研究生数值分析(11)雅可比(Jacobi)迭代法

0 2.0000 2.6600 2.8640 2.9540
5 6 7 8 9
0.9894 0.9963 0.9986 0.9995 0.9998
1.9897 1.9961 1.9986 1.9995 1.9998
2.9823 2.9938 2.9977 2.9992 2.9998
原方程组的准确解为
x1 1, x2 2, x3 3
可以看出，当迭代次数增加时，迭代结果 越来越接近准确解.
(9) (9) (9) 因此， x1 0.9998, x2 1.9998, x3 2.9998
可以作为原方程组的近似解。 由迭代矩阵的特征方程
10 1
展开得到
2 2
1 1 0 5
2 10
(10 2)(50 2 10 3) 0
x1(0) x2(0) x3(0) 0 ，按迭代公式进行迭代， 取初值
得计算结果
k
0 1 2 3 4
x
(k ) 1
x2 ( k )
0 1.5000 1.7600 1.9260 1.9700
x3 ( k )
k
x1( k )
x2 ( k )
x3 ( k )
0 0.3000 0.8000 0.9180 0.9716
则 AX=b 的系数矩阵 为A=D-L-U , 雅可比迭代公式的矩阵表示形式为 X ( k 1) D1 ( L U ) X ( k ) D 1b 其中 D 1 ( L U ) 称为雅可比迭代矩阵。 记为 BJ D 1 ( L U )
我们用定理2来判断雅可比迭代公式是否收敛
取初始向量
X (0) ( x1(0) , x2(0) ,, xn (0) )T
{X (k )}
利用(4)反复迭代可以得到一个向量序列
称式(4)为雅可比迭Jacobi代公式。
若记
a11 a22 D ann a1n 0 0 a12 a 0 0 a2n 21 U L a31 a32 0 an1,n an1 an 2 an1 0 0
获得相应的迭代公式
( k 1) 1 x1 (a12 x2 ( k ) a13 x3( k ) a1n xn ( k ) b1 ) a11 1 ( k 1) x2 (a21 x1( k ) a23 x3( k ) a2 n xn ( k ) b2 ) a22 （4） 1 ( k 1) xn (an1 x1( k ) an 2 x2 ( k ) an ,n 1 xn 1( k ) bn ) ann
解得 于是
1 , 2
1 5
1 7 1 7 , 3 10 10
1 7 (J ) 0.3646 1 10
因而雅可比迭代公式是收敛的。
练习:考察用雅可比Jacobi迭代法解方程组 AX=b的收敛性， 其中
1 0 1 1 1 0 A 1 2 3
10x1 2 x2 x3 3 2 x1 10 x2 x3 15 x 2 x 5 x 10 2 3 1
解：相应的雅可比迭代公式为
( k 1) 1 x1 (2 x2 ( k ) x3( k ) 3) 10 ( k 1) 1 x2 (2 x1( k ) x3( k ) 15) 10 ( k 1) 1 ( k ) x3 ( x1 2 x2 ( k ) 10) 5
1 雅可比（Jacobi）迭代法 由方程组 AX=b 的第 i 个方程解出 xi
(i 1, 2,, n)
得到一个同解方程组 1 x1 a (a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 ) 11 1 (a21 x1 a23 x3 a2 n xn b2 ) x2 a22 1 xn a (an1 x1 an 2 x2 an ,n 1 xn 1 bn ) n1
需要考虑雅可比迭代矩阵
特征方程 又可以写成 因为
D wenku.baidu.com1 0
D 1 ( L U )
I D 1 ( L U ) 0
D 1 D L U 0
，所以 D L U 0
上式左端为将系数矩阵 A 的对角元同乘以λ 后所得新矩阵的行列式。
例8 用雅可比迭代法求解方程组