劳斯-霍尔维茨稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据

线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据,是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而,在离散系统中,判断系统的稳定性,是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此,离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析,利用关系式z=eTs,可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中,代换运算不方便。
为此,必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样,就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此,可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ:(1)式中w是复变量,由上式解得(2)或采用双线性变换Ⅱ:(3)或写成(4)此时(5)双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样,可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为,则w平面的左半平面为稳定区域,为w平面的频率,且由上式可知其中为s平面的频率。
此时,s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有(6)即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外,双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致,故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换,就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据:由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加,计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是:①对于特征方程,若系数的符号不一样,则系统不稳定。
若系数符号一样,建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正,则所有特征根均分布在左半平面,系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数,系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数,即右半平面上特征根个数。
劳斯霍尔维茨稳定性判据
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r(t)
1 2
At2
0
t 0 t 0
当A=1时,则称 为单位抛物线
信号
图(3-3)抛物线信号
(四)脉冲信号 (Impulse Signal)
1
r(t)
0
0t t 0及t
当 趋于零时就
得理想的单位
脉冲信号(亦称
d(t) 函数)。
图(3-4)脉冲信号
(五)正弦信号(Sin Signal)
Asint t0
5、调整时间ts(settling time)
性能指标图解
最大超调量p
延滞时间td
上升时间tr
峰值时间tp
调整时间ts
其它性能指标
振荡次数,衰减比等
对于恒值控制 系统,常以系 统对单位扰动 输入信号时的 响应特性来衡 量瞬态性能
图(3-7) 单位扰动输入
3.1.3. 瞬态响应
(Transient Response )
r(t)0
t0
A为幅值
T为周期, =2p/T为角频率
图(3-4)脉冲信号
3.1.2. 系统的性能指标
➢性能指标用来衡量系统性能
➢常由系统在一定的典型输入 信号作用下的具体性能指标 来表示
➢性能指标有许多形式
性能指标
主要包括:
1、最大超调量p (percent overshot):
p
c(tp)c()10% 0 c()
(t0)
当t→∞时,稳态误差e (∞)=0。
=0,无阻尼情况
系统的特征根为一对共轭虚根s1,2= ±jn
单位阶跃响应 c(t)1co nst
等幅振荡过程,其振荡频率就是
无阻尼自然振荡频率n。当系统 有一定阻尼时, d总是小于n
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
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04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法,用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点,只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统,无论系统是 单输入单输出(SISO)还是多输入多输出(MIMO)。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质,具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性,无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展,自动控制原理的应用领域不断扩大,涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来,自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合,实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展,以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域,为了确保飞行器的安全和稳定, 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域,为了确保生产过程的稳定和安全, 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中,线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的,如果初始条件设置不正确,可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时,可能会遇到数值稳定性的问题,例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
劳斯判据判定稳定性
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劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定,即系统全部特征根均具有负实部,就必须满足以下两个条件:1)特征方程的各项系数都不等于零。
2)特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯,一般取最高阶次项的系数为正,上述两个条件可以归结为一个必要条件,即系统特征方程的各项系数全大于零,且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零,且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性,需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况:1.如果在表中任意一行的第一个元素为0,而其后各元不全为0,则在计算下一行的第一个元时,该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难,可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素,然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变,切第一列元素符号均为正,则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时,系统为临界稳定系统。
2.如果在表中任意一行的所有元素均为0,表的计算无法继续。
此时,可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式,并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样,表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况,一般是由于系统的特征根中,或存在两个符号相反的实根(系统自由响应发散,系统不稳定),或存在一对共轭复根(系统自由响应发散,系统不稳定),或存在一对共轭的纯虚根(即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡,此时,系统临界稳定),或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统,运用判据还可以检验系统的相对稳定性,采用以下方法:1)将s平面的虚轴向左移动某个数值,即令s=z-(((为正实数),代入系统特征方程,则得到关于z的特征方程。
劳斯判据
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(3.63)
假如所有的根均在左半平面,即 p j <0,s i<0 ,则p j >0 ,s i >0 。所以将各因子项相乘展开后,式(3.63)的所 有系数都是正数。 根据这一原则,在判别系统的稳定性时,可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数,假如有任何系数为负数或 等于零(缺项),则系统就是不稳定的。但是,假若特征方 程的所有系数均为正数,并不能肯定系统是稳定的,还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件,而不是充分必要条件。
an 3 b2 an 5 b3 an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中,为 了简化数值运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数,则该系统是稳定的,即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数,则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予ห้องสมุดไป่ตู้确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述,即
an c ( n ) an 1c ( n 1) a1c (1) a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) b1r (1) b0 r
2 2
s4 1 s3 6
例3.4 已知系统特征方程式为
s5 3s 4 2s3 s 2 5s 6 0
解 列写劳斯阵列表 5 1 2 5 s s4 3 1 6 s3 5 9 (各系数均已乘3) 2 s -11 15 (各系数均已乘5/2) 1 (各系数均已乘11) s 174 s0 15 劳斯阵列表第一列有负数,所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→-11→174),所以,系统特 征方程有两个根的实部为正。
劳思-赫尔维茨稳定判据内容

劳斯-赫尔维茨稳定判据内容劳斯–赫尔维茨稳定性判据(英语:Routh–Hurwitz stability criterion)是控制理论中的一个数学测试,是线性时不变系统(LTI)稳定的充分必要条件。
劳斯测试是由英国数学家爱德华·劳斯在1876年提出的快速算法,可以判断一线性系统其特征多项式的根是否都有负的实部。
德国数学家阿道夫·赫维兹在1895年独立的提出将多项式的系数放到一个方阵中(此方阵称为赫维兹矩阵),证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值。
二个程序是等价的,而劳斯测试提供一个有效计算赫维兹行列式的方法。
满足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多项式称为赫尔维茨多项式。
详解:此稳定性判据之所以重要,是因为若线性系统之特征方程式的根p均有负的实部,表示其解e为稳定的(BIBO稳定)。
因此稳定性判据提供了方式,可以在不求解线性系统的运动方程的情形下,判断其是否只有稳定解。
对于离散系统,对应稳定性的测试可以由Schur–Cohn判据、Jury稳定性判据及Bistritz稳定性判据来判断。
随着电脑的进步,此稳定性判据变的较少使用,另一种判断的方式则是用数值方法直接求解多项式,得到其解的近似值。
劳斯测试可以由辗转相除法以及在计算柯西指标时用施图姆定理来推导。
赫尔维茨利用另一种方式来推导其稳定性判据。
利用辗转相除法求解:劳斯–赫尔维茨稳定性判据和劳斯–赫尔维茨定理有关。
由定理的陈述,可得其中:1)p为多项式ƒ(z)的根中实部为负值的个数。
2)q为多项式ƒ(z)的根中实部为正值的个数。
(此假设ƒ(z)的根都不在虚轴上)3)w(x)为由施图姆定理得到的变号数(中间利用连续的辗转相除法),其中,y为实数。
根据代数基本定理,每个n次的多项式在复数平面上会有n个根(也就是,对于根都不在虚轴上的ƒ,p+q=n)。
因此可得到ƒ为(稳定的)赫尔维茨多项式当且仅当p−q=n。
劳思判据和郝尔薇茨稳定判据
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s5 + 2s4 +14s3 + 88s2 + 200s + 800 = 0
上式各项系数均为正。 上式各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算得
s5 s4 1 2 14 88 200 800
例6.1
设某控制系统如图所示,试确定 为何值时系统稳定 为何值时系统稳定。 设某控制系统如图所示,试确定K为何值时系统稳定。
解:系统的闭环传递函数为
K Xo (s) K s(s + 5)(s +1) = = 3 K Xi (s) 1+ s + 6s2 + 5s + K s(s + 5)(s +1)
6.2.1 劳思判据
劳思判稳准则特殊情况
劳思计算表第一列出现零的情况 因为不能用零作为除数,故第一列出现零时,计算表不能继续排下去。 因为不能用零作为除数,故第一列出现零时,计算表不能继续排下去。为解决该 问题,其办法是用一个小的正数ε代替 进行计算,再令ε→0求极限来判别第一列 代替0进行计算 问题,其办法是用一个小的正数 代替 进行计算,再令 求极限来判别第一列 系数的符号。 系数的符号。 劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况 此时,劳思表将在全为零的一行处中断, 此时,劳思表将在全为零的一行处中断,其解决办法是将不为零的最后一行的各 项组成一个“辅助方程式” 将该方程式对s求导数 求导数, 项组成一个“辅助方程式”,将该方程式对 求导数,用求得的各项系数代替原来 为零的各项,然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项, 为零的各项,然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项,对称根可由辅助方程 求得。 求得。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据

第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题,也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定,当它受到扰动时,系统中各物理量就会偏离其平衡工作点,并随时间推移而发散,即使扰动消失了,也不可能恢复原来的平衡状态。
因此,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有:1. 劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据:这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置,来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法:这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹,从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特(Nyquist)判据:这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性,同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统,而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体,其底部朝下时,我们施加一个很小的外力(扰动),圆锥体会稍微产生倾斜,外作用力撤消后,经过若干次摆动,它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时,由于只有一点能使圆锥体保持平衡,所以在受到任何极微小的外力(扰动)后,它就会倾倒,如果没有外力作用,就再也不能回到原来的状态。
因此,系统的稳定性定义为,系统在受到外作用力后,偏离了最初的工作点,而当外作用力消失后,系统能够返回到原来的工作点,则称系统是稳定的。
第五章(劳斯和赫尔维茨稳定性判据)

2
劳斯稳定性判据
学习要点: 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为: 劳斯表:
劳斯稳定性判据
学习要点: 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为:
劳斯判据:系统稳定的充分必要条件是系统闭环特 征方程各项系数均为正(必要条件),且劳斯表的第一列 各元素均为正(充分条件)。 第一列的系数中如果出现负号,则劳斯阵列 表中第一列的系数符号改变的次数等于特征方程 的实部为正的实根数目,也就是特征根在根平面 右半部分的数目。
系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程各项系数均为正必要条件且劳斯表的第一列各元素均为正充分条件学习要点
劳斯稳定性判据
学习要点: 1.理解和运用线性系统稳定的充分必要条件 系统微分方程的特征根的全部根都是负实数或实部 为负的复数,即系统闭环传递函数的极点均位于S平面 10 左半面。 (s) s 5s 10 某系统闭环传递函数为 系统闭环传递函数的分母等于零所得方程式称为系 统的特征方程式。 系统的特征方程式为s2+5s+10=0 特征方程的根(闭环传递函数的极点)为: -2.5000 + 1.9365i -2.5000 - 1.9365i 以上是特征方程的四个特征根, 实部全为负,则系统是稳定的。
劳斯-赫尔维茨定理:描述稳定性的性质和判断方法

劳斯-赫尔维茨定理:描述稳定性的性质和判断方法第一章:引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一,它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。
稳定性是系统控制中一个非常重要的概念,它涉及到系统在输入变化时的响应能力。
本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性,为后续章节的讨论奠定基础。
第二章:劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前,我们首先需要了解动力系统的基本概念。
动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型,在控制理论中被广泛应用。
动力系统可以是线性的或非线性的,可以是时不变的或时变的。
理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。
2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。
一个稳定的系统在输入变化时,其响应不会无限增长或震荡,而是趋于有限的范围内。
稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。
渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值,而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。
第三章:劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理,它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。
具体而言,劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置,从而得出系统的稳定性判据。
3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。
通过对特征方程进行变换和整理,可以得到劳斯准则的具体表达式。
劳斯准则的推导过程是相对复杂的,但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。
第四章:劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。
通过计算特征方程的根,并根据劳斯准则进行判断,可以得出系统的稳定性结论。
这在系统控制和工程实践中具有重要的意义,可以帮助工程师们设计和优化控制系统,提高系统的稳定性和性能。
4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断,劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。
线性系统的稳定性及判据
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起动继电器线圈电路, 其触点跳开, 电磁开关也断电, 起动机便自动 动机的使用寿命, 降低培训成本。
停止工作。
起动控制电子保护器是目前国内外仅有的、实用的机动车辆起
② 如果充电系出故障, 而发动机正常工作, 这时, 通过发动机 动控制保护电路, 因此已申报国家应用技术专利。
过 构 造 一 个 类 似 于 “能 量 ”的 李 雅 普 诺 夫 函 数 , 并 分 析 它 及 其 一 次 导
数 的 定 号 性 而 获 得 系 统 稳 定 性 的 有 关 信 息 。第 二 法 因 其 概 念 直 观 , 方
法具有一般性,物理意义清晰,在理论和工程中都有广泛应用。李雅
普诺夫稳定判据不仅适用于线性定常系统, 还可用于部分时变系统
和离散系统。李雅普诺夫第二法不必求解系统的状态方程, 而是通
过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性, 所以又称直接
法。它不但适合线性定常系统, 而且适用于非线性和时变的系统。
在实际系统中, 往往不容易找出系统的能量函数, 于是李雅普诺夫
定 义 了 一 个 正 定 的 标 量 函 数 V(x), 作 为 系 统 的 一 个 虚 构 的 广 义 能 量
且 原 点 是 其 惟 一 的 平 衡 点 。 用 MATLAB 工 具 可 以 方 便 计 算 , 大 大 加
速稳定性的判断。 三 、结 束 语 稳定性的重要性不言而喻, 所以稳定判据的研究就成为了自动
控制理论中一个重要的领域。本文介绍了古典劳斯- 胡尔维茨稳定 判 据 , 李 雅 普 诺 夫 第 一 法 , 第 二 法 判 断 系 统 的 稳 定 性 。其 共 同 构 成 了 稳定行判断的基础, 对控制理论研究有重要的意义。 参考文献 [1] 胡 寿 松 . 自 动 控 制 原 理 (第 3 版 )[M]. 北 京 : 国 防 工 业 出 版 社 , 1994 [2] 葛 瑜 . 自 动 控 制 系 统 稳 定 性 的 分 析 [J]. 许 昌 师 专 学 报 , 2000 年 第 19 卷 , 第 2 期 [3] 段 广 仁. 线 性 系 统 理 论 (第 2 版)[M]. 哈 尔 滨: 哈 尔 滨 工 业 大 学 出 版 社 , 2004 [4]仝 茂 达 . 线 性 系 统 理 论 和 设 计 [M]. 合 肥 : 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 的 列 写 还 是 李 雅 普 诺 夫 函 数 的 构 造 、特 征 值
劳斯霍尔维茨定性判据

第三章控制系统的时域分析法劳斯-霍尔维茨稳固性判据稳固性是控制系统最重要的问题,也是对系统最大体的要求。
控制系统在实际运行中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的转变等。
若是系统不稳固,当它受到扰动时,系统中各物理量就会偏离其平衡工作点,并随时刻推移而发散,即便扰动消失了,也不可能恢恢复来的平衡状态。
因此,如何分析系统的稳固性并提出保证系统稳固的办法,是控制理论的大体任务之一。
常常利用的稳固性分析方式有:1. 劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据:这是一种代数判据。
它是按照系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置,来判断系统的稳固性.2. 根轨迹法:这是一种利用图解来系统特征根的方式。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹,从而全面了解闭环系统特征根随该参数的转变情形。
3. 奈魁斯特(Nyquist)判据:这是一种在复变函数理论基础上成立起来的方式。
它按照系统的开环频率特性肯定闭环系统的稳固性,一样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方式在工程上是取得了比较普遍的应用。
4. 李雅普诺夫方式上述几种方式主要适用于线性系统,而李雅普诺夫方式不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统。
该方式是按照李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳固性。
一、稳固性的概念稳固性的概念能够通过图3-31所示的方式加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体,其底部朝下时,咱们施加一个很小的外力(扰动),圆锥体会略微产生倾斜,外作使劲撤消后,通过若干次摆动,它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时,由于只有一点能使圆锥体维持平衡,所以在受到任何极微小的外力(扰动)后,它就会倾倒,若是没有外力作用,就再也不能回到原来的状态。
因此,系统的稳固性概念为,系统在受到外作使劲后,偏离了最初的工作点,而当外作使劲消失后,系统能够返回到原来的工作点,则称系统是稳固的。
系统稳定性判别方法
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2、当开环传递函数 G s 在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时
当遇到位于虚轴上G s 的极点 图中用×表示 时,要用半径很小 的半圆从右侧绕过,Z=P-2N
带有延迟环节时的系统稳定,
幅频特性
Gk(s)G1(s)es
|G K (j)| |G 1(j)|
相频特性 G k(j) G 1(j)
优点:1、开环频率响应容易通过计算或实验途径定出,所以它在 应用上非常方便和直观,
开环传递函数: G KsGsHs
特征方程:Fs1G sHs
若
G
B
G sK sGsHsF s M Nss
GK s
零零则点点Fs极 点1G sH 零s 点M 极sN 点 sN s零零点点 极点
相同
相同
G Bs1G G ssH sM M ss N N ss
作图方法: 1、写出幅频特性|G jω |和相频特性 G jω 表达式, 2、求出ω=0和ω→∞时的G jω , 3、求乃氏图与实轴虚轴的交点, 4、必要时画几点中间的,并勾勒大致曲线
2、能解决代数稳定判据不能解决的比如含延迟环节的系 统稳定性问题,
3、能定量指出系统的稳定储备,即系统的相对稳定性定量 指标,进一步提高和改善系统动态性能,
由伯德图判断系统的稳定性
与乃奎斯特稳定性判据类似,该方法是利用开环系统的伯德图来 判别系统的稳定性,同样也是能够用实验来获得,因此也得到广泛 的应用,
等s于0 在w1右半平面若上第根一的列个系数数,有负数,则第一列系数符号的改变次数
优点:不必求解方程,方便系统的稳定性的判断,不但可以判别绝 对稳定性还可以判别相对稳定性,
应用领域:分析系统参数对稳定性的影响,
赫尔维兹稳定性判据 先依据特征方程写出Δ
劳斯霍尔维茨稳定性判据PPT103页

谢谢!
51、 天 下 之 பைடு நூலகம் 常成 于困约 ,而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸,生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业,需 要决心 ,能力 ,组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
1、不要轻言放弃,否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人,常是愿意 去做,并愿意去冒险的人。“稳妥”之船,从未能从岸边走远。-戴尔.卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡,喝起来是苦涩的,回味起来却有 久久不会退去的余香。
劳斯霍尔维茨稳定性判据 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美,我宁愿选择无悔,不管来生多么美丽,我不愿失 去今生对你的记忆,我不求天长地久的美景,我只要生生世世的轮 回里有你。
劳思判据和郝尔薇茨稳定判据
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解:根据系统的特征方程可知,其各项系数均为正。
列写劳思计算表并计算得
s 6 1 8 20 16 s 5 ( 2 12 16 ) s5 1 6 8 s 4 ( 2 12 16 ) s4 1 6 8 s3 0 0
因s3行各项全为零,故以s4行的各项作系数,列写辅助方程如下:
A ss46s28
将A(s)对s求导,得 d As4s312s
精选ppt
6
例6.1
设某控制系统如图所示,试确定K为何值时系统稳定。
解:系统的闭环传递函数为
K
X Xoiss1ssss55K ss11
K s36s25sK
则系统的特征方程为 s36s25sK0
此系统为三阶系统,根据三阶系统稳定的充要条件可得:
K 0 , 6 5 1 K
即当 0K30时,系统稳定。
劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况此时劳思表将在全为零的一行处中断其解决办法是将不为零的最后一行的各此时劳思表将在全为零的一行处中断其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程式将该方程式对项组成一个辅助方程式将该方程式对ss求导数用求得的各项系数代替原来求导数用求得的各项系数代替原来为零的各项然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项对称根可由辅助方程为零的各项然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项对称根可由辅助方程求得
sn
an an2 an4 an6
s n1 a n1 a n3 a n5 a n7
s n2 b1
b2
b3
b4
s n3 c1
c2
c3
c4
s2
u1
u2
s1
v1
s0 w1
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第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题,也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定,当它受到扰动时,系统中各物理量就会偏离其平衡工作点,并随时间推移而发散,即使扰动消失了,也不可能恢复原来的平衡状态。
因此,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有:1. 劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据:这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置,来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法:这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹,从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特(Nyquist)判据:这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性,同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统,而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体,其底部朝下时,我们施加一个很小的外力(扰动),圆锥体会稍微产生倾斜,外作用力撤消后,经过若干次摆动,它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时,由于只有一点能使圆锥体保持平衡,所以在受到任何极微小的外力(扰动)后,它就会倾倒,如果没有外力作用,就再也不能回到原来的状态。
因此,系统的稳定性定义为,系统在受到外作用力后,偏离了最初的工作点,而当外作用力消失后,系统能够返回到原来的工作点,则称系统是稳定的。
设系统在初始条件为零时,在单位理想脉冲作用下,这时系统的脉冲响应为c(t)。
若t →∞时,脉冲响应这时,线性系统是稳定的。
设系统的特征方程D(s)=0的根为si,由于单位脉冲传递函数的拉氏变换为1,系统输出的拉式变换为:瞬态响应项表现为衰减、临界和发散三种情况之一,它是决定系统稳定性的关键。
由于输入量只影响到稳态响应,并且两者具有相同的特性,即如果输入量r(t)是有界的:| r(t)|<∞,t ≥0则稳态响应也必定是有界的。
则系统稳定性可以归结为,系统在任何一个有界输入的作用下,其输出是否有界的问题。
一个稳定的系统定义为,在有界输入的作用下,其输出响应也是有界的。
这叫做有界输入有界输出稳定,又简称为BIBO稳定。
线性系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置来确定。
设单输入单输出线性系统的微分方程为,即则系统的稳定性由上式左端决定,或者说系统稳定性可按齐次微分方程式来分析。
这时,在任何初始条件下,若满足则称系统(3.58)是稳定的。
为了决定系统的稳定性,可求出式(3.59)的解。
由数学分析知道,式(3.59)的特征方程式为设上式有k个实根-pi (i =1,2,…,k),r对共轭复数根(-σj±jωj) (j=1,2,…,r),k+2r = n,则齐次方程式(3.59)解的一般式为式中系数Aj,Bj和Cj由初始条件决定。
从式(3.62)可知:(1) 若-pi <0,-s j <0 (即极点都具有负实部),则式(3.60)成立,系统最终能恢复至平衡状态,所以系统是稳定的。
(2) 若-pi或- s j 中有一个或一个以上是正数,则式(3.60)不满足。
当t→∞时,c(t)将发散,系统是不稳定的。
(3) 只要-pi中有一个为零,或- s j 中有一个为零(即有一对虚根),则式(3.60)不满足。
当t→∞时,系统输出或者为一常值,或者为等幅振荡,不能恢复原平衡状态,这时系统处于稳定的临界状态。
总结上述,可以得出如下结论:线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根均为负实数,或具有负的实数部分。
或它的所有特征根,均在S平面面的左半部分(见图3-32)。
表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。
需要指出的是,对于线性定常系统,由于系统特征方程根是由特征方程的结构(即方程的阶数)和系数决定的,因此系统的稳定性与输入信号和初始条件无关,仅由系统的结构和参数决定。
如果系统中每个部分都可用线性定常微分方程描述,那么,当系统是稳定时,它在大偏差情况下也是稳定的。
如果系统中有的元件或装置是非线性的,但经线性化处理后可用线性化方程来描述,则当系统稳定时,我们只能说这个系统在小偏差情况下是稳定的,而在大偏差时不能保证系统仍是稳定的。
判断系统稳定性的条件是根据系统特征方程的根。
但求解高阶特征方程的根是相当麻烦的,往往需要求助于计算机。
实际上,我们只希望了解特征方程的根在S平面上分布情况。
所以,人们就希望能在不求解特征方程的情况下,来确定系统的稳定性。
下面就介绍常用的劳斯判据和赫尔维茨判据。
3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据二、劳斯判据(一)系统稳定性的初步判别已知系统的闭环特征方程为式中所有系数均为实数,且an>0,则系统稳定的必要条件是系统特征方程的所有系数均为正数。
证明如下:设式(3.63)有n个根,其中k个实根-pj(j=1,2,…,k),r对复根- s i ±jwi (i=1,2,…,r),n = k+2r。
则特征方程式可写为假如所有的根均在左半平面,即- pj <0,-σi<0 ,则pj >0 ,σi >0 。
所以将各因子项相乘展开后,式(3.63)的所有系数都是正数。
根据这一原则,在判别系统的稳定性时,首先检查系统特征方程的系数是否都为正数,假如有任一系数为负数或等于零(缺项),则系统就是不稳定的。
但是,假若特征方程的所有系数均为正数,并不能肯定系统是稳定的,还要做进一步的判别。
因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件,而不是充分必要条件。
(二) 劳斯判据这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。
1. 若系统特征方程式设an > 0,各项系数均为正数。
2. 按特征方程的系数列写劳斯阵列表:表中直至其余bi项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
在计算过程中,为了简化数值运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不会影响稳定性结论。
3. 考察阵列表第一列元素的符号。
假若劳斯阵列表中第一列所有元素均为正数,则该系统是稳定的,即特征方程所有的根均位于S平面的左半平面。
假若第一列元数有负数,则第一列元素的符号的变化次数等于系统在S平面右半平面上的根的个数。
例3.3 系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。
列写劳斯阵列表如下第一列系数均为正实数,故系统稳定。
事实上,从因式分解可将特征方程写为其根为-2,-3,,均具有负实部,所以系统稳定。
例3.3 系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。
列写劳斯阵列表如下第一列系数有两次变号(+1到-6,-6到+5),故系统不稳定,且有两个正实部的根。
例3.4 已知系统特征方程式为解列写劳斯阵列表劳斯阵列表第一列有负数,所以系统是不稳定的。
由于第一列元素的符号改变了两次(5→-11→174),所以,系统有两个具有正实部的根。
4. 两种特殊情况在劳斯阵列表的计算过程中,如果出现:(1) 劳斯表中某行的第一列的元素为零,其余各列系数不为零(或没有其余项),或不全为零,这时可用一个很小的正数e来代替这个零,从而使劳斯阵列表可以继续运算下去(否则下一行将出现∞)。
第一列零元素的存在(其他元素为正),则说明系统特征方程有一对虚根,系统处干临界状态;如果第一列元素存在符号变化,则系统不稳定,不稳定根的个数由符号变化次数决定。
例3.5 设系统特征方程为解劳斯阵列表为由于e的上下两个系数(2和2)符号相同,则说明有一对虚根存在。
上述特征方程可因式分解为例3.5 设系统特征方程为解劳斯阵列表为(2) 若劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零,则说明在根平面内存在一些大小相等,并且关于原点对称的根。
在这种情况下可做如下处理:a. 利用第k-1行的系数构成辅助多项式,它的次数总是偶数的;b. 求辅助多项式对s的导数,将其系数代替第k行;c. 继续计算劳斯阵列表;d. 令辅助多项式等于零可求得关于原点对称的根。
例3.6 系统特征方程为解劳斯阵列表为从上表第一列可以看出,各系数均未变号,所以没有特征根位于右半平面。
由辅助多项式,求得一对共轭虚根为±j4。
例3.7 系统特征方程式为解劳斯阵列表如下:劳斯阵列表第一列变号一次,故有一个根在右半平面。
由辅助多项式:可得S1, 2 = ±1,s3, 4 = ±j2,它们均关于原点对称,其中一个根在S平面的右半平面。
(三) 劳斯判据的应用应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定性,即系统的绝对稳定性,而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量,即相对稳定性。
另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。
1. 稳定裕量的检验如图3-33所示,令即把虚轴左移σ1 。
将上式代入系统的特征方程式,得以z为变量的新特征方程式,然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线s= -σ1 )的右边。
如果所有根均在新虚轴的左边(新劳斯阵列式第一列均为正数),则说系统具有稳定裕量σ1 。
例3.8 检验特征方程式是否有根在右半平面,并检验有几个根在直线s = -1的右边。
解劳斯阵列表为第一列无符号改变,故没有根在S平面右半平面。
再令s= z-1,代入特征方程式,得即则新的劳斯阵列表从表中可看出,第一列符号改变一次,故有一个根在Z平面的右半平面,即直线s= -1(即新座标虚轴)的右边,因此稳定裕量不到1。
2. 分析系统参数对稳定性的影响设一单位反馈控制系统如图3-34所示,其闭环传递函数为系统的特征方程式为列写劳斯阵列表:若要使系统稳定,其充要条件是劳斯表的第一列均为正数,即K > 0,30 - K > 0所以0 < K < 30,其稳定的临界值为30。
由此可以看出,为了保证系统稳定,系统的K值有一定限制。
但是为了降低稳态误差,则要求较大的K值,两者是矛盾的。
为了满足两方面的要求,必须采取校正的方法来处理。
例3.9 系统特征方程式为求系统稳定时,参数T的范围?解劳斯表为由劳斯表可以看出,要使系统稳定,必须即T > 25时,系统稳定。