到00.8732a =,1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.8732 1.6902S x x =+例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
数值分析试题集
..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值， 判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。
二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。
12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。
x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。
2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。
a 1 2 时， A 可作 LU 分解。
3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
数值分析试题答案
数值分析试题答案一、选择题1. 以下哪个数值方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 欧几里得算法D. 拉格朗日插值法答案：B2. 在数值分析中，舍入误差通常是由什么引起的？A. 人为计算错误B. 计算机表示数字的限制C. 测量误差D. 数据输入错误答案：B3. 插值和拟合的区别在于：A. 插值通过所有数据点，而拟合不通过B. 拟合通过所有数据点，而插值不通过C. 插值是线性的，拟合是非线性的D. 插值是精确的，拟合是近似的答案：A4. 以下哪种方法最适合求解非线性方程？A. 雅可比迭代法B. 牛顿-拉弗森方法C. 托马斯算法D. 布雷尔-史密斯算法答案：B5. 在数值分析中，条件数用于衡量什么？A. 方程组解的存在性B. 方程组解的唯一性C. 方程组解的稳定性D. 方程组解的精确性答案：C二、填空题1. 在数值分析中，__________误差指的是由于计算机舍入而产生的误差，而__________误差指的是由于数据不精确或截断而产生的误差。
答案：截断；舍入2. 线性方程组的矩阵表示为__________，其中A是系数矩阵，x是变量向量，b是常数向量。
答案：Ax = b3. 牛顿法求解非线性方程时，需要计算函数的__________。
答案：导数4. 拉格朗日插值法通过构建一个多项式来近似数据点，该多项式的每一段都与数据点的__________相匹配。
答案：切线5. 为了减少数值分析中的误差，通常采用__________方法来提高计算的精度。
答案：增量三、简答题1. 请简述高斯消元法的基本思想及其在求解线性方程组中的应用。
高斯消元法的基本思想是通过行变换将系数矩阵转化为阶梯形矩阵，进而简化方程组的求解过程。
在求解线性方程组时，首先将增广矩阵进行行变换，使得主元下方的元素为零，然后通过回代过程逐步求解出未知数。
2. 描述牛顿-拉弗森方法求解非线性方程的迭代过程。
牛顿-拉弗森方法是一种迭代求解非线性方程的方法。
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。
数值分析报告试的题目及问题详解51093
数值分析报告试的题⽬及问题详解51093数值分析试题⼀、填空题（2 0×2′）1.-=?-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. ⾮线性⽅程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满⾜ |?’(x )| <1 ，则使⽤该迭代函数的迭代解法⼀定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近⾸节点，应该选⽤等距节点下⽜顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选⽤等距节点下⽜顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍⼊误差，应该选⽤插值公式中的拉格朗⽇插值公式。
7. 拉格朗⽇插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满⾜ a i (x )>1 ，计算时不会放⼤f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差⼩于0.1%，⾄少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性⽅程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于⽅程组的精确解x *的充分必要条件是ρ(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最⾼是 5 。
11. ⽜顿下⼭法的下⼭条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性⽅程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
贵州大学数值分析往年试题(6套)
贵州大学2020级工程硕士研究生考试试卷数值分析注意事项：1.请考生按要求在以下横线内填写姓名、学号和年级专业。
2.请认真阅读各类题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4．总分值100分，考试时刻120分钟。
专业 学号 姓名一、（12分）用牛顿迭代法求3220--=x x 在区间[1.5,2]内的一个近似根，要求31||10-+-<k k x x 。
（1）用三次插值公式求(1.28)f 的近似值；（2）用中心差商微分公式，求(1.5)'ƒ与求(2.0)'ƒ的近似值。
三、（20分）设方程组12312312335421537++=-+=--⎧⎪⎨⎩+=⎪x x x x x x x x x（1）用列主法求解方程组；（2）构造使G-S 方式收敛的迭代法，并取(0)(0,0,0)=T x，求方程组的二次迭代近似解根。
四、（16分）将积分区间2等分，别离用复化梯形公式与复化辛普森公式求21⎰x e dx的近似值。
五、（9分）设3211⎛⎫= ⎪--⎝⎭A，31⎛⎫= ⎪-⎝⎭x，求2||||x；谱半径()s A及条件数1()cond A。
六、（16分）取步长0.1=h ，用Euler 预报-校正公式求微分方程024|2='=--⎧⎨=⎩x y y x y 的解()y x 在x =0.1与x =0.2处的近似值(2)(0.1)y ，(2)(0.2)y 。
七、（7分）设A 为非奇异矩阵，0≠b ，x 是=Ax b 的近似解，x 是=Ax b的解，证明1||||||||.()||||||||--≤b Ax x x cond A b x 。
贵州大学2020级工程硕士研究生考试试卷A数值分析注意事项：1.请考生按要求在以下横线内填写姓名、学号和年级专业。
2.请认真阅读各类题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容，4．总分值100分，考试时刻120分钟。
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得分 评卷人
三．（26 分）已知 f (x) 的一组实验数据如下：
x
-0.1
0.3
0.7
f (x)
0.995
0.955
0.765
，
（1） 用三次插值公式求 f (0.8) 的近似值； （2） 用最小二乘法求形如 y a bx 的拟合曲线； （3）用中心差商微分公式，求 (0.3)的近似值。
1.1 0.454
分）构造微分方程的初值问题
y f (x, y) y |xx0
的数值求解公式：
yn1 ayn3 bhf (xn1, yn1) ，使其具有二阶精度。
得分 评卷人
八、（5 分）设 A 为非奇异矩阵， B 为奇异矩阵，证明
1
|| A B ||
cond ( A) || A ||
贵州大学 2011 级工程硕士研究生考试试卷 A
数值分析
注意事项： 1.请考生按要求在下列横线内填写姓名、学号和年级专业。 2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容， 4．满分 100 分，考试时间 120 分钟。
专业
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分 统分人
得分
得分 评卷人
一、（9
贵州大学 2009 级工程硕士研究生考试试卷
数值分析
注意事项： 1.请考生按要求在下列横线内填写姓名、学号和年级专业。 2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4．满分 100 分，考试时间 120 分钟。
专业
学号
姓名
题号
一
得分 评卷人
五、（20
分）设方程组
1212x1x1 31x21x233xx33
1 0
x1 4x2 2x3 1
（1）用列主元消去法求解方程组的解。
（2）用收敛的 Gauss Seidel 迭代法求线性代数方程组的近似解（取初值 x(0) (1,1,1)T ，迭
得分 评卷人
四、（16 分）将积分区间 2 等分，分别用复化梯形公式与复化辛普森公式求
1ex2 dx 的近似值。 0
得分 评卷人
cond1( A) 。
五、（9
分）设
A
3
1
2 1
，
x
3 1
，求
||
x
||2
；谱半径
s(
A)
及条件数
得分 评卷人
y(2) (0.2) 。
六 、（ 16 分 ） 取 步 长 h 0.1 ， 用 Euler 预 报 - 校 正 公 式 求 微 分 方 程
cond ( A) || b ||
|| x ||
贵州大学 2010 级工程硕士研究生考试试卷 A
数值分析
注意事项： 1.请考生按要求在下列横线内填写姓名、学号和年级专业。 2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容， 4．满分 100 分，考试时间 120 分钟。
得分 评卷人
四、（18
分）设方程组
3x41
4x2 x1 3x2
x3
30 24
x2 4x3 24
（1）用列主法求解方程组；
（2）构造使 G-S 方法收敛的迭代法，并取 x(0) (1,1,1)T ，求方程组的二次迭代近似解。
得分 评卷人
31
五、（8 分）将积分区间 2 等分，用复化辛普森公式求 e x dx 的近似值。 1
专业
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分 统分人
得分
得分 评卷人
一、（9
分）设
A
3 1
数 cond ( A) 。
2 1
，
x
3 5
，求 ||
Ax
||
；谱半径
s(
A)
及条件
得分 评卷人
二、（10 分）用牛顿迭代法求 x3 3x 1 0 在区间[1.1,2]内的一个近似根， 要求| xk1 xk | 103 。
f (x)
0
5
0
5
（1）用三次插值公式求 f (1.28) 的近似值； （2）用中心差商微分公式，求 (1.5)与求 (2.0)的近似值。
得分 评卷人
三、（20
分）设方程组
x1 x1 4
x2 x2
3x3 2x3
5 1
5x1 x2 3x3 7
（1）用列主法求解方程组；
（2）构造使 G-S 方法收敛的迭代法，并取 x(0) (0, 0, 0)T ，求方程组的二次迭代近似解根。
三、（10 分）用复化梯形公式（ 取 h =0.2）求定积分 1 sin xdx 的近似值，其参考数据可见下 0x
表
x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
sin x 1.000 0.993 0.973 0.941 0.896 0.841 x
0
3
5
1
7
5
得分 评卷人 四、（10 分）用 Newton 迭代法求解 115 的近似值，要求取迭代初值 x0 10 ， 迭代 3 次。（提示 x2 115 0 ）。
得分 评卷人
y(2) (0.2) 。
六 、（ 16 分 ） 取 步 长 h 0.1 ， 用 Euler 预 报 - 校 正 公 式 求 微 分 方 程
y
y
2y 4x |x0 2
的解
y(x) 在 x =0.1
与 x =0.2
处 的 近 似 值 y(2) (0.1) ，
得分 评卷人
七、（8
分）设
A
1 4
数 cond ( A) 。
2 1
，
x
3 1
，求
||
Ax
||2
；谱半径
s(
A)
及条件
得分 评卷人 二、（25 分）已知函数 y f (x) 的函数值为：
x
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
f (x)
0.00
0.40
0.69
0.82
0.86
（1）用三次插值多项式求 f (1.2) 的近似值； （2）用一次多项式 p(x) ax b 拟合表中数据； （3）用中心差商微分公式，求 (1.5)的近似值。
二
三
四
五
六
七
总分 统分人
得分
得分 评卷人
一、（12 分）用牛顿迭代法求 x3 2x 2 0 在区间[1.5,2]内的一个近似根， 要求| xk1 xk | 103 。
得分 评卷人
二、（20 分）已知 f (x) 的一组实验数据如下：
x 1.0 1.5 2.0 2.5
8.0 13.7 21.0 29.7
y
y
2y 4x |x0 2
的
解
y(x) 在 x =0.1
与 x =0.2
处 的 近 似 值 y(2) (0.1) ，
得分 评卷人
七、（7 分）设 A 为非奇异矩阵，b 0 ， x 是 Ax b 的近似解， x 是 Ax b
的解，证明 1 . || b Ax || || x x || 。