角平分线的性质典型例题
解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
垂直平分线和角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标:掌握角平分线得性质定理及其逆定理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明:角平分线得性质定理:角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时,将用到三角形全等得判定公理得推论:推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等。
(AAS)推导过程:已知:OC平分∠MON,P就是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA＝PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO与△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达:(角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示,∵OP平分∠MON(∠1＝∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB.(2)角平分线性质定理得逆定理:到一个角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB.求证:点P在∠MON得平分线上.证明:连结OP在Rt△PAO与Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上.)如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2(OP平分∠MON)(3) 角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路;②实际生活中得应用.例:一个工厂,在公路西侧,到公路得距离与到河岸得距离相等,并且到河上公路桥头得距离为300米.在下图中标出工厂得位置,并说明理由.(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考: 尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图),思考这种作法得依据。
步骤一:以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角得两边分别交于A,B两点。
垂直平分线和角平分线典型题
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
垂直平分线与角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线（1）知识要点详解K线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质宦理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，己知直线m与线段AB垂直相交于点D,H AD=BD,若点C在直线m上，则AC=BC.定理的作用:证明两条线段阳等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔词：2、线段垂宜平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直半分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.走理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交丁•点D, J1AD=BD,若AC=BC,则点C在直线m上.课堂笔记I:3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点,井且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3,若直线i、j,k分别是AABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i 相交于一点0, H OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形期用三用程,则左二辿垂真平分线的交点在三用形内邹;若二用形星真用三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形星钝角三角形,则它aa垂直平赠的交点在三角形外部•反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角D・12cm文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑•欢迎下载支持. 形三边垂直半分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题:例1如图1,在Z\ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E, ABCE的周长等于18cm,则AC的长等于（）A. 6cm B・ 8cm C・ 10cm课堂笔记：针对性练习:已知：1）如图，AB=AC=14cm.AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果AEBC的周长是24cm,那么BC= ______________2）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,那么Z\EBC的周长是________________3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果ZA=28 度，那么ZEBC是_______ 例 2.已妬：AB=AC, DB=DC, E 是AD 上一点，求证：BE=CE a课堂笔记针对性练习:已知：在AABC中，ON是AB的垂直平分线QA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线例3. ^EAABC中，AB=AC, AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50° , zfABC的底角ZB的大小为___________________ .课堂笔记针对性练习:1. _______________ 在AABC中，AB=AC. AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，贝lj 底角B的大小为__ o例4、如图8,已知AD是厶期。
垂直平分线与角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的图1图2交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
垂直平分线与角平分线典型题练习题
线段的垂直平分线与角平分线（1）令狐采学经典例题：例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB 于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28 度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
针对性练习：已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC,求证：点O在BC的垂直平分线.例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的OB ACN B直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。
针对性练习：1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。
例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.课堂练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且C DAOB=OC ，求证：AO⊥BC.6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM.课后作业：1. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC边的长.2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB 都是直角，且AC=AD ，P 是AB 上任意一点，求证：CP=DP 。
角平分线定理B(教师版)
学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数： 课 题角平分线定理教学目的1． 掌握角平分线的性质定理及其逆定理；2． 能运用角的平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.教学内容【复习与回顾】题目一：直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．都不对 【答案】C【提示】学生通过之前的练习，常常记住的是135°，因此会误选C.需要求学生注意解答选择题须将四个选项全部看完后再做选择.题目二：如图所示，O 为△ABC 的三条角平分线的交点，∠BOC=120°，则∠A= 【答案】60°题目三：如图，已知在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的外角∠ACE ，BD 、CD 相交于D ， 试说明∠A=2∠D 的理由。
【答案】略题目四：如图，已知OE 、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ，若∠AOB =90°， ∠EOD =70°，求∠BOC 的度数. 【答案】50°题目五：已知：在图13中，AD BC ⊥于D ，EG BC ⊥于G ，且3E =∠∠．求证：AD 平分BAC ∠． 【答案】略【提示】由已知条件EG ∥AD .AB C DEABCO【知识梳理】1、 角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。
2、 角是轴对称图形，它的对称轴是这个平分线所在的直线。
3、 角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
4、 角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
5、 角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）道教的两边距离相等的点的集合。
【典型例题分析】题型一：角平分线性质定理【例1】 在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，然后，作点P 到∠AOB 两边的垂线段PD 、PE. 求证：PD=PE 【答案】略【方法总结】通过全等证明 【借题发挥】1．如图，下列推理中正确的个数是（ ）①因为OC 平分∠AOB ，点P 、D 、E 分别在OC 、OA 、OB 上，所以PD ＝PE ； ②因为P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，所以PD ＝PE ；③因为P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，且OC 平分∠AOB ，所以PD ＝PE A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 【答案】B【解析】角平分线定理：①点在角平分线上；②过点做角两边的垂线；③垂线相等.2．如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥AO 于C ，PD ⊥OB 于D ，写出图中一组相等的线段______________________（只需写出一组即可）【答案】PD CP OD OC ==;(写出一组即可)【提示】由定理能够推得PD CP =然后通过证明全等推得OD OC =3．如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C ，D ，下列结论中错误的（ •）． A ．PC=PD B ．OC=OD C ．∠CPO=∠DPO D．OC=PC 【答案】D【提示】可由定理直接推得A 正确；通过证明全等能够推得B,C 成立题型二：角平分线逆定理【例2】如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC . 【答案】略【提示】先证明C B ∠=∠,再证明△BDF ≌△CDE .【例3】如图，PA ，PC 分别是△ABC 外角∠MAC，∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD⊥BM 于D ，PF⊥BN 于F ，则BP 是DOEPA CB DOCP A B∠MBN 的平分线吗？说明理由． 【答案】是.证明略【解析】过点P 作AC 的垂线，利用定理推得PF MP ,从而证得结论成立.【借题发挥】1．如图，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置： ①在∠B 的平分线上； ②在∠DAC 的平分线上； ③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B ，∠DAC ，∠ECA 三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D【解析】由P 到BE 、BD 的距离相等推得点P 在∠B 的平分线上；由P 到BD 、AC 的距离相等推得点P 在∠DAC 的平分线上；由P 到BE 、AC 的距离相等推得点P 在∠ECA 的平分线上.2．如图，AO 、BO 分别是∠A 、∠B 的平分线， OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，垂足分别为D 、E . 求证：点O 在∠C 的平分线上.BDC OEA【分析】要证明点在角的垂直平分线上，需要证明点到该角两边的距离相等. 【答案】过点O 作OF ⊥AC ，垂足为点F.∵AO 、BO 分别是∠A 、∠B 的平分线(已知)， OE ⊥AB ，OD ⊥BC （已知）, OF ⊥AC (所作)，∴OE =OD ，OE =OF （在角的平分线上的点到这个角两边距离相等）, ∴OD =OF （等量代换）.∴点O 在∠C 的平分线上（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）. 【方法总结】遇到“角平分线”，通常过其上一点作角两边的垂线3．如图，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．【分析】判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证． 【答案】AD 平分∠BAC ．∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2．又∵PE ∥AB ，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC ．【评析】由角平分线的判定判断出PD 平分∠EPF 是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．题型三：“平行”和“角平分线”通常能够构造等腰三角形【例4】如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和； ④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．① 【答案】A【点评】很多学生认为④也正确，讲解时需注意.【结论】“角平分线”和“平行”同时出现，通常出现等腰三角形题型四：【例5】如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 、CE 交于O ，AO 平分∠BAC,求证：OB=OC. 【答案】略【提示】由定理推得OD OE ，再证明全等. 【借题发挥】1．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，BD=DC, 求证：BE=CF.【答案】略 【提示】证明△EDB ≌△FDC2.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =36cm 2，•AB=18cm ，BC=12cm ， 求DE 的长． 【答案】cm 512E D CAB FED CBAOEB CAD F【例6】一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．【答案】略【提示】作角平分线，然后根据长度确定点即可【评析】此题为角平分线定理在实际中的应用类题目.【借题发挥】1.如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．【答案】（1）图略，仓库G在∠NOQ的平分线上，（2）仓库G到铁路的实际距离是100m．【当堂检测】填空题：1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.【答案】角平分线上2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.【答案】1.5 cm3.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.【答案】30°4.如图，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则BC=_____cm.【答案】83题图4题图5题图6题图5.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF____FG，∠1+∠3=____°，∠2+∠4=____°，∠3_____∠4，CE______CF.【答案】=；90；90；=；=6.如图，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________. 【答案】垂直选择题：7.如图在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm【答案】B8.如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③【答案】D9.给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B10.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.12【答案】C11.如图4，OB、OC是∠AOD内部的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（）A.2α－βB.α－βC.α+βD.2α【答案】C12.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等【答案】D解答题：13．在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．【答案】略14．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，CD=3，求D 到AB 的距离. 【答案】315．如图，要在A 区建一个商场，使它到两条公路的距离相等，且距离两条公路的交叉口200米处，这个商场于图中的哪一个位置上？请在图上标出来，（比例尺为1∶5000）并说明理由。
等腰三角形角平分线
注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。
求证∠１＝∠２．四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB,BE平分∠ABC，点E恰在DC上，∠C=∠D=90°。
（1）求证：AE⊥BE（2）猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论。
如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．交BC于E，DBE所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝。
剖析：在处理等腰三角形的问题时，有的同学习惯上总认为腰大于底，这是造成错误的原因所在。
事实上本题有两种情况。
正解：此题有两种情况：∵BD 为等腰△ABC 的中线∴AD=DC 设AB 为x ㎝ ，BC 为ycm.(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122152y x x x 解得 ⎩⎨⎧==710y x 或 (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+152122y x x x 解得 ⎩⎨⎧==118y x 所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝或腰长为8㎝，底边长为11㎝。
三、概念不清造成的错误例3、已知在等腰三角形中，一个角是另一个角的2 倍，求等腰三角形三个内角的度数。
错解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为2 x°。
根据题意，得 x+2x+2x=180解得 x=36 ∴2x=72∴这个等腰三角形的三个内角为：36°、72°、72°.剖析：错误在于误认为等腰三角形的底角一定大于顶角，是概念不清造成的错误想法。
本题应分底角大于或小于顶角两种情况解答。
正解：当等腰三角形的底角大于顶角时，设顶角为x°，则底角为2 x°。
垂直平分线与角平分线典型题练习题
线段的垂直平分线与角平分线〔1〕经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，那么AC 的长等于〔 〕 A ．6cm B ．8cmC ．10cmD ．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若是△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若是BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若是∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. ： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
针对性练习：：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证：点O 在BC 的垂直平分线.例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。
针对性练习：1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，那么底角B 的大小为________________。
例4、如图8，AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，求证：BD ＝AC ＋CD.O B A C NB课堂练习：1.如图，AC =AD ，BC =BD ，那么〔 〕 垂直平分AD 垂直平分CD 平分∠ACB2.若是三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，那个三角形是〔 〕3.以下命题中正确的命题有〔 〕①线段垂直平分线上任一点到线段两头距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两头距离相等；③通过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，那么MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点能够作这条线段的中垂线. 个 个 个 个4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若是AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是〔 〕 A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm5.如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，求证：AO ⊥B C.6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 别离交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .课后作业：1. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.2. ：如以下图，∠ACB ，∠ADB 都是直角，且AC=AD ，P 是AB 上任意一点，求证：CP=DP 。
角平分线定理B(学生版)
学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：课题角平分线定理教学目的1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理；2．能运用角的平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.教学内容【复习与回顾】题目一：直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对题目二：如图所示，O为△ABC的三条角平分线的交点，∠BOC=120°，则∠A=题目三：如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，试说明∠A=2∠D的理由。
题目四：如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.题目五：已知：在图13中，AD BC⊥于D，EG BC⊥于G，且3E=∠∠．求证：AD平分BAC∠．AB CDEABCO【知识梳理】1、 角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。
2、 角是轴对称图形，它的对称轴是这个平分线所在的直线。
3、 角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
4、 角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
5、 角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）道教的两边距离相等的点的集合。
【典型例题分析】题型一：角平分线性质定理【例1】 在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，然后，作点P 到∠AOB 两边的垂线段PD 、PE. 求证：PD=PE【借题发挥】1．如图，下列推理中正确的个数是（ ）①因为OC 平分∠AOB ，点P 、D 、E 分别在OC 、OA 、OB 上，所以PD ＝PE ； ②因为P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，所以PD ＝PE ；③因为P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，且OC 平分∠AOB ，所以PD ＝PE A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个2．如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥AO 于C ，PD ⊥OB 于D ，写出图中一组相等的线段______________________（只需写出一组即可）3．如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C ，D ，下列结论中错误的（ •）． A ．PC=PD B ．OC=OD C ．∠CPO=∠DPO D．OC=PCDOEPA CB D OCPA B题型二：角平分线逆定理【例2】如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.【例3】如图，PA，PC分别是△ABC外角∠MAC，∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由．【借题发挥】1．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E.求证：点O在∠C的平分线上.B D COEA3．如图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．题型三：“平行”和“角平分线”通常能够构造等腰三角形【例4】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；•③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①题型四：【例5】如图，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD、CE交于O，AO平分∠BAC,求证：OB=OC.E DCBAOAD EFB C1．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=DC,求证：BE=CF.2.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，•AB=18cm，BC=12cm，求DE的长．【例6】一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．【借题发挥】1.如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．EB CADF填空题：1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.2.∠AOB的平分线上一点M ，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.3.如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.4.如图，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则BC=_____cm.3题图4题图5题图6题图5.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF____FG，∠1+∠3=____°，∠2+∠4=____°，∠3_____∠4，CE______CF.6.如图，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________. 选择题：7.如图在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm8.如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③9.给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.1211.如图4，OB、OC是∠AOD内部的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（）A.2α－βB.α－βC.α+βD.2α12.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等解答题：13．在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点． 求证：∠MOC=∠NOC ．14．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，CD=3，求D 到AB 的距离.15．如图，要在A 区建一个商场，使它到两条公路的距离相等，且距离两条公路的交叉口200米处，这个商场于图中的哪一个位置上？请在图上标出来，（比例尺为1∶5000）并说明理由。
有答案 .角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B ；【解析】由角平分线的性质，DC ＝DE ，△DEB 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝AC ＋BE＝AE ＋BE ＝AB ＝6.【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且:32AB AC =ABD 与△ACD的面积之比为（ ） A ．3：2 B ．3:2 C ．2：3 D.2:3【答案】B ；提示：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵:3:2AB AC =，则△ABD 与△ACD 的面积之比为3:2．3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是角平分线．【巩固练习】一.选择题1. AD 是△ABC 的角平分线, 自D 点向AB 、AC 两边作垂线, 垂足为E 、F, 那么下列结论中错误的是( )A.DE ＝ DFB. AE ＝ AFC.BD ＝ CDD. ∠ADE ＝ ∠ADF2．如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31B ．mn 21C ．mnD ．2mn3. 如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 44. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C ．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点5. 如图，下列条件中不能确定点O 在∠APB 的平分线上的是（ ）A ．△PBA ≌△PDC B. △AOD ≌△COBC. AB ⊥PD ，DC ⊥PBD.点O 到∠APB 两边的距离相等.6. 已知，如图，AB ∥CD ，∠BAC 、∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝5cm ，则直线AB 与CD 的距离为（ ）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm二.填空题7．如图，已知∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BD ＝2CD ，若点D 到AB 的距离等于5cm ，则BC的长为_____cm ．8. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∠1＝∠2，且AC ＝6cm ，那么线段BE 是△ABC的 ，AE ＋DE ＝ 。
角平分线的性质定理和判定
第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图第三部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，（1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．分析：（1）因为AC=BC=BD+CD ，只要证明CD=DE 即可，又因为AD 平分∠BAC ，则CD=DE ；（2）由（1）可知AC=BD+DE ，由CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，可证△ACD ≌△AED ，则AC=AE ，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB ． 解答：解：（1）∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，∴BC=BD+CD=BD+DE ，课题 11-4角平分线的性质定理和判定 学生XX年级八年级日期2012.9.22冯晓娟AC=BC，∴AC=BD+DE；（2）∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，∵AC=BD+DE，∴BD+DE=AE，∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．分析：首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．解答：证明：作ME⊥AD，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．例3.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是 多少？．分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以OD ，然后列式进行计算即可求解．解答：解：如图，连接OA ， ∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，∵△ABC 的周长是22，OD ⊥BC 于D ，且OD=3， ∴S △ABC =21×22×3=33． 故答案为：33． 第四部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．∵AO 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．在△AOD 和△AOE 中，∠ADC ＝∠AEB∠1＝∠2OA ＝OA，∴△AOD ≌△AOE （AAS ）．∴OD=OE ．在△BOD 和△COE 中，∠BDC ＝∠CEBOD ＝OE∠BOD ＝∠COE，∴△BOD ≌△COE （ASA ）．∴OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．解答：证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC中PA ＝PCPE ＝PF∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∴∠PAE=∠PCB ，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果首先要作辅助线，ME ⊥AD 则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC ，再利用中点的条件可知ME=MB ，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM 平分∠DAB ．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt △DCM ≌Rt △DEM ，推出CD=DE ，同理得出AE=AB ，即可得出答案．解答：（1）证明：作ME ⊥AD 于E ，∵MC ⊥DC ，ME ⊥DA ，MD 平分∠ADC ，∴ME=MC ，∵M 为BC 中点，∴MB=MC ，又∵ME=MC ，∴ME=MB ，又∵ME ⊥AD ，MB ⊥AB ，∴AM 平分∠DAB ．（2）解：DM ⊥AM ，理由是：∵DM 平分∠CDA ，AM 平分∠DAB ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC ∥AB ，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠21NPF CBADMA=180°-（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中DM＝DMEM＝CM∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．点评：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．解答：证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE 上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．解答：解：过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=2．∴△ABC的面积为12(9×2+6×2)＝15cm2【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE 和△DBF的面积相等”可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．解答：证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：12BF•DM，△DCE的面积为：12DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴12BF•DM=12DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．（2）求出仓库G到铁路的实际距离。
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【典型例题】
例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ;
（2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）.
分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路.
证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知），
••• ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）.
又••• AO AC （已知），
•••点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
• / ABC=Z ABC.
（2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC,
•180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC,
••• AC L BC, AC L BC,
•BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.
评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性.
例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由.
分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证.
解：AD平分Z BAC
••• D到PE的距离与到PF的距离相等，
•••点D在Z EPF的平分线上.
• Z 1 = Z 2.
又••• PE// AB •••/ 1 = Z 3.
同理，/ 2二/4.
•••/ 3=Z 4,二AD平分/ BAC
评析：由角平分线的判定判断出PD平分/ EPF是解决本例的关键.“同理” 是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”.
例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM CN相交于点P,那么AP能否平分/ BAC请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段.
解：AP平分/ BAC
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC，AC, AB的垂线，垂足分别是E、F、D.
••• BM是/ABC的角平分线且点P在BM上，
••• PD= PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
同理PF= PE,A PD= PF.
••• AP平分/ BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.
例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系.
（1）学校距铁路的距离是多少？
（2）请写出学校所在位置的坐标.
分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是4oom点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号.
解：（1）v点p在公路与铁路所夹角的平分线上，
•••点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，
又•••点P到公路的距离是4oom
•••点P （学校）到铁路的距离是400m
（2）学校所在位置的坐标是（400，—400）.
评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.
例5.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90°, AOBC, DA平分/ CAB交BC于D, 问能否在AB上确定一点巳使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E, 并给出证明；若不能，请说明理由.
分析：由于点D在/ CAB的平分线上，若过点D作DEL AB于E，则DE= DC 于是有BD+ DE= BD+ DC= BO AC,只要知道AC与AE的关系即可得出结论.
解：能.过点D作DEIAB于丘，则厶BDE勺周长等于AB的长.理由如下：
••• AD平分/ CAB DC L AC, DEL AB
••• DC= DE
在Rt △ ACD和Rt △ AED中,,
••• Rt △ AC坠Rt △ AED( HL).
••• AO AE
又••• AO BC,二AE= BC.
•••△ BDE的周长=B» DE^ BE= B» DC+ BE= BC^ BE= AE^ BE= AB.
评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系.本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化. 这是初中几何中常用的一种数学思想.
【方法总结】
学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论. 所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路.
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