高数A第9章课件：第九章习题课1

习 题 课

一．选择题

1.若级数，则级数（ ）

S u n n 收敛于∑∞=1 )(11+∞

=+∑n n n u u

2．下列级数中收敛的级数是（ ） （A）∑∞=121n n ；（B）∑∞

=+1)11ln(n n ；（C）n n n n n 1()1(1+−∑∞=；（D）dx x x n n ∑∫∞=+10411。 3．设，则级数为常数 a ]1

)sin([

12∑∞=−n n n na （ ）

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性与有关。 的取值a 4．)(!)(ln 2)

1(2R n n n n n n

n ∈α−∑∞=α（ ） （A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）不能确定其敛散性。

二．填空题

1．设常数，则当0>p p 满足条件 时，级数∑∞=π1

2sin

n p n n 收敛。

2．设，且，则 S u u n n n n =−∑∞=−11)(A nu n n =∞→lim ∑∞==0

n n u 。

三．判别下列级数的敛散性 1．∑

∞=−+12)1(2n n n 2.∑

∞=+π1

3cos n n n n 3．∑

∞=+1)1(3n n n n n

4．∑

∞=−1354n n n n 5．11ln )1(51

+−−+∑∞=n n n n n 四．解答题 1.讨论级数)0( ln )1(2>−∑∞

=a n a n

n n 的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。 2.常数，级数取什么范围时 P p n n

n n ln )1(1∑∞=−是（1）发散；（2）条件收敛；

（3）绝对收敛。

五．证明题

1．设级数收敛，且绝对收敛，试证绝对收敛。

)(11∑∞=−−n n n a a ∑∞=1n n b ∑∞

=1n n n b a 2．设函数上在1 )(≤x x f 有定义，在某邻域内具有二阶连续导数，且

的 0=x 0)(lim 0=→x x f x ，证明级数)1(1

∑∞=n n f 绝对收敛。 3．设级数∑∞=−−11n n n u u 收敛，且正项级数收敛，证明级数收敛。 ∑∞=1 n n v ∑∞

=12 n n n v u 证明：∑∞=−−11n n n u u 收敛S u u n n n 收敛于 )( 11∑∞=−−⇒S S n n =⇒∞

→lim ，

4．设∫

π=40tan xdx a n n ，（1）求)(121+∞=+∑n n n a a n 的值；（2）试证对任意的常数， 0>λ级数∑∞=λ1n n

n a 收敛。