轴对称问题

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轴对称问题

轴对称物体:某一平面图形绕平面上某一轴旋转形成的回转体。此平面称子午面。

这是轴对称物体吗？

轴对称问题

轴对称物体+轴对称约束＋轴对称载荷=轴对称系统

对轴对称系统的应力分析＝轴对称问题

ﻬ轴对称物体的离散形式

轴对称三角形单元的结点位移向量: T k k j j i i e

v u v u v u } {}{=δ

轴对称三角形单元的结点力向量：T

e kz e kr e jz e jr e iz e ir e

F F F F F F F

} {}{=

轴对称问题的力学基础

1．

空间轴对称物体的几何方程

在弹性力学中,空间轴对称体的几何方程为

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬⎫

⎪⎪⎪⎪⎩⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧r v z u r

u z v

r u rz z r γεεεεθ＝ (1）

2．

ﻬ物理方程及弹性矩阵

在有初应变情况下的物理方程为

(){}(){}

(){}

()rz

rz rz r z z r r r r z z z E

E

E E τμγγσσμσεεσσμσεεσσμσεεθθθθθ＋－＝－121

1

1

0000=-++-=-+-=

-

(２)

由此式解出应力，得到

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

rz

rz r r z z r r z z r r r z z z E

E E E γμτεεεεμμεεμμ

μμμσεεμμ

εεεεμμμμμσεεμμ

εεμμεεμμμσθθθθθθθ＋－－－－＋－＝－－－－＋－－－－－＋－12112111112111112111000000000=

⎭⎬

⎫⎩⎨⎧+-+-⎭⎬

⎫⎩⎨⎧+++-=⎭⎬

⎫⎩⎨⎧+-+-= (３）

这里初应变 []T rz r z 00000γεεεεθ＝

式中,00=rz γ。写成矩阵形式为

()0εεσ－＝D

式中D 是轴对称的弹性矩阵,其表达式为

()()()()⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎢

⎢⎢⎣⎡μμλλλ

λλ

λμμμ－－－＋－＝12210000101012111E D （4） u

-=

1μλ

轴对称单元分析

1．

位移函数： 单元内任意一点的位移用单元结点位移的插值函数表示

∑∑====q i i

i q

i i

i v z r N z r v u z r N z r u 1

1),(),(),(),(

对于三结点三角形单元,q = 3

332211),(u N u N u N z r u ++= 332211),(v N v N v N z r v ++=

矩阵形式:}]{[e N v u δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=32

1

321

000][N N N N N N

N 2． 几何矩阵

⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡

∂∂∂∂∂∂∂∂

=⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪

⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧v u r z r z r r v z u r

u z

v r u rz z r 01

00γεεεεθ＝

}]{[}]{][[][}{ e e B N H v u H δδε==⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=∴

[]32

1

][B B B B =

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=r N z

N r N z N r N N N r z

r z r B i i i i i i i

i 000000100][ ｒ = １, 2, 3 轴对称问题的三角形单元的几何矩阵［Ｂ］不为常数矩阵,｛ε}不为常量，{σ}也不为常量。 3．

单元刚度矩阵

dz dr r B D B dz dr d r B D B dv B D B K A

T v

A

T T e ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==⎰⎰⎰⎰

⎰⎰][][][2]][[][]][[][][20

πθπ [D]--- 弹性矩阵

等效结点载荷

1． 轴对称单元体力的等效结点载荷：

⎰⎰⎰

⎰⎰⋅=⋅=A

T

A

T e

rdrdz z r q z r N drdz d r z r q z r N p )},({)],([2)},({)],([}{20

πθπ 2．轴对称单元面力的等效结点载荷： ⎰⎰⎰⋅=⋅=π

πθ20

)},({)],([2)},({)],([}{l

l

T T e

rds z r q z r N ds rd z r q z r N p 式中:22dz dr ds +=

３.轴对称单元线分布力的等效结点载荷：

⎰==π

πθ20}{)],({2}{)],([}{q z r N R Rd q z r N p T

T e

例:求以角速度ω旋转的轮盘的离心力的等效结点载荷。已知旋转盘的材料密度为ρ

解:离心力的分布规律为: