《高等代数》试题库

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《高等代数》多项式试题库

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其中
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多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
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m
4.
� � 设多项式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次项系数
二证明题
1. 证明 x f k (x) 的充分必要条件是 x f (x) .
2. 证明 . x 8 � x 7 � x 5 � x 4 � x 3 � x � 1 x 12 � x 9 � x 6 � x 3 � 1
3. 证明 x d �1 整除 x n �1 的充要条件是 d n .
4. 证明, 若 x 3 � x 2 � x � 1 f ( x 4 ) � xg (x 4 ) � x 2 h(x 4 ) ,则 x � 1 同时整除 f ( x), g ( x), h( x) . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
(C)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(D)若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) .
3. 设 p(x) f (x), p(x) g (x) ,则 p( x) 整除于
.
① f ( x) � g ( x) ;② f 2 ( x) � g 2 ( x) ;③ f ( x) g ( x) ;④ f 3 (x) � g 3 (x) .
a2 � b2 n

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。

2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩）是线其中7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。

（） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。

（）9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。

（）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。

（）三、明证题（每小题××分，共31分）1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。

（10）2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻，2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。

（11）3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。

（10）四、计算题（每小题8分，共24分）⎫⎛-331AP 为对考试形式：闭卷 4、特征根是1，1，2，特征向量分别为()(),1,1,2,1,1,121-==αα 5、秩为 3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是）2、（是）3、（是）4、（否）5、（否）6、（否）7、（是） 8、（是） 9、（是） 10、（是）三、明证题（每小题××分，共31分）1、证明设A 可逆，则1-A 存在，且1-A 也是V 的线性变换，（1）若n A A A εεε,,,21 线性相关，则)(,),(),(12111n A A A A A A εεε--- ，(2)即n εεε,,,21 也线性相关，这与假设n εεε,,,21 是基矛盾，故n A A A εεε,,,21 线性无的一组存在即n A ε,是（10）则() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。

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高等代数分类题库选择题1. 设A 为全体正整数所成的集合，下列结论中不是A 的代数运算的是（）(A) ab b a →),(；(B) b a b a →),(; (C) b b a a log ),(→; (D) b a b a +→),(.2. 欲使4231213a a a a k i a 5成为5阶行列式的一个带正号的项, 则k i ,的取法（）(A) 有四种; (B) 有三种; (C) 有两种; (D) 仅有一种.3. 设A 是n 阶矩阵，k 是一个数，则=)det(kA ( )(A)A k ndet ； (B) A k det ； (C) A k det ； (D) A k d e t - A.4. 若矩阵A 的秩为r ，则下列说法中正确的是 ( )(A)A 中只有一个r 阶子式不为零; (B) A 中至少有一个r 阶子式不为零;(C)A 中也可能有r +1阶子式不为零; (D) A 中所有r -1阶子式全不为零.5. 设A ，B 是n 阶矩阵，0是n 阶零矩阵. 若AB = 0，则一定有( )(A) A = 0或B = 0; (B) 0≠A 且0≠B ;(C) A 和B 都不可逆; (D) A 和B 中至少有一个奇异.6.A 、B 为n 阶矩阵，则秩(A B + ) ( )(A) > 秩 (A ) + 秩（B ）； (B) ≤ 秩 (A ) + 秩（B ）；(C) > max (秩 (A ), 秩（B ）)； (D) < min ( 秩 (A ), 秩（B ）).7．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（）(A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 行元素全等于零；(C) BA 的第j 列元素全等于零； (D) BA 的第j 行元素全等于零.8．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（）(A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-9．下列命题正确的是（）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =10．以下结论正确的是（）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) 如果矩阵A 满足20A =，则A ≠0；(D)n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； 11．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（）(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB12. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（）是对称矩阵.(A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A -13．以下结论不正确的是（）(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵；(B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵；(C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵；(D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.14．以下结论正确的是（）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =；(B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-.15．如果矩阵,A B 满足A B =，则（）(A)A B = (B)T A B = (C)A B ≠ (D)A B =可能成立也可能不成立16.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（）时，n I A -必是可逆矩阵.(A) 0n A = (B) A 是可逆矩阵 (C)A n≠0 (D) 主对角线上的元素全为零 17．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（）. (A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠18．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（）. (A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出B =C ;(B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA =;(C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C =;(D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠.19．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（）.(A)ACB E = (B) BAC E = (C) BCA E = (D) CBA E =20．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；(B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； (D) *AA A =;21. 设A 是n 阶可逆矩阵, 则 ( )(A) 秩)(AB ≤秩)(BA ; (B) 秩)(AB =秩)(BA ;(C) 秩)(AB ≤秩)(BA ; (D) 秩)(AB =n .22. 设A 是数域上的任一奇数阶方阵, 则下列结论一定成立的是( ).(A) 0='-A A ; (B) 0≠'-A A ; (C) 0='+A A ; (D) 0≠'+A A23. 假设A B ,都是n 阶矩阵，且0det ≠A ，则AB 的秩 ( )(A) 一定等于A 的秩； (B) 一定等于B 的秩；(C) 一定小于A 的秩； (D) 一定小于B 的秩.24.A 为n 阶矩阵，r E 为r 阶单位矩阵，则秩 A E r ⎪⎪⎭⎫⎝⎛000 =( ) (A) = r 或 = 秩 (A )(B)= max ( 秩 (A )，r ) (C) < min (秩 (A )，r ) (D) 以上都不对25. n 阶矩阵A 与B 相似, 则下列结论中不正确的是( )(A) A 与B 有相同的迹; (B) A 与B 有相同的特征值;(C) A 与B 有相同的特征向量; (D) A 与B 有相同的行列式.26. 若)(x g ,)(x f 都是多项式环][x F 中的非零多项式, 且)(|)(x f x g , 则)(x g 与)(x f 之间的次数关系是( )(A) 次()(x f )≥次))((x g ; (B) 次()(x f )<次))((x g ;(C) 次()(x f )>次))((x g ; (D) 以上结论都不对.27.已知()p x 是数域P 上的不可约多项式，(),()[],f x g x P x ∈则下列命题中错误的是（）(A) 若()|(),p x f x 则((),())1p x f x =；(B) 若((),())1,p x f x =则()|()p x f x ；(C) 若()()(),p x f x g x 且()|(),p x f x 则((),())1p x g x ≠；(D) 若()()(),p x f x g x 则((),())1f x g x =.28. 若n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩是1+n , 则该方程组 ( )(A) 有唯一解; (B) 无解; (C) 有无穷多解; (D)不能判定其解的数量..29. 设C R ,分别是实数域和复数域, 则以下结论中不正确的是( )(A) C 作成C 上的向量空间; (B) R 作成C 上的向量空间 ;(C) C 作成R 上的向量空间; (D) R 作成R 上的向量空间..30. 设V 是实数域R 上)1(>n n 阶对角形矩阵构成的向量空间, 则V 的维数是( )(A) 1; (B) n ; (C) n 2; (D) 2n .31．把复数域C 看成实数域R 上的向量空间(运算是普通数的加法与乘法), C 的维数是( )(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.32. 若n 阶矩阵A 的行列式不为零, 下列数中哪一个一定不是A 的特征值( )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.33. 向量组r ααα,,,21 )2(≥r 线性相关⇔ ( )(A) 其中必含有零向量; (B) 其中每个向量都是其余向量的线性组合;(C) 每个部分组线性相关; (D) 其中存在一个向量是其余向量的线性组合.34. 向量组m ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是它所构成的矩阵()m A ααα,,,21 =的秩( )(A) 等于m +1; (B) 大于m ; (C) 等于m ; (D) 小于m .35.已知向量组12,,,n σσσ线性相关，则下列命题成立的是( ) (A) 12,,,n σσσ 中至少有一个含有零向量；(B) 对任意一组不全为零的常数12,,,n k k k ，有11220n n k k k σσσ+++=； (C) 12,,,n σσσ中任意一个向量均可由其余1m -个向量线性表示；(D) 秩（12,,,n σσσ）< m . 36.方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λλ，当λ=____________时，方程组有非零解.(A) 0 (B) ±1 (C) 2 (D) 任意实数37.下列向量组中，____________是线性无关向量组.(A) (1, 2), (--3, 0), (5, 1) (B) (1, 1, 0), (0, 0, 3), (2, 2, 0)(C) (2, 6, 0), (3, 9, 0), (0, 0, 2) (D) (1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)38.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000313221x x x x x x ，________是它的一个基础解系.(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,222 (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110,444(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101 39．当k = _________ 时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+=-+)4)(3()2)(1(2242332321k k x k k x x x x x 无解.(A) 2 ； (B) 3 ； (C) 4 ； (D) 5 .40.若向量组123,,σσσ是齐次线性方程组0AZ =的一个基础解系，则向量组（）也是0AZ =的一个基础解系.(A)122331,,σσσσσσ++- (B) 1223123,,2σσσσσσσ++++(C)112122,,σσσσσ+- (D) 12123,,σσσσσ+-41.如果12,ξξ是线性方程组AX b =的两个不同解，η是齐次线性方程组0AX =的一个非零解，则___________.(A) 向量组121,ξξξ-线性无关；(B) 向量组12,ξξη-线性相关；(C) AX b =的通解为1k ξη+，其中k 为任意数；(D) AX b =的通解为112()s t ξξξη+-+,其中,s t 为任意数.42 设A 为m n ⨯矩阵，秩 (A ) = r ，则下列结论中正确的是___________.(A)r n = 时，Ax b = 有唯一解；(B)m n = 时，Ax b = 有唯一解；(C)r n < 时，Ax b = 有无穷多解；(D)m n = 时，Ax b =有解.43．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-=242,αα=则向量组的一个极大无关组为（）(A) 125,,ααα (B) 124,,ααα (C) 245,,ααα (D) 135,,ααα44．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为（）(A)1110A C B ---⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)1110B C A ---⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)11110A A CB B ----⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)11110A B CA B ----⎡⎤⎢⎥-⎣⎦45. 下列排列中是偶排列的是（） A. 526413 B. 423561 C. 621435 D. 32641546. 方程组231312221232233x x x x x x --=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩的系数行列式的值为（）A ．12B ．-6C ．-12D ．047. 对矩阵的运算而言, 不成立的运算规律是( ) A. 乘法的交换律 B. 乘法的结合律;C. 加法交换律;D.加法结合律.48. 行列式00010002000800090000000010的值为（） A ．9！ B -10！ C 10！ D -9！49. 已知1112131421222324313233344142434410a a a a a a a a a a a a a a a a =，则1121314212232431323441424342222222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a 的值为（） A ． -160 B ．160 C ．-20 D ． 2050. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余子式依次分别为5，3，-7，4，则D 的值为（）A ．5B ．-5C ．-15D ．1551. 下列矩阵中不是三阶初等矩阵的是（）A. 010100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.200010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 102010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 001100010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭52. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题成立的是（）A ．若AB=O ，则A=O 或B=O ；B ．若det0A =，则A=0； C ．若de t()0AB =，则d e t 0A =或det 0B =； D ．若d e t 1A =，则A=I. 53. 若A 是m n ⨯矩阵，B 是s m ⨯矩阵，C 是n p ⨯矩阵，则下列乘积有意义的是（）A ． BCB ．CBC ．BAD ．AB54. 设A 、B 、C 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（）A ．若A ≠O ，从AB=AC 可推出B=C ；B ．若B ≠C ，则必有AB ≠ACC ．若A 是非奇异矩阵，从AB=AC 可推出B=C ；D ．若A 是非奇异矩阵，则必有AB=BA ；55．行列式m a a a a =22211211,n a a a a =23211311,则行列式232221131211a a a a a a ++=( ) A.m+n B.-(m+n) C.n-m D.m-n56. A,B,C 都是n 阶矩阵,根据矩阵的运算性质判断下列推理规则中哪个是正确的. ( )A.AB=0⇒A=0或B=0 B .AB=AC ⇒A=CC.AB ≠0⇒A ≠0且B ≠0 D .AB =0⇒detA =0且detB =057．矩阵A 可逆的充要条件是( )A.0det ≠AB. 0det >AC. 0det =AD.秩A>058.设A=121340-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1203,43-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦下列哪些式子有意义?(这时A T , B T 分别表示A,B 的转置矩阵)( ) A .A+B B .A+B T C .A B T D .A T B59．若A 是m n ⨯矩阵，B 是s m ⨯矩阵，C 是n p ⨯矩阵，则下列乘积有意义的是( ) A ． BC B ．CB C ．BA D ．AB60. m ×n 矩阵A 的秩r 与m 、n 的关系为（）A ．m r ≤ B.n r ≤ C. m r ≤且n r ≤ D.无法确定61.如果两个矩阵A 、B 满足：0=AB ,那么( )A. B=0B. A=0C. B=0或A=0D. A 、B 中可能有零矩阵,也可能没有零矩阵62．下面不是初等矩阵的是( )A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001 B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001020163. n 阶行列式的展开式中共有（）A ．n 项 B.2n 项 C.2)1(+n n 项 D.!n 项64．设A 与B 是n 阶矩阵,A 与B 相似.以下论断错误的是( )A.存在可逆矩阵P,使得AP P B 1-=B.B A det det ≠C.A 与B 有相同的特征根D. A 与B 有相同的特征多项式65、下列集合中作成向量空间2R 的子空间的是（） A. {}1212a a a a =0 （，）； B. {}1212a a a +a =0 （，）；C. {}1212a a a a Z ∈（，）；D.{}1212a a a +a =1 （，）；66、设λ是n 阶矩阵A 的特征根，β是相应的特征值向量，下列说法正确的是（） A β线性无关； B β线性相关；C 0=β；D 前三种说法都不对.67、设λ是n 阶矩阵A 的特征值，则λ的几何重数s 与λ的代数重数t 的关系是（）A t s =B t s ≤C s t ≤D n t s =+68、下列向量组是线性无关的是（）。

高等代数习题及答案

⾼等代数习题及答案⾼等代数试卷⼀、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每⼩题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。

（）2、若线性⽅程组的系数⾏列式为零，由克莱姆法则知，这个线性⽅程组⼀定是⽆解的。

（）3、实⼆次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。

（）4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的⼀个⼦空间。

（） 5、数域F 上的每⼀个线性空间都有基和维数。

（）6、两个n 元实⼆次型能够⽤满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

（）7、零变换和单位变换都是数乘变换。

（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。

（）9、欧⽒空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（）10、若n ,,,21 是欧⽒空间V 的标准正交基，且 ni i i x 1，那么 ni ix12。

（）⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其号码写在题⼲后⾯的括号内。

答案选错或未作选择者，该题⽆分。

每⼩题1分，共10分）1、关于多项式的最⼤公因式的下列命题中，错误的是（）① n n nx g x f x g x f,, ；② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ；③ x g x g x f x g x f ,, ；④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。

2、设D 是⼀个n 阶⾏列式，那么（）①⾏列式与它的转置⾏列式相等；②D 中两⾏互换，则⾏列式不变符号；③若0 D ，则D 中必有⼀⾏全是零；④若0 D ，则D 中必有两⾏成⽐例。

3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（）①A 中每个s s (<)r 阶⼦式都为零；②A 中每个r 阶⼦式都不为零；③A 中可能存在不为零的1 r 阶⼦式；④A 中肯定有不为零的r 阶⼦式。

高等代数试题

第一章多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i );13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：kx f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.nn a x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i )()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f (ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4．证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

高等代数试题及参考答案

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是 .A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中,线性无关的是 .A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 .A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分.1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-,则α= ,(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦,则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ,则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,则1A B -= . 四、计算题4小题,共42分1．计算行列式1111111111111a a a a；2111116541362516121612564.每小题6分,共12分2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.10分3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.10分4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.10分一、单选题每题4分,共24分二、判断题每题2分,共10分三、填空题每空4分,共24分1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2． 20；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题共42分1．12分,每小题各6分 1解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............3分31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................3分注：中间步骤形式多样,可酌情加分 2解：222233331111111116541654136251616541216125641654=,此行列式为范德蒙行列式 ......3分进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......3分2．10分解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ..................3分得同解方程组取45,x x 为自由未知量,得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩其中45,x x 为自由未知量将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................3分用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量,得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩,将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............3分所以,原方程组的全部解为01122k k γηη++,12,k k 为数域P 中任意数. ............1分注：答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价. 3．10分解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-是线性无关向量组,现将 123,,ααα正交化,令11βα=,αβαββαββββββ-=--=-----=-313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................6分再将向量组123,,βββ单位化,得βγβ==1111111(,,,)2222,βγβ==--2222,1,3)14,βγβ==-3332,0)6. 即123,,γγγ就是与123,,ααα等价的正交单位向量组. ....................4分注：答案不唯一. 4．10分解：A 的特征多项式为所以A 的特征值为1,2-2重. ....................4分1λ=-对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1101η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11k η10k ≠为A 的属于特征值1-的特征向量； .................3分2λ=对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1144231,001ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2233k k ηη+23,k k 不同时为零为A 的属于特征值2的特征向量. ...............3分注：答案不唯一.。

高等代数期末试题及答案

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

《高等代数》多项式试题库

§1 数域[达标训练题]
一填空题
1�数集{0}对 2�自然数集 N 对 3�数集{a � bi a, b � Z} 对
二判断题
运算封闭. 运算封闭.
封闭.
1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域.
三证明
1. 证明 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域,这里 n 不是完全平方数. 2. 证明{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3. 若 P1 , P2 是数域 , 证明 P1 � P2 也是数域 , 而 P1 � P2 不一定是数
a2 � b2 n
. 当 � (a1a2 � b1bn2 ) � (a1b2 � a b2 1 ) n � Q ( n )
a1 � b1
n � 0 时,
a1 � b1
n
� a1 a 2 � b1b2 n � a1b2 � b1 a 2 �
a2 1
�
b2 1
n
a2 1
�
b2 1
n
n �Q(
n)
.故 Q(
§2 一元多项式[达标训练题]
A组
一填空题
1. 式
数项是
系数在数域 P 上的关于文字 x 的一元多项式指的是形式表达
, 其中 i 次项是
, i 次项系数是
,常
.
1
2. 下列形式表达式(i)2;(ii) x ; (iii)0; (iv) 1 � ln( x � x 2 � 3x 3 ) ;
(v)
ix 3
域.
§1 数域[达标训练题解答]
一填空题
1�加法、减法、乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法.

高等代数试题

复习提纲一、填空题1. 设B A ,是两个n 级对角矩阵，则乘积AB 是2. 实二次型()()31212322213212212,,x x x kx x k x x x x x f ++-++=为正定二次型，则k 的取值范围为3. 如果把复数域看作实数域上的线性空间，那么这个空间的维数是4．设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是5．设βα,是欧氏空间V 中两个线性无关的向量，则|),(|βα ||||βα∙ . 6．在2R 中，对于向量()()2121,,,b b a a ==βα规定内积为()221153,b a b a +=βα ，则基()()1,0,0,121==e e 的度量矩阵为7．设A 是实对称矩阵，且E A =2，则A 是矩阵.已知二次型31212322212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .8．设有3R 的子空间(){}R b a b a b a W ∈=+=,,20,,，则W 的维数= .9. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 .10. 在欧式空间4R 中，已知向量()()3,2,2,1,1,5,1,3==βα，则内积()βα,= ，两向量的夹角β,= .11. 设3R 的子空间(){}R x x x x x W ∈+=21221,,0,2，维()=W ，W 的一组基为 .12. 已知二次型3231212322214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .13. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,εε到基21,ηη的过渡矩阵为，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 . 14. 在欧式空间4R 中，已知向量()()2,1,1,1,1,1,0,1-=-=βα，则两向量的夹角βα,= .15. 在2P 中，已知两组基：()()1,1,2,121-==εε与()(),1,0,3,121=-=ηη则基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为，向量()0,1=α在基21,εε下的坐标. .16. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A -A 32121,,a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a .17. 设B A ,是两个n n ⨯矩阵，若B A ~，则A B ，2A 2B .18. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A +A 32121,,a a a ，()()=A -3211,,2a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a线性变换()21A ∙A 在基()0,0,11=e ，()0,1,02=e ，()1,0,03=e 下的矩阵为 .19. 设矩阵A 满足O A A =-42，则A 的特征值是 .20. 设3,1,1-是33⨯矩阵A 的特征值，则3254E A A --= .21. 设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是，找出2R 的一组标准正交基 .二、判断题：1. 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.2. 设A 为n 阶实对称矩阵，0>A ，则存在实的n 维向量O X ≠0，使000>'AX X .3. 正定二次型()321,,x x x f 的规范形是232221x x x ++.4. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，则(L ),,,4321αααα),(),(4321ααααL L ⊕=.5. 设A 是线性空间V 的线性变换，V ∈βα,，若βαA =A ，则βα=.6. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的两个特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.7. 设A 是复数域C 上的n 维线性空间V 的线性变换，则总可以找到V 的一组基，使A 在这组基下的矩阵是对角矩阵.8. 对任意实对称矩阵A ，总能找到正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.9. 设V 是n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，则V A AV =+-)(1θ.10. 任意两组标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵.11. 设4321,,,αααα是空间V 的向量，θαααα=-+-43212345，则),(),(4321ααααL L =.12. 设两个n 级矩阵A 与B 有相同的特征多项式，则A 与B 合同. 13. 在复数域上三元二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=.14. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.15. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.16. 次数等于n 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间. 17. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的向量，则A 是线性空间V的线性变换.18. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的属于两个不同特征值的特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.19. 设A 是一个n 级正定矩阵，而(),,,,21n x x x =α(),,,,21n y y y =β在n R 中定义内积()βα,为()T A βαβα=,，则nR 是一欧式空间.20. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,-=A ，则A 是正交变换. 21. 任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级对角形矩阵T ，使T 与A 既合同又相似.22. 三元正定二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=. 23. 全体复数可看成复数域上的一维向量空间.24. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.25. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的非零向量，则A 是线性空间V 的线性变换.26. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,3-=A ，则A 是正交变换.. 27. 实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 合同于单位矩阵. 28. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.29. 设n ααα,,,21 是欧式空间V 中的一组基，如果V ∈β且满足()0,=i αβ()n i ,,2,1 =，则O=β.30. 在[]x R 3中定义内积为()()()()()dx x g x f x g x f ⎰-=11,，则31,,12-x x 是 []x R 3的一组标准正交基.31. 设(){}F b a b a V ∈=,,，现取加法为通常的加法，而数量乘积重新定义为：()()kb a b a k ,,= ，则V 关于加法与新定义的数量乘积是F 上的线性空间. 32. 数域F 上的n 元线性方程组的解集合是nF 上的子空间.33. 设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间. 34. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，且满足=-+-43212345αααα，则()()432321,,,,ααααααL L =.35. 设(){}F b a b a V ∈=,,，对V 定义两种运算：()()()k d b c a d c b a ,,,,++=⊕⊙()()kb a b a ,,=，则V 关于加法和数量乘积是F 上的向量空间. 36. (){}F b a b a b a ∈+,,,是3F 的子空间.37. (){}F a a a ∈3,,1是3F 的子空间.38. nF 中，设n εεε,,,21 是n 维单位向量组，则=nF（n εεε,,,21 ）.39. 设(),,F T F Mat S n n ==⨯令()S A A A ∈=,σ，则σ是从S 到T 的一个线性变换.三、解答题1. 已知实二次型313221321),,(x x x x x x x x x f ++=（1）试用矩阵乘积的形式表示f ；（2）试求非退化线性替换化f 为标准型.2. 设22,,1x x x x ++是线性空间3][x R 的一组基，求2231x x +-在这组基的坐标.3. 设3P 中定义线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101110211A ，计算（1）V A 与A 的秩；（2）()O 1-A 与A 的零度4. 在线性空间3P 中，给出两个向量组⎩⎨⎧=-=)1,1,1()0,1,1(21αα； ⎩⎨⎧--=-=)1,1,1()0,3,1(21ββ求),(),(2121ββααL L +与),(),(2121ββααL L 的基与维数5. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.6. 在欧氏空间4R 中，求与)0,4,1,1(--=α，)2,2,1,1(=β，)4,5,2,3(=γ都正交的单位向量.7. 已知实二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. 8. 设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.9. 已知齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x ，求（1）一个基础解系；（2）解空间的一组标准正交基. 10. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}R y y V ∈=,0,02 证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=.11. 已知实二次型32312123222132148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形.12.设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.13. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}32132122,,x x x x x x V ===，证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=. 14. 已知实二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. （3）()321,,x x x f 的正、负惯性指数及符号差. 15. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵；（3）写出V 的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵. 16.设（1）证明21,v v 是3R 子空间；（2）证明213v v R ⊕=。

高等代数期末考试题库及答案解析

高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。

5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。

–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。

7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。

9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。

高等代数考研试题及答案

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。

大学高等代数试题及答案

大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。

A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。

A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。

7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。

8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。

9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。

10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

《高等代数》多项式试题库

§1 数域[达标训练题] 一填空题 1�数集{0}对运算封闭. 2�自然数集N 对运算封闭. 3�数集},{Z b ab i a ��对封闭. 二判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三证明 1. 证明},{)(Q b a nb a n Q ��是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3Q b a b a ��不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P�也是数域,而21P P�不一定是数域.§1 数域[达标训练题解答] 一填空题 1�加法、减法、乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法. 二判断题 1. ( T )� 2. ( F ) 三、解答题 1�证明显然n Q �1,0.对任意的)(,2211n Q nb a n b a��,)()(2211nb a nb a ��=)(21a a �+n b b )(21�)(n Q �; )()(2211nb a n b a �� n b a b a b n b a a )()(12212121��)(nQ �. 当011��nb a 时, nb anb a1122�� )(2121212121212121n Q n n b aa b b an b an b b a a��.故},{)(Q b a n b a n Q��对加法减法乘法除法封闭.即},{)(Q b a nb a n Q��是数域. 2�证明因为�32},2{3Q b a b a ��, ��333422},2{3Q b a b a ��.即},2{3Q b a b a ��对乘法不封闭.所以},2{3Q b a b a ��不是数域. 3�证明由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而21P P �包含有理数域.令21,P P b a��,则1,P b a�,2,P b a�.由于21,P P是数域,故1,P a b b a��,2,P a b b a��;当0�b时,21,P baP ba��,所以21,,P P baa b b a��.即21P P�是数域. 例如: 取1P =},2{)2(Q b a b a Q ��, �2P},3{)3(Q b a b a Q ��, 容易验证21P P �不一定是数域; 取1P=Q ,�2P},3{)3(Q b a b a Q ��,显然21P P�=},3{Q b a b a ��是数域.§2 一元多项式[达标训练题] A组一填空题 1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式, 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 . 2. 下列形式表达式(i )2;(i i )x1; (i i i )0; (i v ))3l n (132x x x ��; (v )1)1(23��x i i x ;(v i )��nxn xx!1!31!2113;其中是多项式. 3. 零多项式是 , 零次多项式是 . 4. 设多项式��miii niii x b x g x a x f11)(,)(,则)()(x g x f的k次项系数是. 二判断题 1. 0是零次多项式. 2. 若)()()()(x h x fx g x f�,则)()(x h x g �. 3. 若)(),(),(x h x g x f都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f ��))((x f ��或者))()((x g x f ��))((x g ��. 三解答题 1. 设)2()1()2()(22��x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i )零次多项式; (i i )零多项式; (i i i )一次多项式5�x . 2. 若)(),(x g x f是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(22��x g x f则 0)()(��x g x f. B组 1.设)(),(),(x h x gx f是实数域上的多项式, 证明:若),()()(222x x h x x g x f��则0)()()(��x h x g x f. 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子 ))}(()),((m a x {))()((x g x f x g x f �� 何时等号成立?何时小于号成立?§2 一元多项式[达标训练题解答] A组一填空题 1�1110nnn n a x a x a x a ��i i x a �ia� 0a�2.�i ��i i i ��v ��3. 0�非零常数 � 4.��11ki i ki b a.二判断题 1�(F )� 2. (F ).; 3.(F ). 三解答题 1�解因为 222()(2)(1)(2)()fx a x b x c x x a c x ��(2)a b c x �� )24(c b a ��.利用多项式相等的定义的: (i )��024020c b a c b a c a(i i ) ��024020c b a c b a c a (i i i ) ��524120c b a c b a c a即(i )当0,3,��c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (i i )当0��c b a 时)(x f为零多项式;(i i i )6,17,6��c b a 时)(x f 是一次多项式5�x . 2�证明设01)(a x a x a x fnn ��01)(b x b x a x g mm ��则)()(22x g x f�的第k 次项系数为)(0i k i ki i ki b b a a ��=0,当0�k 得000��b a ,当1�k 时得02121��b a ,进而011��b a ,同样地,得到022��b a …….因此0)()(��x g x f B组 1�证明若0)(�x g (或0)(�x h )显然得)()()(222x x h x x g x f��是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(�x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(222x x h x x g x f��是一个奇次多项式, 这也是不可能的. 所以0)()()(��x h x g x f 2�解取1)(),1()(,2)(��x x h x i x g i x x f �则)()()(222x x h x x g x f ��. 3�解当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.§3 整除的概念[达标训练题] A组一填空题 1. )(),(),(x h x g x f 都是][x P 中的多项式,若)()()(x h x g x f �,则称整除�称为的因式� 为的倍式�记为 . 2. 若0)(,0)(),()()()(��x r x g x r x q x g x f或))(())((x g x r ��,那么除的商式是 ,余式是 ,这里][)(),(),(x P x r x gx f�. 二判断题 1. 零多项式能够整除任意多项式. 2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除. 3. 若)()(),()(x fx g x g x f, 则))(())((x g x f ��. 4. 若0)(),()()()(��x g x r x q x g x f ,则满足该式的多项式)(),(x r x q 有且只有一对. 5.若))()(()(x h x g x f �,则)()()()(x h x f x g x f 或. 三解答题 1� 设b a x x x x f��232)(�2)(2��x x x g �)(x g 除)(x f 的余式12)(��x x r �求b a ,. 2. 如果))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g��, 则 )()(,)()(21x f x g x f x g. 2� 如果x 不整除)(x f与)(x g �则x 不整除)(x f 与)(x g 的乘积. 3. 证明 p n m x x x x xp n m ,,,1231332��是非负整数. 4. 证明 ①如果)()(x f x h, ()|()h x g x , 则()|(()())h x f x g x �; ②如果()|(),()|()h x f x h x g x,则()|()()h x f x g x �不一定成立. B组一多项选择题 1.)(x f 是任意多项式,c是非零常数,则下列结论成立的是. (A ))(0x f ;(B )0)(x f ;(C ) 00; (D ) c 0;(E ) 0c ;(F ) c x f )(;(G ) )(x f c ;(H ) )()(x fx cf . 2.若在][x P中,)(x g整除)(x f�为强调数域�我们记)()(x fx gP.设][)(),(x Q x g x f��下列结论正确的有 . (A )若)()(x fx gQ,则)()(x fx gR;(B ) 若)()(x fx g R�,则)()(x fx g q�; (C )若)()(x f x g Q,则)()(x fx g R;(D )若)()(x fx g R�,则)()(x f x g q�. 3. 设)()(),()(x g x px f x p,则)(x p 整除于 . ①)()(x g x f �;②)()(22x g x f�;③)()(x g x f ;④)()(33x g x f�. 二证明题 1. 证明)(x f xk的充分必要条件是)(x f x.2. 证明113691234578��x x x x x x x x x x.3. 证明1�dx 整除1�nx 的充要条件是n d . 4. 证明, 若)()()(1424423x h x x x g x f x x x��,则1�x 同时整除)(),(),(x h x g x f.与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论. 5. 对照多项式的整除性理论�讨论整数的整除性理论.§3 整除的概念[达标训练题解答] A组一填空题 1�)(),(x h x g �)(x f �)(),(x h x g �)(x f �)(x f � )(),(x h x g �)()(),()(x f x h x f x g� )(x g �)(x f � 2.)(x q �)(x r . 二判断题 1.(F )� 2. (T )� 3. (F ); 4.(F ); 5.(F ) 三解答题 1�解利用带余除法得)2()1)(()(��b a x x x g x f �所以12)2(��x b a x �即3,2��b a. 2�证明 ))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g��,利用整除性的性质�我们有))}()((21)))()(((21{)(2121x f x f x f x f x g��即)()(,)()(21x f x g x f x g. 3�证明若)()(x g x f x,x不整除)(x f与)(x g 则存在常数0,021��r r,使2211)()(,)()(r x x q x g r x x q x f��, 所以��)()(()()(21x q x x q x x g x f2112))(r r x q r �,由于)()(x g x f x , 所以21r r x,得出矛盾.即x 不能整除)()(x g x f 证明由于三次单位根21,��都是23133��p n m x x x 的根�即12��x x 的根都是23133��p n m x x x 的根.从而p n m x x x x xp n m ,,,1231332��.4. 证明因为2121()(),x x x x ��其中(1,2)i i ��是三次单位虚根, 而331320m n p ii i��,即33132(1,2)m n p i xx x x i ��,再利用12,x x ��互素得到3313212()()m n p x x x x x ��,即 2331321m n p xx x xx��5�证明 ①如果)()()(x g x f x h�,因为 )()(x f x h ,由整除性性质得: )()()(()(x f x g x f x h��,即)()(x gx h ,与)()(x g x h �矛盾, 所以)()()(x g x fx h ��. B组一多项选择题 1�B ,C ,E ,G ,H � 2.(A )(D );3.①②③④ 二、证明题 1�证明充分性显然,仅证必要性. 设r x x q x f ��)()(,则 ��)())(()(x q x C r x x q x fk k o k k k r x q x C k k k )(111��kkk kk k r C r x xq C ��11)(�kr x x p ��)(因为)(x f x 且)(x x p x �由整除性的性质得�)(x f xk.2�证明利用带余除法, )1`)(1(12343457836912��x x x x x x x x x x x x x x所以113691234578��x x x x x x x x x x.3�证明充分性显然,仅证必要性. 设r d q n ��若d r r ��,0,)1()1(11��rrdq r dq nx x x x x,而11��dq d x x,因此11��r d x x,得出矛盾.所以0�r ,即n d.4�证明因为)3,2,1(4s i n 4��k ki kc o n wk ��是123��x x x的根,显然)()()(4244x h x x x g x f w xk ��,即 0)1()1()1(2��h w g w fk k (3,2,1�k ), 从而0)1()1()1(��h g f . 一般地,我们有如下的结果: 若)()()(1122121nn nnnnnx fx x x f x f x x x��,则 1,,2,1),(1��n i x f xi �.事实上,设i i i r x q x x f ��)()1()(,则in i n ni r x q x x f ��)()1()(,进一步有 )())()()()(1()()()(122112211221��n n n n n nnnnn nnnr x x r r x q x x x q x q x x fx x x f x f��由于 )()()(1122121n n nn n nnx fx x x f x f x x x��,)()()()1(1122121nn nnnnnnx qx x x q x q x x x x��则1121211��nnnnrx x r r x x x��.5�参见张禾瑞先生的《高等代数》�第三版��高等教育出版社�教材�或者初等数论教材.§4 最大公因式[达标训练题] A组一、填空 1�对于任意两个多项式),(),(x g x f 它们总有公因式 �我们称它为平凡公因式. 2�两个零多项式的做大公因式是 . 3�零多项式与任意多项式)(x f的最大公因式是.4�若),()(x f x g 则)(),(x fx g 的最大公因式是 . 5�x x g x x f��1)(,1)(2�则�))(),((x g x f,取�)(x u,)(x v = ,使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f �� 6.若,1)()()()(��x v x g x u x f 则)(x u 与)(x v . 二、判断题 1.若)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式�则)(x c d 也是)(),(x g x f 的最大公因式c (是常数�. 2. 存在惟一一对多项式),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f �� 3�若 ,1))(),((�x g x f 则存在惟一一对),(),(x v x u 使 .1)()()()(��x v x g x u x f 4�若)(),(x g x f 不全为零�则 .1)))(),(()(,))(),(()((�x g x f x gx g x f x f5�由于�16,8�=8,所以多项式8与16不互素. .)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式. 三、解答题 1. 判定32)(,1363)(223��x d x x g x x x x f是否互素,并求),(),(x v x u使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f�� 2. 证明:)).()(),(())()(),(())(),((x g x fx f x g x f x f x g x f �� 3. 证明:两个多项式)(),(x g x f 都与)(x h 互素的充要条件是它们乘积)()(x g x f 与)(x h互素. 4. 若,1))(),((�x g x f 则.1))(),((�x g x f mmB组一、选择题 1. 若),()(),((x d x g x f �则成立. (A ));()()(),((x d x g x fx f �� (B ));()())()().()((x h x d x h x g x h x f �� (C )).()())()(),()()(();())(),((,x h x d x h x g x h x f D x d x g x f n mm m�� 2.若,0)(�x f 且),()()()()(),())(,)((x d x v x g x u x f x d x g x f ��则错误结是. ;1))()(,0()()(();()(),()((��x d x g x dx fB x d x g x f A nnn).())(),()()(();())(),()((x d x g x g x f D x d x v x u C �� 3.(多项选择)若),()()()(x r x q x g x f ��则成立. ),(())(),()((x g x g x f A �();r x ()((),())((),())B f x g x f x r x � )).(),(())(),()(());(),(()(),()(());(),(())(),()((x r x q x q x f E x q x g x r x f D x r x q x g x f C ��二、解答题 1. 确定k ,使24)6(2��k x k x 与k x k x 2)2(2��的最大公因式是一次的. 2.设)(),(x g x f 不全为零,则)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式;反之,)(x f 与)(x g 的最大公因式都是次数最高的公因式. 3. 证明:若,1))(),((�x g x f 且,0))((,0))((��x g x f 那么存在惟一第一对多项式)),(()(()),(())((),(),(x f x v x g x u x v x u��使 1)()(,0()(�x v x g x u x f 4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论(定义,存在性,求法,互素).§4 最大公因式[达标训练题解答] A组一、填空题 1� 零次多项式�2. 零多项式;3.多项式()c f x c 为零次多项式;4.)(x c g ,c 为零次多项式; 5.1,,1��x x ;6.互素. 二、判断题 1� F �2.F ;3.F ;4.T ;5.F ;6.F . 三、解答题 1. 解:通过辗转相除法求得 1))(),((�x g x f ,973697339718)(,9711976)(2��x xx v xx u. 2.证明:设)())(),((x d x g x f �,容易证明)(x d 是)()(),(x g x f x f �的公因式;对)()(),(x g x f x f �的任意公因式,容易证明它是)(),(x g x f 的公因式,从而它整除于)(),(x g x f 的最大公因式)(x d .即)()(),(x g x f x f �的任意公因式整除于它的公因式)(x d ,所以)(x d 是)()(),(x g x f x f �的最大公因式. 3.证明:1))(),((�x h x f ,1))(),((�x h x g ,则存在)(),(x v x u 与)(),(x q x p ,使1)()()()(��x h x v x f x u,1)()()()(��x q x h x p x g ,以上两式相乘容易得到1)()()()()(��x h x V x g x f x U,故1))(),()((�x h x g x f .反过来若1))(),()((�x h x g x f �则存在)(),(x v x u �使1)()()()()(��x v x h x u x g x f �若令)()()(x p x u x g��则有1)()()()(��x v x h x p x f �故1))(),((�x h x f �同样的若令)()()(x q x u x f��则有1)()()()(��x v x h x q x g �故1))(),((�x h x g . 4� 证明�首先利用上题及归纳法容易证明�若1))(),((�x g x f �1))(),((�x g x f m�同样的利用归纳法证明1))(),((�x g x f n m . B组一、选择题 1��A �(D )�2.�C �;3. (A ,E ) 二、解答题 1�解利用辗转相除法容易得到: )224()()(��k x x g x f,)1)(3(41)232)(224(41)(��k k kx k x x g因此最大公因式是一次的条件是3�k 或者1�k . 2.证明设)(x d 是)(),(x g x f 的次数最高的公因式,)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,所以)()(0x d x d ,而0)(0�x d 因此)(0x d 的次数等于)(x d 的次数,从而)()(0x c d x d�.故)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式式.反之,若)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,由于)(x d 是公因式,因此)()(0x d x d ,所以要么)(x d 是零多项式,要么)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.但0)(0�x d ,所以)(x d 的次数不大于)(0x d的次数.故)(0x d 是)(),(x g x f 的次数最大的多项式. 3.证明: 由互素的充分必要条件知存在)(),(x v x u 使1��g v f u . 首先证明若g u ��,必有f v ��.由g v f u ��1g v f u ��,所以v g u f ��,因此若g u ��,必有f v ��. 其次证明如果,可以重新选取11,v u ,使11,v u 符合要求. 由带余除法定理知存在r q ,使g r r r g q u ��0,,所以1)(��g v r g q f.若0�r 上式为1)(��v f q g ,可得到0��g 与已知矛盾.若g r ��,上式为1)(��v f q g f r ,由(1)知f v f q ��)(令11,v v f q u r ��,则有111��g v f u . 最后证明唯一性. 如果存在2211,;,v u v u ,2,1,,,1,12211��i f v g u g v f u g v f u i i 则)()(1221v v g u u f��,因为1),(�g f ,所以12v v f�,故21v v �,同样的21u u �. 4.(参照张禾瑞编高等代数)§5因式分解定理[达标训练题] 一、填空题 1.)(x p 是不可约多项式,],[)(x P x f �若 )(x p�)(x f,则 . 2. )(x p 是不可约多项式, ],[)(x P x f�则)(x p与)(x f互素的充要条件是. 3.判定多项式2x +2在数域P 上的可约性.(i )P =Q 时 ;)(i i P =R 时;)(i i i P =C 时 . 4.)(x f=)42(�x 23)33(�x )2(�x 的标准分解式是 . 5.)(x f=2)2(�x 3)1()4(24��x x ,)(x g=4)3(�x )1(�x 2)2(�x 2,则()(x f ,)(x g )= . 二、判断题 1. 任意数域上都有不可约多项式. 2. 若)(x h )(x f )(x g,则)()(x fx h或).()(x g x h 3. )(x p 是不可约多项式,)()(x fx p�且)()(x g x p �,则)()()(x g x fx p�. 三、解答题 1.分别在有理数、实数域、复数域上分解14�x 为不可约多项式的乘积. 2.证明:若)(x p 不可约, )(x p()(x f +)(x g ),)(x p)(x f)(x g,则)(x p)(x f,且)(x p)(x g.若)(x p 可约,上述结论是否成立?为什么? 3. )(x p 是次数大于零的多项式,若 )(x p 与任一多项式)(x f 的关系只有两种情况()(x p ,)(x f )=1, 或)(x p)(x f,)(x p 是否是不可约的?并说明理由. 4.若)(x f 是次数大于零的首项系数为1的多项式,证明)(x f 是不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式)(x g ,或者()(x f ,)(x g )=1,或者存在正整数m,使)()(x g x fm .§5因式分解定理[达标训练题解答] 一、填空题 1.1))(),((�x f x p ; 2.)(x p 不整除于)(x f � 3. 不可约, 不可约,可约; 4.32)1()2)(2(36��x x x ; 5. 1. 二、判断题 1.T ; 2.F ; 3.F . 三、解答题 1. 解在有理数14�x 为不可约多项式, 因此在有理数14�x 的分解式为其本身. 在实数域: 4221(21)(21)x x x x x ��在复数域上: ))()()(())((123232121224i x i x i x i x i x i x x��. 2. 证明:若)(x p 不可约, 由)(x p )(x f)(x g,则)(x p)(x f或)(x p)(x g.若)(x p)(x f成立, 又)(x p()(x f +)(x g ),所以)(x p)(x f )(x g,则)(x p )(x g成立;同样地若)(x p)(x g成立利用)(x p()(x f +)(x g )得到)(x p)(x f成立.总之有)(x p)(x f 与)(x p)(x g同时成立. 若)(x p 可约,上述结论不成立.事实上取,)(,)(,)(22x x x g x x f x x p ��则)()()(x g x f x p且)(x p()(x f +)(x g ),但)(x p 即不整除0(x f 也不整除)(x g . 3. )(x p 是不可约多项式. 证明如下: 若)(x p 可约,则存在)2,1)(()(0),(��i x p x p x p i i ,使)()()(21x p x p x p �,利用题设可以得出()(x p ,)(x p i )=1或者)()(x p x p i ,而事实上,这两种结果都不能成立.因此)(x p 可约的假设不正确. 4�证明:必要性.设)()(x p x f m�()(x p 为不可约多项式),显然对任意的)(x g ,若1))(),((�x g x p ,则1))(),(())(),((��x g x p x g x f m ,若)()(x g x p ,则)()(x g x pmm,即存在正整数m ,使)()(x g x fm. 充分性: 设)1))()((,0)()()(()()(1111��x f x p x f x p x f x p x f k不可约�,取)()(1x p x g �,则()(x f ,)(x g )=1不成立, 且对任意正整数m ,)()(x g x fm 不成立.故)1))()((,0)()()(()()(1111��x f x p x f x p x f x p x fk不可约�不成立.即)(x f 是不可约多项式的方幂.§6 重因式[达标训练题] 一、填空题 1.设多项式)(x f=22)4�x 2)2(�x )2(�x )3(�x ,则)(x f 的单项式是 ,重因式是 ,它们的重数分别是 . 2.若)(x p是)(x f的5重因式,则)(x p是的3重因式, 的单项式. 3.)(2x f的微商是 . 4. 与)(x f 有相同的不可约因式,但无重因式. 5, )(x p 是()(x f ,)(/x f)的)1(�k k 重因式,则)(x p 是)(x f 的重因式. 一、判断题 1. )(x p 是)(x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(/x f的1�k 重因式)1(�k 2., )(x p 是)(/x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(x f 的1�k 重因式. 2� 多项式的重因式不因数域的扩大改变. 四、解答题 1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式. (i ))(x f =35423��x x x ;(i i ))(x f =3x 1� 2. 将)(x f =x x x ��232单项式化,然后分解因式. 3. 证明: )(x f =1+!!22nxxxn��没有重因式. 4. a ,b 满足什么条件,b a x x ��33有重因式.§6 重因式[达标训练题解答] 一、填空题 1.3�x , 2�x 与2�x , 4与3; 2.)(x f ��; 3.)()(2x f x f �; 4.))(),(()(x f x f x f�; 5.1�k . 二、判断题 1.F ; 2.T ; 3.F . 三、解答题 1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出1))(),((��x f x f ,所以)(x f=35423��x x x 无重因式. (2)同(1). 2. 解�容易计算)1())(),((��x x f x f �所以1�x 是)(x f 的二重因式�又)1())(),(()(��x x x f x f x f�故)(x f =2)1(�x x x x x��232. 3. 证明: 12)!1(1!211)(��nxn xx x f�, 1))!1(11,!1())(),()(())(),((1��nnxn x xn x f x f x f x f x f �.故无重因式. 4.解: 显然当0a b ��时�b a x x��33有三重因式x �当0,0a b ��时b a x x��33无重因式�当0a �时�当204baa ��时�2((),())22bf x f x x x a a ��b a x x��33有二重因式22x a �§7 多项式函数[达标训练题] A组一、填空题 1.多项式有无穷多个根. 2,若)(x f=23432x x x ��,则)2(f = , )(x f 的根是 ,重根是 ,其重数是 . 3.�是多项式)(x f 微商的k 重根,则 �是)()3(x f的重根.这里k�5. 4.若�是)(/x f的k 重根,且满足 , �是)(x f 的1�k 重根. 二、判断题 1. 若)(x f 没有重根,则)(x f 没有重因式. 2. 若)(x f 没有根,则)(x f 不可约. 3.)(x f 没有重根,()(x f ,)(/x f)=1 4. ()(x f ,)(/x f)=1,则)(x f 无重根. 三、解答题 1. 求一个次数小于3的多因式,使f (2)=1,)1(�f =2�, f(3)=2. 2. 证明多项式)(x f =!)1(21n x n n n x x nnn��无重根. B组 1. 求一个满足下列条件的三次多项式: (i )3�x)(x f;(i i )3�x 除)(x f 的余数是4; (i i i ))(x f 被2�x ,2�x 除的余数相等. 2. 证明x s i n 不能表示成x 的多项式. 3. 多项式)(x f 满足)(x f =)(b x f �求证: )(x f 是常量,这里0�b . 4. 证明:如果)()()(1432424123x f x x x f x f x x x��则�f(1)=0,�=1,2,3. 5. 设)(x f 和)(x p 是有理系数多项式, )(x p 在Q 上不可约,若)(x f 与)(x p 有一个公共复根,则)()(x fx p.§7 多项式函数[达标训练题答案] A组一、填空题1�零多项式�2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4�k ; 4. �是)(x f 的根; 二、判断题 1�F �2.F ; 3.F ; 4.T . 三、解答题 1�解利用拉格朗日插枝公式 13231))1(3)(23())1()(2(2)31)(21()3)(2(2)32))(1(2()3))(1((1)(2��xxx x x x x x x f2.证明�)!1()2)(1()1()(221��n x n n n x n n n x x f nnn��所以 ��))()(),(())(),((x f x f x f x f x f ),)!1()2)(1()1((321nnnnx n x n n n x n n n x ��=1. 所以)!1()2)(1()1()(21��n x n n n x n n n x x f nnn�无重根. B组 1� 解�设)()3()(x g x x f ��c b x a x x g ��2)(�则 c x b c x a b a x x f3)3()3()(2��利用综合除法得到用3�x 除)(x f 得余数461854��c b a ,用2,2��x x 除)(x f得到的余式分别是20510,42��b a b a .由题设得到下列方程组��c b a c b a c b a 5102024461854由此解出一个解��0458456c b a . 2� 证明�若x s i n 表示成一个n 次多项式�则它最多只能有n 个根因此它是0.事实上0s i n �x . 3� 证明令)0)(()()(��b b x f x f x g �则)(x g 若不是零多项式�则其常数项为0)(��b f �从而�,2,b b 都是)(x f 根�这样0)(�x f .若)(x g 不是0多项式�而它有无穷多个根. 4� 证明�考虑四次单位根42s i n 42c o s ��k i k k ��3,2,1�k�显然)(143123��x x x xk �则42s i n 42c o s ��k i k k ��是)()()(424221x f x x x f x f ��的根�即)3,2,1(0)1()1()1()1(3211��k f f f f k k k ��进一步得0)1(�k f . 5� 证明首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在有理数域上不能整除于)(x f �则无论在有理数域还是复数域均有1))(),((�x f x p 而事实上在复数域上1))(),((�x f x p 不成立.因此)(x p 在有理数域上整除于)(x f .§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题] A组一、填空题 1�复数域上不可约多项式是 �实数域上不可约多项式是. 2. )(x f ][x R �是首项系数为1的7次多项式,且 )(x f 有2重根i 32�,单根0、1、-2�则)(x f 的标准分解式是 . 3. )(x f =][3x R q p x x��,有一须根,b i a�则)(x f的所有根是. 4.44�x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式是. 二、解答题 1. 求有单根i 21�及2重根1懂得次数最低的受项系数为1的复系数多项式和实系数多项式. 2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根. 3. 设)(x p 是R 上不可约多项式,对于)(x f ][x R �,如果)(x p 与)(x f 在C 中有多项式�,证明)()(x fx p. B组 1.(选择填空)若多项式)(x f的各项系数都同号,那么)(x f. (i )无实根;(i i )无复实根;(i i i )无正实根;(i v )既有正根又有负根. 2.在C 和R 上分解1�nx 为不可约因式之积. 3.设)(x f 表示把多项式)(x f 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证明: (i )若)()(x fx g,则)()(x f x f;(i i )( )(x f ,)(x f )=)(x d 是实系数多项式.§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题解答] A组一、填空题 1�一次多项式�一次与部分二次不可约多项式�2.22)74)(2)(1(��x x x x x�3.2a 2��b i a b i a��,�4.)2)(2)(2)(2(i x i x x x ��)2)(2)(2(2��x x x . 二、解答题 1�解�在复数域上)21)(21()1()(2i x i x x x f ��, 在实数域上)32()1()(22��x x x x f . 2.证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾. 3� 证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在实数数域上不能整除于)(x f �则无论在实数数域还是复数域均有1))(),((�x f x p 而事实上在复数域上1))(),((�x f x p 不成立.因此)(x p 在实数域上整除于)(x f . B组 1��i i i � 2�解�在实数域上�11(1)(1)nnx x x x �� 在复数域上 011221()()(),c o s s i n ,0,1,1nn k k k xx x x i k nnn��.3� 证明 (i )若)()(x fx g,则存在(),()()()h x f x g x h x ��利用共轭复数的运算性质喝多项式乘法法则�有()()()f x g x h x ��故()()g x f x ;(i i )由于()()f x f x �是实系数多项式� ((),())((),()())f x f x f x f x f x ��,�故((),())()f x f x d x �是实系数多项式.§9 有理数域上多项式 [达标训练题] A组一、填空题 1.设)(x f 是数域P 上的不可约多项式,))((x f �=n ,若P =C ,则n = .;若P =R ,则n = ; 若P =Q ,则n = . 2.若整系数多项式)(x f 不存在素数p 满足艾氏判别法的条件,则)(x f 的Q 上. 3.1221334��x xx 所有可能的有理数根是 . 二、判断题 1. 若不存在素数p 能整除整系数多项式)(x f 的所有系数,则)(x f 是本原的 2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积. 3. 若)(x f 是次数�1的整系数多项式,则)(x f 在Q 上可约�)(x f 能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. )(x f �Q ][x 有无理根,则)(x f 在Q 上不可约. 三、解答题 1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积.)(i ;46223��x x )(i i .271313�x x2. 证明下列多项式在Q 上不可约. )(i 13)(1)(;6423234234��x x i i i x x x x i i x x x 3. 用试根法求4323��x x 的有理根. 4. 证明32是无理数. B组 1. 5次有理系数多项式)(x f在Q 上可约,则下类断言正确的是. (A ))(x f 至少有一个有理根; (B ))(x f 不一定有有理根; (C ))(x f 恰有一个有理根; (D ))(x f 含有一个2次不可约因式. 2.证明)(x f =!!212pxxx p��在有理数域Q 上不可约(p是素数) .3.求3212252345��x x xx x的有理根. 4.设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i )当n >1时,说明)(x f是否有有理根与其可约性的关系;(i i ) n =3时,上述关系如何? (i i i ) n =4时,给出一个无有理根,但)(x f 可约的例子. 5.整系数多项式)(x f 对某一整数m 有)(m f 和)1(�m f 都是奇数,证明)(x f 无整数根.§9 有理数域上多项式 [达标训练题答案] A组一、填空题 1�1�1或2�任意正整数�2.可能可约也可能不可约�3.31,1��二、判断题 1�T �2.F �若是非零多项式正确��3.T . 三、解答题 1�解�)(i )23(24622323��x x x x � )(i i )4237(21127131233��x x xx2�解�)(i 642234��x x x �取2�p �利用E i s e n s t i e n 判别法即得不可约�1)234��x x x x ii �令1��x y �则 )(5101051234234y g y y y y x x x x�� 取5�p �利用E i s e n s t i e n 判别法即得)(y g 不可约�从而1234��x x x x 不可约�13)(3��x x i i i �令1��x y �则)(63613233y h x y y x x ��取3�p利用E i s e n s t i e n 判别法即得)(y h 不可约�从而133��x x 不可约. 3. 解�4323��x x 的所有可能根是�4,2,1��因为4323��x x 的各项系数之和不等于0�奇次项系数之和等于0�所以-1是根�1不是根.容易利用综合除法验证4,2��都不是根. 4� 证明�因为2)(3��x x f 无有理根�而32是2)(3��x x f 的根�因此它不是有理数�从而是无理数. B组 1.�B � 2�证明�)(x f= )3)1(!!(!1!!21122pppx p x x p p x p p P pxxx ��对多项式)3)1(!!(12ppx p x x p p x p p ��利用E i s e n s t i e n 判别法即得在有理数域Q 上不可约(p 是素数). .3. 解� )64522(2132122523452345��x x x x x xx xx x�而 645222345��x x x x x 的所有可能有理根为23,21,6,3,2,1��然后可用试根法得出全部有理根为�-1�2,21. 4.. 解设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i )当n =2、n =3时, )(x f 有有理根是可约的充要条件.当3�n 时,)(x f 有有理根是可约充分条件,但不是必要条件. n=4时,例如22)1()(��x x f 无有理根,但)(x f 可约. 5. 证明: 设�是多项式)(x f 的整数根,则 )()()(x g x x f��,)(x g是整系数多项式. 从而)()()(m g m m f��)()1()1(x g m m f ��都是奇数.这是不可能的. §10 多元多项式[达标训练题] 一、填空题 1.多项式),,(4321x x x x f =2322141221232212x x x x x x x x x ��是元次多项式,首项是 , 是同类项. 2.设g),,(321x x x =23221x x x+221x x+21x+322x x-212x x ,按字典排列,),,(321x x x g = .按齐次成分),,(321x x x g 排列成 , 按2x 的降幂排列�),,(321x x x g = . 3�设�),,(321x x x f 32221122x x x x x ��),,(321x x x g 32121x x x x x �则),,(321x x x f�),,(321x x x g �),,(321x x x f ),,(321x x x g 的首项是�),,(321x x x f +�),,(321x x x g �)0,1,1(�x f��)0,1,1(g�)0,1,1(�x f+��)0,1,1(g . 二、解答题 1�写出数域P 上三元三次多项式的一般形式. 2�两个n 元多项式首项的和是不是首项�为什么� 3�证明�若n 元数组),,,(),,(2121n n b b b a a a ��且),,,(),,(2121n n b b b a a a ��则),,2,1(n i b ai i ��.此时记),,,(),,(2121n n b b b a a a ��. 4.举反例说明�当2�n 时�类似于一元多项式的带余除法定理不成立. §10 多元多项式[达标训练题答案] 一、填空题 1.4�5�221x x ,无同类项�2.g),,(321x x x =221x x+21x+23221x x x-212x x +322x x�g ),,(321x x x =23221x x x +�221x x +322x x �-212x x +21x �g ),,(321x x x =23221x x x +322x x +221x x -212x x+21x.3.332232213221332212213231x x x x x x x x x x x x x x x x��3231x x x�2322132122121x x x x x x x x x x��-2�1. 二、解答题 1� 解�数域P 上三元三次多项式的一般形式是� 300123002201032011220201100311012111021200x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x a��. 2� 解�两个n 元多项式首项的和不一定是首项 �例如3212131,x x x g x x x f��的首项分别是121,x x �显然121x x �不是g f �的首项. 3� 证明是简单的从略例如�212131,x x g x x x f ��显然对任意的q �r q g f ��中r 中必包含单项式31x�因此0,��r g r 都不成立 §11 对称多项式[达标训练题] 一、填空题 1.二元多形式的一般形式是 �二元二次对称多项式的一般形式是 �二元二次齐次多项式的一般形式是�二元二次齐次对称多项式的一般形式是.2�4321,,,x x x x 的初等对称多项式是��1� ; �2� � �3� ;�4� . 若4321,,,x x x x 是4322314)(a x a x a x a x x f��的四个根�则�1� ; �2� � �3�;�4� . 3.三元对称多项式232221x x x ��可以由初等对称多项式来表示. 二、解答题 1.将下列多项式初等化� �1�))()((133221x x x x x x ��; �2�322121),,,(x x x x x x fn ��.2.设n a a a ,,21是数域P 上的多项式在复数域K 上的根�证明n a a a ,,21的每一个对称多项式都可以表示成P 上关于1a 的多项式. §11 对称多项式[达标训练题解答] 一、填空题 1�201220211021112120x a x a x a x x a x a �� )2,1,)((��j i a a x x a j i i j ij j i i j �)()(21212221x x c x b x x x a ��. 2.4321x x x x ��,)323121x x x x x x �� 432431421321x x x x x x x x x x x x��4321x x x x �4321,,,a a a a �� 3. 3213133��. 二、解答题解��1� 因为 2312213213212211332212))()((x x x x x x x x x x x x x x x x x f��232322x x x x ��它的首项是221x x 对应的有序数组是�2�1�0��因此作多项式332103012121��x x x f .所以3321��f . �2�由于 2322132213221322121),,,(x x x x x x x x x x x x x x x f n ��其首项是3221x x x �当3�n �令0),,(313211��x x x f f �所以�3121),,,(��n x x x f �.当3�n 时�根据首相为3221x x x�则可设43121),,,(��a x x x fn ��令0,154321��n x x x x x x�代入即得4��a . 2�证明�设),,,(21n a a a f �为关于n a a a ,,21的任意对称多形式�则由基本定律知),,(),,,(1121��n n g a a a f ��其中11,,��n ��关于n a a a ,,21的全部初等对称多项式.显然n n nx x a ��111122111,,,��再由根与系数的关系得出上式中的i ��是关于1a 的多项式.。

高等代数期末考试题

高等代数期末考试题一、选择题（共5题，每题2分）1. 考虑线性方程组的系数矩阵A，若A的秩为r，那么下列哪个选项是正确的？A. 方程组的基础解系包含n-r个自由变量。

B. 方程组的基础解系包含r个自由变量。

C. 方程组的基础解系包含n个自由变量。

D. 方程组的基础解系包含m个自由变量，其中m是方程个数。

2. 若线性变换T: V → W，其中V和W是向量空间，且dim(V) = n, dim(W) = m。

设T的值域的维数为k，则下列哪个等式成立？A. k + n = mB. k ≤ min{n, m}C. k = n - mD. k = m - n3. 给定一个上三角矩阵L和一个下三角矩阵U，它们的乘积LU是一个对角矩阵。

那么，L和U的乘积的对角线元素是多少？A. L的对角线元素与U的对角线元素的和B. L的对角线元素与U的对角线元素的积C. L的对角线元素与U的非对角线元素的积D. U的对角线元素与L的非对角线元素的积4. 若多项式f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0，且f(1) = 1, f(-1) = -1。

则f(x)的表达式可以是：A. (x - 1)(x + 1)^(n-1)B. (x + 1)(x - 1)^(n-1)C. (x^n - 1)/(x - 1)D. (x^n - 1)/(x + 1)5. 设A是一个n阶方阵，且A的特征值都不相同。

如果A是可对角化的，那么下列哪个选项是正确的？A. A的每个特征值都有对应的特征向量。

B. A可以表示为几个特征向量的线性组合。

C. A可以表示为其特征向量矩阵的逆乘以特征值对角矩阵再乘以特征向量矩阵。

D. A的逆矩阵存在当且仅当所有特征值都不为零。

二、填空题（共5题，每题2分）6. 若二次型f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2，且该二次型表示的曲面在原点处的切平面方程为4x + 2y = 0，则a + b + c = _______。

高等代数第一章检测题

高等代数第一章检测题一、判断题1．数域P 一定是个无限有集。

（）2．零多项式是唯一不定义次数的多项式。

（）3．零多项式只能整除零多项式，而任意多项式都能整除零多项式。

（）4．若)()()(x h x g x f ，则)()(x g x f 或)()(x h x f 。

（）二、填空题1．多项式157424---x x x 的有理根是 .2．多项式14+x 任复数域上的分解式 .3．多项式1323-+-tx x x 有重根，，则 .4．多项式)(x f 与)(x g 互素的充要条件是 .5．设d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322323则a 、b 、c 、d 分别是 . 三、选择题1．设][)(),(x p x g x f ∈，且满足)()()()(x r x q x g x f +=，那么 .（A ）))(),(())(),((x r x f x g x f =；（B ）))(),(())(),((x r x f x q x f =（C ）))(),(())(),((x r x g x g x f = （D ）))(),(())(),((x r x g x q x f =2.设][)(),(x p x g x f ∈，0)()(,0)(,0)(≠±≠≠x g x f x g x f 那么下列式子中成立.（A ）))(())(())()((x g x f x g x f ∂±∂=±∂；（B ）)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤±∂；（C ）)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≥±∂；（D ）))(()),((min ))()((x g x f x g x f ∂∂=±∂.3．设011)(a x a x a x f n n n n ++=--是一个整系数多项式，而s r 是它的一个有理根，（其中r 与s 互素），那么必有 .（A ）0a s n a r ；（B ）n a s 0a r（C ）s 0a n a r ；（D ）s n a 0a r4．在有理数域中，不可约多项式的次数 .（A ）必是一次的；（B ）必是二次的；（C ）必是一次或者二次的；（D ）可以是任意次的.5.不可约多项式)(x p 是多次式)(x f '的1-k 重因式是)(x p 是)(x f 的k 重因式的条件.（A ）必要；（B ）充分必要；（C ）充分；（D ）没有关系.四、完成题1．2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 及余式)(x r .2．求1)(3+-=x x x g 除l x kx x x x x f +++-+=533)(2345所得商式及余式，并确定l k ,的值，使)(x g 整除)(x f .3．设22)(234-+++=bx x ax x x f①如果)(x f 被22--x x 整除，求b a ,.②如果)(x f 被2)1(-x 整除，求b a ,,4．已知实系数方程0223=+++r qx x x 有一个根是i 21+-，试求r q ,并解此方程. 5．问2是否是多项式81222116)(345+--+-=x x x x x x f 的根，如果是，是几重根？五、证明题1.证明：如果)(x f ，)(x g 不全为零，且存在))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+则1))(),((=x v x u .2.设)(x P 是一个不可约多项式，而)(x f 是一个任意多项式，则或者)(x P 与)(x f 互素，或者)(x P 整除)(x f .3.证明：多项式3+n x 在有理数域Q 上不可约.。