大学基础物理学答案(习岗)第6章
新编基础物理学 第六章习题解答和分析【VIP专享】
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习题六6-1频率为的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播,棒的弹性模量Hz 41025.1⨯=ν,棒的密度.求该纵波的波长.211/1090.1m N E ⨯=33/106.7m Kg ⨯=ρ分析 纵波在固体中传播,波速由弹性模量与密度决定。
解:波速,波长 ρ/E u =νλ/u =0.4mλ==6-2一横波在沿绳子传播时的波方程为:(1)求波的振幅、波速、频率及波))(5.2cos(04.0SI x t y ππ-=长;(2)求绳上的质点振动时的最大速度;(3)分别画出t=1s 和t=2s 的波形,并指出波峰和波谷.画出x=1.0m 处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.解:(1)用比较法,由得)2cos()5.2cos(04.0x t A x t y λπϕωππ-+=-= ; ;0.04A m =/2 2.5/2 1.25Hz νωπππ===2, 2.0m ππλλ== 2.5/u m sλν==(2)0.314/m A m sνω==(3)t=1(s)时波形方程为:题图t=2(s)时波形方程为:)5.2cos(04.01x y ππ-=)5cos(04.02x y ππ-=x=1(m)处的振动方程为:)5.2cos(04.0ππ-=t y 6-3 一简谐波沿x 轴正方向传播,t=T/4时的波形图如题图6-3所示虚线,若各点的振动以余弦函数表示,且各点的振动初相取值区间为(-π,π].求各点的初相.分析 由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图。
依旋转矢量法可求t=0时的各点的相位。
解:由t=T/4时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0时的波形图(图中实线),依旋转矢量法可知质点1的初相为π;质点2的初相为π/2;质点3的初相为0;质点4的初相为-π/2.6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图6-4所示.已知A 点的振动规律为,就图中给出的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明)t cos(A y ϕ+ω=题图6-3t这四个表达式中在描写距A 点为b 处的质点的振动规律是否一样? 分析 无论何种情况,只需求出任意点x 与已知点的相位差,同时结合相对坐标的传播方向(只考虑相对于坐标方向的正负关系)即可求解波的表达。
大学物理第六章稳恒磁场习题参考答案
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第六章稳恒磁场作业集第37讲毕奥-萨伐儿定律一、Ⅰ类作业:解:根据毕奥萨伐尔定律20sin d 4d r l I B θπμ=,方向由右手定则决定。
(1)202020d 490sin d 4sin d 4d L l I L l I r l I B πμπμθπμ=︒==方向垂直纸面向里(沿z 轴负向)。
(2)00sin d 4sin d 4d 2020=︒==L l I r l I B πμθπμ(3)202020d 490sin d 4sin d 4d L l I L l I r l I B πμπμθπμ=︒==,方向沿x 轴正向。
(4)因为2245sin sin ,2222=︒==+=θL L L r ,所以2020d 82sin d 4d Ll I r l I B πμθπμ==,方向垂直纸面向里(沿z 轴负向)。
37.2教材223页第6.2、6.4、6.6题解:(1)6.2:(2)6.4:(3)6.6:二、Ⅱ类作业:解:根据磁场叠加原理可知,中心点O 的磁感应强度是两根半无限长载流导线的B 和41载流圆弧的B 的矢量和。
即321B B B B ++=其中,半无限长载流导线在其延长线上的031==B B ,41载流圆弧的R I B 802μ=,方向垂直纸面向外。
所以RI B B 802μ==,方向垂直纸面向外第38讲磁场的性质一、Ⅰ类作业:38.1一块孤立的条形磁铁的磁感应线如图所示,其中的一条磁感线用L 标出,它的一部分在磁铁里面,你能根据安培环路定理判断磁铁里面是否有电流吗?如果有穿过L 的电流方向是怎样的?解:因为磁感应强度沿L 的线积分不为零,即环量不为零,根据安培环路定理,有电流穿过环路L 。
根据右手定则,电流是垂直纸面向里。
38.2教材229页6.7、6.9题二、Ⅱ类作业:38.3如图所示,有一根很长的同轴电缆,由两层厚度不计的共轴圆筒组成,内筒的半径为1r 1,外筒的半径为r 2,在这两导体中,载有大小相等而方向相反的电流I ,计算空间各点的磁感应强度.解:该电流产生的磁场具有轴对称性,可用安培环路定理计算磁感应强度。
大学物理第6章习题参考答案
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第六章习题解答6-1 解:首先写出S 点的振动方程 若选向上为正方向,则有:0c o s02.001.0ϕ=- 21cos 0-=ϕ,0s i n 00>-=ϕωυA 0sin 0<ϕ 即 πϕ320-=或π34 初始相位 πϕ320-=则 m t y s )32cos(02.0πω-=再建立如图题6-1(a)所示坐标系,坐标原点选在S 点,沿x 轴正向取任一P 点,该点振动位相将落后于S 点,滞后时间为: ux t =∆则该波的波动方程为:m u x t y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πω32)(cos 02.0若坐标原点不选在S 点,如习题6-1图(b )所示,P 点仍选在S 点右方,则P 点振动落后于S 点的时间为: uL x t -=∆则该波的波方程为:m uL x t y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πω32)(cos 02.0若P 点选在S 点左侧,P 点比S 点超前时间为ux L -,如习题6-1图(c)所示,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=πω32)(cos 02.0u x L t y⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πω32)(cos 02.0uL x t∴不管P 点在S 点左边还是右边,波动方程为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πω32)(cos 02.0uL x t y6-2 解(1)由习题6-2图可知, 波长 m 8.0=λ 振幅A=0.5m习题6-1图习题6-1图频率 Hz 125Hz 8.0100===λuv周期 s 10813-⨯==vT ππυω2502==(2)平面简谐波标准波动方程为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ϕω)(cos u xt A y 由图可知,当t=0,x=0时,y=A=0.5m ,故0=ϕ。
将ϕπωω、、、u v A )2(=代入波动方程,得:m )100(250cos 5.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x t y π(3) x =0.4m 处质点振动方程.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)1004.0(250cos 5.0t y π m )250cos(5.0ππ-=t6-3 解(1)由习题6-3图可知,对于O 点,t=0时,y=0,故2πϕ±=再由该列波的传播方向可知,00<υ取 2πϕ=由习题6-3图可知,,40.0m OP ==λ且u=0.08m/s ,则ππλππω52rad/s 40.008.0222====u v rad/s可得O 点振动表达式为:m t y )252cos(04.00ππ+=(2) 已知该波沿x 轴正方向传播,u=0.08m/s,以及O 点振动表达式,波动方程为:m x t y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=2)08.0(52cos 04.0ππ(3) 将40.0==λx 代入上式,即为P 点振动方程:m t y y p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==ππ2152cos 04.00 (4)习题6-3图中虚线为下一时刻波形,由图可知,a 点向下运动,b 点向上运动。
大学物理学(课后答案)第5-6章
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第5章 机械振动一、选择题5-1 一个质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为2A-,且向x 轴的正方向运动,代表这个简谐振动的旋转矢量图为[ ]分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox 轴正向,同时矢端在x轴投影点的位移为2A-,满足题意,因而选(D)。
5-2 作简谐振动的物体,振幅为A ,由平衡位置向x 轴正方向运动,则物体由平衡位置运动到32Ax =处时,所需的最短时间为周期的几分之几[ ] (A) 1 /2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/12分析与解 设1t 时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动,2t 时刻物体第一次运动到32A x =处,可通过旋转矢量图,如图5-2所示,并根据公式2t T ϕπ∆∆=得31226t T T T ϕπππ∆∆===,,因而选(C)。
5-3 两个同周期简谐振动曲线如图5-3(a)所示,1x 的相位比2x 的相位[ ]O O OO A Axxx(A) (B)(D)(C)A /2-A /2 A /2 -A /2A Aωωωωx习题5-1图习题5-2图(A) 落后2π(B) 超前2π(C) 落后π (D) 超前π分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图(b ),正确答案为(B )。
5-4 一弹簧振子作简谐振动,总能量为E ,若振幅增加为原来的2倍,振子的质量增加为原来的4倍,则它的总能量为[ ](A) 2E (B) 4E (C) E (D) 16E 分析与解 因为简谐振动的总能量2p k 12E E E kA =+=,因而当振幅增加为原来的2倍时,能量变为原来的4倍,因而答案选(B)。
5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后,振幅仍为A ,则这两个简谐振动的相位差为[ ](A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 180分析与解 答案(C )。
由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为 120时,合成后的简谐运动的振幅仍为A 。
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大学物理学习指导详细答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:2第六章 相对论【例题精选】例6-1 当惯性系S 和S ′的坐标原点O 和O ′重合时,有一点光源从坐标原点发出一光脉冲,在S 系中经过一段时间t 后(在S ′系中经过时间t ′),此光脉冲的球面方程(用直角坐标系)分别为:S 系 ; S ′系 .22222t c z y x =++ 22222t c z y x '='+'+'例6-2 下列几种说法中正确的说法是: (1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的.(2) 在真空中,光的速度与光的频率、光源的运动状态无关. (3) 在任何惯性系中,光在真空中沿任何方向的传播速率都相同.(A) 只有(1)、(2) 正确. (B) 只有(1)、(3) 正确. (C) 只有(2)、(3) 正确. (D) (1)、(2)、(3)都正确. [ D ] 例6-3 经典的力学相对性原理与狭义相对论的相对性原理有何不同?答:经典力学相对性原理是指对不同的惯性系,牛顿定律和其它力学定律的形式都是相同的.狭义相对论的相对性原理指出:在一切惯性系中,所有物理定律的形式都是相同的,即指出相对性原理不仅适用于力学现象,而且适用于一切物理现象。
也就是说,不仅对力学规律所有惯性系等价,而且对于一切物理规律,所有惯性系都是等价的. 例6-4 有一速度为u 的宇宙飞船沿x 轴正方向飞行,飞船头尾各有一个脉冲光源在工作,处于船尾的观察者测得船头光源发出的光脉冲的传播速度大小为 ;处于船头的观察者测得船尾光源发出的光脉冲的传播速度大小为 . c c 例6-5 关于同时性的以下结论中,正确的是(A) 在一惯性系同时发生的两个事件,在另一惯性系一定不同时发生.(B) 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件,在另一惯性系一定同时发生.(C) 在一惯性系同一地点同时发生的两个事件,在另一惯性系一定同时发生.(D) 在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件,在另一惯性系一定不同时发生. [ C ] 例6-6静止的μ子的平均寿命约为 τ0 =2×10-6 s .今在8 km 的高空,由于π介子的衰变产生一个速度为v = 0.998 c (c 为真空中光速)的μ子,试论证此μ子有无可能到达地面. 证明:考虑相对论效应,以地球为参照系,μ子的平均寿命:62106.31)/(1-⨯=-=c v ττ s则μ 子的平均飞行距离: =⋅=τv L 9.46 km .μ 子的飞行距离大于高度,有可能到达地面.例6-7 两惯性系中的观察者O 和O ′以0.6 c (c 为真空中光速)的相对速度互相接近.如果O 测得两者的初始距离是20 m ,则O 相对O ′运动的膨胀因子γ= ;O ′测得两者经过时间∆t ′= s 后相遇.1.25(或5/4) 8.89×10-8例6-8 两个惯性系S 和S ′,沿x (x ′)轴方向作匀速相对运动. 设在S ′系中某点先后发生两个事件,用静止于该系的钟测出两事件的时间间隔为τ0 ,而用固定在S 系的钟测出这两个事件的时间间隔为τ .又在S ′系x ′轴上放置一静止于该系、长度为l 0的细杆,从S 系测得此杆的长度为l, 则 (A) τ < τ0;l < l 0. (B) τ < τ0;l > l 0.(C) τ > τ0;l > l 0. (D) τ > τ0;l < l 0. [ D ]例6-9 α 粒子在加速器中被加速,当其质量为静止质量的3倍时,其动能为静止能量的(A) 2倍. (B) 3倍. (C) 4倍. (D) 5倍. [ A ] 例6-10 匀质细棒静止时的质量为m 0,长度为l 0,当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时,测得它的长为l ,那么,该棒的运动速度v = ;该棒所具有的动能E K = .c)(020lll c m - 例6-11 观察者甲以0.8c 的速度(c 为真空中光速)相对于静止的观察者乙运动,若甲携带一长度为l 、截面积为S ,质量为m 的棒,这根棒安放在运动方向上,则甲测得此棒的密度为 ;乙测得此棒的密度为 .lSm925 例6-12 根据相对论力学,动能为0.25 MeV 的电子,其运动速度约等于(A) 0.1c (B) 0.5 c (C) 0.75 c (D) 0.85 c (c 表示真空中的光速,电子的静能m 0c 2 = 0.51 MeV) [ C ] 例6-13 令电子的速率为v ,则电子的动能E K 对于比值v / c 的图线可用下列图中哪一个图表示? (c 表示真空中光速)OE K v /c1.0(A)OE K v /c 1.0(B)OE K v /c1.0(C)OE K v /c1.0(D)[ D ]【练习题】6-1 在某地发生两件事,静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ,若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ,则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速) (A) (4/5) c . (B) (3/5) c . (C) (2/5) c . (D) (1/5) c . [ B ] 6-2 假定在实验室中测得静止在实验室中的μ+子(不稳定的粒子)的寿命为2.2×10-6 s ,当它相对于实验室运动时实验室中测得它的寿命为1.63×10-5s .则 μ+子相对于实验室的速度是真空中光速的多少倍?为什么? 答:设μ+子相对于实验室的速度为v μ+子的固有寿命τ0 =2.2×10-6 s μ+子相对实验室作匀速运动时的寿命τ0 =1.63×10-5 s按时间膨胀公式:20)/(1/c v -=ττ移项整理得: 202)/(τττ-=c v 20)/(1ττ-=c = 0.99c则 μ+子相对于实验室的速度是真空中光速的0.99倍.6-3 在S 系中的x 轴上相隔为∆x 处有两只同步的钟A 和B ,读数相同.在S '系的x '轴上也有一只同样的钟A ',设S '系相对于S 系的运动速度为v , 沿x 轴方向, 且当A '与A 相遇时,刚好两钟的读数均为零.那么,当A '钟与B 钟相遇时,在S 系中B 钟的读数是 ;此时在S '系中A '钟的读数是 .x /v 2)/(1)/(c x v v -∆6-4 两个惯性系K 与K '坐标轴相互平行,K '系相对于K 系沿x 轴作匀速运动,在K '系的x '轴上,相距为L '的A '、B '两点处各放一只已经彼此对准了的钟,试问在K 系中的观测者看这两只钟是否也是对准了?为什么?答:没对准.根据相对论同时性,如题所述在K '系中同时发生,但不同地点(x '坐标不同)的两事件(即A '处的钟和B '处的钟有相同示数),在K 系中观测并不同时;因此,在K 系中某一时刻同时观测,这两个钟的示数必不相同. 6-5 边长为a 的正方形薄板静止于惯性系K 的Oxy 平面内,且两边分别与x ,y 轴平行.今有惯性系K '以 0.8c (c 为真空中光速)的速度相对于K 系沿x 轴作匀速直线运动,则从K '系测得薄板的面积为 (A) 0.6a 2. (B) 0.8 a 2. (C) a 2. (D) a 2/0.6 . [ A ] 6-6 狭义相对论确认,时间和空间的测量值都是 ,它们与观察者的 密切相关.相对的 运动6-7 地球的半径约为R 0 = 6376 km ,它绕太阳的速率约为=v 30 km ·s -1,在太阳参考系中测量地球的半径在哪个方向上缩短得最多?缩短了多少? (假设地球相对于太阳系来说近似于惯性系) 答:在太阳参照系中测量地球的半径在它绕太阳公转的方向缩短得最多.20)/(1c R R v -=其缩短的尺寸为: ∆R = R 0- R ))/(11(20c R v --= 220/21c R v ≈∆R =3.2 cm6-8 有一直尺固定在K ′系中,它与Ox ′轴的夹角θ′=45°,如果K ′系以匀速度沿Ox 方向相对于K 系运动,K 系中观察者测得该尺与Ox 轴的夹角(A) 大于45°. (B) 小于45°. (C) 等于45°.(D) K ′系沿Ox 正方向运动时大于45°,K ′系沿Ox 负方向运动时小于45°. [ A ]6-9 在狭义相对论中,下列说法中哪些是错误的? (A) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速.(B) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的. (C) 在一惯性系中发生于同一时刻,不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的. (D) 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时,会看到这只时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些. [ C ] 6-10 观察者甲以 0.8c 的速度(c 为真空中光速)相对于静止的观察者乙运动,若甲携带一质量为1 kg 的物体,则甲测得此物体的总能量为 ;乙测得此物体的总能量为 .9×1016 J 1.5×1017 J 6-11 一个电子以0.99 c 的速率运动,电子的静止质量为9.11×10-31 kg ,则电子的总能量是 J ,电子的经典力学的动能与相对论动能之比是 .5.8×10-13 8.04×10-2 6-12 一匀质矩形薄板,在它静止时测得其长为a ,宽为b ,质量为m 0.由此可算出其面积密度为m 0 /ab .假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度v 作匀速直线运动,此时再测算该矩形薄板的面积密度则为(A) ab c m 20)/(1v - (B) 20)/(1c ab m v - (C) ])/(1[20c ab m v - (D) 2/320])/(1[c ab m v - [ C ] 6-13 一体积为V 0,质量为m 0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A 以速度v 运动.观察者A 测得其密度是多少?为什么? 答:设立方体的长、宽、高分别以x 0,y 0,z 0表示,观察者A 测得立方体的长、宽、高分别为2201c x x v -=,0y y =,0z z =. 相应体积为 2201cV xyz V v -==∵质量 2201cm m v -=故相应密度为 V m /=ρ2222011/cV c m v v --=)1(2200c V m v -=6-14 质子在加速器中被加速,当其动能为静止能量的4倍时,其质量为静止质量的(A) 4倍. (B) 5倍. (C) 6倍. (D) 8倍. [ B ]。
大学物理习题答案第六章
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[习题解答]6-2 一个运动质点的位移与时间的关系为m ,其中x的单位是m,t的单位是s。
试求:(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位;(2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。
解(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式相比较,可以得到角频率s 1, 频率, 周期, 振幅, 初相位.(2) t = 2 s时质点的位移.t = 2 s时质点的速度.t = 2 s时质点的加速度.6-3 一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端,弹簧的另一端被固定。
若弹簧受10 N的拉力,其伸长量为5.0 cm,求物体的振动周期。
解根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数,于是,振动系统的角频率为.所以,物体的振动周期为.6-4求图6-5所示振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。
解以平衡位置O为坐标原点,建立如图6-5所示的坐标系。
若物体向右移动了x,则它所受的力为.根据牛顿第二定律,应有图6-5,改写为.所以,.6-5 求图6-6所示振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。
解以平衡位置O为坐标原点,建立如图6-6所示的图6-6坐标系。
当物体由原点O向右移动x时,弹簧1伸长了x1 ,弹簧2伸长了x2 ,并有.物体所受的力为,式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。
由上式可得, .于是,物体所受的力可另写为,由上式可得,所以.装置的振动角频率为,装置的振动频率为.6-6仿照式(6-15)的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。
解由教材中的例题6-3,单摆的角位移θ与时间t的关系可以写为θ = θ0 cos (ω t+ϕ) ,单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能,另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即,因为, 所以上式可以化为.于是就得到,由此可以求得单摆系统中物体的速度为.这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。
大学基础物理学课后习题答案_主编习岗_高等教育出版社
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大学基础物理课后答案主编:习岗高等教育出版社第一章 思考题:<1-4> 解:在上液面下取A 点,设该点压强为A p ,在下液面内取B 点,设该点压强为B p 。
对上液面应用拉普拉斯公式,得 A A R p p γ20=- 对下液面使用拉普拉斯公式,得 BB 02R p p γ=- 又因为 gh p p ρ+=A B将三式联立求解可得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 112R R g h ργ<1-5> 答:根据对毛细现象的物理分析可知,由于水的表面张力系数与温度有关,毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化,温度越低,毛细水上升的高度越高。
在白天,由于日照的原因,土壤表面的温度较高,土壤表面的水分一方面蒸发加快,另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因温度升高而下降,这两方面的原因使土壤表层变得干燥。
相反,在夜间,土壤表面的温度较低,而土壤深层的温度变化不大,使得土壤颗粒间的毛细水上升;另一方面,空气中的水汽也会因为温度下降而凝结,从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。
<1-6> 答:连续性原理是根据质量守恒原理推出的,连续性原理要求流体的流动是定常流动,并且不可压缩。
伯努利方程是根据功能原理推出的,它的使用条件是不考虑流体的黏滞性和可压缩性,同时,还要求流动是定常流动。
如果流体具有黏滞性,伯努利方程不能使用,需要加以修正。
<1-8> 答:泊肃叶公式适用于圆形管道中的定常流动,并且流体具有黏滞性。
斯托克斯公式适用于球形物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。
练习题:<1-6> 解:设以水坝底部作为高度起点,水坝任一点至底部的距离为h 。
在h 基础上取微元d h ,与之对应的水坝侧面面积元d S (图中阴影面积)应为坡长d m 与坝长l 的乘积。
练习题1-6用图d h d F由图可知 osin60d sin d d hh m ==θ 水坝侧面的面积元d S 为 d d d sin 60hS l m l该面积元上所受的水压力为 0d d d [(5)]sin 60hFp Sp ρg h l水坝所受的总压力为 ()[]N)(103.760sin d 5d 855o0⨯=-+==⎰⎰h l h g p F F ρ(注:若以水坝的上顶点作为高度起点亦可,则新定义的高度5h h ,高度微元取法不变,即d d h h ,将h 与d h 带入水坝压力积分公式,同样可解出水坝所受压力大小。
大学物理答案6.第六章
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大学物理答案6.第六章第六章机械运动和机械波思考题6-35简谐振动中相位为φ、π+φ、2π+φ、3π+φ、….时描述的是同一运动状态吗?为什么?6-36 对一简谐振动系统,画出其动能和势能关于时间变量的曲线,并分析两者反相的物理意义。
6-37 将单摆摆线从铅直方向拉到φ角的位置撒手任其摆动。
这里φ角是初相位吗?若不是,它将对应什么物理量?6-38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟,并让水从球体缓慢流出,试描述其摆动周期的变化情况。
6-39 利用受迫振动的稳定解(6.19)式说明为什么恒力不能导致受迫振动。
(提示:恒力的频率ω可视为零)6-40 在太空中能听到声音吗?为什么?6-41 在较长时间间隔(Δt>>T)内,任意以t为变量的正弦(或余弦)型函数的平均值均为零,例如:==0,其中α是任意常数。
试据此推导(6.11)、(6.12)及(6.40)式。
6-42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。
它在深海区域并不易被察觉,但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。
试从能量角度分析其中的原因。
6-43 描述机械波时间周期性的物理量由周期T、频率v和圆频率ω给出。
类似地,我们可以用λ、1λ、2πλ描述波的空间周期性,试说明这三个量对应的物理意义。
6-44 试解释弦乐器的以下现象:(1)较松的弦发生的音调较低,而较紧的弦则音调较高;(2)较细的弦发生的音调较高,而较粗的弦则音调较低(古人称之为“小弦大声,大弦小声”);(3)正在振动的两端固定的弦,若用手指轻按弦的中点时,音调变高到两倍,若改按弦的三分之一处时,音调增至三倍;(4)用力弹拨琴弦(而非用手指按弦)时,能同时听到若干音调各异的声音。
(提示:音调高低与弦振动的频率成正比。
此外,在(4)情形中弦以基频振动的同时还以若干泛频振动。
)习题6-1 如题6-1图所示,用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来,悬线oc 通过圆盘质心,圆盘呈水平状态,这个装置称为扭摆,当使圆盘转过一个角度时,金属丝受到扭转,从而产生一个扭转的恢复力矩。
大学物理第六章练习答案
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第六章 热力学基础练 习 一一. 选择题1. 一绝热容器被隔板分成两半,一半是真空,另一半是理想气体,若把隔板抽出,气体将进行自由膨胀,达到平衡后 A (A) 温度不变,熵增加; B 温度升高,熵增加;C 温度降低,熵增加;D 温度不变,熵不变; 2. 对于理想气体系统来说,在下列过程中,哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作做的功三者均为负值; C A 等容降压过程; B 等温膨胀过程; C 等压压缩过程; D 绝热膨胀过程; 3. 一定量的理想气体,分别经历如图11所示的abc 过程图中虚线ac 为等温线和图12所示的def 过程图中虚线df 为绝热线 ; 判断这两过程是吸热还是放热: A A abc 过程吸热,def 过程放热; B abc 过程放热,def 过程吸热; C abc 过程def 过程都吸热; D abc 过程def 过程都放热;4. 如图2,一定量的理想气体,由平衡状态A 变到平衡状态B A p =B p ,则无论经过的是什么过程,系统必然 B(A) 对外做正功; B 内能增加; C 从外界吸热; D 向外界放热; 二.填空题1. 一定量的理想气体处于热动平衡状态时,此热力学系统不随时间变化的三个宏观量是P V T ,而随时间变化的微观量是每个分子的状态量; 2. 一定量的单原子分子理想气体在等温过程中,外界对它做功为200J,则该过程中需吸热__-200__ ___J;3. 一定量的某种理想气体在某个热力学过程中,外界对系统做功240J,气体向外界放热620J,则气体的内能 减少,填增加或减少,21E E = -380 J;4. 处于平衡态A 的热力学系统,若经准静态等容过程变到平衡态B,将从外界吸热416 J,若经准静态等压过程变到与平衡态B 有相同温度的平衡态C,将从外界吸热582 J,所以,从平衡态A 变到平衡态C 的准静态等压过程中系统对外界所做的功为 582-416=166J ;图.2图1图3三.计算题1. 一定量氢气在保持压强为×510Pa 不变的情况下,温度由0 ℃ 升高到50.0℃时,吸收了×104J 的热量;1 求氢气的摩尔数2 氢气内能变化多少3 氢气对外做了多少功4 如果这氢气的体积保持不变而温度发生同样变化、它该吸收多少热量解: 1由,22p m i Q vC T vR T +=∆=∆ 得 422 6.01041.3(2)(52)8.3150Q v mol i R T ⨯⨯===+∆+⨯⨯ 24,541.38.3150 4.291022V m i E vC T v R T J ∆=∆=⨯∆=⨯⨯⨯=⨯ 344(6.0 4.29)10 1.7110A Q E J =-∆=-⨯=⨯ 444.2910Q E J =∆=⨯2. 一定量的理想气体,其体积和压强依照V =aP 的规律变化,其中a 为常数,试求:1 气体从体积1V 膨胀到2V 所做的功;2体积为1V 时的温度1T 与体积为2V 时的温度2T 之比;1:⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===21212122211V V V V V V a dV Va PdV W 2: 111nRT V P =1221V V T T = 3. 一热力学系统由如图3所示的状态a 沿acb 过程到达状态b 时,吸收了560J 的热量,对外做了356J 的功;1 如果它沿adb 过程到达状态b 时,对外做了220J 的功,它吸收了多少热量2 当它由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时,外界对它做了282J 的功,它将吸收多少热量 是真吸了热,还是放了热解: 根据热力学第一定律 Q E W =+1∵a 沿acb 过程达到状态b,系统的内能变化是:560356204ab acb acb E Q W J J J =-=-=由于内能是状态系数,与系统所经过的过程无关 ∴系统由a 沿acb 过程到达状态b 时204ab E J =系统吸收的热量是:204220424ab acb Q E W J J J =+=+=2系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时,系统的内能变化:204ba ab E E J =-=-[]204(282)486ba ba Q W J J ∴+=-+-=-即系统放出热量486J第六章 热力学基础练 习 二一. 选择题1. 如图1所示,一定量的理想气体从体积1V 膨胀到体积2V 分别经历的过程是:A →B 等压过程, A →C 等温过程,A →D 绝热过程;其中吸热最多的过程 AA 是A →B ; B 是A →C ; C 是A →D ; D 既是A →B,也是A → C,两者一样多;2. 用公式V E C T ∆=μ∆ 式中V C 为定容摩尔热容量,μ为气体摩尔数,计算理想气体内能增量时,此式 D(A) 只适用于准静态的等容过程; B 只适用于一切等容过程; C 只适用于一切准静态过程; D 适用于一切始末态为平衡态的过程;3. 用下列两种方法: 1 使高温热源的温度1T 升高T ∆, 2 使低温热源的温度2T 降低同样的T ∆值,分别可使卡诺循环的效率升高1∆η和2∆η,两者相比: BA 1∆η> 2∆η;B 2∆η>1∆η;C 1∆η= 2∆η;D 无法确定哪个大; 二. 填空题1. 同一种理想气体的定压摩尔热容P C 大于定容摩尔热容V C , 其原因是 除了增加内能还需对外做功 ;1 2图1图32. 常温常压下,一定量的某种理想气体视为刚性分子,自由度为i ,在等压过程中吸热为Q,对外做功为A ,内能增加为E ∆, 则A/Q =i +22, ∆E/Q = ii +2; 3.一卡诺热机可逆的,低温热源的温度为27℃,热机效率40%,其高温热源温度为C 127T 1=;今欲将热机效率提高为50%,若低温热源保持不变,则高温热源的温度增加C 200T =∆;4.如图2所示,一定量的理想气体经历a →b →c 过程, 在此过程中气体从外界吸收热Q ,系统内能变化∆E , 请在以下空格内填上>0或<0或=0; Q >0 , ∆E >0 ; 三. 计算题1. 如图3所示两端封闭的水平气缸,被一可动活塞平分为左右两室,每室体积均为0V ,其中装有温度相同、压强均为0P 的同种理想气体,现保持气体温度不变,用外力缓慢移动活塞忽略摩擦,使左室气体的体积膨胀为右室的2倍,问外力必须做多少功 解:x V P S V V P S P F 0010011===, xl VP F -=002 ()()[]89ln ln 003221003221322121V P x l x V P dx F F Fdx W l l l l l l =-=-==⎰⎰2. 比热容比γ = 的理想气体,进行如图4所示的ABCA 循环,状态A 的温度为300K; 1求状态B 、C 的温度;2计算各过程中气体吸收的热量、气体所做的功和气体内能的增量;RT MmPV =得:KT C K T B R mMA CB 75:225:3002400:==⨯=⨯A C →等体过程,EJ T i R m M Q W ∆-==∆==15002图2图4图5JE W Q J T R i m M E J PdV W BA 50050021000=∆+=-=∆=∆==→⎰C B →等压过程JE W Q J T R i m M E J PdV W 140010002400-=∆+=-=∆=∆-==⎰3. 如图5为一循环过程的T —V 图线;该循环的工质是一定质量的理想气体;其,V m C 和γ均已知且为常量;已知a 点的温度为1T ,体积为1V ,b 点的体积为2V ,ca 为绝热过程;求:1 c 点的温度;2 循环的效率;解: 1c a 为绝热过程,11112r r a c a c V V T T T V V --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2a b 等温过程,工质吸热211lnV Q vRT V = bc 为等容过程,工质放热为11..1.12()11r c V m b c V m V m T V Q vC T T vC T vC T T V -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦循环过程的效率112.2211111ln r V mV V C Q V Q RV η-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-第六章 热力学基础练 习 三一. 选择题1. 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小图1中阴影部分分别为S 1和S 2 ,则二者的大小关系是 BA S 1 > S 2 ;B S 1 = S 2 ;C S 1 < S 2 ;D 无法确定; 2. 在下列说法中,哪些是正确的 C1 可逆过程一定是平衡过程;2 平衡过程一定是可逆的;3 不可逆过程一定是非平衡过程;4 非平衡过程一定是不可逆的;A 1、4 ;B 2、3 ;C 1、2、3、4 ;D 1、3 ; 3. 根据热力学第二定律可知 DA 功可以全部转换为热,但热不能全部转换为功;B 热可以从高温物体传到低温物体,但不能从低温物体传到高温物体;C 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程;D 一切自发过程都是不可逆的;4.“理想气体和单一热源接触作等温膨胀时,吸收的热量全部用来对外做功”;对此说法,有以下几种评论,哪种是正确的 CA 不违反热力学第一定律,但违反热力学第二定律; (B) 不违反热力学第二定律,但违反热力学第一定律; (C) 不违反热力学第一定律,也不违反热力学第二定律; (D) 违反热力学第一定律,也违反热力学第二定律; 二. 填空题1. 如图2的卡诺循环:1abcda,2dcefd,3abefa ,其效率分别为:1η= 1/3 , 2η= 1/2 ,3η= 2/3 ;2. 卡诺致冷机,其低温热源温度为T 2=300K ,高温热源温度为T 1=450K ,每一循环从低温热源吸热Q 2=400J ,已知该致冷机的致冷系数ω=Q 2/A=T 2/T 1-T 2 式中A 为外界对系统做的功,则每一循环中外界必须做功A= 200J ;3. 1 mol 理想气体设γ = C p / C V 为已知的循环过程如图3的T —V 图所示,其中CA 为绝热过程,A 点状态参量T 1,V 1和B 点的状态参量T 1,V 2为已知,试求C 点的状态量:V c =2V ,T c =1121T VV r -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,P c =r r V V RT 2111-;三. 计算题1. 一热机在1000K 和300K 的两热源之间工作,如果 1 高温热源提高为1100K ;2 低温热源降低为200K,从理论上说,热机效率各可增加多少为了提高热机效率哪一种方案为好 热机在1000K 和300K 的两热源之间工作,121T T T -=η,%7010003001000=-=η 解: 高温热源提高为1100K :%73.72110030011001=-=η,效率提高:%73.2=η∆低温热源降低为200K : %80100020010002=-=η,效率提高:%10=η∆提高热机效率降低低温热源的温度的方案为好;2. 1 mol 单原子分子理想气体的循环过程如图4的T —V 图所示, 其中c 点的温度为T c =600K,试求: 1ab 、bc 、ca 各个过程系统吸收的热量;2经一循环系统所做的净功;3循环的效率;注: 循环效率η=A/Q 1,A 为循环过程系统对外做的净功,Q 1为循环过程系统从外界吸收的热量,1n2=解: 由b b b a a a T VP T V P =,得K T b 300=J V V RT Q baca 0.34562ln 60031.8ln=⨯⨯== 等温过程 ()()J T T C Q b c v bc 5.373930060031.823=-⨯=-= 等容过程 ()()J T T C Q a b b ab 5.623260030031.825-=-⨯=-= 等压过程图2图3图4()6232.524932ab ab b a iW Q E R T T J=-∆=---=-J Q W ca ca 0.3456==%38.132********=+-==bcca Q Q Q A η。
大学物理课后答案第六章真空中的静电场
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⼤学物理课后答案第六章真空中的静电场习题66-1 解:以x 轴上的点电荷Q 作为研究对象,其受q 的作⽤⼒具有对称性,所受合⼒沿x 轴,即F=qx Q x F F F 2+=其中:202)2(4a Q F Q πε=;02045cos 4aqQ F qx πε=所以:02020245cos 42)2(4a qQ a Q F πεπε+=令上式为零可得:q Q 22-= 6-2 解:据分析,3E 只能取垂直⽅向,D 点的场强如图所⽰:xa1q q 3(1)D 点的合场强的垂直分量为零,0cos 32=+E E θ,即32co s E E -=θ带⼊点电荷场强关系式,得203220422)2(41aq a q πεπε-=?C q 9310*9.9--= (2)22201021?+=+=a q a q E E E πεπε =m v /10*79.16-6-3 长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m -1的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强.解:如题6-3图所⽰(1)在带电直线上取线元x d ,其上电量q d 在P 点产⽣场强为20)(d π41d x a xE P -=λε 222)(d π4d x a xE E l l P P -==?-ελ]2121[π40l a l a +--=ελ)4(π220l a l-=ελ0.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代⼊得21074.6?=P E 1C N -? ⽅向⽔平向右(2)同理 2220d d π41d +=x xE Q λε⽅向如题8-6图所⽰由于对称性?=l Qx E 0d ,即Q E只有y 分量,∵ 22222220dd d d π41d ++=x x xE Qyλε22π4d d ελ?==lQyQy E E ?-+2223222)d (d l l x x2220d4π2+=l lελ0.5-?=λ1cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代⼊得21096.14?==Qy Q E E 1C N -?,⽅向沿y 轴正向6-4 ⼀个半径为R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环⼼处O 点的场强.解: 如6-4图在圆上取?Rd dl =题6-4图λλd d d R l q ==,它在O 点产⽣场强⼤⼩为 20π4d d R R E ε?λ=⽅向沿半径向外则 ??ελd sin π4sin d d 0RE E x ==ελπd cos π4)cos(d d 0RE E y -=-=积分RR E x 000π2d sin π4ελελπ==0d cos π400=-=?ελπRE y∴ RE E x 0π2ελ=6-5解:如图所⽰,将半球⾯分割成⽆数半径不等环⾯与X 轴垂直的细圆环,图中圆环所带电荷量θθπλλγd ds dq sin 22==,该带电细圆环在O 点产⽣的电场强度为E d =()i xdqy x o224123+επ由⼏何关系,θγcos =x θγs i n =yγ222=+yx有 E d=()i xdq y x o224123+επ = επo41i dθθπσθγγγsin 2cos 2=i d oθθθσεcos sin 2球⼼处的电场强度:i i d E d E o oεεσθθθσπ4cos sin 220===??6-6解:将球⾯沿垂直于X轴的⽅向分割成⽆数半径不等的细圆环,圆中阴影环的带电荷量为:ααπσσRd R ds dq sin 2==在P 点的场强为:θααπσπεθπεαcos sin 241cos 42020r Rd R r d dE ?==(1)⽅向沿X 轴正⽅向(设0>α)如图由余弦定理θc o s 2222xy r x R -+=得: xrR r x 2cos 222-+=θ(2)⼜由余弦定理得:(3)式两边微分得:ααd Rx rdr sin 22= 得:xr dd R =ααs i n(4)将(1)、(2)、(3)式代⼊(1)式得:dr rR x x R rx R r x xr Rrdr E d 2222022220142241-+=-+?=εσπσπε(1)球⾯外(R x >)任⼀点P 的场强值+-= ?-+==x R x R x qdr r R x x R dE E 2022220414πεεσ(2)球⾯内:(R x <)+-=?-+==x R x R dr r R x x R dE E 01422220εσ6-7均匀带电的细线弯成正⽅形,边长为l ,总电量为q .求这正⽅形轴线上离中⼼为r 处的场强E .解: 如6-7图⽰,正⽅形⼀条边上电荷4q在P 点产⽣物强P E d ⽅向如图,⼤⼩为()4π4cos cos d 22021l r E P +-=εθθλ∵ 22cos 221l r l +=π4d 22220l r l l r E P ++=ελP Ed 在垂直于平⾯上的分量βcos d d P E E =⊥∴ 424π4d 2222220l r rl r l r lE +++=⊥ελ题6-7图由于对称性,P 点场强沿OP ⽅向,⼤⼩为2)4(π44d 422220l r l r lrE E P ++==⊥ελE P ++=ε⽅向沿OP6-8如题6-8)图所⽰,在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平⾯.q 在该平⾯轴线上的A 点处,求:通过圆平⾯的电通量.解:题6-8图∵通过半径为R 的圆平⾯的电通量等于通过半径为22x R +的球冠⾯的电通量,球冠⾯积*]1)[(π22222xR x x R S +-+=∴ )(π42200x R Sq +=Φε02εq=[221xR x +-]*关于球冠⾯积的计算:见题8-9(c)图ααα)cos 1(π22α-=r6-9 解: ⾼斯定理0d ε∑?=?q S E s,02π4ε∑=q r E当5=r cm 时,0=∑q ,0=E15r =cm 时,∑q 3π4p=3(r )3内r - ∴ ()2023π43π4rr r E ερ内-=3.98≈1C N -?,⽅向沿半径向外. 50r =cm 时,3π4∑=ρq -3(外r )内3r∴ ()33204π3 1.064πr r E r ρε-=≈外内 1C N -? 沿半径向外. 6-10 解:由⾼斯定理得:= dv s d E Sρε0球体内: E(r)? 4πr 2='rr k 041πεr d r ''2=4r k επ r e kr r E24)(ε= ,0球体外:4202414)(R R r d r r k r r E Rεππεπ=''?'=2044)(r rkR r Eε= (r>R ) 6-11 半径为1R 和2R (2R >1R )的两⽆限长同轴圆柱⾯,单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r <1R ;(2) 1R <r <2R ;(3) r >2R 处各点的场强.解: ⾼斯定理0d ε∑?=q S E s取同轴圆柱形⾼斯⾯,侧⾯积rl S π2=则 rl E S E Sπ2d =??对(1) 1R r <0,0==∑E q(2) 21R r R << λl q =∑∴ rE 0π2ελ=沿径向向外(3) 2R r >题6-12图6-12 两个⽆限⼤的平⾏平⾯都均匀带电,电荷的⾯密度分别为1σ和2σ,试求空间各处场强.解: 如题6-12图⽰,两带电平⾯均匀带电,电荷⾯密度分别为1σ与2σ,两⾯间, n E)(21210σσε-=1σ⾯外, n E)(21210σσε+-= 2σ⾯外, n E)(21210σσε+= n:垂直于两平⾯由1σ⾯指为2σ⾯.6-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去⼀块半径为r <R 的⼩球体,如题8-13图所⽰.试求:两球⼼O 与O '点的场强,并证明⼩球空腔内的电场是均匀的.解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀⼩球的组合,见题6-13图(a).(1) ρ+球在O 点产⽣电场010=E,ρ- 球在O 点产⽣电场'dπ4π3430320OO r E ερ=∴ O 点电场'd33030OO r E ερ= ; (2) ρ+在O '产⽣电场'd π4d 3430301OO E ερπ=' ρ-球在O '产⽣电场002='E∴ O ' 点电场 003ερ='E'OO题6-13图(a) 题6-13图(b)(3)设空腔任⼀点P 相对O '的位⽮为r',相对O 点位⽮为r (如题6-13(b)图)E PO =,3ερr E O P '-=' ,∴ 0003'3)(3ερερερdOO r r E E E O P PO P=='-=+=' ∴腔内场强是均匀的.6-15解:将这⼀平⾯看作是由⼀系列环带所组成,取以O 为圆⼼,半径为r, 宽度为dr 的环带作为⾯元,该⾯元所带电量为rdrds dq πσσ2=?=rdr dq πσ2=该带电圆环在其轴线上P 点处的电场强度E d的⽅向沿X 轴正向,其⼤⼩为2322023220)(2)(41r x rdrx r x xdqdE +??=+?=εσπε做积分可得轴线上P 点的总场强:+2122023220)(2)(2x R xr x rdr x E R +?=+?=?∞εσεσ6-16解:① aqa q a q a q U 0002334πεπεπεπε-=-+-+=② aqQQ U U A 0023)(πε-=?-=∞题6-17图6-17 如题6-17图所⽰,在A ,B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷,AB 间距离为2R ,现将另⼀正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点,求移动过程中电场⼒作的功.解: 如题6-17图⽰0π41ε=O U 0)(=-RqR q0π41ε=O U )3(R qR q -Rq 0π6ε-= ∴ Rqq U U q A o C O 00π6)(ε=-=6-18 如题6-18图所⽰的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R .试求环中⼼O 点处的场强和电势.解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB 和CD 段电荷在O 点产⽣的场强互相抵消,取θd d R l =则θλd d R q =产⽣O 点Ed 如图,由于对称性,O 点场强沿y 轴负⽅向题6-18图θεθλππcos π4d d 222R E E y R 0π4ελ=[)2sin(π-2sin π-]R0π2ελ-=(2) AB 电荷在O 点产⽣电势,以0=∞U===AB200012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ同理CD 产⽣ 2ln π40 2ελ=U半圆环产⽣ 0034π4πελελ==R R U ∴ 0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O 6-19解:⑴如图所⽰,建⽴坐标V ala x dx U la ap 300105.2ln 44?=+==?+πελπελV x b dxU l l Q 32220103.44?=+=?-πελ6—22解:⑴在板状圆环上取半径为为1r ,宽为dr 的环带作为⾯元,该⾯元的带电量为:rdr rdr ds dq πσπσσ22=?==该带电圆环在轴线上P 点的电势为21)(2)(42221220r x rdr r x dq dU +?=+=πσπε积分可得点P 的总电势+-+=+=+=212222022021222|2)(22121R x R x r x r x rdr U R R R R P εσεσεσ⑵⼩球在下落过程中,电场⼒和重⼒都在对⼩球做功,我们对⼩球应⽤质点动能定理,则有221mv A A =+电重下落过程中重⼒的做功为:mgx A =重电场⼒能做的功为:)(00U U q l d E q A p p--=?-=?电由第⼀问得的结果可知,环⼼处的电势为:)(21200R R U -=εσ由此可知,)(2)(2121221200R x R x R R q U U q A p +++--=--=εσ电将上述结果带⼊动能定理中得由此可得⼩球到环⼼O 处的速度为()121222212022??+++--+=R x R x R R gx v εσ6—23解:参考6—19题i xa ar x U E x z dzU p p aap 220220244+?=??-=+=?-πελπεσ。
大学物理第6章含答案
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06章一、填空题(一)易(基础题)1、热力学第二定律的微观实质可以理解为:在孤立系统内部所发生的不可逆过程,总是沿着熵增大的方向进行。
2、热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述是等价的,表明在自然界中与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的,开尔文表述指出了 _____功热转换__________ 的过程是不可逆的,而克劳修斯表述指出了—热传导___________ 的过程是不可逆的.3•一定量的某种理想气体在某个热力学过程中,外界对系统做功240J,气体向外界放热620J,则气体的内能减少(填增加或减少),E2 —E i= -380 J 。
4•一定量的理想气体在等温膨胀过程中,内能不变,吸收的热量全部用于对外界做功。
5•一定量的某种理想气体在某个热力学过程中,对外做功120J,气体的内能增量为280J,则气体从外界吸收热量为400 J 。
6、在孤立系统内部所发生的过程,总是由热力学概率小的宏观状态向热力学概率大的宏观状态进行。
7、一定量的单原子分子理想气体在等温过程中,外界对它作功为200J.则该过程中需吸热-200 J.3为_7.48 幻0 J.2、气体经历如图2所示的一个循环过程,在这个循环中,外界传给气体的净热量是90J 。
3、一热机由温度为727 C的高温热源吸热,向温度为527 C的低温热源放热。
若热机可看作卡诺热机,且每一循环吸热2000J,则此热机每一循环作功400 J 。
4、1mol的单原子分子理想气体,在1atm的恒定压强下,从0 C加热到100 C ,则气体的内能改变了1.25 101 2 3 4 5 _________________ J。
(摩尔气体常量-1 -1R=831J • mol •K )5、一系统由图6中的a态沿abc到达a态时,吸收了911J的热量. 同时对外作478J的功.如果由a 态沿adc到达c态,则系统作功121J, 吸热_554_ J.当系统由c态沿曲线ca返回a态时,如果外界对系统作功268J,则系统吸热-701 J.(三)难(综合题)2双原子分子理想气体,作等压膨胀.若气体膨胀过程从热源吸收热量700J,则该气体对外做功_200_ J.3如图2所示,一定量的双原子分子理想气体,沿12341变化。
大学基础物理学答案(习岗)第6章
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第六章 稳恒磁场本章提要1. 磁感应强度描述磁场力的属性的物理量是磁感应强度,常用B 来表示。
其定义式为 qvF B max=在SI 制中,B 的单位为特斯拉(T )。
B 另一个单位为高斯(G),两者的换算关系为1T=104G2. 毕奥—萨伐尔定律(1) 毕奥—萨伐尔定律∙ 毕奥—萨伐尔定律的微分形式电流元I d l 在真空中任一点P 所产生的磁感应强度d B 的大小与电流元的大小成正比,与电流元I d l 和r 的夹角的正弦成正比,与电流元到P 点的距离的平方 成反比。
d B 的方向垂直于I d l 和r 所组成的平面,指向与矢积I d l ×0r 的方向相同,即002d d 4I r l r B m p ´=其中, 7-20410N A m p -=醋,称真空磁导率。
∙ 毕奥—萨伐尔定律的积分形式002d d 4llI r μπ⨯==⎰⎰l r B B(2)几种典型的磁场分布 ∙ 无限长直电流的磁场分布02IB rm p =∙ 载流长直螺线管内的磁场分布0B nI m =∙ 运动电荷的磁场分布0024q r v r B m p ´=3. 磁高斯定理∙ 磁通量穿过磁场中某一面积S 的磁通量定义为d B S m sΦ=蝌∙ 磁高斯定理通过空间中任意封闭曲面的磁通量必为零,即d 0SB S =蝌g Ò4. 安培环路定理在真空中的稳恒磁场内,磁感应强度B 的环流等于穿过积分回路的所有传导电流强度代数和的0μ倍,即0in d LI B r m ?åòÑ5. 安培力与洛仑兹力(1)安培力载流导线在磁场中受到的宏观力称安培力。
安培力服从安培定律。
∙ 安培定律的微分形式放在磁场中任一点处的电流元d I l 所受到的磁场作用力d F 的大小与电流元d I l 的大小和该点的磁感应强度B 的大小成正比,还与电流元d I l 的方向和B 的方向之间的夹角θ的正弦成正比,d F 的方向为d I ⨯l B 所确定的方向。
大学物理第六章 习题答案
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第六章 热力学基础 习题答案一、单选题1-5 DAACD 6-10 ADCDA二、填空题1. 500J; 700J2. 3/2 P 1V 1;03. 1/2; 24.33.3% ; 8.31⨯103J5. 320K ; 4三、计算题1.解:由题意可知:气体经历等压变化,且对外做功为:(1)若气体为单原子分子,即: i=3(2)若气体为双原子分子,即: i=52.解:(1)因为气体为卡诺循环,且高温T 1 = 1000 K ,低温T 2 = 300 K 该循环的效率满足:(2)若低温热源不变,设高温热源温度为T 1,则有:解得: T 1 = 1500 K 即高温热源温度需提高500K(3)若高温热源不变,设低温热源温度为T 2,则有:JT R MV p A 200=∆=∆=μJ A T R i M Q p 50025221==∆+=μJ A T R i M Q p 70027222==∆+=μ%7010003001000112=-=-=T T η%8030011112=-=-=T T T T η%80100010001212=-=-=T T T η解得: T 2 = 200 K 即低温热源温度需降低100K3.解:氦气(1)定容过程,V =常量,W =0 由Q E W =∆+ 知21()623 J V M Q E C T T μ=∆=-=(2)定压过程,P =常量 321() 1.0410 J P M Q C T T μ=-=⨯与(1)相同(3)与(1)相同 (外界对系统做功)4.解:(1)等容过程等温过程(2)等温过程等容过程3=i E ∆J 417=∆-=E Q W 0=Q E ∆J 623-=∆-=E W 0W 1=()()J 5.1246208031.82511211=-⨯⨯⨯=-=∆=∴T T C Mm E Q V 02=∆E ()J 3.20332ln 8027331.812ln d W 2222=⨯+⨯⨯====∴⎰VV RT M m V p Q V V J 3.203321=+=∴W W W J 5.1246=∆E J 8.93273.20335.124621=+=+=∴Q Q Q 03=∆E ()J 7.16872ln 2027331.812ln 133=⨯+⨯⨯===∴VV RT M m W Q 04=W()()J 5.1246208031.82511244=-⨯⨯⨯=-=∆=∴T T C Mm E Q V J 7.168743=+=∴W W W J2.29345.12467.168743=+=+=∴Q Q Q J 5.124643=∆+∆=∆E E E。
基础物理学答案
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基础物理学答案第六章稳恒磁场思考题6-1 为什么不能把磁场作用于运动电荷的力的方向定义为磁感强度的方向答对于给定的电流分布来说它所激发的磁场分布是一定的场中任一点的B有确定的方向和确定的大小与该点有无运动电荷通过无关。
而运动电荷在给定的磁场中某点P 所受的磁力F无论就大小或方向而言都与运动电荷有关。
当电荷以速度v沿不同方向通过P点时v的大小一般不等方向一般说也要改变。
可见如果用v的方向来定义B的方向则B的方向不确定所以我们不能把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向。
6-2 从毕奥萨伐尔定律能导出无限长直电流的磁场公式aIB2。
当考察点无限接近导线0a时则B这是没有物理意义的如何解释答毕奥萨伐尔定律是关于部分电流电流元产生部分电场dB的公式在考察点无限接近导线0a时电流元的假设不再成立了所以也不能应用由毕奥萨伐尔定律推导得到的无限长直电流的磁场公式aIB2。
6-3 试比较点电荷的电场强度公式与毕奥萨伐尔定律的类似与差别。
根据这两个公式加上场叠加原理就能解决任意的静电场和磁场的空间分布。
从这里你能否体会到物理学中解决某些问题的基本思想与方法答库仑场强公式0204dqrdEr毕奥一萨伐定律0024IdlrdBr 类似之处1都是元场源产生场的公式。
一个是电荷元或点电荷的场强公式一个是电流元的磁感应强度的公式。
2dE和dB大小都是与场源到场点的距离平方成反比。
3都是计算E和B的基本公式与场强叠加原理联合使用原则上可以求解任意分布的电荷的静电场与任意形状的稳恒电流的磁场。
不同之处1库仑场强公式是直接从实验总结出来的。
毕奥一萨伐尔定律是从概括闭合电流磁场的实验数据间接得到的。
2电荷元的电场强度dE的方向与r方向一致或相反而电流元的磁感应强度dB的方向既不是Idl方向也不是r的方向而是垂直于dl与r组成的平面由右手螺旋法则确定。
3dE的大小与场源电荷的电量dq成正比而dB的大小不仅与Idl的大小成正比而且与Idl的方向以它和r的夹角表示有关。
第6章大学物理(I-1)教材课后习题答案
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当 t
2
时, I i
100 0.5 0.12 20 0.987 A 100
B N 0 I , 2a
51
(2)因为圆电流在圆心处的磁场强度为
所以该感应电流在圆心 O 处的磁感应强度为
B
6.3
N 0 I 100 4 0.987 6.2 103 T 2a 2 0.1
向沿 badcb)
i
L Fm mg θ
安培力: Fm BlI i , 水平向右。安培力在斜面上 投影为
6.10 解图
BlI icos Fm
重力在斜面上投影为
B 2l 2 cos2 v R
f 下 mg sin
m dv ( Bl sin ) 2 mg sin v dt R
i
d m lI cos(t ) b 0 0 ln dt 2 a
题 6.3 解图
6.4 如题 6.4 图所示,导体棒 ab 与金属轨道 ca 和 db 接触, 整个线框放在 B 0.50 T 的均匀磁场中,磁场方向与图面垂直。 (1)若导体棒以 4.0 m s-1 的速度向右运动,求棒内感应电动 势的大小和方向; (2)若导体棒运动到某一位 置时,电路的电阻为 0.20 ,求此时棒所受 的力。摩擦力可不计。 (3)比较外力做功的功 率和电路中所消耗的热功率。 解 (1)因为回路中的磁通量为由牛顿第源自定律可得运动方程为由此可得
dv ( Bl sin ) 2 ( Bl sin ) 2 gmR sin g sin v (v ) dt mR mR ( Bl cos ) 2
dv ( Bl cos ) 2 dt gmR sin mR v ( Bl cos ) 2
《物理学基本教程》课后答案 第六章 气体动理论
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第六章 气体动理论6-1 一束分子垂直射向真空室的一平板,设分子束的定向速度为v ,单位体积分子数为n ,分子的质量为m ,求分子与平板碰撞产生的压强.分析 器壁单位面积所受的正压力称为气体的压强.由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果,所以推导压强公式时,应计算器壁单位面积在单位时间内受到气体分子碰撞的平均冲力.解 以面积为S 的平板面为底面,取长度等于分子束定向速度v 的柱体如图6-1所示,单位时间内与平板碰撞的分子都在此柱体内.柱体内的分子数为nSv .每个分子与平板碰撞时,作用在平板上的冲力为2mv ,单位时间内平板所受到的冲力为v v nS m F ⋅=2根据压强的定义,分子与平板碰撞产生的压强为22v nm SFp ==6-2 一球形容器,直径为2R ,内盛理想气体,分子数密度为n ,每个分子的质量为m ,(1)若某分子速率为v i ,与器壁法向成θ角射向器壁进行完全弹性碰撞,问该分子在连续两次碰撞间运动了多长的距离?(2)该分子每秒钟撞击容器多少次?(3)每一次给予器壁的冲量是多大?(4)由上结果导出气体的压强公式.分析 任一时刻容器中气体分子的速率各不相同,运动方向也不相同,由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果,气体压强公式的推导过程为:首先任意选取某一速率和运动方向的分子,计算单位时间内它与器壁碰撞给予器壁的冲力,再对容器中所有分子统计求和.v图6-1解 (1)如图6-2所示,速率为v i 的分子以θ角与器壁碰撞,因入射角与反射角都相同,连续两次碰撞间运动的距离都是同样的弦长,为θcos 2R AB =(2)该分子每秒钟撞击容器次数为θcos 2R AB ii v v =(3)每一次撞击给予器壁的冲量为θcos 2i m v(4)该分子每秒钟给予器壁的冲力为Rm R m i i i 2cos 2cos 2v v v =θθ由于结果与该分子的运动方向无关,只与速率有关,因此可得容器中所有分子每秒钟给予器壁的冲量为21212222221v v v v v v v RmN N N R m R m R m R m R m R m N i i N i i N i ===+++++∑∑== 其中n R N 334π=.根据压强的定义,分子与器壁碰撞产生的压强为W n m n nm R R m Np 3221323142222=⎪⎭⎫ ⎝⎛===v v vπ 其中W 为分子的平均平动动能.6-3 容积为10 L 的容器内有1 mol CO 2气体,其方均根速率为1440 km/h ,求CO 2气体的压强(CO 2的摩尔质量为31044-⨯kg/mol ).分析 在常温常压下可以将气体视为理想气体,理想气体压强公式中引入了统计平均量----方均根速率2v 和分子数密度n ,1 mol 的气体中分子数为阿伏图6-2伽德罗常量N A ,根据这些关系可求出压强.解 容积为V 的容器中有1 mol CO 2气体,则分子总数为N A ,摩尔质量为M ,则分子数密度为V N A ,分子质量为A N M,因此由气体压强公式得22A A 2313131v v v VM N M V N nm p ===代入数字得Pa 102.35Pa 3600101440101010443131523332⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯==--v V M p 6-4 在实验室中能够获得的最佳真空相当于大约Pa 10013.19-⨯,试问在室温(273K )下在这样的“真空”中每立方厘米内有多少个分子?分析 引入玻尔兹曼常量k 和分子数密度n 后,理想气体状态方程可以表示为nkT p =.解 由理想气体状态方程nkT p =得3-113-239m 1069.2m 2731038.110013.1⨯=⨯⨯⨯==--kT p n 6-5 已知气体密度为1 kg/m 3,压强为Pa 10013.15⨯,(1)求气体分子的方均根速率;(2)设气体为氧,求温度.分析 气体密度ρ是单位体积中气体的质量,因此与分子数密度n 和分子质量m 的关系为nm =ρ.解 压强公式可写为 223131v v ρ==nm p(1)分子的方均根速率m/s 551m/s 110013.13352=⨯⨯==ρpv(2)氧的摩尔质量M =31032-⨯kg/mol ,由定义MRT32=v ,则 K 390K 31.8310325513322=⨯⨯⨯==-R M T v6-6 体积为10-3 m 3,压强为Pa 10013.15⨯的气体,所有分子的平均平动动能的总和是多少?分析 气体动理论的能量公式给出了微观量气体分子的平均平动动能和宏观量气体温度之间的关系.分子的平均平动动能是大量分子的统计平均值,是每个分子平均占有的平动动能量值.解 由气体动理论的能量公式,分子的平均平动动能为kT m 23212=v 容器中分子数nV N =,又由压强公式nkT p =,可得容器中所有分子的平均平动动能的总和为J152J 1010013.123232321352=⨯⨯⨯===-pV kT nV m Nv6-7 一容器内贮有氧气,其压强为Pa 10013.15⨯=p ,温度T =C 27︒,求(1)单位体积内的分子数;(2)氧气的密度;(3)氧分子的质量;(4)分子间的平均距离;(5)分子的平均平动动能;(6)若容器是边长为0.30 m 的立方体,当一个分子下降的高度等于容壁的边长时,其重力势能改变多少?并将重力势能的改变与其平均平动动能相比较.分析 常温和常压下,氧气可视为理想气体.从宏观的角度,可以认为气体是空间均匀分布的,因此分子间的平均距离的立方就是每个分子平均占有的体积.通过本题的计算,可以得到气体动理论中常用到的物理量的量级概念.解 (1) 由理想气体的状态方程nkT p =,可得单位体积内的分子数为3-253-235m 1045.2m 3001038.110013.1⨯=⨯⨯⨯==-kT p n (2) 利用理想气体的状态方程RT MmpV =,氧气的密度为 3335kg/m 3.1kg/m 30031.8103210013.1=⨯⨯⨯⨯===-RT pM V m ρ(3) 氧分子的质量为kg 105.3kg 1045.23.126-25⨯=⨯==nm ρ(4) 分子平均占有的空间开方等于分子间的平均距离m 10443m 1045.21193253.n d -⨯=⨯== (5) 分子的平均平动动能J 10.216J 3001038.123232121-232⨯=⨯⨯⨯==-kT m v(6) 一个氧分子下降的高度等于容壁的边长时,其重力势能改变为J 101.56J 30.08.9103.5-2526⨯=⨯⨯⨯=-mgh与分子平均平动动能相比较,有4252121098.31056.11021.621⨯=⨯⨯=--mgh m v 6-8 在什么温度时,气体分子的平均平动动能等于一个电子由静止通过1 V 电位差的加速作用所得到的动能(即1eV 的能量).解 根据题意,气体分子的平均平动动能J 10260.1eV 12321192-⨯===kT m v 则 K 7739K 1038.1310602.122319=⨯⨯⨯⨯=--T 6-9 1 mol 氢气,在温度C 27︒时,求(1)具有若干平动动能;(2)具有若干转动动能;(3)温度每升高C 1︒时增加的总动能是多少?分析 氢气是双原子分子气体,如果作为刚性分子看待,就具有3个平动自由度和2个转动自由度,根据能量按自由度均分原则可以求出平均平动动能和平均转动动能.解 (1) 1 mol 氢气的平动动能为J 10.743J 30031.82323233A⨯=⨯⨯==RT kT N(2) 1 mol 氢气的转动动能为J 10.492J 30031.8223A⨯=⨯==RT kT N(3) 温度每升高C 1︒,1 mol 氢气增加的总动能为J 8.02J 131.8252525A=⨯⨯=∆=∆T R T k N 6-10 1 mol 单原子理想气体和1 mol 双原子理想气体,温度升高C 1︒时,其内能各增加多少?1 g 氧气和1 g 氢气温度升高C 1︒时,其内能各增加多少?分析 一定量理想气体的内能T R iM m E ∆=2,对于单原子理想气体3=i ,对于双原子理想气体5=i ,对于1 mol 理想气体1=Mm.氧气和氢气都是双原子气体,氧气的摩尔质量kg/mol 10323-⨯=M .解 1 mol 单原子理想气体温度升高C 1︒,内能增量为J 5.12J 131.8232=⨯⨯=∆T R i1 mol 双原子理想气体温度升高C 1︒,内能增量为J 8.02J 131.8252=⨯⨯=∆T R i1 g 氧气温度升高C 1︒,内能增量为J 65.0J 131.8251032101233=⨯⨯⨯⨯⨯=∆--T R i M m 1 g 氢气温度升高C 1︒,内能增量为J 4.01J 131.825102101233=⨯⨯⨯⨯⨯=∆⋅--T R i M m 6-11 计算:(1)氧分子在C 0︒时的平均平动动能和平均转动动能;(2)在此温度下,4 g 氧的内能.分析 氧气是双原子分子气体,如果作为刚性分子看待,就具有3个平动自由度和2个转动自由度,5=i .解 (1) 氧分子在C 0︒时的平均平动动能为J 10.655J 2731038.1232321-23⨯=⨯⨯⨯=-kT 平均转动动能为J 10.773J 2731038.12221-23⨯=⨯⨯==-kT kT(2) 4 g 氧在C 0︒时的内能为J 709J 27331.8251032104233=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅--RT i M m 6-12 有40个粒子速率分布如下表所示 (其中速率单位为m/s):速率区间100以下100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 600~700 700~800 800~900 900以上粒子数 1 4 6 8 6 5 4 3 2 1若以各区间的中值速率标志处于该区间内的粒子速率值,试求这40个粒子的平均速率v 、方均根速率2v 和最概然速率p v ,并计算出p v 所在区间的粒子数占总粒子数的百分率.分析 为了更深入地理解麦克斯韦速率分布律以及气体动理论中引入的平均速率v 、方均根速率2v 和最概然速率p v 的统计意义,有必要通过实际例子,经过计算,体验速率分布规律和统计方法.解 这40个粒子分成了10个速率区间,若取1000 m/s 为粒子速率在900 m/s 以上的速率区间的中值速率,则根据定义,其平均速率v 为m/s448.75 m/s )1100028503750465055506450 835062504150150(4011101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i i N N v v 方均根速率2v 为m/s 499.9 m/s )]1100028503750465055506450 835062504150150(401[121222222222210122=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i i N Nv v 最概然速率m/s 350p =v .p v 所在区间的粒子数占总粒子数的百分率为%20%100408p =⨯=∆NN 6-13上题所给分布情况,若以200m/s 为间隔作重新统计,列出分布情况表,计算出相应的v 、2v 和p v ,以及p v 所在区间的粒子数占总粒子数的百分率,并与上题结果进行比较.分析 通过本题和上题计算结果可以看出,在某一速率区间中的分子数和所计算的三种速率不但与速率区间位置有关,还与速率区间的宽度有关.只有当所统计的分子总数足够大,划分的速率区间足够小时,才可能获得处于平衡状态的气体分子速率的一个确定的分布函数,三种速率也才有确定值.解 以200m/s 为间隔对上题粒子速率作重新统计,速率分布情况为(其中速率单位为m/s):速率区间 200以下 200~400 400~600 600~800 800以上 粒子数 5 14 11 7 3这40个粒子分成了5个速率区间,若取900 m/s 为粒子速率在800 m/s 以上的速率区间的中值速率,则根据定义,其平均速率v 为m/s445 m/s)3900770011500143005100(401151=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i i N N v v 方均根速率2v 为498m/sm/s )]39007700 11500143005100(401[121222225122=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i iN Nvv最概然速率m/s 300p =v .p v 所在区间的粒子数占总粒子数的百分率为%35%1004014p =⨯=∆NN 6-14 N 个假想的气体分子,速率分布如图6-14所示.(1)用N 和v 0表示出a 的值;(2)求最概然速率p v ;(3)以v 0为间隔等分为三个速率区间求各区间中分子数占总分子数的百分率.分析 速率分布函数)(v f 表示气体分子速率在v 值附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分率.本题给出了一个特殊的分布情况,通过计算,理解速率分布函数和最概然速率的物理意义,以及各速率区间中分子数占总分子数的百分率的计算方法.解 (1) 由图6-14可见,分布函数与气体分子总数N 的乘积曲线下的总面积应等于气体分子总数N ,即000302322121d )(0v v v v v v a a a f N =⋅+==⎰则 032v Na =Nf (v )a0 v 0 2 v 0 3 v 0 v图6-14(2) 最概然速率 0p v v =(3) 以v 0为间隔等分为三个速率区间,分子数占总分子数的百分率分别为%3.3331211d )(10010==⋅==⎰v v v v a N f N N N %5021431d )(10220==⋅==⎰v v v v v a N f N N N %7.1661411d )(103230==⋅==⎰v v v v v a N f NN N *6-15在速率区间1v ~2v 内麦克斯韦速率分布曲线下的面积等于分布在此区间内的分子数的百分率.应用(6-17)式和麦克斯韦速率分布函数表示式(6-18)式,求在速率区间v p ~1.01v p 内的气体分子数占总分子数的比率.分析 麦克斯韦速率分布律表明,由速率分布函数)(v f 可得气体分子速率在v ~v v ∆+速率区间内的分子数占分子总数的百分率为v v ∆=∆)(f NN. 解 麦克斯韦速率分布函数22232e24)(v v v kT m kT m f -⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ,因mkT2p =v ,则分布函数可写为1p 2p223p2p22p2e4e4)(----==v v v v v v v v v v ππππf 速率区间v p ~1.01v p 内的气体分子数占总分子数的比率为%83.001.01e 4e4e 4)(1p 2p223p 2p22p2=⨯⨯⨯=∆=∆=∆=∆----πππv v v v v v v v v v v v v f N N *6-16应用平均速率表示式(6-20)*式、麦克斯韦速率分布函数表示式(6-18)式以及积分公式bb 21d e23=-∞⎰v v v 求v 的值.分析 这里采用的是数学中加权求某量值的平均值的方法,权重就是麦克斯韦速率分布函数)(v f .如果要计算方均根速率2v ,可先求速率平方的平均值,只需将积分式中的v 改为2v ,即v v)v v d 022⎰∞=f(,再将积分结果开方.解 麦克斯韦速率分布函数表示式(6-18)式和平均速率表示式(6-20)*式给出v v v v)v v v d e24d 0322302⎰⎰∞-∞⎪⎭⎫⎝⎛==kTm kT m f(ππ利用积分公式bb 21d e 23=-∞⎰v v v 得 mkTkT m kT m f(πππ822124d 2230=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==⎰∞v v)v v *6-17 试由麦克斯韦速率分布律推出相应的平动动能分布律,并求出最概然能量E p ,它是否就等于2p 21v m .分析 要找出分子按平动动能的分布规律,即求出分布在平动动能区间E k ~E k +d E k 中的分子数占总分子数的百分率.解 速率为v 的分子的平动动能为E k = 221v m ,则v v d d k m E =,麦克斯韦速率分布律可改写为kk k k 232212232223d )(d e12 d e 2112 d e 24d )(d k 22E E f E E kT m m kT kT m f N N kTE kT m kT m =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==---ππππv v v v v v v v v即分子按平动动能分布律,其中分布函数kTE E kT E f k e12)(k 23k -⎪⎭⎫⎝⎛=π参考最概然速率的定义,令0d )(d kk =E E f ,由上式得最概然动能 kT E 21k p =因m kT 2p =v ,则 k p 2p 221E kT m ==v 6-18 飞机起飞前机舱中的压强计指示为Pa 10013.15⨯,温度为C 27︒.起飞后压强计指示为Pa 1010.84⨯,温度仍为C 27︒.试计算飞机此时距地面的高度.解 根据玻尔兹曼分子数密度按高度分布公式kT mgh n n /0e -=和压强公式nkT p =,在高度1h 和2h 的压强分别为1p 和2p ,则有kT h h mg p p /)(2121e --=得m 100.2m 1010.810013.1ln 8.9102930031.8 ln ln 3453212112⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==+=-p p Mg RTp p mg kT h h6-19 设地球大气是等温的,温度为C 17︒,海平面上的气压为Pa 100.150⨯=p ,已知某地的海拔高度为h = 2000 m ,空气的摩尔质量kg/m ol 10293-⨯=M ,求该地的气压值.解 根据玻尔兹曼分子数密度按高度分布公式kT mgh n n /0e -=和理想气体状态方程nkT p =,在高度h 处的压强p 为Pa 107.90Pa e100.1e 429031.820008.910295/03⨯=⨯⨯==⨯⨯⨯⨯---RT Mgh p p6-20 在某一粒子加速器中,质子在Pa 10333.14-⨯的压强和273 K 的温度的真空室内沿圆形轨道运动.(1)估计在此压强下每立方厘米内的气体分子数;(2)如果分子有效直径为2.0×10-8 cm .则在此条件下气体分子的平均自由程为多大?分析 由理想气体状态方程nkT p =可得压强和分子数密度的关系,并由此可计算平均自由程.解 (1) 由理想气体状态方程可得3103163234cm 1054.3m 1054.3m 2731038.110333.1----⨯=⨯=⨯⨯⨯==-kT p n (2) 由定义,平均自由程为cm 101.59m )102(1054.32121428102⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-ππλnd6-21设电子管内温度为300 K ,如果要管内分子的平均自由程大于10 cm时,则应将它抽到多大压强?(分子有效直径约为3.0×10-8 cm ).分析 由平均自由程定义和理想气体状态方程可建立压强与平均自由程以及温度之间的关系.解 由平均自由程定义221ndπλ=和理想气体状态方程nkT p =,得Pa 0.1035Pa 1.0)103(23001038.12210232=⨯⨯⨯⨯⨯==--πλπd kT p6-22 计算:(1)在标准状态下,一个氮分子在1 s 内与其它分子的平均碰撞次数;(2)容积为4 L 的容器,贮有标准状况下的氮气,求1 s 内氮分子间的总碰撞次数.(氮分子的有效直径为3.76×10-8 cm .)解 (1) 因平均速率MRTπ8=v ,标准状态下22.4 L 中的分子数为A N ,则平均碰撞次数1-91-32321033-A 22s 1067.7 s 104.2210023.6)1076.3(102827331.816 1022.4162⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯==---πππN d M RT n d Z v(2) 4 L 氮的分子数N =A 4.224N ,分子间的总碰撞次数为1321923s 10125.4s 1067.710023.64.2242121-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-Z N 6-23 假设氦气分子的有效直径为10-10 m ,压强为Pa 10013.15⨯,温度为300 K ,(1)计算氦气分子的平均自由程λ和飞行一个平均自由程所需要的时间τ;(2)如果有一个带基本电荷的氦离子在垂直于电场的方向上运动,电场强度为104 V/m ,试计算氦离子在电场中飞行τ时间内沿电场方向移动的距离s 及s 与λ的比值;(3)气体分子热运动的平均速率与氦离子在电场方向的平均速率的比值;(4)气体分子热运动的平均平动动能与氦离子在电场中飞行一个λ远的距离所获得的能量和它们的比值.解 (1) 由平均自由程定义221ndπλ=和理想气体状态方程nkT p =,得m 1029m 10013.1)10(23001038.1275210232-.pd kT ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--ππλ 平均速率 m/s 1260m/s 10430031.8883=⨯⨯⨯⨯==-ππM RT v 则 s 107.3s 1260102.910-7⨯=⨯==-v λτ (2) 氦离子质量为A N M m =,沿电场方向受到的电场力为eE ,加速度meE a =,在τ时间内沿电场方向移动的距离为m 106.4m 1042103.710023.610106.1 2218-310234192A 2⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---M eEN a s ττ 14.4104.6102.987=⨯⨯=--s λ(3) 氦离子沿电场方向的平均速率为m/s 87.7m/s 103.7104.6108E =⨯⨯==--τsv 14.4E==s λv v(4) 氦气分子平均平动动能为J 106.21J 3001038.1232321-23⨯=⨯⨯⨯=-kT 氦离子在电场中飞行一个λ远的距离所获得的能量为J 101.472J 102.910106.1-217419⨯=⨯⨯⨯⨯=--λeE二者之比为 22.410472.11021.62121=⨯⨯-- *6-24用范德瓦耳斯方程计算压强为Pa 10013.18⨯,体积为0.050 L 的1 mol氧气的温度,如果用理想气体状态方程计算,将引起怎样的相对误差?已知氧的范德瓦耳斯常数为:225/mol L Pa 10378.1⋅⨯=a ;L/mol 0318.0=b .解 由范德瓦耳斯方程得K 342.6K 10)0318.0050.0(050.010378.110013.131.81 )(13258020=⨯-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-b V V a p R T由理想气体状态方程得K .5609K 31.810050.010013.138=⨯⨯⨯==-R pV T相对误差为%7878.06.3426.3425.609==-*6-25在C 27︒时,2 mol 氮气的体积为0.1 L ,分别用范德瓦耳斯方程及理想气体状态方程计算其压强,并比较结果.已知氮气224/mol L Pa 1039.8⋅⨯=a ,L/mol 1005.32-⨯=b .解 范德瓦耳斯方程)(222RT M m b V V a M m p =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+,得Pa 109.43Pa 101039.82Pa 1005.321030031.82 782254222⨯=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=----V a M m bMm V RTM m p 由理想气体状态方程得Pa 104.99Pa 1030031.8274⨯=⨯⨯==-V RT M m p 结果表明由理想气体状态方程计算出的压强小于由范德瓦耳斯方程的计算值.*6-26实验测知C 0︒时氧的粘滞系数1.92×10-4 s)g/(cm ⋅,试用它来求标准状态下氧分子的平均自由程和分子的有效直径.解 粘滞系数 v λρη31= 其中密度Vm=ρ.又由理想气体状态方程 RT Mm pV =平均速率MRTπ8=v ,联立可得m109.49 m 1032827331.810013.11092.138338-355⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===--ππηρηλM RT p v 分子的有效直径为m 102.97m 1049.910013.122731038.1 210-8523⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==--πλπp kT d*6-27实验测知氮气C 0︒时热传导系数为23.7×10-3 W/(m ·K),定体摩尔热容为20.9 J/(mol ·K),试由此计算氮分子的有效直径.解 热传导系数 λρκv MC mV,31=其中密度A N nM =ρ,平均速率MRTπ8=v ,平均自由程221nd πλ=,则2Am V,132dM RT N C ππκ=m 102.23m 1102827331.810023.6107.2339.202 13210-4343233434Am V,⨯=⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=--ππκM RT N C d。
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第六章 稳恒磁场本章提要1. 磁感应强度描述磁场力的属性的物理量是磁感应强度,常用B 来表示。
其定义式为 qvF B max=在SI 制中,B 的单位为特斯拉(T )。
B 另一个单位为高斯(G),两者的换算关系为1T=104G2. 毕奥—萨伐尔定律(1) 毕奥—萨伐尔定律∙ 毕奥—萨伐尔定律的微分形式电流元I d l 在真空中任一点P 所产生的磁感应强度d B 的大小与电流元的大小成正比,与电流元I d l 和r 的夹角的正弦成正比,与电流元到P 点的距离的平方 成反比。
d B 的方向垂直于I d l 和r 所组成的平面,指向与矢积I d l ×0r 的方向相同,即002d d 4I r l r B m p ´=其中, 7-20410N A m p -=醋,称真空磁导率。
∙ 毕奥—萨伐尔定律的积分形式002d d 4llI r μπ⨯==⎰⎰l r B B(2)几种典型的磁场分布 ∙ 无限长直电流的磁场分布02IB rm p =∙ 载流长直螺线管内的磁场分布0B nI m =∙ 运动电荷的磁场分布0024q r v r B m p ´=3. 磁高斯定理∙ 磁通量穿过磁场中某一面积S 的磁通量定义为d B S m sΦ=蝌∙ 磁高斯定理通过空间中任意封闭曲面的磁通量必为零,即d 0SB S =蝌g Ò4. 安培环路定理在真空中的稳恒磁场内,磁感应强度B 的环流等于穿过积分回路的所有传导电流强度代数和的0μ倍,即0in d LI B r m ?åòÑ5. 安培力与洛仑兹力(1)安培力载流导线在磁场中受到的宏观力称安培力。
安培力服从安培定律。
∙ 安培定律的微分形式放在磁场中任一点处的电流元d I l 所受到的磁场作用力d F 的大小与电流元d I l 的大小和该点的磁感应强度B 的大小成正比,还与电流元d I l 的方向和B 的方向之间的夹角θ的正弦成正比,d F 的方向为d I ⨯l B 所确定的方向。
即d d I =⨯F l B∙ 安培定律的积分形式对于任意载流导线,若将其视为由无数个电流元组成的,则其在磁场中所受的作用力为d F l B lI =⨯⎰(2)洛仑兹力一个定向运动的电荷在磁场中所受的力即洛仑兹力,其满足的基本规律为q =⨯f υB洛仑兹力的几个重要应用: ∙ 质谱仪 ∙ 霍耳效应6. 磁介质(1) 磁介质及分类能在磁场作用下发生变化,并且能够反过来影响磁场的介质称磁介质。
一般用磁介质中的磁感应强度B 的大小与真空中的磁感应强度0B 的大小之比来描述磁介质被磁化后对原来外磁场的影响,即r 0BB μ=其中,r μ称磁介质的相对磁导率。
按r μ值大小,磁介质可分为抗磁质(r 1m <)、 顺磁质(r 1m >)和铁磁质(r 1m ?)。
(2) 磁场强度 磁场强度的定义式为μ=BH其中,0r μμμ=称绝对磁导率,简称磁导率。
磁场强度的单位为A ·m -1。
(3) 磁介质中的安培环路定理磁介质中的磁场强度H 沿任何闭合环路的线积分等于穿过以此积分环路为 周界的任意曲面的传导电流的代数和,即0d i ilI ⋅=∑⎰H l思考题6-1 为什么不能简单地定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向? 答:运动电荷磁力的方向不仅与磁感应强度B 的方向有关,还与电荷的运动方向、电荷的正负有关。
如果电荷运动的方向与磁场方向在同一直线上,此时电荷受力为零,因此不能定义B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向。
6-2 在电子仪器中,为了减小与电源相连的两条导线的磁场,通常总是把它们扭在一起。
为什么?答:可以将扭在一起的两条通电导线看成是交织在一起的两个螺线管。
管外的磁场非常弱;因两个螺线管的通电电流大小相等、方向相反,而且匝数基本相当,管内的磁场基本上可以相互抵消。
因此,与电源相连的两条导线,扭在一起时比平行放置时产生的磁场要小得多。
6-3 在无电流的空间区域,如果磁感应线是平行直线,则磁场一定是均匀 的。
试证明之。
答:如图6-1,磁感应线是平行直线,作一个长方形闭合回路abcd 。
因为空间区域无电流,由安培环路定理,有0d =⋅⎰l B即120B ac B bd -=,则12B B =。
6-4 在什么条件下才能用安培环路定理求解载流体系的磁场。
答:应用安培环路定理只能处理某些具有对称性的磁场分布情况。
能否得出图6-1结果的关键技巧在于能否找出一个合适的闭合环路,得出B的环流。
如果找不到这样的闭合环路,就不能够用安培环路定理来获得磁感应强度。
6-5 宇宙射线是高速带电的粒子流(基本上是质子),它们交叉来往于星际空间并从各个方向撞击着地球,为什么宇宙射线穿入地球磁场时接近两极比其它任何地方都容易?答:较之地球表面的其他地方,地球两极附近的地磁场最弱。
同时,粒子进入两极的方向与地磁场磁感应强度的方向平行,因而基本不受到磁场力的约束。
因此宇宙射线穿入地球磁场时接近两极比其它任何地方都容易。
6-6 能否利用磁场对带电粒子的作用力来增大粒子的动能?答:不能。
由B=q磁场对带电粒子的作用力与粒子运动的方向垂直,f⨯v磁场力对带电粒子所做的功为零,粒子的动能也不会因此而增大。
6-7 飞机在天空水平向西飞行,哪边机翼上的电子较多?答:飞机处于地磁场中,机翼上的电子水平向西运动,在由南向北的地磁场的作用下,电子沿垂直于水平面向上的方向偏移。
因此,飞机下部的机翼上的电子较多。
6-8 若释放磁铁附近的小铁片,它会向磁铁运动,其动能从何而来?答:磁铁附近存在磁场,磁场储存着磁场能。
小铁片向着磁铁运动的动能是由磁场能转化而来。
6-9 磁感应强度B和磁场强度H有何区别?答:磁感应强度B是描述磁场本身性质(强度和方向)的物理量。
磁场强度H是在磁介质中出现束缚电流时,为描述的方便引入的一个辅助物理量,通过它可以得到磁感应强度。
6-10 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度,而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关,为什么?答:顺磁质中分子处于热运动中,各分子磁距的取向是无规则的,随着温度的变化,分子运动的剧烈程度也发生变化。
铁磁质的各个磁畴的排列方向是无序的,在不同的温度下,磁畴排列的混乱程度也不同。
抗磁质的磁导率与电子轨道平面的进动有关,而温度是很难影响电子轨道平面的进动的。
练习题6-1 长为L 的一根导线通有电流I ,在下列情况下求中心点的磁感应强度:(1)将导线弯成边长为L /4的正方形线圈;(2)将导线弯成周长为L 的圆线圈,比较哪一种情况下磁场更强。
解:在图6-2(a)中,由于正方形线圈电流沿顺时针方向,线圈的四边在中心处产生的磁场大小相等,方向都是垂直纸面向里。
所以,正方形中心点的磁感应强度为四边直导线产生得磁感应强度的叠加。
由教材例题6-1可知,其大小应为0214(sin sin )4IB r μββπ=-将/8r L =,1/4βπ=-,2/4βπ=代入上式得()00042sin 4 3.604I I IB r L Lμμπππ=== 在图6-2(b)中,通电线圈中心处产生的磁场方向也是垂直纸面向里,大小由教材例题6-2可知为0'2I B Rμ=其中,/2R L π=。
则00' 3.14I I B L Lμμπ==比较得'B B >。
6-2 如图6-3所示,有两根导线沿半径方向接到铁环的a 、b 两点,并与很远处的电源相接。
求环心O 处的磁场。
解:根据叠加原理,点O 的磁感应强度应为三段载流直导线以及起始点为ab 的两段载流圆弧(包括优弧和劣弧)共同激发。
由于电源距离铁环较远,则电源所在的直线电流对O 处的磁场贡献为零,而另两段通电直线的延长线都通过点O ,在O 处激发的磁感应强度也为0。
由于流过两个圆弧的电流分别为I 1和I 2,方向如图6-2所示,两个载流圆弧在O 点激发的磁场由毕奥-萨伐尔定律容易求出分别为图6-3 (a) (b)图6-2011124I l B r μπ=;022224I l B r μπ= 其中,1l 和2l 分别是优弧和劣弧的弧长。
设弧长1l 的电阻为R 1,弧长2l 的电阻为R 2。
由于两圆弧构成并联电路,两端电压相等,则应有2211I R I R =由电阻公式可知,导线电阻R 与弧长l 成正比,故由上式可得1122I l I l = 于是, O 点的合磁感强度为0110221222044I l I l B B B r rμμππ=-=-=6-3 高压输电线在地面上空25 m 处,通过的电流为1.8×103A ,问:(1) 在地面上由该电流所产生的磁感应强度多大?(2)在上述地区,地磁场为0.6×10-4T ,输电线产生的磁场与地磁场差多少? 解:(1)将高压输电线视为无限长,则高压电线上的电流在地面产生的磁感应强度为7350410 1.810 1.4410(T)2225I B r μπππ--⨯⨯⨯===⨯⨯(2)在上述地区地磁场与输电线产生的磁场差为55610(T)B B B .-=⨯⨯⨯-5-5地线-=610-1.4410=46-4 一个宽为a 的无限长导体薄板上通有电流I ,设电流在板上均匀分布。
求薄板平面外距板的一边为a 处的磁感应强度。
解:将载流导体板视为由无数条长直载流导线组成,则导体板上的电流产生的磁场就是这些无数条长直载流导线产生的磁场的叠加。
取如图6-4所示的坐标系,在坐标x 处取宽为d x 的区域,该区域可视为无限长直载流导线,该区域的电流为x a I I d d =由无限长载流直导线的磁场规律可 知,该区域的电流在距板一边为a 的O 点处产生的磁场大小为00d d d 22I I x B x axμμππ==图6-4其方向垂直纸面向里。
于是,整个导体薄板在O 产生的总磁场为200d d ln222a a I x I B B ax aμμππ===⎰⎰6-5 在一个半径R = 1.0 cm 的无限长半圆柱形金属薄片中,自上而下地有I = 5.0 A 的电流通过,试求圆柱轴线上任一点的磁感应强度。
解:半圆柱形面电流分布可视为由无穷多个宽度为d l 的长直细线电流组成。
某一个长直细线中的电流d d /I I l R π=,它在轴线上一点激发的磁感应强度的大小为0d d 2B I Rμπ=其方向在平面Oxy 内,如图6-5所示。
由对称性可知,半圆柱面上各细线电流在轴线上产生的磁感强度叠加后,y 轴向分量为零,即d cos 0y B B θ==⎰x 轴向分量为0020d sin sin d 2x II B B R R R R ππμμθθθπππ===⎰⎰则轴线上总的磁感应强度的大小为02x IB B Rμπ==B 的方向指向Ox 轴负向。