均值与方差例题
离散型随机变量的均值与方差
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(3)设技术革新后的三等品率为x， 则此时1件产品的平均利润为 Ex＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋ x＋(－2)×0.01 ＝4.76－x(0≤x≤0.29)，9分 依题意，Ex≥4.73， 即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03. 所以三等品率最多为3%. 12分
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(2)EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3 ＝2×(－13)＋3＝73； DY＝D(2X＋3)＝4DX＝4×59＝290. 【名师点评】 ξ是一个随机变 量，则η＝f(ξ)一般仍是一个随机变 量，在求η的期望和方差时，要应用期 望和方差的性质．
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考点四 均值与方差的实际应用
利用期望和方差比较随机变量的 取值情况，一般是先比较期望，期望 不同时，即可比较出产品的优劣或技 术水平的高低，期望相同时，再比较 方差，由方差来决定产品或技术水平 的稳定情况．
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P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
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考点二 求离散型随机变量的期记与方差
求离散型随机变量X的均值与方差 的步骤：
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(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投 篮得分超过3分与选择上述方式投篮 得分超过3分的概率的大小．
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【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
高考数学第一轮复习_离散型随机变量的均值与方差(例题解析含答案)
离散型随机变量的均值与方差双基自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1. s 2＝(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)25＝2.答案 D2．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．A.73 B ．4 C ．－1 D ．1解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73. 3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )．A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧n ＝8，p ＝0.2.5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：该随机变量ξ的均值是________解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.★★考向一 离散型随机变量的均值和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：X ，Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875， P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325； 根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875， P(Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325. X 的分布列为Y 的分布列为(2)E(X)＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝23 15.【训练1】(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5 16.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝14×12＝18；P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.考向二均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，D(X－1).[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．解 ∵E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3. E (X 2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. ∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)＝E (X 2)＋4E (X )＋4＝11＋12＋4＝27.D (2X －1)＝4D (X )＝8，D (X －1)＝D (X )＝ 2.若X 是随机变量，则η＝f (X )一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2.当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求． 考向三 均值与方差的实际应用【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准． (1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b (2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．[审题视点] (1)利用分布列的性质P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1及E (X 1)＝6求a ，b 值． (2)先求X 2的分布列，再求E (X 2)，(3)利用提示信息判断．解 (1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5. 由⎩⎨⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎨⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。
6.4.2 分层随机抽样的均值与方差
【问题2】在分层随机抽样中各层抽查的个数不一样，如何求样本的平均数呢?
【答案】分层随机抽样的平均数可以先分层求平均数，再求样本的平均数.
02
问题情境
甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭，他们分别在
A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率，甲在网站A
查到好评率98%，而乙在网站B查到好评率是85%，综
合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的
总好评率？
【解析】好评率是由好评人数除以总评价人数得到的.98%的好评率意味
Байду номын сангаас
着如果有100个人评价，那么其中98人给了好评.
设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1，在网站B
m1
评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2，由题目条件，n
1
m2
55585%.
n2
98%,
问题情境
综合A,B两个网站的信息，这家餐馆的好评率应该为
化简得
其中
0.98n1 0.85n2
n1
n2
0.98
0.85
n1 n2
n1 n2
n1 n2
n1
n2
和
n1 n2 n1 n2
m1 m2
n1 n2
，
分别是各自的权重，总好评率等于相应
的好评率与其权重乘积的和.
所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并
方差为360.那么甲、乙两班全部90名同学的平均成绩和方差分
别是多少？
解
设甲班50名同学的成绩分别为a1,a2,⋯,a50，那么甲班的
平均成绩、权重和方差分别是
2
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值
称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为
随机变量 X 的均值或 数学期望 ，它反映了离
散型随机变量取值的 平均水平 .
(2)方差 n
称
D(X)＝
∑
i＝1
(xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的
方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的 平均偏离程度 ，其算术平方根 DX 为
2．方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程 度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说 明 X 的取值越分散，反之 D(X)越小，X 的 取值越集中，由方差定义知，方差是建立 在期望这一概念之上的．在 E(X)附近，统 计中常用 DX来描述 X 的分散程度．
基础自测
1．随机变量 ξ 的分布列如下：
＝E(ξ2)＋4E(ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.
D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8，
Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
探究提高 ξ 是随机变量，则 η＝f(ξ)一般仍是 随机变量，在求 η 的均值和方差时，熟练应用 均值和方差的性质，可以避免再求 η 的分布列 带来的繁琐运算．
变式训练 2 袋中有 20 个大小相同的球，其中 记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取 球的标号． (1)求 ξ 的分布列、均值和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．
题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 例 1(2010·福建)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，
整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)” 为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的分布列及其均值 E(ξ)．
第6讲 离散型随机变量的均值与方差
第6讲离散型随机变量的均值与方差基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2018·广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝( )．A.32B．2C.52D．3解析E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案 A2．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为( ).A.5C．7 D．8解析由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案 C3．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( )．A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 B4．若p为非负实数，随机变量X的分布列为则E(X)的最大值为 ( )．A ．1 B.32 C.23D ．2解析 由p≥0，12－p≥0，则0≤p≤12，E(X)＝p ＋1≤32.答案 B5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 X 的可能取值为1,2,3， ∵P(X ＝1)＝p ，P(X ＝2)＝(1－p)p ， P(X ＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p ＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p 2－3p ＋3，由E(X)>1.75，即p 2－3p ＋3>1.75，得p<12或p>52(舍)．∴0<p<12.答案 C二、填空题6．(2018·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的次数，则D(X)＝________.解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为14，从中取3次(做3次试验)X为取得次品(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴D(X)＝3×14×34＝916.答案9167．马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布列如下表：请小牛同学计算X 的数学期望，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________.解析 设P(X ＝1)＝x ，则P(X ＝3)＝x ， 由分布列性质，∴P(X ＝2)＝1－2x ，因此E(X)＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2.答案 28．(2018·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元． 解析 由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1 ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金X 的分布列为∴E(X)＝700×17＋560×27＋420×47＝500(元)答案 500三、解答题9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解 (1)P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427.(2)6场胜3场的情况有C 36种， ∴P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729.(3)由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.10．(2018·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、数学期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a ，b 的值．解 (1)X 的分布列为∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×20＋4×5＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×2＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(Y)＝a 2D(X)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为 ( )． A ．2.44 B ．3.376 C ．2.376D ．2.4解析 X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E(X)答案 C2．(2018·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 ( )．A ．100B ．200C ．300D ．400解析 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B(1 000,0.1)，∴E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案 B二、填空题3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E(X)＝________.解析 由题意知P(X ＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p ＝12.随机变量X的分布列为：E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×6＝3.答案5 3三、解答题4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．解(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X的数学期望为E(X)X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.。
离散型随机变量的分布列、均值与方差
离散型随机变量的分布列、均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n . ②11=∑=ni i p(2)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)方差称D (X )=i 12))((P X E x ni i ∑=-为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(√)(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(×) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√) (5)期望值就是算术平均数，与概率无关．(×)(6)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(×)(7)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.(√)(8)在一组数中，如果每个数都增加a ，则平均数也增加a .(√) (9)在一组数中，如果每个数都增加a ，则方差增加a 2.(×)(10)如果每个数都变为原来的a 倍，则其平均数是原来的a 倍，方差是原来的a 2倍．(√)考点一 离散型随机变量的分布列及性质[例1] (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22 解析：由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.答案：C(2)设离散型随机变量X 的分布列为求：①2X ＋1的分布列； ②|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 首先列表为从而由上表得两个分布列为①2X ＋1的分布列为②|X －1|的分布列为[方法引航] (1)概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.1．随机变量的分布列为：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________. 解析：由a ，b ，c 成等差数列及分布列性质得， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得b ＝13，a ＝16，c ＝12.∴D (ξ)＝16×2)311(--＋13×2)310(-＋12×2)311(-＝59.答案：592．在本例(2)条件下，求X 2的分布列． 解：X 2的分布列为考点二 离散型随机变量的均值与方差[例2] (1)(2017·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：②生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元，在①的前提下：a ．记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；b ．求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．解：①甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23. ②a .随机变量X 的所有取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112. 所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝1902＋854＋706－3512＝125.b ．设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5， 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 454)32(13＋5)32(＝112243. (2)(2016·高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． ①求X 的分布列；②若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；③以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？解：①由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2.从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X 的分布列为②由①知P (X ≤③记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n ＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.[方法引航](1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为考点三[例3] (1)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10 D ．2－8解析：∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·11)21(＝3·2－10.答案：C(2)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .①若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；②设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．解：①设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. ②由题意，得 P (ξ＝0)＝3)101(＝11 000，P (ξ＝1)＝C 132)101)(1011(-＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23×2)1011(-×110＝2431 000，P (ξ＝3)＝3)1011(-＝7291 000. 所以，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的均值E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710. (或∵ξ～B )109,3(，∴E (ξ)＝3×910＝2710.)[方法引航] 如果ξ～B (n ，p )，可直接按公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解.假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被并闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时刻教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．解：(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，∴P(X＝0)＝C044)21(＝116，P(X＝1)＝C144)21(＝14，P(X＝2)＝C244)21(＝38，P(X＝3)＝C344)21(＝14，P(X＝4)＝C444)21(＝116，∴X的分布列为(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y＝3)＝P(X＝3)＝1 4，P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝34，∴Y的数学期望E(Y)＝3×14＋4×34＝154.[规范答题]求离散型随机变量的期望与方差[典例](2017·山东青岛诊断)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．[规范解答] (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13.2分则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13.3分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝23.4分 (2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10.且P (ξ＝6)＝14×13＝112， P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14.P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13. P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14.P (ξ＝10)＝14×13＝112，10分 所以ξ的分布列为则E (ξ)＝6×112＋7×14＋8×13＋9×14＋10×112＝8.12分[规范建议] 1.分清各事件间的关系：独立事件、互斥事件、对立事件．2．求随机变量的分布列，先把随机变量所有可能值列举出来，逐个求对应的概率． 3．利用期望公式求期望值．[高考真题体验]1．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－2)21(＝34，且X ～B )43,2(，∴均值是2×34＝32.答案：322．(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.解析：因为X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝30，D(X)＝np(1－p)＝20，解得n＝90，p＝1 3.答案：1 33．(2016·高考全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X元，则X的分布列为E(X)＝0.85a×0.30×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率．(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的数学期望． 解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000， 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以T ＝⎩⎨⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000， 130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×0.1课时规范训练 A 组 基础演练1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．16 解析：选B.∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴D (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.2．已知某一随机变量X 的分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )A.5 B ．6 C ．解析：选C.由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7.3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 解析：选B.记“不发芽的种子数为ξ”， 则ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.4．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过混合后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125 D.75解析：选B.125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65. 5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 解析：选C.X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋6．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2＜ξ≤5)＝________. 解析：P (2＜ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝14＋18＋116＝716.答案：7 167．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝__________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X～B)41,3(，∴D(X)＝3×14×)411(-＝916.答案：9 168．随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|d的取值范围是________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13.所以P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13，此即公差d的取值范围．答案：23]31,31[-9．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B，“有一道题不理解题意”选对为事件C，∴P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝14，∴得60分的概率为P＝12×12×13×14＝148.(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.P(ξ＝40)＝12×12×23×34＝18；P(ξ＝45)＝C12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P(ξ＝50)＝12×12×23×34＋C12×12×12×13×34＋C12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748；P(ξ＝55)＝C12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748；P(ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.ξ的分布列为E(ξ)＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.10．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设甲、乙所扣积分分别为x1，x2，由题意可知，P(x1＝0)＝0.5，P(x1＝1)＝0.4，P(x1＝2)＝1－0.5－0.4＝0.1，P(x2＝0)＝0.6，P(x2＝1)＝0.2，P(x2＝2)＝1－0.6－0.2＝0.2，所以P(x1＝x2)＝P(x1＝x2＝0)＋P(x1＝x2＝1)＋P(x1＝x2＝2)＝0.5×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.2＝0.4.(2)由题意得，变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝0.5×0.6＝0.3，P (ξ＝1)＝0.5×0.2＋0.6×0.4＝0.34，P (ξ＝2)＝0.5×0.2＋0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.24， P (ξ＝3)＝0.4×0.2＋0.2×0.1＝0.1， P (ξ＝4)＝0.1×0.2＝0.02， 所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.34＋2B 组 能力突破1．已知X 的分布列则在下列式子中①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确．由D (X )＝2)311(+-×12＋2)310(+×13＋2)311(+×16＝59，知②不正确．由分布列知③正确．2．已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则D (η)的值为( )A.－13B.59C.109D.209解析：选D.E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (ξ)＝2)311(+-×12＋2)310(+×13＋2)311(+×16＝59∴D (η)＝D (2ξ＋2)＝4D (ξ)＝209，故选D.3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6 解析：选B.由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X .因此，E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.4．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________. 解析：两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱，投法种数是32＝9，A 中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为49，A 中仅有一封信的投法种数是C 12×2＝4，概率为49， A 中有两封信的投法种数是1，概率为19，故A 邮箱的信件数ξ的数学期望是49×0＋49×1＋19×2＝23. 答案：235．李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解：(1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×2)21(＋C 13×12×2)21(＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝)531)(431(--＝110.P (X ＝1)＝34×)531(-＋)431(-×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B )21,3(，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )＜E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．。
文档：实际应用中均值与方差最值问题求解三法
实际应用中均值与方差最值问题求解三法有关离散型随机变量的均值与方差的最值问题是随机变量及其分布的热点题型，这类问题一般综合性强，是同学们感到棘手的问题，解决这类问题时应根据问题的题设特点灵活采用相应的方法，现介绍三种常见求解方法。
一、利用配方法例 1 某物流公司批发的一种家用电器每周的销售量是一个随机变量，分布列为P （=k ）=201，k=11，12，13，…，30，而该公司每周进货量为区间[11，30]中的某一整数，公司每销售一台家用电器可获利500元，若供大于求，则每台多余的电器需交保管费100元，若供小于求，则可以从其它公司调剂供应，此时每一台电器仅获利200元，问此公司周初进货量（含上周余量）应为多少才能使周平均利润最大？分析：设周初进货x 台，周利润为，要求周平均利润的最大值，就是要求E 的最大值，为此需求出的取值，而又是的函数，需按供大于求，供不应求给出的表达式，然后利用函数、数列相应知识求解。
解：设该公司周初进货量（含上周余量）为x 台，周利润为随机变量，则=⎪⎩⎪⎨⎧-+--),x (200500x ,500),x (100500ξξξξ ,30,,2x ,1x ,x ,1x ,,13,12,11 ++==-=ξξξ =⎪⎩⎪⎨⎧+-,200300x ,500,100x 600ξξξ ,30,,2x ,1x ,x ,1x ,,13,12,11 ++==-=ξξξ ∵P （=k ）=201，k=11，12，13，…，30， ∴E=201∑-=1x 11(600ξξ-100x)+201×500x+201∑+=+301x )200(300x ξξ=∑-=-1x 11)5x (30ξξ+25x+∑+=+301x )10(15x ξξ=30×2)1x (11-+（x-11）-5x （x-11）+25x+15x （30-x ）+10×230)1x (++（30-x ）=-10x 2+510x+3000=-10（）2+。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
均值与方差
学案68 离散型随机变量的均值与方差导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．自主梳理1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n(1)均值称E (X )＝____________________________________为随机变量X 的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________．(2)方差称D (X )＝__________________________为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝____________.(2)D (aX ＋b )＝____________.(a ，b 为实数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，D (X )＝_____________________________. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝______，D (X )＝____________. 自我检测1．若随机变量X X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x xA.118B.19C.209D.920 2．(2011·菏泽调研)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1 3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.5．(2011·杭州月考)随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 P a b c其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.探究点一 离散型随机变量的期望与方差例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．变式迁移1 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .(1)求随机变量X 的分布列；(2)求随机变量X 的数学期望和方差．探究点二 二项分布的期望与方差 例2 (2011·黄山模拟)A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．变式迁移2 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．探究点三离散型随机变量期望与方差的应用例3购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 0000.999.元的概率为1－410(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．变式迁移3因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i ＝1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．(1)写出ξ1、ξ2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？1．若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．2．若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 bA.5 B ．6 2．设ξ～B (n ，p )，若有E (ξ)＝12，D (ξ)＝4，则n 、p 的值分别为( )A ．18，23B ．16，12C ．20，16D ．15，143．随机变量XX 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3则E (5X ＋4)等于( ) A ．15 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 4．设掷1枚骰子的点数为ξ，则( )A ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.52B ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3512C ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.5 D ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝35165．(2011·成都调研)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89B.35C.25D.13 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x 1 2 3 P (ξ＝x ) ？ ！ ？请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝____________.7．(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.8．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝________.三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．10．(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．11．(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)．设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)； (2)当E (ξ1)<E (ξ2)时，求p 的取值范围．学案68 离散型随机变量的均值与方差自主梳理1．(1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 数学期望 平均水平 (2)∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 平均偏离程度 算术平方根D (X ) 2.(1)aE (X )＋b (2)a 2D (X ) 3．(1)p p (1－p ) (2)np np (1－p ) 自我检测1．C 2.B 3.B 4.53解析 由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为： X0 1 2 3 P 1121351216E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.5.59课堂活动区例1 解题导引 要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．第(2)小题注意性质E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)的应用．解 (1)ξ的分布列为ξ1 2 3 4 P 12120 110 320 15∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4变式迁移1 解 (1)P (X ＝0)＝2A 33＝13；P (X ＝1)＝C 13A 33＝12；P (X ＝3)＝1A 33＝16.∴随机变量X 的分布列为X 01 3 P131216(2)E (X )＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (X )＝(1－0)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.例2 解题导引 (1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示；(2)第(2)小题首先判断随机变量ξ服从二项分布，再求其分布列和均值．解 (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2， B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2. 依题意有P (A 1)＝2×13×23＝49，P (A 2)＝23×23＝49.P (B 0)＝12×12＝14，P (B 1)＝2×12×12＝12.所求的概率为P ＝P (B 0A 1)＋P (B 0A 2)＋P (B 1A 2) ＝14×49＋14×49＋12×49＝49. (2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，49. P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫593＝125729，P (ξ＝1)＝C 13×49×⎝⎛⎭⎫592＝100243， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫492×59＝80243， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫493＝64729. ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 125729 100243 80243 64729数学期望E (ξ)＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43.变式迁移2 解 (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A .因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13×13＝427. (2)由题意可得，ξ的可能取值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在上学路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)，所以P (ξ＝2k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)． 即ξ的分布列是ξ 0 2 4 6 8 P16813281827881181所以ξ的期望是E (ξ)＝0×1681＋2×3281＋4×827＋6×881＋8×181＝83.例3 解题导引 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，投保人中出险人数ξ～B (104，p )，进而利用二项分布的有关性质求解．解各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.(2)该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10 000ξ＋50 000.盈利η＝10 000a－(10 000ξ＋50 000)，盈利的期望为E(η)＝10 000a－10 000E(ξ)－50 000，由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10 000×10－3，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－104×104×10－3－5×104.E(η)≥0⇔104a－104×10－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．变式迁移3解(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.ξ1、ξ2的分布列分别为：(2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．(3)令η表示方案i的预计利润，则所以E(η1)＝14.75，E(η2)＝14.1，可见，方案一的预计利润更大．课后练习区1．C[由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.]2．A[E(ξ)＝np＝12，D(ξ)＝np(1－p)＝4.∴1－p ＝412＝13，∴p ＝23，∴n ＝18.]3．A [∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.]4．B [E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5，D (ξ)＝16[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2]＝3512.]5．A [对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，ξ的可取值有0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29，E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.]6．2解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 7.110解析 离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)，所以(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1，又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a ＋b ＝110.8.23解析 由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎫2，13，∴E (X )＝2×13＝23. 9．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分)P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0,1,2,3,4)．(4分)即(6分)(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800,3 500.(8分)则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370.E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280.(10分)所以此员工月工资的期望为2 280元．(12分)10．解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5， P (F )＝0.5.(2分)红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，(4分) 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(6分) (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.(8分)又由(1)知D E F ，D E F ，D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，(9分)因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1， P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F ) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.(11分) 所以ξ的分布列为：因此E (ξ)＝0×0.1＋111．解 (1)ξ1的概率分布为E (ξ1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.(3分)由题设得ξ～B (2，(5分)故ξ2所以ξ2的数学期望是E (ξ2)＝1.3×(1－p )2×p 2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(8分)(2)由E(ξ1)<E(ξ2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因为0<p<1，所以，当E(ξ1)<E(ξ2)时，p的取值范围是0<p<0.3.(14分)。
(完整)离散型随机变量的均值与方差经典例题
离散型随机变量的均值与方差导学案【知识梳理】1。
离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为：(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n量取值的平均水平．（2)D（X)＝（x i－E（X)）2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度,其算术平方根错误!为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE（X)＋b. (2）D（aX＋b）＝a2D（X）(a，b为常数)．（3)D（X）=E（X2)—[E（X）］23.特殊分布的均值与方差【典型例题】【例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝,n ∈N)的函数解析式；（2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝),整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润（单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由．【例2】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品,则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0〈p〈1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．作为p的值．已（2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?【例3】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【例4】有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．【例5】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时,可以额外购买这种零件为备件，每个200元。
离散型随机变量的均值与方差
5 0.8
8 0.5
10 0.2
12 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3 ＝12.
3．正态曲线的特点： (1)曲线位于x轴 (3)曲线在
x＝ μ 上方 ，与x轴不相交； x＝ μ
(2)曲线是单峰的，它关于直线 处达到峰值
1
对称； ；
(4)曲线与x轴之间的面积为
；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小曲线
越“ ”瘦高 ，表示总体的分布越集中；σ越大，曲
离散型随机变量的均值方差
一、均值
1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn Pn
则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为
随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散
型随机变量取值的 平均水平 ．
2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也 是随机变量，且E(aX＋b)=
(2) f ( x ) D
[ x 2 3(100 x )2 ]
(4 x 2 600 x 3 1002 ).
当 x＝ ＝75时，f(x)＝3为最小值.
正态分布下的概率计算常见的有两类： 1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概 率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1. 2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的 区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，
新高考数学复习知识点与题型专题讲解31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
新高考数学复习知识点与题型专题讲解 专题31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差一、单选题1．设样本数据1x ，2x ，3x ，…，19x ，20x 的均值和方差分别为2和8，若2i i y x m =+ (m 为非零常数，1,2,3,,19,20i =)，则1y ，2y ，3y ，…，19y ，20y 的均值和标准差为（）A ．2m +，32B ．4m +，．2m +，D ．4m +，32 【答案】B 【分析】设样本数据l x 的均值为x ，方程为2s ，标准差为s ，由已知得新样本2i i y x m =+的均值为2x m +，方差为222s ，标准差为2s ，代入可得选项. 【详解】设样本数据l x 的均值为x ，方程为2s ，标准差为s ，则新样本2i i y x m =+的均值为2x m +，方差为222s ，标准差为2s ，所以24y x m m =+=+，28s =，所以标准差为s =22s =⨯= 故选：B. 【点睛】本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为X ，2S ，重算时的平均数和方差分别为1X ，21S ，若此同学的得分恰好为X ，则（）A ．2211,X X S S =>B ．2211,X X S S ==C ．2211,X X S S =<D ．2121,X X S S ≠≠ 【答案】A 【分析】运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果. 【详解】设这个班有n 个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是12-1,,...n a a a ，被忘记登分的同学的分数为n a ， 则121...1n a a a X n -+++=-所以()121...1n a a a n X -+++=-，()11n X XX X n-+==，方差()()()()22221211...+1n S a X a X a X n -⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦-，()()()()2222121...+1n a XaXa Xn s -∴-+-+-=- ①因为()()()()222212121...++=n n a X aX a X a X S n--+-+-- ①将①代入到①得：2211=S n S n- 故221S S >故选：A 【点睛】本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（） A ．6.1毫米B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米 【答案】C 【分析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ，平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．设随机变量()2,2N ξ，则122D ξ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．12C ．3D ．4 【答案】B 【分析】利用正态分布的方差可得()D ξ的值，然后利用方差的性质可求得122D ξ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】()2,2N ξ，()2D ξ∴=，由方差的性质可得()1111222442D D ξξ⎛⎫+==⨯= ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <> 【答案】A 【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．6．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（）A ．19和2B ．19和3C ．19和4D ．19和8 【答案】C 【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项. 【详解】解：①1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，①121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=4=． 故选：C ． 【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.7．已知样本1x ，2x ，…，n x 的平均数为2，方差为5，则121x +，221x +，…，21n x +的平均数和方差分别为（）A ．4和10B ．5和11C ．5和21D ．5和20【分析】利用平均数和方程的性质可算出答案. 【详解】因为样本1x ，2x ，…，n x 的平均数为2，方差为5，所以121x +，221x +，…，21n x +的平均数为2215⨯+=，方差为22520⨯= 故选：D 【点睛】本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）. A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项. 【详解】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()320125E X =⨯=，()3324201555D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =⨯=， 方差为()224551205D X =⨯=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题. 9．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于 ( )A ．16B ．11C ．2.2D ．2.3 【答案】A 【解析】由表格可求()00.320.240.5 2.4E X =⨯+⨯+⨯=，故()()54545 2.4416E X E X +=+=⨯+=①故选A ．10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为()E X ，方差记为()D X ，则（）A ．()6E X =，()4D X >B ．()6E X =，()4D X <C ．()6E X <，()4D X >D ．()6E X <，()4D X < 【答案】B 【分析】根据数学期望以及方差的公式求解即可. 【详解】设原来7个数分别为1237,,,,x x x x由71267x x x +++=，则12742x x x +++=由()()()222127166647x x x ⎡⎤-+-++-=⎣⎦则()()()22212766628x x x -+-++-= 所以1726426()688x x x X E +++++=== ()()()22221271287()666(66)4882D X x x x ⎡⎤=-+-++-+-==<⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（） A ．52B ．3C ．72D ．4 【答案】C 【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==. 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为13，乙、丙打中的概率均为4t（04t <<），若甲、乙、丙都打中的概率是948，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的数学期望是（） A ．14B ．25C ．1D ．1312【答案】D 【分析】 根据题意可得9148344t t=⨯⨯，求出3t =列出分布列，利用期望公式计算. 【详解】9148344t t=⨯⨯，3t =列出分布列，利用期望公式计算. 记ξ的所有可能取值为0，1，2∴7113212412E ξ=+⨯= 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，求解时注意概率的求解. 13．已知ξ的分布列为设25ηξ=-，则()E η=（） A ．12B ．13C ．23D ．32【答案】C 【分析】由条件算出m ，然后算出()E ξ，然后可算出答案. 【详解】由分布列的性质可得：1111663m +++=，解得13m =所以()111117123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=因为25ηξ=-，所以()()172252563E E ηξ=-=⨯-= 故选：C 【点睛】本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 14．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B 【分析】 由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果. 【详解】 根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=，()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.15．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A ．这组新数据的平均不变B ．这组新数据的平均数为amC ．这组新数据的方差为2a nD ．这组新数据的方差不变 【答案】D 【分析】考查平均数和方差的性质，基础题． 【详解】设这一组数据为()1,n X a a =，由()()E X a E X a +=+，()()D X a D X +=，故选：D ． 【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题. 16．设11p <<，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如下表：则当p 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（）A ．()E ξη+减小，()D ξη+增大B ．()E ξη+减小，()D ξη+减小C ．()E ξη+增大，()D ξη+增大D ．()E ξη+增大，()D ξη+减小 【答案】D 【分析】 求出1()3E ξ=-，()21E p η=-，从而4()23E p ξη+=-，8()9D ξ=，2()44D p p η=-，从而228117()444()929D p p p ξη+=-+=--+，由此得到当p 在1(,1)2内增大时，()E ξη+增大，()D ξη+减小．【详解】 解：112p <<， 211()333E ξ=-+=-，()121E p p p η=-+=-， 4()23E p ξη+=-， 2212118()(1)(1)33339D ξ=-+⨯++⨯=，222()(2)(1)(22)44D p p p p p p η=--+-=-， 228117()444()929D p p p ξη+=-+=--+，∴当p 在1(,1)2内增大时，()E ξη+增大，()D ξη+减小，故选：D ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力． 17．若样本数据1210,,,x x x 的方差为8，则数据1210212121x x x --⋯-，，，的方差为（）A ．31B ．15C ．32D ．16 【答案】B 【分析】本题根据已知直接求方差即可. 【详解】解：因为样本数据1210,,,x x x 的方差为8，所以数据1210212121x x x --⋯-，，，的方差为：22832⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查数据同时乘除同一数对方差的影响，是基础题18．已知数据122020,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为4，若()()23,1,2,,2020i i y x i =--=⋅⋅⋅，则新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为（）A ．16B ．13C ．8-D ．16- 【答案】A 【分析】根据方差的性质直接计算可得结果. 【详解】由方差的性质知：新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为：()22416=-⨯. 故选：A . 【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题. 19．若随机变量X 服从两点分布，其中()203P X ==，则()31E X +和()31D X +的值分别是（）A ．3和4B ．3和2C ．2和4D ．2和2 【答案】D 【分析】先由随机变量X 服从两点分布求出()E X 和()D X ，再根据性质求出()31E X +和()31D X +的值. 【详解】随机变量X 服从两点分布，且()203P X ==，113P X ， 211()01333E X ，2212112()0133339D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(31)3()13123E X E X ，13()13123E X +=⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用，属于基础题.20．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A ．81.2，84.4B ．78.8，4.4C ．81.2，4.4D ．78.8，75.6 【答案】C 【分析】原来数据的平均数为80 1.2+,方差不改变，得到答案. 【详解】原来数据的平均数为80 1.281.2+=,方差不改变为4.4. 故选：C. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．若样本数据1x 、2x 、、10x 的方差为8，则数据121x -、221x -、、1021x -的方差为（）A ．8B ．15C ．16D ．32二、多选题【答案】D 【分析】设数据1x 、2x 、、10x 的平均数为x ，计算出数据121x -、221x -、、1021x -的平均数，利用方差公式可求得结果；或直接利用方差性质即可得出结论. 【详解】解法一：设10110ii x x==∑，由题意可得()1021810i i x x =-=∑，数据121x -、221x -、、1021x -的平均数为()101010111212102121101010ii ii i i x x xx ===--==⨯-=-∑∑∑，因此，数据121x -、221x -、、1021x -的方差为()()()()101010222211121212244832101010i iii i i x x x x x x s ===⎡⎤-----⎣⎦===⨯=⨯=∑∑∑.解法二：由()8D x =，根据方差的性质得2(21)2()32D x D x -=⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查方差的计算，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 22．下列说法正确的是（）A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；B ．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为14； C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为23. 【答案】BD 【分析】A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B ．利用古典概型的概率公式进行判断.C ．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D ．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可． 【详解】A:设一组数据为X ,则每个数据都乘以同一个非零常数a 后,可得Y aX =， 则()()()2D Y D aX a D X ==，所以方差也变为原来的2a 倍，故A 不正确.B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为14，故B 正确.C: 由1r →，两个变量的线性相关性越强，0r →，两个变量的线性相关性越弱，故C 不正确. D: 根据题意可得()()19P A P B ⋅=, ()()()()P A P B P A P B ⋅=⋅ 设()(),P A x P B y ==则()()()()111911x y x y y x ⎧--=⎪⎨⎪-⋅=-⋅⎩，得119x y xy x y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，即21219x x -+=解得23x =或43（舍） 所以事件A 发生的概率为23，故D 正确. 故选：B D 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题. 23．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（） A ．0.2q =B ．()()3, 1.4==E X D XC ．()()2, 1.8==E XD X D ．()()7, 5.6==E Y D Y 【答案】BD 【分析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出10.20.10.20.5q =---=，由此能求出()(),E X D X ，再由离散型随机变量Y 满足21Y X =+，能求出()E Y 和()D Y ． 【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列的性质得：10.20.10.20.5q =---=， 所以()10.2+20.1+30.2+40.53E X =⨯⨯⨯⨯=，()()()()()2322830.2230.1330.543 2.5 1.4=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=D X ，①()()217=+=E Y E X ，()()224 1.4 5.6D Y D X =⨯=⨯=，故选：BD ． 【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题. 24．下列说法中正确的是（） A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==，()11P x ξ==-，若102x <<，则()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大 【答案】ABD 【分析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质，即可判断选项C . 【详解】对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ，所以正态曲线的对称轴是2x =，因为()40.9P X <=，所以(0)0.1P X <=， 所以(02)0.4P X <<=，所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=，故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知，()1E x ξ=-，()()21D x x x x ξ=-=-+，由一次函数和二次函数的性质知， 当102x <<时，()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大，故选项D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．下列说法正确的有（）A ．若离散型随机变量X 的数学期望为()5E X =，方差为()2D X =，则()219E X -=，()218D X -=B ．若复数z 满足341z i --=，则z 的最大值为6C ．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法D ．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有39C 种不同分法 【答案】ABD 【分析】根据离散型随机变量X 的数学期望和方差的性质即可知A 正确；根据复数的几何意义可知B 正确；根据先分组再分配的原则可知C 错误，利用挡板法可知D 正确 【详解】解：对于A ，因为离散型随机变量X 的数学期望为()5E X =，方差为()2D X =，所以()212()19E X E X -=-=，()2212()8D X D X -==，所以A 正确；对于B ，因为341z i --=，所以复数z 对应的点(,)P x y 在以(3,4)C 为圆心，1为半径的圆上，所以z 表示点(,)P x y 与原点O 的距离，根据圆的几何性质可知，z 的最大值为16CO +=，所以B 正确；对于C ，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有246C =种情况，再分配给三人，有336A =种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C 错误；对于D ，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有39C 种不同的分法，D 正确， 故选：ABD 【点睛】此题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的性质的应用，复数的几何意义，以及排列组合问题，属于中档题26．设随机变量ξ的分布列为()()1,2,51aP k k k ξ===+，()E ξ，()D ξ分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是（） A ．()50 3.56P ξ<<=B ．()317E ξ+=C ．()2D ξ=D ．()316D ξ+= 【答案】ABC 【分析】利用分布列的性质求a ，而()()()0 3.512P P P ξξξ<<==+=，根据期望、方差公式即可求()31E ξ+、()D ξ、()31D ξ+，进而可确定选项的正误. 【详解】因为随机变量ξ的分布列为()()1,2,51aP k k k ξ===+， 由分布列的性质可知，()()()1251236a a aP P P ξξξ=+=+==++=，解得1a =，①()()()50 3.5126P P P ξξξ<<==+==，A 选项正确；()1111252236E ξ=⨯+⨯+⨯=，即有()()31313217E E ξξ+=+=⨯+=，B 选项正确；()()()()2221111222522236D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，C 选项正确()()31918D D ξξ+=⨯=，D 选项不正确.故选：ABC. 【点睛】本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学运算核心素养. 27．已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是则当p 在()0,1内增大时，下列选项中正确的是（） A ．()()E E ξη=B ．()()V V ξη= C ．()E ξ增大D ．()V η先增大后减小 【答案】BC 【分析】由2ηξ=+，根据期望和方差的性质可得()()2E E ηξ=+，()()V V ξη=；求出()E ξ，()E η，()V η根据函数的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，2ηξ=+，()()2E E ηξ∴=+，故A 错误； 对于B ，2ηξ=+，()()V V ξη∴=，故B 正确；对于C ，11()22E p ξ=-+，∴当p 在(0,1)内增大时，()E ξ增大，故C 正确；对于D ，113()2322222p p p E η-=+⨯+⨯=+， 2221111315()()()()(2)22222222244p p p p p V p η-∴=--⨯+-+-⨯=--+，∴当p 在(0,1)内增大时，()V η单调递增，故D 错误．故选：BC ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．28．一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则（）A ．a =7B ．a =11C ．b =12D ．b =9 【答案】BD 【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E (X )，D (X )，进而求得平均值a ，方差b . 【详解】12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，设()123,,,,n X x x x x =⋯，∴(21)2()17E X E X +=+=，得E (X )=3，D (2X +1)=4D (X )=4，则D (X )=1，12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ， ∴a =E (3X +2)=3E (X )+2=11，b =D (3X +2)=9D (X )=9. 故选：BD . 【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.三、填空题29．已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差为5，则数据12310310,310,310,,310x x x x ----的方差为___．【答案】45 【分析】依据()()2D ax b a D X +=计算即可.【详解】由题意可得，数据12310310,310,310,,310x x x x ----的方差为：23545⨯=．故答案为：45.30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为____________. 【答案】200 【分析】设没有发芽的种子数为Y ，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解. 【详解】设没有发芽的种子数为Y ，则有2X Y =， 由题意可知Y 服从二项分布，即Y(1000,0.1)B ,则()10000.1100E Y =⨯=，所以()2()200E X E Y ==. 故答案为：200.31．已知随机变量X 的分布列为若()1E X =，则()E aX b +=______． 【答案】23【分析】根据变量间的关系计算新的均值． 【详解】由概率分布列知23a b +=． 2()()3E aX b aE X b a b +=+=+=． 【点睛】本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．()()E aX b aE X b +=+．32．已知离散型随机变量13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，随机变量21ηξ=+，则η的数学期望()E η=________. 【答案】52【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出()E ξ的值，然后利用期望的性质可求得()E η的值. 【详解】由于离散型随机变量13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()13344E ξ∴=⨯=，又因为随机变量21ηξ=+，由期望的性质可得()()()3521212142E E E ηξξ=+=+=⨯+=. 故答案为：52. 【点睛】本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 33．随机变量ξ的分布如下表，则()54E ξ+=_______.【答案】13 【分析】根据表格中的数据计算出E ξ，然后可得()54E ξ+的值. 【详解】因为00.420.340.3 1.8E ξ=⨯+⨯+⨯= 所以()545413E E ξξ+=+= 故答案为：13 【点睛】本题考查的是期望的算法和性质，较简单.34．设随机变量X 的分布列为()1,2,3,44k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，a 为常数，则()4E X =________． 【答案】3 【分析】 根据()1,2,3,44k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由()12341a +++=解得a ，再利用期望公式结合性质求解. 【详解】因为()12341a +++=，所以110a =， 所以()1122334434104104104104E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 故()()443E X E X ==． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题.35．已知样本数据1x ，2x ，…，n x 的均值3x =，则样本数据121x +，221x +，…，21n x +的均值为______. 【答案】7 【分析】利用平均数计算公式求解. 【详解】①数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为均值3x =，则样本数据121x +，221x +，…，21n x +的均值为：213217x +=⨯+=. 故答案为：7. 【点睛】此题为基础题，考查样本数据平均数的求法.36．设离散型随机变量X 可能取的值为1,2,3，()()1,2,3P X k ak b k ==+=.又X 的均值()52E X =，则a =______. 【答案】14【分析】由概率之和为1得到一个方程，由()52E X =得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果. 【详解】离散随机变量X 可能取的值为1,2,3，()()1,2,3P X k ak b k ==+=， 故X 的数学期望5()()2(2)3(3)2E a b a b a X b =+++++=， 而且()(2)(3)1a b a b a b +++++=，联立方程组()(2)(3)15()2(2)3(3)2a b a b a b a b a b a b +++++=⎧⎪⎨+++++=⎪⎩，解得14a =. 故答案为：14.【点睛】本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式11()n n E X x p x p =++.四、双空题37．已知01p <<，随机变量X 的分布列如图.若13p =时，()E X =________；在p 的变化过程中，(21)D X +的最大值为______.【答案】62 【分析】由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得211()22D X p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，进而可得max ()D X ，结合方差的性质即可得解. 【详解】当13p =时，1111533()0122226E X -=⨯+⨯+⨯=； 在p 的变化过程中，111()0122222p p E X p -=⨯+⨯+⨯=+， 则2222111111()0122222224p p D X p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21122p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，max 1()2D X =， 所以max max (21)4()2D X D X +==. 故答案为：56；2.38．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0的有10个，记上n 号的有n 个（n ＝1，2，3，4），现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号，则(2)p X ==______，若2Y X m =+，且()1E Y =，则m =_____. 【答案】1102- 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求出()E X ，化简2()1E X m +=即得解. 【详解】（1）由题得21(2)2010p X ===； （2）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4，X 的分布列为：111313()01234220102052E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()1E Y =，所以(2)2()1E X m E X m +=+=.所以32122m m ⨯+=∴=-，. 故答案为：1;210-.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.39．已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6,)2B ξ，则(23)E ξ+=________，(23)D ξ+=________. 【答案】96 【分析】由二项分布的期望公式求出()E ξ．()D ξ，再由数据变换间的关系求得新期望和方差． 【详解】①随机变量ξ服从二项分布，162()3E ξ⨯∴==，1132)622(D ξ⨯⨯== 则2(23)2()39,(23)2()6E E D D ξξξξ+=+=+=⨯=． 故答案为9；6． 【点睛】本题考查在二项分布的期望与方差公式，考查数据线性变换后期望与方差间的关系，属于基础题．五、解答题40．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额X 的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额Z 的数学期望值，比较得出结论. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==， 所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===， ()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=. 故X 的分布列为，所以()0500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量X 的分布列和数学期望，解题步骤如下： （1）判断随机变量X 的可能取值；（2）说明随机变量X 取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率； （3）列表写出随机变量X 的分布列； （4）利用期望公式求值41．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．（①）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率； （①）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；（①）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需写出结论） 【答案】（①）37；（①）X 的分布列见解析，数学期望()67E X =；（①）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大． 【分析】（①）由题意得，在园人数为840% 3.2⨯=万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；（①）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得X 的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案； （①）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论． 【详解】解：①40%以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是8万人， ①在园人数为840% 3.2⨯=万人以下为“舒适”，（①）10月1日至7日的下午14时去该公园游览，“舒适”的天数为3天， ①甲同学遇上“舒适”的概率37P =； （①）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日， ①X 的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，①()204327620217C C P X C ====， ()1143271241217C C P X C ====，()024327312217C C P X C ====， ①X 的分布列为①X 的数学期望()60127777E X =⨯+⨯+⨯=；（①）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．。
离散型随机变量均值与方差(二)
它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动， 它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动， 集中与离散程度。Dξ越小，稳定性越高，波动越小 集中与离散程度。 越小，稳定性越高，
1)当a=0时, 2)当a=1时, 3)当b=0时, D(b)=0 D(ξ+b)=Dξ D(aξ)=a2Dξ
甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下: 乙两名射手在同一条件下进行射击，
1)意义:
方差反映了ξ取值的稳定与波动， 取值的稳定与波动， 集中与离散程度 2)计算公式： 计算公式：
(1 ) D ( a ξ + b ) = a 2 D ξ 2 2 2 ( 2 ) D ξ = E (ξ − E ξ ) = E ξ − ( E ξ )
(3)若ξ~B（n,p）
(1) E (aξ + b) = aEξ + b
复习回顾： 复习回顾： 1、期望的含义： 期望的含义： 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2、期望公式： 期望公式： Eξ = x1 p1 + x 2 p2 + L + x n pn + L 3、求期望的步骤 ： (1)列出相应的分布列 (1)列出相应的分布列 (2)利用公式 (2)利用公式 4、随机变量函数η=aξ+b的期望 随机变量函数η=aξ+b的期望 η=aξ+b Eη = E (aξ + b) = aEξ + b
xn pn
… …
二、方差的概念
Eξ = x1 p1 + x 2 p2 + L + x n pn + L 1)意义: 期望反映了ξ取值的平 均水平。 均水平。 2)计算公式： 计算公式：
(2)若ξ~B（n,p）
均值与方差、正态分布
均值与方差、正态分布时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X <0)等于( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】 A【解析】 P (X <0)＝P (X >4)＝1－P (X ≤4)＝1－0.84＝0.16. 2．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个，其中含有红球个数的数学期望是( )A.32 B.53 C.65 D.35【答案】 C【解析】 根据超几何分布期望公式，E (X )＝2×32＋3＝65.3．(2012·黄冈期末)某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．15%C ．30%D ．45% 【答案】 D【解析】 ∵正态曲线对称轴为μ＝90，P (x <60)＝0.05，∴P (90<x <120)＝12(1－2P (x <60))＝0.45，故选D.4．(2012·云南省统考)已知随机变量ξ满足条件ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝125，则n 与p 的值分别为( )A ．16与45 B ．20与25 C ．15与45 D ．12与35【答案】 C【解析】 ∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝125，∴n ＝15，p ＝45.5．(2011·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量x 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量x 的数学期望E (x )＝( )A.445B.8310C.72D.92【答案】 D【解析】 x 的取值有：3、4、5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，∴E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝92.6．(2011·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2【答案】 A【解析】 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 27＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67， ∴x ＝3.7．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256 B.9256 C.247256 D.764【答案】 C【解析】 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2，解之得，p ＝12，n ＝8， ∴P (ξ＝0)＝C 08×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128，P (ξ＝1)＝C 18×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125，∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫128－⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝247256.8．(2012·深圳市调研)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie－(x －μi )22σ2i(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 【答案】 D【解析】 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.二、填空题(每小题6分，共18分)9．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．【答案】0.4【解析】∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y ＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9.∴y＝0.4.10．(2011·浙江理，15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.【答案】5 3【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率计算及随机变量的分布列与期望等基础知识．∵P(X＝0)＝112，∴(1－23)(1－p)2＝112，∴p＝12，∴P(X＝1)＝13，P(X＝2)＝512，P(X＝3)＝16.∴E(X)＝13＋2×512＋3×16＝53.11．(2012·广东江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X1、X2的分布列分别如下：两台机床中，较好的是__________，这台机床较好的理由是______________________________________________．【答案】 Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2) 三、解答题(共34分)12．(11分)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令X 表示该公司的资助总额．(1)写出X 的分布列； (2)求数学期望E (X )．【解析】 (1)X 的所有取值为0,5,10,15,20,25,30，∴P (X ＝0)＝164，P (X ＝5)＝332，P (X ＝10)＝1564，P (X ＝15)＝516，P (X ＝20)＝1564，P (X ＝25)＝332，P (X ＝30)＝164.所以X 的分布列为(2)E (X )＝5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.13．(11分)(2011·陕西理，20)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．【解析】(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B 独立，∴P(X＝0)＝P(A－B－)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(A B＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列为∴E(X)＝0×0.0414．(12分)(2011·山东临沂质检)汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类M1型车抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：＝120g/km.2乙(1)从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？(2)若乙类品牌的车比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性要好，求x的取值范围．【解析】(1)从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果：(80,110)；(80,120)；(80,140)；(80,150)；(110,120)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150)．设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则A包含以下7种结果，(80,140)；(80,150)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150)．∴P(A)＝710＝0.7.(2)x甲＝80＋120＋110＋140＋1505＝120.∴x甲＝x乙＝120，x＋y＝220.5s2甲＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝3000，5s2乙＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2＝2000＋(x－120)2＋(y－120)2.∵x＋y＝220，∴5s2乙＝2000＋(x－120)2＋(x－100)2.由乙类品牌的车CO2的排放量稳定性比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性好，得5s2乙<5s2甲，即2000＋(x－120)2＋(x－100)2<3000.∴x2－220x＋11700<0.解得90<x<130.即x的取值范围为{x|90<x<130}．。
概率论与数理统计：6-3样本均值与样本方差的分布
n
m Xi
T
i 1
的概率分布。
nm
n
X
2 i
i n 1
解
由题设可知：X1
,
X
2
,
X
相互独立，且
nm
Xi N 0, 2 ,i 1, 2, , n m.
n
n
Xi
故
Xi ~ N (0, n 2 ),
i 1
则
i1 ~ N (0,1).
n
而
nm
i n 1
基本定理
定理 设随机变量X1, X 2 , , X n 相互独立,且
Xi ~ N ( i , i2 ) (i 1, 2, , n)
则它们的任一确定的线性函数
n
n
n
ci Xi ~ N ( cii ,
ci2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
其中c1, c2 , , cn为不全为零的常数.
一、单个正态总体的抽样分布
第6.3节 样本均值与样本方差的分布
一、基本定理 二、例题
三、小结
既然统计量是依赖于样本的,而后者又是随 机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的 分布.称这个分布为“抽样分布”.也即抽样分布就 是统计量的分布
抽样分布
精确抽样分布
渐近分布
(小样本问题中使用) (大样本问题中使用)
这一节, 我们来讨论正态总体的抽样分布.
例4 设 X ~ N 1, 12 , X1, X2,......Xn 是X 的一个样本
Y ~ N
2
,
2 2
, Y1,Y2,......Yn 是 Y的一个样本。
高中数学 离散型随机变量的均值与方差
12.6 离散型随机变量的均值与方差一、填空题1．已知随机变量X 的分布列为：其中m ，n ∈[0,1)，且E (X )＝6，则m ，n 的值分别为_______，______.解析 由p 1＋p 2＋…＋p 6＝1与E (X )＝16知⎭⎪⎬⎪⎫m ＋n ＝71212－m ＝16⇒m ＝13，n ＝14.答案 13，142．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________． 解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 5.253．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________． 解析 由题意得⎩⎨⎧np ＝2.4，np －p ＝1.44，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4.答案 6,0.44．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)，∴E (Y )＝1 000×0.1＝100， 故需补种的期望为E (X )＝2·E (Y )＝200. 答案 2005．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，V (Y )分别是________． 解析 若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、V (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，V (Y )＝a 2V (X )．由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，V (Y )＝(－1)2V (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2 2.46.已知随机变量X 的分布列为,则E(6X+8)等于________．解析 ()10E X =⨯.220+⨯.430+⨯.4=0.2+0.8+1.2=2.2, ∴E(6X+8)=6E ()862X +=⨯答案21.27．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为________．解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22ba ·a 2b ＝163， 当且仅当2b a ＝a2b ，即a ＝2b 时取“等号”又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163.答案1638．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则V (X )＝________. 解析 ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴V (X )＝3×14×34＝916.答案9169．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的均值E (X )＝________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35， 从而有E (X )＝np ＝4×35＝125.答案12510．已知离散型随机变量X 的概率分布如右表， 若E (X )＝0，V (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.答案 512 1411．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )＝________. 解析 X 的取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (X ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370；P(X＝2)＝C112C24C316＝970；P(X＝3)＝C34C316＝1140.∴E(X)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案3 412．马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表：请小牛同学计算X且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________.解析令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案 213. “好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为______元.解析设公司每月对这辆车的收入为X元，则其分布列为：故E(X)＝(－100)×0.2＋2 500×0.8＝1 980元.答案 1 980二、解答题14．一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X.(1)求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；(2)求X的分布列及X的数学期望．解析(1)记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A，依题意知P(A)＝C15C23＋C25C13C38＝4556.所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为45 56 .(2)X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝C35C38＝528，P(X＝1)＝C25C13C38＝1528，P(X＝2)＝C15C23C38＝1556，P(X＝3)＝C33C38＝156.∴X的概率分布为所以X的数学期望为E(X)＝0×528＋1×1528＋2×1556＋3×156＝98.15．有一种闯三关游戏的规则规定如下：用抛掷正四面体骰子(各面上分别有1,2,3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n＝1,2,3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．(1)求仅闯过第一关的概率；(2)记成功闯过的关数为X，求X的概率分布和均值．解析(1)记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A，则P(A)＝34×616＝932.(2)由题意，得X的取值有0,1,2,3，且P(X＝0)＝14，P(X＝1)＝932，P(X＝2)＝34×1016×5464＝4051 024，P(X＝3)＝34×1016×1064＝751 024，即随机变量的概率分布为所以E(X)＝0×14＋1×32＋2×1 024＋3×1 024＝1 024.16．济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人游览这四个景点的概率分别是0.3,0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． (1)求ξ＝0对应的事件的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解析 (1)分别记“该客人游览大明湖景点”，“该客人游览趵突泉景点”，“该客人游览千佛山景点”，“该客人游览园博园景点”为事件A 1，A 2，A 3，A 4.由题意，知A 1，A 2，A 3，A 4相互独立，且P (A 1)＝0.3，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5，P (A 4)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,4.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0.所以ξ的可能取值为0,2,4.故P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝0.38.(2)P (ξ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝0.12.P (ξ＝0)＝0.38，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝4)＝0.5. 所以ξ的分布列为E ξ17．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．(1)设抛掷5次的得分为X ，求X 的概率分布和数学期望E (X )； (2)求恰好得到n (n ∈N *)分的概率．解析 (1)所抛5次得分X 的概率为P (X ＝i )＝C i －55⎝ ⎛⎭⎪⎫125(i ＝5,6,7,8,9,10)， 其概率分布如下：E (X )＝∑i ＝510i ·C i －5i⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝152(2)令p n 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面．因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到(n －1)分”的概率是p n －1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n ＝12p n －1，即p n －23＝－12⎝⎛⎭⎪⎫p n －1－23.于是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫p n －23是以p 1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列．所以p n －23＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，即p n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .故恰好得到n 分的概率是13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .18．某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到站． (1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)求旅客候车时间的概率分布； (3)求旅客候车时间的数学期望．解析 (1)第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，其概率为P ＝12＋14＝34.(2)旅客候车时间的概率分布为(3)10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30. 故这名旅客候车时间的数学期望是30分钟．。
2.3离散型随机变量的均值和方差
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则
EX np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球 次数的数学期望是
3பைடு நூலகம்
.
归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：
①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。
则由k C n n C n 1 , 得
k k 1
E ( X ) k C n p k q n k
k
n
np C n1 p
k 1 k 1
k 0 n
k 1
q
n 1 ( k 1 )
np C n1 p k q n1 k
k k 0
n 1
np
若X服从二项分布，则 E(X)= nP。
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
若X ~ B(n, p)
3
2 10
4
1 10
权数
加 权 平 均
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？ 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。是一个常数。
072随机变量的均值与方差
§16.1 随机变量的均值与方差1.所示，则称n n 2211为离散型随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)=n n p x p x p x +++ 2211，其中i x 是随机变量X 的可能取值，i p 是概率，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p性质：①E(C)=C ；②E(aX)=aE(X)；③E(aX+b)=aE(X)+b ；④超几何分布X ～H(n,M,N)的数学期望为NnM X E =)(，二项分布X ～B(n ，p)的数学期望为np X E =)(。
2.X 的概率分布如表所示，则称n n p x p x p x 22211)()()(μ-++-+- 为离散型随机变量X 的方差，记为V(X)或2σ，即V(X)= n n p x p x p x 2222121)()()(μμμ-++-+- （其中)(X E =μ，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p ），方差也可用公式212)(μ-=∑=i ni i p x X V ，即22)()()(X E X E X V -=，V(X)的算术平方根称为X 的标准差，即)(X V =σ。
性质：①0)(=C V ；②)()(2X V a b aX V =+；③超几何分布X ～H(n,M,N)的方差为)1())(()(2---=N N n N M N nM X V ，二项分布X ～B(n ，p)的方差为)1()(p np X V -=。
注：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度。
方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。
三、典型例题例1：有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随即地抽取3张卡片，设3 张卡片上的数字之和为随机变量ξ，求E(ξ)、V(ξ)例2：假定某射手每次射击命中目标的概率为32，且只有3发子弹。
与均值、方差有关的比较大小、增减分析及最值(范围)问题
与均值、方差有关的比较大小、增减分析及最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．题型一随机变量的均值、方差比较大小【例1】(1)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则()A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)(2)(一题多解)已知x 1，x 2，x 3∈R ，x 1<x 2<x 3，设y 1＝x 1＋x 22，y 2＝x 2＋x 32，y 3＝x 3＋x 12，z1＝y 1＋y 22，z 2＝y 2＋y 32，z 3X ，Y ，Z 满足：P (X ＝x i )＝P (Y ＝y i )＝P (Z ＝z i )＝13(i ＝1，2，3)，则()A ．D (X )<D (Y )<D (Z )B ．D (X )>D (Y )>D (Z )C ．D (X )<D (Z )<D (Y )D ．D (X )>D (Z )>D (Y )【训练1】(1)一个袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球(1≤m ＜n ≤5，p ≥4)，从中任取1个球(每球取到的机会均等)，设ξ1表示取出的红球个数，ξ2表示取出的白球个数，则()A ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)B ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)C ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)D ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)(2)(2020·嵊州适考)已知随机变量ξi 的分布列如下：ξi 012P(1－p i )22p i (1－p i )p 2i其中i ＝1，2，若0<p 1<p 2<12，则()A ．E (2ξ1)<E (2ξ2)，D (2ξ1)<D (2ξ2)B ．E (2ξ1)<E (2ξ2)，D (2ξ1)>D (2ξ2)C ．E (2ξ1)>E (2ξ2)，D (2ξ1)<D (2ξ2)D ．E (2ξ1)>E (2ξ2)，D (2ξ1)>D (2ξ2)题型二随机变量均值、方差的增减分析【例2】(1)设0<a <1，随机变量X 的分布列是X 0a 1P131313则当a 在(0，1)内增大时()A ．D (X )增大B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．(X )先减小后增大(2)已知离散型随机变量ξ满足二项分布且ξ～B (3，p )，则当p 在(0，1)内增大时()A ．D (ξ)减小B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小【训练2】(1)设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p 212p 2则当p 在(0，1)内增大时，()A ．D (ξ)减小B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小(2)已知随机变量ξ的分布列是()ξ1bP p q若E(ξ)＝2，则()A．b增大，p增大，D(ξ)增大B．b增大，p增大，D(ξ)减小C．b增大，p减小，D(ξ)增大D．b增大，p减小，D(ξ)减小题型三随机变量均值、方差的最值【例3】(1)随机变量ξ的分布列如下：ξn n＋1n＋2P a b c 其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)()A．与n有关，有最大值23B．与n有关，有最小值23C．与n无关，有最大值23D．与n无关，有最小值23(2)已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10－m个白球，B盒中有10－m个红球与m个白球(0<m<10)，若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当D(ξ)取到最大值时，m的值为()A．3B．5C．7D．9【训练3】(1)aξ012P b－a b a则()A．E(ξ)有最小值12B．E(ξ)有最大值32。